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第六章 自相关

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六章自相关

六章自相关

Econometrics 2005
18
6.3 自相关的检验
6.3.1 图解法
时间序列图（Time Sequence plot):将残差对时间描点。 如图（a）所示，扰动项的估计值呈循环形，并不频繁 地改变符号，而是相继若干个正的以后跟着几个负的。 表明存在正自相关。
t
t
Econometrics 2005
小于临界值，表示存在序列相关。
Econometrics 2005
28
6.4 自相关的补救1: ( 已知）广义差分法
以双变量回归模型和AR(1)为例。
Yutt
1 2 X t ut1 t
ut
Yt 1 2 X t ut
(1)
Yt1 1 2 X t1 ut1
( 2)
(1) (2) :
Yt Yt1 b0 (1 ) b1( X t X t1) t
差分形式
Yt b0 (1 ) Yt1 b1X t b1X t1 t
a0 b0 (1 )
a1 b1
Yt a0 Yt1 a1 X t a2 X t1 t
a2 b1
往也是正的。于是在不同的样本点之间，随机误差项出现了相关
性，这就产生了序列相关性。
Econometrics 2005
16
再如，以绝对收入假设为理论假设、以时间序列数据
作样本建立居民总消费函数模型：
Ct 0 1 I t t
t=1,2,…,n
消费习惯没有包括在解释变量中，其对消费量的影响被
包含在随机误差项中。如果该项影响构成随机误差项的
类似一阶自相关的定义， 若rs Cov(ut ,uts ) 0, s 2 则称为是高阶自相关。
Econometrics 2005

第六章 自相关性

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估计值显著性，最终把本来重要的解释变量认为 是不重要的而删除掉，即显著性检验失效。
接前页
3、降低预测精度
由于参数估计值方差虚假增大，致使预测区间的 可信程度降低，预测结果将失去实际意义。
6.3自相关性检验方法

从上述内容的介绍我们可以发现，自相关对模型产生的 不良后果是比较严重的，因此，必须采取相应措施加以 修正或克服。但在修正或克服之前，应该对模型误差项 序列是否存在自相关进行判断，即自相关检验。其方 法主要有：
6.2自相关产生的后果
1、参数估计值非有效（即不再具有最小方差性） 根据前面学过的内容，我们知道，只有在符合同 方差和非自相关性假定条件下，OLS估计结果才 具有最小方差性。当模型存在自相关，参数估计 值方差不是最小（即估计结果不是最优）。
2、模型的显著检验（T检验）失效
标准差增大，导致t统计量变小，进而低估了参数

第二步，对原数据进行广义差分变换，得：
yt*= yt- ρ Yt-1 , xt*= xt- ρ xt-1，再对模型 yt*=A+b1 xt*+ vt*进行回归，并根据回归结果得到原模型 参数估计值b0= A/ （1- ρ ^）和b1
总结说明
迭代法： 是采用一系列迭代，而每一次迭代都 能得到比前一次更好的一阶自回归 系数ρ ^ 杜宾两步法： 也是获得比较准确的一阶自回归系数ρ ^的方法
t
关来判断随机项的自相关。


1、按时间顺序绘制残差分布图：
1.1 正自相关：残差e随时间t的变化并不频繁改变符号，而是几个正的 后面有几个负的。
e
O t
正自相关
接前页

1.2 负自相关：e随t变化依次改变正负符号

第六章 自相关性

第六章 自相关性
例如，将月度数据调整为季度数据，由于 采用了加合处理，修匀了月度数据的波动，使 季度数据具有平滑性，这种平滑性产生自相关。 对缺失的历史资料，采用特定统计方法进行内 插处理，使得数据前后期相关，产生了自相关。
10
原因4－蛛网现象
蛛网现象是微观经济学中的一个概念。它表 示某种商品的供给量受前一期价格影响而表现出 来的某种规律性，即呈蛛网状收敛或发散于供需 的均衡点。
xt xs xt2 xs2
0
若为负自相关，则E(ut us) < 0，而回归模型中的解
释变量在不同时期通常也负相关，从而
kt ks
xt xs xt2 xs2
0
总之，一般有
ts
kt
ks
E
(
ut
us
)
0
19
从而
Var(ˆ2 )
2
xt2
即如果仍用不存在自相关时的OLS估计参数的方差， 将会低估存在自相关时参数估计值的真实方差。
13
自相关主要存在于时间序列数据中，但是在 横截面数据中，也可能会出现自相关,通常称其 为空间自相关（Spatial auto correlation）。
14Βιβλιοθήκη 第二节 自相关的后果一、对参数估计式统计特性的影响 （1）如果随机误差项具有自相关性，当我们
仍用OLS进行参数估计时，估计式仍具有线性性和 无偏性。
E(ˆ1) E(Y ˆ2 X ) E(Y ) XE(ˆ2 )
(1 2 X ) X2 1
推导也仅用到零均值假定，表明无偏性也成立。
17
（2）不再具有最小方差性。
Var(ˆ2 ) E[ˆ2 E(ˆ2 )]2 E(ˆ2 2 )2
E(kt ut
)2

