中山大学2019高数上期末考试A卷试题与答案

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．利用泰勒公式求下列极限：⑴ 30sin lim ;x x x x →- ⑵ tan 0e 1lim ;x x x →- (3) 21lim[ln(1)].x x x x→∞-+ 解：⑴ 34sin 0()3!x x x x =-+ 343300[0()]sin 13!lim lim 6x x x x x x x x x x →→--+-∴== ⑵tan 2e 1tan 0(tan )x x x =++tan 200e 11tan 0(tan )1lim lim 1x x x x x x x→→-++-∴== (3) 令1x t=,当x →∞时，0t →， 2222022011111lim[2ln(1)]lim[ln(1)]lim{[()]}21()1lim().22x t t t t x x t t o t x t t t t o t t →∞→∞→→-+=-+=--+=-=2．求下列幂级数的收敛半径及收敛域：(1)x +2x 2+3x 3+…+nx n +…； (2)1!nn x n n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑； (3)21121n n x n -∞=-∑； (4)()2112n n x n n ∞=-⋅∑； 解：(1)因为11lim lim 1n n n n a n a n ρ+→∞→∞+===，所以收敛半径11R ρ==收敛区间为(-1,1)，而当x =±1时，级数变为()11n n n ∞=-∑，由lim(1)0n x n n →-≠知级数1(1)n n n ∞=-∑发散，所以级数的收敛域为(-1,1)． (2)因为()()1111!11lim lim lim lim e 1!11n n n n n n n n n n a n n n a n n n n ρ-+-+→∞→∞→∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫==⋅===+ ⎪⎢⎥ ⎪+⎝⎭+⎝⎭⎣⎦ 所以收敛半径1e R ρ==，收敛区间为(-e,e)．当x =e 时，级数变为1e n n n n n ∞=∑；应用洛必达法则求得()10e e 1lim 2xx x x →-+=-，故有111lim 12n n n a n a +→∞⎛⎫-=-< ⎪⎝⎭由拉阿伯判别法知，级数发散；易知x =-e 时，级数也发散，故收敛域为(-e,e)．(3)级数缺少偶次幂项．根据比值审敛法求收敛半径．211212221lim lim 2121lim21n n n n n nn U x n U n x n x n x ++-→∞→∞→∞-=⋅+-=⋅+= 所以当x 2<1即|x |<1时，级数收敛，x 2>1即|x |>1时，级数发散，故收敛半径R =1． 当x =1时，级数变为1121n n ∞=-∑，当x =-1时，级数变为1121n n ∞=--∑，由1121lim 012n n n →∞-=>知，1121n n ∞=-∑发散，从而1121n n ∞=--∑也发散，故原级数的收敛域为(-1,1)． (4)令t =x -1，则级数变为212n n t n n ∞=⋅∑，因为()()2122lim lim 1211n n n n a n n a n n ρ+→∞→∞⋅===⋅++ 所以收敛半径为R =1．收敛区间为 -1<x -1<1 即0<x <2.当t =1时，级数3112n n ∞=∑收敛，当t =-1时，级数()31112n n n ∞=-⋅∑为交错级数，由莱布尼茨判别法知其收敛．所以，原级数收敛域为 0≤x ≤2，即[0,2]3．求下列各曲线所围图形的面积： （1） y =12x 2 与x 2+y 2=8(两部分都要计算)； 解：如图D 1=D 2解方程组⎩⎨⎧y =12x 2x 2+y 2=8得交点A (2，2) (1)D 1=⎠⎛02⎝⎛⎭⎫8-x 2-12x 2d x =π+23 ∴ D 1+D 2=2π+43, D 3+D 4=8π-⎝⎛⎭⎫2π+43=6π-43．。

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．求数列的最大的项.解：令y =y '===令0y '=得x =1000.因为在(0，1000)上0y '>，在(1000,)+∞上0y '<, 所以x =1000为函数y的极大值点，也是最大值点，max (1000)2000y y ==.故数列1000n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的最大项为1000a =.2．将()2132f x x x =++展开成(x +4)的幂级数． 解：21113212x x x x =-++++ 而()()()011113411431314413334713nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-⋅+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<∑∑又()()()0101122411421214412224622nn nn n x x x x x x x ∞=∞+==+-++=-+-+⎛+⎫⎛⎫=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=--<<-∑∑所以()()()()()2110011013244321146223n nn n n n nn n n f x x x x x x x ∞∞++==∞++==++++=-+⎛⎫=-+-<<- ⎪⎝⎭∑∑∑3．将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间： (1)f (x ) = ln(2+x )； (2)f (x ) = cos 2x ； (3)f (x )=(1+x )ln(1+x )； (4)()2f x =；(5)()23xf x x =+； (6)()()1e e 2x xf x -=-； 解：(1)()()ln ln 2ln 2ln 11222x x f x x ⎛⎫⎛⎫===++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于()()0ln 111nnn x x n ∞==+-+∑，(-1<x ≤1)故()()110ln 11221n nn n x x n +∞+=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭+∑，(-2≤x ≤2)因此()()()11ln ln 22121n nn n x x n +∞+==++-+∑，(-2≤x ≤2) (2)()21cos 2cos 2x f x x +==由()()20cos 1!2nnn x x n ∞==-∑，(-∞<x <+∞)得()()()()()220042cos 211!!22n n n nn n n x x x n n ∞∞==⋅==--∑∑ 所以()()22011()cos cos 222114122!2n nn n f x x x x n ∞===+⋅=+-∑，(-∞<x <+∞) (3)f (x ) = (1+x )ln(1+x ) 由()()()1ln 111n nn x x n +∞==+-+∑，(-1≤x ≤1)所以()()()()()()()()()()()()()1120111111111111111111111111111n nn n n nn n n n n nn n n n n n n n n n x f x x n x x n n x x x n n n n x xn n x xn n +∞=++∞∞==++∞∞+==+∞+=-∞+==+-+=+--++=++--+++--=+⋅+-=++∑∑∑∑∑∑∑ (-1≤x ≤1)(4)()22f x x ==()()()21!!2111!!2nnn n x n ∞=-=+-∑ (-1≤x ≤1)故()()()()221!!2111!!2n n n n x f x x n ∞=⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭∑ ()()()()2211!!211!!2n n n n x x n ∞+=-=+-∑ (-1≤x ≤1)(5)()()()(220211131313313nn n n nn n x f x x x x x x ∞=+∞+==⋅+⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭=-<∑∑(6)由0e !nxn x n ∞==∑，x ∈(-∞,+∞)得()01e!n nxn x n ∞-=⋅-=∑，x ∈(-∞,+∞)所以()()()()()()0002101e e 2112!!1112!,!21x x n n n n n n n n n n f x x x n n x n x x n -∞∞==∞=+∞==-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭=⋅⎡⎤--⎣⎦=∈-∞+∞+∑∑∑∑4．证明，若21n n U ∞=∑收敛，则1nn U n∞=∑绝对收敛． 证：∵222211111222n n n nU U n U U n n n+=⋅≤=+⋅而由21nn U∞=∑收敛，211n n∞=∑收敛，知22111122n n U n ∞=⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭∑收敛，故1n n U n ∞=∑收敛， 因而1nn U n ∞=∑绝对收敛．5．解：1211111R ()()(1)!2(1)!2n n n n n +++=++++=12111111()[1()](1)!222(2)(3)2n n n n n ++++++++122111111()[1()](1)!212(1)2n n n n +<++++++1111()1(1)!212(1)n n n +=+-+11()!(21)2n n n =+从而 111()!(21)2n n R n n +<+6．求下列函数在[－a ，a ]上的平均值：(1)()f x =解：200111π1.arcsin 2422aa a a x y x x a a a a -⎡====+⎢⎣⎰⎰ (2) 2().f x x =解：2223001111d d .233aa a a a y x x x x x a a a -⎡⎤====⎢⎥⎣⎦⎰⎰7．证明：无穷积分敛散性的比较判别法的极限形式，即节第六节定理2. 证明：如果|()|lim0()x f x g x ρ→+∞=≠，那么对于ε(使0ρε->),存在x 0，当0x x ≥时|()|0()f xg x ρερε<-<<+ 即 ()()|()|()()g x f x g x ρερε-<<+ 成立，显然()d ag x x +∞⎰与|()|d af x x +∞⎰同进收敛或发散.如果0ρ=，则有|()|()f x g x ε<, 显然()d ag x x +∞⎰收敛, 则|()|d af x x +∞⎰亦收敛.如果ρ=+∞，则有|()|()()f x g x ρε>-，显然()d ag x x +∞⎰发散，则|()|d af x x +∞⎰亦发散.习题五8．用定义判断下列广义积分的敛散性，若收敛，则求其值：22π11(1)sin d x x x+∞⎰; 解：原式=22ππ1111lim sin d lim cos lim cos1.b bb b b x bx x →+∞→+∞→+∞⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎰ 2d (2);22xx x +∞-∞++⎰解：原式=02200d(1)d(1)arctan(1)arctan(1)(1)1(1)1x x x x x x +∞+∞-∞-∞+++=+++++++⎰⎰πππππ.4242⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭(3)e d n x x x +∞-⎰(n 为正整数)解：原式=10e d deen x n xn xn x x x x +∞+∞+∞----+-=-⎰⎰100e d !e d !n x x n x x n x n +∞+∞---=+===⎰⎰(4)(0)a a >⎰;解：原式=00000πlim lim arcsin lim arcsin .12a a xa a εεεεεε+++--→→→⎛⎫===- ⎪⎝⎭⎰e1(5)⎰;解：原式=()e e 0110πlim arcsin(ln )lim lim arcsin .ln(e )2x εεεεεε+++--→→→===-⎰1(6)⎰.解：原式=110+⎰2121221111202lim 2lim πππlim lim 2222π.424εεεεεε++-→→→→=+⎛⎫=+=⋅+=- ⎪⎝⎭⎰⎰9．已知201(2),(2)0,()d 12f f f x x '===⎰, 求120(2)d x f x x ''⎰.解：原式=11122000111d (2)2(2)d (2)222x f x xf x x x f x ''='-⎰⎰11100012001111(2)d (2)0(2)d (2)22221111(2)(2)d(2)1()d 1402444f x f x f x x xf x f f x x f t t '=-=-+=-+=-+=-+⨯=⎰⎰⎰⎰10．证明下列等式：2321(1)()d ()d 2aa x f x x xf x x =⎰⎰ (a 为正常数)；证明：左222222000111()d()()d ()d 222a a a x t x f x x tf t t xf x x ====⎰⎰⎰ 令右所以，等式成立. (2)若()[,]f x C a b ∈，则ππ220(sin )d (cos )d f x x f x x =⎰⎰.证明：左πππ0222π02(cos )(d )(cos )d (cos )d x tf t t f t t f x x =--==⎰⎰⎰令.所以，等式成立.11．求下列不定积分：221(1)d (1)(1)x x x x ++-⎰; 解：原式=2111111d ln ln 1122122(1)(1)(1)x c x x x x x x ⎛⎫ ⎪-=++++-++ ⎪+++-⎝⎭⎰ 211ln .112c x x =++-+ 33d (2)1x x +⎰;解：原式=22211112d ln ln d 1122111x x x x x x x x x x x -+⎛⎫=-+++-+⎪-++-+⎝⎭⎰⎰c =+. 5438(3)d x x x x x+--⎰; 解：原式=2843d 111x x x x x x ⎛⎫+++-- ⎪+-⎝⎭⎰ 32118ln 4ln 3ln .1132x x x c x x x =+++--++- 26(4)d 1x x x +⎰;解：原式=33321d()1arctan .31()3x x c x =++⎰ sin (5)d 1sin xx x+⎰;解：原式=222sin 1d tan d (sec 1)d sec tan .cos cos x x x x x x x x x c x x -=--=-++⎰⎰⎰ cot (6)d sin cos 1xx x x ++⎰;解：原式22tan 222222212d 1111111d d d 22(1)22211111x t t t t t t t t t t t t t t t t t t =-⋅-++==-+⎛⎫-++⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰⎰令1111ln ln tan .tan 222222x x t c c t =-+=-+(7)x ;解：原式=2.c =+(8)x ;解：原式=2d 2ln 21x x x x x ⎛=+-+ ⎝⎰ 又2x2221d 44d 11t t t t t t =+--⎰⎰142ln1t t c c t -''=++=++故原式=1)x c -+.12．用分部积分法求下列不定积分：2(1)sin d x x x ⎰;解：原式=222dcos cos 2cos d cos 2dsin x x x x x x x x x x x -=-+⋅=-+⎰⎰⎰2cos 2sin 2cos .x x x x x c =-+++(2)e d x x x -⎰;解：原式=de e e d e e .x x x x x x x x x c ------=-+=--+⎰⎰(3)ln d x x x ⎰;解：原式=222211111ln d ln d ln 22224x x x x x x x x x c ⋅=-=-+⎰⎰. 