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【专题综述】因式分解是初中代数中一种重要的恒等变形，是处理数学问题重要的手段和工具，也是中考和数学竞赛试题中比较常见的题型。
对于特殊的因式分解，除了掌握提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等基本方法外，还应根据多项式的具体结构特征，灵活选用一些特殊的方法和技巧。
这样不仅可使问题化难为易，化繁为简，复杂问题迎刃而解，而且有助于培养探索求新的学习习惯，提高数学思维能力。
【方法解读】一、巧拆项：在某些多项式的因式分解过程中，若将多项式的某一项（或几项）适当拆成几项的代数和，再用基本方法分解，会使问题化难为易，迎刃而解。
例1：因式分解32422+++-b a b a 解：原式＝22423a b a b -+++224241a b a b =-+++-22(44)(21)a ab b =++--+22(2)(1)a b =+--(1)(3)a b a b =++-+【解读】根据多项式的特点，把3拆成4+（-1），即可利用完全平方公式、平方差公式进行因式分解。
【举一反三】因式分解：611623+++x x x 【答案】(1)(2)(3)x x x +++二、巧添项：在某些多项式的因式分解过程中，若在所给多项式中加、减相同的项，再用基本方法分解，也可谓方法独特，新颖别致。
例2：因式分解444yx +解：444x y +422422(44)4x x y y x y =++-2222(2)(2)x y xy =+-=2222(22)(22)x xy y x xy y ++-+学&科网【解读】根据多项式的特点,在444x y +中添上22224,4x y x y -两项，，即可利用完全平方公式、平方差公式进行因式分解。
【举一反三】因式分解4323+-x x 【答案】2(1)(2)x x +-三、巧换元：在某些多项式的因式分解过程中，通过换元，可把形式复杂的多项式变形为形式简单易于分解的多项式，会使问题化繁为简，迅捷获解。
因式分解的六种方法及其应用因式分解的常用方法有：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)提公因式法与公式法的综合运用．在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提公因式法，然后考虑公式法．对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等．方法一提公因式法题型1 公因式是单项式的因式分解1．若多项式－12x2y3＋16x3y2＋4x2y2的一个因式是－4x2y2，则另一个因式是()A．3y＋4x－1 B．3y－4x－1C．3y－4x＋1 D．3y－4x【解析】B2．分解因式：2mx－6my＝__________．【解析】2m(x－3y)3．把下列各式分解因式：(1)2x2－xy；(2)－4m4n＋16m3n－28m2n.【解析】(1)原式＝x(2x－y)．(2)原式＝－4m2n(m2－4m＋7)．题型2公因式是多项式的因式分解4．把下列各式分解因式：(1)a(b－c)＋c－b；(2)15b(2a－b)2＋25(b－2a)2.【解析】(1)原式＝a(b－c)－(b－c)＝(b－c)(a－1)．(2)原式＝15b(2a－b)2＋25(2a－b)2＝5(2a－b)2(3b＋5)．方法二公式法题型1直接用公式法5．把下列各式分解因式：(1)－16＋x4y4；(2)(x2＋y2)2－4x2y2；(3)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.【解析】(1)原式＝x4y4－16＝(x2y2＋4)(x2y2－4)＝(x2y2＋4)(xy＋2)(xy－2)．(2)原式＝(x 2＋y 2＋2xy )(x 2＋y 2－2xy )＝(x ＋y )2(x －y )2.(3)原式＝(x 2＋6x ＋9)2＝[(x ＋3)2]2＝(x ＋3)4.题型2 先提再套法6．把下列各式分解因式：(1)(x －1)＋b 2(1－x )；(2)－3x 7＋24x 5－48x 3.【解析】(1)原式＝(x －1)－b 2(x －1)＝(x －1)(1－b 2)＝(x －1)(1＋b )(1－b )．(2)原式＝－3x 3(x 4－8x 2＋16)＝－3x 3(x 2－4)2＝－3x 3(x ＋2)2(x －2)2.题型3 先局部再整体法7．分解因式：(x ＋3)(x ＋4)＋(x 2－9)．【解析】原式＝(x ＋3)(x ＋4)＋(x ＋3)·(x －3)＝(x ＋3)[(x ＋4)＋(x －3)]＝(x ＋3)(2x ＋1)． 