高中数学新课程创新教学设计案例50篇___15_异面直线

双峰一中高一数学必修二教课设计科目：数学课题教课目标§ 2.1.2.1 异面直线的有关看法和原理课型新课（ 1）认识空间中两条直线的地点关系；（2）理解异面直线的看法、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公义4；（ 4）理解并掌握等角公义；（ 5）异面直线所成角的定义、范围及应用。

教课过程教课内容备注1.同一平面内的两条直线有哪几种地点关系?一、自主2.空间中的两条不一样直线除了平行和订交这两种地点关系外，还有什么学习地点关系呢 ?教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右双侧所在的直线，既不相二、交，也不平行；天安门广场上，旗杆所在的直线与长安街所在的直线，它们怀疑既不订交，也不平行.你还可以举出这样的例子吗?发问思虑 1: 如图，长方体ABCD-A′ B′ C′D′中，线段A′ B 所在直线分别与线段 CD′所在直线，线段BC所在直线，线段CD所在直线的地点关系如何?三、问题研究思虑 2: 我们把上图中直线 A′ B 与直线 CD叫做异面直线，一般地，从字面上如何理解异面直线？关于异面直线的定义，你以为以下哪个说法最适合？A.空间中既不平行又不订交的两条直线；B.平面内的一条直线和这平面外的一条直线；C.分别在不一样平面内的两条直线；D.不在同一个平面内的两条直线；E.不一样在任何一个平面内的两条直线.思虑 4: 空间中的直线与直线之间有几种地点关系？它们各有什么特色？思虑 1: 设直线仍保持平行吗a//b?，将直线 a 在空间中作平行挪动，在平移过程中 a 与b思虑 2: 如图，在长方体 ABCD— A′ B′ C′ D′中， BB′∥ AA′，DD′∥AA′，那么 BB′与 DD′平行吗 ?思虑 3：取一块长方形纸板 ABCD，E，F 分别为 AB，CD的中点，将纸板沿 EF 折起，在空间中直线 AD与 BC的地点关系如何 ?思虑 4: 经过上述实验可以获得什么结论？公义 4平行于同向来线的两条直线相互平行.思虑 5: 公义 4 叫做三线平行公义，它说明空间平行直线拥有传达性，在逻辑推理中公义 4 有何理论作用？思虑 1: 在平面上，假如一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角的大小有什么关系？思虑2:如图，四棱柱ABCD--A′ B′ C′ D′的底面是平行四边形，∠ADC 与∠ A′D′ C′，∠ADC与∠ B′ A′D′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何?思虑 3: 如图，在空间中AB// A′ B′，AC// A′ C′，你能证明∠ BAC与∠ B′A′ C′相等吗？思虑定理4: 综上解析我们可以获得什么定理?空间中假如两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.思虑 5: 上边的定理称为等角定理，在等角定理中，你能进一步指出两个角相等的条件吗？角的方向同样或相反例 1：如图是一个正方体的表面睁开图，假如将它还原为正方体，那么AB，CD， EF， GH这四条线段所在直线是异面直线的有多少对?例2：如图，空间四边形 ABCD中， E，F， G， H分别是 AB， BC，CD，DA的中点 .(1)求证：四边形 EFGH是平行四边形 .(2)若 AC=BD，那么四边形 EFGH是什么图形 ?四、课堂检测五、 1.空间直线的地点关系；小结 2.异面直线的看法 (既不平行也不订交的两条直线 )；议论 3.异面直线画法及判断；。

