中考数学压轴题解题技巧及训练完整版

中考压轴题反比例函数综合（八大题型+解题方法）1.求交点坐标联立反比例函数与一次函数图象的解析式进行求解，特别地，反比例函数与正比例函数图象的两个交点关于原点对称.2.结合图象比较函数值的大小如图，一次函数y=k1x+b与反比例函数图象交于A,B 两点，过点A,B分别作y 轴的平行线，连同y 轴，将平面分为I,Ⅱ,Ⅲ,IV 四部分，在I,Ⅲ区域内，y₁<y₂,自变量的取值范围为x<x B或0<x<x A;在Ⅱ,IV区域内，y1>y₂,自变量的取值范围为x B<x<0或x>x A.3.反比例函数系数k的几何意义及常用面积模型目录：题型1：反比例函数与几何的解答证明 题型2：存在性问题题型3：反比例函数的代数综合 题型4：动态问题、新定义综合 题型5：定值问题 题型6：取值范围问题 题型7：最值问题题型8：情景探究题（含以实际生活为背景题）题型1：反比例函数与几何的解答证明1．（2024·湖南株洲·一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，4OA =，2OC =（不与B ，C 重合），反比例函数()0,0k y k x x=＞＞的图像经过点D ，且与AB 交于点E ，连接OD ，OE ，DE ．(1)若点D 的横坐标为1． ①求k 的值；②点P 在x 轴上，当ODE 的面积等于ODP 的面积时，试求点P 的坐标； (2)延长ED 交y 轴于点F ，连接AC ，判断四边形AEFC 的形状 【答案】(1)①2；②15,04⎛⎫ ⎪⎝⎭或15,04⎛⎫− ⎪⎝⎭(2)四边形AEFC 是平行四边形，理由见解析【分析】（1）①根据矩形的性质得到90BCO B AOC ∠=∠=∠=︒，得()1,2D ，把()1,2D 代入()0,0ky k x x=＞＞即可得到结论；②由D ，E 都在反比例函数ky x =的图像上，得到1COD AOE S S ==△△，根据三角形的面积公式得到1111315241243222224ODE S =⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯=△，设(),0P x ，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；（2）连接AC ，根据题意得到,22k D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,4k E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设EF 的函数解析式为y ax b =+，解方程得到84k OF +=，求得24kCF OF AE =−==，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．【解析】（1）解：①∵四边形ABCO 是矩形，4OA =， ∴90BCO B AOC ∠=∠=∠=︒，4BC OA ==， ∵2OC =，点D 的横坐标为1， ∴()1,2D ，2AB OC ==，∵反比例函数()0,0ky k x x =＞＞的图像经过点D ，∴122k =⨯=， ∴k 的值为2； ②∵()1,2D ，∴1CD =，∵D ，E 都在反比例函数2y x =的图像上，∴1COD AOE S S ==△△，∴111422AOE S OA AE AE==⋅=⨯△，∴12AE =，∴13222BE AB AE =−=−=， ∴1111315241243222224ODES =⨯−⨯⨯−⨯⨯−⨯⨯=△，∵点P 在x 轴上，ODE 的面积等于ODP 的面积， 设(),0P x ，∴115224ODP S x =⨯⨯=△， 解得：154x =或154x =−，∴点P 的坐标为15,04⎛⎫ ⎪⎝⎭或15,04⎛⎫− ⎪⎝⎭；（2）四边形AEFC AEFC 是平行四边形． 理由：连接AC ，∵4OA =，2OC =，D ，E 都在反比例函数()0,0ky k x x =＞＞的图像上，∴,22k D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，4,4k E ⎛⎫⎪⎝⎭，设EF 的函数解析式为：y ax b =+，∴2244k a b k a b ⎧⨯+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：1284a kb ⎧=−⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∴EF 的函数解析式为：1824k y x +=−+， 当0x =时，得：84ky +=，∴84k OF +=， ∴24kCF OF AE =−==，又∵CF AE ∥，∴四边形AEFC 是平行四边形．【点睛】本题是反比例函数与几何的综合，考查待定系数法确定解析式，反比例函数图像上的点的坐标的特征，矩形的性质，平行四边形的判定，三角形的面积等知识点．掌握反比例函数图像上的点的坐标的特征，矩形的性质是解题的关键．题型2：存在性问题2．（2024·四川成都·二模）如图①，O 为坐标原点，点B 在x 轴的正半轴上，四边形OACB 是平行四边形，4sin 5AOB ∠=，反比例函数(0)ky k x =>在第一象限内的图象经过点A ，与BC 交于点F ．(1)若10OA =，求反比例函数解析式；(2)若点F 为BC 的中点，且AOF 的面积12S =，求OA 的长和点C 的坐标；(3)在（2）中的条件下，过点F 作EF OB ∥，交OA 于点E （如图②)，点P 为直线EF 上的一个动点，连接PA ，PO ．是否存在这样的点P ，使以P 、O 、A 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)48(0)y x x =>C(3)存在，满足条件的点P 或(或或(【分析】（1）先过点A 作AH OB ⊥，根据4sin 5AOB ∠=，10OA =，求出AH 和OH 的值，从而得出A 点坐标，再把它代入反比例函数中，求出k 的值，即可求出反比例函数的解析式； （2）先设(0)OA a a =>，过点F 作FM x ⊥轴于M ，根据4sin 5AOB ∠=，得出45AH a =，35OH a=，求出AOHS △的值，根据12AOF S =△，求出平行四边形AOBC 的面积，根据F 为BC 的中点，求出6OBF S =△，根据12BF a =，FBM AOB ∠=∠，得出12BMFS BM FM =⋅，23650FOM S a =+△，再根据点A ，F 都在k y x =的图象上，12AOHSk=，求出a ，最后根据AOBC S OB AH =⋅平行四边形，得出OB AC ==C 的坐标；（3）分别根据当90APO ∠=︒时，在OA 的两侧各有一点P ，得出1P ，2P ；当90PAO ∠=︒时，求出3P ；当90POA ∠=︒时，求出4P 即可．【解析】（1）解：过点A 作AH OB ⊥于H ，4sin 5AOB ∠=，10OA =，8AH ∴=，6OH =，A ∴点坐标为(6,8)，根据题意得：86k=，可得：48k =，∴反比例函数解析式：48(0)y x x =>；（2）设(0)OA a a =>，过点F 作FM x ⊥轴于M ，过点C 作CN x ⊥轴于点N ， 由平行四边形性质可证得OH BN =，4sin 5AOB ∠=，45AH a ∴=，35OH a=， 2143625525AOHS a a a ∴=⋅⋅=△，12AOF S =△，24AOBC S ∴=平行四边形，F 为BC 的中点，6OBFS∴=，12BF a=，FBM AOB ∠=∠，25FM a ∴=，310BM a =，2112332251050BMF S BM FM a a a ∴=⋅=⋅⋅=△，23650FOMOBFBMFSSSa ∴=+=+，点A ，F 都在ky x =的图象上，12AOH FOM S S k ∴==△△，∴226362550a a =+，a ∴OA ∴=AH ∴=OH =24AOBC S OB AH =⋅=平行四边形，OB AC ∴==ON OB OH ∴=+=C ∴；（3）由（2）可知A ，B 0)，F ．存在三种情况：当90APO ∠=︒时，在OA 的两侧各有一点P ，如图，设PF 交OA 于点J ，则J此时，AJ PJ OJ ==，P ∴，(P '，当90PAO ∠=︒时，如图，过点A 作AK OB ⊥于点K ，交PF 于点L ．由AKO PLA △∽△，可得PLP ，当90POA ∠=︒时，同理可得(P ．综上所述，满足条件的点P 的坐标为或(或或(．【点睛】此题考查了反比例函数的综合，用到的知识点是三角函数、平行四边形、反比例函数、三角形的面积等，解题的关键是数形结合思想的运用．3．（2024·广东湛江·一模）【建立模型】（1）如图1，点B 是线段CD 上的一点，AC BC ⊥，AB BE ⊥，ED BD ⊥，垂足分别为C ，B ，D ，AB BE =．求证：ACB BDE ≌；【类比迁移】（2）如图2，点()3,A a −在反比例函数3y x=图象上，连接OA ，将OA 绕点O 逆时针旋转90︒到OB ，若反比例函数k y x =经过点B ．求反比例函数ky x=的解析式； 【拓展延伸】（3）如图3抛物线223y x x +−与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C 点，已知点()0,1Q −，连接AQ ，抛物线上是否存在点M ，便得45MAQ ∠=︒，若存在，求出点M 的横坐标．【答案】（1）见解析；（2）3y x =−；（3）M 的坐标为39,24⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,4−−．【分析】（1）根据题意得出90C D ABE ︒∠=∠=∠=，A EBD ∠=∠，证明()AAS ACB BDE ≌，即可得证；（2）如图2，分别过点A ，B 作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，垂足分别为C ，D ．求解()3,1A −−，1AC =，3OC =．利用ACO ODB ≌△△，可得()1,3B −；由反比例函数ky x =经过点()1,3B −，可得3k =−，可得答案；（3）如图3，当M 点位于x 轴上方，且45MAQ ∠=︒，过点Q 作QD AQ ⊥，交MA 于点D ，过点D 作DE y⊥轴于点E ．证明AQO QDE ≌，可得AO QE =，OQ DE =，可得()1,2D ，求解1322AM y x =+：，令2132322x x x +=+−， 可得M 的坐标为39,24⎛⎫ ⎪⎝⎭；如图，当M 点位于x 轴下方，且45MAQ ∠=︒，同理可得()1,4D −−，AM 为26y x =−−．由22623x x x −−=+−，可得M 的坐标是()1,4−−．【解析】证明：（1）如图，∵AC BC ⊥，AB BE ⊥，ED BD ⊥， ∴90C D ABE ︒∠=∠=∠=，∴90,90ABC A ABC EBD ∠+∠=︒∠+∠=︒， ∴A EBD ∠=∠， 又∵AB BE =， ∴()AAS ACB BDE ≌．（2）①如图2，分别过点A ，B 作AC x ⊥轴，BD x ⊥轴，垂足分别为C ，D ．将()3,A a −代入3y x =得：1a =−，∴()3,1A −−，1AC =，3OC =．同（1）可得ACO ODB ≌△△， ∴1OD AC ==，3BD OC ==， ∴()1,3B −，∵反比例函数ky x =经过点()1,3B −，∴3k =−， ∴3y x =−；（3）存在；如图3，当M 点位于x 轴上方，且45MAQ ∠=︒，过点Q 作QD AQ ⊥，交MA 于点D ，过点D 作DE y ⊥轴于点E ．∵45MAQ ∠=︒，QD AQ ⊥， ∴45MAQ ADQ ∠=∠=︒， ∴AQ QD =，∵DE y ⊥轴，QD AQ ⊥，∴90AQO EQD EQD QDE ∠+∠=∠+∠=︒，90AOQ QED ∠=∠=︒， ∴AQO QDE ∠=∠， ∵AQ QD =， ∴AQO QDE ≌， ∴AO QE =，OQ DE =，令2230y x x =+−=，得13x =−，21x =，∴3AO QE ==，又()0,1Q −，∴1OQ DE ==， ∴()1,2D ，设AM 为y kx b =+，则230k b k b +=⎧⎨−+=⎩，，解得：1232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴1322AM y x =+： 令2132322x x x +=+−，得132x =，23x =−(舍去)， 当32x =时，233923224y ⎛⎫=+⨯−= ⎪⎝⎭， ∴39,24M ⎛⎫⎪⎝⎭；如图，当M 点位于x 轴下方，且45MAQ ∠=︒，同理可得()1,4D −−，AM 为26y x =−−．由22623x x x −−=+−，得11x =−，23x =−(舍去)∴当=1x −时，()()212134y =−+⨯−−=−，∴()1,4M −−．综上：M 的坐标为39,24⎛⎫⎪⎝⎭或()1,4−−．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，反比例函数的应用，二次函数的性质，一元二次方程的解法，熟练的利用类比的方法解题是关键．题型3：反比例函数的代数综合4．（2024·湖南长沙·一模）若一次函数y mx n =+与反比例函数ky x=同时经过点(),P x y 则称二次函数2y mx nx k +=-为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P 为共享点．(1)判断21y x =−与3y x=是否存在“共享函数”，如果存在，请说明理由；(2)已知：整数m ，n ，t 满足条件8t n m ＜＜，并且一次函数()122=+++y n x m 与反比例函数2024y x=存在“共享函数”()()2102024y m t x m t x ++−=-，求m 的值．(3)若一次函数y x m =+和反比例函数213m y x+=在自变量x 的值满足的6m x m ≤≤+的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．【答案】(1)3,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,3P −−，见解析 (2)2(3)2429y x x =+−或(29155y x x −−−=【分析】（1）判断21y x =−与3y x =是否有交点，计算即可；（2）根据定义，12210n m tm m t +=+⎧⎨+=−⎩，得到39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，结合8t n m ＜＜，构造不等式组解答即可． （3）根据定义，得“共享函数”为()22225131324m m y x mx m x ⎛⎫+−+=+−− ⎪⎝⎭=结合6m x m ≤≤+，“共享函数”的最小值为3，分类计算即可．本题考查了新定义，解方程组，解不等式组，抛物线的增减性，熟练掌握定义，抛物线的增减性是解题的关键．【解析】（1）21y x =−与3y x =存在“共享函数”，理由如下：根据题意，得213y x y x =−⎧⎪⎨=⎪⎩，解得322x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，13x y =−⎧⎨=−⎩，故函数同时经过3,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或()1,3P −−， 故21y x =−与3y x =存在“共享函数”．（2）∵一次函数()122=+++y n x m 与反比例函数2024y x =存在“共享函数”()()2102024y m t x m t x ++−=-，∴12210n m tm m t +=+⎧⎨+=−⎩，解得39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ∵8t n m ＜＜， ∴82489869n n m n n +⎧=⎪⎪⎨+⎪⎪⎩＜＞，解得24n 6＜＜， ∴327n +9＜＜， ∴339n +1＜＜，∴13m ＜＜， ∵m 是整数， ∴2m =．（3）根据定义，得一次函数y x m =+和反比例函数213m y x +=的“共享函数”为 ()22225131324m m y x mx m x ⎛⎫+−+=+−− ⎪⎝⎭=，∵()22225131324m m y x mx m x ⎛⎫+−+=+−− ⎪⎝⎭=．∴抛物线开口向上，对称轴为直线2mx =−，函数有最小值25134m −−，且点与对称轴的距离越大，函数值越大，∵6m x m ≤≤+，当62mx m =−+≥时，即4m ≤−时，∵11622m m m m ⎛⎫⎛⎫−−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞， ∴6x m =+时，函数取得最小值，且为2225613182324m m y m m m ⎛⎫=++−−=++ ⎪⎝⎭，又函数有最小值3，∴218233m m ++=，解得99m m =−=−故9m =− ∴“共享函数”为(29155y x x −−−=当2m x m =−≤时，即0m ≥时，∵11622m m m m ⎛⎫⎛⎫−−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜， ∴x m =时，函数取得最小值，且为2225131324m m y m m ⎛⎫=+−−=− ⎪⎝⎭，又函数有最小值3，∴2133m −=，解得4,4m m ==−（舍去）； 故4m =，∴“共享函数”为2429y x x =+−； 当62mm m −+＜＜时，即40m −＜＜时，∴2mx =−时，函数取得最小值，且为25134m y =−−，又函数有最小值3，∴251334m −−=， 方程无解，综上所述，一次函数y x m =+和反比例函数213m y x += 的“共享函数”为2429y x x =+−或(29155y x x −−−=5．（2024·江苏南京·模拟预测）若一次函数y mx n =+与反比例函数ky x=同时经过点(,)P x y 则称二次函数2y mx nx k =+−为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P 为共享点．(1)判断21y x =−与3y x=是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理由； (2)已知：整数m ，n ，t 满足条件8t n m <<，并且一次函数(1)22y n x m =+++与反比例函数2024y x=存在“共享函数” 2()(10)2024y m t x m t x =++−−，求m 的值．(3)若一次函数y x m =+和反比例函数213m y x+=在自变量x 的值满足的6m x m ≤≤+的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．【答案】(1)点P 的坐标为：3(2，2)或(1,3)−−；(2)2m =(3)222(13)(9(155y x mx m x x =+−+=+−−+或2429y x x =+−．【分析】（1）联立21y x =−与3y x =并整理得：2230x x −−=，即可求解；（2）由题意得12210n m t m m t +=+⎧⎨+=−⎩，解得39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，而8t n m <<，故624n <<，则9327n <+<，故13m <<，m 是整数，故2m =；（3）①当162m m +≤−时，即4m ≤−，6x m =+，函数取得最小值，即22(6)(6)133m m m m +++−−=，即可求解；②当162m m m <−<+，即40m −<<，函数在12x m=−处取得最小值，即22211()13322m m m −−−−=，即可求解；③当0m ≥时，函数在x m =处，取得最小值，即可求解． 【解析】（1）解：（1）21y x =−与3y x =存在“共享函数”，理由如下：联立21y x =−与3y x =并整理得：2230x x −−=，解得：32x =或1−， 故点P 的坐标为：3(2，2)或(1,3)−−；（2）解：一次函数(1)22y n x m =+++与反比例函数2024y x =存在“共享函数”2()(10)2024y m t x m t x =++−−，依据“共享函数”的定义得： 12210n m tm m t +=+⎧⎨+=−⎩，解得：39869n m n t +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， 8t n m <<，∴8698249n n n n +⎧<⎪⎪⎨+⎪<⎪⎩， 解得：624n <<；9327n ∴<+<， 13m ∴<<，m 是整数，2m ∴=；（3）解：由y x m =+和反比例函数213m y x +=得：“共享函数”的解析式为22(13)y x mx m =+−+， 函数的对称轴为：12x m=−； ①当162m m+≤−时，即4m ≤−， 6x m =+，函数取得最小值，即22(6)(6)133m m m m +++−−=，解得9m =−9−②当162m m m <−<+，即40m −<<， 函数在12x m =−处取得最小值，即22211()13322m m m −−−−=，无解；③当0m ≥时，函数在x m =处，取得最小值，即222133m m m +−−=，解得：4m =±（舍去4)−，综上，9m =−4，故“共享函数”的解析式为222(13)(9(155y x mx m x x =+−+=+−−+或2429y x x =+−．【点睛】本题是一道二次函数的综合题，主要考查了一次函数与反比例函数的性质，一次函数与反比例函数图象上点的坐标的特征，二次函数的性质，一元一次不等式组的解法，一元二次方程的解法．本题是阅读型题目，理解题干中的定义并熟练应用是解题的关键．6．（2024·湖南长沙·模拟预测）我们规定：若二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）与x 轴的两个交点的横坐标1x ，2x 满足122x x =−，则称该二次函数为“强基函数”，其中点()1,0x ，()2,0x 称为该“强基函数”的一对“基点”．(1)判断：下列函数中，为“强基函数”的是______（仅填序号）．①228y x x =−−；②21y x x =++．(2)已知二次函数()2221y x t x t t =−+++为“强基函数”，求：当12x −≤≤时，函数22391y x tx t =+++的最大值．(3)已知直线1y x =−+与x 轴交于点C ，与双曲线()20y x x=−<交于点A ，点B 的坐标为()3,0−．若点()1,0x ，()2,0x 是某“强基函数”的一对“基点”，()12,P x x 位于ACB △内部．①求1x 的取值范围；②若1x 为整数，是否存在满足条件的“强基函数”2y x bx c =++？若存在，请求出该“强基函数”的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)① (2)当23t =−时函数最大值为8或当13t =−时函数最大值为4；(3)①1x 的取值范围是：120x −<<或110x −<<；②21122y x x =+−【分析】（1）根据抛物线与x 轴的交点情况的判定方法分别判定①与②与x 轴的交点情况，再求解交点坐标，结合新定义，从而可得答案； （2）由()22210y x t x t t =−+++=时，可得1x t=，21x t =+，或11x t =+，2x t=，当122x x =−时，根据新定义可得23t =−或13t =−，再分情况求解函数的最大值即可；（3））①先得到点A 、B 、C 的坐标，然后分122x x =−或212x x =−两种情况，列出关于1x 的不等式组，然后解不等式组即可；②根据1x 为整数，先求出1x 的值，然后根据二次函数的交点式直接得到二次函数的解析式即可．【解析】（1）解：①∵228y x x =−−； ∴()()2Δ2418432360=−−⨯⨯−=+=>，∴抛物线与x 轴有两个交点，∵228=0x x −−，∴14x =，22x =−，∴122x x =−，∴228y x x =−−是“强基函数” ②∵21y x x =++， ∴214111430∆=−⨯⨯=−=−<，∴抛物线与x 轴没有交点，∴21y x x =++不是“强基函数” 故答案为：①； （2）∵二次函数()2221y x t x t t=−+++为“强基函数”，∴()()22Δ21410t t t ⎡⎤=−+−+=>⎣⎦，∵()22210y x t x t t =−+++=时， ∴1x t=，21x t =+，或11x t =+，2x t=，当122x x =−时，∴()21t t =−+或12t t +=−，解得：23t =−或13t =−，当23t =−时，函数为225y x x =−+，如图，∵12x −≤≤，此时当=1x −时，函数最大值为1258y =++=； 当13t =−时，函数为22y x x =−+，如图，∵12x −≤≤，此时当=1x −或2x =时，函数最大值为1124y =++=；（3）①联立()201y x x y x ⎧=−<⎪⎨⎪=−+⎩，解得：12x y =−⎧⎨=⎩， ∴点A 的坐标为：()1,2−，把0y =代入 1y x =−+得：10x −+=， 解得：1x =，∴点C 的坐标为()1,0， 设直线AB 为1y kx b =+，∴11302k b k b −+=⎧⎨−+=⎩，解得：113k b =⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为：3y x =+， ∵点()1,0x ，()2,0x 是某“强基函数”的一对“基点”， ()12,P x x 位于ACB △内部．当122x x =−时， ∴111,2P x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭， ∴点P 在直线2xy =−上，∵点111,2P x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭位于以A 、B 、C 三点所构成的三角形内部，如图，∴1111103212x x x x x ⎧⎪<⎪⎪−+⎨⎪⎪−−+⎪⎩＜＜， 解得：120x −<<；当212x x =−时，∵P 点坐标为()11,2x x −，∴点P 在直线2y x =−上，∵点P 位于以A 、B 、C 三点所构成的三角形内部，如图，∴1111102321x x x x x <⎧⎪−<+⎨⎪−<−+⎩，解得：110x −<<；综上分析可知，1x 的取值范围是：120x −<<或110x −<<；②存在；理由如下：∵1x 为整数，∴当120x −<<时，11x =−，∴此时212x =，此时，“强基函数”的一对“基点”为()1,0−，1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴“强基函数”为()21111222y x x x x ⎛⎫=+−=+− ⎪⎝⎭； 当110x −<<时，则没有符合条件的整数1x 的值，不存在符合条件的“强基函数”； 综上，“强基函数”为21122y x x =+−． 