2018年江苏省苏锡常镇高考数学一模试卷

【题文】如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，且OC AB ⊥.在OC 上有一座观赏亭Q ，其中23AQC π∠=.计划在BC 上再建一座观赏亭P ，记(0)2P O B πθθ∠=<<.（1）当3πθ=时，求OPQ ∠的大小；（2）当OPQ ∠越大，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值. 【答案】 解：（1）设O P Q α∠=，由题，Rt OAQ ∆中，3OA =，AQO AQC π∠=-∠233πππ=-=，所以OQ =OPQ ∆中，3OP =，2POQ πθ∠=-236πππ=-=，由正弦定理得sin sin OQ OPOPQ OQP=∠∠，即3sin sin()6παπα=--sin()6παπα=--5sin()6πα=-，5sincos 6παα=5cos sin 6πα-1cos 2αα=cos αα=，因为α为锐角，所以cos 0α≠，所以tan 3α=，得6πα=； （2）设OPQ α∠=，在OPQ ∆中，3OP =，2POQ πθ∠=-236πππ=-=，由正弦定理得sin sin OQ OP OPQ OQP =∠∠3sin(())2ππαθ=---，所以sin(())2παπαθ=---sin(())2παθ=--cos()αθ=-cos cos sin sin αθαθ=+，从而sin )sin θαcos cos αθ=sin 0θ≠，cos 0α≠， 所以tanα=记()f θ=，'()f θ=(0,)2πθ∈；令'()0f θ=，sin θ=0(0,)2πθ∈使得0sin θ=， 当0(0,)θθ∈时'()0f θ>，()f θ单调增，当0(,)2πθθ∈时'()0f θ<，()f θ单调减，所以当0θθ=时，()f θ最大，即tan OPQ ∠最大，又OPQ ∠为锐角，从而OPQ ∠最大，此时sin θ=答：观赏效果达到最佳时，θ 【解析】【标题】江苏省苏锡常镇四市2018届高三教学情况调研（一）（3月）数学试题 【结束】。

【题文】在含有n 个元素的集合{1,2,,}n A n =⋅⋅⋅中，若这n 个元素的一个排列（1a ，2a ，…，n a ）满足(1,2,,)i a i i n ≠=⋅⋅⋅，则称这个排列为集合n A 的一个错位排列（例如：对于集合3{1,2,3}A =，排列(2,3,1)是3A 的一个错位排列；排列(1,3,2)不是3A 的一个错位排列）.记集合n A 的所有错位排列的个数为n D .（1）直接写出1D ，2D ，3D ，4D 的值；（2）当3n ≥时，试用2n D -，1n D -表示n D ，并说明理由；（3）试用数学归纳法证明：*2()n D n N ∈为奇数.【答案】解：（1）10D =，21D =，32D =，49D =，（2）12(1)()n n n D n D D --=-+，理由如下：对n A 的元素的一个错位排列（1a ，2a ，…，n a ），若1(1)a k k =≠，分以下两类： 若1k a =，这种排列是2n -个元素的错位排列，共有2n D -个；若1k a ≠，这种错位排列就是将1，2，…，1k -，1k +，…，n 排列到第2到第n 个位置上，1不在第k 个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于1n -个元素的错位排列，共有1n D -个；根据k 的不同的取值，由加法原理得到12(1)()n n n D n D D --=-+；（3）根据（2）的递推关系及（1）的结论，n D 均为自然数；当3n ≥，且n 为奇数时，1n -为偶数，从而12(1)()n n n D n D D --=-+为偶数，又10D =也是偶数，故对任意正奇数n ，有n D 均为偶数.下面用数学归纳法证明2n D （其中*n N ∈）为奇数.当1n =时，21D =为奇数；假设当n k =时，结论成立，即2k D 是奇数，则当1n k =+时，2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++，注意到21k D +为偶数，又2k D 是奇数，所以212k k D D ++为奇数，又21k +为奇数，所以2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++，即结论对1n k =+也成立； 根据前面所述，对任意*n N ∈，都有2n D 为奇数.【解析】【标题】江苏省苏锡常镇四市2018届高三教学情况调研（一）（3月）数学试题【结束】。

2018年江苏省苏锡常镇高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．(★)已知集合A={-1，1}，B={-3，0，1}，则集合A∩B= ．2．(★)已知复数z满足z•i=3-4i（i为虚数单位），则|z|= ．3．(★)双曲线的渐近线方程是．4．(★)某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600．现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n= ．5．(★)将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于6的概率为．6．(★★)如图是一个算法的流程图，则输出S的值是．7．(★★★)若正四棱锥的底面边长为2cm，侧面积为8cm 2，则它的体积为 cm 3．8．(★★★)设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a 2+a 4=2，S 2+S 4=1，则a 10= ． 9．(★★)已知a＞0，b＞0，且，则ab的最小值是．10．(★★★)设三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则cosA= ．11．(★★★)已知函数（e是自然对数的底）．若函数y=f（x）的最小值是4，则实数a的取值范围为．12．(★★★)在△ABC中，点P是边AB的中点，已知| |= ，| |=4，∠ACB= ，则•= ．13．