上海高中数学数列一、上海高中数学数列概述上海高中数学数列作为高中数学的重要内容，是进一步学习高等数学和解决实际问题的基础。
数列是数学中研究一系列有序数的集合，具有广泛的应用和深远的研究价值。
掌握数列的基本概念、性质和应用，对于提高学生的数学素养和培养逻辑思维能力具有重要意义。
二、数列的概念与基本性质1.数列的定义：数列是一组按照一定顺序排列的实数，通常用{a1, a2,a3,...}表示。
其中，ai（i=1,2,...）称为数列的项。
2.数列的分类：根据项之间的关系，数列可分为单调递增、单调递减、摆动数列等；根据项的性质，数列可分为整数数列、有理数数列、实数数列等。
3.数列的基本性质：（1）任意两个数列的和仍是数列；（2）任意两个数列的积仍是数列；（3）数列的任意项都可以求极限；（4）数列的极限存在且唯一。
三、等差数列1.等差数列的定义与性质：等差数列是指相邻两项之差为一个常数的数列。
设等差数列{an}的公差为d，则有an+1 - an = d。
2.等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d，其中a1为数列的首项，d为公差。
3.等差数列的前n项和公式：Sn = n/2 * (a1 + an)，其中a1为数列的首项，an为数列的第n项。
四、等比数列1.等比数列的定义与性质：等比数列是指相邻两项之比为一个常数的数列。
设等比数列{bn}的公比为q，则有bn+1 / bn = q。
2.等比数列的通项公式：bn = b1 * q^(n-1)，其中b1为数列的首项，q 为公比。
3.等比数列的前n项和公式：Sn = b1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中b1为数列的首项，q为公比。
五、其他常见数列1.几何数列：几何数列是指相邻两项之比为常数的数列，如等比数列。
2.调和数列：调和数列是指相邻两项之比为倒数的数列。
3.Fibonacci数列：Fibonacci数列是指相邻两项之和等于下一项的数列，如1, 1, 2, 3, 5, 8, ...。
![对高中数学新教材第三章《数列》的认识[整理][特约]](https://imgs-1438308264.cos.ap-hongkong.myqcloud.com/9083552dfad6195f312ba6a3.webp)
对高中数学新教材第三章《数列》的认识本章教学内容与原教材相比，提前到高一上学期末段，作为《函数》的后续及知识交汇.且比较注意数学思想方法的渗透.此外，重新出现近年己不作要求的递推关系的应用及新出现的“研究性课题”.3.1数列数列的定义(1)描述性定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.(2)映射、函数观点下的定义：一个定义域为正整数集N+(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.这里请注意：在定义中只强调有“次序”，不强调有“规律”，任意一个数集，如果己将其中的元素按第一、第二、…的序号排成一列，就可以叫做数列，如果没有排序，就不能叫做数列.例如，正整数集与正整数列就是两个不同的概念.将正整数集中的元集从小到大排成一列后，才是正整数列.另外，它们在表示上也不同：正整数集可用符号N﹡或N+来表示，而正整数列除了可以将其元素从小到大一个一个列出来表示外，还可以记作｛n｝.不过这里的｛n｝不是集合符号，而是数列符号.此外，自然数列也可以简记作｛n｝，不过这里的第1项是自然数0，数列可有相同的项，这与集合元素的相异性不同.不是任何一个数集中的数都可以排成数列，例如由闭区间〔0，1〕上的所有实数组成的集合，无论怎样编排次序，都无法把这个集合中的数排成一列，所以要弄清连续函数与数列的共同点和不同点.在学习通项公式a n 和前n 项和公式S n 关系时，一定要注意，不论对于什么数列都有⎩⎨⎧≥-==-).2(111n S S a S a n n n因此，利用数列的前n 项和公式可求数列｛n ｝的通项公式a n . 为什么在寻求数列的通项公式时，常说“写出数列的一个通项公式”？因为一个数列的通项公式在形式上可以不止一个.例如数列2，，，，，，6756453423---…… 它的通项公式可以是：，n n a n 1)1(1+∙-=- 或是.1)1(1nn a n n +∙-=+关于通项公式(1)一个数列如果有通项公式，那么它是一个函数解析式，这个函数的定义域是正整数集N ﹡(或它的有限子集｛1，2，…，n ｝)，这样的数列可以用图象来表示，其图象是由一系列孤立的点(n ，f (n ))所组成的图形.(2)有的数列没有通项公式，例如由2的不足近似值与过剩近似值构成的两个数列：1.4，1.41，1.414，1.4142，……1.5，1.42，1.415，1.4143，……就没有通项公式.因此，研究递推公式给出数列的方法就可使我们研究数列的范围扩展，在数列研究中，不仅很多重要的数列是用递推公式给出，而且它也是求得数列通项公式的一种途径.