MATLAB巧画三维动态氢原子电子云

计算物理期中作业题目： 氢原子中电子云的概率分布摘要：通过氢原子的波函数(,,)r ψθϕ求解氢原子中电子在(),θϕ方向立体角 d Ω 中的概率密度，然后编程进行计算并画图给出氢原子角向电子云分布图，通过对比可以看出不同(,)l m 给出的角向电子云分布图呈现一定规律。

关键词：氢原子，概率密度，连带勒让德多项式氢原子中电子在(),θϕ方向立体角 d Ω 中的概率为22(,,)nlm d r r drψθϕΩ⎰2220(,)()lm nl d Y R r r drθϕ+∞=Ω⎰2(,)lm Y d θϕ=Ω则立体角d Ω内的电子云角向概率密度为222(,)(cos )(cos )mim mlm l l Y P eP ϕθϕθθ==连带勒让德多项式为2/2()()(1)()m m m l l P x x P x =-则对勒让德多项式求m 次导数易得()()()mm l l md P x P x dx=[]/220(1)(22)!2!()!(2)!l mk l kmlk d l k x dxk l k l k -=--=--∑[]()/220(1)(22)!2!()!(2)!l m k l k ml k l k xk l k l k m ---=--=---∑得连带的勒让德多项式[]()/22/220(1)(22)!()(1)2!()!(2)!l m k m m l k ml l k l k P x x xk l k l k m ---=--=----∑为求解氢原子角向电子云概率密度2(cos )ml P θ编程如下程序OPEN( 1, FILE='STAR.TXT')WRITE(*,*)'请输入角量子数L和磁量子数M' READ(*,*)ZL,ZMPI=3.141DO T=0,PI,0.01R=PPP(ZL,ZM,COS(T))**2WRITE(1,*)R*COS(T),R*SIN(T)ENDDOENDFUNCTION PPP(ZL,ZM,X)PPP=PP(ZL,ZM,X)*(1.0-X*X)**(ZM/2.0)RETURNENDFUNCTION PP(ZL,ZM,X)IF(MOD((ZL-ZM),2).EQ.0) THENZLL=ZL-ZMELSEZLL=ZL-ZM-1ENDIFPP=0DO ZK=0,ZLL/2.0PP=PP+P(ZL,ZM,ZK,X)ENDDORETURNENDFUNCTION P(ZL,ZM,ZK,X)P=(-1)**ZK*F(2*ZL-2*ZK)/2**ZL/F(ZK)! /F(ZL-ZK)/F(ZL-2*ZK-ZM)*X**(ZL-2*ZK-ZM) RETURNENDFUNCTION F(ZN)F=1.0DO ZK=1.0,ZNF=F*ZKENDDORETURNEND图形结果m变化的关系（图a）电子云的1/2剖面图随角量子数l和磁量子数m234角量数l（图b ）图a各图沿y轴的旋转立体图图b的放大图Y10Y20Y21Y31Y32Y40Y41Y428642Y43结论定义m l -≡δ称之为差量子数。

[ 5]
. MAT
LAB 软件同时具有强大的图形处理功能, 可以采用
图 4 氢原子 2p( m = # 1) 态的电子 云图
3) 彩色立体曲面图 用曲面命令 surf( R, Z, W ) 可画出概率密度曲面 . 再用命令 shadin g interp 可使曲面的颜色连续变化, 结合其他命令可调整曲 面的视角等 . 如图 5 所示, 4 f态的 电子云 !随着磁 量子数的不同而不同 .
( 6)
Pl ( x ) 是缔合勒让德函数 , Pl (x ) = ( 1- x )
m 2 m 2 -m l 2
k= 0
( - 1) ( 2 l- 2 k )! x ( 7) l 2k ! ( l- k )! ( l- 2 k -m )! ( r, ,
2
k
l - 2k - m
当氢原子处于 率为 W nlm ( r, , 因此概率密度为 W nlm ( r, , 即 W n lm ( r, , ( 2) 由此可见, W n lm 与 的旋转体.
图 2 氢原子 2p 态 ( m = 0) 的电子云图
3 逐点扫描法
利用概率密度公式, 根据对称性依次计算每一 点的概率密度, 并用不同颜色画出来, 这种方法就是 逐点扫描法 . 逐点扫描法不是用点数的浓度表示概 率密度 , 而纯粹用颜色表示 . 图 3( a) 3( c) 分别表示磁量子数为 0, # 1 和 # 2的 3d 电子在 z - r 平面的 概率密 度. 其中密 度 最大处的半径 都是 6a0, 连 线分别 沿竖 直方 向、 # 45∃ 方向和水平方向 . 由图 3 ( a) 所示 , 当 m = 0 时 , 电子云在 z - r 平面上分为 4 片 , 上下两片中心概率 密 度 最 大, 达 到 0 . 077% ; 左 右 两 片 中 心 为 0. 021% . 由图 3( b) 所示 , m = # 1 时 , 电子云分为 全 等的 4 片, 每片中心的概率密度为 0. 029 % . 由图 3 ( c) 所示 , m = # 2 时的电 子云只分为两 片, 中心 概 率密度也是 0 . 029 %.

