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高中数学平面向量知识点总结及常见题型共11页共11页.docx

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平面向量一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB u u u r AB u u u r ，a；坐标表示法,(y x yj xi a向量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |记作｜a｜向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行量a ＝0｜a｜＝0由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量 ｜0a｜＝1④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量⑤相等向量：相等向量经过平移后总可以重合，记为b a大小相等，方向相同),(),(2211y x y x 2121y y x x2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u ur u u u r =AC uuu r（1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rL ，但这时必须“首尾相连”．3向量的减法① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量记作a,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有： （i ）)(a =a； (ii) a +(a )=(a )+a =0 ；(iii)若a 、b是互为相反向量，则a =b ,b =a ,a +b =0 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b的差，记作：(b a b a求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法：b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）4实数与向量的积：①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）a a；（Ⅱ）当0 时，λa 的方向与a 的方向相同；当0 时，λa 的方向与a的方向相反；当0 时，0a ，方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 5两个向量共线定理：向量b 与非零向量a共线 有且只有一个实数 ，使得b =6平面向量的基本定理：如果21,e e是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21, 使：2211e e a ，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 7 特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件 （3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j r r作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a r 可表示成a xi yj r r r ，由于a r 与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a r 的坐标，记作a r=(x,y)，其中x 叫作a r在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：(1)若 1122,,,a x y b x y r r ，则 1212,a b x x y y rr(2)若 2211,,,y x B y x A ，则 2121,AB x x y y u u u r(3)若a r =(x,y)，则 a r=( x, y)(4)若 1122,,,a x y b x y r r ，则1221//0a b x y x y rr (5)若 1122,,,a x y b x y r r，则1212a b x x y y r r若a b rr ，则02121 y y x x3向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积：已知两个非零向量a r 与b r ，它们的夹角为 ，则a r ·b r =︱a r︱·︱b r ︱cos 叫做a r 与b r的数量积（或内积） 规定0a r r2向量的投影：︱b r ︱cos =||a ba r r r ∈R ，称为向量b r 在a r 方向上的投影值称为射影3数量积的几何意义：a r ·b r 等于a r 的长度与b r 在a r方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：22||a a a a r r r r5乘法公式成立： 2222a b a b a b a b r r r r r r r r ；2222a b a a b br r r r r r 222a a b b r r r r6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a r r r r②对实数的结合律成立：a b a b a b R r r r r r r③分配律成立： a b c a c b c r r r r r r r c a b rr r特别注意：（1）结合律不成立： a b c a b c r r r r r r；（2）消去律不成立a b a cr r r r 不能得到b c r r（3）a b r r =0不能得到a r =0r或b r =0r7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y r r，则a r ·b r =121x x y y已知两个非零向量a r与b r ，作OA u u u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB=（01800 ）叫做向量a r 与b rcos =cos ,a ba b a b • •r r r r r r当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时，θ=00，当且仅当a r 与b r 反方向时θ=1800，同时0r与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a r 与b r 的夹角为900则称a r 与b r 垂直，记作a r ⊥b r10两个非零向量垂直的充要条件： a ⊥b a ·b＝O 2121 y y x x 平面向量数量积的性质题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量.（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点. （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的.（4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD u u u r u u u r.（5）若AB CD u u u r u u u r，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形. （6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量.（7）若a r 与b r 共线， b r 与c r 共线，则a r 与c r共线.（8）若ma mb r r ，则a b r r. （9）若ma na r r，则m n .（10）若a r 与b r 不共线，则a r 与b r都不是零向量. （11）若||||a b a b r r r r，则//a b r r . （12）若||||a b a b r r r r，则a b r r .题型2.向量的加减运算1.设a r 表示“向东走8km ”, b r 表示“向北走6km ”,则||a b r r.2.化简()()AB MB BO BC OM u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r.3.已知||5OA u u u r ,||3OB u u u r ,则||AB uuu r的最大值和最小值分别为 、 .4.已知AC AB AD u u u r u u u r u u u r 为与的和向量，且,AC a BD b u u u r r u u u r r ，则AB u u u r，AD u u u r.5.已知点C 在线段AB 上，且35AC AB u u u r u u u r ,则AC u u u r BC uuu r ，AB u u u rBC uuu r .题型3.向量的数乘运算1.计算：（1）3()2()a b a b r r r r （2）2(253)3(232)a b c a b c r r r r r r2.已知(1,4),(3,8)a b r r ，则132a b rr .题型4.作图法球向量的和已知向量,a b r r ，如下图，请做出向量132a b r r和322a b r r .a rb r题型5.根据图形由已知向量求未知向量1.已知在ABC 中，D 是BC 的中点，请用向量AB AC u u u r u u u r ，表示AD u u u r. 2.在平行四边形ABCD 中，已知,AC a BD b u u u r u u u r rr ，求AB AD u u u r u u u r 和.题型6.向量的坐标运算1.已知(4,5)AB u u u r，(2,3)A ，则点B 的坐标是 .2.已知(3,5)PQ u u u r，(3,7)P ，则点Q 的坐标是 .3.若物体受三个力1(1,2)F r ,2(2,3)F r ,3(1,4)F r,则合力的坐标为 . 4.已知(3,4)a r，(5,2)b r ，求a b r r ，a b r r ，32a b r r .5.已知(1,2),(3,2)A B ,向量(2,32)a x x y r与AB u u u r 相等，求,x y 的值. 6.已知(2,3)AB u u u r ，(,)BC m n u u u r ，(1,4)CD u u u r ，则DA u u u r.7.已知O 是坐标原点，(2,1),(4,8)A B ，且30AB BC u u u r u u u r r ，求OC uuu r的坐标.。