(★★★)已知直线l：x-y+2=0与x轴交于点A，点P在直线l上．圆C：（x-2）2+y 2=2上有且仅有一个点B满足AB⊥BP，则点P的横坐标的取值集合为．14．(★★★)若二次函数f（x）=ax 2+bx+c（a＞0）在区间[1，2]上有两个不同的零点，则的取值范围为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．(★★★)已知向量，．（1）若角α的终边过点（3，4），求•的值；（2）若∥，求锐角α的大小．16．(★★★)如图，正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的高为，其底面边长为2．已知点M，N分别是棱A 1C 1，AC的中点，点D是棱CC 1上靠近C的三等分点．求证：（1）B 1M∥平面A 1BN；（2）AD⊥平面A 1BN．17．(★★★)已知椭圆C：（a＞b＞0）经过点，，点A是椭圆的下顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点A且互相垂直的两直线l 1，l 2与直线y=x分别相交于E，F两点，已知OE=OF，求直线l 1的斜率．18．(★★★)如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB为6，O是圆心，且OC⊥AB．在OC上有一座观赏亭Q，其中∠AQC= ．计划在BC上再建一座观赏亭P，记．（1）当θ= 时，求∠OPQ的大小；（2）当∠OPQ越大，游客在观赏亭P处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值．19．(★★★)已知函数f（x）=x 3+ax 2+bx+c，g（x）=lnx．（1）若a=0，b=-2，且f（x）≥g（x）恒成立，求实数c的取值范围；（2）若b=-3，且函数y=f（x）在区间（-1，1）上是单调递减函数．①求实数a的值；②当c=2时，求函数的值域．20．(★★★)已知S n是数列{a n}的前n项和，a 1=3，且2S n=a n+1-3（n∈N *）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对于正整数i，j，k（i＜j＜k），已知λa j，6a i，μa k成等差数列，求正整数λ，μ的值；（3）设数列{b n}前n项和是T n，且满足：对任意的正整数n，都有等式a 1b n+a 2b n-1+a 3b n-2-3n-3成立．求满足等式的所有正整数n．【选做题】在21，22，23，24四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-1：几何证明选讲]21．(★★★)如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过点D作圆O的切线交AB的延长线于点C，且满足DA=DC．（1）求证：AB=2BC；（2）若AB=2，求线段CD的长．[选修4-2：矩阵与变换]22．(★★★★)已知矩阵，，列向量．（1）求矩阵AB；（2）若，求a，b的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．(★★★★)在极坐标系中，已知圆C经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]24．(★★★)已知x，y都是正数，且xy=1，求证：（1+x+y 2）（1+y+x 2）≥9．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25．(★★★★)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD垂直于底面ABCD，PD=AD=2AB，点Q为线段PA（不含端点）上一点．（1）当Q是线段PA的中点时，求CQ与平面PBD所成角的正弦值；（2）已知二面角Q-BD-P的正弦值为，求的值．26．(★★★★)在含有n个元素的集合A n={1，2，…，n}中，若这n个元素的一个排列（a 1，a 2，…，a n）满足a i≠i（i=1，2，…，n），则称这个排列为集合A n的一个错位排列（例如：对于集合A 3={1，2，3}，排列（2，3，1）是A 3的一个错位排列；排列（1，3，2）不是A 3的一个错位排列）．记集合A n的所有错位排列的个数为D n．（1）直接写出D 1，D 2，D 3，D 4的值；（2）当n≥3时，试用D n-2，D n-1表示D n，并说明理由；（3）试用数学归纳法证明：为奇数．。

高三数学答案 第1页（共10页）2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{}1 2．53．x y 23±= 4．63 5．1636．25 7．334 8．8 9．6210．3111．e 4a +≥ 12．613．⎭⎬⎫⎩⎨⎧5,31 14．)1,0[二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.解：（1）由题意43sin ,cos 55αα==， ………………………………………………2分所以πππsin()sin cos cos sin444ααααα⋅=++++a b……………4分4355==………………………………………6分 （2）因为a b ∥πsin()14αα+=， ………………………………………8分ππ(sin cos cos sin )144ααα+=，所以2sin sin cos 1ααα+=， ……………………………………………………10分则22sin cos 1sin cos αααα=-=， ……………………………………………………12分对锐角α有cos 0α≠，所以tan 1α=， ………………………………………………13分 所以锐角π4α=. ………………………………………………………14分 16.