【点睛】本题考查的是一次函数，反比例函数，二次函数的综合应用，新定义的含义，本题难度大，灵活应用各知识点，理解新定义的含义是解题的关键．题型4：动态问题、新定义综合7．（2024·山东济南·一模）如图1，直线14y ax =+经过点()2,0A ，交反比例函数2k y x=的图象于点()1,B m −，点P 为第二象限内反比例函数图象上的一个动点．(1)求反比例函数2y 的表达式；(2)过点P 作PC x ∥轴交直线AB 于点C ，连接AP ，BP ，若ACP △的面积是BPC △面积的2倍，请求出点P 坐标；(3)平面上任意一点(),Q x y ，沿射线BA Q '，点Q '怡好在反比例函数2k y x=的图象上；①请写出Q 点纵坐标y 关于Q 点横坐标x 的函数关系式3y =______；②定义}{()()min ,a a b a b b a b ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则函数{}13min ,Y y y =的最大值为______． 【答案】(1)26y x =−(2)点P 坐标为1,122⎛⎫− ⎪⎝⎭或3,42⎛⎫− ⎪⎝⎭ (3)①3621y x =−++；②8【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形，解题的关键是运用分类讨论的思想．（1）先根据点()2,0A 求出1y 的解析式，然后求出点B 的坐标，最后将点B 的坐标代入2y 中，求出k ，即可求解；（2）分两种情况讨论：当点P 在AB 下方时，当点P 在AB 上方时，结合“若ACP △的面积是BPC △面积的2倍”，求出点C 的坐标，将点C 的纵坐标代入反比例函数解析式，即可求解；（3）①根据题意可得：(),Q x y 向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点Q '，则()1,2Q x y +'−，将其代入26y x =−中，即可求解；②分为：当{}131min ,Y y y y ==时，13y y ≤；当{}133min ,Y y y y ==时，13y y >；分别解不等式即可求解．【解析】（1）解：直线14y ax =+经过点()2,0A ，，∴240x +=， 解得：2a =−，∴124y x =−+，点()1,B m −在直线124y x =−+上，∴()2146m =−⨯−+=，∴()1,6B −，∴166k =−⨯=−， ∴26y x =−；（2）①当点P 在AB 下方时，2ACP BPC S S =，∴:2:1AC BC =，过点C 作CH x ⊥轴于点H ，过点B 作BR x ⊥轴于点R ，∴23AC CH AB BR ==， ∴23C B y y =，()1,6B −，∴4C y =，把4C y =代入26y x =−中， 得：32C x =−， ∴3,42P ⎛⎫− ⎪⎝⎭； ②当点P 在AB 上方时，2ACP BPC S S =，∴:1:1AB BC =，∴B 为AC 的中点，()2,0A ，()1,6B −，∴()4,12C −，把12y =代入26y x =−中，得：12x =−， ∴1,122P ⎛⎫− ⎪⎝⎭，综上所述，点P 的坐标为1,122⎛⎫− ⎪⎝⎭或3,42⎛⎫− ⎪⎝⎭；（3）① 由(),Q x y ，沿射线BA Q '， 得：(),Q x y 向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点Q '，∴()1,2Q x y +'−，点()1,2Q x y +'−恰好在反比例函数26y x =−的图象上， ∴621y x −=−+， ∴3621y x =−++；②a ．当{}131min ,Y y y y ==时，13y y ≤， 即62421x x −+≤−++， 当1x >−时，()()()2141621x x x x −+++≤−++，解得：2x ≥或2x ≤−（舍去），∴2x =时，函数{}131min ,Y y y y ==有最大值，最大值为2240−⨯+=；当1x <−时，()()()2141621x x x x −+++≥−++，解得：21x −≤<−，∴2x =−时，函数{}131min ,Y y y y ==有最大值，最大值为()2248−⨯−+=；b ．当{}133min ,Y y y y ==时，13y y >， 即62421x x −+>−++，当1x >−时，()()()2141621x x x x −+++>−++，解得：2x >或<2x −（舍去）， ∴362021y >−+=+，即0Y >；当1x <−时，()()()2141621x x x x −+++<−++，解得：2<<1x −−，∴328y <<，即28Y <<；综上所述，函数{}13min ,Y y y =的最大值为8，故答案为：8．8．（2024·四川成都·一模）如图，矩形OABC 交反比例函数k y x=于点D ，已知点()0,4A ，点()2,0C −，2ACD S =△．(1)求k 的值；(2)若过点D 的直线分别交x 轴，y 轴于R ，Q 两点，2DRDQ =，求该直线的解析式； (3)若四边形有一个内角为60︒，且有一条对角线平分一个内角，则称这个四边形为“角分四边形”．已知点P在y 轴负半轴上运动，点Q 在x 轴正半轴上运动，若四边形ACPQ 为“角分四边形”，求点P 与点Q 的坐标．【答案】(1)4k =−；(2)26y x =+或22y x =−+；(3)(()020P ,,Q ,−或 ()()04320P ,,−或()()040P ,,Q −【分析】（1）利用面积及矩形的性质，用待定系数法即可求解；（2）分两种情况讨论求解：R 在x 轴正半轴上和在负半轴上两种情况分别求解即可；（3）分三种情况：当AO 平分CAQ ∠，60CPQ ∠=︒时，当CO 平分ACP ∠，60CPQ ∠=︒时，当CO 平分ACP ∠，60AQP ∠=︒时，分别结合图形求解. 【解析】（1）解：2ACD S =△， 即122AD OA ⨯⨯=， ()0,4A ，1422AD ∴⨯=，1AD ∴=，()1,4D ∴−， 41k∴=−，4k ∴=−；（2）①如图，当2DR DQ =时，13DQ RQ =，AD OR ，13DQ AD RQ OR ∴==，1AD =，3OR ∴=，()3,0R ∴−，设直线RQ 为11y k x b =+， 把()3,0R −，()1,4D −代入11y k x b =+，得1111304k b k b −+=⎧⎨−+=⎩，解得1126k b =⎧⎨=⎩，直线RQ 为26y x =+，②如图，当2DR DQ =时，1DQ RQ =，AD OR ，1DQ AD RQ OR ∴==，1AD =，1OR ∴=，()1,0R ∴，设直线RQ 为22y k x b =+，把()1,0R ，()1,4D −代入22y k x b =+，得222204k b k b +=⎧⎨−+=⎩，解得2222k b =−⎧⎨=⎩，直线RQ 为22y x =−+，综上所述，直线RQ 的表达式为26y x =+或22y x =−+；（3）解：①当AO 平分CAQ ∠，60CPQ ∠=︒时，CAO QAO AO AOAOC AOQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=⎩，()ASA AOC AOQ ∴≌， CO QO ∴=即AP 垂直平分CQ ，()2,0Q ∴，60CPQ ∠=︒，30CPO ∴∠=︒，tan30OC OP ∴===︒，(0,P ∴−，②当CO 平分ACP ∠，60CPQ ∠=︒时，同理ACO PCO ≌，得4OA OP ==，()0,4P ∴−，PC == 作CM PQ ⊥于M ，60CPQ ∠=︒，1cos602PM PC ∴=⨯︒==sin60CM PC =⨯︒== 90POQ CMQ ,PQO PQO ∠=∠=︒∠=∠，CMQ POQ ∴∽，MQ CM OQ OP ∴=，即MQ OQ =，)2222OQ OP PQ MQ +==② ，联立①，②，解得32OQ =或32OQ =(舍），()32,0Q ∴，③当CO 平分ACP ∠，60AQP ∠=︒时，同理 ACO PCO ≌，得4OA OP ==，AC CP = 同理ACQ PCQ ≌，得AQ PQ =∴APQ 是等边三角形()0,4P ∴−，8AP AQ PQ ,===OQ =， ()Q ∴，综上所述，P 、Q 的坐标为(()0,,2,0P Q −或 ()()0,4,32,0P Q −或()()0,4,P Q −.【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，解直角三角形，求一次函数解析式，相似三角形的性质和判定，正确作出辅助线，解方程组，灵活运用待定系数法求函数解析式是解本题的关键． 题型5：定值问题9．（2024·山东济南·模拟预测）如图①，已知点()1,0A −，()0,2B −，ABCD Y 的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 的中点，双曲线k y x=经过C 、D 两点．(1)求k 的值；(2)点P 在双曲线k y x=上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q 的坐标；(3)以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图③），点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN HT ⊥，交AB 于N ，当点T 在AF 上运动时，MN HT 的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．【答案】(1)4k =(2)()0,6或()0,2或()0,6− (3)12MN HT =，其值不发生改变，证明见解析【分析】（1）根据中点坐标公式可得，1D x =，设()1,D t ，由平行四边形对角线中点坐标相同可知()2,2C t −，再根据反比例函数的性质求出t 的值即可；（2）由（1）知4k =可知反比例函数的解析式为4y x =，再由点P 在双曲线4y x =上，点Q 在y 轴上，设()0,Q q ，4P p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，再分以AB 为边和以AB 为对角线两种情况求出x 的值，故可得出P 、Q 的坐标；（3）连NH 、NT 、NF ，易证NF NH NT ==，故NTF NFT AHN ∠=∠=∠，90TNH TAH ∠=∠=︒，12MN HT =由此即可得出结论．【解析】（1）解：∵()1,0A −，E 为AD 中点且点E 在y 轴上，1D x ∴=， 设()1,D t ，()C m n ，，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC BD 、的中点坐标相同， ∴101222022m t n +−⎧=⎪⎪⎨−+⎪=⎪⎩， ∴22m n t ==−，()22C t ∴−，，∵C 、D 都在反比例函数4y x =的图象上，()22k t t ∴==−，4t ∴=， 4k ∴=；（2）解：由（1）知4k =，∴反比例函数的解析式为4y x =，点P 在双曲线4x 上，点Q 在y 轴上，∴设()0,Q q ，4P p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，①当AB 为边时：如图1，若ABPQ 为平行四边形，则1002240422p q p −++⎧=⎪⎪⎨−⎪−=⎪⎩，解得16p q =⎧⎨=⎩，此时()11,4P ，()10,6Q ；如图2，若ABQP 为平行四边形，则1002242022p q p −++⎧=⎪⎪⎨−+⎪+=⎪⎩，解得16p q =−⎧⎨=−⎩，此时()21,4P −−，()20,6Q −；②如图3，当AB 为对角线时，则010*******p q p +−+⎧=⎪⎪⎨+⎪−=⎪⎩解得12p q =−⎧⎨=⎩，()31,4P ∴−−，()30,2Q ；综上所述，满足题意的Q 的坐标为()0,6或()0,2或()0,6−；（3）解：12MN HT =，其值不发生改变，证明如下： 如图4，连NH 、NT 、NF ，∵M 是HT 的中点，MN HT ⊥，∴MN 是线段HT 的垂直平分线，NT NH ∴=，四边形AFBH 是正方形，45ABF ABH ∴∠=∠=︒，在BFN 与BHN △中，BF BH NBF NBH BN BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS BFN BHN ∴≌，NF NH NT ∴==，BFN BHN ∠=∠，∵90BFA BHA ==︒∠∠，NTF NFT AHN ∴∠=∠=∠，∵180ATN NTF ∠+∠=︒，∴180ATN AHN ∠+∠=︒，∴3601809090TNH ∠=︒−︒−︒=︒．12MN HT ∴=， ∴12MN HT =．三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.10．（2024·山东济南·二模）如图①，已知点(1,0)A −，(0,2)B −，ABCD Y 的边AD 与y 轴交于点E ，且E 为AD 的中点，双曲线k y x=经过C 、D 两点．(1)求k 的值；(2)点P 在双曲线k y x=上，点Q 在y 轴上，若以点A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点Q 的坐标；(3)以线段AB 为对角线作正方形AFBH （如图③)，点T 是边AF 上一动点，M 是HT 的中点，MN HT ⊥，交AB 于N ，当点T 在AF 上运动时，MN HT的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围：若不改变，请求出其值，并给出你的证明．【答案】(1)4k =(2)1(0,6)Q ，2(0,6)Q −，3(0,2)Q(3)结论：MN HT 的值不发生改变，12MN HT =证明见解析【分析】（1）设(1,)D t ，由DC AB ∥，可知(2,2)C t −，再根据反比例函数的性质求出t 的值即可；（2）由（1）知4k =可知反比例函数的解析式为4y x =，再由点P 在双曲线4y x =上，点Q 在y 轴上，设(0,)Q y ，4(,)P x x ，再分以AB 为边和以AB 为对角线两种情况求出x 的值，故可得出P 、Q 的坐标；（3）连NH 、NT 、NF ，易证NF NH NT ==，故NTF NFT AHN ∠=∠=∠，90TNH TAH ∠=∠=︒，12MN HT =由此即可得出结论．【解析】（1）解：(1,0)A −，(0,2)B −，E 为AD 中点， 1D x ∴=，设(1,)D t ，又DC AB ∥，(2,2)C t ∴−，24t t ∴=−，4t ∴=，4k ∴=；（2）解：由（1）知4k =，∴反比例函数的解析式为4y x =，点P 在双曲线4x 上，点Q 在y 轴上，∴设(0,)Q y ，4(,)P x x ， ①当AB 为边时：如图1，若ABPQ 为平行四边形，则102x −+=，解得1x =，此时1(1,4)P ，1(0,6)Q ；如图2，若ABQP 为平行四边形，则122x −=， 解得=1x −，此时2(1,4)P −−，2(0,6)Q −；②如图3，当AB 为对角线时，AP BQ =，且AP BQ ∥； ∴122x −=，解得=1x −，3(1,4)P ∴−−，3(0,2)Q ；故1(1,4)P ，1(0,6)Q ；2(1,4)P −−，2(0,6)Q −；3(1,4)P −−，3(0,2)Q ；（3） 解：结论：MNHT 的值不发生改变，理由：如图4，连NH 、NT 、NF ，MN 是线段HT 的垂直平分线，NT NH ∴=，四边形AFBH 是正方形，ABF ABH ∴∠=∠，在BFN 与BHN △中，BF BH ABF ABH BN BN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BFN BHN SAS ∴≌，NF NH NT ∴==， NTF NFT AHN ∴∠=∠=∠，四边形ATNH 中，180ATN NTF ∠+∠=︒，而NTF NFT AHN ∠=∠=∠，所以，180ATN AHN ∠+∠=︒，所以，四边形ATNH 内角和为360︒，所以3601809090TNH ∠=︒−︒−︒=︒．12MN HT ∴=， ∴12MN HT =．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等相关知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.题型6：取值范围问题11．（2024·江苏宿迁·二模）中国象棋棋盘上双方的分界处称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线．在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点()11,P x y 是图形1G 上的任意一点，点()22,Q x y 是图形2G 上的任意一点，若存在直线()0l y kx b k =+≠∶满足11y kx b ≤+且22y kx b ≥+，则直线(0)y k b k =+≠就是图形1G 与2G 的“楚河汉界线”．例如：如图1，直线4l y x =−−∶是函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的一条“楚河汉界线”．(1)在直线①2y x =−，②41y x =−，③23y x =−+，④31y x =−−中，是图1函数6(0)y x x=<的图像与正方形OABC 的“楚河汉界线”的有______；（填序号） (2)如图2，第一象限的等腰直角EDF 的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D 的坐标是()2,1，EDF 与O 的“楚河汉界线”有且只有一条，求出此“楚河汉界线”的表达式；(3)正方形1111D C B A 的一边在y 轴上，其他三边都在y 轴的右侧，点(2,)M t 是此正方形的中心，若存在直线2y x b =−+是函数2)304(2y x x x =−++≤≤的图像与正方形1111D C B A 的“楚河汉界线”，求t 的取值范围．【答案】(1)①④；(2)25y x =−+；(3)7t ≤−或9t ≥．【分析】（1）根据定义，结合图象，可判断出直线为3y x =−或31y x =−−与双曲线6(0)y x x =<及正方形ABCD最多有一个公共点，即可求解；（2）先作出以原点O 为圆心且经过EDF 的顶点D 的圆，再过点D 作O 的切线，求出该直线的解析式即可；（3）先由抛物线与直线组成方程组，则该方程组有唯一一组解，再考虑直线与正方形有唯一公共点的情形，数形结合，分类讨论，求出t【解析】（1）解：如图，从图可知，2y x =−与双曲线6(0)y x x =<和正方形OABC 只有一个公共点，31y x =−−与双曲线6(0)y x x =<和正方形OABC 没有公共点，41y x =−、23y x =−+不在双曲线6(0)y x x =<及正方形ABCD 之间， 根据“楚河汉界线”定义可知，直线2y x =−，31y x =−−是双曲线6(0)y x x =<与正方形OABC 的“楚河汉界线”， 故答案为：①④；（2）解：如图，连接OD ，以O 为圆心，OD 长为半径作O ，作DG x ⊥轴于点G ，过点D 作O 的切线DM ，则MD OD ⊥，∵MD OD ⊥，DG x ⊥轴， ∴90ODM OGD ∠=∠=︒， ∴90MOD OMD ∠+∠=︒， ∵90MOD DOG ∠+∠=︒， ∴OMD DOG ∠=∠， ∴tan tan OMD DOG ∠=∠， ∵()2,1D ，∴1DG =，2OG =，∴1tan tan 2DG OMD DOG OG ∠=∠==，OG ==∵tan ODOMD DM ∠=，∴12=，∴1122MN DM ∴==⨯=∴5OM =，∴()0,5M ，设直线MD 的解析式为y mx n =+，把()0,5M 、()2,1D 代入得，521n m n =⎧⎨+=⎩，解得25m n =−⎧⎨=⎩，∴25y x =−+，∴EDF 与O 的“楚河汉界线”为25y x =−+； （3）解：由2223y x b y x x =−+⎧⎨=−++⎩得，2430x x b −+−=， ∵直线与抛物线有唯一公共点， ∴0=，∴164120b −+=，解得7b =， ∴此时的“楚河汉界线”为27y x =−+，当正方形1111D C B A 在直线27y x =−+上方时，如图，∵点()2,M t 是此正方形的中心，∴顶点()10,2A t −，∵顶点()10,2A t −不能在直线27y x =−+下方，得27t −≥，解得9t ≥；当正方形1111D C B A 在直线27y x =−下方时，如图，对于抛物线223y x x =−++，当0x =时，3y =；当4x =时，5y =−； ∴直线23y x =−+恰好经过点()0,3和点()4,5−；对于直线23y x =−+，当4x =时，5y =−，由()12,2C t +不能在直线23y x =−+上方，得25t ≤−+， 解得7t ≤−；综上所述，7t ≤−或9t ≥．【点睛】此题考查了一次函数、正方形的性质、三角函数、一次函数的应用、二元二次方程组，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．题型7：最值问题12．（2024·辽宁·一模）【发现问题】随着时代的发展，在现代城市设计中，有许多街道是设计的相互垂直或平行的，因此往往不能沿直线行走到目的地，只能按直角拐弯的方式行走．我们可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy ，对两点()11,A x y 和()22,B x y ，用以下方式定义两点间的“折线距离”：()1212,d A B x x y y =−+−．【提出问题】（1）①已知点()4,1A ，则(),d O A =______；②函数()2630y x x =+−≤≤的图象如图1，B 是图象上一点，若(),5d O B =，则点B 的坐标为______； （2）函数()30y x x=>的图象如图2，该函数图象上是否存在点C ，使(),2d O C =？若存在，求出其坐标；若不存在，请说明理由； 【拓展运用】（3）已知函数()21460y x x x =−+≥和函数()2231y x x =+≥−的图象如图3，D 是函数1y 图象上的一点，E是函数2y 图象上的一点，当(),d O D 和(),d O E 分别取到最小值的时候，请求出(),d D E 的值．【答案】（1）①5；②()14，（2）不存在，理由见解析（3）()15,4d D E =【分析】本题在新定义下考查了一次方程和分式方程的解法，二次函数的最值，关键是紧靠定义来构造方程和函数．（1）①代入定义中的公式求； ②设出函数()2630y x x =+−≤≤的图象上点B 的坐标，通过(),5d O B =建立方程，解方程；（2）设出函数()30y x x =>的图象上点C 的坐标，通过(),2d O C =建立方程，看方程解的情况；（3）设出函数()21460y x x x =−+≥的图象上点D 的坐标，将()d O D ，表示成函数，利用二次函数的性质求函数最值，可求得点D 的坐标；设出函数()2231y x x =+≥−的图象上点E 的坐标，利用一次函数的性质，可求得点E 的坐标；再按定义求得(),d D E 的值即可．【解析】 解：（1）①∵点()4,1A ，点()00O ，，∴()40105d O A =−+−=，；故答案为：5； ②设点()26B x x +，，∵(),5d O B =， ∴265x x ++=，∵30x −≤≤， ∴265x x −++=， ∴=1x −， ∴点()14B ，．故答案为：()14，； （2）不存在，理由如下：设点3C m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， ∵(),2d O C =，∴32m m +=，∵0m >， ∴32m m +=，∴2230m m −+=，∵80∆=−<，∴此方程没有实数根， ∴不存在符合条件的点C ；（3）设点D 为()246n nn −+，，∴()246d O D n n n =+−+，，∵0n ≥，()2246220n n n −+=−+>，∴()222315463624d O D n n n n n n ⎛⎫=+−+=−+=−+⎪⎝⎭，， ∴当32n =时，()d O D ，最小，最小值为154，此时点D 坐标为3924⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 设点E 为()23e e +，，∴()23d O Ee e =++，，当10e −≤<时，()233d O Ee e e =−++=+，，∴当1e =−时，()d O E ，最小，最小值为2；当0e ≥时，()2333d O Ee e e =++=+，，∴当0e =时，()d O E ，最小，最小值为3；∴此时点E 坐标为()11−，．∴()395515,1124244d D E =−−+−=+=．13．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知直线132y x =−与反比例函数ky x=的图象交于点()8,Q t ，与y 轴交于点R ，动直线()08x m m =<<与反比例函数的图象交于点K ，与直线QR 交于点T ．(1)求t 的值及反比例函数的表达式；(2)当m 为何值时，RKT △的面积最大，且最大值为多少？ (3)如图2，ABCO 的顶点C 在反比例函数()0ky x x=>的图象上，点P 为反比例函数图象上一动点，过点P 作MN x ∥轴交OC 于点N ，交AB 于点M ．当点P 的纵坐标为2，点C 的横坐标为1且8OA =时，求PNPM的值．【答案】(1)1t =，反比例函数的表达式为8y x =； (2)当3m =时，RKT △的面积最大，且最大值为254；(3)1517PN PM =【分析】（1）将()8,Q t 代入直线132y x =−，求出t 的值，再将点Q 的坐标代入反比例函数，求出k 的值，即可得到反比例函数解析式；（2）设8,K m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,32T m m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，则81813322KT m m m m ⎛⎫=−−=−+ ⎪⎝⎭，进而表示出 RKT RTKQTKS SS=+△()2125344m =−−+，结合二次函数的性质，即可求出最值；（3）先求出P 、C 两点的坐标，再利用待定系数法求出直线OC 的解析式，进而得到点N 的坐标，得出PN的长，然后利用平行四边形的性质，得出PM 的长，即可求出PNPM 的值．【解析】（1）解：()8,Q t 在直线132y x =−上，18312t ∴=⨯−=，()8,1Q ∴，()8,1Q 在反比例函数ky x =上，818k ∴=⨯=，。

