2021届全国百所名校新高三原创预测试卷(十七)理科数学

2021届全国百强中学新高三原创预测试卷（一）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合(),2y x M x y y x ⎧⎫=⎧⎪⎪=⎨⎨⎬=-+⎩⎪⎪⎩⎭，{}2320N x x x =-+≤，则MN =（ ）A. ∅B. {}2C. {}1D. {}1,2【答案】A 【解析】 【分析】根据集合中元素的意义判断即可.【详解】由题,集合M 为点的集合,N 为数的集合.故M N ⋂=∅.故选：A【点睛】本题主要考查了集合的元素意义与交集运算,属于基础题. 2.设复数12z i =+，则1zi=+（ ） A.3122i + B.3122i - C. 1322i -- D. 1322i -+ 【答案】C 【解析】 【分析】代入共轭复数z 再根据复数的除法求解即可.【详解】由题()()()()212112132131111222i i z i i i i i i i i ----+====--+++-. 故选：C【点睛】本题主要考查了共轭复数的概念与复数除法的运算,属于基础题. 3.设a ，b 为非零向量，则“a b =”是“a b =”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据向量相等与模长相等的意义判定即可.【详解】由题,若a b =则必有a b =,但当a b =时因为向量有方向,故a b =不一定成立. 故“a b =”是“a b =”的充分而不必要条件. 故选：A【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的判定,同时也考查了向量的辨析,属于基础题. 4.如图所示，一个水平放置的平面图形，其斜二测直观图是OAB ，其中4OB AB ==，则该直观图所表示的平面图形的面积为（ ）A. 162B. 82C. 16D. 8【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测的画法计算原平面图形的边角关系再计算即可.【详解】根据斜二测画法可知,该图的直观图为'Rt A OB ,且22'224482A O AO ==⨯+=.故面积为14821622⨯⨯=.故选：A【点睛】本题主要考查了斜二测画法所得的直观图与原图形之间的关系,属于基础题. 5.下列命题中正确的是（ ）①已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且()40.8P ξ<=，则()020.3P ξ<<=；②相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，r 越大，相关性越弱； ③相关指数2R 用来刻画回归的效果，2R 越小，说明模型的拟合效果越好； ④在残差图中，残差点分布的带状区域越狭窄，其模型拟合的精度就越高. A. ①②B. ①④C. ②③D. ③④【答案】B 【解析】 【分析】对①,根据正态分布的性质求解即可.对②③④根据相关系数与残差的性质判定即可. 【详解】对①,()()()()()02244240.50.3P P P P P ξξξξξ<-<<=<<==<<-=①对.对②, 相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱,[]11r ,∈-且r 越大,相关性越强.②错.对③, 相关指数2R 用来刻画回归的效果,2R 越小,说明模型的拟合效果越差.③错. 对④, 在残差图中,残差点分布的带状区域越狭窄,其模型拟合的精度就越高.④对. 故①④正确. 故选：B【点睛】本题主要考查了正态分布的性质与线性回归方程中相关系数、相关指数与残差的基础知识,属于基础题.6.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列选项正确的是（ ） A. 若m α⊥，n β⊂，且m n ⊥，则αβ⊥ B. 若m α⊂，n β⊂，且//m β，//n α，则//αβ C. 若m α⊥，n β⊥，且αβ⊥，则m n ⊥ D. 若//m α，//n β，且//αβ，则//m n 【答案】C 【解析】 分析】根据线面垂直的性质与判定逐个选项证明或举反例即可.【详解】对A,当m β⊥时也满足m α⊥,n β⊂,且m n ⊥,但此时//αβ,故A 错误. 对B,当l αβ=,且//,//m l n l 时也满足m α⊂,n β⊂,且//m β,//n α,但此时l αβ=,故B 错误.对C, 若m α⊥,n β⊥,且αβ⊥,则m n ⊥成立.故C 正确. 对D, 当m n ⋂时也可以满足//m α,//n β,且//αβ.故D 错误. 故选：C【点睛】本题主要考查了线面平行与垂直的判定,属于基础题.7.现有5名教师分到一中、二中、三中、四中4所学校任教，每所学校至少分配1名教师，其中甲教师必去一中，则有分配方法（ ） A. 48种 B. 60种 C. 72种 D. 108种【答案】B 【解析】 【分析】根据排列组合的方法考虑特殊位置,分去一中的只有甲教师与去一中的有甲教师与另外一个教师两种情况计算即可.【详解】由题,当去一中的只有甲教师时共有12234236236C C A ⋅⋅=⨯⨯=种.当去一中的有甲教师与另外一个教师时共有13434624C A ⋅=⨯=种.故共有36+2460=种分配方法. 故选：B【点睛】本题主要考查了排列组合的实际运用,需要根据题意根据特殊位置进行分类求解.属于中档题.8.已知()()cos 0,,2f x x x R πωϕωϕ⎛⎫=+><∈ ⎪⎝⎭两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于2π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则ϕ的值为（ ）A. 3π- B. 3π C. 6πD. 6π-【答案】A 【解析】 【分析】根据两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于2π,可求得周期与ω,再代入23x π=分析ϕ的值即可.【详解】因为两个相邻极值点的横坐标差的绝对值等于2π可得周期为π,故22ππωω=⇒=. 故()()cos 2f x x ϕ=+,又当23x π=时,函数()f x 取得最小值, 故()2222,33k k k Z ππϕππϕπ⨯+=+⇒=-∈,又2πϕ<,故3πϕ=-. 故选：A【点睛】本题主要考查了根据三角函数图像的性质求解参数的问题,需要根据题意分析所给的条件与周期等的关系列式求解,属于基础题.9.已知点()3,0M -，()3,0N ，动点A 满足4AM AN -=，则AM 的最小值是（ ） A. 7 B. 5C. 3D. 1，【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义可知动点A 的轨迹为双曲线的右支,再根据双曲线的性质判断AM 的最小值即可.【详解】由题, 动点A 的轨迹为以()3,0M -,()3,0N 为焦点, 42a AM AN =-=的双曲线的右支,此时双曲线方程为()221245x y x -=≥.故当A 在顶点()2,0时AM 取最小值325+=.故选：B【点睛】本题主要考查了根据双曲线的定义求焦点到双曲线上距离的最值问题,属于基础题.10.若132log 5a =，0.213b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.223c -⎛⎫= ⎪⎝⎭则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a c b <<B. a b c <<C. c a b <<D. c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】分析a ,b ,c 与1的大小关系,再根据幂函数的单调性判定即可. 