例 ，111-+=n n a a (n =1，2，……，n ) 这样的公式就叫做递推公式，有了这样的公式，加上其它一些己知条件(例如己知数列｛a n ｝的第1项是1)，便可知本问题中这个数列的前8项是，，，，，，，，213413218135835231211 可见，除了用通项公式给出数列的方法之外，还可以用这样的方法来给出数列：先给出数列的第1项或前n 项，再给出数列中后面的项用前面的项来表示的公式，像这样一种给出列的方法叫做递推法，其中的公式叫做递推公式.不过我们要注意把握这段教材的尺度，要密切注视近几年新教材高考的动向，不必也不需要过分加深.还要注意像“)1(12≥-=++n a a a n n n ”，可转化为 )1(21≥+=++n a a a n n n或 )2(11≥+=+-n a a a n n n事实上，若给出上面数列的前8项，学生也就可以写出这数列的后面的项，数列｛a n ｝中每一项的分母就是前一项的分子，每一项的分子就是前一项的分子、分母之和.因此，可以要求学生根据这一规律写出｛a n ｝的第9项、第10项. 注意：1+=b n n a a b 这样的公式不是递推公式，因为数列｛b n ｝是由数列｛a n ｝中的项通过1+n n a a 构造出来，不是｛b n ｝自己之中的项通过递推构造出来的.如果改成，并给出数12++=b n n a a a 列的第1项、第2项，那就是递推公式了. 要小结一下求一个数列的通项公式，有哪些基本方法：(1)直接法：己给出数列的项适合某些条件，可由条件直接写出通项公式，或者通过对己知条件进行代数运算得出通项公式；(2)观察分析法：根据给出的数列构成的规律，观察数列的各项与它所对应的项数之间的内在联系，经过适当变形，进而写出第n 项a n 的表达式，即为通项公式；(3)待定系数法：求通项公式的问题，就是当n =1，2，3，…，时，求f (n )，使得f (n )依次等于a 1，a 2，…，的问题，因此，我们可以先设出第n 项a n 关于变数n 的表达式，再分别令n =1，2，3，…，并取a n 分别等于a 1，a 2，…，然后通过解方程(组)确定待定系数的值，从而得出符合条件的通项公式；(4)递推归纳法：根据己知数列的初始条件及递推公式，归纳出通项公式.3.2 等差数列(1) 等差数列的定义中有两个要点：一是“从第2项起”，二是“每一项与它前一项的差等于同一个常数”.这里的“从第2项起”是为了使每一项与它前面一项都确实存在，而“同一个常数”这五个字则体现了等差数列的基本特征.(2) 等差数列｛a n ｝的通项公式d n a a n )1(1-+=中共含有四个变数，即a 1，d ，n ，a n ，如果知道了其中任意三个数，就可以求出第四个数，这种可行性与求出未知数的过程可以称为“知三求一”，有时是用两种方式(或条件)给出了两个同类变数的值，也就可以求出这个等差数列其它未知数的值.例如：己知等差数列｛a n ｝的第3项是5，第7项是1，便可以通过解方程组⎩⎨⎧=+=+165211d a d a ， 求出a 1=7，d =－1. 若本题改为求此等差数列的第10项，即a 10.那么.2)1)(110(710-=--+=a在下学期学了“向量”后，还可以利用(3，5)，(7，1)，(10，x )三点共线关系来求解.等差数列有以下基本性质：(1) 当d ＞0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d ＜0时，等差数列中的数随项数的增大而减少；当d = 0时，等差数列中的数等于一个常数.注意：不能说等差数列(或它的通项公式)是一次函数，等差数列只是某个一次函数的一系列孤立的函数值，一次函数是有严格定义的，它的定义域是实数集R，图象是一条直线(连续的)，而等差数列图象是共线点.(2)在有穷的等差数列中与首末两项等距离的两项的和都相等，且等于首末两项的和.(3)如果m+ n =p+ q (m，n ，p ，q都是正整数)，那么a m+a n=a p+a q.(4)如果等差数列的各项都加上一个相同的数，那么所得的数列仍是等差数列，且公差不变.(5)两个等差数列各对应项的和组成的数列仍是等差数列，且公差等于这两个数列的公差的和.解决等差数列问题的一些基本方法：(1)己知等差数列｛a n｝的五个元素a，d，a n，n，S n中的任意三个，可以通过列方程组求出另外两个.(2)解决实际问题时，可设a－2d，a－d，a，a+d，a+2d，为等差数列(n为奇数时).(3)己知a，b，c，成等差数列，则2b =a+c.例1 在等差数列｛a n｝中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8=＿＿＿＿.解：若m+ n =p+ q ，则a m+a n=a p+a q. .∴a3+a7=a4+a6. =2a5，代入己知5a5=450，∴a5=90.从而a2+a8=180.例2 若a 2，b 2，c 2，成等差数列，且.0))()((≠+++a c c b b a 求证：ba a c cb +++111，， 也成等差数列. 