用MATLAB绘制原子轨道及杂化轨道角度部分图吕申壮【摘要】原子轨道和杂化轨道是量子化学、结构化学研究和教学的重要内容, 其图形能加深理解. 文章介绍了用MATLAB绘制原子轨道及杂化轨道角度部分图,通过设定surf(X,Y,Z,C)的第四个参数,以达到原子轨道的角度部分的正负值用不同的颜色表示. 研究结果表明MATLAB是解决结构化学数值计算和数据可视化问题的一种非常有效的工具.%The Atomic orbital and hybrid orbit al is an important part in the research and education of quantum chemistry and structure chemistry. The graphical presentation can make students deeply understand them. It is illustrated to draw angular parts of the atomic orbital and the hybrid orbital with MATLAB and the different signs of the function are shown in the different color by setting the fourth parameter of function surf (X, Y, Z and C). The result shows that MATLAB is a powerful tool to solve the problems of numerical calculation and data visualization in structural chemistry.【期刊名称】《乐山师范学院学报》【年(卷),期】2015(030)012【总页数】3页(P26-28)【关键词】MATLAB;原子轨道;杂化轨道;结构化学【作者】吕申壮【作者单位】乐山师范学院化学学院,四川乐山 614000【正文语种】中文【中图分类】O6-39;O641原子轨道和电子云图形在化学中应用十分广泛，是结构化学和量子化学的重要内容之一［1-3］。

实验：用MATLAB 绘制电子云图一．实验要求使用MATLAB 绘制氢原子430ψ态的电子云图，用灰度图表示。

二．实验目的（1）将氢原子核外电子分布形象化，加深对电子云概念的理解。

（2）锻炼自己发现问题、解决问题的能力。

（3）熟悉MATLAB 的绘图。

三．实验过程（1）计算分布几率考虑到系数对分布规律没有影响，因此，对于径向波函数，直接考虑其正比关系即可。

043023043a Zre a Zr a Z R -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∝ 另外，查表得到球谐函数。

3222330)332(741)cos 3cos 5(741),(ry x z z Y --=-=πθθπϕθ 由此得到23430230430)cos 3cos 5(10⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∝-θθa r e a r a P 即222222430222)332(z y x e y x z z P ++---∝（2）实验代码clear;num= 500;Time = 50;level = 255;set = 3000;x = linspace(-30,30,Time);y = linspace(-35,35,num);z = linspace(-35,35,num);Filename = ['D:\430.gif'];for t = 1:Timefor m = 1:numfor n = 1:numg430(m,n) =z(m)^2*(2*z(m)^2-3*x(t)^2-3*y(n)^2)^2*exp(-1/2*sqrt((x(t)^2+y(n)^2+z( m)^2)));endendg430a = level*ones(length(z),length(y))-g430/set*level;image(y,z,g430a);colormap(gray(level));f = getframe(gcf);imind = frame2im(f);[imind,cm] = rgb2ind(imind,256);if t == 1imwrite(imind,cm,Filename,'gif','Loopcount',inf,'DelayTime',0.1);elseimwrite(imind,cm,Filename,'gif','WriteMode','append','DelayTim e',0.1);endif mod(t,5) == 0imwrite(imind,cm,strcat('D:\',num2str(t/5),'.jpg'));endend（3）实验结果从X=-30至X=30，间隔为5进行取样，得到如下图片，动态图附邮件附件中。