第六章 自相关

第六章 自相关

第六章 自相关§6.1 自相关一. 概念：经典假定4 cov(,)0,()i j u u i j =≠，不被满足，称i u 存在自相关或序列相关。

自 相关主要存在于时间序列中。

自相关又分为正自相关和负自相关，其主要表现是： 正自相关：当某个0t u >时，随后若干项12,,t t u u ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅都有大于零的倾向； 当某个0t u <时，随后若干项12,,t t u u ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅都有小于零的倾向。

负自项关：相邻两项的符号有相反的倾向。

在时间序列中，t u 的符号信息对以后各期都有一定的影响，即跨期的扰动项序列相关（经济数据中居多）。

所以在实际工作中，以正自相关较为常见。

二. 产生自相关的原因：1. 许多经济变量是时间序列，此时不能认为u 无自相关；2. 非重要因素归入随机误差项，而这些因素又有自相关的情况；3. 一些重大偶然事件对经济的冲击，往往要延续一段时间；4. 模型本身设置的不正确。

三. 自相关强度的度量------自相关系数1. 自相关的阶：一阶自相关：t u 只与1t u -（之前一期）有关，1()t t u f u -=； 二阶自相关：t u 与12,t t u u --（之前两期）有关，12(,)t t t u f u u --= s 阶自相关：t u 与之前s 期有关，12(,,,)t t t t s u f u u u ---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅一般情况下，以研究一阶自相关为主。

因为相邻两期的影响最强且一阶的形式也比较简单。

这时通常假定是一阶线性自相关。

2. 自相关系数：若假定是一阶线性自相关，则自相关形式为1t t t u u v ρ-=+且11ρ-<<ρ是常数，可称为（一阶）自相关系数；t v 是一个新的随机项且满足所有经典假定，即 2~(0,)t v v N σ ()0t t E v v '= ()t t '≠()0s t E u v = ()t s >这样自相关形式就是一个不含常数项的线性模型，ρ就是回归参数，可用OLS 法估计ρ：12212nt t t nt t u uuρ-∧=-==∑∑1nt t u u-≈∑ （当n 很大时，22122n nt t t t u u-==≈∑∑）这完全符合相关系数的计算表达，所以称ρ为自相关系数是合理的。

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误差项 u1, u2 ,..., un 间存在 正相关
不能判定是否有自相关
d L DW dU
dU DW 4 - dU
4 - dU DW 4 - d L
误差项 u1, u2 ,..., un 间 无自相关
不能判定是否有自相关 误差项 u1, u2 ,..., un 间存在 负相关
16
一、一阶自回归形式的性质
一元线性回归模型:
Y = 1 + 2 X + u
假定随机误差项 u 存在一阶自相关
ut = ut -1 + vt
其中，ut为现期随机误差， ut -1 为t-1期随机误差。 是经典误差项，满足零均值假定 E(vt ) = 0 和同方差假定 Var(vt ) = v 、无自相关假定 E(vt vs ) 0 (t s) 。
Cov ut , us 0t s
Cov ut , ut 1 0
自相关
一阶自相关
ut ut 1 t 为一阶自相关系数
一阶线性自相关
6
二、自相关产生的原因 自 相 关 产 生 的 原 因
经济系统的惯性
经济活动的滞后效应 数据处理造成的相关
2,400 2,000 1,600 1,200
EOLS
800 400 0 -400 -800 -1,200 -1,200
结论： 一阶正自相关
-800 -400 0 400 800 EOLS(-1)
30
再来看看另一幅图
结论： 无一阶自相关
残差的散点图
31
二、DW检验法
DW 检验是J.Durbin(杜宾)和G.S. Watson (沃特森)于1951年提出的一种适用于小样本的检 验方法。DW检验只能用于检验随机误差项具有 一阶自回归形式的自相关问题。

自相关(序列相关性)

自相关(序列相关性)
0
i
β X
1
β
=
1
∑ x y ∑ x
=
β
1
+
∑k u
i
i
所以，E (
Var( β ) = + 2σ ∑ x x ρ σ 2 ∑x (∑ xt )
1
2 2 t s 1 2 u u t s<t 2
)=β β
1
其中，
k
i
=
x ∑x
i
2 i
1
t s
即 Var（
β）
1
>
1
∑x
2 t
σu2
（一） OLS估计值方差增大 估计值方差增大
k ≠s k ≠s
检验， 检验失效 （二） t检验， F检验失效 检验
（三）预测精度降低
第二节 自相关的检验
一、图示法
通过et的变化来推断ut的变化规律 1.估计模型，求出 2.作 断
et
et 与 t
或
et 与et-1等的相关图，进行判
瓦特森（ 二、杜宾--瓦特森（Durbin--Waston）检验 杜宾 瓦特森 ） 简称， 简称， D--W检验 检验
2.自相关产生的原因 自相关产生的原因 （1）随机项 ui 本身的自相关——“真自相关” 例如，一些随机因素：自然灾害、经济政策、战争 等的影响往往会持续若干时期，造成随机项自相关 （2）模型设定不当，包括遗漏重要解释变量或错误确 定模型的数学形式——“拟自相关” （ 3）数据处理不当造成的自相关 例如，对数据进行差分等变换，就可能产生自相关。
，直到其收敛为止。一般，迭代两步就可以
了，所以，又叫科克兰内--奥克特两步法。 杜宾两步法可以推广到高阶自相关的情况。 利用 d=2（1-