分析：b a ac c b +++111，，成等差数列a c b a c b a c +-+=+-+⇔1111 2222))(())((b c a b ba b c c b a b a c b a b a a c c b a c a c c b -=-⇔+-=+-⇔++--+=++--+⇔ ⇔ a 2，b 2，c 2，成等差数列.说明：通过分析便可寻找到解题的思路.3.3 等差数列的前n 项和n S =2)(1n a a n + = na 1+d n n 2)1(- =).0.(2形的二次函数的形式的图为这些间断点组成常数项qn pn +这个公式还可以这样来推导：n n a a a S +⋯++=21=)(212121n n a a a a a a +⋯++++⋯++=()()()()[]12112121a a a a a a a a n n n n ++++⋯++++-- =()()()()[]{}d n a d n a d a d a a a n n n 1121111--+-++⋯+-++++ =).(211n a a n +本法的特点在于两两搭配成一组，采取先分、后合，有分有合的辩证关系，把“拆项”与“合并同类项”联在一起，不妨向学生介绍.关于公式qn pn S n +=2要注意分类若d ≠0，qn pn S n +=2(p ≠0)是关于n 的二次式且常数项为0.若d = 0，S n =na 1 (a 1为首项)a 1≠0，它是关于n 的一次式；a 1= 0，则 S n =0.如果一个数列｛a n ｝的前n 项和qn pn S n +=2+ m 且m ≠ 0，可以肯定它不是等差数列，但此数列从第2项起为等差数列.在传统的高考训练中，往往要求等差数列前n 项和的最值条件及最值求法.例1 等差数列｛a n ｝的前m 项和为30，前2m 项和为100，求它的前3m 项和.粗心的学生会误认为S m ，S 2m ，S 3m ，成等差数列，也许有人亦会认为S 3m =S m +S 2m ，其实不可能.解此题时，我们可以取特殊值m =1. 即 S 1=30，S 2=100，则 a 1=30， a 1+ a 2=100，从而a 2=70.于是S 3m =S 3= a 1+ a 2+a 3=3 a 2=210.另解：m m m m m S S S S S 232--，，成等差数列.∴ )(2223m m m m m S S S S S -=-+=2S 2m 2-S m∴ S 3m =3.210)30100(3)(2=-=-m m S S例2 两个数列｛a n ｝，｛b n ｝都是等差数列，它们的前n 项和的比为.325366b a n n ，求-+ 解：设等差数列｛a n ｝，｛b n ｝的前n 项和分别为S n ，S n /，则.3253/-+=n n S S nn 于是 2193811211222/11111111111111116666===⨯+⨯+=++==S S b b a a b b a a b a b a 一般地，a 1，……，a n ，……，a 2n -1，为奇数项，，2121-+=n n a a a S 2n-1=.)12(2))(12(121n n a n a a n -=+-- ∴ a n =.1212--n S n 例3 设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，己知a 3=12，S 12＞0，S 13＜0，(1)求公差d 的取值范围；(2) 指出S 1，S 2，……，S 12中哪一个值最大，并说明现由.解：(1)依题意，S 12 = ，021112121 d a ⨯+S 13=.021213131 d a ⨯+ 即⎩⎨⎧++.06011211 d a d a ， ∵ a 3=12， ∴ a 1=12－2d . 代入上式得⎩⎨⎧++.030724 d d ， ∴ －3724- d . (2)由于d ＜0， ∴ a 1＞a 2＞a 3＞…＞a 12＞a 13，∵ a 1＞0，因此若在1≤n ≤12中存在自然数n ，使a n ＞0， a n+1＜0时，S n 就是S 1，S 2，……，S 12中的最大值.由于⎩⎨⎧=+=+=0130)(6)(67137612112 a S a a a a S ， ∴ ⎩⎨⎧+00767 a a a ， ∴ ，076 a a - ∴ .0076 a a ，而 故S 1，S 2，……，S 12中S 6的值最大.此题的第(1)问属基本要求，第(2)问有一定的综合性和灵活性.3.4等比数列等比数列的定义强调了“从第2项起”，这是为了保证每一项的前一项存在.至于公比，它的基本特征是“同一常数”，如果漏掉了“同一”两字，就会破坏等比数列中各项的共同性质.等比数列的有关性质(1)当q ＞1时，如果存在一项a ＞0(或＜0，那么等比数列中的数随项数的增大而增大(或减少).当0＜q ＜1时，如果存在一项a ＞0(或＜0，那么等比数列中的数随项数的增大而减少(或增大).当q =1时，等比数列中的数等于同一个常数.当q ＜0时，等比数列中的数不具有单调性.(2)在有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积都相等，且等于首末两项的积.