分析概率论(胡迪鹤)思维导图

计数原理与概率统计统计概率计数原理随机变量及其分布成对数据的统计分析统计图表样本数字特征频率分布表、频率分布直方图、折线图、扇形图、条形图第百分数一般地一组数据的第百分位数是这样一个值它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值且至少有的数据大于或等于这个值方差随机抽样简单随机抽样分层随机抽样标准差随机事件与概率事件的相互独立性频率与概率有限样本空间与随机事件事件的关系和运算古典概型概率的基本性质特性：有限性、等可能性公式：互斥事件概率的加法公式：对立事件概率公式：概率的加法公式：相互独立事件的概率：用频率估计概率两个计数原理排列与组合二项式定理分类加法计数原理：完成某件事的方法数分步乘法计数原理：完成某件事的方法数排列组合排列数公式全排列组合数公式组合数性质且，规定且定理通项公式二项式系数的性质，其中，，对称性增减性最大值二项式系数的和当时随的增加而增大当时随的增加而减小为偶数中间的一项的二项式系数最大为奇数中间的两项的二项式系数相等且同时取得最大值条件概率与全概率公式离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的数字特征二项分布与超几何分布条件概率全概率公式为在事件发生的条件下事件发生的条件概率是一组两两互斥的事件且则对任意的事件有正态分布分布列的性质两点分布数学期望方差二项分布超几何分布重伯努利试验中用表示事件发生的次数则事件恰好发生次的概率其中抽签法随机数法正态分布的均值与方差若则随机变量服从正态分布记为回归分析独立性检验样本相关系数回归方程时两个变量正相关时两个变量负相关越接近线性相关性越强越接近则越弱随机变量为样本容量为的临界值。