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Y = 1 + 2 X + u
假定随机误差项 u存在一阶自相关:
ut = ut -1 + vt
其中， ut 为现期随机误差， ut -1 为前期随机误差。
vt 是经典误差项，满足零均值 E(vt ) = 0 ，同方
差 Var(vt ) = v2 ，无自相关 E(vt vs ) 0 (t s) 的假定。
23
图 6.1 绘制
et 与 et 1 的关系
(et -1 , et ) (t 1,2,..., n)
et -1 , et
的散点图。用
作为散布点绘图，如果大部分点落在第Ⅰ、Ⅲ象限，表明 随机误差项 ut 存在着正自相关。
24
et
et
et-1
et 1
图 6.2
et与et-1的关系
如果大部分点落在第Ⅱ、Ⅳ象限，那么随机误 差项 ut 存在着负自相关。
t
E(vt ) 0 , Var(vt ) , Cov(vt , vt+s ) 0 , s 0 则此式称为一阶自回归模式，记为 AR (1) 。因为
2
模型中 ut -1是 ut 滞后一期的值，因此称为一阶。
此式中的 也称为一阶自相关系数。
4
如果式中的随机误差项 vt 不是经典误差项，即
21
第三节 自相关的检验
本节基本内容:
● 图示检验法 ● DW检验法
22
一、图示检验法
图示法是一种直观的诊断方法，它是把给定的
回归模直接用普通最小二乘法估计参数，求出
残差项 et ，et 作为 ut 随机项的真实估计值，
再描绘 et的散点图，根据散点图来判断 et 的 相关性。残差 et的散点图通常有两种绘制方 式 。

第六章自相关

第六章自相关

ut 非自相关 ut 完全正自相关 ut 完全负自相关 ut 有某种程度的正自相关 ut 有某种程度的负自相关
当DW值落在“不确定”区域时，有两种处理方法。（ 1）加大样本容量或 重新选取样本，重作DW检验。有时DW值会离开不确定区。（2）选用其 它检验方法。
DW检验临界值与三个参数有关。
附表 4 DW 检验临界值表（? = 0.05）
依据 OLS 公式，模型 ut = ? 1 ut -1 + vt 中? 1 的估计公式是
T
? utut?1
a?1
=
t?2 T
。
? ut?12
t?2
若把 ut, u t-1 看作两个变量，则它们的相关系数是 ?? =
T
? utut?1
t?2
。
T
T
? ? ut 2
u
t
?
2 1
t?2
t?2
对于充分大的样本显然有
-2
0
2Leabharlann d. 负自相关序列散点图X (-1)
4
6
X (-1)
4
6
4 U
2
0
-2
-4
-4
-2
0
f 非自相关序列散点图
U (-1)
2
4
6.1自相关产生的原因
（138页）
自相关产生的原因： 1．经济变量的惯性作用。大多数经济时间序列都 存在自相关。
2. 经济行为的滞后性。 3. 数据处理造成的相关。（如用时距扩大法、指数平 滑法、内插法处理数据） 4.模型设定偏误。 5.蛛网现象。
以一元线性回归模型 yt = ?0 + ? 1 xt + ut 中? 1 为例，

第六章 自相关 《计量经济学》PPT课件

第六章 自相关 《计量经济学》PPT课件

由于解释变量之一是被解释变量的滞后值，称为自 回归模型。人们的消费习惯不会轻易改变，从而 对模型产生自相关性。
（3）模型设定偏误（specification error）。
一是应含而未含变量（excluded variable）设定偏 误；二是不正确的函数形式。例
Yi
1
2 X 2i
3
X
2 2i
ui
• 同时，可以推出下列结论
•
E(ut ) mE(vtm ) 0
m0
（6.1.14）
•
Var(ut
)
m0
2 mVar (vt
m
)
1
2 v
2
（6.1.15）
三、自相关产生的原因
（1）惯性（inertia）。
大多数经济时间序列都一个明显的特点，就是它的 惯性或黏滞。例如，GDP、价格指数、就业等时 间序列都呈现出一定的周期性。这种“内在的动 力”惯性往往产生序列自相关。
E ( ˆ2
)
E
(
xt yt xt2
)
E(2
xtut xt2
)
•
2
xt E(ut ) xt2
2
（6.2.5）
• 即参数 2的OLS估计量为无偏估计量。
在随机干扰项不满足无自相关条件时，得到OLS估 计量的方差为：
Var(ˆ2
)
E(ˆ2
2
)
E(
xtut xt2
)2
1 ( xt2 )2
下，经济变量也是正相关，式子（6.2.6）括号内的数值是 大于0的。也就是说，仍使用式子（6.2.3）作为参数估计 量的方差将会低估真实的方差。
• 当随机干扰项不存在自相关时， 2 的无偏估计为：