2024年中考数学压轴题重难点知识剖析及训练—求函数的取值范围通用的解题思路：第一步:先判定函数的增减性：一次函数、反比例函数看k ，二次函数看对称轴与区间的位置关系；第二步：当a x =时，min y y =；当b x =时，max y y =；所以max min y y y ≤≤.二次函数求取值范围之动轴定区间或者定轴动区间的分类方法：分对称轴在区间的左边、右边、中间三种情况。

（1）若自变量x 的取值范围为全体实数，如图①，函数在顶点处abx 2-=时，取到最值.（2）若abn x m 2-<≤≤，如图②，当m x =时，max y y =；当n x =时，min y y =.（3）若n x m ab≤≤<-2，如图③，当m x =，min y y =；当n x =，max y y =.（4）若n x m ≤≤，且n a b m ≤-≤2，m a b a b n -->+22，如图④，当a bx 2-=，min y y =；当n x =，max y y =.1.（中考真题）设a 、b 是任意两个不等实数,我们规定：满足不等式a ⩽x ⩽b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间,表示为[a,b].对于一个函数,如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m ⩽x ⩽n 时,有m ⩽y ⩽n,我们就称此函数是闭区间[m,n]上的“闭函数”。

(1)反比例函数xy 2013=是闭区间[1,2013]上的“闭函数”吗?请判断并说明理由；(2)若一次函数y=kx+b(k≠0)是闭区间[m,n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；(3)若二次函数5754512--=x x y 是闭区间[a,b]上的“闭函数”，求实数a ，b 的值。