图4错误提示窗口
在编辑框中输入数字，若满足取值条件，如n=2，l=1，m=0，左击氢原子径向几率密度按钮，得到如图5所示图形。左击角向几率密度平面图按钮，得到平面图；左击角向几率密度立体图，得到立体图，如图6所示。
图5 n=2，l=1，m=0时氢原子径向几率密度
(a)(b)
图6 n=2，l=1，m=0时角向几率密度平面图和立体图
用它来供用户进行编辑，对各个不同对象输入操作指令，用户可以单击右下方的这个指令区，进入程序代码窗口，编辑回调函数。
3.排列工具（alignment tool）
它用来安排图形对象的位置。排列工作包括三个区域：align（方向排列）、distribute（分布）和set spacing（设定间距），设定完成后，单击apply按钮，即可完成排列工作。
它与 角无关，即对绕z轴旋转是对称的。
2.2.
要想掌握matlab图形用户界面技术，首先需要了解图形对象的概念。图形对象指图形系统中的基本图元。matlab定义了10种图形对象：根对象（root）、图形窗口对象（figure）、轴对象（axes）、线对象（line）、块区域对象（patch）、面对象（surface）、图像对象(image)、文字对象（text）、菜单对象（menu）、控件对象（control）。matlab创建这些图形对象时，会给出每个图形对象一个句柄（handle），用来标识该图形的对象。
if n>=1&l>=0&m>=-l&m<=l&n>=l+1 %判断量子数是否输入错误，若没错，画图
syms r a nn x;%自定义变量，完成符号运算
Nnl=-sqrt((2/n)^3*factorial(n-l-1)/(2*n*(factorial(n+l))^3));%归一化常数Nln

自动化专业综合设计报告
自动化专业综合设计报告
设计题目： 实现动态画图功能
所在实验室： 自动化系统仿真实验室
指导教师：
学生姓名
班级
学号
撰写时间： 2012-02-24 成绩评定：
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

title('交线')
13
xx
马鞍面、平面及交线
14
xx
三维图形的控制命令
视角控制命令view
view(az,el)
设置查看三维图的 视点。az为水平方 位角，从y轴负方向 开始，逆时针旋转 为正；el为垂直方 位角，以向z轴方向 旋转为正。三维默 认视角为az=-37.5, el=30
与三维网格图的区别： 网格图：线条有颜色，空挡没有颜色 曲面图：线条是黑色，空挡有颜色（把线条之间的
空挡填充颜色，沿z轴按每一网格变化）
10
xx
例：绘制函数 z xe(x2y2 ) , 2 x, y 2
，比较指令mesh和surf。
的图像
解：matlab命令为：
t=-2:0.1:2; [x,y]=meshgrid(t); z=x.*exp(-x.^2-y.^2); subplot(1,2,1),mesh(x,y,z),title('网格图') subplot(1,2,2),surf(x,y,z),title('曲面图')
的背景设置为color_option指定的颜色
见P70 例4-36
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图形颜色控制命令colormap
colormap([R,G,B]) 用单色绘图， [R,G,B]代表一 个配色方案，取值在[0,1]之间。通过对R、G、B大 小的设置，可以调制出不同的颜色。p71表4-5
colormap(CM) CM为色图矩阵。色图为m*3的 矩阵。Matlab预定义了一些色图矩阵的值，表4-6 为常用的色图矩阵。
MATLAB 绘图
xx
1
三维曲线绘图 三维曲面绘图

MA TLAB教程：教你画三维曲线三维图形（含图形处理）制作三维动画三维曲线plot3函数与plot函数用法十分相似，其调用格式为：plot3(x1,y1,z1,选项1,x2,y2,z2,选项2,…,xn,yn,zn,选项n)其中每一组x,y,z组成一组曲线的坐标参数，选项的定义和plot 函数相同。

当x,y,z是同维向量时，则x,y,z 对应元素构成一条三维曲线。

当x,y,z是同维矩阵时，则以x,y,z对应列元素绘制三维曲线，曲线条数等于矩阵列数。

例绘制三维曲线。

程序如下：t=0:pi/100:20*pi;x=sin(t);y=cos(t);z=t.*sin(t).*cos(t);plot3(x,y,z);title('Line in 3-D Space');xlabel('X');ylabel('Y');zlabel('Z');三维曲面1．产生三维数据在MA TLAB中，利用meshgrid函数产生平面区域内的网格坐标矩阵。

其格式为：x=a:d1:b; y=c:d2:d;[X,Y]=meshgrid(x,y);语句执行后，矩阵X的每一行都是向量x，行数等于向量y的元素的个数，矩阵Y的每一列都是向量y，列数等于向量x的元素的个数。