15 异面直线教材分析异面直线是立体几何中十分重要的概念．研究空间点、直线和平面之间的各种位置关系必须从异面直线开始．教材首先通过实例让学生弄懂“共面”、“异面”的区别，正确理解“异面”的含义，进而介绍异面直线所成角及异面直线间的距离，这样处理完全符合学生的认知规律．处理好这节内容，可以比较容易地引导学生实现由平面直观到空间想象的过渡．教学重点是异面直线的概念，求异面直线所成的角和异面直线间的距离是这节的难点．教学目标1. 理解异面直线的概念，了解空间中的直线的三种位置关系．2. 理解异面直线所成的角、异面直线间的距离的意义，体会空间问题平面化的基本数学思想方法．3. 通过异面直线的学习，使学生逐步养成在空间考虑问题的习惯，培养学生的空间想象能力．任务分析空间中的两条直线的位置关系，是在平面中两条直线位置关系及平面的基本性质基础上提出来的．学生对此已有一定的感性认识，但是此认识是肤浅的．同时，学生空间想象能力还较薄弱．因此，这节内容课应从简单、直观的图形开始介绍．“直观”是这节内容的宗旨．多给学生思考的时间和空间，以有助于空间想象能力的形成．异面直线所成的角的意义及求法，充分体现了化归的数学思想．要让学生通过基本问题的解决，进一步体会异面直线所成的角、异面直线间的距离的意义及其基本求法．教学设计一、问题情境（１）1. 同一平面内的两条直线有几种位置关系？空间中的两条直线呢？观察教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在直线的位置或观察天安门广场上旗杆所在直线与长安街所在直线的位置．2. 如图15-1，长方体ABCD—A1B1C1D1中，线段A1B所在直线与线段C1C所在直线的位置关系如何？二、建立模型（１）1. 首先引导学生观察实例或几何模型，进而发现，空间两直线除平行或相交外，还有一种位置关系：存在两条直线既不平行又不相交，即不能共面的两直线，并在此基础上总结出异面直线的定义．2. 在学生讨论归纳异面直线定义的基础上，教师概括：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线．强调：（1）所谓异面，即不共面，所以它们既不平行，也不相交．（2）“不共面”，指不在任何一个平面内，关键是“任何”二字．3. 先让学生总结空间中两条直线的位置关系，然后教师明晰．（1）共面与异面．共面分为平行和相交．（2）有无公共点．有且仅有一个公共点———相交直线，无公共点____________ 平行直线和异面直线．4. 异面直线的画法．先让学生体会下列图形，并让其指出哪些更为直观．显然，图15-2或图15-3较好．因此，当表示异面直线时，以平面衬托可以显示得更清楚．三、问题情境（2）刻画两条平行直线位置通常用距离，两条相交直线通常用角度，那么，如何刻画两条异面直线的相对位置呢？容易想象要用角和距离，如何定义异面直线的角和距离呢？下面探究一个具体的问题：如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，1. 我们知道AB与A1B是共面的，它们成的角是45°，那么异面直线AB与D1C所成的角定义为多少度的角比较合理呢？2. 回忆我们已学过的“距离”概念，发现“距离”具有“最小性”，现在直线AB和D1C上各取一点，这两点必然存在距离，试问在这所有可能的距离中，是否存在两点，这两点间距离最短？进一步思考：如何定义异面直线AB和D1C间的距离？四、建立模型（2）在学生充分讨论、探究的基础上，抽象概括出异面直线所成的角和异面直线间的距离的概念．1. 异面直线a与b所成的角已知两条异面直线a，b．经过空间任一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角（或直角），叫作异面直线a与b所成的角．强调：（1）“空间角”是通过“平面角”来定义的．（2）“空间角”的大小，与空间点O的选取无关，依据是“等角定理”．为简便，点O常取在两条异面直线中的一条上．（3）异面直线所成角的范围是0°＜θ≤90°．（4）异面直线垂直的意义．今后所说的两直线垂直，可能是相交直线，也可能是异面直线．2. 对于问题2，学生讨论，可以发现：线段BC是在异面直线AB和D1C上各任取一点，且两点间的距离为异面直线AB和D1C间的最小值．此时，我们就说BC的长度就是AB和D1C的距离．引导学生观察、分析线段BC与AB，D1C之间的关系，得出公垂线段定义：和两条异面直线都垂直且相交的线段．强调：（1）“垂直”与“相交”同时成立．（2）公垂线段的长度定义为异面直线间的距离．五、解释应用［例题］1. 如图，点D是△ABC所在平面外一点，求证直线AB与直线CD是异面直线．注：主要考查异面直线的定义，这里可考虑用反证法证明．要让学生体会用反证法的缘由．2. 已知：如图，已知正方体ABCD—A′B′C′D′．（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？（3）哪些棱所在直线与直线AA′垂直？（4）直线BB′与DC间距离是多少？注：主要是理解、巩固有关异面直线的一些基本概念．解题格式要规范，合理．［练习］1. 如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么，另一条直线是否也与这条直线垂直？2. 垂直于同一条直线的两条直线是否平行？3. 与两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是怎样的？4. 已知：如图，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝2．（1）BC和A′C′所成角是多少度？（2）AA′和BC′所成角是多少度？（3）AA′和BC所成的角和距离是多少？（4）A′B与B′C所成的角是多少？（5）AC′与BD所成的角是多少？四、拓展延伸1. 判断异面直线除了定义之外，还有如下依据：过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线．请给以证明．2. 设点P是直线l外的一定点，过P与l成30°角的异面直线有____________ 条．（无数）3. 已知异面直线a与b成50°角，P为空间任一点，则过点P且与a，b所成的角都是30°的直线有____________ 条．（2）若a与b所成的角是60°，65°和70°呢？点评这篇案例设计思路完整，条理清晰．案例首先通过直观的图形引出定义，这样有利于学生的接受．然后探索了异面直线所成角与异面直线间距离的概念．探索过程有利于激发了学生的学习热情，体验科学思维方法．列举的例题有针对性，对知识的巩固和形成起到了很好的作用．“拓展延伸”中提出的问题旨在开拓学生解题思路，增强学生空间想象能力．。