题型4 先展开再分解法8．把下列各式分解因式：(1)x (x ＋4)＋4；(2)4x (y －x )－y 2.【解析】(1)原式＝x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2.(2)原式＝4xy －4x 2－y 2＝－(4x 2－4xy ＋y 2)＝－(2x －y )2.方法三 分组分解法9．把下列各式分解因式：(1)m 2－mn ＋mx －nx ；(2)4－x 2＋2xy －y 2.【解析】(1)原式＝(m 2－mn )＋(mx －nx )＝m (m －n )＋x (m －n )＝(m －n )(m ＋x )．(2)原式＝4－(x 2－2xy ＋y 2)＝22－(x －y )2＝(2＋x －y )(2－x ＋y )．方法四 拆、添项法10．分解因式：x 4＋14. 【解析】原式＝x 4＋x 2＋14－x 2＝⎝⎛⎭⎫x 2＋122－x 2＝⎝⎛⎭⎫x 2＋x ＋12(x 2－x ＋12)． 方法五 整体法题型1 “提”整体11．分解因式：a (x ＋y －z )－b (z －x －y )－c (x －z ＋y )．【解析】原式＝a (x ＋y －z )＋b (x ＋y －z )－c (x ＋y －z )＝(x ＋y －z )(a ＋b －c )．题型2 “当”整体12．分解因式：(x＋y)2－4(x＋y－1)．【解析】原式＝(x＋y)2－4(x＋y)＋4＝(x＋y－2)2.题型3“拆”整体13．分解因式：ab(c2＋d2)＋cd(a2＋b2)．【解析】原式＝abc2＋abd2＋cda2＋cdb2＝(abc2＋cda2)＋(abd2＋cdb2)＝ac(bc＋ad)＋bd(ad＋bc)＝(bc＋ad)(ac＋bd)．题型4“凑”整体14．分解因式：x2－y2－4x＋6y－5.【解析】原式＝(x2－4x＋4)－(y2－6y＋9)＝(x－2)2－(y－3)2＝(x＋y－5)(x－y＋1)．方法六换元法15．分解因式：(1)(a2＋2a－2)(a2＋2a＋4)＋9；(2)(b2－b＋1)(b2－b＋3)＋1.【解析】(1)设a2＋2a＝m，则原式＝(m－2)(m＋4)＋9＝m2＋4m－2m－8＋9＝m2＋2m＋1＝(m＋1)2＝(a2＋2a＋1)2＝(a＋1)4.(2)设b2－b＝n，则原式＝(n＋1)(n＋3)＋1＝n2＋3n＋n＋3＋1＝n2＋4n＋4＝(n＋2)2＝(b2－b＋2)2.因式分解的7种应用因式分解是整式的恒等变换的一种重要变形，它与整式的乘法是两个互逆的过程，是代数恒等变形的重要手段，在有理数计算、式子的化简求值、几何等方面起着重要作用．应用一用于简便计算1．利用简便方法计算：23×2.718＋59×2.718＋18×2.718.【解析】23×2.718＋59×2.718＋18×2.718＝(23＋59＋18)×2.718＝100×2.718＝271.8.2．计算：2 0162－4 034×2 016＋2 0172.【解析】2 0162－4 034×2 016＋2 0172＝2 0162－2×2 016×2 017＋2 0172＝(2 016－2 017)2＝1.应用二用于化简求值3．已知x－2y＝3，x2－2xy＋4y2＝11.求下列各式的值：(1)xy；(2)x2y－2xy2.【解析】(1)∵x－2y＝3，∴x2－4xy＋4y2＝9，∴(x2－2xy＋4y2)－(x2－4xy＋4y2)＝11－9，即2xy＝2，∴xy＝1.(2)x2y－2xy2＝xy(x－2y)＝1×3＝3.应用三用于判断整除4．随便写出一个十位数字与个位数字不相等两位数，把它的十位数字与个位数字对调得到另一个两位数，并用较大两位数减去较小的两位数，所得的差一定能被9整除吗？为什么？【解析】所得的差一定能被9整除．理由如下：不妨设该两位数个位上的数字是b，十位上的数字是a，且a>b，b不为0，则这个两位数是10a＋b，将十位数字与个位数字对调后的数是10b＋a，则这两个两位数中，较大的数减较小的数的差是(10a＋b)－(10b＋a)＝9a－9b＝9(a－b)，所以所得的差一定能被9整除．应用四用于判断三角形的形状5．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，判断△ABC形状．【解析】∵a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，∴2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac＝0.即a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＋a2－2ac＋c2＝0.∴(a－b)2＋(b－c)2＋(a－c)2＝0.