【解答】解：（1）反比例函数y＝是闭区间[1，2013]上的“闭函数”．理由如下：反比例函数y＝在第一象限，y随x的增大而减小，当x＝1时，y＝2013；当x＝2013时，y＝1，所以，当1≤x≤2013时，有1≤y≤2013，符合闭函数的定义，故反比例函数y＝是闭区间[1，2013]上的“闭函数”；（2）分两种情况：k＞0或k＜0．①当k＞0时，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而增大，故根据“闭函数”的定义知，，解得．∴此函数的解析式是y＝x；②当k＜0时，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而减小，故根据“闭函数”的定义知，，解得．∴此函数的解析式是y＝﹣x+m+n；（3）∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣2）2﹣，∴该二次函数的图象开口方向向上，最小值是﹣，且当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大；①当b≤2时，此二次函数y随x的增大而减小，则根据“闭函数”的定义知，，解得，（不合题意，舍去）或；②当a＜2＜b时，此时二次函数y＝x2﹣x﹣的最小值是﹣＝a，根据“闭函数”的定义知，b＝a2﹣a﹣或b＝b2﹣b﹣；a）当b＝a2﹣a﹣时，由于b＝（﹣）2﹣×（﹣）﹣＝＜2，不合题意，舍去；b）当b＝b2﹣b﹣时，解得b＝，由于b＞2，所以b＝；③当a≥2时，此二次函数y随x的增大而增大，则根据“闭函数”的定义知，，解得，，∵＜0，∴舍去．综上所述，或．2．（中考真题）若关于x 的函数y ，当1122t x t -≤≤+时，函数y 的最大值为M ，最小值为N ，令函数2M N h -=，我们不妨把函数h 称之为函数y 的“共同体函数”．(1)①若函数4044y x =，当1t =时，求函数y 的“共同体函数”h 的值；②若函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数），求函数y 的“共同体函数”h 的解析式；(2)若函数21y x x=≥（），求函数y 的“共同体函数”h 的最大值；(3)若函数24y x x k =-++，是否存在实数k ，使得函数y 的最大值等于函数y 的“共同体函数”h 的最小值．若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解析：（1）解：①当1t =时，则111122x -≤≤+，即1322x ≤≤， 4044y x =，4044k =0>，y 随x 的增大而增大，314044404422202222M N h ⨯-⨯-∴===，②若函数y kx b =+，当0k >时，1122t x t -≤≤+，∴11,22M k t b N k t b ⎛⎫⎛⎫=++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22M N k h -∴==，当0k <时，则11,22M k t b N k t b ⎛⎫⎛⎫=-+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22M N k h -∴==-，综上所述，0k >时，2k h =，0k <时，2kh =-，（2）解：对于函数()21y x x=≥， 20>，1x ≥，函数在第一象限内，y 随x 的增大而减小，112t ∴-≥，解得32t ≥，当1122t x t -≤≤+时，∴2424,11212122M N t t t t ====-+-+，()()()()()()2221221144442221212121212141t t M N h t t t t t t t +---⎛⎫∴==-=== ⎪-+-+-+-⎝⎭，∵当32t ≥时，241t -随t 的增大而增大，∴当32t =时，241t -取得最小值，此时h 取得最大值，最大值为()()4412121242h t t ===-+⨯；（3）对于函数24y x x k =-++()224x k =--++，10a =-<，抛物线开口向下，2x <时，y 随x 的增大而增大，2x >时，y 随x 的增大而减小，当2x =时，函数y 的最大值等于4k +，在1122t x t -≤≤+时，①当122t +<时，即3t 2<时，211422N t t k ⎛⎫⎛⎫=--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，211422M t t k ⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴h =2M N -=22111114422222t t k t t k ⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++++---+-+⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭=2t -，∴h 的最小值为12（当32t =时），若124k =+，解得72k =-，但32t <，故72k =-不合题意，故舍去；②当122t ->时，即5t 2>时，211422M t t k ⎛⎫⎛⎫=--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，211422N t t k ⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴h =2M N -=2t -，∴h 的最小值为12（当52t =时），若124k =+，解得72k =-，但52t >，故72k =-不合题意，故舍去③当11222t t -≤≤+时，即3522t ≤≤时，4M k =+，i )当112222t t ⎛⎫⎛⎫--≥+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，即322t ≤≤时，211422N t t k⎛⎫⎛⎫=--+-+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭22114415252222228k t t k M N h t t ⎛⎫⎛⎫++---- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===-+ 对称轴为52t =，102>，抛物线开口向上，在322t ≤≤上，当t =2时，h 有最小值18，148k ∴=+，解得318k =-；i i )当112222t t ⎛⎫⎛⎫--≤+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，即522t ≤≤时，4M k =+，N =211422t t k ⎛⎫⎛⎫-++++ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，∴2211441392222228k t t kM N h t t ⎛⎫⎛⎫+++-+- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===-+， 对称轴为32t =，102>，抛物线开口向上，在522t <≤上，当t =2时，h 有最小值18，148k ∴=+解得318k =-，综上所述，2t =时，存在318k =-．3．（中考真题）我们不妨约定：若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H 函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H 点”，根据该约定，完成下列各题（1）在下列关于x 的函数中，是“H 函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H 函数”的打“×”①2y x =（）②my (m 0)x=≠（）③31y x =-（）（2）若点()1,A m 与点(),4B n -关于x 的“H 函数”()20y ax bx c a =++≠的一对“H 点”，且该函数的对称轴始终位于直线2x =的右侧，求,,a b c 的值或取值范围；（3）若关于x 的“H 函数”223y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数）同时满足下列两个条件：①0a b c ++=，②(2)(23)0c b a c b a +-++<，求该H 函数截x 轴得到的线段长度的取值范围．【详解】（1）①2y x =是“H 函数”②my (m 0)x=≠是“H 函数”③31y x =-不是“H 函数”；故答案为：√；√；×；（2）∵A,B 是“H 点”∴A,B 关于原点对称，∴m=4,n=1∴A(1,4），B （-1，-4）代入()20y ax bx c a =++≠，得44a b c a b c ++=⎧⎨-+=-⎩，解得40b ac =⎧⎨+=⎩，又∵该函数的对称轴始终位于直线2x =的右侧，∴-2b a ＞2，∴-42a ＞2，∴-1＜a ＜0，∵a+c=0，∴0＜c ＜1，综上，-1＜a ＜0，b=4，0＜c ＜1；（3）∵223y ax bx c =++是“H 函数”，∴设H 点为（p,q ）和（-p,-q ）,代入得222323ap bp c qap bp c q⎧++=⎨-+=-⎩，解得ap 2+3c=0,2bp=q ，∵p 2＞0，∴a,c 异号，∴ac ＜0，∵a+b+c=0，∴b=-a-c ，∵(2)(23)0c b a c b a +-++<，∴(2)(23)0c a c a c a c a -----+<，∴(2)(2)0c a c a -+<，∴c 2＜4a 2，∴22c a＜4，∴-2＜c a ＜2，∴-2＜c a ＜0，设t=c a ，则-2＜t ＜0，设函数与x 轴的交点为（x 1,0）（x 2,0），∴x 1,x 2是方程223ax bx c ++=0的两根，∴12x x -=，又∵-2＜t ＜0，∴2＜12x x -＜4.（2022春•芙蓉区校级期末）在y 关于x 的函数中，对于实数a ，b ，当a ≤x ≤b 且b ＝a +3时，函数y 有最大值y max ，最小值y min ，设h ＝y max ﹣y min ，则称h 为y 的“极差函数”（此函数为h 关于a 的函数）；特别的，当h ＝y max ﹣y min 为一个常数（与a 无关）时，称y 有“极差常函数”．（1）判断下列函数是否有“极差常函数”？如果是，请在对应（）内画“√”，如果不是，请在对应（）内画“×”．①y ＝2x （）；②y ＝﹣2x +2（）；③y ＝x 2（）．（2）y 关于x 的一次函数y ＝px +q ，它与两坐标轴围成的面积为1，且它有“极差常函数”h ＝3，求一次函数解析式；（3）若，当a ≤x ≤b （b ＝a +3）时，写出函数y ＝ax 2﹣bx +4的“极差函数”h ；并求4ah 的取值范围．【解答】解：（1）①∵y ＝2x 是一次函数，且y 随x 值的增大而增大，∴h ＝2（a +3）﹣2a ＝6，∴y ＝2x 是“极差常函数”，故答案为：√；②∵y ＝﹣2x +2是一次函数，且y 随x 值的增大而减小，∴h ＝﹣2a +2﹣[﹣2（a +3）+2]＝6，∴y ＝﹣2x +2是“极差常函数”，故答案为：√；∵y ＝x 2是二次函数，函数的对称轴为直线x ＝0，当a +3≤0时，h ＝a 2﹣（a +3）2＝﹣9﹣6a ；当a ≥0时，h ＝（a +3）2﹣a 2＝9+6a ；∴y ＝x 2不是“极差常函数”，故答案为：×；（2）当x ＝0时，y ＝q ，∴函数与y 轴的交点为（0，q ），当y ＝0时，x ＝﹣，∴函数与x 轴的交点为（﹣，0），∴S ＝×|q |×|﹣|＝1，∴＝2，当p ＞0时，h ＝p （a +3）+q ﹣（pa +q ）＝3，∴p ＝1，∴q ＝±，∴函数的解析式为y ＝x ；当p ＜0时，h ＝pa +q ﹣[p （a +3）+q ]＝3，∴p ＝﹣1，∴q ＝±，∴函数的解析式为y ＝﹣x；综上所述：函数的解析式为y ＝x 或y ＝﹣x；（3）y ＝ax 2﹣bx +4＝a （x ﹣）2+4﹣，∴函数的对称轴为直线x ＝，∵b ＝a +3，∴x ＝＝+，∵，∴≤+≤，≤a +3≤，∵（a +3﹣﹣）﹣（+﹣a ）＝2a +2﹣，∵，∴2a +2﹣＞0，∴a +3到对称轴的距离，大于a 到对称轴的距离，∴当x ＝a +3时，y 有最大值a （a +3）2﹣（a +3）2+4，当x ＝时，y 有最小值4﹣＝4﹣，∴h ＝a （a +3）2﹣（a +3）2+4﹣4+＝（a +3）2（a ﹣1+），∴4ah ＝（2a 2+5a ﹣3）2，∵2a 2+5a ﹣3＝2（a +）2﹣，，∴≤2a 2+5a ﹣3≤9，∴≤4ah ≤81．5.（雅实）若函数1y 、2y 满足12y y y =+，则称函数y 是1y 、2y 的“融合函数”.例如，一次函数121y x =+和二次函数2234y x x =+-，则1y 、2y 的“融合函数”为21253y y y x x =+=+-.（1）若反比例函数12y x=和一次函数23y kx =-，它们的“融合函数”过点()1,5，求k 的值；（2）若21y ax bx c =++为二次函数，且5a b c ++=，在x t =时取得最值，函数2y 为一次函数，且1y 、2y 的“融合函数”为224y x x =+-，当12x -≤≤时，求函数1y 的最小值（用含t 的式子表示）；（3）若二次函数21y ax bx c =++与一次函数2y ax b =--，其中0a b c ++=且a b c >>，若它们的“融合函数”与x 轴交点为()1,0A x 、()2,0B x 12x -的取值范围.【解答】解：(1)由题意可得y 1、y 2的融合函数23y kx x=+-，将点()1,5代入，可得：523k =+-，解得6k =.(2)∵12y y y =+，∴()()2222124214y y y x x ax bx c a x b x c =-=+----=-+---，∵y 2为一次函数，∴20a -=，即2a =，∴212y x bx c =++在x =t 处取得最值，∴4bt =-，即4b t =-，∴5a b c ++=，即54234c t t =+-=+，∴212434y x tx t =-++，对称轴：x t =.①若1t ≤-时，即当1x =-时，min 58y t =+，②若12t -<<时，即当x t =时，2min 234y t t =-++，③若2t ≥时，即当2x =时，min 114y t =-.(3)y 1、y 2的融合函数()2y ax b a x c b =+-+-，∵与y 轴交于点()1,0A x 、()2,0B x ，∴12b a x x a -+=，12c b x x a -⋅=，∵12||x x a -==，又∵0a b c ++=，∴b a c =--，∴12x x ==，∵a b c >>∴a a c c >--<，∴122c a -<<-，当2ca=-时，12maxx x -=，当12c a =-时，12min32x x -=12x <-<.6．（立信）已知：抛物线1C ：2y ax bx c =++（0a >）．（1）若顶点坐标为(1,1)，求b 和c 的值（用含a 的代数式表示）；（2）当0c <时，求函数220221y ax bx c =-++-的最大值；（3）若不论m 为任何实数，直线()214m y m x =--与抛物线1C 有且只有一个公共点，求a ，b ，c 的值；此时，若1k x k ≤≤+时，抛物线1C 的最小值为k ，求k 的值．【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（1，1），∴y ＝a （x ﹣1）2+1＝ax 2﹣2ax +a +1，∴b ＝﹣2a ，c ＝a +1；（2）∵y ＝ax 2+bx +c ，a ＞0，c ＜0，∴Δ＝b 2﹣4ac ＞0，∴抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）与x 轴有两个交点，∴|ax2+bx+c|≥0，∴﹣2022|ax2+bx+c|≤0，∴﹣2022|ax2+bx+c|﹣1≤﹣1，∴函数y＝﹣2022|ax2+bx+c|﹣1的最大值为﹣1；（3）∵直线与抛物线C1有且只有一个公共点，∴方程组只有一组解，∴ax2+（b﹣m）x++m+c＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，∴（b﹣m）2﹣4a（+m+c）＝0，整理得：（1﹣a）m2﹣2（2a+b）m+b2﹣4ac＝0，∵不论m为任何实数，（1﹣a）m2﹣2（2a+b）m+b2﹣4ac ＝0恒成立，∴，∴a＝1，b＝﹣2，c＝1．此时，抛物线解析式为y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向上，∵当k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k，∴分三种情况：k＜0或0≤k≤1或k＞1，①当k＜0时，k+1＜1，当k≤x≤k+1时，y随着x的增大而减小，则当x＝k+1时，y的最小值为k，∴（k+1﹣1）2＝k，解得：k＝0或1，均不符合题意，舍去；②当0≤k≤1时，当x＝1时，抛物线的最小值为0，∴k＝0；③当k＞1时，y随着x的增大而增大，则当x＝k时，y的最小值为k，∴（k﹣1）2＝k，解得：k＝或，∵k＞1，∴k＝，综上所述，若k≤x≤k+1时，抛物线的最小值为k，k的值为0或．7．（长郡）对于一个函数给出如下定义：对于函数y，若当a≤x≤b，函数值y满足m≤y≤n，且满足n﹣m＝k （b﹣a），则称此函数为“k属和合函数”，例如：正比例函数y＝﹣3x，当1≤x≤3时，﹣9≤y≤﹣3，则﹣3﹣（﹣9）＝k（3﹣1），求得：k＝3，所以函数y＝﹣3x为“3属和合函数”．（1）若一次函数y＝kx﹣1（1≤x≤3）为“4属和合函数”，求k的值；（2）反比例函数kyx（k＞0，a≤x≤b，且0＜a＜b）是“k属和合函数”，且a+b＝3，请求出a﹣b的值；（3）已知二次函数y＝﹣x2+2ax+3，当﹣1≤x≤1时，y是“k属和合函数”，求k的取值范围．【详解】解：（1）当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，∵1≤x ≤3，∴k ﹣1≤y ≤3k ﹣1，∵函数y ＝kx ﹣1（1≤x ≤3）为“k 属和合函数”，∴（3k ﹣1）﹣（k ﹣1）＝4（3﹣1），∴k ＝4；当k ＜0时，y 随x 的增大而减小，∴3k ﹣1≤y ≤k ﹣1，∴（k ﹣1）﹣（3k ﹣1）＝4（3﹣1），∴k ＝﹣4，综上所述，k 的值为4或﹣4；（2）∵反比例函数y ＝kx，k ＞0，∴在第一象限，y 随x 的增大而减小，当a ≤x ≤b 且0＜a ＜b 是“k 属和合函数”，∴k a ﹣kb＝k （b ﹣a ），∴ab ＝1，∵a +b ＝3，∴（a ﹣b ）2＝（a +b ）2﹣4ab ＝9﹣4＝5，∴a ﹣b （3）∵二次函数y ＝﹣x 2+2ax +3的对称轴为直线x ＝a ，∵当﹣1≤x ≤1时，y 是“k 属和合函数”，∴当x ＝﹣1时，y ＝2﹣2a ，当x ＝1时，y ＝2+2a ，当x ＝a 时，y ＝a 2+3，①如图1，当a ≤﹣1时，当x ＝﹣1时，有y 最大值＝2﹣2a ，当x ＝1时，有y 最小值＝2+2a ∴（2﹣2a ）﹣（2+2a ）＝k •[1﹣（﹣1）]＝2k ，∴k ＝﹣2a ，而a ≤﹣1，∴k ≥2；②如图2，当﹣1＜a ≤0时，当x ＝a 时，有y 最大值＝a 2+3，当x ＝1时，有y 最小值＝2+2a ，∴a 2+3﹣（2+2a ）＝2k ，∴k ＝2(1)2a -，∴12≤k ＜2；③如图3，当0＜a ≤1时，当x ＝a 时，有y 最大值＝a 2+3，当x ＝﹣1时，有y 最小值＝2﹣2a ，∴a 2+3﹣（2﹣2a ）＝2k ，∴k ＝2(1)2a +，∴12＜k ≤2；④如图4，当a ＞1时，当x ＝1时，有y 最大值＝2+2a ，当x ＝﹣1时，有y 最小值＝2﹣2a ，∴（2+2a ）﹣（2﹣2a ）＝2k ，∴k ＝2a ，∴k ＞2．综上所述，当﹣1≤x ≤1时，y 是“k 属和合函数”，k 的取值范围为k ≥12．8．（师大附中博才）已知a 、b 是两个不相等的实数且a b <，我们规定：满足不等式a x b ≤≤的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[],.a b 对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当a x b ≤≤时，有(ta y tb t ≤≤为正数)，我们就称此函数是闭区间[],a b 上的“t 倍函数”．例如：正比例函数2y x =，当13x ≤≤时，26y ≤≤，则2y x =是13x ≤≤上的“2倍函数”．(1)已知反比例函数4yx=是闭区间[],m n 上的“2倍函数”，且m n +=22m n +的值；(2)①已知正比例函数y x =是闭区间[]1,2023上的“t 倍函数”，求t ；②一次函数()0y kx b k =+≠是闭区间[],m n 上的“2倍函数”，求此函数的解析式．(3)若二次函数269y x x =--是闭区间[],a b 上的“7倍函数”，求实数a 、b 的值．【详解】（1）已知反比例函数4y x=是闭区间[],m n 上的“2倍函数”，∴当m x n ≤≤时，22m y n ≤≤，当x m =时，4y m =；当x n =时，4y n=，又40k => ，∴当0x >时，y 随x 的增大而减小，当0x <时，y随x 的增大而减小，42n m ∴=，且42m n=，24mn ∴=，又m n += ，()22222023m n m mn n ∴+=++=，2220232202342019m n mn ∴+=-=-=．（2）①已知正比例函数y x =，y 随x 的增大而增大，且当1x =时，1y =；当2023x =时，2023y =，∴当12023x ≤≤时，12023y ≤≤，y x ∴=是闭区间[]1,2023上的“1倍函数”，即1t =．② 一次函数0y kx b k =+≠（）是闭区间[],m n 上的“2倍函数”，∴当m x n ≤≤时，22m y n ≤≤，若0k >时，y 随x 的增大而增大，∴当x m =，则2y km b m =+=；当x n =，则2y kn b n =+=，()()2m n k m n ∴-=-，2k ∴=，将2k =代入2km b m +=，得22m b m +=，0b ∴=．∴若0k >时，函数解析式为2y x =．若0k <时，y 随x 的增大而减小，∴当x m =时，2y km b n =+=；当x n =时，2y kn b m =+=，2k ∴=-，22b m n =+．∴若0k <时，函数解析式为()22y x m n =-++，综合以上分析，函数的解析式为2y x =或()22y x m n =-++．（3）由二次函数269y x x =--解析式可知，抛物线开口向上，对称轴3x =，∴当3x <时，y 随x 的增大而减小；当3x >时，y 随x 的增大而增大， 二次函数269y x x =--是闭区间[],a b 上的“7倍函数”，∴当a x b ≤≤时，()770a y b a ≤≤≠，若3b ≤时，根据增减性，当x a =时，2697y a a b =--=；当x b =时，2697y b b a =--=，两式相减得：226677a b a b b a --+=-，()()a b a b b a ∴+-=-，1b a ∴=--，将1b a =--代入2697a a b --=得：220a a +-=，2a ∴=-或1a =，当2a =-时，1b =；当1a =时，2b =-（舍去，a b <）．若3a ≥时，当x a =时，2697y a a a =--=，解得a =a =x b =时，2697y b b b =--=．解得132b =或b =均不符合a b <，舍去．若3a <，3b >时，当3x =时，236397y a =-⨯-=，187a ∴=-，则x a =时，26396949y a a =--=，若639749b =，6393343b =<，（舍去），当x b =时，2697y b b b =--=，则b =b =综上分析，2a =-，1b =或者187a =-，b =9．（长郡）定义：在平面直角坐标系中，点P （x ，y ）的横、纵坐标的绝对值的和叫做点P （x ，y ）的勾股值，记为[]P x y =+．(1)已知点A （1，3），B （2-，4），C 22），直接写出[]A，[]B ，[]C 的值；(2)已知点D 是直线2y x =+上一点，且[]4D =，求点D 的坐标；(3)若抛物线21y ax bx =++与直线y x =只有一个交点M ，已知点M 在第一象限，且[]24M ≤≤．令2242022t b a =-+，试求t 的取值范围．【详解】（1）解：∵A （1，3），B （−2，4），C ），∴[A ]=|1|+|3|=4，[B ]=|-2|+|4|=6，[C ；（2）设D (m ，n )，∵D 是直线y ＝x +2上一点，且[D ]＝4，∴42m n n m ⎧+⎨+⎩＝＝，解得13m n =⎧⎨=⎩或31m n =-⎧⎨=-⎩，∴点D 的坐标（1，3）或（-3，-1）；（3）由题意方程组21y x y ax bx =⎧⎨=++⎩只有一组实数解，消去y 得2(1)10ax b x +-+=，由题意224(1)40b ac b a -=--=，∴24(1)a b =-，∴方程可以化为()()2214140b x b x -+-+=，∴1221x x b ==-，∴22,11M b b ⎛⎫ ⎪--⎝⎭，∵[]24M ≤≤，∴2121b ≤≤-或2211b -≤≤--，解得10b -≤≤或23b ≤≤，∵点M 在第一象限，∴10b -≤≤，∵22222420222(1)202222021t b a b b b b =-+=--+=++=2(1)2020b ++，∵10b -≤≤，∴20202021t ≤≤．10．（雅礼）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和点Q（a，b′），给出如下定义：若b′=11b ab a≥⎧⎨-⎩，，＜，则称点Q为点P的限变点．例如：点（2，3）的限变点的坐标是（2，3），点（-2，5）的限变点的坐标是（-2，-5）．（1）①点1)的限变点的坐标是；②在点A（-2，-1），B（-1，2）中有一个点是函数y＝2x图象上某一个点的限变点，这个点是；（填“A”或“B”）（2）若点P在函数y=-x+3（-2≤x≤k，k＞-2）的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是-5≤b′≤2，求k的取值范围；（3）若点P在关于x的二次函数y=x2-2tx+t2+t的图象上，其限变点Q的纵坐标b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，其中m＞n．令s=m-n，求s关于t的函数解析式及s的取值范围．【详解】（1）①根据限变点的定义可知点1)1）；②（-1，-2）限变点为（-1，2），即这个点是点B．（2）依题意，y=-x+3（x≥-2）图象上的点P的限变点必在函数y=31321x xx x-+≥⎧⎨--≤⎩，，＜的图象上．∴b′≤2，即当x=1时，b′取最大值2．当b′=-2时，-2=-x+3．∴x=5．当b′=-5时，-5=x-3或-5=-x+3．∴x=-2或x=8．∵-5≤b′≤2，由图象可知，k的取值范围是5≤k≤8．（3）∵y=x2-2tx+t2+t=（x-t）2+t，∴顶点坐标为（t，t）．若t＜1，b′的取值范围是b′≥m或b′＜n，与题意不符．若t≥1，当x≥1时，y的最小值为t，即m=t；当x＜1时，y的值小于-[（1-t）2+t]，即n=-[（1-t）2+t]．∴s=m-n=t+（1-t）2+t=t2+1．∴s关于t的函数解析式为s=t2+1（t≥1），当t=1时，s取最小值2，∴s的取值范围是s≥2．。

