梯度、旋度、散度、高斯、斯托克斯公式图示

z
,
则
梯度:
grad u
u x
,
u y
,
u z
u
散度:
div A
P x

Q y

R z


A
i jk
旋度:
rot A
x
y
z
A
PQR
思考与练习 设 r x2 y2 z2, 则
div(grad r)
斯托克斯公式及其应用一斯托克斯公式二空间曲线积分与路径无关的条件第十一章三环流量与旋度stokes的正向为规定其边界曲线曲面是具有边界曲线的定向上法向量的指向相同的拇指的指向与竖起依边界的绕行方向时当右手除拇指外的四指的法向量符合右手法则这个方向与定向曲面的正向边界曲线曲面向的边界曲线称为定向按照这种方式规定了方时针方向的圆周曲线正向边界为逆时针方向的圆周曲线正向边界为顺取下侧时针方向的圆周曲线正向边界为顺时针方向的圆周曲线正向边界为逆则有上具有一阶连续偏导数连同边界函数侧符合右手规则的正向与向曲面为边界的分片光滑的定闭曲线为分段光滑的空间有向斯托克斯公式斯托克斯stokes公式rdzqdypdxdxdydzdxdydzrdzqdypdxdscoscoscos另一种形式其中便于记忆形式上页下页返回结束取逆时针方向轴正向看去与柱面是平面其中曲线积分利用斯托克斯公式计算取逆时针方向轴正向看去的表面所得的截痕截立方体是用平面其中计算的面积xy为柱面与平面coscoscoszxyzxy验证曲线积分定理2并求函数三环流量与旋度斯托克斯公式设曲面
2 r
;
rot(grad r) 0
.
提示: grad r x , y , z
rrr
x

P 2 + Q 2 + R2 = C
所以有： 所以有：
PPx + QQ x + RRx = 0，PPy + QQ y + RR y = 0， PPz + QQz + RRz = 0
i ∂ − A × rot ( A) = − ( P,Q, R ) × ∂x P j ∂ ∂y Q k ∂ =− ∂z R i P ∂R ∂Q − ∂y ∂z j Q ∂P ∂R − ∂z ∂x k R ∂Q ∂P − ∂x ∂y
义 斯托克斯公式的物理意 :
向量场 F 沿封闭曲线 Γ 的环流量 , 等于F
的旋度场 rotF通过 Γ 张成的曲面的通量 .
中 常 ; 性质: (1) ∇×(cF) = c ∇× F, 其 c为 数
(2) ∇×(F + F2 ) = ∇× F + ∇× F2; 1 1
( 3) 设ϕ是数量函数 , 则有
例1 设径向量 p = ( x , y , z ), 令p =|| p ||, 求梯度 ∇p.
2 2 2 2 解： Q p = p ⋅ p = x + y + z ,
∴ 2 p∇p = ∇p 2 = ∇ ( x 2 + y 2 + z 2 ) = 2( x , y , z ) = 2 p,
因此， 当 因此， p ≠ 0时,
k ∂ ∂z R
也可写成向量积的形式 : rotF = ∇× F
设 S 为双侧曲面 , Γ 为其边界曲线 , 其中 S 的 侧和 Γ 的方向满足 右手法则 .
设t = (cos α t , cos β t , cos γ t )是曲线 Γ正向上的单
位切向量 , 定义弧长元素向量 :