又∵(a－b)2≥0，(b－c)2≥0，(a－c)2≥0，∴a－b＝0，b－c＝0，a－c＝0，即a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．应用五用于比较大小6．已知A＝a＋2，B＝a2＋a－7，其中a＞2，试比较A与B的大小．【解析】B－A＝a2＋a－7－a－2＝a2－9＝(a＋3)(a－3)．因为a＞2，所以a＋3＞0，从而当2＜a＜3时，a－3＜0，所以A＞B；当a＝3时，a－3＝0，所以A＝B；当a＞3时，a－3＞0，所以A＜B.应用六 用于解方程(组)7．已知大正方形的周长比小正方形的周长多96 cm ，大正方形的面积比小正方形的面积多960 cm 2.请你求这两个正方形的边长．【解析】设大正方形和小正方形的边长分别为x cm ，y cm ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4x －4y ＝96，①x 2－y 2＝960，② 由①得x －y ＝24，③；由②得(x ＋y )(x －y )＝960，④把③代入④得x ＋y ＝40，⑤；由③⑤得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝24，x ＋y ＝40，，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝8. 故大正方形的边长为32 cm ，小正方形的边长为8 cm.应用七 用于探究规律8．观察下列各式：12＋(1×2)2＋22＝9＝32，22＋(2×3)2＋32＝49＝72，32＋(3×4)2＋42＝169＝132，…. 你发现了什么规律？请用含有字母n (n 为正整数)的等式表示出来，并说明理由．【解析】规律：n 2＋[n (n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝[n (n ＋1)＋1]2.理由如下：n 2＋[n (n ＋1)]2＋(n ＋1)2＝[n (n ＋1)]2＋2n 2＋2n ＋1＝[n (n ＋1)]2＋2n (n ＋1)＋1＝[n (n ＋1)＋1]2.。
因式分解是代数中一种重要的恒等变形形式，分解的方法多且灵活、技巧性强，常见的方法有公式法、提公因式法、十字相乘法、分组分解法等.但对于某些较为复杂的多项式，往往不能直接利用这些基本方法来分解，需要结合多项式的特征，灵活选用一些特殊的方法，如拆/添项法、换元法、主元法等，从而使复杂的问题化难为易、化繁为简.下面就这些特殊方法举例分析.一、拆/添项法有些多项式由于含有合并项或缺少一些项，不能直接因式分解，可运用拆项法，把多项式合并的一项或几项适当拆成几项的和或差；或运用添项法，给多项式添上两个符号相反的项，然后再用基本方法就可以快速分解因式.例1分解因式：a3+b3+c3-3abc.解析：由于此多项式字母具有轮换的特点，因此添加3a2b，3ab2或3b2c，3bc2或3c2a，3ca2，可以更为简便地分解因式.原式=a3+b3+3a2b+3ab2+c3-3a2b-3ab2-3abc=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+2ab+c2-ac-bc)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca).例2因式分解：x3+6x2+11x+6.解析：根据多项式的特点，可以把6x2拆成2x2+4x2，把11x拆成8x+3x.原式=（x3+2x2）+(4x2+8x）+(3x+6)=x2（x+2)+4x(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x2+4x+3)=(x+1)(x+2)(x+3).评注：拆项法的难点在于选择哪些项进行拆分，需要结合各项的系数和次数特点灵活拆分.本题中将6x2，11x拆项后提取了公因式(x+2)，从而找到解题的突破口.二、换元法对于某些复杂的多项式，运用换元法，把其中相同的部分看作一个整体，用一个新变量代替，从而得到一个形式简单、便于分解的多项式，然后进行因式分解，最后把原变量回代到因式中.这样不仅可以简化多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，从而便于分解因式.盘点初中数学因式分解的特殊方法例3分解因式：(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x2解析：将(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)利用多项式的乘法法则展开，设x+6=m，展开后再因式分解即可得出结果.