初三数学压轴题在数学学习中占据着非常重要的地位，下面我将为您提供一些解题方法和技巧，以帮助您更好地解决这些难题。

1. 熟悉基本概念和公式：在解题之前，首先要熟练掌握相关的基本概念和公式。

这包括对代数、几何、三角函数等基本概念的深入理解，以及掌握各种常用的数学公式。

2. 仔细审题：审题是解题的关键步骤。

在审题时，需要明确问题的要求和条件，并尝试从问题入手，找出解题的突破口。

同时，要注意题目中的隐含条件，这些条件往往会成为解题的关键。

3. 善于运用转化思想：转化思想是数学解题中非常重要的思想。

通过转化，可以将复杂的问题转化为简单的问题，将未知的问题转化为已知的问题。

因此，在解题时，要善于运用转化思想，寻找问题的突破口。

4. 学会归纳和总结：归纳和总结是解题的重要环节。

在解题过程中，需要不断总结归纳题目中的信息和条件，找出规律和解题方法。

同时，在解题后要及时总结和反思，加深对题目的理解和掌握。

5. 实践练习：要想真正掌握压轴题的解题方法，必须通过大量的实践练习。

只有通过不断地练习，才能逐渐掌握各种解题技巧和方法，提高解题能力。

在练习时，可以采用模拟试题、历年考题等素材进行练习。

总之，初三数学压轴题的解题方法需要不断地积累和实践。

只有在熟练掌握基本概念和公式的基础上，通过仔细审题、转化思想、归纳总结和实践练习等步骤，才能逐步提高解题能力，攻克压轴题的难关。

中考压轴题-二次函数综合 （八大题型+解题方法）1、求证“两线段相等”的问题：借助于函数解析式,先把动点坐标用一个字母表示出来；然后看两线段的长度是什么距离即是“点点”距离,还是“点轴距离”,还是“点线距离”,再运用两点之间的距离公式或点到x 轴y 轴的距离公式或点到直线的距离公式,分别把两条线段的长度表示出来,分别把它们进行化简,即可证得两线段相等;2、“平行于y 轴的动线段长度的最大值”的问题：由于平行于y 轴的线段上各个点的横坐标相等常设为t,借助于两个端点所在的函数图象解析式,把两个端点的纵坐标分别用含有字母t 的代数式表示出来,再由两个端点的高低情况,运用平行于y 轴的线段长度计算公式-y y 下上,把动线段的长度就表示成为一个自变量为t,且开口向下的二次函数解析式,利用二次函数的性质,即可求得动线段长度的最大值及端点坐标;3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：先用点斜式或称K ,且与已知直线垂直的直线解析式,再求出两直线的交点坐标,最后用中点坐标公式即可;4、“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离最大”的问题：方法1先求出定直线的斜率,由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式注意该直线与定直线的斜率相等,因为平行直线斜率k 相等,再由该直线与抛物线的解析式组成方程组,用代入法把字母y 消掉,得到一个关于x 的的一元二次方程,由题有△=2b -4ac=0因为该直线与抛物线相切,只有一个交点,所以2b -4ac=0从而就可求出该切线的解析式,再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组,求出x 、y 的值,即为切点坐标,然后再利用点到直线的距离公式,计算该切点到定直线的距离,即为最大距离; 方法2该问题等价于相应动三角形的面积最大问题,从而可先求出该三角形取得最大面积时,动点的坐标,再用点到直线的距离公式,求出其最大距离;方法3先把抛物线的方程对自变量求导,运用导数的几何意义,当该导数等于定直线的斜率时,求出的点的坐标即为符合题意的点,其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出;5、常数问题：1点到直线的距离中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离等于一个 固定常数”的问题：先借助于抛物线的解析式,把动点坐标用一个字母表示出来,再利用点到直线的距离公式建立一个方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,进而利用抛物线解析式,求出动点的纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;2三角形面积中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题：先求出定线段的长度,再表示出动点其坐标需用一个字母表示到定直线的距离,再运用三角形的面积公式建立方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,再利用抛物线的解析式,可求出动点纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;3几条线段的齐次幂的商为常数的问题：用K 点法设出直线方程,求出与抛物线或其它直线的交点坐标,再运用两点间的距离公式和根与系数的关系,把问题中的所有线段表示出来,并化解即可;6、“在定直线常为抛物线的对称轴,或x 轴或y 轴或其它的定直线上是否存在一点,使之到两定点的距离之和最小”的问题：先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标,再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段,该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最小距离,而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点,其坐标很易求出利用求交点坐标的方法;7、三角形周长的“最值最大值或最小值”问题：① “在定直线上是否存在一点,使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题简称“一边固定两边动的问题：由于有两个定点,所以该三角形有一定边其长度可利用两点间距离公式计算,只需另两边的和最小即可;② “在抛物线上是否存在一点,使之到定直线的垂线,与y 轴的平行线和定直线,这三线构成的动直角三角形的周长最大”的问题简称“三边均动的问题：在图中寻找一个和动直角三角形相似的定直角三角形,在动点坐标一母示后,运用=C C 动动定定斜边斜边,把动三角形的周长转化为一个开口向下的抛物线来破解;8、三角形面积的最大值问题：① “抛物线上是否存在一点,使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题简称“一边固定两边动的问题”：方法1：先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；然后再利用上面３的方法,求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离;最后利用三角形的面积公式= 12底×高;即可求出该三角形面积的最大值,同时在求解过程中,切点即为符合题意要求的点;方法2：过动点向y 轴作平行线找到与定线段或所在直线的交点,从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形,动点坐标一母示后,进一步可得到）（）（左（定）右（定）下（动）上（动）动三角形x x y y 21−⋅−=S ,转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大值;②“三边均动的动三角形面积最大”的问题简称“三边均动”的问题：先把动三角形分割成两个基本模型的三角形有一边在x 轴或y 轴上的三角形,或者有一边平行于x 轴或y 轴的三角形,称为基本模型的三角形面积之差,设出动点在x 轴或y 轴上的点的坐标,而此类题型,题中一定含有一组平行线,从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似常为图中最大的那一个三角形;利用相似三角形的性质对应边的比等于对应高的比可表示出分割后的一个三角形的高;从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式,相应问题也就轻松解决了;9、“一抛物线上是否存在一点,使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”：由于该四边形有三个定点,,即可得到一个定三角形的面积之和,所以只需动三角形的面积最大,就会使动四边形的面积最大,而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同;10、“定四边形面积的求解”问题： 有两种常见解决的方案：方案一：连接一条对角线,分成两个三角形面积之和；方案二：过不在x 轴或y 轴上的四边形的一个顶点,向x 轴或y 轴作垂线,或者把该点与原点连结起来,分割成一个梯形常为直角梯形和一些三角形的面积之和或差,或几个基本模型的三角形面积的和差11、“两个三角形相似”的问题： 两个定三角形是否相似：（1）已知有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边,看看是否成比例 若成比例,则相似;否则不相似;（2）不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长,看看是否成比例若成比例,则相似;否则不相似;一个定三角形和动三角形相似：（1）已知有一个角相等的情形：先借助于相应的函数关系式,把动点坐标表示出来一母示,然后把两个目标三角形题中要相似的那两个三角形中相等的那个已知角作为夹角,分别计算或表示出夹角的两边,让形成相等的夹角的那两边对应成比例要注意是否有两种情况,列出方程,解此方程即可求出动点的横坐标,进而求出纵坐标,注意去掉不合题意的点;2不知道是否有一个角相等的情形：这种情形在相似性中属于高端问题,破解方法是,在定三角形中,由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度,用观察法得出某一个角可能是特殊角,再为该角寻找一个直角三角形,用三角函数的方法得出特殊角的度数,在动点坐标“一母示”后,分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等,借助于特殊角,为动点寻找一个直角三角形,求出动点坐标,从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了,只需再验证已知角的两边是否成比例若成比例,则所求动点坐标符合题意,否则这样的点不存在;简称“找特角,求动点标,再验证”;或称为“一找角,二求标,三验证”;12、“某函数图象上是否存在一点,使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题：首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点;若某边底,则只有一种情况；若某边为腰,有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形则有三种情况;先借助于动点所在图象的解析式,表示出动点的坐标一母示,按分类的情况,分别利用相应类别下两腰相等,使用两点间的距离公式,建立方程;解出此方程,即可求出动点的横坐标,再借助动点所在图象的函数关系式,可求出动点纵坐标,注意去掉不合题意的点就是不能构成三角形这个题意;13、“某图象上是否存在一点,使之与另外三个点构成平行四边形”问题：这类问题,在题中的四个点中,至少有两个定点,用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标若有两个动点,显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标,任选一个已知点作为对角线的起点,列出所有可能的对角线显然最多有3条,此时与之对应的另一条对角线也就确定了,然后运用中点坐标公式,求出每一种情况两条对角线的中点坐标,由平行四边形的判定定理可知,两中点重合,其坐标对应相等,列出两个方程,求解即可;进一步有：①若是否存在这样的动点构成矩形呢先让动点构成平行四边形,再验证两条对角线相等否若相等,则所求动点能构成矩形,否则这样的动点不存在;②若是否存在这样的动点构成棱形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边相等否若相等,则所求动点能构成棱形,否则这样的动点不存在;③若是否存在这样的动点构成正方形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边是否相等和两条对角线是否相等若都相等,则所求动点能构成正方形,否则这样的动点不存在;14、“抛物线上是否存在一点,使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,后面的19实为本类型的特殊情形;先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标,分别表示如果图形是动图形就只能表示出其面积或计算如果图形是定图形就计算出它的具体面积,然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程,解之即可;注意去掉不合题意的点,如果问题中求的是间接动点坐标,那么在求出直接动点坐标后,再往下继续求解即可;15、“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点,使之与另两定点构成直角三角形”的问题：若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标一母示,视题目分类的情况,分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率,再运用两直线没有与y轴平行的直线垂直的斜率结论两直线的斜率相乘等于-1,得到一个方程,解之即可;若夹直角的两边中有一边与y 轴平行,此时不能使用斜率公式;补救措施是：过余下的那一个点没在平行于y轴的那条直线上的点直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交,则相关点的坐标可轻松搞定;16、“某图象上是否存在一点,使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题;①若定点为直角顶点,先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式如斜率不存在,根据定直角点,可以直接写出另一直角边所在直线的方程,利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否若等,该交点合题,反之不合题,舍去;②若动点为直角顶点：先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式,再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率,把这两个斜率相乘,看其结果是否为-1 若为-1,则就说明所求交点合题；反之,舍去;17、“题中含有两角相等,求相关点的坐标或线段长度”等的问题：题中含有两角相等,则意味着应该运用三角形相似来解决,此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口;18、“在相关函数的解析式已知或易求出的情况下,题中又含有某动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或线段长”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,本类型实际上是前面14的特殊情形;先把动图形化为一些直角梯形或基本模型的三角形有一边在x 轴或ｙ轴上,或者有一边平行于x 轴或y 轴面积的和或差,设出相关点的坐标一母示,按化分后的图形建立一个面积关系的方程,解之即可;一句话,该问题简称“单动问题”,解题方法是“设点动点标,图形转化分割,列出面积方程”;19、“在相关函数解析式不确定系数中还含有某一个参数字母的情况下,题中又含有动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或参数的值”的问题：此为“双动问题”即动解析式和动图形相结合的问题;如果动图形不是基本模型,就先把动图形的面积进行转化或分割转化或分割后的图形须为基本模型,设出动点坐标一母示,利用转化或分割后的图形建立面积关系的方程或方程组;解此方程,求出相应点的横坐标,再利用该点所在函数图象的解析式,表示出该点的纵坐标注意,此时,一定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式,这样会把所有字母消掉;再注意图中另一个点与该点的位置关系或其它关系,方法是常由已知或利用2问的结论,从几何知识的角度进行判断,表示出另一个点的坐标,最后把刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析式,得到仅含一个字母的方程,解之即可;如果动图形是基本模型,就无须分割或转化了,直接先设出动点坐标一母式,然后列出面积方程,往下操作方式就与不是基本模型的情况完全相同;一句话,该问题简称“双动问题”,解题方法是“转化分割,设点标,建方程,再代入,得结论”;常用公式或结论：1横线段的长 = 横标之差的绝对值 =-x x 大小=-x x 右左纵线段的长=纵标之差的绝对值=-y y 大小=-y y 下上 2点轴距离：点P 0x ,0y 到X 轴的距离为0y ,到Y 轴的距离为o x ; 3两点间的距离公式：若A 11,x y ,B 2,2x y , 则AB=目录：题型1：存在性问题 题型2：最值问题 题型3：定值问题 题型4：定点问题题型5：动点问题综合 题型6：对称问题 题型7：新定义题 题型8：二次函数与圆题型1：存在性问题1．（2024·四川广安·二模）如图，抛物线2y x bx c =−++交x 轴于()4,0A −，B 两点，交y 轴于点()0,4C ．(1)求抛物线的函数解析式．(2)点D 在线段OA 上运动，过点D 作x 轴的垂线，与AC 交于点Q ，与抛物线交于点P ，连接AP 、CP ，求四边形AOCP 的面积的最大值．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得以点A 、C 、M 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点M【答案】(1)234y x x =−−+；(2)四边形AOCP 的面积最大为16；(3)点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++，求出b 和c 的值，即可得出函数解析式； （2）易得182AOCSOA OC =⋅=，设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，求出24PQ t t =−−，则()()212282ACP C A S PQ x x t =⋅−=−++，根据四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCS St =+=−++，结合二次函数的增减性，即可解答；（3）设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，根据两点之间距离公式得出232AC =，22254AM m =+，229(4)4CM m =+−，然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可．【解析】（1）解：把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++得：01644b c c =−−+⎧⎨=⎩，解得：34b c =−⎧⎨=⎩，∴该二次函数的解析式234y x x =−−+；（2）解：∵()4,0A −，()0,4C ，∴4,4OA OC ==，∴1144822AOC S OA OC =⋅=⨯⨯=△，设直线AC 的解析式为4y kx =+， 代入()4,0A −得，044k =−+，解得1k =，∴直线AC 的解析式为4y x =+， 设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，∴()223444PQ t t t t t=−−+−+=−−∴()()()22114422822ACPC A SPQ x x t t t =⋅−=−−⨯=−++，∴四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCSSt =+=−++，∵20−<，∴当2t =−时，四边形AOCP 的面积最大为16； （3）解：设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，∵()4,0A −，()0,4C ，∴2224432AC =+=，2222325424AM m m ⎛⎫=−++=+ ⎪⎝⎭，()()2222394424CM m m ⎛⎫=−+−=+− ⎪⎝⎭，当斜边为AC 时，AM CM AC 222+=，即()2225943244m m +++−=，整理得：24150m m ++=，无解；当斜边为AM 时，222AC CM AM +=，即2292532(4)44m m ++−=+，解得：112m =；∴311,22M ⎛⎫− ⎪⎝⎭当斜边为CM 时，222AC AM CM +=，即2225932(4)44m m ++=+−， 解得：52m =−；∴35,22M ⎛⎫−− ⎪⎝⎭综上：点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．2．（2024·内蒙古乌海·模拟预测）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =+−≠与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()1,0−，且OC OB =，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称．(1)分别求出a ，b 的值和直线AD 的解析式；(2)直线AD 下方的抛物线上有一点P ，过点P 作PH AD ⊥于点H ，作PM 平行于y 轴交直线AD 于点M ，交x 轴于点E ，求PHM 的周长的最大值；(3)在（2）的条件下，如图2，在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似？如果存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)1a =，3b =−，=1y x −−(2)4+(3)存在，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的交点式、配方法求二次函数的最值、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定、一元二次方程的求根公式，列出PM 的长与a 的函数关系式是解题的关键．（1）先求得C 的坐标，从而得到点B 的坐标，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将点C 的坐标代入求解即可；先求得抛物线的对称轴，从而得到点()3,4D −，然后可求得直线AD 的解析式=1y x −−；（2）求得45BAD ∠=︒，接下来证明PMD △为等腰直角三角形，所当PM 有最大值时三角形的周长最大，设()2,34P a a a −−，()1M a −−，则223PM aa =−++，然后利用配方可求得PM 的最大值，最后根据MPH△的周长(1PM=求解即可；（3）当90EGN ∠=︒时，如果OA EG OC GN = 或OA GNOC EN =时，则AOC ∽EGN △，设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−，则1EG a =−，234NG aa =−++，然后根据题意列方程求解即可．【解析】（1）点A 的坐标为()1,0−，1OA ∴=．令0x =，则4y =−，()0,4C ∴−，4OC =，OC OB =Q ， 4OB ∴=，()4,0B ∴，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将0x =，4y =−代入得：44a −=−，解得1a =，∴抛物线的解析式为234y x x =−−；1a ∴=，3b =−； 抛物线的对称轴为33212x −=−=⨯，()0,4C −，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称，()3,4D ∴−；设直线AD 的解析式为y kx b =+．将()1,0A −、()3,4D −代入得：034k b k b −+=⎧⎨+=−⎩，解得1k =−，1b =-，∴直线AD 的解析式=1y x −−；（2）直线AD 的解析式=1y x −−，∴直线AD 的一次项系数1k =−，45BAD ∴∠=︒． PM 平行于y 轴，90AEP ∴∠=︒，45PMH AME ∴∠=∠=︒．MPH ∴的周长(122PM MH PH PM MP PM PM =++=++=． 设()2,34P a a a −−，则(),1M a a −−， 则()22213423(1)4PM a a a a a a =−−−−−=−++=−−+．∴当1a =时，PM 有最大值，最大值为4．MPH ∴的周长的最大值(414=⨯=+（3）在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似；理由如下：设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−①如图2.1，若OA EG OC GN = 时，AOC ∽EGN △． 则 211344a a a −=−++，整理得：280a a +−=．得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭； ②如图2.2，若OA GN OC EN =时，AOC ∽NGE ，则21434a a a −=−++，整理得：2411170a a −−=，得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭， 综上所述，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭． 3．（2024·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，AC ．(1)求抛物线的表达式；(2)P 为直线BC 上方抛物线上一点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作PE x 轴交抛物线于点E，求4+PD PE 的最大值及此时点P 的坐标； (3)点C 关于抛物线对称轴对称的点为Q ，将抛物线沿射线CAy '，新抛物线y '与y 轴交于点M ，新抛物线y '的对称轴与x 轴交于点N ，连接AM ，MN ，点R 在直线BC 上，连接QR ．当QR 与AMN 一边平行时，直接写出点R 的坐标，并写出其中一种符合条件的解答过程．【答案】(1)2y x x =++(2)当154t =时，PE的最大值，15,416P ⎛ ⎝⎭， (3)R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；（2）先求得2y x =2x =，过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，利用勾股定理求得BC ==DPF OBC ∽，得PF DP BC OB =即PF PD=，从而得PF =，求出设直线BC的解析式后，设2,P t ⎛+ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，从而2PF =+，当点P在E 点右侧时()424PE t t t =−−=−，从而得2154t ⎫=−⎪⎝⎭，利用二次函数的性质即可求解；当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，同理可求．然后比较4+PE 的最大值即可得出答案. （3）先求得1OA=，OC AC =设抛物线2y =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ，过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，得1OA OC AC WP HW PH ====，进而得平移后的抛物线2y x +'=，从而求得()1,0N，M ⎛ ⎝⎭，然后分QR AM ∥，QR MN ∥，QR AN ∥三种情况，利用二次函数的性质及一次函数的与二元一次方程的关系求解即可得解．【解析】（1）解：∵抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B 两点，代入坐标得：02550a b a b ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩，解得：a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为255y x x =−++（2）解：∵)2225555y x x x =−+=−−+，∴2y x =2x=，顶点为⎛ ⎝⎭ 过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，当0x =时，200y =∴(C ∵()5,0B ∴BC ==∵PG x ⊥轴，PD BC ⊥，x 轴y ⊥轴，∴909090CBO BFG DPF PFD PDF BOC ∠∠∠∠∠∠+=︒+=︒==︒，，∵PFD BFG ∠∠=∴DPF CBO ∠∠=∴DPF OBC ∽，∴PF DP BC OB =即PF PD =，∴PF PD =∴44+PD PE =PF +PE ，设直线BC ：y kx b =+，把(C ，()5,0B 代入得：05k b b =+⎧⎪=，解得5k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC：y =设2,P t ⎛ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，∴22PF ⎛⎛=−+=+ ⎝⎝，∵2y x =2x =，PE x 轴，∴24,E t ⎛−+ ⎝当点P 在E 点右侧时：()424PE t t t =−−=−，当24PE t =−时：∴+PD PE =PF +()221524545416t t ⎛⎫=−+−=−−+ ⎪⎝⎭ ∴当154t =时，的最大值∴2151544⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴154P ⎛ ⎝⎭； 当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，∴+PD PE =PF +()225424t t ⎫=−=−⎪⎝⎭， ∴当54t =时，的最大值．2,55P t ⎛−+ ⎝∴25544⎛⎫ ⎪⎝⎭∴5,416P ⎛ ⎝⎭，∵> 综上所诉，当点P 在E 点右侧时：即154t =时，的最大值，154P ⎛ ⎝⎭， （3）解：设直线AC ：y mx n =+，把()1,0A −，(C ， ∴1OA =，OC =∴AC ==设抛物线2y x =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ， 过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，∴1OA OC AC WP HW PH ====∴1PW =，HW=∴21,5P ⎛−⎝即1,5P ⎛ ⎝⎭，∴平移后的抛物线)22155555y x x x =−−+=−++'， ∴()1,0N令0x =，y '=，∴M ⎛ ⎝⎭ 如图，当QR AM ∥时，设直线AM 的解析式为：y px q =+，把M ⎛ ⎝⎭，()1,0A −代入得：0p q q =−+⎧=解得p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AM的解析式为：y =， ∴设直线QR的解析式为：y x n =∵(C ，Q 和C 关于2x =对称，∴(Q把(Q代入5y x n =+45n +，解得n =，∴直线QR的解析式为：y = 联立直线QR的解析式y =与直线BC：y x =+55y x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴R ⎛ ⎝⎭ 同理可得：当QR MN ∥时，6,5R ⎛− ⎝⎭ 当QR AN ∥时，(R所有符合条件的R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，勾股定理，抛物线的性质，抛物线平移，一次函数的平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，掌握待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，抛物线平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，利用辅助线画出准确图形是解题关键．题型2：最值问题4．（2024·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线23y ax bx =+−与x 轴交于()1,0A −，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求a ，b 的值；(2)点M 为线段BC 上一动点（不与B ，C 重合），过点M 作MP x ⊥轴于点P ，交抛物线于点N ． （ⅰ）如图1，当3PA PB=时，求线段MN 的长； （ⅱ）如图2，在抛物线上找一点Q ，连接AM ，QN ，QP ，使得PQN V 与APM △的面积相等，当线段NQ 的长度最小时，求点M 的横坐标m 的值．【答案】(1)1a =，2b =−(2)（ⅰ）2MN =；（ⅱ）m 的值为32或12【分析】本题考查诶粗函数的图象和性质，掌握待定系数法和利用函数性质求面积是解题的关键．（1）运用待定系数法求函数解析式即可；（2）（ⅰ）先计算BC 的解析式，然后设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+，根据题意得到方程133m m +=−求出m 值，即可求出MN 的长；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，然后分为点Q 在PN 的左侧和点Q 在PN 的右侧两种情况，根据勾股定理解题即可．【解析】（1）由题意得309330a b a b −−=⎧⎨+−=⎩，解得12a b =⎧⎨=−⎩；（2）（ⅰ）当0x =时，3y =−，∴()0,3C −，设直线BC 为3y kx =−，∵点()3,0B ，∴330k −=，解得1k =，∴直线BC 为3y x =−，设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+， ∵3PA PB =， ∴133m m +=−，解得2m =，经检验2m =符合题意，当2m =时，222233y =−⨯−=−， ∴3PN =，31PM PB m ==−=，∴2MN =；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，PQN V 的面积为()21232m m QR −++⋅，APM △的面积为()()1312m m −+，∴()()()211233122m m QR m m −++⋅=−+，解得1QR =；当点Q 在PN 的左侧时，如图1，Q 点的横坐标为1m QR m −=−，纵坐标为()()2212134m m m m −−⨯−−=−，∴R 点的坐标为()2,4m mm−，∵N 点坐标为()2,23m mm −−，∴32RN m =−，∴()22231NQ m =−+，∴当32m =时，NQ 取最小值；当点Q 在PN 的右侧时，如图2，Q 点的横坐标为1m QR m +=+，纵坐标为()()2212134m m m +−⨯+−=−，∴R 点的坐标为()2,4m m−，∵N 点的坐标为()2,23m mm −−，∴21RN m =−， ∴()222211NQ m =−+，∴当12m =时，NQ 取最小值．综上，m 的值为32或12．。