证明：（1）连结MN ，正三棱柱111ABC A B C -中，11AA CC ∥且11AA CC =，则四边形11AAC C是平行四边形，因为点M 、N 分别是棱11AC AC ，的中点， 所以1MN AA ∥且1MN AA =， ………………2分 又正三棱柱111ABC A B C -中11AA BB ∥且11AA BB =，所以1MN BB ∥且1MN BB =，所以四边形1MNBB 是平行四边形，所以1B M BN ∥， ……………………4分 又11B M A BN ⊄平面，1BN A BN ⊂平面，B 1高三数学答案 第2页（共10页）所以11B M A BN 平面∥； …………………………………………6分 （2）正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ABC ⊥平面，BN ABC ⊂平面，所以1BN AA ⊥， …………………………………………………………7分 正ABC ∆中，N 是AB 的中点，所以BN AC ⊥， ………………………………8分 又111AA AC AAC C ⊂、平面，1AA AC A =I ， 所以11BN AAC C ⊥平面，又11AD AAC C ⊂平面，所以AD BN ⊥， ………………………………………………………10分由题意，1AA =2AC =，1AN =，CD =1AA AN AC CD ==又12A AN ACD π∠=∠=，所以1A AN ACD ∆∆与相似，则1AA N CAD ∠∠=，所以1112ANA CAD ANA AA N π∠∠=∠∠=++， ……………………………………12分则1AD A N ⊥，又1BN A N N = ，11BN A N A BN ⊂，平面，所以1AD A BN ⊥平面. ………………………………………………………14分17.解：（1）由题意得2222311,4131,4a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得2211411a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，…………………………………………4分（说明：求对一个给2分）所以椭圆C 的标准方程为1422=+y x ； …………………………………………………6分（2）由题意知)1,0(-A ，直线12,l l 的斜率存在且不为零，设直线11:1l y k x =-，与直线y x =联立方程有11y k x y x=-⎧⎨=⎩，得1111(,)11E k k --， ……7分 设直线211:1l y x k =--，同理1111(,)1111F k k ----， ………………………………8分 因为OE OF =，所以1111||||111k k =---， ………………………………………………10分高三数学答案 第3页（共10页）②1111111k k =---，1110k k +=无实数解； ……………………………………………11分②1111111k k =----，1112k k -=， ……………………………………12分211210k k --=，解得11k =， （说明：不写结论不扣分）综上可得，直线1l的斜率为1. ………………………………………………………14分法2：由题意知)1,0(-A ，直线12,l l 的斜率存在且不为零， 因为12,l l 与直线y x =分别交于,E F 两点，且OE OF =，所以，设(,),(,),(0)E m m N m m m --≠， ………………………………………………8分18.解：（1）设OPQ α∠=，由题，Rt OAQ ∆中，3OA =，2ππππ33AQO AQC ∠=-∠=-=， 所以OQ = ………………………………………………………………1分 在OPQ ∆中，3OP =，ππππ2236POQ θ∠=-=-=，由正弦定理得sin sin OQ OPOPQ OQP=∠∠， …………………………………………………2分3πsin(π)6α--π5πsin(π)sin()66ααα=--=-， 5π5π1sincos cos sin cos 662ααααα=-=+cosαα=， ……4分 因为α为锐角，所以cos 0α≠，所以tan α，得π6α=； ………………………6分高三数学答案 第4页（共10页）所以△OPQ 为等腰三角形，（2）设OPQ α∠=，在OPQ ∆中，3OP =，ππππ2236POQ θ∠=-=-=，由正弦定理得sin sin OQ OP OPQ OQP =∠∠3πsin(π())2αθ=---， ……………8分 ππsin(π())sin(())cos()cos cos sin sin 22ααθαθαθαθαθ=---=--=-=+， 从而sin )sin cos cos θααθ=， ……………………………………10分sin 0cos 0θα≠≠，， 所以tan α=， ………………………………………………………11分记()f θ=，'()f θ=，π(0,)2θ∈； …………………12分 令'()0f θ=，sin θ=，存在唯一0π(0,)2θ∈使得0sin θ=， …………13分当0(0,)θθ∈时'()0f θ>，()f θ单调增，当0(,)2πθθ∈时'()0f θ<，()f θ单调减， 所以当0θθ=时，()f θ最大，即tan OPQ ∠最大， 又OPQ ∠为锐角，从而OPQ ∠最大，此时sin θ. ……………………………15分 答：观赏效果达到最佳时，θ………………………………………16分高三数学答案 第5页（共10页）所以3OQ =，19.解：（1）函数()y g x =的定义域为(0)+∞，．当0a =，2b =-，3()2f x x x c =-+， ∵()()f x g x ≥恒成立，∴32ln x x c x -+≥恒成立，即3ln 2c x x x -+≥． ……2分 令3()ln 2x x x x ϕ=-+，则3221123(1)(133)()32x x x x x x x x x xϕ+--++'=-+== ……3分令()0x ϕ'≥，得1x ≤，∴()x ϕ在(01]，上单调递增， ……………………………4分 令()0x ϕ'≤，得1x ≥，∴()x ϕ在[1)+∞，上单调递减， ……………………………5分 ∴当1x =时，max [()](1)1x ϕϕ==．∴1c ≥． …………………………………………………………6分 （2）①当3b =-时，32()3f x x ax x c =+-+，2()323f x x ax '=+-．