原式=[(x+1)(x+6)][(x+2)(x+3)]+x2=(x2+7x+6)(x2+5x+6)+x2令m=x2+6，所以原式=(m+7x)(m+5x)+x2=m2+12mx+36x2=(m+6x)2=(x2+6x+6)2.评注：根据实际情形把多项式两两相乘，从而得到一个可以换元的整体，再利用换元法进行因式分解.换元后，减少了多项式的项数和次数，为解题带来了方便.三、主元法对于含多个字母的多项式，若无法直接分解，可以选取其中一个字母为主元，其他字母为参数，进行变形后，整理成关于主元的降幂排列(或升幂排列)的多项式，再尝试用公式法、配方法、分组法等分解因式的方法进行分解.例4分解因式：x2-2y2-3z2+xy+7yz+ 2xz.解析：题中含有三个变量，以x为主元，并进行降幂排列，整理后即可运用十字相乘法进行因式分解.x2-2y2-3z2+xy+7yz+2xz=x2+(y+2z)x-(2y2-7yz+3z2)=x2+(y+2z)x-(2y-z)(y-3z)=(x+2y-z)(x-y+3z)．评注：选择主元是解题的关键.若代数式含有三次、四次等高次元时，可以选取低次元为主元，若每个元的次数相同时，可任选一个作为主元，如本题中选择y或z作为主元均可因式分解.特殊情况下需选取常量或参量作为主元.四、待定系数法对于某些多项式，当不能直接分解因式时，可用待定系数法分解.首先判断待分解因式的形式，然后设相应整式的字母系数，将其表示成含有待定系数的因式相乘的形式，并展开.根据恒等式的性质，得出系数应满足的方程或方程组，然后解方程或方程组得到待定系数，从而分解因式.例5分解因式x2+xy-6y2+x+13y-6.解析：因为x2+xy-6y2=(x+3y)(x-2y)，所以可设原式的分解式为(x+3y+m)(x-2y+n)，然后展开，利用多项式的恒等性质，求出m，n 的值.设x2+xy-6y2+x+13y-6=(x+3y+m)(x-2y+n)，∵(x+3y+m)(x-2y+n)=x2+xy-6y2+(m+n)x+(3n-2m)y+mn ∴x2+xy-6y2+x+13y-6=x2+xy-6y2+(m+n)x+(3n-2m)y+mn.对比左右两边相同项的系数，得■■■m+n=1，3n-2m=13，mn=-6，解得{m=-2，n= 3.∴原式= (x + 3y - 2)(x - 2y + 3) .评注：待定系数法是分解因式的独特方 法.通过先猜想结论，然后以解方程组的形式 来得到因式分解的结果，体现了逆向思维的 运用.因式分解的方法很多，每种方法都有自 己的特点.同学们除了要熟练掌握基本方法 外，还需要掌握一些特殊的方法才能轻松应 对难题.同时，这些特殊方法对提升同学们的 解题能力和数学思维能力大有裨益.。
因式分解的方法与技巧因式分解是代数学中的重要概念和技巧，它在解题和简化表达式中起到关键作用。
在本文中，我们将探讨因式分解的方法与技巧，帮助读者更好地掌握这一概念。
一、提取公因式法提取公因式法是因式分解中最基本和常用的方法之一、它的基本思想是找出多项式中各项的公共因子，并将其提取出来。
具体步骤如下：1.找出多项式中的最大公因子。
2.用公因子除每一项，将其化简为最简形式。
例如，对于多项式2x²+4x，我们可以发现2是每一项的公因子，因此可以提取出来，即2(x²+2x)。
二、分组分解法分组分解法是常用于四项以上的多项式因式分解中的一种方法。
它的基本思想是将多项式中的项进行重新分组，将一些项之间的关系呈现出来，以便于进行因式分解。
具体步骤如下：1.对多项式进行重新分组，将相邻的项组合在一起。
通常是将相邻的两项组合在一起，但也可以根据需要进行更多项的分组。
2.在每一组中找出公共因子，并做相关的因式分解。
3.观察各组之间是否存在公共因子，并将其提取出来。
例如，考虑多项式2x² + 3xy + 4x + 6y，我们可以将其进行分组，得到(2x² + 4x) + (3xy + 6y)。
然后在每一组中分别提取公因子，得到2x(x + 2) + 3y(x + 2)。
最后观察到(x + 2)是两组的公共因子，因此我们可以进一步提取出来，得到(x + 2)(2x + 3y)。
三、平方法平方法是一种特殊的因式分解方法，适用于具有特殊形式的二次多项式。
它的基本思想是将二次多项式写成两个平方数的和或差的形式，然后进行因式分解。
具体步骤如下：1.将二次多项式写成两个平方数的和或差的形式。
2.使用平方差或平方和公式进行因式分解。
例如，考虑二次多项式x²-9，我们可以将其写成(x+3)(x-3)的形式。
这是因为x²-9可以被分解为(x+3)(x+3)-6(x+3)+9，然后再根据平方差公式得到(x+3)(x-3)。
因式分解的方法和技巧
因式分解是将一个多项式表示成若干个乘积的形式。
下面介绍几种常见的因式分解方法和技巧。