韦达定理1.基础公式：(1)x 1+x 2=-b a(2)x 1∙x 2=c a 2.拓展公式：(1)x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2(2)1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2(3)x 2x 1+x 1x 2=x 21+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2x 1x 2(4)x 31+x 32=(x 1+x 2)(x 21-x 1x 2+x 22)=(x 1+x 2)(x 1+x 2)2-3x 1x 2(5)(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2(6)x 1-x 2 =(x 1+x 2)2-4x 1x 2(7)(x 1+k )(x 2+k )=x 1x 2+k (x 1+x 2)+k 2(8)1x 21+1x 22=x 21+x 22(x 1x 2)2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2(x 1x 2)2题型训练1已知关于x 的一元二次方程kx 2+x -3=0有两个不相等的实数根．(1)求实数k 的取值范围；(2)设方程两个实数根分别为x 1，x 2，且满足x 1+x 2 2+x 1∙x 2=4，求k 的值．【答案】解：(1)根据题意得k ≠0且Δ=12-4k ×-3 >0，解得k >-112且k ≠0；(2)根据题意得x 1+x 2=-1k ，x 1∙x 2=-3k，∵x 1+x 2 2+x 1x 2=4，∴-1k 2-3k=4，整理得4k 2+3k -1=0，解得k 1=14，k 2=-1，∵k >-112且k ≠0，∴k =14．2已知关于x的一元二次方程x2-2m-1x+m2=0有实数根．(1)求m的取值范围；(2)设此方程的两个根分别为x1，x2，若x21+x22=8-3x1x2，求m的值．【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2-2m-1x+m2=0有实数根．∴Δ=-2m-12-4m2=4-8m≥0，解得：m≤1 2.(2)∵关于x的一元二次方程x2-2m-1x+m2=0的两个根分别为x1，x2，∴x1+x2=2m-2，x1∙x2=m2∵x21+x22=8-3x1x2∴x1+x22-2x1x2=8-3x1x2，即5m2-8m-4=0，解得：m1=-25，m2=2(舍去)，∴实数m的值为-25.3已知a，b是关于x的一元二次方程x2-2m+1x+m2+5=0的两实数根．(1)若a-1b-1=39，求m的值；(2)已知等腰ΔAOB的一边长为7，若a，b恰好是ΔAOB另外两边的边长，求这个三角形的周长．【答案】解：(1)∵a，b是关于x的一元二次方程x2-2m+1x+m2+5=0的两实数根，∴a+b=2m+1，ab=m2+5，∴a-1b-1=ab-a+b+1=m2+5-2m+1+1=39，解得m=-5或m=7，当m=-5时，原方程无解，故舍去，∴m=7．(2)①当7为底边时，此时方程x2-2m+1x+m2+5=0有两个相等的实数根，∴Δ=4m+12-4m2+5=0，解得m=2，∴方程变为x2-6x+9=0，解得a=b=3，∵3+3<7，∴不能构成三角形．②当7为腰时，设a=7，代入方程得：49-14m+1+m2+5=0，解得：m=10或4，当m=10时，方程变为x2-22x+105=0，解得x=7或15，∴b=15，∵7+7<15，∴不能组成三角形；当m=4时，方程变为x2-10x+21=0，解得x=3或7，∴b=3，∴此时三角形的周长为7+7+3=17．综上所述，三角形的周长为17.4阅读材料：如果一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根分别是x1，x2，那么x1+x2=-ba，x1∙x2=ca．借助该材料完成下列各题：(1)若x1，x2是方程x2-4x+5=0的两个实数根，则x1+x2=，x1∙x2=．(2)若x1，x2是方程x2+6x-3=0的两个实数根，x21+x22=，1x1+1x2=．(3)若x1，x2是关于x的方程x2-m-3x+m+8=0的两个实数根，且x21+x22=13，求m的值．【答案】解：(1)∵x1，x2是方程x2-4x+5=0的两个实数根，∴x1+x2=--41=4，x1∙x2=51=5.(2)∵x1，x2是方程x2+6x-3=0的两个实数根，∴x1+x2=-6，x1∙x2=-3，∴x21+x22=x1+x22-2x1x2=-62-2×-3=42，1 x1+1x2=x1+x2x1∙x2=-6-3=2．(3)∵关于x的方程x2-m-3x+m+8=0有两个实数根，∴Δ=m-32-4m+8≥0，即m≥5+43，或m≤5-43，∵x1，x2是关于x的方程x2-m-3x+m+8=0的两个实数根，∴x1+x2=m-3，x1∙x2=m+8，∴x21+x22=x1+x22-2x1x2=13，即m-32-2m+8=13，解得，m=-2或m=10．即m的值是-2或10．5如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2-6x+8=0的两个根是2和4，则方程x2-6x+8=0就是“倍根方程”．(1)若一元二次方程x2-3x+c=0是“倍根方程”，则c=；(2)若x-2mx-n=0m≠0是“倍根方程”，求代数式2mnm2+n2的值；(3)若方程ax2+bx+c=0a≠0是“倍根方程”，且k+1与3-k是方程ax2+bx+c=5的两根，求一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根．【答案】解：(1)设一元二次方程x2-3x+c=0的根是a，2a，由根与系数的关系，得a+2a=3，a×2a=c，解得a=1，则2a=2．∴c=2．(2)由方程x-2mx-n=0m≠0，解得x1=2或x2=n m.∵方程x-2mx-n=0m≠0是“倍根方程”，∴n m =1或nm=4，当nm=1时，2mn m2+n2=2mn+nm=21+1=1；当nm=4时，2mn m2+n2=2mn+nm=214+4=817.(3)由方程ax2+bx+c=5，变形，得ax2+bx+c-5=0，由根与系数的关系，得k+1+3-k=-ba，即-ba=4.设x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根，∵方程ax2+bx+c=0a≠0是“倍根方程”，∴x1+x2=4，假设x1=2x2，则3x2=4，解得x2=43，则x1=83，故一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根是43和83.6已知关于x的方程x2-2k-3x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．(1)求实数k的取值范围；(2)若x1，x2满足x1 +x2 =2x1x2-3，求实数k的值．【答案】解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ=-2k-32-4k2+1=4k2-12k+9-4k2-4=-12k+5>0，∴k<512．(2)∵k<512，∴x1+x2=2k-3<0.又∵x1x2=k2+1>0，∴x1<0，x2<0，∴x1 +x2 =-x1-x2=-x1+x2=-2k+3.由x1+x2 =2x1x2-3，得-2k+3=2k2+2-3，即k2+k-2=0，∴k1=-2，k2=1.又∵k<5 12，∴k=-2．7已知x1，x2是一元二次方程2x2-2x+m+1=0=0的两个实数根．(1)求实数m的取值范围；(2)如果x1，x2满足不等式4+4x1x2>x21+x22，且m为整数，求m的值．【答案】解：(1)根据题意得：Δ=-22-4×2×m+1≥0解得：m≤-1 2∴实数m的取值范围是m≤-12(2)根据题意得：x1+x2=1，x1∙x2=m+12，∵4+4x1x2>x21+x22∴4+4x1x2>x1+x22-2x1x2即4+6x1x2>x1+x22∴4+6×m+12>1∴m>-2∴-2<m≤-12∴整数m的值为-18已知x1，x2是关于x的方程x2+2x+2k-4=0两个实数根，并且x1≠x2，(1)求实数k的取值范围；(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．(3)若x1-x2=6，求x1-x22+3x1x2的值.【答案】解：(1)Δ=b2-4ac=22-4×1×2k-4=20-8k．∵方程有两个不相等的实数根，∴20-8k>0，∴k<52．(2)∵k为正整数，∴0<k<52，即k=1或2，根据配方法可得：x+12=4-2k+1=5-2k，解得x=-1±5-2k；∵方程的根为整数，∴5-2k为完全平方数，当k=1时，5-2k=3，舍去；当k=2时，5-2k=1；∴k=2．(3)已知x1，x2为方程x2+2x+2k-4=0的两个不相等实数根，则x1+x2=-2，x1∙x2=2k-4，则x1-x2=x1-x22=x1+x22-4x1x2=20-8k=6，解得k=-2，即x1x2=2×-2-4=-8，所以x1-x22+3x1x2=62+3×-8=12.9已知关于x的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0．(1)若方程有实数根，求k的取值范围；(2)若x1，x2是原方程的根，是否存在实数k，使2x1-x2x1-2x2=-32成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)∵方程有实数根，∴Δ=-4k2-4×4k×k+1=-16k≥0，∴k≤0，∵方程是一元二次方程，∴4k≠0，即k≠0，∴k的取值范围为k<0；(2)不存在，理由如下：∵x1，x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根，∴Δ=-4k2-4×4k×k+1=-16k≥0，且4k≠0，解得k<0.∵x1，x2是一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0的两个实数根，∴x1+x2=1，x1x2=k+14k，∴2x1-x2x1-2x2=2x21-4x1x2-x1x2+2x22=2x21+x22-9x1x2=2×12-9∙k+14k =-k-94k，若-k-94k=-32成立，则k=9 5，∵k<0，则k=95不成立，∴不存在这样k的值．10关于x的方程k-1x2+2kx+2=0．(1)求证：无论k为何值，方程总有实数根；(2)设x 1，x 2是方程k -1 x 2+2kx +2=0的两个根.求①x 1+x 2和x 1∙x 2的值；②若S =x 2x 1+x1x 2+x 1+x 2，那么S 的值能为2吗？若能，求出此时k 的值；若不能，请说明理由．【答案】(1)证明：当k =1时，原方程可化为2x +2=0，解得：x =-1，此时该方程有实数根；当k ≠1时，方程是一元二次方程，∵Δ=2k 2-4k -1 ×2=4k 2-8k +8=4k -1 2+4>0，∴方程有两个不相等的实数根.综上所述，无论k 为何值，方程总有实数根．(2)解：①由根与系数关系可知，x 1+x 2=-2k k -1，x 1x 2=2k -1；②若S =2，则x 2x 1+x1x 2+x 1+x 2=2，即x 1+x 22-2x 1x 2x 1x 2+x 1+x 2=2，将x 1+x 2，x 1x 2代入整理得：k 2-3k +2=0，解得：k =1(舍)或k =2，∴S 的值能为2，此时k =2．韦达定理1.基础公式：(1)x 1+x 2=-b a(2)x 1∙x 2=c a 2.拓展公式：(1)x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2(2)1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2(3)x 2x 1+x 1x 2=x 21+x 22x 1x 2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2x 1x 2(4)x 31+x 32=(x 1+x 2)(x 21-x 1x 2+x 22)=(x 1+x 2)(x 1+x 2)2-3x 1x 2(5)(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2(6)x 1-x 2 =(x 1+x 2)2-4x 1x 2(7)(x 1+k )(x 2+k )=x 1x 2+k (x 1+x 2)+k 2(8)1x 21+1x 22=x 21+x 22(x 1x 2)2=(x 1+x 2)2-2x 1x 2(x 1x 2)2题型训练1已知关于x 的一元二次方程kx 2+x -3=0有两个不相等的实数根．(1)求实数k 的取值范围；(2)设方程两个实数根分别为x 1，x 2，且满足x 1+x 2 2+x 1∙x 2=4，求k 的值．2已知关于x的一元二次方程x2-2m-1x+m2=0有实数根．(1)求m的取值范围；(2)设此方程的两个根分别为x1，x2，若x21+x22=8-3x1x2，求m的值．3已知a，b是关于x的一元二次方程x2-2m+1x+m2+5=0的两实数根．(1)若a-1=39，求m的值；b-1(2)已知等腰ΔAOB的一边长为7，若a，b恰好是ΔAOB另外两边的边长，求这个三角形的周长．4阅读材料：如果一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根分别是x1，x2，那么x1+x2=-ba，x1∙x2=ca．借助该材料完成下列各题：(1)若x1，x2是方程x2-4x+5=0的两个实数根，则x1+x2=，x1∙x2=．(2)若x1，x2是方程x2+6x-3=0的两个实数根，x21+x22=，1x1+1x2=．(3)若x1，x2是关于x的方程x2-m-3x+m+8=0的两个实数根，且x21+x22=13，求m的值．5如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2-6x+8=0的两个根是2和4，则方程x2-6x+8=0就是“倍根方程”．(1)若一元二次方程x2-3x+c=0是“倍根方程”，则c=；(2)若x-2mx-n=0m≠0是“倍根方程”，求代数式2mnm2+n2的值；(3)若方程ax2+bx+c=0a≠0是“倍根方程”，且k+1与3-k是方程ax2+bx+c=5的两根，求一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的根．6已知关于x的方程x2-2k-3x+k2+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．(1)求实数k的取值范围；(2)若x1，x2满足x1 +x2 =2x1x2-3，求实数k 的值．7已知x1，x2是一元二次方程2x2-2x+m+1=0=0的两个实数根．(1)求实数m的取值范围；(2)如果x1，x2满足不等式4+4x1x2>x21+x22，且m为整数，求m的值．48已知x1，x2是关于x的方程x2+2x+2k-4=0两个实数根，并且x1≠x2，(1)求实数k的取值范围；(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．(3)若x1-x2=6，求x1-x22+3x1x2的值.9已知关于x的一元二次方程4kx2-4kx+k+1=0．(1)若方程有实数根，求k的取值范围；(2)若x1，x2是原方程的根，是否存在实数k，使2x1-x2x1-2x2=-32成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．510关于x的方程k-1x2+2kx+2=0．(1)求证：无论k为何值，方程总有实数根；(2)设x1，x2是方程k-1x2+2kx+2=0的两个根.求①x1+x2和x1∙x2的值；②若S=x2x1+x1x2+x1+x2，那么S的值能为2吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．6。