思维导图在概率论与数理统计教学中的实践思维导图是一种图形化的思维工具，可以帮助人们更好地理清思路，把相关概念连接起来，形成完整的知识体系。

在概率论与数理统计教学中，思维导图可以为学生提供一个更加直观、易于理解的知识框架，帮助学生更好地掌握各种概念与公式。

1、基础概念概率论是研究随机现象的理论，其中包括了一些基本概念，如样本空间、随机事件、概率等。

通过思维导图的方式，可以将这些概念以及它们之间的关系清晰地展现出来，让学生更加易于理解。

2、条件概率与独立性在概率论中，条件概率和独立性是两个重要的概念，它们经常在实际问题中被使用，应用广泛。

通过思维导图的方式，可以将这两个概念清晰地呈现出来，帮助学生更好地理解概率论中这两个重要的概念。

3、随机变量随机变量是概率论中一个非常重要的概念，它是描述随机现象的数学工具。

通过思维导图的方式，可以将随机变量及其分类（离散型、连续型）等相关概念整理出来，帮助学生更加深入地了解随机变量的概念和应用。

数理统计是研究统计学中的一些基本概念，如总体、样本、参数、统计量等，并涉及到概率分布、假设检验等许多重要的概念。

通过思维导图的方式，可以将这些概念清晰地展现出来，并且令学生在学习过程中有一个完整的知识框架。

2、概率分布在数理统计中，概率分布是一个重要的概念。

均匀分布、正态分布、泊松分布等概率分布在实际问题中的应用非常广泛。

通过思维导图的方式，可以将各种概率分布的特征、应用和公式等整理出来，帮助学生更好地理解和运用概率分布。

3、假设检验假设检验是数理统计中一个关键的方法，用于检验对总体或总体参数关于某个假设的推断是否正确。

通过思维导图的方式，可以将假设检验的基本步骤、拒绝域以及显著性水平等相关概念整理出来，帮助学生明确假设检验的基本原理和实际应用。

综上所述，思维导图在概率论与数理统计教学中的应用是非常重要的。

通过思维导图的方式，可以将相关概念、公式、方法、步骤等整合到一个完整的知识体系中，让学生更加清晰、直观地感受到课程内容，提高学习效率和效果。

第十章概率复习课要点训练一事件的关系与运算互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的.在一次试验中,两个互斥事件不可能同时发生,有可能都不发生,也可能只有一个发生.对立事件必定而且只有一个发生.1.下列说法正确的是()A.互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件B.互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件C.事件A,B同时发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率小D.事件A,B中至少有一个发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率大解析:对于选项A、B,由于互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件,所以选项A正确,选项B不正确.对于选项C,当A=B 时,A,B中恰有一个发生的概率为0,所以选项C不正确.对于选项D,若事件A为不可能事件,则事件A,B中至少有一个发生的概率与A,B中恰有一个发生的概率相等,故选项D不正确.答案:A2.把J,Q,K 3张方块牌随机分给甲、乙、丙三人,每人1张.若记“甲得方块J”为事件A,“乙得方块J”为事件B,则事件A与事件B是()A.不可能事件B.必然事件C.对立事件D.互斥但不对立事件解析:由题意可知,事件A与事件B不可能同时发生,可能同时不发生,从而可以判断事件A与事件B是互斥但不对立事件.答案:D3.一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的对立事件是()A.至多有一次中靶B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都不中靶解析:事件“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”.故选D.答案:D4.2021年某省新高考将实行“3+1+2”模式,即语文、数学、外语必选,物理、历史二选一,政治、地理、化学、生物四选二,共有12种选课模式.某同学已选了物理,记事件A=“他选择政治和地理”,事件B=“他选择化学和地理”,则事件A与事件B()A.是互斥事件,不是对立事件B.是对立事件,不是互斥事件C.既是互斥事件,也是对立事件D.既不是互斥事件也不是对立事件解析:事件A与事件B不能同时发生,是互斥事件,他还可以选择化学和政治,不是对立事件.答案:A要点训练二随机事件的频率与概率总接近于某个在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率mn常数,并在这个常数附近摆动,这时就把这个常数称为事件A的概率,记作P(A).根据定义可知0≤P(A)≤1,显然必然事件的概率是1,不可能事件的概率是0.1.某产品共有三个等级,分别为一等品、二等品和不合格品.从一箱产品中随机抽取1件进行检测,若“抽到一等品”的概率为0.65,“抽到二等品”的概率为0.30,则“抽到不合格品”的概率为()A.0.05B.0.35C.0.70D.0.95解析:根据题意,记“抽到一等品”为事件A,“抽到二等品”为事件B,“抽到不合格品”为事件C,因为“抽到一等品”与“抽到二等品”是互斥事件,“抽到不合格品”与“抽到一等品或二等品”是对立事件,所以P(C)=1-P(A)-P(B)=0.05.答案:A2.已知三个事件A,B,C两两互斥,且P(A)=0.3,P(B)=0.6,P(C)=0.2,则P(A∪B∪C)=0.9.解析:因为P(.6,所以P(B)=0.4,所以P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.9.3.在一次射击比赛中,若某射手射中10环,9环,8环的概率分别是0.2, 0.3, 0.1,则该射手在一次射击中不够8环的概率是0.4.解析:由题意知,该射手不够8环的对立事件是该射手在一次射击中不小于8环.因为该射手在一次射击中不小于8环包括射中8环,9环,10环,且这三个事件是互斥的,所以该射手在一次射击中不小于8环的概率是0.2+0.3+0.1=0.6,所以该射手在一次射击中不够8环的概率是1-0.6=0.4.4.对一批U盘进行抽检,结果见下表:抽出件数a/件50 100 200 300 400 500次品件数b/件 3 4 5 5 8 9次品频率ba(1)计算表中次品的频率(结果保留到小数点后三位);(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少?(3)为保证买到次品的顾客能够及时更换,要销售2 000个U盘,至少需进货多少个U盘?解:(1)表中次品频率从左到右依次为0.060,0.040,0.025,0.017, 0.020,0.018.(2)当抽取件数a越来越大时,出现次品的频率在0.02附近摆动,所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.(3)设需要进货x个U盘,为保证其中有2 000个正品U盘,则x(1-0.02)≥2 000,因为x是正整数,所以x≥2 041,即至少需进货2 041个U盘.要点训练三古典概型概率的求法古典概型概率计算,关键是分清样本空间包含的样本点个数n与事件A包含的样本点个数k,利用公式P(A)=kn求出概率.解题时要注意用列举法把样本点一一列举出来,列举时可以按某一顺序,做到不重不漏.1.如果从集合A={1,3,5,7,9}和集合B={2,4,6,8}中各取一个数,那么这两个数的和除以3余1的概率是()A.13B.15C.25D.310解析:从集合A={1,3,5,7,9},B={2,4,6,8}中各取一个数,样本点有(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(5,2),(5,4),(5,6),(5,8),(7,2), (7,4),(7,6),(7,8),(9,2),(9,4),(9,6),(9,8),共20个,其中两个数的和除以3余1的样本点有(1,6),(3,4),(5,2),(5,8),(7,6),(9,4),共6个,所以抽取的两个数的和除以3余1的概率为P = 620= 310.