1. 公因式提取法：当多项式中的每一项都有公共因子时，可以先将公因式提取出来，然后再进行因式分解。
例如，对于多项式2x+4xy，可以先提取出公因式2，得到2(x+2y)。
2. 完全平方三项式的因式分解：形如a^2+2ab+b^2的多项式可以因式分解为(a+b)^2。
这是一个常见的公式，可以用来快速分解平方多项式。
3. 提取因式中的平方因子：当多项式中存在平方因子时，可以将其提取出来。
例如，对于多项式x^2+2x+1，可以将其因式分解为(x+1)^2。
4. 分组因式分解法：对于一些多项式，可以通过将其中的项进行分组，然后提取公因式的方式进行因式分解。
例如，对于多项式x^2+3x+2，可以将其分为(x^2+2)+(x+1)，然后分别提取每一组的公因式，得到(x+2)(x+1)。
5. 特殊因式分解：有一些特殊的多项式可以通过特殊的因式分解公式进行分解。
例如，差二平方公式a^2-b^2可以分解为(a-b)(a+b)，和二平方公式a^2+b^2可以分解为(a+bi)(a-bi)，其中i为虚数单位。
6. 使用因式分解公式：有一些常见的因式分解公式可以用来分
解特定类型的多项式，例如二次三项式的因式分解公式
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2和差二三项式的因式分解公式(a-
b)^2=a^2-2ab+b^2。
以上是因式分解的一些常见方法和技巧，可以根据不同的情况选择合适的方法进行因式分解。
初中数学因式分解常用七大解题方法，分类讲解+例题解析，收藏初中数学|因式分解常用七大解题方法，分类讲解+例题解析，收藏 -一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ———a2±2ab+b2=(a±b)2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；三、分组分解法（一）分组后能直接提公因式比如，从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
（二）分组后能直接运用公式分组后能直接运用公式，主要是通过对题目当中各因式的观察，进行分组后，能够进行提公因式分解，直到分解的最后能够变成几个多项式或单项式与多项式的乘积为止。
综合练习：四、十字相乘法.十字相乘法是因式分解当中比较难的一种分解方式。
在运用过程当中，对同学们的思维提出了更高的要求，等大家都熟练了这种方法以后，其实对于因式分解是非常简单的，而且比较方便。
对于十字相乘法，我们分为四种类型。
给大家做详细的讲解。
针对每一种方法都有经典的例题解析，通过例题解析的方式让大家明白因式分解时该如何操作，遵循怎样的分解步骤，才能比较顺利的解决和掌握十字相乘法。
因式分解的7种方法和4种思路因式分解是数学中的重要概念，它在代数运算和方程求解中起着重要的作用。
在因式分解问题中，常用的方法有7种，思路有4种。
本文将详细介绍这7种方法和4种思路，并给出相应的例子进行说明。
方法一：公因式提取法如果一个多项式中所有的项都有一个公因式，我们可以从每一项中提取出这个公因式，然后将剩下的部分进行合并。
这个过程又叫公因式提取法。
例如，对于一个多项式3x+6y，我们可以提取出公因式3，得到3(x+2y)。
方法二：配方法配方法又叫做两项平方差公式法，它适用于一个多项式是两项的平方差的情况。
对于a²-b²这种形式的多项式，我们可以使用公式(a+b)(a-b)把它分解。
例如，对于多项式x²-4，我们可以使用配方法得到(x+2)(x-2)。
方法三：分组法当一个多项式中存在多个项时，我们可以将这些项分成若干组，然后将每个组内的项进行合并。
这个过程叫做分组法。
例如，对于多项式3ab + 2ac + 6bd + 4cd，我们可以将它分为两组：(3ab + 2ac)和(6bd + 4cd)，然后将每个组内的项提取公因式。
最后得到a(3b + 2c) + 2d(3b + 2c)。
方法四：差的平方公式当一个多项式是两个数的平方差的情况，我们可以使用差的平方公式进行因式分解。
对于a² - 2ab + b²或者a² + 2ab + b²这种形式的多项式，我们可以使用公式(a - b)²或(a + b)²来分解。
例如，对于多项式x² - 4xy + 4y²，我们可以使用差的平方公式得到(x - 2y)²。
方法五：三项平方差公式当一个多项式是三个数的平方差的情况，我们可以使用三项平方差公式进行因式分解。
对于a³ - 3a²b + 3ab² - b³或者a³ + 3a²b + 3ab² + b³这种形式的多项式，我们可以使用公式(a - b)³或(a + b)³来分解。