2(4)arctan d x x x ⎰;解：原式=3332111arctan d arctan d 3331x x x x x x x =-+⎰⎰ 322111arctan ln(1).366x x x x c =-+++(5)arccos d x x ⎰;解：原式=arccos arccos x x x x x c +=.2(6)tan d x x x ⎰;解：原式=22211(sec 1)d d tan tan tan d 22x x x x x x x x x x x -=-=--⎰⎰⎰ 21tan ln .cos 2x x x c x =+-+(7)e cos d x x x -⎰;解：e cos d e dsin e sin e sin d x x x x x x x x x x ----==⋅+⎰⎰⎰e sin e dcos e sin e cos e cos d x x x x x x x x x x x -----=-=--⎰⎰∴原式=1e (sin cos ).2xx x c --+ (8)sin cos d x x x x ⎰;解：原式=1111sin 2d d cos 2cos 2cos 2d 2444x x x x x x x x x =-=-+⎰⎰⎰11cos 2sin 248x x x c =-++.32(ln )(9)d x x x ⎰;解：原式=332111(ln )d (ln )3(ln )d x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 32131(ln )(ln )6ln d x x x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭⎰321366(ln )(ln )ln .x x x c x x x x=----+(10)x .解：原式tan 23sec d .x a ta t t =⎰又 32sec d sec (tan 1)d tan d(sec )sec d t t t t t t t t t =+=+⎰⎰⎰⎰3tan sec sec d ln sec tan t t t t t t =⋅-++⎰所以 311sec d tan sec ln sec tan 22t t t t c t t '=+++⎰故11ln .22x c x =+13．用定积分的几何意义求下列积分值:1(1)2 d x x ⎰；解:由几何意义可知,该定积分的值等于由x 轴、直线x =1、y =2x 所围成的三角形的面积，故原式=1.(2)(0)x R >⎰.解：由几何意义可知，该定积分的值等于以原点为圆心，半径为R 的圆在第一象限内的面积，故原式=21π4R .14．将函数()0arctan d xtF t x t=⎰展开成x 的幂级数． 解：由于()21arctan 121n nn t t n +∞==-+∑所以()()()()()20002212000arctan d d 121d 112121n xx nn n n xnnn n t t F t tx t n t x t n n ∞=+∞∞====-+==--++∑⎰⎰∑∑⎰（|x |≤1）15．在半径为r 的球中内接一正圆柱体，使其体积为最大，求此圆柱体的高.解：设圆柱体的高为h ,，223πππ4V h r h h =⋅=-令0V '=,得.3h =时，其体积为最大.16．已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角ϕ=40°,如图所示.当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时,求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式,并指明其定义域.图1-1解:011()(2cot )(cot )22S h AD BC h h BC BC h BC h ϕϕ=+=++=+ 从而 0cot S BC h hϕ=-. 000()22cot sin sin 2cos 2cos 40sin sin 40L AB BC CD AB CD S h hBC h h S S h h h h ϕϕϕϕϕ=++==+=+---=+=+由00,cot 0S h BC h hϕ>=->得定义域为.17．设总收入和总成本分别由以下两式给出：2()50.003,()300 1.1R q q q C q q =-=+其中q 为产量，0≤q ≤1000，求：(1)边际成本；(2)获得最大利润时的产量；(3)怎样的生产量能使盈亏平衡？ 解：(1) 边际成本为：()(300 1.1) 1.1.C q q ''=+=(2) 利润函数为2()()() 3.90.003300() 3.90.006L q R q C q q q L q q=-=--'=-令()0L q '=,得650q = 即为获得最大利润时的产量. (3) 盈亏平衡时： R (q )=C (q ) 即 3.9q －0.003q 2－300=0 q 2－1300q +100000=0 解得q =1218(舍去)，q =82.18．曲线弧y =sin x (0<x <π)上哪一点处的曲率半径最小？求出该点的曲率半径. 解：cos ,sin y x y x '''==- .23/223/2(1cos )1sin ,sin (1cos )x x R k x R x +===+ 显然R 最小就是k 最大， 225/22cos (1sin )(1cos )x x k x +'=+令0k '=，得π2x =为唯一驻点. 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内，0k '>，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭内，0k '<.所以π2x =为k 的极大值点，从而也是最大值点，此时最小曲率半径为 23/2π2(1cos )1sin x x R x=+==.19．计算抛物线y =4x －x 2在它的顶点处的曲率. 解：y =－(x －2)2+4，故抛物线顶点为(2，4) 当x =2时， 0,2y y '''==- ， 故 23/22.(1)y k y ''=='+20．根据下面所给的值，求函数21y x =+的,d y y ∆及d y y ∆-： ⑴ 当1,0.1x x =∆=时； 解：2222()1(1)2210.10.10.21d 2210.10.2d 0.210.20.01.y x x x x x x y x x y y ∆=+∆+-+=∆+∆=⨯⨯+==⋅∆=⨯⨯=∆-=-=. ⑵ 当1,0.01x x =∆=时. 解：222210.010.010.0201d 2210.010.02d 0.02010.020.0001.y x x x y x x y y ∆=∆+∆=⨯⨯+==⋅∆=⨯⨯=∆-=-=21．已知()f x ''存在，求22d d yx：⑴ 2()y f x =； ⑵ ln ()y f x =. 解：⑴ 22()y xf x ''=222222()22() 2()4()y f x x xf x f x x f x '''''=+⋅'''=+⑵ ()()f x y f x ''=22()()[()]()f x f x f x y f x '''-''=22．求下列函数在指定点的高阶导数：⑴()f x =求(0)f ''；⑵ 21()e,x f x -=求(0)f ''，(0)f '''；⑶ 6()(10),f x x =+求(5)(0)f ，(6)(0)f .解： ⑴322()(1)f x x -'==- 5223()(1)22f x x x -''=--⋅故(0)0f ''=.⑵ 21()2ex f x -'=2121()4e ()8e x x f x f x --''='''=故4(0)e f ''=，8(0)ef '''=. ⑶ 5()6(10)f x x '=+43(4)2(5)(6)()30(10)()120(10)()360(10)()720(10)()720f x x f x x f x x f x x f x ''=+'''=+=+=+= 故(5)(0)720107200f=⨯=，(6)(0)720f =23．若11()e x x f x+=，求()f x '.解：令1t x=，则 1()e t tf t +=,即1()ex xf x +=121()e(1)x xf x x +'=-24．如果()f x 为偶函数，且(0)f '存在，证明：(0)0.f '= 证明：000()(0)()(0)(0)limlim()(0)lim (0),x x x f x f f x f f x xf x f f x∆→∆→∆→∆--∆-'==∆∆-∆-'=-=--∆故(0)0.f '=25．若()f x 在[,]a b 上连续，12n a x x x b <<<<<,证明:在1[,]n x x 中必有ξ，使12()()()()n f x f x f x f nξ+++=.证: 由题设知()f x 在1[,]n x x 上连续，则()f x 在1[,]n x x 上有最大值M 和最小值m ，于是12()()()n f x f x f x m M n+++≤≤,由介值定理知，必有1[,]n x x ξ∈，使12()()()()n f x f x f x f nξ+++=.习题二26．试证：方程21x x ⋅=至少有一个小于1的正根.证：令()21xf x x =⋅-，则()f x 在[0,1]上连续，且(0)10,(1)10f f =-<=>,由零点定理，(0,1)ξ∃∈使()0f ξ=即210ξξ⋅-= 即方程21x x ⋅=有一个小于1的正根.27．利用重要极限10lim(1)e uu u →+=，求下列极限：2221232cot 00113(1)lim ;(2)lim ;12(3)lim(13tan );(4)lim(cos 2);1(5)lim [ln(2)ln ];(6)lim.ln xx x x xx x x x x x x x x x xx x x x+→∞→∞→→→∞→+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭+-+-解：1112222111(1)lim lim e 1lim 11x xxx x x x x x →∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫====+++ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦1022121553555(2)lim lim lim 1112222x x x x x x x x x x x -++→∞→∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥-⎝⎭⎣⎦102551051055lim e 1e .1lim 122x x x x x -→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅=+⎢⎥ ⎪+⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦⎢⎥-⎝⎭⎣⎦ 22233112cot323tan 23tan 000(3)lim(13tan )lim e .lim(13tan )(13tan )xx x x x x x x x →→→⎡⎤⎡⎤+===+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦⎣⎦[][][]cos 211cos 212221cos 2121cos 2120220333ln ln cos21(cos21)03(cos21)ln 1(cos21)0cos213limlim ln 1(cos21)2sin 3limln lim (4)lim(cos 2)lim e lim elim ee e x x x x x x x x xx x x xx x x x x x x x x x x x x ----→→→→⎧⎫⎪⎪⎨⎬+-⎪⎪⎩⎭→→→-+-→-⋅+--⋅=====[]1cos 212201(cos21)sin 6ln e lim 6116eee .x x x x x -→⎧⎫⎪⎪⎨⎬+-⎪⎪⎩⎭⎛⎫-⋅⋅ ⎪-⨯⨯-⎝⎭===22222(5)lim [ln(2)ln ]lim 2ln lim 2ln 12222lim ln 2ln 1lim 12ln e 2.x x x x xxx x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞+⎛⎫+-=⋅⋅=+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅+ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭== (6)令1x t =+，则当1x →时，0t →.1110001111limlim 1.ln ln(1)ln eln lim ln(1)lim(1)x t tt t t x tx t t t →→→→-=-=-=-=-=-+⎡⎤++⎢⎥⎣⎦28．根据数列极限的定义证明:21313(1)lim0;(2)lim ;212(3)1;(4)lim 0.999 1.n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞-==+== 个证: (1)0ε∀>,要使22110n n ε=<-,只要n >.取N =,则当n>N 时,恒有210nε<-.故21lim 0n n →∞=. (2) 0ε∀>,要使555313,2(21)4212n n n n n ε-=<<<-++只要5n ε>,取5N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n>N 时,恒有313212n n ε-<-+.故313lim212n n n →∞-=+.(3) 0ε∀>,要使2221a n ε=<<,只要n >取n =,则当n>N 时,1ε<-,从而lim 1n n →∞=. (4)因为对于所有的正整数n ,有10.99991n <-个,故0ε∀>,不防设1ε<,要使1,0.999110n n ε=<-个只要ln ,ln10n ε->取ln ,ln10N ε-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则当n N >时,恒有,0.9991n ε<-个故lim 0.9991n n →∞=个.29．下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的?5122412(1)(1);(2)sin (12);1(3)(110);(4).1arcsin 2xy x y x y y x-=+=+=+=+解: (1)124(1)y x =+是由124,1y u u x ==+复合而成.(2)2sin (12)y x =+是由2,sin ,12y u u v v x ===+复合而成. (3)512(110)x y -=+是由152,1,10,w y u u v v w x ==+==-复合而成.(4)11arcsin 2y x=+是由1,1,arcsin ,2y u u v v w w x -==+==复合而成.30．试决定曲线y =ax 3+bx 2+cx +d 中的a ，b ，c ，d ，使得x =－2处曲线有水平切线，(1，－10)为拐点，且点(－2，44)在曲线上. 解：令f (x )= ax 3+bx 2+cx +d联立f (－2)=44，f ′(－2)=0，f (1)=－10，f ″(1)=0 可解得a =1，b =－3，c =－24，d =16.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题 1．无 2．无3．无4．无5．无6．无7．无8．无9．无10．无11．无12．无13．无14．无15．无16．无17．无18．无19．无20．无21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无29．无30．无。