【详解】由题, 113321log log 153a =<=,0.20.21313b -⎛⎫==> ⎪⎝⎭,0.20.22331322c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫==>= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故a 最小.又0.20.2332⎛⎫> ⎪⎝⎭,故b c >.所以a c b <<.故选：A【点睛】本题主要考查了指数幂的大小比较,一般做法是确定函数值的大致范围或根据函数单调性进行比较,属于基础题.11.函数()f x 满足：()()f x f x -=，()()2f x f x =+，当[]0,1x ∈时，()2f x x =，又函数()sin g x x π=，则函数()()()h x f x g x =-在[]1,3-上的零点个数为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C 【解析】 【分析】数形结合分别根据对称性与周期性画出()f x 的图像与()sin g x x π=的图像,再观察图像即可.【详解】因为()()f x f x -=,故()f x 为偶函数,关于y 轴对称.又()()2f x f x =+,故()f x 周期为2.故画出当[]0,1x ∈时,()2f x x =在根据对称性与周期性补全()f x 在[]1,3-上的图像.又()()()h x f x g x =-在[]1,3-上的零点个数即为()()f x g x =在[]1,3-上的零点个数即()()f x g x =在[]1,3-上的交点个数.观察图像可得共有6个交点.故选：C【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数的问题,需要根据函数的对称性与周期性画图分析,属于中档题.12.在ABC 中，60ACB ∠=︒，ACB ∠的平分线CD 交边AB 于D ，若1CD =，则4BC AC +的最小值是（ ） A. 33 B. 63C. 6D. 9【答案】A 【解析】 【分析】设AC b =,BC a =,利用ABCADCBDCSSS=+代入面积公式可得113a b+=,再利用基本不等式中“1的妙用”构造()11443a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭利用基本不等式求最小值即可. 【详解】如图所示,ABC 中,60ACB ∠=︒, ACB ∠的平分线CD 交边AB 于D , 且1CD =,设AC b =,BC a =, 由ABCADCBDCS SS=+,即111sin 60sin 30sin 30222ab b a ︒=︒+︒, 化为113a b+=,则)114444533b a BC AC a b a b a b a b ⎛⎫⎫+=+=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎭ 452333b a a b ⎛≥+⋅=当且仅当23b a ==,取得等号, 则4BC AC +的最小值为33故选：A .【点睛】本题主要考查了解三角形中面积公式的运用与构造基本不等式求最小值的方法.属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上）13.曲线ln y x x =在x e =处的切线的斜率k = ．【答案】2 【解析】 试题分析：因为，所以，所以它在处的切线的斜率.考点：导数的应用.14.在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是1DD 的中点，则异面直线BE 与AC 所成的角为________. 【答案】90︒. 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定与性质证明直线BE 与AC 垂直即可.【详解】连接DB ,因为正方体1111ABCD A B C D -故AC BD ⊥,1DD ⊥平面ABCD .故1DD AC ⊥.又1DD BD D =,故AC ⊥平面11DBB D .故AC BE ⊥.所以异面直线BE 与AC 所成的角为90︒.故答案为：90︒【点睛】本题主要考查了线线垂直的判定,属于基础题. 15.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,02πβ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，且2cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 42πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为________.. 【解析】 【分析】分析已知的余弦值与所求的余弦值角度的关系可知2442βππβαα⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再利用两角差的余弦函数求解即可.【详解】因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故sin 43πα⎛⎫+==⎪⎝⎭.又因为,02πβ⎛⎫∈-⎪⎝⎭,所以sin 42πβ⎛⎫-== ⎪⎝⎭. cos cos cos cos sin sin 2442442442βππβππβππβαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+--=+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦233339⨯+==.故答案为：9【点睛】本题主要考查了利用凑角求解三角函数值的问题,需要注意根据角度的范围求解正余弦函数的值,属于中档题..16.以下排列的数是二项式系数在三角形中的几何排列，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，它出现要比杨辉迟393年.那么，第19行第18个数是________. 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 …… …… …… …… …… 【答案】171. 【解析】【分析】根据杨辉三角每行的各个数等于二项式展开项的系数求解即可.【详解】根据二项式()na b +展开项的通项公式1C r n r rr n T a b -+=可知, 第19行第18个数为当17r =时的项的系数1721919171C C ==.故答案为：171【点睛】本题主要考查了杨辉三角与二项展开式的关系,属于基础题.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.公差不为0的等差数列{}n a ，2a 为1a ﹐4a 的等比中项，且36S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2nn n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）n a n =；（2）2nn b n =+，()()12212n n n n T +=+-. 【解析】 【分析】(1)根据等比中项的性质与等差数列的基本量法求解即可. (2)利用分组求和与等差等比数列的求和公式求解即可.【详解】(1)设等差数列{}n a 的公差为d 则因为2a 为1a ,4a 的等比中项,故()()222141113a a a a d a a d =⋅⇒+=⋅+,化简得1a d =.又36S =故113362a d a d +=⇒+=.故11a d ==,()11n a a n d n =+-=. 即n a n =.(2) 22n n n n b a n =+=+,故()()12121222...212...22...2n n n T n n =++++++=++++++()()()()122121212122n n n n n n -+=+=-++-.【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量求解与分组求和、等差等比数列的公式求和等.