第18题：图形的运动1平移：平移的方向和距离2旋转：三不变找旋转（图形的形状大小旋转角不变）3翻折：两点一线找勾股（对称点，垂直平分线上海中考初三数学压轴题方法整理汇总）第23题几何证明（书写规范）证明边角相等：全等，相似，等腰证明平行线：角，比例线段，中位线，平行四边形证明等积式：三点定形找相似（等线段代换，等比代换，等积代换）（添平行线构造A 形，八形）证明四边形：常用辅助线：联结对角线第24题代数型综合题求坐标的方法1一作二设法②两点公式法③代入解析法④平移法二次函数与相似三角形1先找死角：由边出发，死角的两边对应成比例求边长；2先找死角：由角出发，利用三角比求边长二次函数与直角三角形1一线三等角②勾股定理二次函数与等腰三角形：两点间距离公式二次函数与角相等：1找相似三角形②找三角比二次函数与45度角1先找45度角转化为角相等，然后找相似或三角比2加高，转换为等腰直角三角形二次函数与四边形1由四边形的性质求边或角（等腰梯形加双高，两腰相等，加顶）2由边或角转化为相似或三角比第25题几何型综合题读题圈划五寻找（边，角，辅助线，基本图形，解题工具）解题工具：三角比，相似，勾股，面积法基本图形：一线三等角，母子三角形，角平分线+平行=等腰三角形，A形八形，特殊三角形……常用辅助线：中位线，三线合一，斜中，平行线，四边形对角线，，圆的半径与弦心距……等腰三角形：①相似转化；②分论讨论；③三线合一三角比：转角；加高（面积法）；设K面积：①直接求；②相似；③等底等高求定义域：①极端位置；②解析式本身；③三边关系。

压轴题1、已知，在平行四边形OABC 中，OA=5，AB=4，∠OCA=90°，动点P 从O 点出发沿射线OA 方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q 从A 点出发沿射线AB 方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t 秒． （1）求直线AC 的解析式；（2）试求出当t 为何值时，△OAC 与△PAQ 相似； （3）若⊙P 的半径为58，⊙Q 的半径为23；当⊙P 与对角线AC 相切时，判断⊙Q 与直线AC 、BC 的位置关系，并求出Q 点坐标。

解：（1）42033y x =-+ （2）①当0≤t≤2.5时，P 在OA 上，若∠OAQ=90°时， 故此时△OAC 与△PAQ 不可能相似．当t>2.5时，①若∠APQ=90°，则△APQ ∽△OCA ，∵t>2.5，∴符合条件．②若∠AQP=90°，则△APQ ∽△∠OAC ，∵t>2.5，∴符合条件．综上可知，当时，△OAC 与△APQ 相似．（3）⊙Q 与直线AC 、BC 均相切，Q 点坐标为（109,531）。

2、如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为x 轴，OC 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知OA ＝3，OC ＝2，点E 是AB 的中点，在OA 上取一点D ，将△BDA 沿BD 翻折，使点A 落在BC 边上的点F 处． （1）直接写出点E 、F 的坐标；（2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；（3）在x 轴、y 轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形MNFE 的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．解：（1）(31)E ，；(12)F ，．（2）在Rt EBF △中，90B ∠=， 2222125EF EB BF ∴=+=+=．设点P 的坐标为(0)n ，，其中0n >，顶点(12)F ，， ∴设抛物线解析式为2(1)2(0)y a x a =-+≠．①如图①，当EF PF =时，22EF PF =，221(2)5n ∴+-=．解得10n =（舍去）；24n =．(04)P ∴，．24(01)2a ∴=-+．解得2a =． ∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+（第2题）②如图②，当EP FP =时，22EP FP =，22(2)1(1)9n n ∴-+=-+． 解得52n =-（舍去）．③当EF EP =时，53EP =<，这种情况不存在． 综上所述，符合条件的抛物线解析式是22(1)2y x =-+． （3）存在点M N ，，使得四边形MNFE 的周长最小． 如图③，作点E 关于x 轴的对称点E '，作点F 关于y 轴的对称点F '，连接E F ''，分别与x 轴、y 轴交于点M N ，，则点M N ，就是所求点．(31)E '∴-，，(12)F NF NF ME ME '''-==，，，．43BF BE ''∴==，．FN NM ME F N NM ME F E ''''∴++=++=22345+=．又5EF =，∴55FN NM ME EF +++=+，此时四边形MNFE 的周长最小值是553、如图，在边长为2的等边△ABC 中，A D ⊥BC,点P 为边AB 上一个动点，过P 点作PF//AC 交线段BD 于点F,作PG ⊥AB 交AD 于点E,交线段CD 于点G,设BP=x . （1）①试判断BG 与2BP 的大小关系,并说明理由;②用x 的代数式表示线段DG 的长,并写出自变量x 的取值范围;（2）记△DEF 的面积为S,求S 与x 之间的函数关系式,并求出S 的最大值;（3）以P 、E 、F 为顶点的三角形与△EDG 是否可能相似？如果能相似，请求出BP 的长，如果不能，请说明理由。

专题二 模块研究(一)全构造微专题1 方法技巧(一)作平行构全等典例精讲【例】如图，在四边形BDEC 中，∠B =∠C ，DE ⊥EC ，DF ⊥BC 于点F ，G 为CF 上一点，且DG =EG ， 求FGBC的值.典题精练核心方法1 作平行线→构X 型1.如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，M 是BC 的中点，过点M 作MP ∥AD 交AC 于点P .求证： AB +AP =PC .BCDE FGABCD P核心方法2 作平行线→构等腰或等线段2.(2020大连)如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB ，BC ，AC 上，BE =CE ，点G 在线段CD 上，CG = CA ，GF =DE ，∠AFG =∠CDE .求证：BD =2AD .核心方法3 作平行线→构平行四边形3.如图，已知∠ABC =90°，D 是直线AB 上的一点，且AD =BC ，E 是直线BC 上的一点，且CE =BD ，直线AE 、CD 相交于点P .求AECD的值.ABCD EF G专题二 模块研究(一)全构造微专题1 方法技巧(一)作平行构全等典例精讲【例】如图，在四边形BDEC 中，∠B =∠C ，DE ⊥EC ，DF ⊥BC 于点F ，G 为CF 上一点，且DG =EG ， 求FGBC的值.【思路分析】过点D 作D ∥BC 交C 于点H ，延长DGBC 交于点M ，证BF =FH ，HG =GC .【解答】过点D 作DH ∥BC 交BC 于点H ，则易得等腰△DBH ，∴BF =HF ，延长DG 、EC 交于点M ，∵∠DEM =90°，DG =EG ，∴DG =MG ，∴△DHG ≌△MCG ，∴GH =CG ，∴12FG BC .【方法总结】1.直角三角形蚪边上的中线等于斜边的一半，反过来，本题中若有GE =GD ，∠DEC =90°，则可证出DG =GM ；2.作平行线，构等腰三角形，证三角形全等；3.等腰(边)三角形中作平行线可造等腰(边)构全等.典题精练核心方法1 作平行线→构X 型1.如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，M 是BC 的中点，过点M 作MP ∥AD 交AC 于点P .求证： AB +AP =PC .解：延长BA 交MP 的延长线于点E ，过点B 作BF ∥AC 交PM 的延长线于点F ， ∵∠BAD =∠CAD ，∠BAD =∠E ，∠CAD =∠APE =∠CPM ，∴∠E =∠APE ，BCDE FGMGFE DCBH ABCD MP∴AP =AE ，再证△BMF ≌△CMP (ASA )，∴PC =BF ，∠F =∠CPM ，∴∠F =∠E ， ∴BE =BF ，∴PC =BE =BA +AE =BA +AP .核心方法2 作平行线→构等腰或等线段2.(2020大连)如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB ，BC ，AC 上，BE =CE ，点G 在线段CD 上，CG = CA ，GF =DE ，∠AFG =∠CDE .求证：BD =2AD .解：过点F 作FM ∥AG 交CD 于点M .则AF CAGM CG=， ∵CA =CC ，∴AF =GM ，∠CAG =∠CGA .∵AG =AG ，∴△FAG ≌△MGA ，∴AM =GF ，∠AFG =∠AMG .∵∠AFG =∠CDE ，GF =DE ，∴∠AMG =∠CDE ，AM =DE ，∴AM ∥DE . ∴四边形ADEM 为平行四边形，∴AD =ME ，AD ∥ME∴DM BEMC EC=∵BE =CE ，∴DM =MC ，∴BD =2ME ，∵AD =ME ，∴BD =2AD .核心方法3 作平行线→构平行四边形3.如图，已知∠ABC =90°，D 是直线AB 上的一点，且AD =BC ，E 是直线BC 上的一点，且CE =BD ，直线AE 、CD 相交于点P .求AECD的值. FE PM D CBAABCD EF GMGF ED CBA解：方法一，将线段CE 沿BA 方向平移至AF 的位置，连接FD ，FC .则四边形AFCE 是平行四边形，易证△ADF ≌△BCD ，∴DF =CD ，∠FDC =90°，∴AE =CF，AECD. 方法二：将线段CE 沿CD 方向平移至DF 的位置，连接AF ，EF ； 方法三：将线段AD 沿AE 方向平移至EF 的位置，连接CF ，DF .解：设M (x 1，－x 22)，N (x ，－x 22)，则MN ：y ＝(－x 1－x 2)x ＋x 1x 2，OM ：y ＝－x 1x ，∴F （0，x 1x 2），又∵G 的坐标为0)，可得FG ：y(x∵NH ⊥x 轴，∴x E ＝x 2，∴y E ＝－x 1x 2(x 2)，解得x 2＝x E∴点E 在定直线xFA BCDEPFABCD EPFPEDCBA。