2019-2020学年高三第一学期期末数学试卷（文科）一、选择题1．集合A＝{x|x2﹣5x+6≥0}，B＝{x|2x﹣1＞0}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，2]∪[3，+∞）B．（）C．（] D．（，2]∪[3，+∞）2．已知i是虚数单位，复数z满足，则|z+3|＝（）A．B．C．D．53．计算sin133°cos197°+cos47°cos73°的结果为（）A．B．C．D．﹣4．“k＝0”是“直线x﹣ky﹣1＝0与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2═1相切”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．②④6．若a＝log63，b＝log105，c＝log147，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．c＞b＞a7．如图是某公司2018年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率的高低，如10月份销售任务是400台，完成率为90%．则下列叙述不正确的是（）A．2018年3月的销售任务是400台B．2018年月销售任务的平均值不超过600台C．2018年第一季度总销售量为830台D．2018年月销售量最大的是6月份8．已知x，y满足不等式组，则z＝|x+y﹣1|的最小值为（）A．2 B．C．D．19．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（{A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最小正周期是π，若f（α）＝1，则f（α+）＝（）A．﹣2 B．﹣C．1 D．﹣110．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥现有一如图所示的堑堵，AC⊥BC，若A1A＝AB＝2，当阳马B﹣A1ACC1体积最大时，则堑堵ABC﹣A1B1C1的外接球的体积为（）A．B．C．D．11．已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，若S2+a2＝S3﹣3，则a4+3a2的最小值为（）A．9 B．12 C．16 D．1812．已知函数（其中无理数e＝2.718…），关于x的方程有四个不等的实根，则实数λ的取值范围是（）A．B．（2，+∞）C．D．二、填空题13．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4，a10是方程x2﹣8x+1＝0的两根，则：S13＝．14．如图所示，己知正方形ABCD，以对角线AC为一边作正三角形ACE，现向四边形区域ABCE 内投一点Q，则Q落在阴影部分的概率为．15．已知向量与的夹角是，且||＝|+|，则向量与的夹角是．16．已知函数，若有f（a）+f（a﹣2）＞4，则a的取值范围是．三、解答题17．设S n为数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a n+1＝2a n+1．（1）证明{a n+1}为等比数列．（2）判断n，a n，S n是否成等差数列？并说明理由．18．为检查某工厂所生产的8万台电风扇的质量，抽查了其中20台的无故障连续使用时限（单位：小时）如下：248 256 232 243 188 268 278 266 289 312274 296 288 302 295 228 287 217 329 283（1）完成下面的频率分布表，并作出频率分布直方图；（2）估计8万台电风扇中有多少台无故障连续使用时限不低于280小时；（3）用组中值（同一组中的数据在该组区间的中点值）估计样本的平均无故障连续使用时限．分组频数频率频率组距[180，200）[200，220）[220，240）[240，260）[260，280）[280，300）[300，320）[320，340]合计0.0519．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（1）若cos A：cos B：cos C＝2：2：7，求sin B；（2）若sin A：cos B：tan A＝2：2：7，试判断△ABC的形状．20．如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1﹣ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE．（1）证明：BE⊥平面D1AE；（2）设F为CD1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使得MF∥平面D1AE，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．21．已知函数已知函数f（x）＝（x﹣2）e x，其中e为自然对数的底数．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若都有x﹣lnx+a＞f（x），求证：a＞﹣4．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．在直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后得到曲线C2，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线C3的极坐标方程为ρ＝﹣2sinθ．（1）求出曲线C2，C3的参数方程；（2）若P，Q分别是曲线C2，C3上的动点，求|PQ|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值．（2）在（1）的条件下，若存在实数x使f（x）+f（﹣x）≤m成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A＝{x|x2﹣5x+6≥0}，B＝{x|2x﹣1＞0}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，2]∪[3，+∞）B．（）C．（] D．（，2]∪[3，+∞）【分析】解不等式得集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．解：集合A＝{x|x2﹣5x+6≥0}＝{x|x≤2或x≥3}，B＝{x|2x﹣1＞0}＝{x|x＞}，则A∩B＝{x|＜x≤2或x≥3}＝（，2]∪[3，+∞）．故选：D．2．已知i是虚数单位，复数z满足，则|z+3|＝（）A．B．C．D．5【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简求得z，然后利用复数模的计算公式求|z+3|．解：由，得z•i＝（1﹣i）（3+2i）＝5﹣i，∴z＝，则z+3＝2﹣5i，∴|z+3|＝|2﹣5i|＝．故选：A．3．计算sin133°cos197°+cos47°cos73°的结果为（）A．B．C．D．﹣【分析】利用应用诱导公式、两角差的正弦公式化简三角函数式，可得结果．解：sin133°cos197°+cos47°cos73°＝sin47°（﹣cos17°）+cos47°sin17°＝sin（17°﹣47°）＝sin（﹣30°）＝﹣，故选：B．4．“k＝0”是“直线x﹣ky﹣1＝0与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2═1相切”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】由直线和圆相切则圆心到直线的距离等于半径可得k的值，进而由充要条件的定义可作出判断．解：由点到直线的距离公式可得：圆心（2，1）到直线x﹣ky﹣1＝0的距离d＝，解得k＝0．故“k＝0”是“直线x﹣ky﹣1＝0与圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1相切”的充要条件．故选：C．5．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（）A．①③B．②③C．①④D．②④【分析】对于①，可以构造面面平行，考虑线面平行定义；对于②，考虑线面平行的判定及定义；对于③，可以用线面平行的定义及判定定理判断；对于④，用线面平行的判定定理即可．解：对图①，构造AB所在的平面，即对角面，可以证明这个对角面与平面MNP，由线面平行的定义可得AB∥平面MNP．对图④，通过证明AB∥PN得到AB∥平面MNP；对于②、③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行；故选：C．6．若a＝log63，b＝log105，c＝log147，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．c＞b＞a【分析】令f（x）＝＝1﹣log x2＝1﹣在x＞2时单调递增，即可得出．解：令f（x）＝＝1﹣log x2＝1﹣在x＞2时单调递增，∴log63＜log105＜log147，则a＜b＜c，故选：D．7．如图是某公司2018年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率的高低，如10月份销售任务是400台，完成率为90%．则下列叙述不正确的是（）A．2018年3月的销售任务是400台B．2018年月销售任务的平均值不超过600台C．2018年第一季度总销售量为830台D．2018年月销售量最大的是6月份【分析】由频率分布折线图、密度曲线逐一检验即可得解．解：由图可知：①选项A正确，②2018年月销售任务的平均值为＜600，故选项B正确，③2018年第一季度总销售量为300×0.5+200×1+400×1.2＝830，故选项C正确，④2018年月销售量最大的是5月份为800台，故选项D不正确，综合①②③④得：选项D不正确，故选：D．8．已知x，y满足不等式组，则z＝|x+y﹣1|的最小值为（）A．2 B．C．D．1【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．解：由x，y满足不等式组，作出可行域如图，由可行域可知A（5，3），B（2，0），u＝x+y﹣1的最大值为：7，最小值为：1，则z＝|x+y﹣1|的最小值为：1．故选：D．9．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（{A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最小正周期是π，若f（α）＝1，则f（α+）＝（）A．﹣2 B．﹣C．1 D．﹣1【分析】根据函数f（x）的周期求出ω的值，再化简f（α+）并求值．解：因为函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的周期为T＝＝π，∴ω＝2，∴f（x）＝A sin（2x+φ），又f（α）＝A sin（2α+φ）＝1，∴f（α+）＝A sin[2（α+）+φ]＝A sin（2α+3π+φ）＝﹣A sin（2α+φ）＝﹣1．故选：D．10．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥现有一如图所示的堑堵，AC⊥BC，若A1A＝AB＝2，当阳马B﹣A1ACC1体积最大时，则堑堵ABC﹣A1B1C1的外接球的体积为（）A．B．C．D．【分析】设AC＝x，BC＝y，由阳马B﹣A1ACC1体积最大，得到AC＝BC＝，由此能求出堑堵ABC﹣A1B1C1的外接球的体积．解：设AC＝x，BC＝y，由题意得x＞0，y＞0，x2+y2＝4，∵当阳马B﹣A1ACC1体积最大，∴V＝×2x×y＝xy取最大值，∵xy≤＝2，当且仅当x＝y＝时，取等号，∴当阳马B﹣A1ACC1体积最大时，AC＝BC＝，以CA、CB、CC1为棱构造长方体，则这个长方体的外接球就是堑堵ABC﹣A1B1C1的外接球，∴堑堵ABC﹣A1B1C1的外接球的半径R＝＝，∴堑堵ABC﹣A1B1C1的外接球的体积V＝＝．故选：B．11．已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，若S2+a2＝S3﹣3，则a4+3a2的最小值为（）A．9 B．12 C．16 D．18【分析】根据题意，分析可得S2+a2＝S3﹣3⇒a3﹣a2＝3，变形可得a2＝，进而可得a4+3a2＝3（q﹣1）++6，结合基本不等式的性质分析可得答案．解：根据题意，等比数列{a n}中，若S2+a2＝S3﹣3，则S3﹣S2＝a2+3，即a3﹣a2＝3，变形可得：a2（q﹣1）＝3，即a2＝，必有q＞1，又由a4+3a2＝a2q2+3a2＝a2（q2+3）＝×（q2+3）＝＝3（q﹣1）++6，又由q＞1，则3（q﹣1）++6≥2×+6＝18，当且仅当q＝3时等号成立；则a4+3a2的最小值为18；故选：D．12．已知函数（其中无理数e＝2.718…），关于x的方程有四个不等的实根，则实数λ的取值范围是（）A．B．（2，+∞）C．D．【分析】求导数，确定函数的单调性，可得x＝2时，函数取得极小值，关于x的方程有四个相异实根，则t+＝λ的一根在（0，），另一根在（，+∞）之间，再由对勾函数的单调性即可得出结论．解：由题意，函数的导数为f′（x）＝，∴0＜x＜2时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，x＜0或x＞2时，f′（x）＞0，函数单调递增，∴x＝2时，函数取得极小值，关于x的方程x的方程有四个相异实根，设t＝，则t+＝λ的一根在（0，），另一根在（，+∞）之间，∴y＝t+在t＝处取得最小值+，∴λ＞+，故选：C．二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4，a10是方程x2﹣8x+1＝0的两根，则：S13＝52 ．【分析】可得a4+a10＝8，结合{a n}为等差数列，即可求得结论解：∵a4，a10是方程x2﹣8x+1＝0的两根，∴a4+a10＝8，∴a4+a10＝2a7＝8∴S13＝13a7＝52，故答案为：52．14．如图所示，己知正方形ABCD，以对角线AC为一边作正三角形ACE，现向四边形区域ABCE 内投一点Q，则Q落在阴影部分的概率为．【分析】设正方形ABCD的边长为，则正△ACE的边长为2，分别求出四边形ABCE的面积及阴影部分的面积，由测度比为面积比得答案．解：设正方形ABCD的边长为，则正△ACE的边长为2，则正方形ABCD的面积为2，三角形ACD的面积为1，正三角形ACE的面积为．∴阴影部分的面积为，则四边形ABCE的面积为．∴向四边形区域ABCE内投一点Q，则点Q落在阴影部分的概率为．故答案为：2﹣．15．已知向量与的夹角是，且||＝|+|，则向量与的夹角是120°．【分析】根据平面向量的数量积与夹角、模长公式，计算即可．解：向量与的夹角是，且||＝|+|，∴＝+2•+，∴2•+＝0，即2||×||×cos+＝0，化简得||＝||，∴cosθ＝＝＝＝﹣，∴向量与+的夹角是120°．故答案为：120°．16．已知函数，若有f（a）+f（a﹣2）＞4，则a的取值范围是（1，+∞）．【分析】令函数，分析函数的单调性和奇偶性，可得f（a）+f（a﹣2）＞4，即a＞2﹣a．解得答案．解：令函数，满足g（﹣x）＝﹣g（x），为奇函数，故f（a）+f（a﹣2）＞4，可化为：g（a）+g（a﹣2）＞0，即g（a）＞﹣g（a﹣2）＝g（2﹣a），又由＝1﹣为增函数，故a＞2﹣a．解得：a∈（1，+∞）故答案为：（1，+∞）三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设S n为数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a n+1＝2a n+1．（1）证明{a n+1}为等比数列．（2）判断n，a n，S n是否成等差数列？并说明理由．【分析】（1）由题意可得首项，将等式两边加1，结合等比数列的定义，即可得证；（2）由等比数列的通项公式和求和公式，结合等差数列的中项性质，可得结论．解：（1）证明：a2＝3，a n+1＝2a n+1，可得a1＝1，即有a n+1+1＝2（a n+1），则{a n+1}为首项为1，公比为2的等比数列；（2）由（1）可得a n+1＝2n，即有a n＝2n﹣1，S n＝﹣n＝2n+1﹣2﹣n，由n+S n﹣2a n＝n+2n+1﹣2﹣n﹣2（2n﹣1）＝0，可得n，a n，S n成等差数列．18．为检查某工厂所生产的8万台电风扇的质量，抽查了其中20台的无故障连续使用时限（单位：小时）如下：248 256 232 243 188 268 278 266 289 312274 296 288 302 295 228 287 217 329 283（1）完成下面的频率分布表，并作出频率分布直方图；（2）估计8万台电风扇中有多少台无故障连续使用时限不低于280小时；（3）用组中值（同一组中的数据在该组区间的中点值）估计样本的平均无故障连续使用时限．分组频数频率频率组距[180，200）[200，220）[220，240）[240，260）[260，280）[280，300）[300，320）[320，340]合计0.05【分析】（1）先将数据从小到大排序，然后进行分组，找出频数，求出频率，立出表格即可．