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高中数学《平面向量》知识点总结

高中数学《平面向量》知识点总结

(1)平面向量的坐标表示
在直角坐标系内，我们分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 、 作为基底 任作一个向量 ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数 、 ，使得 .我们把 叫做向量 的（直角）坐标，记作 ,其中 叫做 在 轴上的坐标， 叫做 在 轴上的坐标.
（2）若 ， ，则
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标
2、两个向量平行的充要条件
向量共线定理：向量 与非零向量 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使 =λ
∥ ＝
3、两个向量垂直的充要条件
设 ， ，则
4、平面内两点间的距离公式
（1）设 ，则 或
（2）如果表示向量 的有向线段的起点和终点的坐标分别为A 、B ，那么 (平面内两点间的距离公式)
5、两向量夹角的余弦（ ）cos=
9、实数与向量的积：实数λ与向量 的积是一个向量，记作 ，它的长度与方向规定如下：
（Ⅰ） ；（Ⅱ）当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；当 时， ，方 向是任意的
10、两个向量的数量积：
已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，则 叫做 与 的数量积（或内积） 规定
11、向量的投影
附：三角形的四个“心”
重心：三角形三条中线交点.
外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.
内心：三角形三内角的平分线相交于一点.
垂心：三角形三边上的高相交于一点.
非零向量 与 有关系是： 是 方向上的单位向量
注意：（1）结合律不成立： ；
（2）消去律不成立 不能得到
（3） 不能得到 或
乘法公式成立：
6、线段的定比分点公式:设点 分有向线段 所成的比为 ，即 ＝ ，则
高中数学平面向量知识点总结及常见题型精编范文