(3) 如果m+ n =p+ q (m ， n ，p ，q 都是正整数)，那么a m a n =a p a q ..(4)如果数列｛a n ｝是等比数列，那么它所有的项都不等于0，且所有的a n a n+2＞0.(5)如果数列｛a n ｝是等比数列，那么数列｛ca n ｝(c 为常数)，｛a n -1｝，｛n a ｝也是等比数列，且其中｛ca n ｝的公比不变，｛a n -1｝的公比等于原公比的倒数，｛n a ｝的公比等于原公比的绝对值.(6)两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列，且公比等于这两个数列的比的积.解决等比数列问题的一些基本方法：(1)己知等比数列的五个元素a 1，q ，n ，a n 与S n 中的任三个，可以通过列方程组来求出另外两个.(2)解决问题时，可以设数列为a ，aq ，aq 2，…当n 为奇数时，设)(22q aq aq a qa q a 公比为，，，，，⋯ 当n 为偶数时，设)(233q aq aq a q a q a 公比为，，，，，⋯ (3)当己知a ，G ，b 成等比数列时，通常采用G 2=ab 或ab G ±=，作为解决问题的出发点.例1 设｛a n ｝是正数组成的等比数列，公比q =2，且a 1· a 2·a 3· …· a 30=230，求a 3· a 6·a 9· …· a 30的值. 解：∵ a 3· a 6·a 9· …· a 30 = a 110·22+5+…+29 = a 110·25×31.而 a 1· a 2·a 3· …· a 30 =a 130·21+2+…+29 = a 130·215×29=230.即 a 110·25×29=210.∴ a 3· a 6·a 9· …· a 30= a 110·25×31= a 110·25×10=210·210=220.这里尽管利用了等比数列的通项公式，但计算时不必急于求出a 1或其它元素，要注意比较目标与己知条件的联系与区别.例2 设｛a n ｝为等差数列，b n =，n a )21(己知b 1+b 2+b 3=821，b 1b 2b 3=81. 求通项公式a n .解：设等差数列｛a n ｝的公差为d ，则a n = a 1+(n －1)d .∵ .0)()21()21(11≠==-++常数d a a n n n n b b ∴ ｛b n ｝为等比数列. ∴ 3122b b b =又∵ b 1b 2b 3=81， ∴ b 23=81， b 2=21. ∵ ⎪⎩⎪⎨⎧==++81821321321b b b b b b ， ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧==+418173131b b b b ， 解得 b 1=2，b 3=81 或 b 1=81，b 3=2. 从而 a 1=－1，d =2 或 a 1=3，d =－2.当⎩⎨⎧=-=211d a ， 时，a n = a 1+(n －1)d =2n －3. 当⎩⎨⎧-==231d a ， 时， a n =5－2n . 本题属基本题，但复习了等差数列、指数运算、根与系数关系等知识.例3设S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，己知434131S S 与的一个等比中项为，551S 434131S S 与的等差中项为1，求等差数列的通项.解：设等差数列｛a n ｝的首项为a ，公差为d ，则 a n = a 1+(n －1)d ，S n =na+d n n 2)1(-，依题意⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅，，24131)51(4131432543S S S S S 于是22)2344(41)2233(31)2455(251)2344(41)2233(31⎪⎩⎪⎨⎧=⨯++⨯+⨯+=⨯+⨯⨯+，d d d a d a d a d a 整理得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+，，02520532d a d ad 解得 ⎩⎨⎧==，，10a d 或 ，⎪⎩⎪⎨⎧=-=.4512a d ∴ a n =1或a n =.512532n - 3.5等比数列的前n 项和等比数列的前n 项和公式.)1(1)1()1(11⎪⎩⎪⎨⎧≠--==q qq a q na S n n ，这是分段函数的形式，分段的界限是q =1.解决问题时，一定要注意分类讨论.若己知q ≠1，求等比数列前n 项和的方法一般是利用S n 的表达式的特点，先推算S n －qS n ，这样可以消去大量的“中间项”，从而能求出S n .例1 数列｛b n ｝成等比数列，S n =48， S 2n =60，. S 3n .= ＿＿＿＿＿.解法一：∵ ｛b n ｝为等比数列，故S n ，S 2n － S n ， S 3n － S 2n成等比数列，即 (S 2n － S n )2=S n ( S 3n － S 2n ).∵ S n =48， S 2n =60， ∴ (60－48)2=48(S 3n －60). 解得S 3n =63.