先建立直角坐标系，按频率分布表求出频率/组距，得到纵坐标，画出直方图即可．（2）由于8×（0.30+0.10+0.05）＝3.6万．从而估计8万台电扇中有3.6万台无故障连续使用时限会超过280小时．（3）先计算出数据的平均数，利用样本的频率分布估计总体分布得出样本的平均无故障连续使用时限即可．解：（1）分组频数频率频率组距[180，200） 1 0.05 0.0025[200，220） 1 0.05 0.0025[220，240） 2 0.10 0.0050[240，260） 3 0.15 0.0075[260，280） 4 0.20 0.0100[280，300） 6 0.30 0.0150[300，320） 2 0.10 0.0050[320，340） 1 0.05 0.0025合计20 1.00 0.05（2）8×（0.30+0.10+0.05）＝3.6万．答：估计8万台电扇中有3.6万台无故障连续使用时限会超过280小时．（3）＝190×0.05+210×0.05+230×0.1+250×0.15+270×0.2+290×0.3+310×0.1+330×0.05＝269（小时）．答：样本的平均无故障连续使用时限为269小时．19．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（1）若cos A：cos B：cos C＝2：2：7，求sin B；（2）若sin A：cos B：tan A＝2：2：7，试判断△ABC的形状．【分析】（1）由题意可得，设cos A＝cos B＝2x，cos C＝7x，且C＜A＝B＜，利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式可求1﹣4x2﹣4x2＝7x，解得x，可得cos A＝cos B＝，利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值．（2）由题意可得，设sin A＝cos B＝2x，tan A＝7x，且A，B均小于，由sin A＝tan A•cos A，可得2x＝7x•，解得x的值可得sin A＝cos B＝，cos A＝sin B＝，利用两角和的余弦函数公式可求cos C＝0，可得C为直角，可得△ABC为直角三角形．解：（1）由题意可得，设cos A＝cos B＝2x，cos C＝7x，且C＜A＝B＜，cos C＝cos（π﹣2A）＝﹣cos2A＝sin2A﹣cos2A，可得1﹣4x2﹣4x2＝7x，解得x＝，可得cos A＝cos B＝，可得sin B＝＝，（2）由题意可得，设sin A＝cos B＝2x，tan A＝7x，且A，B均小于，由sin A＝tan A•cos A，可得2x＝7x•，解得x＝，可得sin A＝cos B＝，cos A＝sin B＝，可得cos C＝cos A cos B﹣sin A sin B＝0，可得C为直角，△ABC为直角三角形．20．如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，将△ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1﹣ABCE，其中平面D1AE⊥平面ABCE．（1）证明：BE⊥平面D1AE；（2）设F为CD1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使得MF∥平面D1AE，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出BE⊥AE，再根据面面垂直的性质得出BE⊥平面D1AE；（2）取D1E中点N，连接AN，FN，则FN，由线面平行的性质即可得出FM∥AN，故而AM＝FN＝．【解答】（1）证明：连接BE，∵ABCD为矩形且AD＝DE＝EC＝2，∴AE＝BE＝2，AB＝4，∴AE2+BE2＝AB2，∴BE⊥AE，又D1AE⊥平面ABCE，平面D1AE∩平面ABCE＝AE，∴BE⊥平面D1AE．（2）＝．取D1E中点N，连接AN，FN，∵FN∥EC，EC∥AB，∴FN∥AB，且FN＝＝AB，∴M，F，N，A共面，若MF∥平面AD1E，则MF∥AN．∴AMFN为平行四边形，∴AM＝FN＝．∴＝．21．已知函数已知函数f（x）＝（x﹣2）e x，其中e为自然对数的底数．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若都有x﹣lnx+a＞f（x），求证：a＞﹣4．【分析】（1）先求导，根据导数和函数的单调性和最值的关系即可求出，（2）分离参数，可得a＞（x﹣2）e x﹣x+lnx，构造函数g（x）＝（x﹣2）e x﹣x+lnx，x ∈（，1），利用导数可以得到存在唯一x0∈（，1）使得h（x0）＝x0﹣1＝0，且g（x）max＝g（x0）＝1﹣﹣﹣x0+lnx0，再构造函数，利用导数求出函数最大值即可．【解答】（1）解：∵f（x）＝（x﹣2）e x，∴f′（x）＝（x﹣1）e x，∴当x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，∴当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）min＝f（1）＝﹣e，（2）证明：∵∀x∈（），都有x﹣lnx+a＞f（x），∴a＞（x﹣2）e x﹣x+lnx，设g（x）＝（x﹣2）e x﹣x+lnx，x∈（，1），∴g′（x）＝（x﹣1）e x﹣1+＝（x﹣1）e x﹣＝（x﹣1）（e x﹣）＝（x﹣1）•，令h（x）＝xe x﹣1，x∈（，1），∴h′（x）＝（x+1）e x＞0，∴h（x）在（，1）上单调递增，∵h（1）＝e﹣1＞0，h（）＝﹣1＜0，∴存在唯一x0∈（，1）使得h（x0）＝x0﹣1＝0，∴当x∈（，x0）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，当x∈（x0，1）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，∴g（x）max＝g（x0）＝（x0﹣2）﹣x0+lnx0＝（x0﹣2）﹣x0+lnx0＝1﹣﹣﹣x0+lnx0，令φ（x）＝1﹣﹣﹣x+lnx，x∈（，1），∴φ′（x）＝﹣1+＝＝﹣＞0，∴φ（x）在（，1）上单调递增，∴φ（x）＜φ（1）＝1﹣2﹣1+ln1＝﹣2，∴g（x）＜﹣2，∴a＞﹣2，∴a＞﹣4．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．在直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后得到曲线C2，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线C3的极坐标方程为ρ＝﹣2sinθ．（1）求出曲线C2，C3的参数方程；（2）若P，Q分别是曲线C2，C3上的动点，求|PQ|的最大值．【分析】（1）先求出曲线C2的方程为+y2＝1，由此能求出曲线C2的参数方程；曲线C3的极坐标方程转化为ρ2＝﹣2ρsinθ，从而求出曲线C3的直角坐标方程，由此能求出曲线C3的参数方程．（2）设P（2cosα，sinα），则P到曲线C3的圆心（0，﹣1）的距离：d＝＝．由此能求出|PQ|的最大值．解：（1）曲线经过伸缩变换后得到曲线C2，∴曲线C2的方程为+y2＝1∴曲线C2的参数方程为，（α为参数）．∵曲线C3的极坐标方程为ρ＝﹣2sinθ．即ρ2＝﹣2ρsinθ，∴曲线C3的直角坐标方程为x2+y2＝﹣2y，即x2+（y+1）2＝1，∴曲线C3的参数方程为，（β为参数）．（2）设P（2cosα，sinα），则P到曲线C3的圆心（0，﹣1）的距离：d＝＝．∵sinα∈[﹣1，1]，∴当sinα＝时，d max＝．∴|PQ|max＝d max+r＝+1＝．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集{x|﹣2≤x≤3}，求实数a的值．（2）在（1）的条件下，若存在实数x使f（x）+f（﹣x）≤m成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）由题意不等式f（x）≤6为|2x﹣a|≤6﹣a，利用绝对值的定义求出解集，从而求得a的值；（2）在（1）的条件下f（x）＝|2x﹣1|+1，问题化为求f（x）+f（﹣x）的最小值，利用绝对值不等式求出结果．解：（1）函数f（x）＝|2x﹣a|+a，则不等式f（x）≤6，即为|2x﹣a|≤6﹣a，等价于，解得a﹣3≤x≤3；又f（x）≤6的解集是{x|﹣2≤x≤3}，所以a﹣3＝﹣2，解得a＝1．（2）在（1）的条件下，f（x）＝|2x﹣1|+1，所以存在实数x使f（x）+f（﹣x）≤m成立，即|2x﹣1|+|2x+1|+2≤2，由于|2x﹣1|+|2x+1|≥|（2x﹣1）﹣（2x+1）|＝2，所以|2x﹣1|+|2x+1|的最小值为2，所以m≥4，即实数m的取值范围是[4，+∞）．。

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．一点沿曲线2cos r a ϕ=运动，它的极径以角速度ω旋转，求这动点的横坐标与纵坐标的变化率.解： 22cos 2cos sin sin 2x a y a a ϕϕϕϕ⎧=⎨==⎩d d d 22cos (sin )2sin 2,d d d d d d 2cos 22cos .d d d x x a a t ty y a a t tϕϕϕωωϕϕϕϕωωϕϕ=⋅=⋅⋅-⋅=-=⋅=⋅=2．求下列函数在[－a ，a ]上的平均值：(1)()f x =解：200111π1.arcsin 2422aa a a x y x x a a a a -⎡====+⎢⎣⎰⎰ (2) 2().f x x =解：2223001111d d .233aa a a a y x x x x x a a a -⎡⎤====⎢⎥⎣⎦⎰⎰3． 求下列各曲线所围图形的面积： （1）y =12x 2 与x 2+y 2=8(两部分都要计算)； 解：如图D 1=D 2解方程组⎩⎨⎧y =12x 2x 2+y 2=8得交点A (2，2)(1)D 1=⎠⎛02⎝⎛⎭⎫8-x 2-12x 2d x =π+23∴ D 1+D 2=2π+43,D 3+D 4=8π-⎝⎛⎭⎫2π+43=6π-43．（2）y =1x与直线y =x 及x =2；解： D 1=⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x -1x d x =⎣⎡⎦⎤12x 2-ln x 21=32-ln2.(2)（3）y =e x ，y =e -x 与直线x =1；解：D =⎠⎛01()e x -e -xd x =e+1e-2．(3)（4） y =ln x ，y 轴与直线y =ln a ，y =ln b ．(b>a>0)； 解：D =⎠⎛l n al n b e y d y =b -a ．(4)（5）抛物线y =x 2和y =-x 2+2；解：解方程组⎩⎨⎧y =x 2y =-x 2+2得交点 (1，1)，(-1，1) D =⎠⎛-11()-x 2+2-x 2d x =4⎠⎛01()-x 2+1d x =83．(5)（6）y =sin x ，y =cos x 及直线x =π4，x =94π；解：D =2⎠⎜⎜⎛π45π4(sin x -cos x )d x=2[]-cos x -sin x 5π4π4=42．(6)（7） 抛物线y =-x 2+4x -3及其在(0，-3)和(3，0)处的切线；解：y′=-2x +4． ∴y ′(0)=4，y ′(3)=-2．∵抛物线在点(0，-3)处切线方程是y =4x -3 在(3，0)处的切线是y =-2x +6 两切线交点是(32，3)．故所求面积为(7)()()()()()33222302332223024343d 2643d d 69d 9.4D x x x x x x x x x x x x x⎡⎤⎡⎤=---+-+-+--+-⎣⎦⎣⎦=+-+=⎰⎰⎰⎰（8） 摆线x =a (t -sin t )，y =a (1-cos t )的一拱 (0≤t ≤2π)与x 轴；解：当t =0时，x =0, 当t =2π时，x =2πa ．所以()()()2π2π002π2202d 1cos d sin 1cos d 3π.aS y x a t a t t at ta ==--=-=⎰⎰⎰(8)（9）极坐标曲线 ρ=a sin3φ；解：D =3D 1=3·a 22⎠⎜⎛0π3sin 23φd φ=3a 22 ·⎠⎜⎛0π3 1-cos6φ2d φ =3a 24 ·⎣⎡⎦⎤φ-16sin6φπ3=πa 24．(9)（10） ρ=2a cos φ；解：D =2D 1=2⎠⎜⎛0π212·4a 2·cos 2φd φ=4a 2⎠⎜⎛0π21+cos2φ2d φ =4a 2·12⎣⎡⎦⎤φ+12sin2φπ2=4a 2·12·π2=πa 2．(10)4．利用习题22(2)证明：ππ2200sin cos πd d sin cos sin cos 4x x x x x x x x ==++⎰⎰,并由此计算a⎰(a 为正常数)证明：由习题22(2)可知ππ2200sin cos d d sin cos sin cos x xx x x x x x=++⎰⎰又πππ222000sin cos πd d d .sin cos sin cos 2x x x x x x x x x +==++⎰⎰⎰故等式成立.a⎰πsin 20cos πd .sin cos 4x a tx t t t ==+⎰令5．利用被积函数奇偶性计算下列积分值（其中a 为正常数） (1)sin d ;||aa xx x -⎰解：因sin ||xx 为[－a , a ]上的奇函数， 故sin d 0.||aa xx x -=⎰(2)ln(a ax x -+⎰;解：因为ln(ln(x x -=-即被积函数为奇函数，所以原式=0.12212sin tan (3)d ln(1)3cos3x x x x x -⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦⎰;解：因为2sin tan 3cos3x xx+为奇函数，故原式=111222111222d 0ln(1)d ln(1)1xx x x x x x---++-=--⎰⎰()121231ln 3ln 2 1.ln 3ln 2ln(1)22x x -==----+-π242π23(4)sin d sin ln 3x x x x x -+⎛⎫+ ⎪-⎝⎭⎰.解：因为3ln 3xx+-是奇函数，故 原式=ππ6622π02531π5sin d 2sin d 2π642216x x x x -==⋅⋅⋅⋅=⎰⎰6．一平面曲线过点（1，0），且曲线上任一点（x , y ）处的切线斜率为2x －2，求该曲线方程.解：依题意知：22y x '=- 两边积分，有22y x x c =-+又x =1时，y =0代入上式得c =1，故所求曲线方程为221y x x =-+.7．作出下列函数的图形：2(1)()1xf x x =+； 解：函数的定义域为(－∞，+∞),且为奇函数,2222222223121(1)(1)2(3)(1)x x x y x x x x y x +--'==++-''=+令0y '=，可得1x =±， 令0y ''=，得x =0，列表讨论如下：函数有极大值1(1)2f=，极小值1(1)2f-=-，有3个拐点，分别为,4⎛-⎝⎭(0，0)，4⎭，作图如上所示.(2) f(x)=x－2arctan x解：函数定义域为(－∞，+∞)，且为奇函数,2222114(1)yxxyx'=-+''=+令y′=0，可得x=±1，令y″=0，可得x=0.列表讨论如下：又()2lim lim(1arctan)1x xf xxx x→∞→∞=-=且lim[()]lim(2arctan)πx xf x x x→+∞→+∞-=-=-故πy x=-是斜渐近线，由对称性知πy x=+亦是渐近线.函数有极小值π(1)12y=-，极大值π(1)12y-=-.(0，0)为拐点.作图如上所示.2(3) ()1xf xx=+；解：函数的定义域为,1x R x∈≠-.22232(1)(2)(1)(1)(1)2(1)x x x x xy xx xyx+-+'==≠-++''=+令0y'=得x=0，x=－2当(,2]x∈-∞-时，0,()y f x'>单调增加；当[2,1)x∈--时，0,()y f x'<单调减少；当(1,0]x∈-时，0,()y f x'<单调减少；当[0,)x ∈+∞时，0,()y f x '>单调增加, 故函数有极大值f (－2)=－4，有极小值f (0)=0又211lim ()lim1x x x f x x →-→-==∞+，故x =－1为无穷型间断点且为铅直渐近线. 