P Q R
S S1
V
x
y
z
dV
(8 y 1 4 y 4 y)dV dV 2
V
V
2 (1 32)dzdx
S1 Dzx
32 , 故 I 2 ( 32 )
34 .
四、斯托克斯(stokes)公式
定理 设L为分段光滑的空间有向闭曲线，S是以
L为边界的分片光滑的有向曲面，L的正向与S的
x 0 所成的曲面，其法向量与
y
轴正向夹角大于
.
2
解 旋转面S方程为:
y 1 z2 x2
y x2 z2 1,
欲求
2
I (8 y 1)xdydz 2(1 y )dzdx 4 yzdxdy
S
作辅助面S1：y 3, x2 z2 2 取右侧.
I
S S1
S1
S1
h2dxdy h4 .
Dxy
( x2 cos y2 cos z2 cos )dS
S
1 h4 h4 1 h4 .
2
2
例3 计算I 8 y 1 xdydz 2 1 y2 dzdx 4 yzdxdy,
S
其中S是由曲线
z
y 11 y 3绕 y轴旋转一周
S
为锥面x2 y2 z2介于平面z 0
及z hh 0之间的部分的下侧.
且S在点 x, y,z处的法向量的方
向余弦为cos , cos , cos .
解 曲面S 不是封闭曲面, 为利用高斯公式
补充 S1 : z h ( x2 y2 h2 ) S1取上侧，
S S1构成封闭曲面， S S1围成空间区域V . 在V 上使用高斯公式,
Dxy
根据曲面积分的计算法 S1取下侧,S2取上侧.

Q Q 同理可证 Q d y d xd y d yd z L x z R R L R d x y d y d z x d z d x
三式相加, 即得斯托克斯公式。
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
情形2：
曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个，则可 通过作辅助曲线把 分成与 z 轴只交于一点的几 部分，在每一部分上应用斯托克斯公式，然后相 加，由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相 加刚好抵消，所以对这类曲面斯托克斯公式仍成 立。 证毕
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
Pdx Qdy Rdz
L
——斯托克斯公式
机动 目录 上页 下页 返回 结束
n

右手法则
L是有向曲面 的 正向边界曲线
z
L
证明： 情形1：如右图
第七节
第十章
斯托克斯公与旋度
一、斯托克斯公式 二、空间曲线积分与路径 无关的条件 三、环流量与旋度
机动
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结束
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 1： 设 L 为分段光滑的空间有向闭曲线， 是以 L 为边界的分片光滑的有向曲面， L 的正向与 的侧符 合右手规则，函数 P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R( x , y , z ) 在包 含曲面 在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式：
( 4 ) (1 ) 由斯托克斯公式可知结论成立.
定理2 目录
证毕
上页 下页 返回 结束
说明： 同平面曲线一样，当曲线积分

r2
∂ ∂z
(
z r
)
=
r2−z2 r3
i
=
r 2 −x2 r3
,
∂ ∂y
(
y) r
=
r2 − y2 r3
三式相加即得div (grad r)
jk
rot (grad r) =
∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
= (0, 0, 0)
xyz
rrr 22
作业
P223 2, 3
补充题:
u和
JG A
有连续的二阶连续偏导数，证明
方向向外的任一闭曲面 , 记Σ 所围域为Ω,
在③式两边同除以Ω 的体积 V, 并令Ω 以
M
任意方式缩小至点 M (记作Ω → M ),则有
∫∫∫ lim Φ = lim 1 ⎜⎛ ∂P + ∂Q + ∂R ⎟⎞ d x d y d z
Ω→M V Ω→M V Ω⎝ ∂x ∂y ∂z ⎠
= lim ⎜⎛ ∂P + ∂Q + ∂R ⎟⎞
cosα
Байду номын сангаас
= ∫∫
∂ ∂x
∑P
cos β
∂ ∂y
Q
cosγ
∂ ∂z
dS
R
20
3. 场论中的三个重要概念
G
设 u = u (x, y, z),
A
=
(P,
Q,
R),
∇
=
(
∂ ∂x
,
∂ ∂y
,
∂ ∂z
),
则
梯度:
grad u
=(
∂u ∂x
,
∂ ∂
u y
,

前页 后页 返回
S 正向
L
图 22 9
S L
负向
定理22.4 设光滑曲面 S 的边界 L 是按段光滑的连 续曲线.若函数 P, Q, R 在 S ( 连同 L ) 上连续,且有 一阶连续偏导数,则有斯托克斯公式如下:
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R Q
P R
Q P
(
S
y

z
)dydz
(1)
S
其中 S 取外侧.(1) 式称为高斯公式.
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证
下面只证