由题意，2()3230f x x ax '=+-≤对(11)x ∈-，恒成立， ………………8分 ∴(1)3230(1)3230f a f a '=+-⎧⎨'-=--⎩≤，≤， ……………………………………………9分∴0a =，即实数a 的值为0． ………………………………………………10分 ②函数()y h x =的定义域为(0)+∞，． 当0a =，3b =-，2c =时，3()32f x x x =-+．2()33f x x '=-，令2()330f x x '=-=，得1x =．高三数学答案 第6页（共10页）………………………………………………………12分∴当(01)x ∈，时，()0f x >，当1x =时，()0f x =，当(1)x ∈+∞，时，()0f x >． 对于()ln g x x =，当(01)x ∈，时，()0g x <，当1x =时，()0g x =，当(1)x ∈+∞，时，()0g x >．………………………………………………………14分∴当(01)x ∈，时，()()0h x f x =>，当1x =时，()0h x =，当(1)x ∈+∞，时，()0h x >． 故函数()y h x =的值域为[0)+∞，． ……………………………………………………16分 20.解：（1）由)(3-2*1N ∈=+n a S n n 得3-221++=n n a S ，两式作差得121-2+++=n n n a a a ， 即)(3*12N ∈=++n a a n n . ………………………………………………………2分 31=a ，93212=+=S a ，所以)(3*1N ∈=+n a a n n ，0≠n a ，则)(3*1N ∈=+n a a nn ，所以数列{}n a 是首项为3公比为3的等比数列，所以)(3*N ∈=n a n n ； ………………………………………………………4分 （2）由题意i k j a a a 62⋅=+μλ，即i k j 36233⋅⋅=+μλ， 所以1233=+--i k i j μλ，其中12j i k i --≥，≥，所以333399j i k i λλμμ--≥≥，≥≥，……………………………6分 123312j i k i λμ--=+≥，所以1,21===-=-μλi k i j ，； ……………………………8分（3）由3331123121--=+++++--n b a b a b a b a n n n n n 得3)1(33211213211-+-=+++++++-+n b a b a b a b a b a n n n n n n ， 3)1(33)(3212112111-+-=++++++--+n b a b a b a b a b a n n n n n n ， 3)1(33)333(32111-+-=--++++n n b a n n n ，所以)333(33)1(333121----+-=+++n n b n n n ，即3631+=+n b n ，所以)(12*1N ∈+=+n n b n ， ……………………………10分 又因为331331111=-⋅-=+b a ，得11=b ，所以)(12*N ∈-=n n b n ， 从而)(2121)12(531*2N ∈=-+=-++++=n n n n n T n ，)(3*2N ∈=n n a T n n n高三数学答案 第7页（共10页）当1=n 时3111=a T ；当2=n 时9422=a T ；当3=n 时3133=a T ；……………………………12分 下面证明：对任意正整数3>n 都有31<n n a T ， )122(31)3)1((313131)1(2122121211++-⎪⎭⎫⎝⎛=-+⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+=-+++++n n n n n n a T a T n n n n n n n n …14分当3n ≥时，0)2()1(12222<-+-=++-n n n n n ，即011<-++nnn n a T a T ， 所以当3n ≥时，n n a T 递减，所以对任意正整数3>n 都有3133=<a T a T n n ； …………15分 综上可得，满足等式31=n n a T 的正整数n 的值为1和3. ………………………………16分高三数学答案 第8页（共10页）2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题） 参考答案21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：（1）连接BD OD ,．因为AB 是圆O 的直径，所以90ADB ∠= ，OB AB 2=． 因为CD 是圆O 的切线，所以90CDO ∠= ， 又因为DC DA =，所以C A ∠=∠， 于是CDO ADB ∆≅∆，得到CO AB =， 所以BC AO =，从而BC AB 2=． ………6分（2）解：由2=AB 及BC AB 2=得到1=CB ，3=CA ．由切割线定理，CA CB CD ⋅=2331=⨯=，所以3=CD ．………………………………………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）401248010505⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦AB ； …………………………………………………4分 （2）由1151--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B A X ，解得54852810515⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦X AB ， ………………8分 又因为a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦X ，所以28=a ，5=b ． ………………………………………………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程解： 在3)3πsin(-=-θρ中，令0=θ，得2=ρ， ………………………………3分所以圆C 的圆心的极坐标为)0,2(. ………………………………………………………5分 