2．绘制三维曲面的函数surf函数和mesh函数的调用格式为：mesh(x,y,z,c)：画网格曲面，将数据点在空间中描出,并连成网格。

surf(x,y,z,c)：画完整曲面，将数据点所表示曲面画出。

一般情况下，x,y,z是维数相同的矩阵。

x,y是网格坐标矩阵，z 是网格点上的高度矩阵，c用于指定在不同高度下的颜色范围。

例绘制三维曲面图z=sin(x+sin(y))-x/10。

程序如下：[x,y]=meshgrid(0:0.25:4*pi); %在[0,4pi]×[0,4pi]区域生成网格坐标z=sin(x+sin(y))-x/10;mesh(x,y,z);axis([0 4*pi 0 4*pi -2.5 1]);此外，还有带等高线的三维网格曲面函数meshc和带底座的三维网格曲面函数meshz。

图四 点击图形窗口的工具条上的相应按纽， 可实现旋转和放缩功能， 改变观察的 视角和距离。本文给出了图四放大的效果（ 图五 ）， 内部看得更清楚。 最后， 作为论文的结束， 给出
ψ
2
( x, y , z ) 630
的值为 2 的等值面（ 图
六 ）， 有兴趣的读者可以是试着画出其他的图。
图五（上），图六（下）
ψ
(r ,θ ,ϕ ) nlm
2
z
r=
x +y +z
2
2
2
, cosθ = z r ,
得到电子在直角坐标系的位置几率密度表达式后，利用 MATLAB 的矩阵计算功 能，在一定的空间范围内，取一系列离散化的位置点，计算出相应的位置几率密度 值，就实现了数值化。 三、位置曲率密度的图像实现
有了位置几率密度的标量场数据， 图像功能强大 MATLAB 对它进行可视化处理 的方法很多。 本文采用 isosurface（等值面）和 contour（等值线）两种方法处 理。 其中 isosurface 根据离散化的三维空间的标量场数据和外部给出的数值在指 定的空间范围内绘出一个光滑的等值面， 可以附加光照的效果而且可以旋转放 缩， 效果很直观。 contour 用来处理平面问题，可以画一系列等值线。两者的特 点在于： isosurface 是三维空间图， 立体空间感直观准确， 但一次只有一个值 的等值面，其他值就不能同时显示； contour 处理平面问题， 这里利用了 的空间对称性，做出 yoz 平面等值线簇， 对不同的值的分布表示的 很全面直观， 但完整的立体空间感还需要通过对 z 轴的旋转的想象来获得。 这两个程序命令具体使用方法可在 MATLAB 的命令窗口中用 help 命令来查询， 这里不再赘述。 四、结果及例子分析 上述所有内容编制成一个 m 函数文件 wave.m（见下）。此函数的输入变量 有四个，输出结果为三个图像。使用方法参照 MATLAB 参考书中有关章节. 此程序 可以绘制符合条件的所有图像， 下面是其中的两个例子。

使用Mathmatica软件绘制原子轨道作者：吴玉辉梁永军范争丽来源：《科技视界》2017年第14期【摘要】Mathmatica是美国Wolfram Research公司开发的著名数学软件，作为便捷的数学计算平台，它能提供强大的代数符号运算。

本文利用Mathmatica强大的图形运算函数，简洁方便地描绘出几种的常用原子轨道图形。

在化学及材料相关课程的教学过程中，通过使用Mathmatica对原子轨道的计算及绘图演示，可使教学过程更加形象、生动、丰富，相关知识点也更容易被学生理解，理论联系实际。

可以提高教学效率，激发学生的学习兴趣。

【关键词】Mathmatica；原子轨道图；计算机模拟；原子结构；结构化学Mathematica具有数值计算、符号演算、图形处理三大功能，是由美籍英国物理学家Stephen·Wolfram为进行量子力学研究而开发的一个数学分析型的软件，其最大的优势在于用户可以通过运算得到方程的解析解。

用户可以通过Mathematica具有的强大函数作图功能，制作出各种二维函数和三维函数图形，也可以生成三维函数的等值图和密度图。

目前世界上越来越多的学者使用Mathmatica软件用于物理、化学、材料等相关问题的计算研究和教学工作，本文旨在应用Mathmatica计算软件绘制几种常见的原子轨道。

1 原子轨道的数学表达形式解类氢原子的Schrodinger方程，可得原子轨道的数学表达式，以2px轨道为例，其表达式如下。

另（ψ1s=e-r，读者可参考相关文献自行推导）2 使用Mathmatica绘制轨道2.1 绘出2px原子轨道：2.3 绘制4f轨道图3 结束语教学实践证明，轨道波函数等理想模型与计算机代数系统的综合运用，能有效地激发学生的学习兴趣。