V
Rdxdydz z


S
Rdxdy
.
读者可类似
证明其余两式:

V
Pdxdydz x


S
Pdydz
,

V
Qdxdydz y


S
Qdzdx
.
这些结果相加便得到高斯公式 (1).
先设V是一个 xy 型区域,即其边界曲面 S 由曲面
当曲面 S 表示为 x x( y, z), y y(z, x) 时, 同样可证
Q
Q

S
dxdy x

z
dydz

L Qdy
(4)
R
R

S
dydz y

x
dzdx

L
Rdz
(5)
将 (3), (4), (5) 三式相加,即得公式 (2) .
如果 S 不能以 z z( x, y) 的形式给出, 则可用一些
P y

P z

cos cos

dxdy

P d y d z Q d z d x Rdx d y

(Gauss 公式)
下面先证: R R d x d y d x d y d z z
©
证明: 设
为XY型区域 , 1 2 3 , 1 : z z1 ( x, y ) ,
三式相加, 即得斯托克斯公式 ;
©
情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可
通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加,由于沿辅助
曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这
类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕
注意: 如果 是 xoy 面上的一块平面区域,则斯托克斯
设 为场中任一有向曲面, 则由对坐标的曲面积分的物 理意义可知, 单位时间通过曲面 的流量为
P d y d z Q d z d x Rdx d y


由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为


P cos Q cos R cos d S
v n d S

©
若 为方向向外的闭曲面, 则单位时间通过 的流量为
P d y d z Q d z d x Rdx d y

n n
当 > 0 时, 说明流入 的流体质量少于
流出的, 表明 内有泉; 当 < 0 时, 说明流入 的流体质量多于流出的, 表明
内有洞 ;
当 = 0 时, 说明流入与流出 的流体质量相等 .
根据高斯公式, 流量也可表为
③
©
为了揭示场内任意点M 处的特性, 设 是包含点 M 且

其中C
是
曲线
x
2
y
2
1
，从
z
轴正向往
z
轴负向看
x y z 2
z
C 的方向是顺时针的。
C
Dxy o
x1
1y
例 2．计算 I ( y 2 z 2 )dx (z 2 x2 )dy (x2 y 2 )dz ， C
其中C 为平面 x y z 3 截立方体 0 x 1, 0 y 1, 0 z 1 2
C PdxQdy Rdz 0 ；
（3）
PdxQdy Rdz 在内与路径无关 ；
C( AB)
（4） Pdx Qdy Rdz 是某个函数 u(x, y, z)的全微分 ，即
du Pdx Qdy Rdz 。
且u(x, y,z) (x,y,z) PdxQdy Rdz ( x, y, z)
为向量场 A 沿有向闭曲线 C 的 环量。
二、环量面密度
r 设 M 为向量场 A 中的一点,在点 M 处取定一个
方向
r n,
作一小曲面 , 使其在点 M 的法向量为 nr,
小曲面的面积记为S, 其边界为分段光滑闭曲线 l,
l 与 nr的关系按右手法则确定,
r 向量场A 沿 l 正向的环量 与曲面面积S之比
x y z x y z
5．向量场 A {P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)} 的散度
divA P Q R x y z
(
i
j
k )(Pi Qj Rk ) A ；
x y z
6．向量场 A {P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)} 的旋度
（2） rot(A) rotA grad A ( 为数量场 ) ；