答案:D2.甲、乙两人进行“剪子、包袱、锤”的游戏,若两人都随机出手势,则一次游戏两人平局的概率为()A.13B.23C.14D.29解析:甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏,所有可能出现的样本点列表如下:手势锤剪子包袱锤(锤,锤) (锤,剪子) (锤,包袱)剪子(剪子,锤) (剪子,剪子) (剪子,包袱)包袱(包袱,锤) (包袱,剪子) (包袱,包袱) 由上表可知,共有9个样本点.其中平局的有3个样本点,即(锤,锤),(剪子,剪子),(包袱,包袱).设事件A为“甲和乙平局”,则P(A)= 39= 13.答案:A3.甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5个不同题目,选择题3道,判断题2道,甲、乙两人各抽1道题.(1)甲、乙两人中一人抽到选择题,另一人抽到判断题的概率是多少?(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?解:把3道选择题分别记为x1,x2,x3,2道判断题分别记为p1,p2.“甲抽到选择题,乙抽到判断题”的样本点有(x1,p1),(x1,p2),(x2,p1), (x2,p2),(x3,p1),(x3,p2),共6个;“甲抽到判断题,乙抽到选择题”的样本点有(p1,x1),(p1,x2),(p1,x3), (p2,x1),(p2,x2),(p2,x3),共6个;“甲、乙都抽到选择题”的样本点有(x1,x2),(x1,x3),(x2,x1),(x2,x3), (x3,x1),(x3,x2),共6个;“甲、乙都抽到判断题”的样本点有(p1,p2),(p2,p1),共2个.因此样本点的总数为6+6+6+2=20.(1)“甲抽到选择题,乙抽到判断题”的概率为620 = 310,“甲抽到判断题,乙抽到选择题”的概率为620= 310,故“甲、乙两人中一人抽到选择题,另一人抽到判断题”的概率为310+310= 35. (2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为220 = 110,故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1- 110 = 910.4.甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,求选出的2名教师性别相同的概率;(2)若从报名的6名教师中任选2名,求选出的2名教师来自同一学校的概率.解:设甲校两名男教师分别用A ,B 表示,女教师用C 表示,乙校男教师用D 表示,两名女教师分别用E ,F 表示.(1)从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为(A ,D ),(A ,E ),(A ,F ),(B ,D ),(B ,E ),(B ,F ),(C ,D ),(C ,E ),(C ,F ),共9种.从中选出的2名教师性别相同的结果有(A ,D ),(B ,D ),(C ,E ),(C ,F ),共4种,所以选出的2名教师性别相同的概率P =49. (2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(A ,E ),(A ,F ),(B ,C ),(B ,D ),(B ,E ),(B ,F ),(C ,D ),(C ,E ),(C ,F ), (D ,E ),(D ,F ),(E ,F ),共15种.从中选出的2名教师来自同一学校的结果有(A ,B ),(A ,C ),(B ,C ), (D ,E ),(D ,F ),(E ,F ),共6种.所以选出的2名教师来自同一学校的概率P =615 = 25. 要点训练四 相互独立事件概率的求法P (AB )=P (A )P (B )是事件相互独立的充要条件,也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具.当题目内涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题时,要分清事件间的关系.另外,公式“P (A ∪B )=1-P (A B )”常用于求相互独立事件至少有一个发生的概率.1.“五一”假期中,甲、乙、丙3人去厦门旅游的概率分别是13,14,15,如果3人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有1人去厦门旅游的概率为( )A.5960B.35C.12D.160 解析:记事件A 为“至少有1人去厦门旅游”,则其对立事件A 为“3人都不去厦门旅游”.因为P (13)(1- 14)(1- 15) = 25, 所以P (A )=1-P (25 = 35. 答案:B2.国际羽毛球比赛采用21分的比赛规则和每球得分制,并且每次得分者发球,所有单项的每局获胜分至少是21分,最高不超过30分,即先到21分的获胜一方赢得该局比赛,如果双方比分为20∶20时,获胜的一方需超过对方2分才算取胜,直至双方比分打成29∶29时,先达到第30分的一方获胜.在一局比赛中,若甲发球得分的概率为12,甲接发球得分的概率为35,则在比分为20∶20,且甲发球的情况下,甲以23∶21赢下比赛的概率P 为( )A.18B.320C.950D.720 解析:P = 12×35×12×12+12×12×35×12 = 320.故选B .答案:B3.某中学的某新生想通过考核选拔进入该校的“电影社”和“心理社”,已知该同学通过考核选拔进入这两个社团成功与否相互独立,根据报名情况和他的才艺能力,两个社团都能进入的概率为124,至少进入一个社团的概率为38,并且进入“电影社”的概率小于进入“心理社”的概率.(1)求该同学分别通过选拔进入“电影社”的概率P 1和进入“心理社”的概率P 2;(2)学校根据这两个社团的活动安排情况,对进入“电影社”的同学增加1个校本选修课学分,对进入“心理社”的同学增加0.5个校本选修课学分.求该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1分的概率.解:(1)根据题意可得,{P 1P 2=124,1-(1-P 1)(1-P 2)=38,P 1<P 2,所以P 1= 16,P 2= 14. (2)令该同学在社团方面获得校本选修课学分分数为x ,则P (x =1)=(1- 14)×16 = 18, P (x =1.5) = 14×16 = 124,所以该同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于1分的概率P = 18+124 = 16. 要点训练五 补集思想在解答概率应用问题的过程中,当某一事件的概率不易直接求出或求解较为困难,但该事件的对立事件的概率比较容易求得时,可利用公式“P (A )+P (A )=1”从反面进行思考,将所求事件的概率转化为求其对立事件的概率.1.甲队和乙队进行足球比赛,若两队踢成平局的概率是12,乙队获胜的概率是16,则甲队不输的概率是( ) A.56 B.34 C.23 D.13 答案:A2.若一架飞机向目标投弹,击毁目标的概率为0.2,目标未受损的概率为0.4,则目标受损但未被击毁的概率为 ( )A.0.8B.0.6C.0.5D.0.4答案:D3.甲、乙两名射击运动员分别对同一目标射击1次,甲射中的概率为0.8,乙射中的概率为0.9,求:(1)两人都射中的概率;(2)两人中恰有一人射中的概率;(3)两人中至少有一人射中的概率.解:设“甲射击一次,射中目标”为事件A,“乙射击一次,射中目标”为事件B.事件A与B是相互独立的.(1)两人都射中的概率为P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.9=0.72.(2)两人中恰有一人射中的概率为P(A P(A B)=0.8×(1-0.9)+(1-0.8)×0.9=0.26.(3)两人中至少有一人射中的概率为1-P(A B)=1-P(A)P(B)=1- 0.2×0.1=0.98.。