“异面直线所成的角”（第二课时）教学设计双流中学数学组 邱国界教材分析：异面直线及异面直线的夹角这一节设置为两课时，这是第二课时的教学设计．异面直线的夹角是由两条相交直线的夹角扩充而生成的，由平移原理可知，当两条异面直线在空间的位置确定后，它们的夹角的大小也就随之确定了．这对于初学立体几何的学生来说，是较难理解的，对“异面直线还有夹角”这一概念感到陌生和新鲜，是学习的一个难关．教学中应通过现实生活中的例子，说明如何抽象出异面直线的夹角概念．强调异面直线的夹角的存在性和学习的必要性．异面直线的夹角的范围是000~90，不含00．最后，通过教科书中正方体的练习，逐步深入理解异面直线及其夹角，使学生较好地掌握这一内容．要计算异面直线a b 、的夹角的大小，必须通过平移转化为相交直线''a b 、的夹角．如何实现“转化”是学习中的一个难关．根据异面直线夹角的定义，在空间任取一点O 实现转化固然可以，而在实际操作中，可将点O 取在a 或b 上．两条异面直线互相垂直，即它们的夹角是直角，这是两条直线是异面直线时的一种特殊位置情况．应向学生指出：今后如果说两条直线互相垂直，它们可能相交，也可能异面．对于本节的学习，仍然应注意概念的形成过程，让学生去完成意义建构，而决不单纯以记忆结论为目的，要注重空间想象能力的形成过程，并有意识地加以引导、培养.教学目标：1、知识目标：（1）掌握异面直线所成角的概念；（2）能求出一些较特殊的异面直线所成的角； （3）了解异面直线垂直． 2、能力目标：（1）空间能力的进一步形成； （2）平面向空间的推广能力； （3）空间向平面的转化能力．3、情感目标：通过理论与实际的结合，培养学生实事求是的态度；同时在实际生活中不断发现问题，解决问题，培养学生的创新精神，为自己的人生垫定扎实的基础．学情分析：学生已有知识：空间四大公理、等角定理、异面直线的概念与判断；已有能力：立体空间的想象、抽象思维能力（但这种能力欠缺）；情感定位：初步接触立体几何，有较强的兴趣，对一门新的数学分支充满了激情．教学重点：异面直线所成的角概念的形成及应用教学难点：异面直线所成的角的发现与概念形成，将异面直线所成角转化为平面角 授课类型：新授课授课方式：探索法、引导法、讨论法教法设计：创设问题的现实情境，通过启发、引导学生发现异面直线所成的角的存在性，通过由特殊到一般、从具体到抽象，培养学生观察、分析、归纳、抽象、概括等逻辑思维能力与空间想象课时安排：1课时教 具：FLASH多媒体课件、实物投影仪、实物教具 教学过程： 一、创设情境：多媒体课件给出嫦娥奔月的轨迹图，通过动画说明空间中异面直线的方向存在差异，也即空间异面直线的“角度”的存在性，即本节课的课题：异面直线所成的角（异面直线的夹角）．（设计意图：建构主义教学模式在高中数学中的力能否吸引到教学内容上的关键所在．嫦娥奔月刚刚成功，中国人所拍摄的第一幅月球照片也刚刚公布，这是中国人的骄傲，也是每个中国人所熟知的事情，也是这段时间人们谈论最多的话题，因此，以此为情境引入，能一下抓住学生的注意力，激发学生的学习热情，引导学生积极主动地参与学习、思考．）二、新知形成过程：1、质疑一：平移会改变这两条异面直线原有的方向吗？2、质疑二：怎样度量异面直线的方向的差异呢？3、质疑三：相交直线中，选取哪个角作为度量结果呢？4、质疑四：两直线交点的位置会影响这个度量值吗？5、提问：你可以怎样定义异面直线夹角呢？（设计意图：这一版块属于建构主义教学模式在高中数学中的应用研究下高中数学概念课中的教性学习是一种以问题为载体、以主动探究为特征的学习活动，是学生在教师的指导下在学习和社会生活中自主地发现问题、探究问题、获得结论的过程．在这个环节中，既让学生独立思考与学习，同时也采用协作学习的方式来解决所提出的问题，最后形成异面直线夹角的概念．问题5的提出就目的是培养学生的归纳总结能力，并体会到学习的乐趣．）三、形成新知：1、形成异面直线所成角的定义．异面直线所成的角：已知两条异面直线a b 、，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，''a b 、所成的角的大小与点O 的选择无关，我们把''a b 、所成的锐角（或直角）叫异面直线a b 、所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在两条异面直线中的一条上．2、异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线a b 、 垂直，记作a b ⊥．两直线垂直含异面垂直与共面垂直．