第六章 自相关

第六章 自相关

E(εi ) = 0
ˆ b = b + ∑kiεi 1 1
ˆ E(b ) = E(b + ∑kiεi ) = E(b ) + E(∑kiεi ) = b 1 1 1 1
10
2.最小二乘估计量的方差有可能增大，不再是最优估计量 最小二乘估计量的方差有可能增大， 最小二乘估计量的方差有可能增大
对 率 数 1,当 型 存 自 关 ， 以 明 斜 参 b 模 中 在 相 时 可 证
vt = b3X3t + εt
它也会随着时间变化呈现系统变化的趋势，容易产生自相关
7
4、数据处理产生自相关
我们使用的经济数据，一般都经过一定的加工，比如大 家在统计学中学过指数平滑法，它是消除时间序列数据 中长期趋势波动的一种修匀数据的方法，很多时间序列 数据都采这种方法进行处理，它就容易导致随机误差项 呈现系统变化模型，产生自相关问题。
若 = 0.562,则 < d < dL, 存 一 正 相 d 0 在 阶 自 关
若 = 3.521,则 − dL < d < 4,存 一 负 相 d 4 在 阶 自 关
若 = 2,则 U < d < 4 − dU ,不 在 阶 相 d d 存 一 自 关 若 =1.267,则 L < d < dU , 无 确 模 中 否 在 阶 相 d d 法 定 型 是 存 一 自 关 若 = 2.980,则 − dU < d < 4 − dL, 无 确 模 中 否 在 阶 相 d 4 法 定 型 是 存 一 自 关
∑xt ⋅ ∑xs > 0时 当 > 0,且 ρ xt2 ∑
ˆ Var(b ) > 1
∑x

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第六章 自相关一、什么是自相关及其来源 二、自相关的后果三、自相关的检验 四、自相关的修正五、应用实例6.1自相关的概念及其来源例如：研究中国工业总产值指数（Y ）和国有企业工业总产值指数（X ）的关系，利用1977年至1997年的历史资料，运用OLS 方法得到如下模型。

2ˆ0.0568 1.0628(37.8666)(0.3502)(0.0015)(3.0348)0.32650.37679.2099t t Y X t R DW F =+====给定显著性水平a=0.05，自由度为19，查t 分布表得0.025(19) 2.093t =。

以模型的计算结果t=3.0348，且0.025(19)t t >，表明t X 对t Y 的影响比较显著，但可决系数并不理想。

这种情况下，随机扰动项之间有可能存在序列自相关。

一、自相关的概念自相关（auto correlation ）又称序列相关（serial correlation ），是指总体回归模型的随机误差项i u 之间存在的相关关系。

更一般的，自相关是指某一随机变量在时间上与其滞后项之间的相关。

经典回归模型中，曾假定随机误差项无自相关，即i u 在不同观测点之间是不相关的。

(,)(,)0()i j i j Cov u u E u u i j ==≠如果该假设不成立，就称i u 与j u 存在自相关，即不同观测点上的误差项彼此相关。

二、自相关产生的原因 1）经济系统的惯性。

自相关现象大多出现在时间序列数据中，其本期值往往受滞后值影响，突出特征就是惯性和低灵敏度。

例如：居民总消费函数模型01(1,2,,)t t tC Y u t n ββ=++=总消费受收入（t Y ）的影响，事实上消费也受消费习惯的影响。

把消费习惯并列随机扰动项中，就可能出现序列相关性。

2）经济行为的滞后性例如，基础设施的建设需要一定的建设周期，那么产出效益的发挥有一定滞后时间。

第六章 自相关

第六章 自相关

2 2

n 2 2
n 1 2 n2 2 2
4.自相关的后果
如果把最小二乘法用于随机项有序列相关的 回归模型，那么将产生三种主要后果（下面以一 阶自回归的形式来讨论） ： 第一，尽管所得的估计值仍是无偏的，但这 时其估计值的方差大小可能非常不同于其真实的 方差（下面的讨论以 Yi = X i 为例） 。 估计值仍是无偏性的证明： xi y i xi i ˆ x 2i x 2i
4.自相关的后果
从上式可清楚看出，随机项有无序列相关，估计值的 方差是大不相同的。特别是，如果 为正，且 X 值 的前后期也为正相关时，上式的第二项则为正，这时 的方差将明显大于随机项无序列相关时的方差。因此， 这时仍用最小二乘法得到的参数估计值的方差，将比 其真实的方差低得多。
4.自相关的后果
3.自相关性质
下面我们主要讨论一阶自回归的形式
t t 1 vt
这里的 是自相关系数，且有 1 ，如果 0 则 称之为正序列相关， 0 则称之为负序列相关。 而 vt 是随机变量，且满足假设
E (vt ) 0, E (vt ) v , E (vt v s ) 0, t s
第六章 自相关
本章知识结构
1.自相关概念 2.自相关产生的原因 3.自相关的性质 4.自相关的后果 5.自相关的检验 6.自相关模型的估计 7.案例

1.自相关概念
在回归分析方法中，还有一个重要的假设条件是假设 回归模型中的随机项 i 是独立的或不相关的，即
Cov( i , j ) =0 ，i j ， j 1,2, , n 。
2 t t 2 2 i