复杂多项式的因式分解方法与实例复杂多项式的因式分解是代数学中一个重要且常见的问题，对于解决多项式函数的性质、根的问题具有重要意义。
在实际应用中，我们经常会遇到各种不同形式的多项式，有些多项式相对较为复杂，难以直接求解其根或简化表达。
因此，深入研究多项式的因式分解方法对于解决这类问题至关重要。
一、多项式的因式分解方法1. 常数项因子分解：对于多项式$f(x)$若存在常数项$c$，使得$c$是$f(x)$的因子，则$c$是$f(x)$的一个根。
这时候我们可以通过带入$c$，求解余因子从而简化多项式。
2. 系数比较法：设多项式$f(x)$的首项系数为$a_n$，尾项系数为$a_0$，若$f(x)$有有理数根$p/q$，则有$p|a_0$和$q|a_n$，可以通过列方程求出根的候选集合。
接着使用多项式的综合除法或其他方法逐步求解因式。
3. 分组因式分解：多项式中存在二次项以上的情况，我们可以尝试将多项式进行分组，使得各组之间有一定的联系。
接着再运用分组后的多项式的因式分解方法。
4. 特殊形式因式分解：对于特殊形式的多项式，如平方差公式、立方和公式等，我们可以直接利用这些公式求解因式。
二、复杂多项式的因式分解实例考虑多项式$f(x)=x^4-7x^3+16x^2-12x+4$，我们可以尝试使用系数比较法先求出可能的根。
首项系数$a_4=1$，尾项系数$a_0=4$，可以列出方程$x=p/q$，其中$p|4$，$q|1$。
根据方程求出可能的根为$\pm1$，$\pm2$，$\pm4$，$1/2$，$-1/2$。
接下来我们可以利用这些根进行综合除法，进一步简化多项式。
分别对上述候选根带入多项式$f(x)$，得到余数为0的根即可确定因式。
经过计算，我们可以得到多项式$f(x)$的因式分解为$(x-1)^2(x-2)^2$。
在实际应用中，复杂多项式的因式分解需要我们对多种方法有扎实的掌握，并且要灵活运用多种技巧。
因式分解特殊方法:分组分解法、配方法、添拆项法:1.(1) 2ax 2ay 「3bx 4cy 4cx 「3by(6) (a 2 b 2 -c 2)2 -4a 2b 22. 把下列各式分解因式:3. 把下列各式分解因式：（1） x 3 9x 2 26x 24(3) a 2「b 2 -c 2 d -2ad 「2bc(4) x 3 x 2y-xy 2-y 3(1) x 4 2x 2y 2 y 4⑵(1+y)2—2X 2(1 y 2) x 4(1— y)24.分解因式：（1） a 3 3a 2 3a 2 (2) x(x -1) y(y 1) -2xy5. (1) (x+y)(x-y)+4(y-1) (2)x 8 x 714 2a 7a - 8(2) a 2 -9 8ab 16b 2(5) 1 -4a 2 -4ab -b 2(2) 2x 3 -x 2z -4x 2y 2xyz 2xy 2 - y 2z9. 4x 3 -31x 1510. a 2 2b 2 3c 2 3ab 4ac 5bc11. a(6a 11b 4) b(3b -1) -2 12.13. (x 2 xy y 2)2 -4xy(x 2 y 2) 14. 15. (a -b)4 (a b)4 (a 2 —b 2)2 16.(1 x x 2 x 3)2 —x 317. 当 x-y=1 时，x 4 -xy 3 -x 3y-3x 2y • y 4 的值为多少?⑷ x 6 _4x 4 _9x 2 36 (5) x 3 _3x 24a 4 _b 4 _ab 3 a 3b4 2 42(7) m - m _ m _ n n n (8) 2 2x 「x y y_2xy _6(9) 3a 3 7a 2 -4 (10)6.若整数 a 、b 满足 6ab-9a+10b=303, 求 a+b7. (x 4 x 2 -1)2 (x 4 x 2-3) 8.3 2a 2a -12a 15333a (b - c) b (c - a) c (a - b)(x y)4 x 4 y 418. 分解因式1 -12x2y2 48x4y4 -64x6y619. 分解因式x8「x7y x6y2「x5y3x4y4「x3y5x2y6「xy7y820. 求方程x-y二xy的整数解。
多项式的因式分解技巧与应用在代数学中，多项式的因式分解是一种将多项式表达为多个因数相乘的过程。
因式分解是代数学中的重要概念，并在众多领域有着广泛的应用。
本文将介绍多项式因式分解的基本技巧，并探讨其在数学和实际问题中的应用。
一、多项式因式分解的基本技巧多项式的因式分解是将多项式表示为不可再分解的因子的乘积。
下面将介绍常见的因式分解技巧。
1. 提取公因式法提取公因式法是一种常用的因式分解方法，适用于多项式中含有相同因子的情况。
以多项式4x^3 + 8x^2为例，我们可以提取出公因式4x^2，得到4x^2(x + 2)。