学生们在动手操作过程中，能更深入地理解和掌握对结构化学相关基本概念的理解和认识。

同时也能学习如何使用Mathmatica这种数学软件，以及如何加强解决实际问题的能力。

MATLAB 绘图
xx
1
三维曲线绘图 三维曲面绘图
2
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二、MATLAB三维曲线绘图
plot3——三维曲线绘制指令 plot3的调用格式：
plot3(X,Y,Z) plot3(X,Y,Z,’String’) plot3(X1,Y1,Z1,’ String1’,X2,Y2,Z2,’ String2’,…) plot3与plot的 用法相同
➢ shading faceted
以平面为单位进行着色，在flat用色基础上，在贴片的 四周勾出黑色网线。
23
subplot(131),surf(peaks(40)); subplot(132),surf(peaks(40));shading flat subplot(133),surf(peaks(40));shading interp
subplot(122),h = surf(ones(10,10));rotate(h,[0 0 1],i,[1 0 0]) end
➢ rotate3d
动态旋转命令，可以让用户使用鼠标来旋转视角
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背景颜色控制命令colordef
➢ colordef white 将图形的背景颜色设置为白色 ➢ colordef black ➢ colordef none 将图形背景和图形窗口的颜色设置
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对象和句柄
MATLAB把构成图形的各个基本要素称为图形对象， 包括图形窗口、坐标轴、线条、曲面、文本和其它对 象。
每一个对象都有一个数字来标识，叫做句柄。当每次 创建一个对象时，MATLAB就为它建立一个唯一的句 柄。
29
作业ห้องสมุดไป่ตู้P79
5,7,8,9
30
22

氢原子电子云空间分布的可视化1 技术指标1）设计一个用户界面，从不同角度直观揭示氢原子电子云空间几率分布的规律。

要求：有用户任意输入量子数的界面；2）根据量子力学中对氢原子的求解，设计出各个模块的参数（例如径向分布概率，角向分布概率等）；3）用Matlab来进行模拟；4）通过给定量子数，可以弹出绘图窗口，给出该量子态下，三维空间中氢原子中电子在空间各点的几率分布。

2 基本原理2.1 电子云模型及其量子力学实质电子云是电子在原子核外空间概率密度分布的形象描述，电子在原子核外空间的某区域内出现，好像带负电荷的云笼罩在原子核的周围，人们形象地称它为“电子云”。

用现代量子力学的观点来看，电子有波粒二象性，它不像宏观物体的运动那样有确定的轨道，因此画不出它的运动轨迹。

我们不能预言它在某一时刻究竟出现在核外空间的哪个地方，只能知道它在某处出现的机会有多少。

为此，就以单位体积内电子出现几率，即几率密度大小，用小黑点的疏密来表示。

小黑点密处表示电子出现的几率密度大，小黑点疏处几率密度小，看上去好像一片带负电的云状物笼罩在原子核周围，因此叫电子云。

用一个波函数Ψ（x，y，z）表征电子的运动状态，并且用它的模的平方|Ψ|^2的值表示单位体积内电子在核外空间某处出现的几率，即几率密度，所以电子云实际上就是几率密度|Ψ|^2在空间的分布。

研究电子云的空间分布主要包括它的径向几率分布和角度几率分布两个方面。

径向分布探求电子出现的几率大小和离核远近的关系，被看作在半径为r，厚度为dr的薄球壳内电子出现的几率。

角度分布探究电子出现的几率和角度的关系。

2.2 用matlab软件编程实现电子云模型根据氢原子束缚态电子的波函数表达式Ψnlm=Rnl*Ylm，其中Rnl 和Ylm分别是径向波函数和球谐波函数，n是波函数的主量子数，l是角量子数，m是磁量子数。

径向波函数和球谐波函数均可以根据薛定谔方程求解出具体表达式，从而确定了其波函数表达式，利用matlab软件超强的函数编程功能和作图功能，可以作出在给定n、l、m条件下，电子的径向概率函数、角向概率分布函数和在整个空间分布的概率函数图。