3、两条异面直线所成角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦． （设计意图：异面直线概念的得出在前面三步的进行下也就成了顺理成章的事了，只有用严格的数学语言来对一个知识下了定义才能方便我们对该知识的使用，也正是将一个数学概念顺理成章的学生自己构建在了自己的已有的知识体系中，这正是建构主义教学模式在高中数学中的应用研究下高中数学概四、新知应用：正方体ABCD A B C D ''''-中： （1）求直线AB 与B C ''夹角的度数；（2）求直线BA '与CC '夹角的度数； （3）求直线BA '与'AD 夹角的度数． 学生活动：讨论、思考、求解；教师活动：参与讨论共同解决；强调解题的思维与书写步骤的完整．解：（1）由//B C BC ''，可知ABC ∠等于异面直线AB 与B C ''的夹角，易知ABC ∠=090，所以异面直线AB 与B C ''的夹角为90；（2）由//BB CC ''，可知B BA ''∠等于异面直线BA '与CC '的夹角，所以异面直线BA '与CC '的夹角为45；（3）连结',''BC A C ，则'//'AD B C ，则''C BA ∠等于异面直线BA '与'AD 的夹角，易知''A BC ∆为正三角形，所以异面直线BA '与'AD 的夹角为60． 形成能力：1、点O 通常取为两条异面直线中的一条线段的端点或中点；2、求异面直线所成的角的方法： （1）平移直线相交——作； （2）确定角——证； （3）求解角——求．D'C'B'A'DCBA（了能解题，能用，在解题中体会概念的精妙之处，在用中反思概念的合理性．独立思考与合作学习，既发挥了个人的能力也共享了集体的智慧，让每个学生在学习过程中都学有所长，愉快地学习；在建构主义理论下，以任何一种学习模式组织教学，都有一个学习效果的评价，其中包括是否完成对所学知识的意义建构，即是说学以致用，异面直线的夹角来源于生活，形成了数学概念，同时还要回到生活中去，能解决实际问题．故设计的这组练习题是检查学生对异面直线的夹角的掌握情况的，同时也是对异面直线夹角概念的巩固．）六、巩固提高：1、教材16P 练习题第4题：如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中：（1）哪些棱所在直线与直线'AA 成异面直线且互相垂直？ （2）已知'1AB AA ==，求异面直线'BA 与'CC 所成角的度数．2、空间四边形ABCD 中，AD BC ==，,E F 分别是,AB CD 的中点，6EF =，求异面直线AD 与BC 所成的角．注：此题所给的解法是利用余弦定理求解，这是常用也是通用方法，称为解三角形，而此题数据特殊，EGF ∆为等腰三角形，故也可在直角三角形中求解EGF ∠的大小．解：取AC 中点G ，连结,,EG FG EF ，∵,E F 分别是,AB CD 的中点，∴//,//,EG BC FGAD 且1122EG BC FG AD ==== ∴异面直线,AD BC 所成的角即为,EG FG 所成的角，在EGF ∆中，2221cos 22EG FG EF EGF EG FG +-∠==-⋅， ∴120EGF ∠=，异面直线,AD BC 所成的角为60． 形成能力：(1)异面直线所成的角是锐角或直角，当EGF ∆内角EGF ∠是钝角时，则异面直线AD BC 、所成的角是它的补角．(2)此题在平移时用到的是“双移”，手段是利用三角形中位线与底边平行，从而达到平移直线的目的．（3）在平移直线时，合理选择平移点→确定平面→找、移或连．（设计意图：对一个概念的真正撑握必然是经过反复再反复的过程，在实践中把握本质，故在此GFED CBAD'C'B'A'DC B A设计了这个环节．概念不变，但题目千变万化，在这个问题上，采用随机进入式教学；由于事物的复杂性和问题的多面性，要做到对事物内在性质和事物之间相互联系的全面了解和掌握、即真正达到对所学知识的全面而深刻的意义建构是很困难的．往往从不同的角度考虑可以得出不同的理解．为克服这方面的弊病，在教学中就要注意对同一教学内容，要在不同的时间、不同的情境下、为不同的教学目的、用不同的方式加以呈现．换句话说，学习者可以随意通过不同途径、不同方式进入同样教学内容的学习，从而获得对同一事物或同一问题的多方面的认识与理解．让学生思考、探索、讨论，获得多种解题思路，再展现出来，教师引导完成解法，并比较各种做法的差异与优缺点，从而提升学生的题解能力．）七、小结升华：本节课你有什么收获？异面直线夹角的概念及用平移的方法求异面直线所成的角，步骤是：作、证、算；异面直线夹角是二维到三维的推广，而求解异面直线夹角是三维向二维的转化．（设计意图：识升华，最终完成知识建构的重要环节，课后延伸可帮助学生建立自己的知识网络，对本节课起到辅助与延伸的作用，在建构主义教学模式在高中数学中的应用研究下高中数学概念课中的教学模式中必不可少．）八、课后巩固：1、教材16P 习题第6、7题．2、（选做）在长方体D C B A ABCD '''-中，4AB =，2BC =，'2AA =，求异面直线B D '与AC 所成的角的余弦值．九、板书设计十、教学反思 （见前面网页处）D'C'B'A'DCBA。