知识必备04概率与统计（公式、定理、结论图表）考点一、数据的收集与处理1.一般步骤：调查收集数据的过程一般有下列六步：明确调查问题、确定调查对象、选择调查方法、展开调查、记录结果、得出结论．2.调查收集数据的方法:普查与抽样调查. 要点诠释：(1)通过调查总体的方式来收集数据的，抽样调查是通过调查样本方式来收集数据的．(2)一般地，当总体中个体数目较多，普查的工作量较大；受客观条件的限制，无法对所有个体进行普查；或调查具有破坏性时，不允许普查,这时我们往往会用抽样调查来体现估计总体的思想.(3)用抽签的办法决定哪些个体进入样本．统计学家们称这种理想的抽样方法为简单的随机抽样.典例1：（2022•柳州）以下调查中，最适合采用抽样调查的是（ ）A．了解全国中学生的视力和用眼卫生情况B．了解全班50名同学每天体育锻炼的时间C．学校招聘教师，对应聘人员进行面试D．为保证神舟十四号载人飞船成功发射，对其零部件进行检查【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．【解答】解：A、了解全国中学生的视力和用眼卫生情况，最适合采用抽样调查，故A符合题意；B、了解全班50名同学每天体育锻炼的时间，最适合采用全面调查，故B不符合题意；C、学校招聘教师，对应聘人员进行面试，最适合采用全面调查，故C不符合题意；D、为保证神舟十四号载人飞船成功发射，对其零部件进行检查，最适合采用全面调查，故D不符合题意；故选：A．【点评】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．3.数据的统计:条形统计图、折线统计图、扇形统计图是三种最常用的统计图．要点诠释：这三种统计图各具特点：条形统计图可以直观地反映出数据的数量特征；折线统计图可以直观地反映出数据的数量变化规律；扇形统计图可以直观地反映出各部分数量在总量中所占的份额．典例2：连云港市实行中考改革，需要根据该市中学生体能的实际情况重新制定中考体育标准．为此，抽取了50名初中毕业的女学生进行“一分钟仰卧起坐”次数测试．测试的情况绘制成表格如下：次数612151820252730323536人数1171810522112⑴求这次抽样测试数据的平均数、众数和中位数；⑵根据这一样本数据的特点，你认为该市中考女生“一分钟仰卧起坐”项目测试的合格标准应定为多少次较为合适？请简要说明理由；⑶根据⑵中你认为合格的标准，试估计该市中考女生“一分钟仰卧起坐”项目测试的合格率是多少？【思路点拨】本题是以统计初步知识在该市怎样定中考女生“一分钟仰卧起坐”项目测试的合格标准的应用为背景，把制定体育成绩的某项合格指标转化为统计问题，求出了统计中的平均数、众数、中位数.【答案与解析】⑴该组数据的平均数 众数为18，中位数为18；　⑵该市中考女生一分钟仰卧起坐项目测试的合格标准应定为 18次较为合适，因为众数及中位数均为18，且50人中达到18次的人数有41人，确定18次能保证大多数人达标；　⑶根据⑵的标准，估计该市中考女生一分钟仰卧起坐项目测试的合格率为 82%.【总结升华】确定众数的方法是找该组数据中出现次数最多的数，如果有多个数出现的次数相同,那这些出现次数相同的数都是这组数据的众数；平均数、众数、中位数及其应用，在中考试卷中它们有机地交汇于实际情境中，考查应用意识．考点二.数据分析1.基本概念：总体：把所要考查的对象的全体叫做总体；个体：把组成总体的每一个考查对象叫做个体；样本：从总体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本；样本容量：样本中包含的个体的个数叫做样本容量；频数：在记录实验数据时，每个对象出现的次数称为频数；频率：每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）称为频率；平均数：在一组数据中，用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的平均数；中位数：将一组数据从小到大依次排列，位于正中间位置的数（或正中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；众数：在一组数据中，出现频数最多的数叫做这组数据的众数；极差：一组数据中的最大值减去最小值所得的差称为极差；方差：我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果通常称为方差．计算方差的公式：设一组数据是，是这组数据的平均数。