一. 测不准原理(uncertainty principle)
Heisenberg指出，无法同时确定微观粒子 的位置和动量： △x· △px≥h/4π △x为粒子在x方向的位置误差，△px为动量 在x方向的误差。由于h是极小的量，所以 △x越小，△px越大，反之亦然。测不准原理 是粒子波动性的结果，意味着微观粒子运动 不存在既确定位置又有确定速度的运动轨迹。
能级符号 l s p d f · · ·
0
1
2
3
· · ·
3. •
•
•
磁量子数（magnetic quantum number） 符号 m ，可以取 –l 到 +l 的 2l+1个值， 即 m = 0、±1、±2，…，±l 它决定原子轨道的空间取向。L 亚层共有 2l+1个不同空间伸展方向的原子轨道。 例如 l =1时，m = 0、±1，p轨道有三种 取向，或 l 亚层有3个p轨道。 相同能级的轨道能量相等，称为简并轨 道或等价轨道（equivalent orbital）。
2、ψ的意义 ψ本身物理意义并不明确，但ψ2却有明确的物 理意义。表示在原子核外空间某点处电子出现的概 率密度（probability density），即在该点处单位体 积中电子出现的概率。
波函数及其意义
波函数与电子云
电子云（electron cloud） 图形a是基态氢原子ψ2（概率密度）的立体 图，b是剖面图。黑色深的地方概率密度大， 浅的地方概率密度小。概率密度的几何图形 俗称电子云。
总结
电子云对应的是原子电子轨道，是解薛定 谔方程的结果。 薛定谔方程的解称为“波 函数”，又称“轨道”，表示的是电子在 该空间范围出现的概率，而不应该理解为 电子在空间中的运动轨迹。 其中有四个量子数： 主量子数n（能层）， 角量子数l（能级）， 磁量子数m （电子云伸展方向），自旋量 子数s