又因()lim 1x f x x →∞=， 且2lim(())lim 11x x x f x x x x →∞→∞⎡⎤-==--⎢⎥+⎣⎦， 故曲线另有一斜渐近线y =x －1. 综上所述，曲线图形为：(4)2(1)ex y --=.解：函数定义域为(－∞，+∞) .22(1)(1)22(1)e e2(241)x x y x y x x ----'=--''=⋅-+令0y '=，得x =1. 令0y ''=，得1x =±当(,1]x ∈-∞时，0,y '>函数单调增加； 当[1,)x ∈+∞时，0,y '<函数单调减少；当2(,1[1,)22x ∈-∞-++∞时，0y''>，曲线是凹的； 当[1x ∈时，0y ''<，曲线是凸的, 故函数有极大值f (1)=1，两个拐点：1122(1,e ),(1)22A B ---+， 又lim ()0x f x →∞=，故曲线有水平渐近线y =0.图形如下：8．设y =f (x )在x =x 0的某邻域内具有三阶连续导数，如果00()0,()0f x f x '''==，而0()0f x '''≠，试问x =x 0是否为极值点?为什么？又00(,())x f x 是否为拐点？为什么？答：因00()()0f x f x '''==，且0()0f x '''≠，则x =x 0不是极值点.又在0(,)U x δ中，000()()()()()()f x f x x x f xx f ηη''''''''''=+-=-，故()f x ''在0x 左侧与0()f x '''异号，在0x 右侧与0()f x '''同号，故()f x 在x =x 0左、右两侧凹凸性不同，即00(,())x f x 是拐点.9．试证明：曲线211x y x -=+有三个拐点位于同一直线上. 证明：22221(1)x x y x -++'=+，y ''=令0y ''=，得1,22x x x =-=+=当(,1)x ∈-∞-时，0y ''<；当(1,2x ∈--时0y ''>；当(22x ∈-时0y ''<；当(2)x ∈++∞时0y ''>,因此，曲线有三个拐点(－1，－1)，11(244--+-+. 因为111212--+因此三个拐点在一条直线上.10．求下列曲线的拐点：23(1) ,3;x t y t t ==+解：22223d 33d 3(1),d 2d 4y t y t x t x t+-==令22d 0d yx=，得t =1或t =－1 则x =1，y =4或x =1，y =－4当t >1或t <－1时，22d 0d yx >，曲线是凹的，当0<t <1或－1<t <0时，22d 0d yx<，曲线是凸的，故曲线有两个拐点(1，4)，(1，－4). (2) x =2a cot θ， y =2a sin 2θ. 解：32d 22sin cos 2sin cos d 2(csc )y a x a θθθθθ⋅⋅==-⋅- 222442222d 11(6sin cos 2sin )sin cos (3tan )d 2(csc )y x a a θθθθθθ=-+⋅=⋅-- 令22d 0d y x =，得π3θ=或π3θ=-，不妨设a >0tan θ>>时，即ππ33θ-<<时，22d 0d y x >，当tan θ>tan θ<π3θ<-或π3θ>时，22d 0d y x <,故当参数π3θ=或π3θ=-时，都是y 的拐点，且拐点为3,2a ⎫⎪⎭及3,2a ⎛⎫⎪⎝⎭.11．求下列函数的极值: (1) 223y x x =-+；解: 22y x '=-,令0y '=，得驻点1x =.又因20y ''=>，故1x =为极小值点，且极小值为(1)2y =. (2) 3223y x x =-；解: 266y x x '=-,令0y '=，得驻点120,1x x ==,126y x ''=-,010,0x x y y ==''''<>,故极大值为(0)0y =，极小值为(1)1y =-. (3) 3226187y x x x =--+；解: 2612186(3)(1)y x x x x '=--=-+, 令0y '=，得驻点121,3x x =-=.1212y x ''=-,130,0x x y y =-=''''<>,故极大值为(1)17y -=，极小值为(3)47y =-.(4) ln(1)y x x =-+； 解: 1101y x'=-=+，令0y '=，得驻点0x =. 201,0(1)x y y x =''''=>+,故(0)0y =为极大值. (5) 422y x x =-+；解: 32444(1)y x x x x '=-+=-， 令0y '=，得驻点1231,0,1x x x =-==.210124, 0,0,x x y x y y =±=''''''=-+<>故(1)1y ±=为极大值，(0)0y =为极小值.(6) y x =+ 解: 1y '=-,令0y '=，得驻点13,4x =且在定义域(,1]-∞内有一不可导点21x =，当34x >时， 0y '<;当34x <时， 0y '>,故134x =为极大值点，且极大值为35()44y =. 因为函数定义域为1x ≤，故1x =不是极值点. (7)y =解:y '=,令0y '=，得驻点125x =.当125x >时， 0y '<；当125x <，0y '>,故极大值为12()5y =(8) 223441x x y x x ++=++；解: 2131x y x x +=+++,22(2)(1)x x y x x -+'=++, 令0y '=，得驻点122,0x x =-=.2223(22)(1)2(21)(2)(1)x x x x x x y x x --+++++''=++200,0x x y y =-=''''><,故极大值为(0)4y =，极小值为8(2)3y -=. (9) e cos xy x =；解: e (cos sin )xy x x '=-, 令0y '=，得驻点ππ (0,1,2,)4k x k k =+=±±. 2e sin x y x ''=-，ππ2π(21)π440,0x k x k y y =+=++''''<>，故2π2π 4k x k =+为极大值点，其对应的极大值为π2π42()e 2k k y x +=;21π(21)π 4k x k +=++为极小值点，对应的极小值为π(21)π421()k k y x +++=. (10) 1xy x =；解: 11211ln (ln )xx xy x x x x x-''==, 令0y '=，得驻点e x =.当e x >时， 0y '<，当e x <时， 0y '>, 故极大值为1e(e)e y =. (11) 2e e xxy -=+；解: 2e ex xy -'=-,令0y '=，得驻点ln 22x =-. ln 222e e ,0x x x y y -=-''''=+>,故极小值为ln 2()2y -=. (12) 232(1)y x =--； 解:y '=. y 的定义域为(,)-∞+∞，且y 在x =1处不可导，当x >1时0y '<，当x <1时， 0y '>，故有极大值为(1)2y =.(13) 1332(1)y x =-+； 解:y '=.无驻点.y 在1x =-处不可导，但y '恒小于0，故y 无极值. (14) tan y x x =+.解: 21sec 0y x '=+>, y 为严格单调增加函数，无极值点.12．⑴ 证明：不等式ln(1) (0)1xx x x x<+<>+ 证明：令()ln(1)f x x =+在[0，x]上应用拉格朗日定理，则(0,),x ξ∃∈使得()(0)()(0)f x f f x ξ'-=-即ln(1)1x x ξ+=+,因为0x ξ<<，则11x xx x ξ<<++ 即ln(1) (0)1xx x x x<+<>+ ⑵ 设0, 1.a b n >>>证明： 11()().n n n n nb a b a b na a b ---<-<-证明：令()nf x x =,在[b ，a]上应用拉格朗日定理，则(,).b a ξ∃∈使得1(), (,)n n n a b n a b b a ξξ--=-∈因为b a ξ<<,则111()()()n n n nb a b n a b na a b ξ----<-<-,即11()().n n n n nba b a b na a b ---<-<-⑶ 设0a b >>证明：ln .a b a a ba b b--<< 证明：令()ln f x x =在[b ，a]上应用拉格朗日定理，则(,).b a ξ∃∈使得1ln ln ()a b a b ξ-=-因为b a ξ<<，所以1111, ()a b a b a b a b a bξξ--<<<-<, 即ln a b a a b a b b --<<. ⑷ 设0x >证明：112x +>证明：令()f x =[0,]x x ∈,应用拉格朗日定理，有()(0)()(0), (0,)f x f f x x ξξ'-=-∈ ()()(0)f x f x f ξ'=⋅+112x=+<+即112x +>13．利用洛必达法则求下列极限： ⑴ πsin 3limtan 5x x x →; ⑵ 3π2ln sin lim (2)x xx π→-;⑶ 0e 1lim (e 1)x x x x x →---; ⑷ sin sin limx a x ax a→--;⑸ lim mmn n x a x a x a →--; ⑹ 1ln(1)lim cot x x arc x →+∞+; ⑺ 0ln lim cot x xx +→; ⑻ 0lim sin ln x x x +→;⑼ 0e 1lim()e 1x x x x →--; ⑽ 01lim(ln )xx x+→;⑾ 2lim (arctan )πxx x →+∞⋅; ⑿ 10lim(1sin )x x x →+;⒀ 0lim[ln ln(1)]x x x +→⋅+; ⒁lim )x x →+∞; ⒂ sin 0e e lim sin x x x x x →--; ⒃ 210sin lim()x x x x→; ⒄ 1101lim[(1)]ex x x x →+.解：⑴ 原式=2π3cos33lim5sec 55x x x →=-. ⑵ 原式=2ππ221cot 1csc 1limlim 4π-2428x x x x x →→--=-=--. ⑶ 原式=000e 1e 11lim lim lim e 1e 2e e 22x x x x x x x x x x x x →→→-===-+++.⑷ 原式=cos limcos 1x a xa →=.⑸ 原式=11limm m nn x a mx m a nx n---→=. ⑹ 原式=22221()11lim lim 111x x x x x x x x x →+∞→+∞⋅-++==+-+.⑺ 原式=22001sin lim lim 0csc x x x x x x ++→→=-=-. ⑻ 原式=001ln lim lim 0csc csc cot x x x x x x x++→→==-⋅. ⑼ 原式22200e e e e lim =lim (e 1)x x x x x x x x x x x →→----=-202e e 1=lim 2x x x x →--204e e 3=lim 22x x x →-=.⑽ 原式=0lim(1ln )xx x +→- 令(1ln )xy x =-00020011()ln(1ln )1ln lim ln lim lim 111lim lim 011ln x x x x x x x x y x xx x x+++++→→→→→⋅---==-===-- ∴原式=0lim e 1x y +→==. ⑾ 令2(arctan )πx y x =⋅，则2222211lnln arctan πarctan 1lim ln lim lim1112lim arctan 1πx x x x x x x y x x x x x →+∞→+∞→+∞→+∞+⋅+==-=-⋅=-+∴原式=2πe-.⑿ 令1(1sin )xy x =+，则000cos ln(1sin )1sin limln lim lim 11x x x xx x y x →→→++=== ∴原式=e =e '.⒀ 原式00ln lim(ln )lim1x x x x x x ++→→=⋅=0021=lim =lim()01x x x x x++→→-=- ⒁原式limx x→+∞=2234232311111=lim (1)(23)=33x x x x x x x x ----→+∞+++⋅++⋅ ⒂ 原式sin sin 0e (e 1)limsin x x x x x x -→-=-sin 00e (sin )=lim =e =1sin x x x x x x →⋅-- ⒃ 令12sin ()x x y x=，则200023002220011cos ln sin ln sin lim ln lim lim 2cos sin cos sin lim lim 2sin 2cos sin cos 1lim lim .666x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x xx x x x x x x x x x →→→→→→→--==--==---===-∴原式=16e-.⒄ 令111[(1)]e x xy x =+，则11ln [ln(1)1]x y x x=+-2000011ln(1)1lim ln lim lim 2111lim .212x x x x x xx y x x x →→→→-+-+===-=-+14．求正弦交流电0i I sin t ω=经过半波整流后得到电流0πsin ,0π2π0,I t t i t ωωωω⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩的平均值和有效值。

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．利用麦克劳林公式，按x 乘幂展开函数23()(31)f x x x =-+.解：因为()f x 是x 的6次多项式，所以 (4)(5)(6)23456(0)(0)(0)(0)(0)()(0)(0).2!3!4!5!6!f f f f f f x f f x x x x x x ''''''=++++++ 计算出：(0)1,(0)9,(0)60,(0)270f f f f ''''''==-==-，(4)(5)(6)(0)720,(0)1080,(0)720.f f f ==-=故23456()193045309.f x x x x x x x =-+-+-+2．将下列函数f (x )展开为傅里叶级数：(1)()()πππ42x f x x =--<<(2)()()sin 02πf x xx =≤≤ 解：(1) ()ππ0-ππ11ππcos d d ππ422x a f x nx x x -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰ []()ππππ-π-πππ1π11cos d cos d x cos d π4242π1sin 001,2,4n x a nx x nx x nx x nx n n--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-==⎰⎰⎰ ()ππππ-π-π1π11sin d sin d xsin d π4242π11n n x b nx x nx x nx x n-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-⋅⎰⎰⎰故()()1πsin 14n n nx f x n∞==+-∑ (-π<x <π) (2)所给函数拓广为周期函数时处处连续， 因此其傅里叶级数在[0,2π]上收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0,()ππ0πππ011cos0d sin d ππ24sin d ππa f x x x x x x x --====⎰⎰⎰()()()()()()ππ0ππ02222cos d sin cos d ππ1sin 1sin 1d π211π10,1,3,5,4,2,4,6,π1n n a f x nx x x nx x n x n x x n n n n -===+--⎡⎤⎣⎦-⎡⎤=+-⎣⎦-=⎧⎪-=⎨=⎪-⎩⎰⎰⎰所以 ()()2124cos2ππ41n nx f x n ∞=-=+-∑ (0≤x ≤2π)3．设有一半径为R ，中心角为φ的圆弧形细棒，其线密度为常数ρ，在圆心处有一质量为m 的质点，试求细棒对该质点的引力。

中山市高三级2019-2020学年度第一学期期末统一考试数学•文一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。