因为圆C 的半径24πcos22222)22(22=⨯⨯⨯-+=PC ，……………………………7分 于是圆C 过极点，所以圆的极坐标方程为θρcos 4=． ………………………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲 证明：因为x ，y 都是正数，高三数学答案 第9页（共10页）所以210x y ++≥，210y x ++≥， ……………………………………6分 22(1)(1)9x y y x xy ++++≥，又因为1xy =，所以22(1)(1)9x y y x ++++≥． ……………………10分 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）以D 为原点，DA ，DC ，DP 为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系；设AB t =，则(0,0,0)D ，(2,0,0)A t ，(2,,0)B t t ，(0,,0)C t ，(0,0,2)P t ，(,0,)Q t t ;所以(,,)CQ t t t =-u u u r ，(2,,0)DB t t =u u u r，(0,0,2)DP t =uu u r ，设平面PBD 的法向量1(,,)x y z =n ，则1100DB DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r uu u r ，，n n即2020tx ty tz +=⎧⎨=⎩，，解得200x y z +=⎧⎨=⎩，，所以平面PBD 的一个法向量1(1,2,0)=-n ， …………3分111cos ,CQ CQ CQ⋅<>===uu u ruu u r uu u r n n n ，则CQ 与平面PBD． …………………………………………5分 （2）由（1）知平面PBD 的一个法向量为1(1,2,0)=-n ，设(01)PQPAλλ=<<，则P Q P A λ=u r u r ， (0,0,2)+(2,0,2)(2,0,2(1))DQ DP PQ t t t t t λλλ=+=-=-u u u r u u u r u u u r ，(2,,0)DB t t =u u u r,设平面QBD 的法向量2(,,)x y z =n ，则2200DQ DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r uu u r，，n n 即22(1)020t x t z tx ty λλ+-=⎧⎨+=⎩，，解得(1)020x z x y λλ+-=⎧⎨+=⎩，， 所以平面QBD 的一个法向量2(1,22,)λλλ=---n ， …………………………………7分121212cos ,⋅=<>==n nn n n n ，所以2255(1)96105λλλ-=-+，即2(2)()03λλ--=， …………………………………9分因为01λ<<，所以23λ=，则23PQ PA =． ………………………………………………10分高三数学答案 第10页（共10页）23. 解：（1）10D =，21D =，（前2个全对方得分） ………………………………1分32D =， ……………………………………………………………………2分 49D =， ……………………………………………………………………3分（2）12(1)()n n n D n D D --=-+， ………………………………………………………4分理由如下：对n A 的元素的一个错位排列12(,,,)n a a a ，若1(1)a k k =≠，分以下两类： 若1k a =，这种排列是2n -个元素的错位排列，共有2n D -个；若1k a ≠，这种错位排列就是将1,2,,1,1,,k k n -+ 排列到第2到第n 个位置上，1不在第k 个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于1n -个元素的错位排列，共有1n D -个；根据k 的不同的取值，由加法原理得到12(1)()n n n D n D D --=-+；………………………6分 （3）根据（2）的递推关系及（1）的结论，n D 均为自然数；当3n ≥，且n 为奇数时，1n -为偶数，从而12(1)()n n n D n D D --=-+为偶数， 又10D =也是偶数，故对任意正奇数n ，有n D 均为偶数． …………………………………………7分 下面用数学归纳法证明2n D （其中*n ∈N ）为奇数．当1n =时，21D =为奇数；假设当n k =时，结论成立，即2k D 是奇数，则当1n k =+时，2(1)21(21)()k kkD k D D ++=++，注意到21k D +为偶数，又2k D 是奇数，所以212k k D D ++为奇数，又21k +为奇数，所以2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++，即结论对1n k =+也成立；根据前面所述，对任意*n ∈N ，都有2n D 为奇数．…………………………………10分。

2018年江苏省高考数学模拟试卷（1）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1． 已知{}2A x x =＜，{}1B x x =＞ ，则A B = ▲ ． 2． 已知复数z 满足(1i)2i z -=+，则复数z 的实部为 ▲ ． 3． 函数5()log (9)f x x =+ 的单调增区间是 ▲ ．4． 将一颗质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是6的的概率是 ▲ ．5． 执行如图所示的伪代码，若输出的y 的值为13，则输入的x 的值是 ▲ ． 6． 一种水稻品种连续5年的平均单位面积产量（单位：t/hm 2）分别为：9.4，9.7，9.8，10.3，10.8，则这组样本数据的方差为 ▲ ． 7． 已知函数()sin()(030)f x x ωϕωϕ=+<<<<π，．若4x π=-为函数()f x 的一个零点，3x π=为函数()f x 图象的一条对称轴，则ω的值为 ▲ ．8． 