高中数学平面向量知识点总结及常见题型精编范文

平面向量一. 向量的基本概念与基本运算1 向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用a, b, c来表示，或用有向线段的起点与uuur uuuryj (x, y) 向终点的大写字母表示，如： AB 几何表示法AB ，a；坐标表示法 a xiuuur向量不能比较量的大小即向量的模（长度），记作 | AB | 即向量的大小，记作｜ a ｜大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为 0 的向量，记为 0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量 a ＝rr0｜ a ｜＝ 0 由于 0 的方向是任意的，且规定 0 平行于任何向量，（注意与 0 的区别）③单位向量：模为 1 个单位长度的向量向量a0为单位向量｜a0｜＝1④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a∥ b由于向量可以进行任意的平移 (即自由向量 )，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为a b大小相等，方向相同(x1, y1 )(x2 , y2 ) x1x2y1y2rr⑥相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量. a的相反向量记作a .2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法uuur r uuur r r uuur uuur uuur设 AB a, BC b ，则 a +b = AB BC =AC（1）0 a aa ；（）向量加法满足交换律与结合律；2“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2）三角形法则的特点是“ 首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点3向量的减法①相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做 a 的相反向量记作 a , 零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有：（i ）( a) = a；(ii)a +( a )=(a )+ a =0 ；(iii)若 a 、b是互为相反向量，则a = b , b = a , a +b =0②向量减法：向量 a 加上b的相反向量叫做 a 与b的差，记作： a b a ( b) 求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法： a b 可以表示为从 b 的终点指向a的终点的向量（a、 b 有共同起点）4实数与向量的积：①实数λ与向量 a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ） a a ；（Ⅱ）当0 时，λa的方向与a的方向相同；当0 时，λa的方向与a的方向相反；当0 时，a 0，方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律5两个向量共线定理：向量 b 与非零向量a共线有且只有一个实数，使得 b =a6平面向量的基本定理：如果 e1 ,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1 , 2使： a1e12 e2，其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二. 平面向量的坐标表示 1 平面向量的坐标表示：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同. 2 平面向量的坐标运算：(1) r x 1 , y 1 r x 2 , y 2r r x 1 x 2 , y 1 y 2若 a ,b ，则 a b (2) uuur若 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2 ，则 AB x 2 x 1 , y 2 y 1(3) r ，则 r x, y)若 a =(x,y) a =((4) r x 1 , y 1 r x 2 , y 2r r x 1 y 2 x 2 y 1 0若 a ,b ，则 a // b (5) r x 1 , y 1 r x 2 , y 2 r r x 1 x 2 y 1 y 2若 a ,b ，则 a br r 0 若 a b ，则 x 1 x 2 y 1 y 2三．平面向量的数量积1两个向量的数量积：r r r r r r已知两个非零向量 a 与 b ，它们的夹角为 ，则 a · b =︱ a ︱·︱ b ︱ cosr r r r y 1 y 2已知两个向量 a ( x 1, y 1 ),b ( x 2 , y 2 ) ，则 a · b = x 1 x 2r r uuur r uuur r , 则∠AOB= （ 0 0 180 0）2向量的夹角：已知两个非零向量 a 与 b ，作 OA = a , OB =brr叫做向量 a 与 b 的夹角rrr r x 1x 2 y 1 y 2cos =cosa ?b =a, br r 2 y 1 2 2 2a ? bx 1 x 2 y 2当且仅当两个非零向量r r 0 r r 0a 与b 同方向时，θ=0 ，当且仅当 a 与 b 反方向时θ =180 . 4向量的模： r r r 2 r 2a a a | a |r x 1, y 1 r x 2 , y 2 ，则 a // b ba x 1 y 2 x 2 y 1 05. 向量平行： 若 a , brr 的夹角为rrrr．向量垂直： 如果 a与 b90则称 a 与 b垂直，记作 a ⊥ b6a ⊥ ba ·b ＝O x 1x 2 y 1 y 2 0平面向量常见题型题型 1. 基本概念判断正误 ：1. 给出下列命题：r r r r ① 若 | a | ＝| b | ，则 a =b ；uuur uuur② 若 A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则 AB DC 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；r r r r r r ，③ 若 a =b ， b =c ，则 a =cr r r r r r r r r r r r 量的加减运算 ④ a =b 的充要条件是 | a |=| b | 且 a b a b b c a c 1．下列命题中正确的是（ ） uuuruuur uuur uuur B uuur 0A ． OA OB AB ． AB BA uuurr uuur r D uuur uuur uuurC ．0 AB 0 ． AB BC CD AD r ” r ” r r2. 设 a 表示“向东走b 表示“向北走 则 | a b |.8km , 6km ,uuur uuur uuur uuur uuuur . 3. 化简 (AB MB ) ( BO BC) OM．若菱形 ABCD 的边长为 2 uuur uuur uuur__________.，则 ABCBCD4uuur uuur uuur uuur r uuur r uuur uuur5. 已知 AC 为 AB 与 AD 的和向量，且 ACa, BD b ，则 AB ，AD .已知点 在线段 上，且 uuur 3 uuur uuuruuur uuur uuur 6. C AC AB , 则 AC BC ，AB BC. AB 5题型 3. 向量的数乘运算r r r r1. 计算：（ 1） 3(a b) 2( a b)r r r 3( r r r（2） 2(2a 5b 3c ) 2a 3b 2c )r r ( 3,8) ，则 r 1 r.2. 已知 a(1, 4), b3a b2题型 4. 作图法球向量的和r rr1 r r3 r已知向量 a,b ，如下图，请做出向量3a2 b 和 2ab .2题型 5. 根据图形由已知向量求未知向量uuur uuuruuur1. 已知在，ABC 中， D 是 BC 的中点，请用向量AB AC表示 AD .2. uuur r uuur r uuur uuur在平行四边形 ABCD 中，已知AC a, BD b ，求AB和AD .3. 已知向量 a (1,2) ， b ( 2,3) ， c (4,1) ，若用 a 和 b 表示 c ，则 c =____。