设计概率知识点归纳图概率是数学中的重要分支，研究的是随机事件发生的可能性。

在现实生活中，概率的应用无处不在，从天气预报到股票市场，从赌博到医学诊断，概率都起着重要的作用。

为了更好地理解和掌握概率知识，设计概率知识点归纳图是一种有效的方式。

本文将介绍设计概率知识点归纳图的重要性以及归纳图的设计要点。

一、设计概率知识点归纳图的重要性设计概率知识点归纳图有助于学生整合和归纳所学的知识点，形成全面的概率概念框架，提高对概率的理解和运用能力。

概率知识庞杂而繁琐，通过归纳图的形式将各个知识点连接起来，可以帮助学生更好地理解概率理论的内在逻辑关系。

同时，归纳图的形式生动直观，易于记忆和回顾，有助于学生的知识点掌握和复习。

二、归纳图的设计要点1. 主题确定在设计概率知识点归纳图时，首先确定一个明确的主题来归纳相关的概率知识点。

主题可以是某一类概率实验、概率分布、概率计算方法等。

例如，可以选择“概率计算方法”作为主题，然后将各种概率计算方法的具体内容进行归纳和总结。

2. 整体框架在归纳图的设计中，整体框架应当清晰明了。

可以采用树状结构或者连续的箭头连接来展示各个知识点之间的关系。

在整体框架中，可以恰当地运用颜色、图标等元素，增加知识点之间的相关性和概括性，使整体框架更加直观和易于理解。

3. 分支和子分支在主题的基础上，将各个相关的知识点作为分支呈现在归纳图中。

分支要有条理，以便学生能够清晰地看到各个知识点之间的联系和层次。

可以根据知识点的难易程度和逻辑关系进行分支的划分，然后在各个分支下再添加相应的子分支，进一步细化各个知识点。

4. 关键词和图例为了使归纳图更加易读和易懂，应当选取一些关键词或者图例来解释和说明各个知识点的含义和特点。

关键词可以是概率的定义、公式的应用、实例的解析等。

图例可以是颜色、图标、符号等，用来标示各个知识点的分类和属性。

5. 图形布局和排版归纳图的图形布局和排版要整洁美观，信息清晰。

可以运用层级结构、等距设计等方法，使得整个归纳图的视觉效果更加舒适和美观。