高中数学异面直线教案
一、教学目标：
1. 理解异面直线的定义和性质。

2. 掌握异面直线的表示方法和判定异面直线的方法。

3. 能够对异面直线的相关题目进行分析和解决。

二、教学重点和难点：
1. 异面直线的定义及性质。

2. 异面直线的表示和判定方法。

三、教学内容：
1. 异面直线的概念及性质
2. 异面直线的表述方法
3. 异面直线的判定方法
四、教学过程：
1. 导入：通过实际生活中的例子引入异面直线的概念，引起学生兴趣。

2. 学习：介绍异面直线的定义和性质，让学生理解异面直线的基本概念。

3. 实践：让学生进行示例分析和计算练习，掌握异面直线的表示和判定方法。

4. 拓展：引入相关的案例题目，让学生运用所学知识解决问题。

5. 总结：对异面直线的内容进行总结回顾，强化学生的理解。

五、课后作业：
1. 完成相关练习题目，巩固所学知识。

2. 思考生活中异面直线的实际应用。

六、评价方法：
1. 考察学生对异面直线定义和性质的理解。

2. 考核学生异面直线的表示和判定能力。

七、教学反思：
1. 分析学生对异面直线的理解情况，及时调整教学方式和内容。

2. 鼓励学生积极思考和探索，提高学习效果。

一、教学目标1. 知识与技能目标：理解异面直线的概念，掌握异面直线所成的角和距离的计算方法，能够运用所学知识解决实际问题。

2. 过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生逻辑思维和空间想象能力。

3. 情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨、求实的科学态度。

二、教学重难点1. 教学重点：异面直线的概念、异面直线所成的角和距离的计算方法。

2. 教学难点：空间几何中异面直线所成的角和距离的计算。

三、教学准备1. 教师准备：多媒体课件、教具（如异面直线模型、坐标纸等）。

2. 学生准备：复习相关知识点，预习新课内容。

四、教学过程（一）导入1. 复习空间几何中的直线概念，引导学生回顾直线、平面、空间等基本概念。

2. 提出问题：什么是异面直线？它们有何特点？（二）新课讲解1. 异面直线的概念：讲解异面直线的定义，引导学生观察异面直线的模型，加深对概念的理解。

2. 异面直线所成的角：a. 介绍异面直线所成的角的概念；b. 讲解异面直线所成的角的计算方法，包括最小角法、平行投影法等；c. 通过实例讲解计算过程，帮助学生掌握计算方法。

3. 异面直线距离的计算：a. 介绍异面直线距离的概念；b. 讲解异面直线距离的计算方法，包括向量法、坐标法等；c. 通过实例讲解计算过程，帮助学生掌握计算方法。

（三）巩固练习1. 学生独立完成课堂练习，巩固所学知识。

2. 教师巡视指导，解答学生疑问。

（四）课堂小结1. 总结本节课所学内容，强调重点和难点。

2. 提出课后作业，让学生巩固所学知识。

五、教学反思1. 教学过程中，关注学生的参与度，鼓励学生提问和讨论。

2. 通过实例讲解，帮助学生理解和掌握异面直线所成的角和距离的计算方法。

3. 注重培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

六、课后作业1. 完成课后练习题，巩固所学知识。

2. 思考并解答以下问题：a. 异面直线所成的角有何特点？b. 如何计算异面直线距离？c. 异面直线在实际生活中的应用有哪些？七、教学用具1. 多媒体课件2. 教具（如异面直线模型、坐标纸等）3. 课后作业题。

异面直线教案【篇一：异面直线及其夹角(教案与反思)】课题：异面直线及其夹角温江中学许桃教学目标：1、知识与技能(1)理解异面直线及其夹角的概念，会画空间两条异面直线的图形，能在空间几何体，中判断两直线是否为异面直线.能在具体几何体中求出一些较简单的异面直线所成的角.(2)初步培养学生由图到物，由物到图的观察想像力;把空间中的角转化为平面上的角的降维能力;根据图形特征选择恰当的平移方式求异面直线所夹角的动手实践能力.2、过程与方法努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑的氛围，提高学学习的兴趣和课堂效率．让学生经历知识的探究过程, 体会类比的数学思想．3、情感目标让学生领悟数学思想观点；体会数学来源于实际又服务于实际，激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神,会用联系的观点，运动变化的思想去分析问题和解决问题教学重点：异面直线所成角的概念, 能求出一些较简单的异面直线所成的角教学难点：如何依托载体选择恰当的点将异面直线所成的角转化为相交直线所成的角教学过程：一、复习引入，问题呈现，导入主题（1）创设情境，感知异面教师活动：创设情境，感知异面学生活动：小实验:请用手中的两支笔当着直线,在空间能摆出两条直线有哪几种位置关系?设计意图：通过简单的动手操作让学生发现问题，培养学生思维的主动性（2）总结概括完善认知教师活动：从公共点个数与是否共面概括空间中两条直线的位置关系学生活动：填写表格（3）问题引导，剖析定义教师活动：例举教室中的两直线是否异面，从大梁和讲台下方的两条直线位置关系的分析中引导学生得出异面直线的定义学生活动：分析问题设计意图：剖析异面直线的定义二、合作交流，探究发现，共论主题（1）例举实例，感知异面直线教师活动：让学生例举生活中的异面直线，展示生活中的异面直线学生活动：例举生活中的异面直线设计意图：从生活实例中感知异面直线（2）异面直线的判定定理教师活动：给出命题，引导学生用反正法证明判定定理学生活动：在引导下根据异面直线的定义证明判定定理设计意图：获取判定定理，掌握异面直线的判定方法。

说课教案：异面直线及其夹角尊敬的各位领导、各位评委：大家好！我今天说课的课题是《异面直线及其夹角》。

下面我说一说我是如何设计这一节课的。

一、教材的地位与作用"异面直线及其夹角"是人教版高中《数学》第二册（下B，必修本）的第九章"空间的直线与平面"的重点内容之一，也是难点之一。

它是立体几何教学的起始阶段，要引导学生去积极探索，逐步建构立几的知识体系，异面直线所成角的大小是一种要重的定量计算。

本节内容运用了类比的方法，平行变换思想，化归的思想，这些是高考中所要重点考察的内容和数学思想。

另外，本节内容的学习巩固深化了前一节“空间的平行直线”的内容，也为以后的线面垂直，向量等内容的学习作准备，是立几中承上启下的关键章节。

二、学生分析学生刚开始学习立体几何，只学习了“平面的基本性质”，“空间的平行线”，知识很有限，觉得问题抽象，难以思考全面透彻，知识的迁移转化能力，空间想象和逻辑思维的能力都比较差。