(精校版)高考数学平面向量知识点及相关题型

(精校版)高考数学平面向量知识点及相关题型


A．3Error!
B．2
C．4Error!
D。Error!
2、 在 ABC 中 ， 角 A， B,C 所 对 的 边 分 别 为 a， b， c， 已 知
a b, c 3, cos2 A cos2 B 3 sinAcosA 3 sin B cos B
（1） 求角 C 的大小
(直打版)高考数学平面向量知识点及相关题型(word 版可编辑修改)
7、三角形的面积公式的选择
(1)已知三角形一边及该边上的高，利用 S 1 ah
2
（2）已知三角形的两边及其夹角，利用 S 1 absin(C)
2
（3）已知三角形的三边，利用 S p( p a)( p b)( p c),其中p= a b c
2
[练习]
1、在△ABC 中，a＝3 2，b＝2Error!，cos C＝ ，则△ABC 的面积为( ）．
(直打版)高考数学平面向量知识点及相关题型(word 版可编辑修改)
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编辑整理：
尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对 文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(直打版)高考数学平面向量知 识点及相关题型(word 版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希 望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以 下为(直打版)高考数学平面向量知识点及相关题型(word 版可编辑修改)的全部内容。
2、 在平行四边形 ABCD 中，AD=1，角 BAD=60 度,E 为 CD 的重点,若 ACBE 1，则 AB
高中平面向量知识点详细归纳总结(附带练习)

高中平面向量知识点详细归纳总结(附带练习)

向量的概念一、高考要求：理解有向线段及向量的有关概念,掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则,掌握向量加法的交换律和结合律.二、知识要点：1. 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A 为始点,B 为终点的有向线段记作AB ,注意:始点一定要写在前面,已知AB ,线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长(或模),AB 的长度记作AB ||.有向线段包含三个要素:始点、方向和长度.2. 向量:具有大小和方向的量叫做向量,只有大小和方向的向量叫做自由向量.在本章中说到向量,如不特别说明,指的都是自由向量.一个向量可用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.用有向线段AB 表示向量时,我们就说向量AB .另外,在印刷时常用黑体小写字母a 、b 、c 、…等表示向量;手写时可写作带箭头的小写字母a 、b 、c 、…等.与向量有关的概念有:(1) 相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.向量a 和b 同向且等长,即a 和b 相等,记作a =b .(2) 零向量:长度等于零的向量叫做零向量,记作0.零向量的方向不确定.(3) 位置向量:任给一定点O 和向量a ,过点O 作有向线段OA a =,则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定,这时向量a 又常叫做点A 相对于点O 的位置向量.(4) 相反向量:与向量a 等长且方向相反的向量叫做向量a 的相反向量,记作a -.显然,()0a a +-=.(5) 单位向量:长度等于1的向量,叫做单位向量,记作e .与向量a 同方向的单位向量通常记作0a ,容易看出:0a a a =│ │. (6) 共线向量(平行向量):如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,即这些向量的方向相同或相反,则称这些向量为共线向量(或平行向量).向量a 平行于向量b ,记作a ∥b .零向量与任一个向量共线(平行).三、典型例题：例:在四边形ABCD 中,如果AB DC =且AB BC =│ │ │ │ ,那么四边形ABCD 是哪种四边形? 四、归纳小结：1. 用位置向量可确定一点相对于另一点的位置,这是用向量研究几何的依据.2. 共线向量(平行向量)可能有下列情况: (1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)方向相同,模相等(即相等向量);(4)方向相同,模不等;(5)方向相反,模相等;(6)方向相反,模不等.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 下列命题中: (1)向量只含有大小和方向两个要素. (2)只有大小和方向而无特定的位置的向量叫自由向量. (3)同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. (4)点A 相对于点B 的位置向量是BA . 正确的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个2. 设O 是正△ABC 的中心,则向量,,AO OB OC 是( )A.有相同起点的向量B.平行向量C.模相等的向量D.相等向量3. a b =的充要条件是( )A.a b =│ │ │ │ B.a b =│ │ │ │ 且a b ∥ []l C.a b ∥ D.a b =│ │ │ │ 且a 与b 同向 4. AA BB ''=是四边形ABB A ''是平行四边形的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件5. 依据下列条件,能判断四边形ABCD 是菱形的是( )A.AD BC =B.AD BC ∥且AB CD ∥C.AB DC =且AB AD =│ │ │ │ D.AB DC =且AD BC = 6. 下列关于零向量的说法中,错误的是( )A.零向量没有方向B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向任意7. 设与已知向量a 等长且方向相反的向量为b ,则它们的和向量a b +等于( )A.0B.0C.2aD.2b（二）填空题：8. 下列说法中: (1)AB 与BA 的长度相等 (2)长度不等且方向相反的两个向量不一定共线 (3)两个有共同起点且相等的向量,终点必相同(4)长度相等的两个向量必共线。