属于基础题.18.哈三中团委组织了“古典诗词”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生（男女各30名），将其成绩分成六组[)40,50，[)50,60，…，[]90,100，其部分频率分布直方图如图所示.（Ⅰ）求成绩在[)70,80的频率，补全这个频率分布直方图，并估计这次考试的众数和中位数； （Ⅱ）从成绩在[)40,50和[]90,100的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率； （Ⅲ）我们规定学生成绩大于等于80分时为优秀，经统计男生优秀人数为4人，补全下面表格，并判断是否有99%的把握认为成绩是否优秀与性别有关？ 优秀 非优秀 合计 男 4 30 女 30 合计60()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P K k ≥ 0.025 0.010 0.005 0.0010k5.0246.635 7879 10.828【答案】（Ⅰ）直方图高度0.03，众数75，中位数2203；（Ⅱ）12；（Ⅲ）表格见解析，有99%的把握认为成绩是否优秀与性别有关. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据频率和为1计算即可.（Ⅱ）利用组合数的方法分别求解总的情况数与满足条件的情况数即可. （Ⅲ）根据频率直方图补全表格,再计算2K 对照表格分析即可. 【详解】(Ⅰ)根据频率和为1,计算[)70,80的频率为：()1100.010.0150.0150.0250.0050.3-++++=,所以[)70,80对应的频率直方图高度0.03,如图所示；由频率分布直方图知众数为75；由0.10.150.150.40.5++=<,0.40.30.70.5+=>可知 中位数在[)70,80内,计算中位数为0.1220700.033+=； (Ⅱ)成绩在[)40,50内有600.16⨯=人,在[]90,100内有600.053⨯=人；从这9人中选2人,基本事件为2936C =(种),其中在同一分数段的基本事件为226318C C += (种), 故所求的概率为181362P ==；(Ⅲ)由题意填写列联表如下； 优秀 非优秀 合计 男 4 26 30 女 14 16 30 合计 184260计算()2260416147.937 6.6353030182426K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯, 所以有99%的把握认为成绩是否优秀与性别有关。

2021届全国百校联考新高三原创预测试卷（十七）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题有且只有一个正确选项．） 1.已知全集U ＝R ，集合{}202,{0}A x x B x x x =≤≤=->，则图中的阴影部分表示的集合为( )A. (1](2,)-∞⋃+∞，B. (0)(12)-∞⋃，，C. [1)2，D. (12]， 【答案】A 【解析】B={x|x 2﹣x ＞0}={x|x ＞1或x ＜0}，由题意可知阴影部分对应的集合为∁U （A∩B）∩（A∪B），∴A∩B={x|1＜x≤2}，A∪B=R， 即∁U （A∩B）={x|x≤1或x ＞2}，∴∁U （A∩B）∩（A∪B）={x|x≤1或x ＞2}， 即（﹣∞，1]U （2，+∞） 故选：A2.设121iz i i-=++，则z z +=—（ ） A. 1i -- B. 1i +C. 1i -D. 1i -+【答案】B 【解析】 【分析】对复数z 进行运算得zi ，从而求得||1z z i +=+.【详解】因21(1)22221(1)(1)2i i i z i i i i i i i ---=+=+=+=++-，所以||1z =，所以||1z z i +=+. 故选：B.【点睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数和模的概念，考查基本运算求解能力. 3.已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，5632a a a +=+，则72S =（ ） A. 2 B. 7 C. 14 D. 28【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式，将等式5632a a a +=+化成42a =，再由等差数列的前n 项和公式得742S 2728a =⋅=.【详解】因为5632a a a +=+，所以111142452322a d a d a d a d a ++=+++⇒+=⇒=， 所以742S 2728a =⋅=.故选：D.【点睛】本题考查等差数列通项公式、前n 项和公式，考查基本运算求解能力. 4.已知sin cos 3αα+=，则sin 2α=（ ） A. 79-B. 29-C.29D.79【答案】A 【解析】 【分析】直接对等式两边平方，利用倍角公式得sin 2α的值.【详解】因为sin cos 3αα+=， 所以2227(sin cos )()12sin cos 399sin 2ααααα+=⇒+=-=⇒. 故选：A.【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系、倍角公式，考查基本运算求解能力. 5.已知函数()f x 满足：①对任意1x 、()20,x ∈+∞且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-；②对定义域内的任意x ，都有()()0f x f x --=，则符合上述条件的函数是（ ） A. ()21f x x x =++B. x1()2f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C. ()ln 1f x x =+D. ()cos f x x =【答案】B 【解析】 【分析】由题设条件判断增减性和奇偶性，再结合所给具体函数判断即可【详解】由题可知，()f x 为定义域在()0,+∞的减函数，且函数具有偶函数特征； 对A ，当()0,x ∈+∞，()21f x x x =++，()f x 的对称轴为12x =-，在()0,+∞为增函数，与题不符，排除；对B ，x 1()2f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当()0,x ∈+∞，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，为减函数， 又()-xx11()22f x f x ⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 符合； 对C ，()ln 1f x x =+，函数显然不具备偶函数特征，排除； 对D ，函数为周期函数，在()0,x ∈+∞不是减函数，排除； 故选：B【点睛】本题考查函数解析式的辨析，函数增减性与奇偶性的应用，属于基础题6.已知定义在R 上的函数()f x 满足(3)(3)f x f x -=+，且函数()f x 在()0,3上为单调递减函数，若3ln422,log 3,a b c e -===，则下面结论正确的是（ ） A. ()()()f a f b f c << B. ()()()f c f a f b << C. ()()()f c f b f a << D. ()()()f a f c f b <<【答案】C 【解析】 【分析】由题判断函数对称轴为3x =，结合()f x 在()0,3上为单调递减可知，判断函数值大小关系，即判断对应数值与3的绝对值的大小关系，可画出拟合图形加以求解【详解】由(3)(3)f x f x -=+得3x =，又()f x 在()0,3上为单调递减，画出拟合图形，如图：()()3ln 4220,1,log 31,2,4a b c e =∈=∈==，在图上的对应关系如图所示：，显然()()()f c f b f a << 故选：C【点睛】本题考查根据函数的对称性比较函数值大小，解题关键在于确定对称轴和函数与对称轴的关系，属于基础题 7.已知0,0a b >>，若不等式313n a b a b+≥+恒成立，则n 的最大值为（ ） A. 9 B. 12C. 16D. 20【答案】C 【解析】 【分析】可左右同乘3a b +，再结合基本不等式求解即可 【详解】0,0a b >>，()313133n a b n a b a b a b ⎛⎫+≥⇔++≥ ⎪+⎝⎭，()31333339110216b a b a a b a b a b a b ⎛⎫++=+++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==时，等号成立，故16n ≤ 故选：C【点睛】本题考查基本不等式求最值，属于基础题 8.函数3cos xy x e =-的图象可能是（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】考查该函数的奇偶性，在0x =处的取值以及该函数在()0,∞+上的单调性可辨别出图象。