类氢离子核外电子云的可视化教学刘永智;杨金虎【摘要】使用数学软件Matlab和Mathematic绘制类氢离子核外电子分布的波函数,实现了类氢离子核外电子排布规律的可视化,为大学物理教学实践的直观性提供了依据.【期刊名称】《甘肃高师学报》【年(卷),期】2016(021)006【总页数】5页(P73-77)【关键词】类氢离子;球谐函数;径向分布视图【作者】刘永智;杨金虎【作者单位】甘肃民族师范学院物理与水电工程系,甘肃合作747000;甘肃民族师范学院物理与水电工程系,甘肃合作747000【正文语种】中文【中图分类】O411氢原子及类氢离子核外电荷密度排布规律作为理论已经非常成熟了，但是，不便于直观理解.本文将通过Matlab和Mathematic软件编程，将氢离子核外电荷密度排布规律制作成图例，使学生形象的理解类氢离子核外电子排布规律.类氢离子核外电荷排布规律理论通常采用电子的运动状态用波函数描述，而波函数是四个量子数n，l，m，ms的函数，量子数n，l，m，ms取值不同说明电子的运动状态.1.1 主量子数n（n=1，2，3，…）主量子数n是决定电子能量的，n越大，电子能量越高.由于电子能量有量子化特点，所以n只取正整数.电子能量的高低，是跟电子离核的远近密切相关.n值大小，代表了电子离核的远近.因此把核外电子看作是分层排布，称为能层或电子层.所谓“电子层”或“层”只不过是指电子经常出现的一个区域.1.2 角量子数l（l=0，1，2，3，…，n-1）电子的分布除了划分为不同电子层外，在电子层内还进一步划分为亚层，电子能量越高，离核越远，形成电子云的形状就越多，他们的角动量也就不同，角量子数反映电子运动的角动量的数，角动量不同，也表明能量上的差别，对应的电子云图形状也就不同.1.3 磁量子数m（m=0，±1，±2，…，±l）电子云不仅有离核远近之分，还有伸展方向的不同，这可以用第三个量子数m来加以描述，磁量子数用来反映角动量在磁场方向上的分量，m有几个值，就代表电子云有几个伸展方向.为了方便，伸展方向数目，也常称为轨道的数目.1.4 自旋磁量子数ms（ms=±1/2）电子自旋只有顺时针和逆时针两个方向，取值也只有+1/2和-1/2两个.在化学上常用方向相反的两个箭头（↑↓）来表示自旋方向相反的一对电子.当上述几个量子数按照规定的取值范围，在取不同的数值时，就得到了不同的波函数，也就表明了不同函数的运动状态.因此，利用波函数来描述电子的运动状态，实际上就是用量子数来描述电子的运动状态.2.1 泡利原理在一个原子中，无论含有多少个电子，不会找到任意两个运动状态完全相同的电子，这就是泡利不相容原理.于是，根据n，l，m这三个量子数取值的相互关系，若把各电子层轨道数目确定下来，最多容纳的电子数目也就确定下来了，如：第n电子层最多容纳电子数目为2n2个.2.2 能量最低原理核外电子排布，按照能量最低原理.第n电子层上各亚层能量大小顺序总是：ns＜np＜nd＜nf.从1～18号元素，核外电子排布规律比较简单，是按主量子数由小到大的顺序，第1电子层填满后，排第2电子层；第2电子层排满后，排第3电子层. 18号元素以后的电子排布情况则变得复杂了.例如：依前面的规律，k电子排布应为1s22s22p63s23p63d，然而实际上却是1s22s22p63s23p64s.4s亚层能量与3d 亚层能量相比是低些而不是高些.这种主量子数大的某些亚层的能量反而低于主量子数小的某些亚层的现象，叫做能级交错.能级交错现象是由于多电子原子中，电子不仅受到原子核的吸引作用，电子之间还存在相互作用的结果.能级交错现象并非一成不变，随原子序数增加，交错现象会有所改变.如果把各电子层的s和p亚层之间的几个亚层，划分为一个能级组，各能级组电子填充的数目，跟周期表中各周期的元素是完全对应的，如表1.在周期表中元素性质呈现的周期性变化，正是由于电子层结构的周期变化所决定的.每出现一个电子层，便出现一个新的周期，最外电子层只限于在s和p电子亚层上填充，所以最外电子层不超过8个；第4，5周期包括10在次外层的d亚层填充电子的元素，所以出现了过渡元素，即镧系和锕系元素.过渡元素之间在电子层结构上的区别，主要是次外层的d亚层上电子数的不同，其最外层都是1个s亚层，有1～2个电子，所以它们的性质相似，而且都是金属.稀土元素在电子层结构上的区别是外数第三层的f亚层上电子数目不同，而最外层和次外层结构基本相同，所以它们性质更相似，具有易共生，难分离的特点.不相容原理和能量最低原理，是核外电子排布的两条基本原理，但电子在各亚层的不同轨道上如何排布还不清楚.例如：碳原子电子排布为1s22s22p2，但2p亚层有三个轨道，碳原子的2p亚层的两个电子究竟是以下列哪一种形式排布呢？洪特经过实验总结出一个规则：在同一亚层上的电子，总是尽量占据不同轨道，而且自旋方向相同.可见碳原子两个2p电子采取的是中间的方式排布.另外，在同一亚层的电子，当电子排布达到全满，半满或全空状态时，能量较低，更稳定.求类氢离子本征波函数，需要解定态薛定谔方程：ψ=Eφ而哈密顿算符在球坐标下的表达式是：对于束缚态（E＜0）的波函数的要求是：r→∞时ψ→0，且它绝对值的平方在整个空间是可积的，即：并非对于所有数的值都有满足上列要求的解，只有当E取某些离散的数值时，这样的解才有可能.这些离散的E值就是能量的本征值，即类氢离子的能级，相应的波函数ψ（r，θ，φ）就是本征矢量在球坐标下的表示式.如不考虑电子自旋自由度，则完全描述类氢离子的本征态需要三个量子数n，m，l，对于平方反比的库仑势，能量的本征值与主量子数n有关：定态薛定谔方程（1）具有变量分离形式的本征解：函数的下标表明它们分别依赖于那些量子数.4.1 方位角波函数Φl（mφ）绝对值的平方都等于常数，均满足归一化条件：Φ±m（φ）是角动量Z分量算符的本征函数：4.2 极角波函数Θlm（θ）l=0（s态）：l=1（p态）：它们满足的归一化条件是：函数图象可以通过课件而加以演示.4.3 球谐尔函数方位角函数Φlm（φ）和极角波函数Θlm（θ）的乘积叫做球谐尔函数，记作Ylm （θ，φ）：它是角动量平方算符的本征函数显然它们也是的本征函数.故球谐函数是算符和的共同本征函数.因，与φ无关，所以：所以Ylm（θ，φ）2函数曲面基本就是Θlm（θ）2绕极轴旋转而成的曲面，它们都是轴对称的.（4）径向波函数Rnl（r）n=1（K壳层）：n=2（L壳层）：径向波径向波函数满足的归一化条件为：为类氢离子核外电荷排布规律的可视化提供方便.现将函数图像绘制的主要步骤进行说明：5.1 极角波函数、径向函数、径向分布图例是利用数学软件Matlab制作的①制作《径向函数》的图像，例如：的图像（图1），在Matlab编辑界面下，输入源程序：Z=1；%Z为质量数，为定值，可设定②制作《径向分布》的图像，如：R10径向分布图（图2），在Matlab编辑界面下，输入源程序：Z=1；%Z为质量数，为定值，可设定的图像（图3），在Matlab编辑界面下，输入源程序：5.2 球谐函数图球谐函数图是利用数学软件Mathematic制作的.在Mathematic编辑界面下，球谐函数图像如下：①(图4）.②（图5）.③（图6）.④（图7）.本文介绍量子力学描述类氢离子运动状态时候采用的方法和类氢离子核外电子分层排布所准从的一般规律，在此基础上利用Matlab和Mathematic软件绘制了类氢离子核外电子分布的波函数，直观的展现了类氢离子核外电子分布的一般规律，这将对《原子物理》或《量子力学》的教学有一定的意义.【相关文献】［1］赵凯华等.量子物理（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2007.［2］褚圣麟.原子物理［M］.北京：高等教育出版社，1979.［3］赵成大等.物质结构［M］.北京：高等教育出版社，1989.［4］苏如铿.量子力学［M］.北京：高等教育出版社，2009.。