第六章 自相关

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= +
其中， ， 为误差项，且满足所有经典假定，即 满足下列条件：
（1）零期望 ；
（2）同方差 常数；
（3）无序列相关 （ ）；
（4）与 不相关
则称为 为一阶线性自相关，也称 为一阶自回归。
3.在 满足一阶自回归的形式下，关于 的特点
常数
可见当 时，且 = + ，即在 满足一阶自回归的形式时， 满足零期望假定，满足同方差假定，但不满足 的无自相关的假定。
其次，Durbin和Watson根据样本容量 ，解释变量的个数 ，显著水平 ，确定统
计量 的上限临界值 和下限临界值 。这样，对于原假定 ，确定判断一阶自回归的
区域：
当 时，表明存在一阶正相关，且相关程度随着 接近0而逐渐增强；
当 或 时，表明不能确定存在自相关，此时D-W检验失效；
当 时，表明不存在一阶自相关；
另一种，可以绘制 与时间 的二维坐标图，如图（c），（d）所示，图（c）为循环型。 不是频繁改变符号，而是连续几个正值之后跟着几个负值，表明存在正相关。图（d）为锯齿型。 随时间变化逐次改变符号，说明存在负相关。
二、D-W检验
D-W检验是J.Durbin G.S.Watson于1951年提出的，是检验序列相关常用的方法。
第二节自相关的后果
一、存在自相关时OLS估计的性质
1. ， 仍然为线性估计量。
2. ， 仍是 ， 的无偏估计。
3.参数估计值不再是方差最小的。
二、自相关性的后果
1.参数OLS估计的方差增大。
2.参数的显著性 检验失效。
3.区间估计和预测精度下降。
第三节自相关的检验
一、图示法
一般有两种方法：一种，计算 与 ，然后绘制 与 的坐标图，若 与 的图形存在系统反映，则可以判断随机项 可能存在自相关，如图6.2所示，近似认为图（a）为正相关，图（b）为负相关。

第六章 自相关

第六章 自相关

（ 4）
二、杜宾两步法
广义差分法要求 已知，但实际上只能用 的估计值 ^ 来代替。 这种方法是先估计 再作差分变换，然后用OLS法来 估计参数。步骤是： 1.将模型(3)的差分形式写为
Yt = bo (1 )+ Yt-1 + b1 Xt b1 Xt-1 + ε t
Yt = ao + Yt-1 + a1 Xt
et
n
2
et et 1 ˆ ρ 2 et
ˆ) d 2(1
• 因为-1 1，所以，0 d 4
DW检验的判断准则
不能检出 不能检出
正自相关 0
无自相关
负自相关
dL
dU
2
4- dU
4- dL
4
依据显著水平、变量个数（k）和样本大小（n） 一般要求样本容量至少为 15。
ˆ 2Yt 1 Yt ρ ˆ 2 X t 1 Xt ρ ˆ 2 t 1 t ρ
Xt
( 2)
7、反复迭代，直到 收敛，实际上人们只迭代两次， 称为二步迭代法。Eviews 中有专门命令 AR(1) 一阶自回归 LS Y C X AR(1) 在回归结果中，可以直接读到 的迭代收敛值。
用OLS法来求得参数估计值 ^ ao 和 ^ b1 此外求的估计值还有其它方法：
ˆ) d 2(1 ρ
d ˆ 1 ρ 2
三、科克兰内—奥克特迭代法
科克兰内—奥克特法又称迭代法，步骤是： 1、用OLS估计模型 Yt= bo + b1 Xt+μ t 2、计算残差et ^ ^ +b ^X ) et = Yt Yt = Yt (b o 1 t 3、 将et代入，得残差的一阶自回归方程 et = et-1 + ε t

第六章 自相关性

第六章 自相关性
9
原因4－蛛网现象
蛛网现象是微观经济学中的一个概念。它表 示某种商品的供给量受前一期价格影响而表现出 来的某种规律性，即呈蛛网状收敛或发散于供需 的均衡点。 许多农产品的供给呈现为蛛网现象，供给对 价格的反应要滞后一段时间，因为供给需要经过 一定的时间才能实现。如果本期的价格低于上一 期的价格，农民就会减少本期的生产量。如此则 形成蛛网现象。
2 2 t 2 t ts
k t2 E ( ut2 ) 2 k t k s E ( ut us )
本章讨论四个问题：
●什么是自相关 ●自相关的后果 ●自相关的检验 ●自相关性的补救
1
第一节
什么是自相关
一、自相关的概念
由于自相关性较多地表现在时间序列中，所以 考虑模型： Yt 1 2 X 2t k X kt ut 如果随机误差项的各期值之间存在相关关系，即
Cov( ut , us ) E[ut E( ut )][us E( us )] E( ut us ) 0 ( t s)
Cov( ut , ut 1 ) Var( ut ) Var( ut 1 )
当r＜0时，则ut与ut-1为负自相关；当r＞0时，正自 相关；当r 0时，不相关。
一阶自相关可表示为 ut rut 1 v t
其中vt为满足古典假定的误差项。
3
一阶自相关 ut rut 1 v t 也称一阶自回归形式的自相关。 设 ut ut 1 vt , 则 ut ut 1 ut21 ut 1v t , 于是 E ( ut ut 1 ) E ( u ) E ( ut 1v t ) E ( u )
8
原因3－数据处理造成的相关
因为某些原因需对缺陷或缺失数据进行了 修整和内插处理，在这样的数据序列中可能产 生自相关。 例如，将月度数据调整为季度数据，由于 采用了加合处理，修匀了月度数据的波动，使 季度数据具有平滑性，这种平滑性产生自相关。 对缺失的历史资料，采用特定统计方法进行内 插处理，使得数据前后期相关，产生了自相关。