2. 特殊因式分解法特殊因式分解法是通过观察多项式的结构，找出其中的特殊因子并进行分解。
例如，多项式x^2 - y^2可以使用公式(a + b)(a - b)进行因式分解，即(x + y)(x - y)。
3. 因式分解公式法因式分解公式法是利用一些常见的因式分解公式，将多项式进行分解。
例如，二次三项式ax^2 + bx + c可以使用二次因式分解公式进行分解，即ax^2 + bx + c = (mx + n)(px + q)，其中m、n、p、q为常数。
二、多项式因式分解的应用多项式因式分解在数学和实际问题中有着广泛的应用。
下面将介绍一些常见的应用领域。
1. 解方程多项式的因式分解可以帮助我们简化复杂的方程，从而更容易求得解的方法。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0，从而得到方程的解x = -2和x = -3。
2. 求极限在求函数极限的过程中，多项式的因式分解可以帮助我们简化表达式，从而更容易求得极限值。
例如，对于函数f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1)，我们可以将分子进行因式分解，得到f(x) = (x + 1)(x - 1)/(x - 1)，化简后得到f(x) = x + 1。
这样，我们可以更方便地求得函数f(x)的极限值。
因式分解定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式。
数字提供因式单项式多项式因式分解公式法：平方差，完全平方，十字相乘法分组分解下面各式的变形中，是否为因式分解，为什么？(1)x^2-y^2+1=(x+y)(x-y)+1 (2)(x-2)(x+1)=x^2-x-2(3)6x^2y^3=3xy.2xy^2意义：它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具。
因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用。
学习它，既可以复习的整式四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。
分解因式与整式乘法为相反变形错误！超链接引用无效。
因式分解的方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。
而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。
（实际上就是把见到的问题复杂化）注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)错误！超链接引用无效。
基本方法错误！超链接引用无效。
⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。
如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。
提出“-”号时，多项式的各项都要变号。
口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。
例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式错误！超链接引用无效。
⑵公式法如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。
A：平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；（嵌套考法）例题：x^(n+2)-2x^(n+1)+3x^n x^4-16 x^4+16(难)4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2(c^2-a^2-b^2)^2-4a^2b^2 (x^2-b^2+y^2-a^2)^2-4(ab-xy)^2 B:完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2；注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
例题：(x^2-2x)^2+2x(x-1)+1关于完全平方公式的应用：例题1/9x^4+mx^2y+16y^2是一个完全平方式求m的值特殊方法：如果告诉你一个式子是完全平方式，那么中间项的系数的平方等于4倍两个二次式的乘积。
立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3．立方和，立方差，完全平方公式在中考中有可能出现，这是高中必须掌握的公式！错误！超链接引用无效。