1. 集合{}2560A x x x =-+≥,{}210B x x =->，则A B ⋂==（）A.(][),23,-∞⋃+∞B.1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C.1,32⎛⎤ ⎥⎝⎦D.[)1,23,2⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦ 2. 已知i 是虚数单位，复数z 满足132z i i i-=-+，则3z +=（）B. D.53. 计算sin133cos197cos 47cos73+的结果为（ ）A.12B.12- C.2 D.2- 4. “k = 0”是“直线x-ky-1 = 0 与圆(x-2)2 + (y-1)2==1相切” 的( )A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件5. 下列四个正方体图形中，A,B 为正方体的两个顶点，M,N,P 分别为其所在棱的中点，能得出AB II 平面 MNP 的图形的序号是()A.①③B.②③C.①④D.②④6.61014log 3,log 5,log 7a b c ===，则（）A. a b c >>B. b c a >>C. a c b >>D.c b a >>7.下图是某公司2018年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率 如10月份销售任务是400台，完成率为90%.则下列叙述不正确的是（ ）A. 2018年3月的销售任务是400台B. 2018年月销售任务的平均值不超过600台C. 2018年第一季度总销售量为830台D. 2018年月销售量最大的是6月份8. 已知,x y 满足不等式组2402030x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩，则的最小值为()A. 2B.2D.1 9. 已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，若()1f α=，则32f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( ) A.12 B.12- C. 1 D. -110. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，AC BC ⊥,若当阳马11B A ACC -体积最大时，则堑堵111ABC A B C -,的外接球体积为() 'A.D. 11. 已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，若，则423a a +的最小值为（）A. 9B. 12C. 16D. 1812. 已知函数()2xe f x x=（其中无理数 2.718...e =），关于xλ=有四个不等的实根，则实数λ的取值范围是（）A.0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B .()2,+∞ C.2,2e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭ D.224,4e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置, 书写不清，模棱两可均不得分。

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．设()()()f a f c f b ==，且a c b <<,()f x ''在[a ，b ]内存在，证明：在（a ，b ）内至少有一点ξ，使()0f ξ''=.证明：()f x ''在[a ，b ]内存在，故()f x 在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导，且()()()f a f c f b ==，故由罗尔定理知，1(,)a c ξ∃∈，使得1()0f ξ'=，2(,)c b ξ∃∈，使得2()0f ξ'=，又()f x '在12[,]ξξ上连续，在12(,)ξξ内可导，由罗尔定理知，12(,)ξξξ∃∈，使()0f ξ''=，即在（a ，b ）内至少有一点ξ，使()0f ξ''=.2．设f (x )是周期为2的周期函数，它在[-1,1]上的表达式为f (x )=e -x，试将f (x )展成傅里叶级数的复数形式.解：函数f (x )在x ≠2k +1，k =0,±1,±2处连续.()()()[]()()()π1π111π11211e d e e d 221e 21πe e 1121π1πsinh111πn i x l x in x l n l x n i n n c f x x x l n i n in i n ------+--===-+-=⋅⋅-+-=⋅⋅-+⎰⎰ 故f (x )的傅里叶级数的复数形式为()()()()π21π1sinh1e 1πn in x n in f x n ∞=-∞⋅--=+∑ (x ≠2k +1，k =0,±1,±2,…)3．将函数f (x ) = x -1(0≤x ≤2)展开成周期为4的余弦级数.解：将f (x )作偶延拓，作周期延拓后函数在(-∞,+∞)上连续,则有b n =0 (n =1,2,3,…)()()220201d 1d 02a f x x x x -==-=⎰⎰ ()()()222022221ππcos d 1cos d 2224[11]π0,2,4,6,8,1,3,5,πn n n x n x a f x x x x n n n n -==-=--=⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰故()()()22121π81cos π221n n x f x n ∞=-=-⋅-∑ (0≤x ≤2)4．设f (x ) = x +1(0≤x ≤π)，试分别将f (x )展开为正弦级数和余弦级数.解：将f (x )作奇延拓，则有a n =0 (n =0,1,2,…)()()()()ππ0022sin d 1sin d ππ111π2πn n b f x nx x x nx x n==+--+=⋅⎰⎰ 从而()()()1111π2sin πn n f x nx n∞=--+=∑ (0<x <π) 若将f (x )作偶延拓，则有b n =0 (n =1,2,…)()()ππ00222cos d 1cos d ππ0,2,4,64,1,3,5,πn a f x nx x x nx x n n n ==+=⎧⎪=-⎨=⎪⎩⎰⎰ ()()ππ0π012d 1d π2ππa f x x x x -==+=+⎰⎰ 从而()()()21cos 21π242π21n n x f x n ∞=-+=--∑ (0≤x ≤π)5．将下列函数f (x )展开为傅里叶级数：(1)()()πππ42x f x x =--<<(2)()()sin 02πf x xx =≤≤ 解：(1) ()ππ0-ππ11ππcos d d ππ422x a f x nx x x -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰ []()ππππ-π-πππ1π11cos d cos d x cos d π4242π1sin 001,2,4n x a nx x nx x nx x nx n n--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-==⎰⎰⎰ ()ππππ-π-π1π11sin d sin d xsin d π4242π11n n x b nx x nx x nx x n-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-⋅⎰⎰⎰故()()1πsin 14n n nx f x n∞==+-∑ (-π<x <π) (2)所给函数拓广为周期函数时处处连续， 因此其傅里叶级数在[0,2π]上收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0,()ππ0πππ011cos0d sin d ππ24sin d ππa f x x x x x x x --====⎰⎰⎰ ()()()()()()ππ0ππ02222cos d sin cos d ππ1sin 1sin 1d π211π10,1,3,5,4,2,4,6,π1n n a f x nx x x nx x n x n x x n n n n -===+--⎡⎤⎣⎦-⎡⎤=+-⎣⎦-=⎧⎪-=⎨=⎪-⎩⎰⎰⎰所以 ()()2124cos2ππ41n nx f x n ∞=-=+-∑ (0≤x ≤2π)6．将函数()0arctan d x t F t x t=⎰展开成x 的幂级数． 解：由于()210arctan 121n n n t t n +∞==-+∑ 所以()()()()()20002212000arctan d d 121d 112121n xx n n n n x n n n n t t F t t x t n t x t n n ∞=+∞∞====-+==--++∑⎰⎰∑∑⎰（|x |≤1）7．证明，若21n n U ∞=∑收敛，则1n n U n ∞=∑绝对收敛． 证：∵222211111222n n n n U U n U U n n n +=⋅≤=+⋅ 而由21n n U ∞=∑收敛，211n n ∞=∑收敛，知22111122n n U n ∞=⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭∑收敛，故1n n U n ∞=∑收敛， 因而1n n U n ∞=∑绝对收敛．8．设某工厂生产某种产品的固定成本为零，生产x （百台）的边际成本为C ′(x )（万元/百台），边际收入为R ′(x )=7－2x （万元/百台）．(1) 求生产量为多少时总利润最大？(2) 在总利润最大的基础上再生产100台，总利润减少多少？解：(1) 当C ′(x )=R ′(x )时总利润最大．即2=7－2x ，x=5/2(百台)(2) L ′(x )=R ′(x )－C ′(x )=5－2x ．在总利润最大的基础上再多生产100台时，利润的增量为ΔL (x )= 772255222(52)d 51x x x x -=-=-⎰．即此时总利润减少1万元.9．设有一半径为R ，中心角为φ的圆弧形细棒，其线密度为常数ρ，在圆心处有一质量为m 的质点，试求细棒对该质点的引力。

2019-2020学年广东省中山市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）集合A＝{x|x2﹣5x+6≥0}，B＝{x|2x﹣1＞0}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，2]∪[3，+∞）B．（）C．（]D．（，2]∪[3，+∞）2．（5分）已知i是虚数单位，复数z满足，则|z+3|＝（）A．B．C．D．53．（5分）计算sin133°cos197°+cos47°cos73°的结果为（）A．B．C．D．﹣4．（5分）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不垂直的是（）A．B．C．D．5．（5分）若a＝log63，b＝log105，c＝log147，则（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．c＞b＞a6．（5分）已知x，y满足不等式组，则z＝|x+y﹣1|的最小值为（）A．2B．C．D．17．（5分）电路从A到B上共连接着6个灯泡（如图），每个灯泡断路的概率为，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A到B连通的概率是（）A．B．C．D．8．（5分）有5名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学不能相邻，则不同的站法有（）A．8种B．16种C．32种D．48种9．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（{A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最小正周期是π，若f（α）＝1，则f（α+）＝（）A．﹣2B．﹣C．1D．﹣110．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥现有一如图所示的堑堵，AC⊥BC，若A1A＝AB＝2，当阳马B﹣A1ACC1体积最大时，则堑堵ABC﹣A1B1C1的外接球的体积为（）A．B．C．D．11．（5分）已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，若S2+a2＝S3﹣3，则a4+3a2的最小值为（）A．9B．12C．16D．1812．（5分）若关于x的方程有三个不相等的实数解x1，x2，x3，且x1＜0＜x2＜x3，其中m∈R，e＝2.718为自然对数的底数，则的值为（）A．e B．1﹣m C．1+m D．1二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4，a10是方程x2﹣8x+1＝0的两根，则：S13＝．14．（5分）已知向量与的夹角是，且||＝|+|，则向量与的夹角是．15．（5分）已知（x2+1）（x﹣2）9＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a11（x﹣1）11，则a1+a2+a3+…+a11的值为．16．（5分）已知函数，若有f（a）+f（a﹣2）＞4，则a的取值范围是．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）设S n为数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，n n+1＝2a n+1．（1）证明{a n+1}为等比数列．（2）判断n，a n，S n是否成等差数列？并说明理由．18．（12分）已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（1）若cos A：cos B：cos C＝2：2：7，求sin B；（2）若sin A：cos B：tan A＝2：2：7，试判断△ABC的形状．19．（12分）如图，在三棱台ABC﹣DEF中，二面角B﹣AD﹣C是直二面角，AB⊥AC，AB ＝3，AD＝DF＝FC＝．（1）求证：AB⊥平面ACFD；（2）求二面角F﹣BE﹣D的平面角的余弦值．20．（12分）已知函数f（x）＝e x﹣ex2+ax（a∈R）．（1）若f（x）在（0，1）上单调，求a的取值范围．（2）若y＝f（x）+exlnx的图象恒在x轴上方，求a的取值范围．21．（12分）某种零件的质量指标值为整数，指标值为8时称为合格品，指标值为7或者9时称为准合格品，指标值为6或10时称为废品，某单位拥有一台制造该零件的机器，为了了解机器性能，随机抽取了该机器制造的100个零件，不同的质量指标值对应的零件个数如表所示；质量指标值678910零件个数61860124使用该机器制造的一个零件成本为5元，合格品可以以每个X元的价格出售给批发商，准合格品与废品无法岀售（1）估计该机器制造零件的质量指标值的平均数；（2）若该单位接到一张订单，需要该零件2100个，为使此次交易获利达到1400元，估计x的最小值；（3）该单位引进了一台加工设备，每个零件花费2元可以被加工一次，加工结果会等可能出现以下三种情况：①质量指标值增加1，②质量指标值不变，③质量指标值减少1．己知每个零件最多可被加工一次，且该单位计划将所有准合格品逐一加工，在（2）的条件下，估计x的最小值（精确到0.01）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在直角坐标系中，曲线经过伸缩变换后得到曲线C2，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线C3的极坐标方程为ρ＝﹣2sinθ．（1）求出曲线C2，C3的参数方程；（2）若P，Q分别是曲线C2，C3上的动点，求|PQ|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]（本题满分0分）23．已知a+b+c＝3，且a、b、c都是正数．（1）求证；a2+b2+c2≥3；（2）求证：++≥．2019-2020学年广东省中山市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣5x+6≥0}＝{x|x≤2或x≥3}，B＝{x|2x﹣1＞0}＝{x|x＞}，则A∩B＝{x|＜x≤2或x≥3}＝（，2]∪[3，+∞）．