第六章 自相关

第六章 自相关

第六章 自相关（序列相关）§1 自相关的涵义一、自相关的概念回归模型中随机扰动项的逐项相关，即(,)(,)()0 (t s, s,t T)t s t s t s Cov Y Y Cov u u E u u ==≠≠∈ 多重共线性和异方差既可出现于时间序列数据，也可于横截面数据。

而序列相关则存在与用时间序列数据建立的模型中。

二、自相关的模式⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩一阶线性自相关线性自相关自相关高阶线性自相关非线性自相关（一）一阶线性自相关12White Noise ()0()(,)0 (t s)t t tt t t t s u u E Var Cov ερεεεεσεε-=+=⎧⎪=⎨⎪=≠⎩其中为白噪声()，即（二）高阶线性自相关 以二阶为例1122,t t t t t u u u ρρεε--=++其中为白噪声一般形式为p 阶1122,t t t p t p t t u u u u ρρρεε---=++++其中为白噪声§2 自相关的产生原因和后果一、 自相关的产生原因 （一）经济现象固有的惯性 （二）模型的设定偏误 （三）数据处理的影响 二、 自相关的后果（一） 参数估计量仍然是线性无偏的（二） 参数估计量不再具有最小方差性（OLS 低估真实方差）（三） 参数的显著性检验失效§3 自相关的判断一、图示法1t t te e e t --⎧⎨-⎩作图作图二、游程检验三、Durbin-Watson 检验 （一） 适用条件（二） D-W 统计量的构造21221()nt t t ntt e e d e-==-=∑∑（三） D-W 统计量与自相关系数的关系22222111112222222211122212212111222221122()(2)222222nnnnntt tt t t tt t t t t t t t nnnt t t t t t nnntt tt t t nnnt t t t t t t t nn t t t t e eeee e eee e d e e e eee e e e e ed e e -----========-===---===--==-+-+-==≈≈-∴==-=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑＝在大样本条件下，有ˆ2ˆ12dρρ-=-或（四） DW 检验的判别标准d=0.121（五） DW 检验的局限性 四、LM 检验根据定义，p 阶自相关可表述为：()1122 711t t t p t p t t u u u u ρρρεε---=++++-教材其中为白噪声存在上述自相关时，回归模型01122......t t t k kt t Y X X X u ββββ=+++++可记为()011221122...... 712t t t k kt t t p t p t Y X X X u u u ββββρρρε---=+++++++++-教材LM 检验为：012112:0:p p H H ρρρρρρ====，，不全为零原假设成立时()2LM nR p χ=若卡方统计量大于临界点，或者其概率值低于给定的α，应当拒绝原假设，认定存在p 阶线性自相关。

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k
ρ k xt xt + k 的符号难以断定，用 的符号难以断定， ∑∑
t =1 k =1
σ u2
xi2 ∑
也可能高估OLS估计 估计 也可能高估
量的真实方差，但对OLS估计量方差的估计也是有偏的。 量的真实方差，但对 估计量方差的估计也是有偏的。 估计量方差的估计也是有偏的
真实方差 :
2σ u2 ˆ Var ( β 2 ) = +[ 2 xt xt2 ∑ ∑
3 2
=⋯
ut = ρ ut −1 + ε t = ∑ ρ k ε t −k 一般关系： 一般关系：
k =0 ∞
期望
E (ut ) = ∑ ρ k E (ε t −k ) = 0
k =0
∞
方差
σ = Var (ut ) = Var (∑ ρ ε t − k ) =∑ ρ 2 kVar (ε t − k )
i≠ j 2 2 i
ˆ Var ( β 2 ) =
xi2 E (ui2 ) ∑ (∑ x )
2 2 i
=
σ2
xi2 ∑
在异方差但无自相关 异方差但无自相关时 异方差但无自相关
[ E (u ) = σ , E (ui u j ) = 0]
2 i 2 i
ˆ Var ( β 2 ) =
xi2 E (ui2 ) ∑ (∑ x )
2 u k t =0 t =0
∞
∞
σ ε2 = σ ε2 (1 + ρ 2 + ρ 4 + ⋯) = 1− ρ 2
证明) 协方差(P162证明 证明 k = 1时 类推可得
σ ε2 2 Cov (ut , ut −1 ) = ρ (σ ε2 + ρ 2σ ε2 + ρ 4σ ε2 + ⋯) = ρ = ρσ u 1− ρ2
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第六章自相关一、填空题1. 回归模型残差序列的自相关指。