英国数学物理学家. 他是19世纪英国 数学物理学派的重要代表人物之一, 其 主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题 的有效且一般的新方法, 在1845年他导 出了著名的粘性流体运动方程 ( 后称之 为纳维 – 斯托克斯方程 ), 1847年先于 柯西提出了一致收敛的概念. 他提出的斯托克斯公式 是向量分析的基本公式. 他一生的工作先后分 五卷 出版 .
1、流量（通量）
p Q R
A d s P d Q d y z R d dz G d x x a ( x d u y y s z s ) d
场论 表达 d式 iA vdv
物理定义：左端是流速为 A 在单位时间内流出闭曲面
y
x y y z zx
x (x,y,0)
定理2
*三、 环流量与旋度
斯托克斯公式
PdxQ dyRdz
设曲面 的法向量为 n (c,c oo s ,cso ) s 曲线 的单位切向量为 (c ,c o o s ,cs o ) s
则斯托克斯公式可写为
x y z
x y Z
A( x, y,z ) 是矢量场，但 div A 却是数量场。
i jk
A（点乘）
3、旋度： rot A A
x y z
这里 A （叉乘）
PQR
都是以微分运算决定的量， 可依矢量代数及微分的规律建立若干个运算公式。
二、由积分运算决定的量 (n {c ,c o o ,c s s o }d , s{r d,d x ,d y }d z , n s d)
三、场
设f(x,y,z)及
A ( x , y , z ) p ( x , y , z ) i Q ( x , y , z ) j R ( x , y , z ) k

2
∂Q ∂ R ∂ R ∂ P = , = ∂z ∂ y ∂x ∂z
证毕
例3. 验证曲线积分∫Γ ( y + z ) d x + ( z + x) d y + ( x + y )dz
与路径无关, 并求函数
u ( x, y , z ) = ∫
( x, y , z ) (0,0,0)
( y + z )d x + ( z + x) d y + ( x + y ) d z
rot v =
−ω y ω x 0
∂ ∂x
i
∂ ∂y
j
∂ ∂z
k
= (0, 0, 2ω ) = 2 ω
(此即“旋度”一词的来源)
斯托克斯公式①的物理意义 斯托克斯公式①的物理意义:
∫∫Σ (rot A) n d S = ∫Γ Aτ d s
向量场 A 产生的旋度场 穿过 Σ 的通量 注意 Σ 与 Γ 的方向形成右手系! q 例4. 求电场强度 E = 3 r 的旋度 . r i j k 解:
例2. Γ 为柱面
轴正向看为顺时针, 计算
与平面 y = z 的交线,从 z
解: 设∑为平面 z = y 上被 Γ 所围椭圆域 , 且取下侧, z 则其法线方向余弦 Γ
利用斯托克斯公式得
Σ
cos α cos β cos γ
I = ∫∫
∑ ∂ ∂x 2 ∂ ∂y ∂ ∂z
o x
dS
2
=0
y
y
xy
xz
∂ rot (grad r ) = ∂ x x r ∂ ∂y y r ∂ ∂z z r
思考与练习
= ( 0 , 0 , 0)

)i
(P
R)
j
(Q
P
)k
y z z x x y
思考与练习 设 r x2 y2 z2, 则
div(grad r)
2 r
;
rot(grad r) 0
.
提示: grad r x , y , z
rrr
x
(
x r
)
r xxr
r2
z
(
z r
)
r2z2 r3
r 2 x2 r3
,
y
( y) r
小结一：各种积分之间的联系：
曲线积分
计算
定积分
Stokes公式
曲面积分
计算 Guass公式
计算 重积分
小结二：场论初步
梯度
gradu
u
i
u
j
u
k
x y z
通量 散度
Pdydz Qdzdx Rdxdy
divF
P
Q
R
x y z
环流量 Pdx Qdy Rdz
旋度
rotF
(
R
Q
Dxy o
x 1
例2 计算曲线积分
Ñ ( y 1)dx (z 2)dy (x 3)dz
C
其中 C
为圆周
x2
y2
z2
R2,
若从
x
轴
x y z 0 ,
正向看过去 , 这个圆周取逆时针方向.
计算曲线积分 Pdx Qdy Rdz 时 ,
以下两种情况用Stokes 公式计算较为简便：
特殊情形
(1)
格林公式
例 1 计算 zdx xdy ydz ,