matlab画三维函数参数⽅程,如何在matlab中绘制含有三个参数⽅程的三维图形【1】ezimplot3 存储该M⽂件，并将⽂件路径设置为matlab当前路径function h = ezimplot3(fun,domain,n,color)% EZIMPLOT3 Easy to use 3D implicit plotter.% EZIMPLOT3(FUN) plots the inline function FUN(X,Y,Z) = 0 over the% default domain -2*PI < X < 2*PI, -2*PI < Y < 2*PI, -2*PI < Z < 2*PI.%% EZIMPLOT3(FUN,DOMAIN)plots FUN over the specified DOMAIN instead of the% default domain. DOMAIN can be the vector [XMIN,XMAX,YMIN,YMAX,ZMIN,ZMAX]% or the vector [A,B] (to plot over A < X < B, A < Y < B, A < Z < B).%% EZIMPLOT3(...,N) plots FUN over the default domain using an N-by-N grid.% The default value for N is 60.%% Example% Plot x^3+exp(y)-cosh(z)=4%% via a string: f='x^3+exp(y)-cosh(z)-4'% ezimplot3(f)%% via a vectorized function handle: f = @(x,y,z) x.^3+exp(y)-cosh(z)-4% ezimplot3(f)%% Note: this function do not use the ezgraph3 standard, like ezsurf, ezmesh% ,etc, does. Because of that, ezimplot3 only tries to imitate that% interface. A future work must be to modify the ezgraph3 to include a% routine for implicit surfaces based on this file%% Inspired by works of: A.Jutan UWO 02-02-98 ajutan@julian.uwo.ca% Made by: G.Morales UC 03-20-09 gmorales@.ve%if nargin == 1domain = [-2*pi, 2*pi]; % default domain: -2*pi < xi < 2*pin = 60; % default grid sizeelseif nargin == 2n = 60; % just default gridendif size(domain,2) == 2domain = repmat(domain,1,3); %domain repeated in all variablesendxm = linspace(domain(1), domain(2), n); % generating the volume dataym = linspace(domain(3), domain(4), n);zm = linspace(domain(5), domain(6), n);[x,y,z] = meshgrid(xm, ym, zm);if ischar(fun)fun = inline(vectorize(fun)); % making sure string "fun" is vectorizedfvalues = feval(fun,x,y,z); % evaluating "fun" in domainelseif isa(fun,'function_handle')fvalues = fun(x,y,z); % evaluating "fun" in domainfun = char(fun); fun = fun(9:end); % pre-formatting of graph titleendh = patch(isosurface(x,y,z, fvalues, 0)); %"patch" handles the structure%sent by "isosurface"isonormals(x,y,z,fvalues,h) %Recalculating the isosurface normals based on %the volume dataset(h,'FaceColor','red','EdgeColor','none');xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');% naming the axisalpha(0.8) % adjusting for some transparencygrid onview(3)axis equalcamlightlighting gouraudtitle([strrep(char(fun),'.','') ' = 0']); % graph title without "."【2】在matlab命令窗⼝中输⼊f='x-y*(y+1)*(z^(-2)-z^(-8))*x^2+(y+1)^2*(z^2-z^(-4))^3/100'这⾥c我给取了10，所以c^2=100。