人教A版高中数学选修2-2第二章2.3数学归纳法习题课件 (共17张PPT)

数学归纳法 温故知新 回顾复习归纳推理的定义、步骤及其所得结论的正确性如何 ．

新知导学 1．数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n取__________________时命题成立． 第一个值n0(n0 ∈N*) ②(归纳递推)假设___________________ 时命题成立，证明当 n＝k＋1时命题也成立． n＝k(k≥n0，k∈N*)
牛刀小试 1．用数学归纳法证明1＋2＋„＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时 ，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是( ) A．1 B．1＋3 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 [答案] C [解析] 当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋ 3.故应选C.
[ 解析 ]
自变量的取值依次为 2,4 ＝ 22,8 ＝ 23,16 ＝ 24,32 ＝
25，„故为 2n.右边分母全为 2，分子依次为 3,4,5,6,7，„，故 n＋2 n n＋2 右边为 2 ，即 f(2 )> 2 .
典例探究学案
数学归纳法的基本原理及用数学归纳法证 明恒等式
1 1 1 证明： ＋ ＋„＋ ＝ 1×3 3×5 2n－12n＋1 n .(n∈N*) 2n＋1
1 1 1 1 n 2．用数学归纳法证明1· 2＋2· 3＋3· 4＋„＋nn＋1＝n＋1(n ∈N*)，从“n＝k 到 n＝k＋1”时，等式左边需要增添的项是 ( ) 1 A． kk＋1 1 C． k k ＋2 1 1 B． ＋ kk＋1 k＋1k＋2 1 D． k＋1k＋2
1 1 1 127 而 1＋2＋4＋„＋ 8－1> 64 ，故应选 B. 2
1 1 1 4．(2013· 华池一中高二期中)已知 f(n)＝1＋2＋3＋„＋n(n 3 5 7 ∈N )，计算得 f(2)＝2，f(4)>2，f(8)>2，f(16)>3，f(32)>2，由

课堂小结 1.数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不 等式、数列问题、整除问题、几何问题等. 2.证明问题的初始值n0不一定，可根据题目要求和问题 实际确定n0. 3.从n＝k到n＝k＋1要搞清“项”的变化，不论是几何元 素，还是式子，一定要用到归纳假设.
(2)证明：a1＋1 b1＋a2＋1 b2＋…＋an＋1 bn＜152. 证明 a1＋1 b1＝16＜152. n≥2时，由(1)知an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)＞2(n＋1)n. 故a1＋1 b1＋a2＋1 b2＋…＋an＋1 bn＜16＋122×1 3＋3×1 4＋…＋nn1＋1
＝16＋1212－13＋13－14＋…＋1n－n＋1 1＝16＋1212－n＋1 1＜16＋14＝152. 综上，原不等式成立.
规律方法 探索性命题是试题中经常出现的一种题型， 此种问题未给出问题的结论，往往需要由特殊情况入手， 归纳、猜想、探索出结论，然后再对探索出的结论进行 证明，而证明往往用到数学归纳法.这类题型是考试热点 之一，对培养创造性思维具有很好作用.
跟踪演练4 设数列 {an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n2－ 4n，n∈N*，且S3＝15. (1)求a1，a2，a3的值； 解 由题意知S2＝4a3－20， ∴S3＝S2＋a3＝5a3－20. 又S3＝15，∴a3＝7，S2＝4a3－20＝8. 又S2＝S1＋a2＝(2a2－7)＋a2＝3a2－7， ∴a2＝5，a1＝S1＝2a2－7＝3. 综上知，a1＝3，a2＝5，a3＝7.
4k2＋8k＋4
>
2ห้องสมุดไป่ตู้
·2k＋1＝2
＝ 2k＋1
2
2k＋1
4k2＋8k＋3 2k＋3· 2k＋1 2k＋1＋1

2．对数学归纳法的步骤的理解 用数学归纳法证明命题的两个步骤，是缺一不可的．如果 只有步骤(1)而缺少步骤(2)，作出的判断可能是错误的，单靠 步骤(1)也无法递推下去．同样只有步骤(2)而缺少步骤(1)，也 可能得出不正确的结论．例如，假设n＝k时，等式 2＋4＋6＋„＋2n＝n2＋n＋1成立，就是 2＋4＋6＋„＋2k＝k2＋k＋1. 那么2＋4＋6＋„＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋1＋2(k＋1)＝(k ＋1)2＋(k＋1)＋1.
规律技巧 此类题在考试中经常出现，它是考查探究归纳 能力的好素材，应切实掌握.
三
与自然数有关的应用问题
【例3】
(整除问题)用数学归纳法证明：(3n＋1)· 7n－1(n
∈N*)能被9整除． 【分析】 成立； (2)假设n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立． 按照数学归纳法证明步骤：(1)先证n＝1时命题
1 ＝2k(3k－1)＋3k＋1 1 2 ＝2(3k ＋5k＋2) 1 ＝2(k＋1)(3k＋2) 1 ＝2(k＋1)[3(k＋1)－1]． 即n＝k＋1时等式也成立． 综上，由(1)与(2)可知，对一切n∈N*，等式成立．
规律技巧
用数学归纳法证明数学命题，关键要看两个步
骤是否齐全，特别是第二步的归纳假设是否被利用，若没有利 用归纳假设，那就不正确.
第二章
推理与证明
§2.3 数学归纳法
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
自学导引 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的 数学命题.
课前热身 数学归纳法只适用于与__________有关的命题，其步骤 为： (1)(归纳奠基)__________； (2)(归纳递推)假设__________时命题成立，证明 __________命题也成立． 只有完成这两步骤，就可断定，命题对从n0开始的所有正 整数n都成立.

2．3 数学归纳法
ppt课件
研题型 学方 法
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题型一 用数学归纳法证明等式
用数学归纳法证明 1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝12n(3n－1)(n∈N*)． 分析：按数学归纳法的解题步骤进行证明，要清楚等式两边的结构， 特别当 n＝1 时，等式两边分别是什么？当 n＝k 到 n＝k＋1 等式两 边发生了什么变化，这是解题的关键．
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题型三 用数学归纳法证明整除问 题
求证：an＋1＋(a＋1)2n－1(n∈N*)能被 a2＋a＋1 整除． 分析：对于多项式 A，B，如果 A＝BC，C 也是多项式，那么 A 能被 B 整除． 证明：(1)当 n＝1 时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．
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＝21(3k2＋5k＋2) ＝21(k＋1)(3k＋2) ＝21(k＋1)[3(k＋1)－1]． 即 n＝k＋1 时等式也成立． 综上，由(1)与(2)可知，对一切 n∈N*，等式成立．
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规律方法：用数学归纳法证明与自然数有关的一些 等式命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的结 构规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的 取值是否有关系．由“n＝k”到“n＝k＋1”时， 等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．
根据(1)和(2)，可知等式对任何 n∈N*都成立．
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题型二 用数学归纳法证明不等式 用数学归纳法证明：1＋12＋31＋…＋2n－1 1<n(n∈N*，n>1)． 分析：利用数学归纳法，n＝k 到 n＝k＋1 时增加的项有21k＋2k＋1 1
＋…＋2k＋11－1. 证明：(1)当 n＝2 时，左边＝1＋21＋13，右边＝2，左边<右边，不等 式成立．