故选：D．2．【解答】解：由，得z•i＝（1﹣i）（3+2i）＝5﹣i，∴z＝，则z+3＝2﹣5i，∴|z+3|＝|2﹣5i|＝．故选：A．3．【解答】解：sin133°cos197°+cos47°cos73°＝sin47°（﹣cos17°）+cos47°sin17°＝sin（17°﹣47°）＝sin（﹣30°）＝﹣，故选：B．4．【解答】解：对于A，AB为体对角线，MN，MQ，NQ分别为棱的中点，由中位线定理可得它们平行于面对角线，连接另一条面对角线，由三垂线定理可得AB垂直于MN，MQ，NQ，可得AB垂直于平面MNQ；对于B，AB为上底面的对角线，显然AB垂直于MN，与AB相对的下底面的面对角线平行，且与直线NQ垂直，可得AB垂直于平面MNQ；对于C，AB为前面的面对角线，显然AB垂直于MN，QN在下底面且与棱平行，此棱垂直于AB所在的面，即有AB垂直于QN，可得AB垂直于平面MNQ；对于D，AB为上底面的对角线，MN平行于前面的一条对角线，此对角线与AB所成角为60°，则AB不垂直于平面MNQ．故选：D．5．【解答】解：令f（x）＝＝1﹣log x2＝1﹣在x＞2时单调递增，∴log63＜log105＜log147，则a＜b＜c，故选：D．6．【解答】解：由x，y满足不等式组，作出可行域如图，由可行域可知A（5，3），B（2，0），u＝x+y﹣1的最大值为：7，最小值为：1，则z＝|x+y﹣1|的最小值为：1．故选：D．7．【解答】解：∵电路从A到B上共连接着6个灯泡（如图），每个灯泡断路的概率为，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A到B连通的概率是：P＝（1﹣）×[1﹣（1﹣）（1﹣）]＝．故选：B．8．【解答】解：根据题意，假设有1、2、3、4、5，共5个位置，分3步进行分析：①，甲必须站在正中间，将甲安排在3号位置，②，在1、2、4、5中一个位置任选1个，安排乙，有4种情况，由于乙、丙两位同学不能相邻，则丙有2种安排方法，③，将剩下的2名同学全排列，安排在剩下的2个位置，有A22＝2种安排方法，则有1×4×2×2＝16种安排方法；故选：B．9．【解答】解：因为函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的周期为T＝＝π，∴ω＝2，∴f（x）＝A sin（2x+φ），又f（α）＝A sin（2α+φ）＝1，∴f（α+）＝A sin[2（α+）+φ]＝A sin（2α+3π+φ）＝﹣A sin（2α+φ）＝﹣1．故选：D．10．【解答】解：设AC＝x，BC＝y，由题意得x＞0，y＞0，x2+y2＝4，∵当阳马B﹣A1ACC1体积最大，∴V＝×2x×y＝xy取最大值，∵xy≤＝2，当且仅当x＝y＝时，取等号，∴当阳马B﹣A1ACC1体积最大时，AC＝BC＝，以CA、CB、CC1为棱构造长方体，则这个长方体的外接球就是堑堵ABC﹣A1B1C1的外接球，∴堑堵ABC﹣A1B1C1的外接球的半径R＝＝，∴堑堵ABC﹣A1B1C1的外接球的体积V＝＝．故选：B．11．【解答】解：根据题意，等比数列{a n}中，若S2+a2＝S3﹣3，则S3﹣S2＝a2+3，即a3﹣a2＝3，变形可得：a2（q﹣1）＝3，即a2＝，必有q＞1，又由a4+3a2＝a2q2+3a2＝a2（q2+3）＝×（q2+3）＝＝3（q﹣1）++6，又由q＞1，则3（q﹣1）++6≥2×+6＝18，当且仅当q＝3时等号成立；则a4+3a2的最小值为18；故选：D．12．【解答】解：由方程⇒，令，则有t++m＝0．⇒t2+（m﹣1）t+1′﹣m＝0，令函数g（x）＝，，∴g（x）在（﹣∞，1）递增，在（1，+∞）递减，其图象如下，要使关于x的方程有3个不相等的实数解x1，x2，x3，且x1＜0＜x2＜x3结合图象可得关于t的方程t2+（m﹣1）t+1′﹣m＝0一定有两个实根t1，t2，（t1＜0＜t2）且，∴＝[（t1﹣1）（t2﹣1）]2．（t1﹣1）（t2﹣1）＝t1t2﹣（t1+t2）+1＝（1﹣m）﹣（1﹣m）+1＝1．∴＝[（t1﹣1）（t2﹣1）]2＝1．二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．13．【解答】解：∵a4，a10是方程x2﹣8x+1＝0的两根，∴a4+a10＝8，∴a4+a10＝2a7＝8∴S13＝13a7＝52，故答案为：52．14．【解答】解：向量与的夹角是，且||＝|+|，∴＝+2•+，∴2•+＝0，即2||×||×cos+＝0，化简得||＝||，∴cosθ＝＝＝＝﹣，∴向量与+的夹角是120°．故答案为：120°．15．【解答】解：∵已知，∴令x＝1，可得a0＝﹣2，再令x＝2，可得0＝﹣2+a1+a2+…+a11，求得a1+a2+…+a11＝2，故答案为：2．16．【解答】解：令函数，满足g（﹣x）＝﹣g（x），为奇函数，故f（a）+f（a﹣2）＞4，可化为：g（a）+g（a﹣2）＞0，即g（a）＞﹣g（a﹣2）＝g（2﹣a），又由＝1﹣为增函数，解得：a∈（1，+∞）故答案为：（1，+∞）三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【解答】解：（1）证明：a2＝3，a n+1＝2a n+1，可得a1＝1，即有a n+1+1＝2（a n+1），则{a n+1}为首项为1，公比为2的等比数列；（2）由（1）可得a n+1＝2n，即有a n＝2n﹣1，S n＝﹣n＝2n+1﹣2﹣n，由n+S n﹣2a n＝n+2n+1﹣2﹣n﹣2（2n﹣1）＝0，可得n，a n，S n成等差数列．18．【解答】解：（1）由题意可得，设cos A＝cos B＝2x，cos C＝7x，且C＜A＝B＜，cos C＝cos（π﹣2A）＝﹣cos2A＝sin2A﹣cos2A，可得1﹣4x2﹣4x2＝7x，解得x＝，可得cos A＝cos B＝，可得sin B＝＝，（2）由题意可得，设sin A＝cos B＝2x，tan A＝7x，且A，B均小于，由sin A＝tan A•cos A，可得2x＝7x•，解得x＝，可得sin A＝cos B＝，cos A＝sin B＝，可得cos C＝cos A cos B﹣sin A sin B＝0，可得C为直角，△ABC为直角三角形．19．【解答】证明：（1）连接CD，在等腰梯形ACFD中，过D作DG⊥AC交AC于点G，因为AD＝DF＝FC＝＝1，所以AG＝，DG＝，CG＝，所以CD＝，所以AD2+CD2＝AC2，即CD⊥AD，（2分）又二面角B﹣AD﹣C是直二面角，CD⊂平面ACFD，所以CD⊥平面ABED，（4分）又AB⊂平面ABED，所以AB⊥CD，又因为AB⊥AC，AC∩CD＝C，AC、CD⊂平面ACFD，所以AB⊥平面ACFD．（6分）解：（2）如图，在平面ACFD内，过点A作AH⊥AC，由（1）可知AB⊥AH，以A为原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A ﹣xyz．则B（3，0，0），D（0，），F（0，），C（0，2，0），（7分）所以＝（﹣3，2，0），＝（0，﹣），设是平面FBE的一个法向量，则，取x＝2，得＝（2，3，），（9分）由（1）可知CD⊥平面BED，所以＝（0，﹣，）是平面BED的一个法向量，（10分）所以cos＜＞＝＝﹣＝﹣，（11分）又二面角F﹣BE﹣D的平面角为锐角，所以二面角F﹣BE﹣D的平面角的余弦值为．（12分）20．【解答】解：（1）f′（x）＝e x﹣2ex+a，由f（x）在（0，1）上单调，知f′（x）＝e x﹣2ex+a在（0，1）上大于等于0或小于等于0恒成立，令g（x）＝e x﹣2ex+a，则g′（x）＝e x﹣2e，令g′（x）＝0，解得x＝ln（2e），当0＜x＜1＜ln（2e）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上单调递减，∴由题意得，g（1）≥0或g（0）≤0，解得a≤﹣1或a≥e，∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[e，+∞）；（2）y＝e x﹣ex2+ax+exlnx的图象恒在x轴上方，即当x∈（0，+∞）时，y＞0恒成立，亦即在（0，+∞）上恒成立，令，则，令h′（x）＞0，解得0＜x＜1；令h′（x）＜0，解得x＞1，∴函数h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）在x＝1处取得最大值，最大值为h（1）＝0，∴实数a的取值范围为（0，+∞）．21．【解答】解：（1）设机器制造零件的质量指标的平均数为，由题意得：＝（6×6+7×18+8×60+9×12+10×4）×＝7.9．∴机器制造零件的质量指标值的平均数为7.9个．（2）一个零件成本为5元，以每个X元的价格出售，得到：2100x﹣（2100+）≥1400，解得x≥9，∴x的最小值为9．（2）依题意得准合格品加工后有能合格，用于销售，设为满足订单需制作y个零件，则（）y＝2100，解得y＝3000，故要使获利达到1400，需要2100x﹣y•5﹣≥1400，解得x≥≈8.67．∴x的最小值为8.67．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．【解答】解：（1）曲线经过伸缩变换后得到曲线C2，∴曲线C2的方程为+y2＝1∴曲线C2的参数方程为，（α为参数）．∵曲线C3的极坐标方程为ρ＝﹣2sinθ．即ρ2＝﹣2ρsinθ，∴曲线C3的直角坐标方程为x2+y2＝﹣2y，即x2+（y+1）2＝1，∴曲线C3的参数方程为，（β为参数）．（2）设P（2cosα，sinα），则P到曲线C3的圆心（0，﹣1）的距离：d＝＝．∵sinα∈[﹣1，1]，∴当sinα＝时，d max＝．∴|PQ|max＝d max+r＝+1＝．[选修4-5：不等式选讲]（本题满分0分）23．【解答】证明：（1）∵a+b+c＝3，且a、b、c都是正数，∴（a+b+c）2＝9，∴a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc＝9，又a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，∴2（a2+b2+c2）≥2（ab+bc+ac），∴a2+b2+c2+2（a2+b2+c2）≥9，当且仅当a＝b＝c＝1时取等号，∴a2+b2+c2≥3．（2）∵a+b+c＝3，且a、b、c都是正数，∴++＝＝，当且仅当a＝b＝c＝1时取等号，∴++＞．。

2019最新高等数学期末考试试题（含答案）一、解答题1．计算曲线y =cosh x 上点(0，1)处的曲率. 解：sinh ,cosh .y x y x '''== 当x =0时，0,1y y '''== ，故 23/2 1.(1)y k y ''=='+2．设f (x ) = x +1(0≤x ≤π)，试分别将f (x )展开为正弦级数和余弦级数. 解：将f (x )作奇延拓，则有a n =0 (n =0,1,2,…)()()()()ππ0022sin d 1sin d ππ111π2πn nb f x nx x x nx xn==+--+=⋅⎰⎰从而()()()1111π2sin πnn f x nx n∞=--+=∑ (0<x <π)若将f (x )作偶延拓，则有b n =0 (n =1,2,…)()()ππ00222cos d 1cos d ππ0,2,4,64,1,3,5,πn a f x nx x x nx x n n n ==+=⎧⎪=-⎨=⎪⎩⎰⎰ ()()ππ0π012d 1d π2ππa f x x x x -==+=+⎰⎰ 从而()()()21cos 21π242π21n n xf x n ∞=-+=--∑ (0≤x ≤π)3．判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(1)1+； (2)()()1111ln 1n n n ∞-=-+∑；(3) 2341111111153535353⋅-⋅+⋅-⋅+；(4)()21121!n n n n ∞-=-∑； (5)()()1111n n R n αα∞-=∈-∑；(6) ()11111123nn nn ∞=⎛⎫-++++ ⎪⎝⎭∑． 解：(1)()11n n U -=-1n nU ∞=∑>，0n =，由莱布尼茨判别法级数收敛，又11121nn n Un∞∞===∑∑是P <1的P 级数，所以1nn U∞=∑发散，故原级数条件收敛． (2)()()111ln 1n n U n -=-+，()()1111ln 1n n n ∞---+∑为交错级数，且()()11ln ln 12n n >++，()1lim0ln 1n n →∞=+，由莱布尼茨判别法知原级数收敛，但由于()11ln 11n U n n =≥++ 所以，1nn U∞=∑发散，所以原级数条件收敛．(3)()11153n n n U -=-⋅民，显然1111115353n n nn n n U ∞∞∞=====⋅∑∑∑，而113n n ∞=∑是收敛的等比级数，故1nn U∞=∑收敛，所以原级数绝对收敛．(4)因为2112lim lim 1n n n n nU U n ++→∞→∞==+∞+．故可得1n n U U +>，得lim 0n n U →∞≠，∴lim 0n n U →∞≠，原级数发散．(5)当α>1时，由级数11n nα∞=∑收敛得原级数绝对收敛． 当0<α≤1时，交错级数()1111n n n α∞-=-∑满足条件：()111n n αα>+；1lim 0n n α→∞=，由莱布尼茨判别法知级数收敛，但这时()111111n n n nn αα∞∞-===-∑∑发散，所以原级数条件收敛． 当α≤0时，lim 0n n U →∞≠，所以原级数发散．(6)由于11111123n nn ⎛⎫⋅>++++ ⎪⎝⎭ 而11n n∞=∑发散，由此较审敛法知级数 ()11111123nn nn ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑发散．记1111123n U nn ⎛⎫=⋅++++ ⎪⎝⎭，则 ()()()()()()1222111111123111111112311111111231110n n U U n n n n n n n n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫-=-++++- ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭+⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭++⎛⎫⎛⎫-=++++ ⎪ ⎪⎝⎭+++⎝⎭>即1n n U U +> 又01111lim lim12311d n n n n U n n x n x→∞→∞⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭=⎰ 由0111lim d lim 01t t t t x t x →+∞→+∞==⎰ 知lim 0n n U →∞=，由莱布尼茨判别法，原级数()11111123nn n n ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑收敛，而且是条件收敛．4．设某工厂生产某种产品的固定成本为零，生产x （百台）的边际成本为C ′(x )（万元/百台），边际收入为R ′(x )=7－2x （万元/百台）． (1) 求生产量为多少时总利润最大？(2) 在总利润最大的基础上再生产100台，总利润减少多少？解：(1) 当C ′(x )=R′(x )时总利润最大． 即2=7－2x ，x=5/2(百台)(2) L ′(x )=R ′(x )－C ′(x )=5－2x ．在总利润最大的基础上再多生产100台时，利润的增量为 ΔL (x )=772255222(52)d 51x x x x-=-=-⎰．即此时总利润减少1万元.5．求下列函数在[－a ，a ]上的平均值：(1)()f x =解：200111π1.arcsin 2422aa a a x y x x a a a a -⎡====+⎢⎣⎰⎰ (2) 2().f x x =解：2223001111d d .233aa a a a y x x x x x a a a -⎡⎤====⎢⎥⎣⎦⎰⎰6．求曲线段y =x 3(0≤x ≤1)绕x 轴旋转一周所得旋转曲面的面积．解：D =2π⎠⎛01y 1+y ′2d x=2π⎠⎛01x31+9x 4d x=π18·23()1+9x 432⎪⎪10=π27()1010-1．7． 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积： （1）r =a (1+cos θ)及r =2a cos θ;解：由图11知，两曲线围成图形的公共部分为半径为a 的圆，故D =πa 2．