2. 以时间序列数据为样本建立起来的计量经济模型中的随机误差项往往存在较严重的__________。

3. D.W统计量与一阶自相关系数的关系是。

4. 建立线性回归模型，进行D.W检验，如果α=5%，填写下表空格：D.W统计量是否存在自相关序号样本容量n解释变量个数（不含截距项）k1 252 0.832 30 5 1.243 50 8 1.984 60 6 3.725 200 20 1.615. 残差序列自相关的型式有两种：、和。

6. 识别模型残差项自相关型式的工具是，也就是计算残差序列的自相关系数（AC）和偏自相关系数(PAC)。

7. 用自相关图识别模型残差序列的自相关型式，如果AC函数拖尾，PAC函数截尾，则残差序列可建立型自相关。

如果PAC函数拖尾，AC函数截尾，则残差序列可建立型自相关。

如果AC、PAC函数都拖尾，则建立型自相关。

二、选择题1.若回归模型中的残差项存在一阶自回归形式的自相关，则估计模型参数应采用（）。

A.普通最小二乘法(OLS)B.加权最小二乘法（WLS）C.广义差分法（GLS）D.工具变量法(IV)2.用于检验残差序列一阶自相关的DW统计量的取值范围是( )。

A. 0≤ DW ≤1B.－1≤ DW ≤1C.－2 ≤ DW ≤2D.0≤ DW ≤ 43.已知DW统计量的值接近于2，则样本回归模型残差的一阶自相关系数 近似为（）。

A.0B.-1C.1D.0.54.已知样本回归模型残差的一阶自相关系数接近于-1，则DW统计量近似等于( )。

A.0B.1C.2D.45.在给定的显著性水平之下，若DW 统计量的上、下临界值分别为U d 和L d ,则当L d ＜DW ＜U d 时，可认为随机误差项（ ）。

A.存在一阶正自相关B.存在一阶负相关C.不存在序列相关D.存在序列相关与否不能断定6．某企业的生产决策是由模型t t t u P S ++=10ββ描述（其中t S 为产量，t P 为价格），又知：如果该企业在t-1期生产过剩，决策者会削减t 期的产量。

由此判断上述模型存在（ ）。

A. 异方差问题B. 序列自相关问题C. 多重共线性问题D. 随机解释变量问题7. 对于模型u X Y +=β，若存在残差序列自相关，同时存在异方差，即有0)(=u E ，Ω='='2)()(u u u E u u Cov σ，则广义最小二乘法随机误差项的方差—协方差矩阵是一个（ ）。

A.奇异阵B.单位阵C.长方形矩阵D.对称阵8.用矩阵形式表示的广义最小二乘参数估计量为Y X X X b 111)(---Ω'Ω'=，此估计量为（ ）。

A.有偏、有效的估计量B.有偏、无效的估计量C.无偏、无效的估计量D.无偏、有效的估计量9.采用广义最小二乘法关键的一步是得到随机误差项的方差—协方差矩阵Ω，这就需要对原模型βX Y =，首先采用（ ）以求得随机误差项的近似估计量，从而构成矩阵Ω的估计量（ ）。

A.一阶差分法B.广义差分法C.普通最小二乘法D.Durbin 两步法三、简答题1.简述序列相关性的含义。

其产生的原因是什么？2.简述序列相关性的后果。

3.列举序列相关性的检验方法。

4.DW 检验的局限性主要有哪些?5.简述自相关性检验方法的共同思路。

6. 科克兰内-奥长特（Cohrane-Orcutt ）两步法）。

7.如何用广义差分法解决自相关问题。

8.什么是虚假自相关？如何避免虚假自相关问题。

9.若回归模型的随机误差项可能存在q （1>q ）阶自相关，应采用什么检验？其检验过程和检验统计量是什么？四、实践题1．某地消费基金、GDP 使用额、平均人口数资料如下：要求：（1）用OLS 法建立二元线性回归方程，估计有关参数，并对其做经济意义解释和说明; （2）对得出的二元回归方程进行拟合程度检验、t 检验、F 检验，并说明各自的经济意义; （3）进行D.W 检验;(4) 设第13年X1=67，X2=58，应用该回归模型进行区间预测。

（0.05()(123)222.26n m t t α--==）2. 下表给出了美国1960-1995年36年间个人实际可支配收入X 和个人实际消费支出Y 的数据。

注：资料来源于Economic Report of the President ，数据为1992年价格。

要求：（1）用OLS 法估计收入—消费模型；t t u X Y ++=221ββ（2）检验收入—消费模型的自相关状况（5%显著水平）；（3）用适当的方法消除模型中存在的问题。

3. 下表给出了中国进口需求(Y )与国内生产总值(X )的数据。

1985~2003年中国实际GDP 、进口需求 单位: 亿元 年份 实际GDP （亿元）X 实际进口额（亿元）Y 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 19998964.40 9753.27 10884.65 12114.62 12611.32 13090.55 14294.88 16324.75 18528.59 20863.19 23053.83 25267.00 27490.49 29634.75 31738.822543.2 2983.4 3450.1 3571.6 3045.9 2950.4 3338.0 4182.2 5244.4 6311.9 7002.2 7707.2 8305.4 9301.3 9794.82000 2001 2002 200334277.92 36848.76 39907.21 43618.5810842.5 12125.6 14118.8 17612.2注：表中数据来源于《中国统计年鉴2004》光盘。