2021届全国百校联考新高考原创预测试卷（三）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合 A = {2|650x x x -+≤x | }， B = {x | y =|3x y x =-， AB = （ ）A ． [1,+∞) B ． [1, 3] C ． (3, 5] D ． [3, 5] 2.设复数z 满足1i z z -=-(i 为虚数单位)，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( ). A.y x =- B.y x = C.()()22111x y -+-= D.()()22111x y +++=3.“1a =”是“直线10x y ++=和直线()2220a x a y -++=相互垂直”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.已知曲线()(1)ln f x ax x =-在点(1,0)处的切线方程为1y x =-，则实数a 的值为( ) A.1 B.-1 C.2 D.-25.函数22cos x xy x x--=-的图象大致为( ).6．5122x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中23x y 的系数是( ) A ．5B ．－5C ．－20D ．207．设抛物线2:12C y x =的焦点为F ，准线为l ，点M 在C 上，点N 在l 上，且()0FN FM λλ=>，若4MF =，则λ的值（ ） A ．32B ．2C ．5 2D ．38.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．大衍数列前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则此数列第20项为( )A ．180B ．200C ．128D ．1629．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[1,2]上是减函数，令ln 2a =，121()4b -=，12log 2c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系为（ ）A ．()()()f b f c f a <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f c f b f a <<D ．()()()f c f a f b <<10.已知函数()4sin()cos()(0)22xxf x ωωω=•>在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是( )A.(]0,1B.30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D.13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．在四棱锥A BCDE -中，ABC △是边长为6的正三角形，BCDE 是正方形，平面ABC ⊥平面BCDE ，则该四棱锥的外接球的体积为 （ ）A ．B ．C ．D ．84π12.已知函数()f x 的定义域为R ，1122f ⎛⎫=⎪⎝⎭，对任意的x R ∈满足()4f x x '>.当[0,2]απ∈时，不等式(sin )cos210f a a +->的解集为( )A．711,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭B．45,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭C．2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭D．5,66ππ⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知两个单位向量12,e e，满足1223e e-=，则12,e e的夹角为____14.若函数7,2()3log,2ax xf xx x-+<⎧=⎨+≥⎩的值域是(5,)+∞，则实数a的取值范围是________.15.《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦(含乾、坤、異、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成(“"表示一根阳线，“ ”表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为．16．已知双曲线()222210,0y xa ba b-=>>的上焦点为F，上、下顶点分别为A，B，过点F作y轴的垂线与双曲线交于P，Q两点，QF的中点为N，连接PB交x轴于点M，若M，A，N三点共线，则双曲线的离心率为______.三、解答题：本大题共6大题，17-21每题12分，选做题10分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在ABC中，角A B C、、所对边的长分别为a b c、、，且cos cos sinA B Ca b c+=(1)求sinCsinA sinB的值；(2)若ABC的面积14S=，ABC的外接圆的直径为1，求ABC的周长L.18.如图，在四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为菱形，60BAD︒∠=，点O为AD的中点，90APD︒∠=且AD PB=.（1）求证：OB⊥平面PAD；（2）若AD PB⊥，求平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值.19.（12分）已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，离心率为12，,M N 是平面内两点，满足122F M MF =-，线段1NF 的中点P 在椭圆上，1F MN △周长为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）若与圆221x y +=相切的直线l 与椭圆C 交于,A B ，求OA OB ⋅（其中O 为坐标原点)的取值范围. 20.某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个项目可以选择，若投资甲项目一年后可获得利润1X （万元）的概率分布列如表所示：且1X 的期望为1()120E X =万元；若投资乙项目一年后可获得的利润2X （万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品价格的调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为(01)P p <<和1P -，若乙项目一年内调整的次数X 与2X 的关系如表所示：（1）求,a b 的值； （2）求2X 的分布列（3）若该公司投资乙项目一年后能获得较甲项目更多的利润，求P 的取值范围。