(11)（2）r =2cos θ及r 2=3sin2θ．解：如图12，解方程组⎩⎨⎧r =2cos θr 2=3sin2θ得cos θ=0或tan θ=33, 即θ=π2或θ=π6．(12)D =⎠⎜⎛0π612·3sin2θd θ+⎠⎜⎜⎛π6π212·()2cos θ2d θ =⎣⎡⎦⎤-34cos2θπ60+θ2+ ⎣⎡⎦⎤14sin4θπ2π6=π6．8．利用被积函数奇偶性计算下列积分值（其中a 为正常数）(1)sin d ;||aa x x x -⎰解：因sin ||xx 为[－a , a ]上的奇函数， 故sin d 0.||aa xx x -=⎰(2)ln(a ax x -+⎰;解：因为ln(ln(x x -=-+即被积函数为奇函数，所以原式=0.12212sin tan (3)d ln(1)3cos3x x x x x -⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦⎰; 解：因为2sin tan 3cos3x x x+为奇函数，故原式=111222111222d 0ln(1)d ln(1)1xx x x x x x---++-=--⎰⎰()121231ln3ln 2 1.ln3ln 2ln(1)22x x -==----+-π242π23(4)sin d sin ln 3x x x x x -+⎛⎫+ ⎪-⎝⎭⎰.解：因为3ln 3xx+-是奇函数，故 原式=ππ6622π02531π5sin d 2sin d 2π642216x x x x -==⋅⋅⋅⋅=⎰⎰9．求下列不定积分：221(1)d (1)(1)x x x x ++-⎰; 解：原式=2111111d ln ln 1122122(1)(1)(1)x c x x x x x x ⎛⎫ ⎪-=++++-++ ⎪+++-⎝⎭⎰ 211ln .112c x x =++-+ 33d (2)1xx +⎰; 解：原式=22211112d ln ln d 1122111x x x x x x x x x x x -+⎛⎫=-+++-+⎪-++-+⎝⎭⎰⎰c=+.5438(3)dx xxx x+--⎰;解：原式=2843d111xx xx x x⎛⎫+++--⎪+-⎝⎭⎰32118ln4ln3ln.1132x x x cx x x=+++--++-26(4)d1xxx+⎰;解：原式=33321d()1arctan.31()3xx cx=++⎰sin(5)d1sinxxx+⎰;解：原式=222sin1d tan d(sec1)d sec tan.cos cosxx x x x x x x x cx x-=--=-++⎰⎰⎰cot(6)dsin cos1xxx x++⎰;解：原式22tan222222212d1111111d d d22(1)22211111xttt tt t t t tt t t tt tt t t=-⋅-++==-+⎛⎫-++⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰⎰令1111ln ln tan.tan222222xxt c ct=-+=-+(7)x;解：原式=2.c=+(8)x;解：原式=2d2ln21x x x xx⎛=+-+⎝⎰又2x2221d44d11tt t tt t=+--⎰⎰142ln1tt c ct-''=++=+故原式=1)x c-+.10．计算下列导数：2d (1)d x t x ⎰解：原式2=32d (2)d x x x ⎰解：原式32200d d d d x x x x =-=⎰⎰11．试证明：曲线211x y x -=+有三个拐点位于同一直线上. 证明：22221(1)x x y x -++'=+，y ''=令0y ''=，得1,22x x x =-==当(,1)x ∈-∞-时，0y ''<；当(1,2x ∈-时0y ''>；当(2x ∈时0y ''<；当(2)x ∈+∞时0y ''>,因此，曲线有三个拐点(－1，－1)，(2. 因为111212-因此三个拐点在一条直线上.12．已知函数()f x 在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导，且()()0f a f b ==，试证：在（a ，b ）内至少有一点ξ，使得()()0, (,)f f a b ξξξ'+=∈.证明：令()()e ,xF x f x =⋅()F x 在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导，且()()0F a F b ==，由罗尔定理知，(,)a b ξ∃∈，使得()0F ξ'=，即()e ()e 0f f ξξξξ'+=,即()()0, (,).f f a b ξξξ'+=∈13．设()()()f a f c f b ==，且a c b <<,()f x ''在[a ，b ]内存在，证明：在（a ，b ）内至少有一点ξ，使()0f ξ''=.证明：()f x ''在[a ，b ]内存在，故()f x 在[a ，b ]上连续，在（a ，b ）内可导，且()()()f a f c f b ==，故由罗尔定理知，1(,)a c ξ∃∈，使得1()0f ξ'=，2(,)c b ξ∃∈，使得2()0f ξ'=，又()f x '在12[,]ξξ上连续，在12(,)ξξ内可导，由罗尔定理知，12(,)ξξξ∃∈，使()0f ξ''=，即在（a ，b ）内至少有一点ξ，使()0f ξ''=.14．求下列函数的傅里叶积分：(1)()e ,00,0t t f t t -⎧≥=⎨<⎩(2)()1,101,010,t f t t --<<⎧⎪=<<⎨⎪⎩其他解：(1)()()02e d e e d 1111i t t i t Ff t t t i i ωωωωωω+∞+∞----∞==⋅-==++⎰⎰()()2220111e d e d 2π2π11cos sin d 2π11cos sin d π1i ti t i f F t t tt t t t ωωωωωωωωωωωωωωω+∞+∞-∞-∞+∞-∞+∞-==++=++=+⎰⎰⎰⎰ (2) ()()()()11e d d e d e21cos i t i t i tF f tt t ti ωωωωωω+∞--∞---==+--=⎰⎰⎰()()()()()()()()01121cos e d e d 2π2π11cos d cos sin π1sin 1cos d π2sin 1cos d 0,1πi ti t f F t i t i t i t t t ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω+∞+∞-∞-∞+∞-∞+∞-∞+∞-==-=+-=-=≠⎰⎰⎰⎰⎰15．求曲线y =ln(sec x )在点(x ，y )处的曲率及曲率半径. 解：2tan ,sec y x y x '''==故 223/223/2sec cos (1)(1tan )y x k x y x ''==='++ 1sec R x k==.16．求函数1sin ,00,0x y xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩的定义域与值域. 解: 由已知显然有函数的定义域为(-∞,+∞),又当0x ≠时,1x可以是不为零的任意实数,此时,1sinx可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为[-1,1].17．计算抛物线y =4x －x 2在它的顶点处的曲率. 解：y =－(x －2)2+4，故抛物线顶点为(2，4) 当x =2时， 0,2y y '''==- ， 故 23/22.(1)y k y ''=='+18．利用四阶泰勒公式，求ln1.2的近似值，并估计误差.解：23455ln(1) (01)2345(1)x x x x x x x θθ+=--+-<<+234(0.2)(0.2)(0.2)ln1.2ln(10.2)0.20.18227234∴=+≈-++=5555(0.2)(0.2)(0.2)7105(10.2)5n R θ-=<≈⨯+19．利用麦克劳林公式，按x 乘幂展开函数23()(31)f x x x =-+. 解：因为()f x 是x 的6次多项式，所以(4)(5)(6)23456(0)(0)(0)(0)(0)()(0)(0).2!3!4!5!6!f f f f f f x f f x x x x x x ''''''=++++++计算出：(0)1,(0)9,(0)60,(0)270f f f f ''''''==-==-，(4)(5)(6)(0)720,(0)1080,(0)720.f f f ==-=故23456()193045309.f x x x x x x x =-+-+-+20．利用微分求下列各数的近似值：⑴⑵ln0.99；⑶arctan1.02.解：⑴113x≈+，有112(1) 2.0083380==≈⋅+⨯=.⑵利用近似公式ln(1)x x+≈，有ln0.99ln(10.01)0.0100.=-≈-⑶取()arctanf x x=，令1,0.02x x==，而21()1f xx'=+，则21arctan1.02arctan10.0211=0.7954.≈+⨯+21．根据下面所给的值，求函数21y x=+的,dy y∆及dy y∆-：⑴当1,0.1x x=∆=时；解：2222()1(1)2210.10.10.21d2210.10.2d0.210.20.01.y x x x x x xy x xy y∆=+∆+-+=∆+∆=⨯⨯+==⋅∆=⨯⨯=∆-=-=.⑵当1,0.01x x=∆=时.解：222210.010.010.0201d2210.010.02d0.02010.020.0001.y x x xy x xy y∆=∆+∆=⨯⨯+==⋅∆=⨯⨯=∆-=-=22．垂直向上抛一物体，其上升高度与时间t的关系式为：21()10(m),2h t t gt=-求：⑴物体从t=1(s)到t=1.2(s)的平均速度：解：11112 1.4410(1.2)(1)220.78 (m s)1.210.2g gh hv--⨯-+-===-⋅-⑵速度函数v(t)；解：()()10v t h t gt'==-.⑶物体何时到达最高.解：令()100h t gt '=-=,得10 (s)t g =, 即物体到达最高点的时刻为10 s.t g=23．证明：双曲线2xy a =上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于22a . 证明：在双曲线上任取一点00(,),M x y 则2220220, , x a a a y y y x x x =''==-=-， 则过M 点的切线方程为：20020()a y y x x x -=-- 令220000002202x y x a y x x x x a a=⇒=+=+= 得切线与x 轴的交点为0(2,0)x ， 令2000000002x y a x y y y y x x =⇒=+=+= 得切线与y 轴的交点为0(0,2)y ，故 2000012222.2S x y x y a === 24．已知2()max{,3}f xx =，求()fx '.解：23, (), x f x xx ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ 当x <时，()0f x '=,当x >时，()2f x x '=,2(((0,x x x f x f -+'==-=-'==故(f '不存在.又20,(x x x f f x -+'=='=== 故f '不存在.综上所述知0, ()2, x f x x x ⎧<⎪'=⎨>⎪⎩25．设()()f x x a x ϕ=-,其中a 为常数，()x ϕ为连续函数，讨论()f x 在x a =处的可导性.解：()()()()()lim lim ()()()()()()lim lim ()x a x a x a x a f x f a x a x f a a x a x a f x f a a x x f a a x a x aϕϕϕϕ++--+→→-→→--'===----'===---. 故当()0a ϕ=时，()f x 在x a =处可导，且()0f a '= 当()0a ϕ≠时，()f x 在x a =处不可导.26．已知sin ,0,(),0,x x f x x x <⎧=⎨≥⎩求()f x '. 解：当0x <时，()cos ,f x x '=当0x >时，()1,f x '=当0x =时，0sin 0(0)lim 1,0x x f x --→-'==- 00(0)lim 1,0x x f x ++→-'==- 故(0) 1.f '=综上所述知cos ,0,()1,0.x x f x x <⎧'=⎨≥⎩27．讨论下列函数在指定点的连续性与可导性: (1) sin ,0;y x x == 解：因为0,0lim 0x x y y =→==所以此函数在0x =处连续. 又00()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f x f x x---→→--'===-- 00()(0)sin (0)lim lim 1,0x x f x f x f x x+++→→-'===- (0)(0)f f -+''≠，故此函数在0x =处不可导. (2) 21sin ,0, 0;0,0,x x y x x x ⎧≠⎪==⎨⎪=⎩解：因为201lim sin 0(0),x x y x→==故函数在0x =处连续. 又2001sin ()(0)(0)lim lim 00x x x f x f x y x x →→-'===-,故函数在0x =处可导.(3) ,1, 1.2,1,x x y x x x ≤⎧==⎨->⎩解：因为1111lim ()lim(2)1lim ()lim 1x x x x f x x f x x ++--→→→→=-=== 11lim ()lim ()(1)1x x f x f x f +-→→===,故函数在x =1处连续. 又11()(1)1(1)lim lim 111x x f x f x f x x ---→→--'===-- 11()(1)21(1)lim lim 111x x f x f x f x x +++→→---'===--- (1)(1)f f -+''≠，故函数在x=1处不可导.28．(1) 设1()f x x=，求00()(0);f x x '≠ 解：00021()().x x f x f x x =''==- (2) 设()(1)(2)(),f x x x x x n =--⋅⋅-求(0).f ' 解：00()(0)(0)lim lim(1)(2)()0(1)!x x n f x f f x x x n x n →→-'==--⋅⋅--=-29．邮局规定国内的平信,每20g 付邮资0.80元,不足20 g 按20 g 计算,信件重量不得超过2kg,试确定邮资y 与重量x 的关系.解: 当x 能被20整除,即[]2020x x =时,邮资0.802025x x y =⨯=; 当x 不能被20整除时,即[]2020x x ≠时,由题意知邮资0.80120x y ⎡⎤=⨯+⎢⎥⎣⎦. 综上所述有,02000;2520200.80,02000.1202020x x x x y x x x x ⎧⎡⎤<≤=⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎡⎤⎪⨯<≤≠+⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎩且且其中20x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,120x ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦分别表示不超过20x ,120x +的最大整数.30．一飞机沿抛物线路径210000x y =( y 轴铅直向上，单位为m )做俯冲飞行，在坐标原点O 处飞机速度v =200 m ·s -1，飞行员体重G =70kg ，求飞机俯冲至最低点即原点O 处时，座椅对飞行员的反力. 解：0010,5000x x y y =='''== ， 23/2(1)5000y R y'+=='' 飞行员在飞机俯冲时受到的向心力22702005605000mv F R ⋅=== (牛顿) 故座椅对飞行员的反力560709.81246F =+⨯= (牛顿).【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、解答题1．无2．无3．无4．无5．无6．无7．无8．无9．无10．无11．无12．无13．无14．无15．无16．无17．无18．无19．无20．无21．无22．无23．无24．无25．无26．无27．无28．无29．无30．无。