实际GDP 和实际进口额均为1985年可比价指标。

要求：（1）检测进口需求模型 t t t u X Y ++=21ββ 的自相关性； （2）采用科克伦－奥克特迭代法处理模型中的自相关问题。

参考答案 一、填空题1.残差的当前值与其自身的过去值之间的相关关系；2．自相关；3. d≈2(1-ρ) ；4. 存在一阶正自相关、不确定、不存在自相关、存在一阶负自相关、不确定；5.AR(p)、MA(q)、ARMA(p,q)；6.相关分析；7.AR 型、MA 型、ARMA 型。

二、选择题1.C;2.D;3.A;4.D;5.D;6.B;7.D;8.D;9.D三、问答题1．答：对于模型i ik k i i i u X X X Y +++++=ββββ 22110， i=1,2,…,n 随机误差项互相独立的基本假设表现为： 0),(=j i u u C o v ， i≠j ，i,j =1,2,…,n如果对于不同的样本点，随机误差项之间不再是完全互相独立，而是存在相关关系，即 0),(≠j i u u C o v ， i≠j ，i,j=1,2,…,n 则认为出现了自相关性。

2．答：（1）参数估计量仍然具有无偏性，但非有效，在大样本情况下仍不具有一致性；（2）变量的显著性检验失去意义； （3）模型的预测失效。

3．答：图示检验法、回归检验法、冯诺曼比检验法、D.W 检验等。

后三种方法的共同思路是：首先采用OLS 法估计模型，以求得残差项的近似估计e 。

图示检验法。

有两种图示检验法。

其一是绘制1,-t t e e 的散点图，观察散点的分布状态，判断自相关的形式和性质。

其二是绘制t e 随时间变化的散点图。

如果t e 随时间的变化呈现有规律的变化，比如锯齿型或循环型，则认为t e 序列存在自相关。

如果t e 随时间的变化不断改变符号，则判断t e 之间存在负自相关。

如果t e 随时间的变化并不频繁地改变符号，而是几个正的后面跟几个负的，则判断t e 之间存在正自相关。

回归检验法。

即是以e 为被解释变量，以各种可能的相关量，比如以221 , ,t t t e e e --等为解释变量，建立各种方程：t t t e e ερ+=-1，t t t t e e e ερρ++=--2211，…对各方程进行估计并进行显著性检验，如果存在某一函数形式，使得方程显著性成立，则说明原存在序列相关性。

具体应用时须反复试算。

回归检验法的优点在于一旦确定了模型存在自相关，也就指导了相关的形式，而且这种方法适合于任何学时的自相关问题的检验。

冯诺曼比检验法。

该法在于构造冯诺曼统计量：∑∑==----ni ini i i ne en e e 12221/)()1/()(当样本容量足够大时（大于30），该统计量近似服从正态分布。

计算该统计量的值，将它与具有正态分布的理论分布进行比较，如果大于临界值，表示不存在序列相关，如果小于临界值，表示存在序列相关。

德宾-瓦特森（Durbin-Watson ）检验（D-W 检验）。

该检验主要用于探测一阶自相关形式t t t u u ερ+=-1的存在性。

该检验的原假设0:0=ρH ，备择假设0:1≠ρH ，检验统计量为的d 。

∑∑∑∑===--=-+=nt tnt nt t t t n t t ee e ee d 2222121222d 与ρ的关系为：)1(2ρ-≈d 。

d 的取值范围为40≤≤d 。

查D-W 分布表，可知在样本容量为n,解释变量个数为k,显著性水平为α时的临界值U L d d ,。

若0<d <L d ，则存在正自相关；若4-L d <d <4，存在负自相关； 若U d <d <4-U d ，不存在自相关；若L d <d <U d ，4-U d <d <4-L d ，为不能确定区间。

4. 答：在图示检验法、回归检验法、冯诺曼比检验法、D.W 检验方法中，D.W 检验最具有应用价值。

但其应用必须具有以下条件：（1）回归模型必须含有截距项； （2）解释变量必须是非随机的；（3）解释变量中不能包含被解释变量的滞后期； （4）不能用于联立方程模型中各方程组的自相关检验； （5）只适用于随机误差项存在一阶自回归形式的自相关检验；（6）DW 检验存在两个不能确定是否存在自相关的范围，目前还没有比较好的解决办法。

5. 答：由于自相关性，相对于不同的样本点，随机误差项之间不再是完全互相独立，而是存在相关关系，那么检验自相关性，也就是检验随机误差项之间的相关性。

各种检验方法就是在这个思路下发展起来的。

6. Cohrane-Orcutt 迭代法。

如果自相关系数ρ未知，采用迭代法估计模型。

设原回归模型为：t t t t t t u u u X Y ερββ+=++=-110 ,（1）对模型进行OLS 估计得e )1(1，e )1(2…e )1(n ，计算)1(ρ。