已知1==a b ，且()()22+⋅-=-a b a b ，则a 与b 的夹角为 ▲ ． 9． 已知() 0 αβ∈π，，，且()1tan 2αβ-=，1tan 5β=-，则tan α的值为 ▲ ． 10．已知关于x 的一元二次不等式2 >0ax bx c ++的解集为()1 5-，，其中a b c ，，为常数．则不等式2 0cx bx a ++≤的解集为 ▲ ．11．已知正数x ，y 满足121x y+=，则22log log x y +的最小值为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22280x y x ++-=，直线l ：(1) ()y k x k =-∈R 过定点A ，且交圆C 于点B ，D ，过点A 作BC 的平行线交CD 于点E ，则三角形AEC 的周长为 ▲ ． 13．设集合{}*2n A x x n ==∈N ，，集合{}*n B x x b n ==∈N ， 满足A B =∅，且*A B =N ．若对任意的*n ∈N ，1n n b b +<，则2017b 为 ▲ ．14．定义：{}max a b ，表示a ，b 中的较大者．设函数{}()max 11f x x x =-+，，2()g x x k =+， 若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数k 的取值范围是 ▲ ．（第5题）二、解答题：本大题共6小题，共90分. 15．（本小题满分14分）在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知cos cos 02C C +=．（1）求C 的值．（2）若c =1，三角形ABC，求a ，b 的值．16．（本小题满分14分）如图，在多面体ABC —DEF 中，若AB //DE ，BC //EF ． （1）求证：平面ABC //平面DEF ；（2）已知CAB ∠是二面角C -AD -E 的平面角． 求证：平面ABC ⊥平面DABE ．A FED CB（第16题）（第17题）如图，长方形ABCD 表示一张6⨯12（单位：分米）的工艺木板，其四周有边框（图中阴影部分）， 中间为薄板．木板上一瑕疵（记为点P ）到外边框AB ，AD 的距离分别为1分米，2分米． 现欲经过点P 锯掉一块三角形废料MAN ，其中M N ，分别在AB ，AD 上．设AM ，AN 的 长分别为m 分米，n 分米．（1）为使剩下木板MBCDN 的面积最大，试确 定m ，n 的值；（2）求剩下木板MBCDN 的外边框长度（MB ， BC CD DN ，，的长度之和）的最大值．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C ：2221x y a+=（a ＞1）. （1）若椭圆C 的焦距为2，求a 的值；（2）求直线1y kx =+被椭圆C 截得的线段长（用a ，k 表示）；（3）若以A （0，1）为圆心的圆与椭圆C 总有4个公共点，求椭圆C 的离心率e 的取值范围.（第18题）已知函数32()2()f x x ax bx c a b c =+++∈R ，，．（1）若函数()f x 为奇函数，且图象过点(12)-，，求()f x 的解析式； （2）若1x =和2x =是函数()f x 的两个极值点． ①求a ，b 的值；②求函数()f x 在区间[03]，上的零点个数．20．（本小题满分16分）设等差数列{}n a 与等比数列{}n b 共有m * ( )m ∈N 个对应项相等． （1）若110a b =>，11110a b =>，试比较66a b ，的大小； （2）若34n a n =-，()12n n b -=--，求m 的值．（3）若等比数列{}n b 的公比0q >，且1q ≠，求证：3m ≠．【参考结论】若R 上可导函数()f x 满足()()f a f b =（a b <），则()a b ξ∃∈，，()0f ξ'=．（第21- A 题）第II 卷（附加题，共40分）21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．. A ，（选修4-1；几何证明选讲） 如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，BC BD =，BA 的延长线交CD 的延长线于点E ．求证：AE 是四边形ABCD 的外角DAF ∠的平分线．B ．（选修4-2：矩阵与变换） 已知矩阵1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，11201⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦B ，求矩阵AB 的逆矩阵．C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系中，求圆24sin 50ρρθ--=截直线π()3θρ=∈R所得线段长． D ．（选修4-5：不等式选讲）求证：5．【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.22．在平面直角坐标系xOy 中，设点2(2)A a a ，，2(2)B b b ，，(12)C ，均在抛物线22(0)y px p =>上，且90BCA ∠=︒． （1）求p 的值； （2）试用a 表示b ；（3）求直线5x =与直线AB 交点的纵坐标． 23．(1)2n n +（2n n ∈*N ≥，）个不同数随机排成如下的一个三角形：k M ()1 k n k ∈*N ≤≤，是从上往下数第k 行中的最大数，n p 为12n M M M <<⋅⋅⋅<的概率． （1）求2p 的值；（2）猜想n p 的表达式，并证明．＊ ＊ ＊ ＊ ＊ ＊ …………………… ＊ ＊ … ＊ ＊2018年江苏省高考数学模拟试卷（1）参考答案一、填空题1．()12，．A B =()12，．2．12． (2)(1)2i 13.1i (1)(1)2i i iz i i ++++===--+，则复数z 的实部为 12．3．（-9，+∞）．函数5()log (9)f x x =+的单调增区间（-9，+∞）.4． 536．点数之和是6包括(15)(24)(33)(42)(15)，，，，，，，，，共5种情况，则所 求概率是536．