2021届全国百校联考新高三原创预测试卷（二）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合()(){}130M x x x =+-<，集合{}1N x x =<，则M N ⋂等于（ ） A. ()1,3 B. (),1-∞-C. ()1,1-D. ()3,1-【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得M ，然后求两个集合的交集. 【详解】由()()130x x +-<解得13x，故()1,1M N ⋂=-，故选C.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2.复数z 满足()211z i i -=+，则z =（ ）．A.12B.C. 1D.【答案】B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，复数()211z i i -=+，得2211(1)11(1)2222i i i i z i i i i +++⋅====-+---，∴||2z ==．故选B ．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3.若直线x ＋（1＋m ）y －2＝0与直线mx ＋2y ＋4＝0平行，则m 的值是（ ） A. 1 B. －2C. 1或－2D. 32-【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论直线()120x m y ++-=的斜率情况，然后根据两直线平行的充要条件求解即可得到所求．【详解】①当1m =-时，两直线分别为20x -=和240x y --=，此时两直线相交，不合题意．②当1m ≠-时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得112221m m m⎧-=-⎪⎪+⎨⎪≠-⎪+⎩，解得1m =．综上可得1m =． 故选A ．【点睛】本题考查两直线平行的等价条件，解题的关键是将问题转化为对直线斜率存在性的讨论．也可利用以下结论求解：若11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，则12l l ⇔1221A B A B =且1221B C B C ≠或1221A B A B =且1221A C A C ≠．4.设向量(1,1)a =，(2,3)b =-，若2ka b -与a 垂直，则实数k 的值等于（ ） A. 1 B. －1C. 2D. －2【答案】B 【解析】分析：由两个向量垂直得向量的数量积为0，利用向量的坐标表示计算即可. 详解：向量()()1,1,2,3a b ==-， 则()2k 4,k 6ka b -=-+若2ka b -与a 垂直，则k 4k 60-++= 解得1k =-. 故选B.点睛：本题主要考查了向量数量积的坐标运算，属于基础题.5.已知,x y 满足约束条件20,20,1,x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则2z x y =+的最小值为( )A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】做出可行域，根据图像，即可求解.【详解】做出可行域，如下图所示（阴影部分）：由12y x y =⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，(1,1)A 由图像可得，当目标函数2z x y =+过点A 时， 取得最小值为3. 故选:B.【点睛】本题考查二元一次不等式表示平面区域，考查线性目标函数的最值，属于基础题.6.设D 为椭圆2215y x +=上任意一点，A （0，－2），B （0，2），延长AD 至点P ，使得|PD|＝|BD|，则点P 的轨迹方程为（ ） A. x 2＋（y －2）2＝20 B. x 2＋（y －2）2＝5 C. x 2＋（y ＋2）2＝20 D. x 2＋（y ＋2）2＝5【答案】C 【解析】 【分析】由题意得25PA PD DA DB DA =+=+=，从而得到点P 的轨迹是以点A 为圆心，半径为5【详解】由题意得PA PD DA DB DA =+=+，又点D 为椭圆2215y x +=上任意一点，且()()0,2,0,2A B -为椭圆的两个焦点，∴25DB DA +=， ∴25PA =∴点P 的轨迹是以点A 为圆心，半径为25的圆， ∴点P 的轨迹方程为()22220x y ++=． 故选C ．【点睛】本题考查圆的方程的求法和椭圆的定义，解题的关键是根据椭圆的定义得到25PA =，然后再根据圆的定义得到所求轨迹，进而求出其方程．考查对基础知识的理解和运用，属于基础题．7.执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：①f（x ）＝sinx ②f（x ）＝cosx ③1()f x x= ④f（x ）＝x 2 则输出的函数是（ ） A. f （x ）＝sinx B. f （x ）＝cosxC. 1()f x x=D. f （x ）＝x 2【答案】A 【解析】试题分析：对①()sin f x x =，显然满足()()0f x f x +-=，且存在零点.故选A. 考点：程序框图及函数的性质.8.如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E 、F ，且EF=12．则下列结论中正确的个数为①AC ⊥BE ； ②EF ∥平面ABCD ；③三棱锥A ﹣BEF 的体积为定值； ④AEF ∆的面积与BEF ∆的面积相等， A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】B 【解析】试题分析：①中AC ⊥BE ，由题意及图形知，AC ⊥面DD1B1B ，故可得出AC ⊥BE ，此命题正确；②EF ∥平面ABCD ，由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行，EF 在其一面上，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有EF ∥平面ABCD ，此命题正确；③三棱锥A-BEF 的体积为定值，由几何体的性质及图形知，三角形BEF 的面积是定值，A 点到面DD1B1B 距离是定值，故可得三棱锥A-BEF 的体积为定值，此命题正确；④由图形可以看出，B 到线段EF 的距离与A 到EF 的距离不相等，故△AEF 的面积与△BEF 的面积相等不正确 考点：1．正方体的结构特点；2．空间线面垂直平行的判定与性质9.函数()sin()3)f x x x ωϕωϕ=+++（ω＞0）的图像过点（1，2），若f （x ）相邻的两个零点x 1，x 2满足|x 1－x 2|＝6，则f （x ）的单调增区间为（ ） A. [－2＋12k ，4＋12k]（k∈Z） B. [－5＋12k ，1＋12k]（k∈Z） C. [1＋12k ，7＋12k]（k∈Z） D. [－2＋6k ，1＋6k]（k∈Z）【答案】B 【解析】 【分析】由题意得()23f x sin x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据相邻两个零点满足126x x -=得到周期为12T =，于是可得6π=ω．再根据函数图象过点()1,2求出2()k k Z ϕπ=∈，于是可得函数的解析式，然后可求出单调增区间．【详解】由题意得()()()23f x sin x x sin x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭， ∵()f x 相邻的两个零点1x ，2x 满足126x x -=， ∴函数()f x 的周期为12T =， ∴6π=ω， ∴()263f x sin x ππϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭．又函数图象过点()1,2， ∴2222632sin sin cos πππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫++=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴cos 1ϕ=， ∴2()k k Z ϕπ=∈， ∴()263f x sin x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由22,2632k x k k Z ππππππ-+≤+≤+∈，得512112,k x k k Z -+≤≤+∈，∴()f x 的单调增区间为[]()512,112k k k Z -++∈． 故选B ．【点睛】解答本题的关键是从题中所给的信息中得到相关数据，进而得到函数的解析式，然后再求出函数的单调递增区间，解体时注意整体代换思想的运用，考查三角函数的性质和应用，属于基础题．10.已知抛物线x 2＝16y 的焦点为F ，双曲线22145x y -=的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 是双曲线右支上一点，则|PF|＋|PF 1|的最小值为（ ）A. 5B. 7C. 9D. 11【答案】C 【解析】 【分析】 由题意并结合双曲线的定义可得1222(4)44PF PF PF PF PF PF FF +=++=++≥+，然后根据两点间的距离公式可得所求最小值．【详解】由题意得抛物线216x y =的焦点为()0,4F ，双曲线22145x y -=的左、右焦点分别为()()123,0,3,0F F -． ∵点P 是双曲线右支上一点， ∴124PF PF =+．∴1222(4)44549PF PF PF PF PF PF FF +=++=++≥+=+=，当且仅当2,,F P F 三点共线时等号成立，∴1PF PF +的最小值为9． 故选C ．【点睛】解答本题的关键是认真分析题意，然后结合图形借助数形结合的方法求解．另外在解题中注意利用双曲线的定义将所求问题进行转化，考查分析理解能力和解决问题的能力，属于基础题．11.已知,R αβ∈，则“αβ>”是“sin sin αβαβ->-”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】【详解】考查函数()f x x sinx =-,所以()10f x cosx -'=>， 所以()f x 在(),-∞+∞上递增，若αβ>，则sin sin αβαβ->-，若sin sin αβαβ->-，则αβ>，故选A.12.定义在R 上的函数()y f x =，满足(3)(),()f x f x f x '-=为()f x 的导函数，且3()02x f x ⎛⎫'-< ⎪⎝⎭，若12x x <，且123x x +>，则有（ ）A. 12()()f x f x >B. 12()()f x f x <C. 12()()f x f x =D. 不确定【答案】A 【解析】【详解】函数()f x 满足()()3f x f x -=，可得3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由()302x f x ⎛⎫⎪⎭'-< ⎝，易知，当32x >时，()0f x '<，()f x 单调递减. 由123x x +>，12x x <，则232x >. 当132x >,则()()12f x f x >. 当132x <,则1332x ->,213x x >-，()()123f x f x ->，即()()12f x f x >. 故选A.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）13.在23(23)x x --的展开式中，含2x 的项的系数是__________． 【答案】-9 【解析】 【分析】由于涉及的为三项展开式的问题，解题中可根据组合的方法求解．【详解】()3223x x --表示三个()223x x --相乘，所以展开式中含2x 的项有两种情况： （1）从三个()223x x --选取一个然后取2x ，再从剩余的两个()223x x --中分别选取3-，所得结果为12223(3)27C x x ⋅⋅-=；（2）从三个()223x x --选取两个分别取2x -，再从剩余的一个()223x x --中选取3-，所得结果为2223(2)(3)36C x x ⋅-⋅-=-．综上可得展开式中含2x 的项为22236279x x x -+=-． 故答案为9-．【点睛】本题考查三项展开式的问题，解题的方法有两个：一是转化为二项展开式的问题求解，另一个是根据组合的方法求解，考查转化和计算能力，注意考虑问题时要全面，属于基础题．14.已知曲线32()3f x x =在点()1,(1)f 处的切线的倾斜角为α，则222sin cos 2sin cos cos ααααα-+的值为__________． 【答案】35【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出tan 2α=，然后将所给齐次式转化为只含有tan α的形式后求解即可．【详解】由()323f x x =得()22f x x '=， ∴()12f '=，故tan 2α=．∴2222212132212215sin cos tan sin cos cos tan ααααααα---===++⨯+． 故答案为35． 【点睛】本题以对数的几何意义为载体考查三角求值，对于含有sin ,cos αα的齐次式的求值问题，一般利用同角三角函数关系式转化为关于tan α的形式后再求解，这是解答此类问题时的常用方法，属于基础题．15.一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为__________．【答案】103【解析】如图所示，三视图还原为几何体是棱长为2的正方体中的组合体ABCDEF ，将其分割为四棱锥B CDEF - 和三棱锥F ABC - ，其中：()12212232B CDEFV -+⨯=⨯⨯= ，114222323F ABC V -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭ ， 该几何体的体积410233V =+= .16.已知三角形的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2a =226b c -=，则角A 最大时，三角形ABC 的面积等于__．2【解析】 【分析】 由题意得22+6b c =，根据余弦定理得到22222cos 2b c a A bc +-===，然后利用换元法和二次函数的最值的求法得到cos 3A ≥，并求出此时c b == 【详解】∵226b c -=， ∴22+6b c =．由余弦定理的推论得222222cos 2b c a A bc +-==== 设22(2)t c t =+>，则cos A ====≥，当且仅当8t =，即c b ==时等号成立，∴当角A最大时，cos 3A =， ∴1sin 3A =，∴1123ABCS ∆=⨯=， 即角A 最大时，三角形ABC．．【点睛】解答本题的关键是由余弦定理得到cos A 的表达式，然后根据二次函数求最值的方法得到cos A ≥少参数的方法达到求解的目的．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）（一）必考题：共60分.17.设数列{}n a 满足12a = ，12nn n a a +-= ；数列{}n b 的前n 项和为n S ，且2132nS n n （） （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若n n n c a b = ，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（1）2nn a =，32n b n =-；（2）()110352n n T n +=+-⋅【解析】 【分析】（1）分别利用累加法、数列的递推公式得到数列{}n a 和数列{}n b 的通项公式． （2）利用数列求和的错位相减即可得到数列{}n c 的前n 项和n T ． 