，在教学中有待于不断的引导、指点、提高、深化。

三、教材分析（1）知识目标：：①．掌握异面直线的概念，会画空间两条异面直线的图形，会判断两直线是否为异面直线。

②．掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较简单的异面直线所成的角（2）能力目标：在问题解决过程中，培养学生的实验观察能力、空间想能力象、逻辑思维能力、分析问题、解决问题的能力。

（3）情感目标：让学生体会客观世界事物普遍联系的辩证唯物主义的观点，会用联系的观点，运动变化的思想去分析问题，解决问题。

形成刻苦钻研，实事求是，严肃认真的科学态度和品质。

（4）教学重点、难点:重点：异面直线所成角的概念,能求出一些较简单的异面直线所成的角。

难点：异面直线所成角的定义, 如何作出异面直线所成的角。

四、教法分析（1）教学方法：采用实验观察、质凝启发、类比、探究、归纳的教学方法。

鼓励学生积极参与，给学生独立的思考空间，让学生经历知识形成的全过程。

高中数学《异面直线》教学设计教学目标:会用图形表示两条直线异面,理解并掌握异面直线所成角的定义,熟记异面直线所成角的范围;会用平移转换法求异面直线所成的角,理解异面直线公垂线的定义,掌握异面直线间距离的概念;会求已给出公垂线的两异面直线间的距离;培养学生的空间想象能力、分析问题、解决问题的能力、逻辑推理的能力,使学生初步掌握将空间问题转化为平面问题的数学思想;通过本节内容的学习,培养学生不断探索发现新知识的精神,渗透事物的相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点.教学重点:异面直线所成角的定义、范围、计算,异面直线间距离的定义与计算.教学难点:异面直线所成角的计算,异面直线间距离的计算.教学过程:Ⅰ.课题导入[师]前面我们学习的空间两条直线的位置关系和平行公理与等角定理、平行公理与等角定理及其推论是平行直线中的有关内容,今天我们来研究异面直线中的有关内容(板书课题.Ⅱ.讲授新课[师]前面我们学习空间两条直线的位置关系时,讨论了异面直线,并且明确了异面直线的特征是不同在任何一个平面内或既不相交又不平行的两条直线.画图表示两条直线异面时,怎样显示它们不共面的特点呢?常用的方法有下列几种:这三种表示方法有一个共同的特点,就是用平面来衬托,离开平面的衬托,不同在任何一个平面的特征则难以体现.请同学们注意:这样表示a、b异面正确吗?[生]不正确.直观上看a⊂α,b⊂β,似乎分别在不同的平面内,但从图形上可看出,a、b有与两平面α、β的交线都平行的可能,这样a与b就平行,它们完全有可能在新的平面γ内,所以这样画容易给人造成误解.[师]好!画异面直线时,一定要把其特征清楚地显现出来,不能使人产生歧义.[师]如图(1,直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,作直线a′,b′,使a′∥a、b′∥b(边记边作,我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角叫做异面直线a和b所成的角.据此,我们给出异面直线所成角的定义(板书.定义:过空间任意一点O ,与异面直线a 和b分别平行的直线所成的锐角(或直角叫做异面直线a 和b 所成的角.[师]由于点O 是任意的,大家说这样作出的角有多少个?[生]无数个.[师]这无数个锐角(或直角的大小有什么关系?(学生中没有人马上回答,似乎还存在着什么困惑[师]把我们得到角的方法,用我们前面学过的知识分析一下.(生恍然大悟,不是不会答大小有什么关系,而是一时没有弄明白为什么存在那样的关系. [生]这无数个锐角(或直角相等.[师]为什么?[生]这无数个锐角(或直角中,每个角的两边都分别平行于a 、b ,据平行公理,这无数个锐角(或直角每个角的两边都分别平行,依据等角定理的推论,这无数个锐角(或直角相等.[师]很好!通过上面的讨论,再认真分析定义,我们可以得出如下的结论:①两条异面直线所成角的大小,是由这两条异面直线的相互位置决定的,与点O的位置选取无关;②两条异面直线所成的角θ∈(0,π2]; ③因为点O可以任意选取,这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便,具体运用时,为了简便,我们可以把点O 选在两条异面直线的某一条上;④找两条异面直线所成的角,要作平行移动(作平行线,把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角;⑤当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,异面直线a 和b 互相垂直,也记作a ⊥b ;⑥以后我们说两条直线互相垂直,这两条直线可能是相交的,也可能是不相交的,即有共面垂直,也有异面垂直这样两种情形.(上面每一条都要摘要作出板书[师]为了加深对这一概念的理解与认识,请同学们举出日常生活中见到过的两条异面直线所成角的实例.[生]课本图中的六角螺母的棱AB 和CD所在的直线成的角,或机械部件蜗轮和蜗杆的轴线所成的角,都是异面直线所成的角.[生]教室顶面与前墙面的交线和地面与侧面的交线所成的角也是异面直线所成的角. [生]正方体前面的左侧棱与后面的对角线所成的角也是异面直线所成的角.[师]好.同学们再来考虑这样的问题:空间三条直线a 、b 、c ,若a ⊥c 、b ⊥c ,则a 、b是怎样的位置关系.[生]a 、b 平行.[师]还有吗?请同学拿出竹签,每两人一组,对照正方体模型实际摆一摆.(同学动手摆弄,讨论[生]a 、b 可能相交,a 、b 也可能异面.[师]好!在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行.在空间,垂直于同一条直线的两直线可能是平行直线,也可能是相交直线,还可能是异面直线.当a 、b异面时,同学们再摆摆看,与a 、b 都垂直的直线有几条?与a 、b 都相交的直线有几条?与a 、b 既垂直又相交的直线有几条?(生摆弄以后回答[生]与a 、b 都垂直的直线有无数条,与a 、b 都相交的直线也有无数条,与a 、b既垂直又相交的直线有且只有一条.