2015年中考数学压轴题解题技巧练习如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B4,0、C8,0、D8,8.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.1直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式；2动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动,同时点Q从点C出发,沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.①过点E作EF⊥AD于点F,交抛物线于点G.当t为何值时,线段EG最长②连接EQ．在点P、Q运动的过程中,判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形请直接写出相应的t值.解：1点A的坐标为4,8 …………………1分将A 4,8、C8,0两点坐标分别代入y=ax2+bx8=16a+4b得0=64a+8b解得a=-12,b=4∴抛物线的解析式为：y=-12x2+4x …………………3分2①在Rt△APE和Rt△ABC中,tan∠PAE=PEAP=BCAB,即PEAP=48∴PE=12AP=12t．PB=8-t．∴点Ｅ的坐标为4+12t,8-t.∴点G的纵坐标为：-124+12t2+44+12t=-18t2+8. …………………5分∴EG=-18t 2+8-8-t =-18t 2+t. ∵-18＜0,∴当t=4时,线段EG 最长为2. …………………7分 ②共有三个时刻. …………………8分t 1=163, t 2=4013,t 3= 8525+． …………………11分 一、对称翻折平移旋转1．2014年南宁如图12,把抛物线2y x =-虚线部分向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到抛物线1l ,抛物线2l 与抛物线1l 关于y 轴对称.点A 、O 、B 分别是抛物线1l 、2l 与x 轴的交点,D 、C 分别是抛物线1l 、2l 的顶点,线段CD 交y 轴于点E .1分别写出抛物线1l 与2l 的解析式；2设P 是抛物线1l 上与D 、O 两点不重合的任意一点,Q 点是P 点关于y 轴的对称点,试判断以P 、Q 、C 、D 为顶点的四边形是什么特殊的四边形 说明你的理由.3在抛物线1l 上是否存在点M ,使得ABM AOED S S ∆∆=四边形,如果存在,求出M 点的坐标,如果不存在,请说明理由.2．福建2013年宁德市如图,已知抛物线C 1：()522-+=x a y 的顶点为P ,与x 轴相交于A 、B 两点点A 在点B 的左边,点B 的横坐标是1．1求P 点坐标及a 的值；4分 2如图1,抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称,将抛物线C 2向右平移,平移后的抛物线记为C 3,C 3的顶点为M ,当点P 、M 关于点B 成中心对称时,求C 3的解析式；4分3如图2,点Q 是x 轴正半轴上一点,将抛物线C 1绕点Q 旋转180°后得到抛物线C 4．抛物线C 4的顶点为N ,与x 轴相交于E 、F 两点点E 在点F 的左边,当以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形时,求点Q 的坐标．5分12yxAO B PM图1C 2C 321 yxAO B PN图C 1C 4Q EF 22二、动态：动点、动线3．2014年辽宁省锦州如图,抛物线与x 轴交于Ax 1,0、Bx 2,0两点,且x 1＞x 2,与y 轴交于点C 0,4,其中x 1、x 2是方程x 2－2x －8＝0的两个根． 1求这条抛物线的解析式；2点P 是线段AB 上的动点,过点P 作PE ∥AC ,交BC 于点E ,连接CP ,当△CPE 的面积最大时,求点P 的坐标；3探究：若点Q 是抛物线对称轴上的点, 是否存在这样的点Q ,使△QBC 成为等腰三角形若存在,请直接写出所有符合条件的 点Q 的坐标；若不存在,请说明理由．4．2013年山东省青岛市已知：如图①,在Rt △ACB 中,∠C B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动,速度为1cm/s ；点Q 由A 为2cm/s ；连接PQ ．若设运动的时间为ts0＜t ＜2,解答下列问题： 1当t 为何值时,PQ ∥BC2设△AQP 的面积为y 2cm ,求y 与t 之间的函数关系式；3是否存在某一时刻t,使线段PQ 恰好把Rt △ACB 的周长和面积同时平分 若存在,求出此时t 的值；若不存在,说明理由；4如图②,连接PC,并把△PQC 沿QC 翻折,得到四边形PQP ′C,那么是否存在某一时刻t,使四边形PQP ′C 为菱形 若存在,求出此时菱形的边长；若不存在,说明理由．5．09年吉林省如图所示,菱形ABCD 的边长为6厘米,∠B ＝60°．从初始时刻开始,点P 、Q 同时从A 点出发,点P 以1厘米/秒的速度沿A →C →B 的方向运动,点Q 以2厘米/秒的速度沿A →B →C →D 的方向运动,当点Q 运动到D 点时,P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 运动的时间为x秒时,△APQ 与△ABC 重叠部分．．．．的面积为y 平方厘米这里规定：点和线段是面积为0的三角形,解答下列问题：1点P 、Q 从出发到相遇所用时间是__________秒；B 图C2点P 、Q 从开始运动到停止的过程中,当△APQ 是等边三角形时x 的值是__________秒； 3求y 与x 之间的函数关系式．6．2012年浙江省嘉兴市如图,已知A 、B 是线段MN 上的两点,4=MN ,1=MA ,1>MB ．以A为中心顺时针旋转点M ,以B 为中心逆时针旋转点N ,使M 、N 两点重合成一点C ,构成△ABC ,设x AB =． 1求x 的取值范围；2若△ABC 为直角三角形,求x 的值； 3探究：△ABC 的最大面积8．2009年中考天水如图1,在平面直角坐标系xOy ,二次函数y ＝ax 2＋bx ＋ca ＞0的图象顶点为D ,与y 轴交于点C ,与x 轴交于点A 、B ,点A 在原点的左侧,点B 的坐标为3,0,OB ＝OC ,tan ∠ACO ＝错误!．1求这个二次函数的解析式；2若平行于x 轴的直线与该抛物线交于点M 、N ,且以MN 为直径的圆与x 轴相切,求该圆的半径长度；3如图2,若点G 2,y 是该抛物线上一点,点P 是直线AG 下方的抛物线上的一动点,当点P 运动到什么位置时,△AGP 的面积最大 求此时点P 的坐标和△AGP 的最大面积．9．14年湖南省张家界市在平面直角坐标系中,已知A －4,0,B 1,0,且以AB 为直径的圆交y 轴的正半轴于点C ,过点C 作圆的切线交x 轴于点D ． 1求点C 的坐标和过A ,B ,C 三点的抛物线的解析式； 2求点D 的坐标；3设平行于x 轴的直线交抛物线于E ,F 两点,问：是否存在以线段EF 为直径的圆,恰好与x 轴相切 若存在,求出该圆的半径,若不存在,请说明理由．xOy坐标O 相切于点A 和点C ．1求抛物线的解析式；2抛物线的对称轴交x 轴于点E ,连结DE ,并延长DE 交圆O 于F ,求EF 的长． 3过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P ,判断点P 是否在抛物线上,说明理由．第24题四、比例比值取值范围11．2014年怀化图9是二次函数k m x y ++=2)(的图象,其顶点坐标为M1,-4.1求出图象与x 轴的交点A,B 的坐标； 2在二次函数的图象上是否存在点P,使MAB PAB S S ∆∆=45,若存在,求出P 点的坐标；若不存在,请说明理由；3将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象,请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时,b 的取值范围.12． 湖南省长沙市2013年如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上,82OA = cm, OC=8cm,现有两动点P 、Q 分别从O 、C 同时出发,P在线段OA 上沿OA 方向以每秒2 cm 的速度匀速运动,Q在线段CO 上沿CO 方向以每秒1 cm 的速度匀速运动．设运动时间为t 秒．1用t 的式子表示△OPQ 的面积S ；2求证：四边形OPBQ 的面积是一个定值,并求出这个定值；3当△OPQ 与△PAB 和△QPB 相似时,抛物线214y x bx c =++经过B 、P 两点,过线段BP 上一动点M 作y 轴的平行线交抛物线于N ,当线段MN 的长取最大值时,求直线MN 把四边形OPBQ 分成两部分的面积之比．13．成都市2010年在平面直角坐标系xOy ,抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A B 、两点点A 在点B 的左侧,与y 轴交于点C ,点A 的坐标为(30)-，,若将经过A C 、两点的直线y kx b =+沿y 轴向下平移3个单位后恰好经过原点,且抛物线的对称轴是直线2x =-．1求直线AC 及抛物线的函数表达式；2AC ABP ∆BPC ∆的面积分别为ABP S ∆、BPC S ∆,且:2:3ABP BPC S S ∆∆=,求点P 的坐标；图9 图1BA P x CQ O y第26题图3设Q 的半径为l,圆心Q 在抛物线上运动,则在运动过程中是否存在Q 与坐标轴相切的情况 若存在,求出圆心Q 的坐标；若不存在,请说明理由．并探究：若设⊙Q 的半径为r ,圆心Q 在抛物线上运动,则当r 取何值时,⊙Q 与两坐轴同时相切五、探究型14．内江市2010如图,抛物线()2230y mx mx m m =-->与x 轴交于A B 、两点,与y 轴交于C 点.1请求出抛物线顶点M 的坐标用含m 的代数式表示,A B 、两点的坐标； 2经探究可知,BCM △与ABC △的面积比不变,试求出这个比值；3是否存在使BCM △为直角三角形的抛物线 若存在,请求出；如果不存在,请说明 理由.15．重庆市潼南县2010年如图,于A 、B,点A 的坐标为2,0,点C 1求抛物线的解析式；2点E 是线段AC 上一动点,过点D 的坐标； 3在直线BC 上是否存在一点P,说明理由.16．2008年福建龙岩如图,抛物线y 轴,点A 在x 轴上,点C 在y 轴上,且AC BC =．1求抛物线的对称轴；2写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；3探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点,是否存在PAB △是等腰三角形．若存在,求出所有符合条件的点P 坐标；不存在,请说明理由．题图2617．09年广西钦州26．本题满分10分如图,已知抛物线y ＝34x 2＋bx ＋c 与坐标轴交于A 、B 、C 三点, A 点的坐标为－1,0,过点C 的直线y ＝34tx －3与x 轴交于点Q ,点P 是线段BC 上的一个动点,过P 作PH ⊥OB 于点H ．若PB ＝5t ,且0＜t ＜1．1填空：点C 的坐标是_▲_,b ＝_▲_,c ＝_▲_； 2求线段QH 的长用含t 的式子表示；3依点P 的变化,是否存在t 的值,使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似 若存在,求出所有t 的值；若不存在,说明理由．18．09年重庆市已知：如图,在平面直角坐标系xO y 中,矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上,OC 在x 轴的正半轴上,OA ＝2,OC ＝3．过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ,连接DC ,过点D 作DE ⊥DC ,交OA 于点E ．1求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；2将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后,角的一边与y 轴的正半轴交于点F ,另一边与线段OC交于点G ．如果DF 与1中的抛物线交于另一点M ,点M 的横坐标为56,那么EF ＝2GO 是否成立 若成立,请给予证明；若不成立,请说明理由；3对于2中的点G ,在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ,使得直线GQ 与AB 的交点P与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形 若存在,请求出点Q 的坐标；若不存在,请说明理由．ax 2＋bx,12P3在2的条件下,抛物线的对称轴上是否存在点Q ,使得以B ,N ,Q 为顶点的三角形与△ABC 相似 若存在,请求出点Q 的坐标；若不存在,请说明理由．20．08江苏徐州如图1,一副直角三角板满足AB ＝BC,AC ＝DE,∠ABC ＝∠DEF ＝90°,∠EDF ＝30°操作将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上,再将三角板．．．．DEF ．．．绕点．．E ．旋转．．,并使边DE 与边AB 交于点P,边EF 与边BC 于点Q 探究一在旋转过程中, （1） 如图2,当CE1EA＝时,EP 与EQ 满足怎样的数量关系 并给出证明. （2） （3） 如图3,当CE2EA＝时EP 与EQ 满足怎样的数量关系, （4） 并说明理由. （5）（6） 根据你对1、2的探究结果,试写出当CEEA＝m 时,EP 与EQ 满足的数量关系式 为_________,其中m 的取值范围是_______直接写出结论,不必证明 探究二若,AC ＝30cm,连续PQ,设△EPQ 的面积为Scm 2,在旋转过程中：（1） S 是否存在最大值或最小值 若存在,求出最大值或最小值,若不存在,说明理由. （2） 随着S 取不同的值,对应△EPQ 的个数有哪些变化 不出相应S 值的取值范围. （3）六、最值类综合题;一函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形,求已知函数的解析式即在求解前已知函数的类型,然后进行图形的研究,求点的坐标或研究图形的某些性质;初中已知函数有：①一次函数包括正比例函数和常值函数,它们所对应的图像是直线；②反比例函数,它所对应的图像是双曲线；③二次函数,它所对应的图像是抛物线;求已知函数的解析式主要方法是待定系数法,关键是求点的坐标,而求点的坐标基本方法是几何法图形法和代数法解析法;此类题基本在第24题,满分12分,基本分2－3小题来呈现;二几何型综合题：是先给定几何图形,根据已知条件进行计算,然后有动点或动线段运动,对应产生线段、面积等的变化,求对应的未知函数的解析式即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么和求函数的定义域,最后根据所求的函数关系进行探索研究,一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线圆与圆的相切时求自变量的值等;求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系即列出含有x、y的方程,变形写成y＝fx的形式;一般有直接法直接列出含有x和y的方程和复合法列出含有x和y和第三个变量的方程,然后求出第三个变量和x之间的函数关系式,代入消去第三个变量,得到y ＝fx的形式,当然还有参数法,这个已超出初中数学教学要求;找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法;求定义域主要是寻找图形的特殊位置极限位置和根据解析式求解;而最后的探索问题千变万化,但少不了对图形的分析和研究,用几何和代数的方法求出x的值;几何型综合题基本在第25题做为压轴题出现,满分14分,一般分三小题呈现;在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头,大题小作来转化,潜在条件不能忘,化动为静多画图,分类讨论要严密,方程函数是工具,计算推理要严谨,创新品质得提高;解中考数学压轴题秘诀二具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目,其特点是知识点多,覆盖面广,条件隐蔽,关系复杂,思路难觅,解法灵活;解数学压轴题,一要树立必胜的信心,二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能,三要掌握常用的解题策略;现介绍几种常用的解题策略,供初三同学参考;1、以坐标系为桥梁,运用数形结合思想：纵观最近几年各地的中考压轴题,绝大部分都是与坐标系有关的,其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系,一方面可用代数方法研究几何图形的性质,另一方面又可借助几何直观,得到某些代数问题的解答;2、以直线或抛物线知识为载体,运用函数与方程思想：直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数,即一次函数与二次函数所表示的图形;因此,无论是求其解析式还是研究其性质,都离不开函数与方程的思想;例如函数解析式的确定,往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而得;3、利用条件或结论的多变性,运用分类讨论的思想：分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性,常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考察,有些问题,如果不注意对各种情况分类讨论,就有可能造成错解或漏解,纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点;4、综合多个知识点,运用等价转换思想：任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想,初中数学中的转换大体包括由已知向未知,由复杂向简单的转换,而作为中考压轴题,更注意不同知识之间的联系与转换,一道中考压轴题一般是融代数、几何、三角于一体的综合试题,转换的思路更要得到充分的应用;中考压轴题所考察的并非孤立的知识点,也并非个别的思想方法,它是对考生综合能力的一个全面考察,所涉及的知识面广,所使用的数学思想方法也较全面;因此有的考生对压轴题有一种恐惧感,认为自己的水平一般,做不了,甚至连看也没看就放弃了,当然也就得不到应得的分数,为了提高压轴题的得分率,考试中还需要有一种分题、分段的得分策略;5、分题得分：中考压轴题一般在大题下都有两至三个小题,难易程度是第1小题较易,第2小题中等,第3小题偏难,在解答时要把第1小题的分数一定拿到,第2小题的分数要力争拿到,第3小题的分数要争取得到,这样就大大提高了获得中考数学高分的可能性;6、分段得分：一道中考压轴题做不出来,不等于一点不懂,一点不会,要将片段的思路转化为得分点,因此,要强调分段得分,分段得分的根据是“分段评分”,中考的评分是按照题目所考察的知识点分段评分,踏上知识点就给分,多踏多给分;因此,对中考压轴题要理解多少做多少,最大限度地发挥自己的水平,把中考数学的压轴题变成最有价值的压台戏;近几年中考数学中运动几何问题倍受青睐,它不仅综合考查初中数学骨干知识,如三角形全等与相似、图形的平移与旋转、函数一次函数、二次函数与反比例函数与方程等,更重要的是综合考查初中基本数学思想与方法;此类题型也往往起到了考试的选拔作用,使学生之间的数学考试成绩由此而产生距离,所以准确快速解决此类问题是赢得中考数学胜利的关键;如何准确、快速解决此类问题呢关键是把握解决此类题型的规律与方法――以静制动;另外,需要强调的是此类题型一般起点低,第一步往往是一个非常简单的问题,考生一般都能拿分,但恰恰是这一步问题的解题思想和方法是本题基本的做题思想和方法,是特殊到一般数学思想和方法的具体应用,所以考生在解决第一步时不仅要准确计算出答案,更重要的是明确此题的方法和思路;下面以具体实例简单的说一说此类题的解题方法;一、利用动点图形位置进行分类,把运动问题分割成几个静态问题,然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题例1：北京市石景山区2010年数学期中练习在△ABC中,∠B=60°,BA=24CM,BC=16CM, 1求△ABC的面积；2现有动点P从A点出发,沿射线AB向点B方向运动,动点Q从C点出发,沿射线CB也向点B方向运动;如果点P的速度是4CM/秒,点Q的速度是2CM/秒,它们同时出发,几秒钟后,△PBQ 的面积是△ABC的面积的一半3在第2问题前提下,P,Q两点之间的距离是多少点评：此题关键是明确点P、Q在△ABC边上的位置,有三种情况;1当0﹤t≦6时,P、Q分别在AB、BC边上；2当6﹤t≦8时,P、Q分别在AB延长线上和BC边上；3当t >8时, P、Q分别在AB、BC边上延长线上.然后分别用第一步的方法列方程求解.A例2: 北京市顺义2010年初三模考已知正方形ABCD的边长是1,E为CD边的中点, P为正方形ABCD边上的一个动点,动点P从A点出发,沿A→B→C→E运动,到达点E.若点P经过的路程为自变量x,△APE的面积为函数y,1写出y与x的关系式2求当y＝13时,x的值等于多少点评:这个问题的关键是明确点P在四边形ABCD边上的位置,根据题意点P的位置分三种情况:分别在AB上、BC边上、EC边上.第一是以静化动,把问的某某秒后的那个时间想想成一个点,然后再去解,第二是对称性,如果是二次函数的题,一定要注意对称性;第三是关系法：你可以就按照图来,就算是图画的在不对,只要你把该要的条件列成一些关系,列出一些方程来;中等的动点题也就没问题了;但是在难一点的动点题就要你的能力了,比如让你找等腰三角形的题,最好带着圆规,这样的题你要从三个顶点考虑,每一条边都要想好,然后再求出来看看在不在某个范围内1、以坐标系为桥梁,运用数形结合思想纵观最近几年各地的中考压轴题,绝大部分都是与坐标系有关的,其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系,一方面可用代数方法研究几何图形的性质,另一方面又可借助几何直观,得到某些代数问题的解答;2、以直线或抛物线知识为载体,运用函数与方程思想直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数,即一次函数与二次函数所表示的图形;因此,无论是求其解析式还是研究其性质,都离不开函数与方程的思想;例如函数解析式的确定,往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而得;3、利用条件或结论的多变性,运用分类讨论的思想分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性,常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考察,有些问题,如果不注意对各种情况分类讨论,就有可能造成错解或漏解,纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点;4、综合多个知识点,运用等价转换思想任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想,初中数学中的转换大体包括由已知向未知,由复杂向简单的转换,而作为中考压轴题,更注意不同知识之间的联系与转换,一道中考压轴题一般是融代数、几何、三角于一体的综合试题,转换的思路更要得到充分的应用;中考压轴题所考察的并非孤立的知识点,也并非个别的思想方法,它是对考生综合能力的一个全面考察,所涉及的知识面广,所使用的数学思想方法也较全面;因此有的考生对压轴题有一种恐惧感,认为自己的水平一般,做不了,甚至连看也没看就放弃了,当然也就得不到应得的分数,为了提高压轴题的得分率,考试中还需要有一种分题、分段的得分策略;5、分题得分:中考压轴题一般在大题下都有两至三个小题,难易程度是第1小题较易,第2小题中等,第3小题偏难,在解答时要把第1小题的分数一定拿到,第2小题的分数要力争拿到,第3小题的分数要争取得到,这样就大大提高了获得中考数学高分的可能性;6、分段得分:一道中考压轴题做不出来,不等于一点不懂,一点不会,要将片段的思路转化为得分点,因此,要强调分段得分,分段得分的根据是“分段评分”,中考的评分是按照题目所考察的知识点分段评分,踏上知识点就给分,多踏多给分;因此,对中考压轴题要理解多少做多少,最大限度地发挥自己的水平,把中考数学的压轴题变成最有价值的压台戏;二. 重点难点：1. 重点：利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理,或由条件去探索不明确的结论；或由结论去探索未给予的条件；或去探索存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律;2. 难点：探索存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律;三. 具体内容：通常情景中的“探索发现”型问题可以分为如下类型：1. 条件探索型——结论明确,而需探索发现使结论成立的条件的题目;2. 结论探索型——给定条件但无明确结论或结论不惟一,而需探索发现与之相应的结论的题目;3. 存在探索型——在一定的条件下,需探索发现某种数学关系是否存在的题目;4. 规律探索型——在一定的条件状态下,需探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目;由于题型新颖、综合性强、结构独特等,此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路,但是可以从以下几个角度考虑：1利用特殊值特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等进行归纳、概括,从特殊到一般,从而得出规律;2反演推理法反证法,即假设结论成立,根据假设进行推理,看是推导出矛盾还是能与已知条件一致;3分类讨论法;当命题的题设和结论不惟一确定,难以统一解答时,则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏,分门别类加以讨论求解,将不同结论综合归纳得出正确结果;4类比猜想法;即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法,并加以严密的论证;以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略,因而具体操作时,应更注重数学思想方法的综合运用;5. 如图所示,抛物线()23m x y --=m >0的顶点为A ,直线l ：m x y -=33与y 轴交点为B . 1写出抛物线的对称轴及顶点A 的坐标用含m 的代数式表示；2证明点A 在直线l 上,并求∠OAB 的度数；3动点Q 在抛物线对称轴上,问抛物线上是否存在点P ,使以点P 、Q 、A 为顶点的三角形与⊿OAB 全等 若存在,求出m 的值,并写出所有符合上述条件的P 点坐标；若不存在,请说明理由.6. 在平面直角坐标系xOy 中,将抛物线22y x =沿y 轴向上平移1个单位,再沿x 轴向右平移两个单位,平移后抛物线的顶点坐标记作A ,直线3x =与平移后的抛物线相交于B ,与直线OA 相交于C ．1求△ABC 面积；2点P 在平移后抛物线的对称轴上,如果△ABP 与△ABC 相似,求所有满足条件的P 点坐标．7. 设抛物线22y ax bx =+-与x 轴交于两个不同的点A 一1,0、Bm,0,与y 轴交于点C.且∠ACB=90°．1求m 的值和抛物线的解析式；2已知点D1,n 在抛物线上,过点A 的直线1y x =+交抛物线于另一点E ．若点P 在x轴上,以点P 、B 、D 为顶点的三角形与△AEB 相似,求点P 的坐标．3在2的条件下,△BDP 的外接圆半径等于________________．。

初三数学压轴题解题技巧和方法
1. 压轴题解题技巧
认真审题，弄清题意。

压轴题通常会给出含多个未知数的一元二次方程或
二元一次方程组，并伴随一些其他条件或限制。

首先，要明确题目要求解什么，以及给出的条件和限制是什么。

尝试化简方程或方程组。

如果方程或方程组较为复杂，尝试将其化简，以
便更容易找到解题思路。

寻找等量关系。

压轴题中通常会有一些等量关系，如面积、体积、角度等。

找到这些等量关系，可以帮助我们找到解题的突破口。

尝试使用代数方法。

对于一些压轴题，代数方法可能比较适用。

例如，通
过对方程进行变形、替换或解方程等，可以找到未知数的值。

画图分析。

对于一些几何压轴题，可以通过画图来帮助分析。

在画图的过
程中，可以更好地理解题目的条件和要求，从而找到解题思路。

2. 压轴题方法总结
代数法：通过对方程进行变形、替换或解方程等，找到未知数的值。

几何法：通过画图来帮助分析，更好地理解题目的条件和要求，从而找到
解题思路。

等量关系法：通过寻找等量关系，如面积、体积、角度等，找到解题的突
破口。

化简法：将复杂的方程或方程组化简，以便更容易找到解题思路。