5． 8．若613x =，则1326x =>，不符；若513x +=，则82x =>．6． 0. 244．这组数据的平均数为10，方差为222221(109.4)(109.7)(109.8)(1010.3)(1010.8)0.245⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦. 7． 76．函数()f x 的周期4(3T π=⨯)43π7π+=，又Τω2π=，所以ω的值为76.8． π．依题意，2220+⋅-=a a b b ，又1==a b ，故1⋅=a b ，则a 与b 的夹角为π． 9． 113．()()()()11tan tan 25tan tan 111tan tan 125αββααββαββ--+=-+===⎡⎤⎣⎦---⨯-113． 10． 115⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，．因为不等式2 >0ax bx c ++的解集为()1 5-，，所以(1)(5)>0a x x +-，且0a <，即245>0ax ax a --，则45b a c a =-=-，，则2 0cx bx a ++≤即为254 0ax ax a --+≤，从而254 1 0x x +-≤，故解集为115⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，． 11．3．由121x y +=得，02y x y =>-，则()222222222log log log log log 22y y x y xy y y -++===-- ()224log 24log 832y y ⎡⎤=-++=⎢⎥-⎣⎦≥． 12． 5．易得圆C ：22(1)9x y -+=，定点A (10)-，，EA ED =，则3EC EA EC ED +=+=， 从而三角形AEC 的周长为5．13． 2027．易得数列{}n b ：1，3，5，6，7，9，10，11，12，13，14，15，17，…，则1137++++…12121k k k ++-=--，当10k =，12120372017k k +--=>，2037201720-=，从而第2017项为1121202027--=． 14． ()()5114-∞-，，．{}()max 11f x x x =-+，2()()g x x k k =+∈R 恰有4个零点， 当54k =时，()f x 与()g x 相切．如图，结合图形知，实数k 的取值范围是())5114-∞-，，． 二、解答题15． （1）因为cos cos 02C C +=，所以22cos cos 1022C C +-=，解得cos 12C =-或1cos 22C =， 又0C π＜＜ ，故22C π0＜＜，从而23C π=，即23C π=．（2）由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得，221a b ab ++=， ① 由三角形ABC 的面积1sin 2ab C ==13ab =， ②由①②得，a b ==．16． （1）因为AB //DE ，又AB ⊄平面DEF ， DE ⊂平面DEF ，所以AB //平面DEF ， 同理BC //平面DEF ， 又因为ABBC C =，A B B C ⊂，平面ABC ，所以平面ABC //平面DEF . （2）因为CAB ∠是二面角C -AD -E 的平面角，所以CA AD BA AD ⊥⊥，， 又因为CA AB A =， AB ，CA ⊂平面ABC ，所以DA ⊥平面ABC ， 又DA ⊂平面DABE ，所以平面ABC ⊥平面DABE .17． （1）过点P 分别作AB ，AD 的垂线，垂足分别为E ，F ， 则△PNF 与△MPE 相似，从而PF NF EM PE=，所以2121n m -=-，即211m n+=． 欲使剩下木板的面积最大，即要锯掉的三角形废料MAN 的面积 12S mn =最小．由211m n =+≥8mn ≥ （当且仅当21m n =，即4m =，2n =时，“=”成立），此时min 4S =（平方分米）． （2）欲使剩下木板的外边框长度最大，即要m n +最小．由（1）知，()()212333n m m n m n m n m n +=++=++=≥，（当且仅当2n m m n =即2m =，1n 时，“=”成立），答：此时剩下木板的外边框长度的最大值为33-分米．18． （1）由椭圆C ：2221x y a+=（a ＞1）知， 焦距为2=， 解得a =因为a ＞1，所以a =（第17题）（2）设直线1y kx =+被椭圆截得的线段长为ΑΡ， 由22211y kx x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得()2222120a k x a kx ++=， 解得10x =，222221a kx a k=-+．因此2122221a kΑΡx a k=-=+． （3）因为圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有2个不同的公共点为P ，Q ，满足AP AQ =．记直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，20k >，12k k ≠． 由（2）知，1AP2AQ ，12，所以22222222121212)1(2)0k k k k a a k k ⎡⎤-+++-=⎣⎦（，因为1k ，20k >，12k k ≠，所以22222212121(2)0k k a a k k +++-=， 变形得，()()22221211111(2)a a k k ++=+-， 从而221+(2)1a a -＞，解得a则)1c e a =． 19． （1）因为函数()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=-，即()()()323222x a x b x c x ax bx c -+-+-+=----， 整理得，20ax c +=，所以0a c ==，从而3()2f x x bx =+，又函数()f x 图象过点(12)-，，所以4b =-． 从而3()24f x x x =-．