解法二：(特殊值法)令n =1，S 1=48，S 2－ S 1=12，∴ (S 3－60)48=122. ∴ S 3n =63.解法三：(整体量法)601)1)(1(1)1(481)1(12121=-+-=--==--=qq q a q q a S q q a S n n n n n n ，. 48 (1+q n )=60，q n =，41S 3n =)161411(48)1(1)1(1)1(2131++=++--=--n n n n q q q q a q q a =63. 例2 设等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若S 3+ S 6 =2S 9，求数列的公比q .解：若q =1，S 3=3a 1， S 6=6a 1， S 9=9a 1，∵ a 1≠ 0， ∴ S 3+ S 6≠ 2S 9. ∴ q =1 与题设矛盾.∴ q ≠1.由S 3+ S 6 =2S 9得，qq a q q a q q a --=--+--1)1(21)1(1)1(916131 ∵ a 1≠ 0，q ≠1.，1－q 3 +1－q 6 =2－2 q 92 q 9－ q 6－q 3=0， q3 (2 q 6－ q 3－1)=0，∵ q ≠ 0 ， ∴ 2 q 6－ q 3－1=0. 解之，得 .4213-=q关于本章的习题的一些问题习题中既有求解题、求证题，又有选择、填空题，讨论型问题，研究性问题，开放性问题.在习题中，题型多样，且难度层次分明，改变了教材中习题与高考题难度落差过大的状况，注意了知识、方法的相互渗透，蕴含了丰富的数学思想方法，这对扩展学生的思维很有脾益.因而教学时务必结合课堂教学内容，让学生独立完成，才能做到训练目标落实.例如p122练习第4题，对数列与数集概念进行交汇渗透；P129习题3.4第11题，对数列与基本不等式进行交汇渗透；P123习题3.3第9题，是对探求等差数列求和公式的方法的巩固和强化；P123习题3.3第10题是对等差数列性质的深化.通过学生自主探索来发现规律；P142复习参考题三B组第4题，在解题时不论用基本量法，还是用等差数列的性质去解，都能培养学生的结构分析、目标分析的思维能力；P142第5题较深刻地揭示了数列中a n与S n的关系；第6题对求等比数列前n项和公式时所采用的错位相减法进一步巩固；P129习题3.4 第10题从特殊到一般递进式的问题结构，可培养学生探素、发现思维的不断深化，与旧教材相比，明显有所加强.在教学中若能充分挖掘类似的有利因素，适当引导，并配相应练习，或再适当拓宽一些，对学生素质的提高，定能收到较佳的效果.附录：参考练习题及答案。
第四章数列（公式、定理、结论图表）一．数列的概念：1.定义：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
2．数列是按一定顺序排列的一列数，记作,,,,321 n a a a a 简记{}n a .3．数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 的关系若用一个公式)(n f a n =给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。
4．数列的项为当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。
5、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式．6、求数列中最大最小项的方法：最大⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a 最小⎩⎨⎧≤≤-+11n n n n a a a a 考虑数列的单调性二、等差数列1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．（2）符号表示：11(2)(1)n n n n a a d n a a d n -+-=≥-=≥或2、通项公式：若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则()11n a a n d =+-．通项公式的变形：①()n m a a n m d =+-；②n ma a d n m-=-．通项公式特点：1()n a d n a d =+-),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。
3、等差中项若三个数a ，A ，b 组成等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若2a cb +=，则称b 为a 与c 的等差中项．即a 、b 、c 成等差数列<=>2a cb +=4、等差数列{}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中（1）q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若。