【详解】（1）1212a a ， 2322a a ，3432a a ，……，112n n n a a ---= ，以上1n - 个式子相加得：11231121222222212nnn n a a2n n a ∴=当2n ≥ 时，1n n n b S S -=-=2132n n （）-213[112]n n （）（）---- 32n =-当1n = 时，111b S == ，符合上式，32nb n ；（2）322n nn n c a b n （）123124272322n nT n （） ①23412124272322n nT n （） ②①-②得23123222322n n nT n （）（）()14122312n --=+⨯-1322n n（）110532n n （）110352n nT n （）【点睛】已知1()n n a a f n +=+ 求数列的通项公式时，可采用累加法得到通项公式，通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式（等差等比数列相乘）的前n 项和采用错位相减法． 18.甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成4元，超出40单的部分每单抽成6元.假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表： 甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表（1）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率； （2）若将频率视为概率，回答以下问题：（i ）记乙公司送餐员日工资为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望；（ii ）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由. 【答案】(1)19495；(2)(ⅰ)见解析；(ⅱ)小明去乙公司应聘【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率公式及组合数进行计算即可．（2）(ⅰ) 先求出乙公司送餐员每天的日工资，再根据频数表得到相应的频率，即为概率，进而可得分布列和期望； (ⅱ)求出甲公司送餐员日平均工资为149元，与(ⅰ)中得到的乙公司送餐员的日平均工资162元作比较后可得结论．【详解】（1）记“从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M ，则()220210019495C P M C ==．即抽取的两天送餐单数都大于40的概率为19495． （2） (ⅰ)设乙公司送餐员日送餐单数为a , 则当38a =时,384152X =⨯=， 当39a =时, 394156X =⨯=， 当40a =时, 404160X =⨯=， 当41a =时, 40416166X =⨯+⨯=， 当42a =时, 40426172X =⨯+⨯=． 所以X 的所有可能取值为152,156,160,166,172． 由频数表可得()10115210010P X ===，()2011561005P X ===，()2011601005P X ===， ()4021661005P X ===，()10117210010P X ===，所以X 的分布列为所以()111211521561601661721621055510E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． (ⅱ)依题意,甲公司送餐员日平均送餐单数380.2390.4400.2410.1420.139.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以甲公司送餐员日平均工资为70+239.5149⨯=元. 由(ⅰ)得乙公司送餐员日平均工资为162元. 因为149<162，故推荐小明去乙公司应聘．【点睛】（1）求分布列的关键是根据题意确定随机变量的所有可能取值和取没一个值时的概率，然后列成表格的形式后即可．（2）根据统计数据做出决策时，可根据实际情况从平均数、方差等的大小关系作出比较后得到结论．19.如图，在五面体ABCDEF 中，四边形CDEF 是正方形，1AD DE ==，90ADE ∠=︒，120ADC DCB ∠=∠=︒.（1）求证：AE BD ⊥；（2）求直线AF 与平面BDF 所成角的正弦值. 【答案】（1）见解析（25【解析】 【分析】（1）根据已知可证AB CD ∥，可得四边形ABCD 为等腰梯形，进而证明AD BD ⊥，再由已知可证DE ⊥平面ABCD ，从而有DE BD ⊥，可得BD ⊥平面ADE ，即可证明结论； （1）以D 为原点建立空间直角坐标系（如下图所示），确定,,A B F 坐标，求出平面BDF 的法向量坐标，根据空间向量线面角公式，即可求解.【详解】（1）证明：由已知//DC EF ，且DC ⊄平面ABFE ，EF ⊂平面ABFE ，所以//DC 平面ABFE .又平面ABCD平面ABFE AB =，故//AB CD .又120ADC DCB ∠=∠=︒，所以四边形ABCD 为等腰梯形， 因为AD DE =，所以AD CD BC ==， 因为120DCB ∠=︒，所以30CDB ∠=︒， 所以1203090ADB ∠=︒-︒=︒，所以AD BD ⊥. 因为AD DE ⊥，DC DE ⊥，且AD DC D =，所以DE ⊥平面ABCD .所以DE BD ⊥. 又AD DE D ⋂=，∴BD ⊥平面ADE ， 又AE ⊂平面ADE ，所以AE BD ⊥.（2）如图，以D 为原点，且DA ，DB ，DE 分别为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系Dxyz . 则()0,0,0D ，()1,0,0A，12F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()B ，∴3,12FA →⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()DB →=，12DF →⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面BDF 的法向量为(),,n x y z →=，由301022n DB y n DF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，得02y x z =⎧⎨=⎩，令1z =，得()2,0,1n →=.设直线与平面BDF 所成的角为θ，sin cos ,FA nFA n FA nθ→→→→→→⋅=<>===， 所以直线AF 与平面BDF【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与直线垂直，用空间向量法求直线与平面所成的角，要注意空间垂直关系的相互转化，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.20.已知动圆P 恒过定点1(,0)4，且与直线14x =-相切．（Ⅰ）求动圆P 圆心的轨迹M 的方程；（Ⅱ）正方形ABCD 中，一条边AB 在直线y ＝x ＋4上，另外两点C 、D 在轨迹M 上，求正方形的面积．【答案】（1）2y x = ；（2）18S =或50S = 【解析】 【分析】（1）根据题意及抛物线的定义可得轨迹M 的方程为2y x =；（2）设CD 边所在直线方程为y x t =+，代入抛物线方程后得到关于x 的二次方程，进而由根与系数的关系可得()214CD t =-，又由两平行线间的距离公式可得42t AD -=，由AD CD =求出2t =-或6t =-，于是可得正方形的边长，进而可得其面积．