u u( x, y, z) u(r ) C
如同温层，等位面，等高线
a
b
等值面
d c
2
方向导数
如何了解标量场 中某一点的标量 函数U沿某一方 向的变化情况？
b a
等值面
d c
方向导数：标量函数在给定点沿 某一方向对距离的变化率
U l
3
方向导数
z
ez
z
U l
M ( x 0 x , y0 y, z 0 z )
1 1 ( ) 的梯度 R R
z
r
Q ( x , y , z ) R
o
r
P ( x, y, z )
y
x
16
源点与场点
• 源点： • 场点：
( x, y, z) ( x, y, z )
源点 r'
R
场点
r
O
17
例题
1 1 距离矢量 R r r ，求标量场 R 的梯度 ( ) R z Q ( x , y , z )
数学描述：矢量 A 沿某一有向曲面 S 的面积分
A dS A en dS A cos θdS
s s s
通量(Flux)
dS en dS
S
C
有向曲面：开表面， 右螺旋
闭合曲面，外法线
通量：穿过曲面s的矢量线的总数
22
通量的应用
• 判断闭合曲面内源的性质
ey ez 直角坐标系中： ex x y z 1 柱面坐标系中： e e ez z 1 1 球面坐标系中： eR e e R R R sin

Φ = ∫∫ A dS
Σ
dS = dydz i + dzdx j + dxdy k
穿过曲面Σ这一侧的 通量. 为向量场 A( x , y , z ) 穿过曲面 这一侧的 通量.
通量的计算公式
Φ = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
Σ
高斯(Gauss)公式 通量与散度 公式 高斯
2.散度 . Σ 设有向量场 A( x , y , z ), P ( x , y , z )为场中任一点 为场中任一点, 点的某邻域内作一包含P点在其内的闭曲面 在P点的某邻域内作一包含 点在其内的闭曲面 点的某邻域内作一包含 Σ , 它所围成的小区域及其体积记为 V , 以Φ 表示 从Σ 内穿出的通量 若当 V → 0, 即V 内穿出的通量, 缩成P点时 极限 缩成 点时, 点时
外侧. Σ为球面 x 2 + y 2 + z 2 = a 2的外侧. 因被积函数中的 解 能否直接用 高斯公式 在曲面上, 点(x,y,z)在曲面上 可先用曲面方程将被积 在曲面上 可先用曲面方程将被积 函数化简， 函数化简， 然后再用高斯公式 高斯公式. 然后再用高斯公式. z 1 I = ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy a∑ O 3 3 4 3 2 = ∫∫∫ dxdydz = πa = 4πa x a a 3
Σ1 : z = h, ( x + y ≤ h )
2 2 2
Σ1
∵ ∫∫ ( x 2 cos α + y 2 cos β + z 2 cos γ )dS = ∫∫ z 2dS
Σ1
= ∫∫ h dS = πh4 cosα = 0, cos β = 0, cosγ = 1

解
取 S为上半球面被 柱面截下的部分
L
o
v n
y
S: z = a − x − y
2 2
2
x
10
由斯托克斯公式得到
z
I = ∫ z dx + xydy + yzdz
2 L
L
o
= ∫∫ zdydz + 2zdzdx + ydxdy
S
v n
y
y x = ∫∫ z + 2z + y dxdy z z S
解
按斯托克斯公式, 有 按斯托克斯公式,
1
n
∫ zdx + xdy + ydz
L
= ∫∫ dydz + dzdx + dxdy
S
0
x
D xy
1
y
1
3 = 2
8
例2. 计算I =
∫ ydx + zdy + xdz ，其中L:
L
x 2 + y 2 + z 2 = 2az , 从z轴的正向往负向看，逆时针。 x + z = a
u(x, y, z) = ∫
(x, y,z) (0,0,0)
( y + z)d x + (z + x) d y + (x + y) d z
解: 令 P = y + z , Q = z + x , R = x + y ∂P ∂Q ∂Q ∂R ∂R ∂P Q =1 = , =1 = , =1 = ∂y ∂x ∂z ∂y ∂x ∂y ∴ 积分与路径无关, 因此
向量点积法