[师]好.我们把与两条异面直线既垂直又相交的直线叫做两条异面直线的公垂线(板书注意:从定义可看出,两条异面直线的公垂线与两条异面直线既垂直又相交,“垂直”“相交”两条缺一不可(板书.与两条异面直线都垂直的直线不能称为公垂线,与两条异面直线都相交的直线也不能称为公垂线,对于两条异面直线,它们的公垂线有且只有一条.[师]两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段(公垂线段的长度,叫做两条异面直线的距离.(板书.对于确定的两条异面直线,它们所成的角是确定的,它们的公垂线是确定的,它们的距离也是完全确定的.[师]下面我们来看个例子设图中正方体的棱长为a .(1求直线BA ′和CC ′所成角的大小;(2求异面直线BC 和AA ′的距离.注意:求异面直线所成角的大小,关键是选择恰当的点,通过平移将两异面直线所成的角转化为相交直线所成的角,成为平面问题去求解;求两异面直线的距离,就是求两异面直线的公垂线段的长.分析:因为BB ′∥CC ′,所以∠A ′BB ′就是异面直线BA ′与CC ′所成的角,因为AA ′与AB 垂直相交,BC 与AB 也垂直相交,所以AB 是异面直线AA ′和BC 的公垂线,AB 的长就是异面直线AA ′与BC 的距离.解:(1∵CC ′∥BB ′∴BB ′和BA ′所成的锐角,即∠A ′BB ′就是异面直线BA ′和CC ′所成的角(解题过程中,这句表述不能少.∵∠A ′BB ′=45°,∴BA ′与CC ′所成的角是45°.(2⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫='⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫=⋂⊥=⋂''⊥a AB BC A A AB B BC AB BC AB A AB A A A A AB 的公垂线段和是⇒BC 和AA ′的距离是a . Ⅲ.课堂练习课本P 28练习1,2,3,4.Ⅳ.课时小结本节课我们学习了两异面直线所成角的定义、范围,两异面直线的公垂线的定义,两异面直线间的距离.概念比较多,同学们一定要抓住定义中本质的东西深刻领会,认真掌握,两异面直线所成的角,两异面直线间的距离,这两部分内容,在空间图形中的位置是相当重要的,在高考中也是经常涉及到的,同学们一定要予以高度重视,对于角与距离的求法,要多练习,才能掌握好,相信我们每个同学都会学得很好.Ⅴ.课后作业课本P28习题5,8,9.思考与练习一、选择题1.下列命题中,正确的是(A.垂直于同一条直线的两条直线平行B.有三个角是直角的四边形是矩形C.两平行线中,有一条垂直于第三条直线,则另一条也垂直于第三条直线D.与两异面直线都垂直的直线是它们的公垂线答案:C2.已知异面直线a与b所成的角为50°,P为空间一定点,则过点P且与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有(A.1条B.2条C.3条D.4条答案:B3.直线a、b相交于点O,且a、b成60°角,过点O与a、b都成60°角的直线有(A.1条B.2条C.3条D.4条答案:C4.异面直线a、b所成的角为80°,P是空间一定点,则过点P且与a、b所成的角都是60°的直线有(A.1条B.2条C.3条D.4条答案:D5.若a、b是异面直线,c是a、b的公垂线,d∥c,则d和a、b的公共点的个数是(A.1B.最多为1C.2D.1或2答案:B6.已知直线a与b、b与c都是异面直线,且a与b的公垂线同时也是b与c的公垂线,那么a与c的位置关系是(A.平行或相交B.异面C.平行或相交或异面D.相交或异面答案:C7.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,下列说法正确的是(A.A1B与D1C是距离为a的异面直线B.异面直线AA1与BC的公垂线是A1B1C.异面直线AA1与BC的公垂线是aD.异面直线AA1与BC的公垂线段的长是a答案:D二、填空题1.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,与BD 1成异面直线的有_________条.答案:62.在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 、N 、P 、Q 是相应棱的中点,则(1MN 与PQ 的位置关系是_________,它们所成的角是_________.(2MN 与B 1D 的位置关系是_________,它们所成的角是_________.(3异面直线MN 与B 1D 1间的距离为______.答案:(1相交 60° (2异面 90° (3a3.在空间四边形ABCD 中,对角线AC =BD =2a ,M 、N 分别是边AB 、CD 的中点,若MN = 2 a ,则AC 和BD 所成的角为______,MN 和AC 所成的角为______.答案: 90° 45°4.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 是DC 的中点,AD =AA 1= 2 ,AB =2,那么(1AA 1与BC 1所成角的度数是_____;(2DA 1与BC 1所成角的度数是_____;(3BC 1与D 1M 所成角的余弦是_____. 答案:(145° (290° (3 335.在空间四边形ABCD 中,对角线AC ⊥BD ,若AC =6,BD =4,M 、N 分别是AB 、CD 的中点,则MN =______,MN 与BD 所成角的正切值为______.答案:13 326.空间四边形ABCD 的各边与两条对角线的长都为1,点P 在边AB 上移动,点Q 在边CD 上移动,则点P 和点Q 的最短距离为_________. 答案:227.如图,空间四边形ABCD 中,E 、H 分别是AB 、AD 的中点,F 、G 分别是CB 、CD上的点且CF CB =CG CD =23,若BD =6 cm ,梯形EFGH 的面积为28 cm 2,则平行线EH 与FG 间的距离为_________.答案: 8 cm- 11 -。