【详解】（1）由题意得动圆P 的圆心到点1,04⎛⎫⎪⎝⎭的距离与它到直线14x =-的距离相等，所以圆心P 的轨迹是以1,04⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，以14x =-为准线的抛物线，且12p =，所以圆心P 的轨迹方程为2y x =．（2）由题意设CD 边所在直线方程为y x t =+， 由2y x t y x=+⎧⎨=⎩消去y 整理得()22210x t x t +-+=，∵直线CD 和抛物线交于两点， ∴()22124140t t t =--=->，解得14t <． 设()11,C x y ，()22,D x y ，则2121212,x x t x x t +=-=.∴CD ===．又直线AB 与直线CD 间的距离为AD =，∵AD CD =，=，解得2t =-或6t =-，经检验2t =-和6t =-都满足0>．∴正方形边长AD =AD =， ∴正方形ABCD 的面积18S =或50S =．【点睛】（1）对抛物线定义的考查有两个层次，一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M 满足定义，它到准线的距离为d ，则||MF d =，有关距离、最值、弦长等是考查的重点；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线． （2）计算弦长时要注意整体代换的应用，以减少运算量，提高解题的效率． 21.已知函数()()ln 1axf x x a R x =-∈+. （1）讨论函数()f x 单调性；（2）若函数()f x 有两个极值点12x x <，证明：()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】（1）求出()f x '，对()0f x '≥（或()0f x '≤）是否恒成立对a 分类讨论，若恒成立，得出()f x 的单调性，若不恒成立，求解()0,()0f x f x ''><，即可得出结论；（2）由（1）得出知4a >，且122x x a +=-，121=x x ，将()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-⎪⎝⎭表示为关于a 的函数()h a ，求导得出()h a 的单调性，即可证明结论.【详解】（1）()()()()()()222121101'1a x ax x f x a x x x x x x +-+-+=-=>++， 令()()()2210p x x a x x =+-+>.①当()2240a ∆=--≤，即04a ≤≤时，()'0f x ≥恒成立， 所以()f x 在()0,∞+上单调递增；②当0a <时，()1p x >，故()'0f x >恒成立， 所以()f x 在()0,∞+上单调递增；③当4a >时，由于()'0f x =的两根为：x =>，()0f x '>的解集是220,22a a ⎛⎫⎛⎫--++∞ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()0f x '<的解集是⎝⎭.所以()f x 分别在区间⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭上递增， 在⎝⎭上递减， 综上，4a ≤时，函数()f x 在()0,∞+上递增；4a >时，函数()f x 分别在区间⎛ ⎝⎭， 22a ⎛⎫-++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上递增，在2222a a ⎛---+ ⎪⎝⎭上递减.（2）由（1）知4a >，且122x x a +=-，121=x x ，∴()()12121212ln ln 11ax ax f x f x x x x x +=-+-++()()()()1221121211ln 11ax x ax x x x a x x +++=-=-++， 而122222ln 222212a a x x a a f f a -⋅+--⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭+()2ln 22a a -=--， ∴()()12122ln 22222f x f x x x a a f a ++-⎛⎫-=-++ ⎪⎝⎭2ln 222a a -=-+， 设()()2ln 2422a a h a a -=-+>，则()()211402222'2a h a a a -=⋅-=<--， ()h a 在()4,+∞上为减函数，又()40h =，所以()0h a <， 所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查函数导数的综合应用，涉及到函数的单调性、极值、证明不等式，考查分类讨论思想，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4—4：坐标系与参数方程】22.选修4-4：坐标系与参数方程点P 是曲线1C ：22(2)4x y -+=上的动点，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O 为中心，将点P 逆时针旋转90得到点Q ，设点Q 的轨迹为曲线2C .（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）射线3πθ=，（0ρ>）与曲线1C ，2C 分别交于,A B 两点，设定点(2,0)M ，求MAB ∆的面积.【答案】（Ⅰ）4cos ρθ=,4sin ρθ=;（Ⅱ）3．【解析】试题分析：（Ⅰ）由相关点法可求曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=．（Ⅱ）M 到射线3πθ=的距离为2sin 3d π==B A AB ρρ=-可求得S试题解析：（Ⅰ）曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=．设(),Q ρθ，则,2P πρθ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则有4cos 4sin 2πρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭． 所以，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=．（Ⅱ）M 到射线3πθ=的距离为2sin 3d π==)4sin cos 2133B A AB ππρρ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭，则132S AB d =⨯=． 【选修4—5：不等式选讲】23.选修4—5：不等式选讲设函数f （x ）＝x 2－x －1．（Ⅰ）解不等式：|f （x ）|＜1；（Ⅱ）若|x －a|＜1，求证：|f （x ）－f （a ）|＜2（|a|＋1）．【答案】（1）()()-1,01,2⋃；（2）见解析【解析】【分析】（1）由题意得2111x x -<--<，转化为不等式组求解即可．（2）将原不等式变形后再利用绝对值的三角不等式证明即可．【详解】（1）由()1f x <得()11f x -<<，即2111x x -<--<， 所以22020x x x x ⎧->⎨--<⎩，解得10x -<<或12x <<， 所以原不等式的解集为()()1,01,2-⋃．（2）证明： 因为1x a -<，所以()()22f x f a x a a x -=-+- ()()1x a x a =-+-＝1x a x a -+-1x a <+-()21x a a =-+- 21x a a ≤-++()2221a a <+=+．【点睛】本题考查二次不等式的解法和绝对值三角不等式的应用，用三角不等式证明时一是要注意将式子进行变形，使得满足能使用不等式的形式，同时还要注意等号成立的条件，属于基础题．。