（2）①32()2()f x x ax bx c a b c =+++∈R ，，的导函数2()62f x x ax b '=++． 因为()f x 在1x =和2x =处取得极值，所以(1)0(2)0f f ''==，， 即6202440a b a b ++=⎧⎨++=⎩，，解得912a b =-=，． ②由（1）得32()2912()f x x x x c c =-++∈R ，()6(1)(2)f x x x '=--． 列表：显然，函数()f x 在[0，3]上的图象是一条不间断的曲线．由表知，函数()f x 在[0，3]上的最小值为(0)f c =，最大值为(3)9f c =+． 所以当0c >或90c +<（即9c <-）时，函数()f x 在区间[03]，上的零点个数为0． 当50c -<<时，因为(0)(1)(5)0f f c c =+<，且函数()f x 在(0，1)上是单调增函数，所以函数()f x 在(0，1)上有1个零点．当54c -<<-时，因为(1)(2)(5)(4)0f f c c =++<，且()f x 在(1，2)上是单调减函数， 所以函数()f x 在(1，2)上有1个零点．当94c -<<-时，因为(2)(3)(4)(9)0f f c c =++<，且()f x 在(2，3)上是单调增函数， 所以函数()f x 在(2，3)上有1个零点．综上，当0c >或9c <-时，函数()f x 在区间[03]，上的零点个数为0；当95c -<-≤或40c -<≤时，零点个数为1； 当4c =-或5c =-时，零点个数为2；当54c -<<-时，零点个数为3．20．（1）依题意，11111166022a a a aa b ++=- （当且仅当111a a =时，等号成立）．（2）易得()1342n n --=--，当n 为奇数时，()13420n n --=--<，所以43n <，又*n ∈N ，故1n =，此时111a b ==-；当n 为偶数时，()13420n n --=-->，所以43n >，又*n ∈N ，故246n =，，，…若2n =，则222a b ==，若4n =，则448a b ==， 下证：当6n ≥，且n 为偶数时，()1342n n --<--，即()12134n n --->-．证明：记()12()34n p n n ---=-，则()()()112434(2)341()32322n n n p n n p n n n +----+-=⋅=>++--， 所以()p n 在6n ≥，且n 为偶数时单调递增， 从而17()(6)17p n p >=>．综上，124n =，，，所以m 的值为3． （3）证明：假设3m =，不妨123n n n <<，满足11n n a b =，22n n a b =，33n n a b =， 设1(1)n a a n d =+-，11n n b b q -=，其中0q >，且1q ≠， 记11()(1)xb f x a x d q q=+--⋅， 则1()ln x b f x d q q q '=-⋅，()21()ln x b f x q q q''=-⋅，由参考结论，知112()n n ξ∃∈，，1()0f ξ'=，223()n n ξ∃∈，，2()0f ξ'=， 同理，12()ηξξ∃∈，，()0f η''=，即()21()ln 0b f q q qηη''=-⋅=， 这与()21()ln 0b f q q qηη''=-⋅≠矛盾，故假设不成立，从而3m ≠．第Ⅱ卷（附加题，共40分）A ．因为ABCD 是圆的内接四边形，所以DAE BCD ∠=∠，FAE BAC BDC ∠=∠=∠． 因为BC BD =，所以BCD BDC ∠=∠， 所以DAE FAE ∠=∠，所以AE 是四边形ABCD 的外角DAF ∠的平分线． B ．因为1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，11201⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦B ，所以11101122020102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦AB ． 由逆矩阵公式得，1114()102-⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦AB ． C ．以极点O 为原点，极轴Ox 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系xOy ． 则圆24sin 50ρρθ--=化为普通方程22450x y y +--=，即22(2)9x y +-=．直线π()3θρ=∈R化为普通方程y =0y -=．圆心(02)，0y -=的距离为1d ==，于是所求线段长为 D ．由柯西不等式可得，(()22222215⎤++=⎦≤，（当且仅当=16[34]5x =∈，时，“=”成立．） 22． （1）依题意，将(12)C ，代入22(0)y px p =>得，2p =； （2）因为 90BCA ∠=︒，所以0CA CB ⋅=，其中2(122)CA a a =--，，2(122)CB b b =--，， 从而22(1)(1)4(1)(1)0a b a b --+--=，化简得，51a b a +=-+；（3）易得直线AB 的方程为222()y a x a b a-=-+， 令5x =得，22(5)2251y a a a a a =-+=-+-++． 23．当2n =时，1，2，3排成一个三角形有：1 1 2共有6种，其中满足12M M <的有如下4种：所以24263p ==；（2）设当n k =时，12k M M M <<⋅⋅⋅的概率为k p ，则当1n k =+时，121k k M M M M +<<⋅⋅⋅<的概率为1k p +， 而1k +排在第1k +行的概率为12(1)(11)22k k k k +=++++， 所以12(2)2k k p p k k +=+≥，即12(2)2k k p k p k +=+≥， 故3224p p =，4325p p =，5426p p =，…，121n n p p n -=+， 叠乘，得()22214n n p p n n -=+⨯⨯⋅⋅⋅⨯，其中24263p ==， 所以n p 2(1)!n n =+．12 31 3 22 1 32 3 1。