教案说明一、教案内容：人教2020修订版高二数学(下B)第十一章第三节第1课时：§11.3相互独立事件同时发生的概率二、教案说明的思路：阐述授课内容的本质、确定本内容的教学目标→分析本内容的承前启后、地位和作用→学习本内容的基础→教学诊断分析（本节内容容易了解与误解的地方）→本节课的教法特点以及预期效果分析→设计例题和练习题的几点说明。

1．授课内容的数学本质、教学目标定位：概率论是研究随机现象的一个数学学科, 研究基础是定义和假设，概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小,是研究数理统计的基础。

近年来，概率论与数理统计在许多学科领域如工程、信息、社会、经济、气象与环境中逐渐成为不可替代的基础分析工具。

本节仅限于两个事件相互独立时，研究它们的积事件的概率。

要求学生掌握相互独立事件的概念和计算，为学习后继课程打下基础。

概率这门学科要求对基本概念、基本性质和方法的理解比较强，平时教学时有同学说其他章节不存在把题看不懂的问题，但是概率部分的题尤其文字叙述的时候看不懂题，这一特点从我校学生在2008年高考数学Ⅱ卷中第18题的解答情况可见一斑，绝大多数学生反映此题连题目都没读懂，解答情况很不好。

另外在概率测试中，学生要么考高分，要么考低分，考中间分数的人很少，也说明了这门课程的特点。

从这个意义上来看，本节在确定教学目标时，要结合概率知识的特点，教学时，一要使学生理解基本概念和计算方法，二要通过实例体会将复杂事件转化为和或积事件的思考方法。

基本概念搞清楚了，常规计算掌握了，这节课的教学目标就基本达到了。

2．分析本内容的承前启后、地位和作用。

高二下B概率一章紧随排列和组合之后，共有三节内容，依次是随机事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率。

本教案是最后一节的第1课时，大纲要求本节共上3课时，之后是独立重复事件的概率，到此高二的内容就结束了。

再之后，高三选修内容中安排了和概率有关系的统计内容。

异面直线间的距离教学设计教学设计：异面直线间的距离一、教学目标：1. 知识与技能目标：了解异面直线的概念，学会计算异面直线间的距离。

2. 过程与方法目标：培养学生观察分析和解决问题的能力，提高学生的逻辑思维和数学运算能力。

3. 情感态度价值观目标：培养学生的合作意识和创新思维，增强学生对数学的兴趣和信心。

二、教学准备：1. 教学资源：教材《高中数学必修3》、黑板、彩色粉笔、投影仪、电脑、PPT 等。

2. 学生准备：学生需要提前复习直线的方程和向量的相关知识。

三、教学过程：1. 导入（10分钟）：引导学生回顾直线的方程和向量的相关知识，提问如下问题：a. 两条平行直线的距离如何计算？b. 两条直线相交时，直线间的夹角如何计算？通过回答问题，引出本节课的主要内容——异面直线间的距离。

2. 知识讲解（20分钟）：a. 讲解异面直线的概念：两条不在同一平面上的直线称为异面直线。

通过示意图和实例，让学生理解异面直线的概念。

b. 解释异面直线间的距离：计算异面直线间的距离的一种方法是利用向量的相关知识。

通过示意图和实例，讲解向量表示直线和直线间的夹角，以及利用这些向量计算异面直线间的距离的原理。

3. 解题练习（40分钟）：将学生分组，提供一些练习题，并在黑板上进行解答，同时使用投影仪和PPT 演示解题过程。

组织学生讨论解题思路，鼓励学生积极参与，培养他们的合作意识和创新思维。

教师根据学生的解答情况进行指导和点评，解答过程中注重引导学生思考解题方法和思路。

4. 拓展应用（20分钟）：给出一些拓展题，让学生运用所学知识解决一些更复杂的问题。

这些问题可以与实际生活、工程设计等相关，增强学生对异面直线间距离计算的兴趣和应用能力。

学生可以使用投影仪和PPT演示自己的解题过程，并对其他同学的解题方法进行评价和讨论。

5. 总结反思（10分钟）：在课堂结束前，对本节课的内容进行总结，并对学生的学习情况进行反思。

a. 教师总结本节课所学的知识点，强调学生需要牢固掌握的重点和难点。