(3)十字相乘法（又称p，q法）这种方法有两种情况。
①x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解（称为p,q法）这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和。
因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解：x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．②kx^2+mx+n型的式子的因式分解如果有k=ac，n=bd，且有ad+bc=m时，那么kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d)．例题：a^4-8a^2+16 m^2-3mn+2n^2 x^2+4xy+3y^23x^4+6x^2-9(4)分组分解法：分组的原则：把各项适当分组，先使因式分解能分组进行，再使因式分解在各组之间进行，并且一直进行到底。
分组分解法德情况：（1）分组后能直接提公因式。
（2）分组后能直接运用公式（包括上面6个公式）。
例题x^2-y^2-z^2+2yz x^2-4ax+8ab-4b^2(5)因式分解的应用：用于求参数的范围。
例题1.设x^3+4x^2+mx-10是x-2的倍数，求m的值？2.若x^3+ax^2+2x+b是（x+1）^2的倍式，求a-b之值？（整式除法运算，与最高项系数相同除起走）3.设6x^3+ax^2-13x-b为x+1与2x-3的倍式，求a,b之值？因式分解的一般步骤：不等式应用题模型一：原材料问题1,某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用者两种原料生产A,B两种产品共50件。
已知生产一件A种产品需用甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获得利润700元；生产一件B种产品，需要甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利润120元。
（1）按要求安排A,B两种产品的生产件数，有哪几种方案？（2）设生产两种产品获总利润为y元，其中一种产品件数为x，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明(1)中那种生产方案总利润最大？最大利润是多少？2.某地为促进特种水产养殖的发展，决定对甲鱼和黄鳝的养殖提供政府补贴。
该地区某农户在改建10个I亩大小的水池里分别养殖甲鱼和黄鳝，因资金有限，投入不能超过14万元，并不希望获得低于10.8万元的收益，相关信息如下表所示：（收益=毛利润-成本+政府补贴）(1)根据以上信息，该农户可以怎么安排养殖？(2)应该怎么样安排养殖，可获得最大收益？(3)据市场调查，在养殖成本不变的情况下，黄鳝的毛利润相对稳定，而每亩甲鱼的毛利润将减少m万元。
问该农户又该如何安排养殖，才能获得最大利润？模型二调度问题必须满足的条件（1）八字型（2）输入=输出模型图标：例题：1,A市与B市分别有库存某种机器12台和6台，现决定支C市10台和D市8台，已知从A市调运到C市,D市的运费每台400元和800元，从B市调运到C市，D市每台300元和500元。
（1）设B市运往C市机器x台，求运费W关于x的函数关系？（2）若总运费不超过9千元，问有几种调运方案？（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少元？2.我市某乡A,B两村盛产柑橘，A村有柑橘200吨，B村有柑橘300吨，先将这些柑橘运到C.D两个冷藏仓库，已知C仓库可储存240吨，D仓库可存储260吨从A村运往C.D两处的运费为每吨20元和25元，从B村运往C.D两处的运费分别为每吨15元和18元。
设从A村运往C仓库的柑橘重量为x吨，A，B两村运往两仓库的柑橘运输费用为yA元和yB元。
（1）请填写下表，并求出yA，yB与x之间的函数关系式;（2）试讨论A,B两村中，那个村的运费较少：（3）考虑到B村的经济承受能力，B村的柑橘运费不得超过4830元。
在这种情况下，请问怎样调运，才能使两村的运费之和最小？求出这个最小值。
模型三：其他不等式符号（>,<,/=,>=,<=）包括：二元一次方程组，不等式组1.(2009年牡丹江市)某冰箱厂为响应国家“家电下乡”号召，计划生产A、B两种型号的冰箱100台．经预算，两种冰箱全部售出后，可获得利润不低于 4.75万元，不高于4.8万元，两种型号的冰箱生产成本和售价如下表：（1）冰箱厂有哪几种生产方案？（2）该冰箱厂按哪种方案生产，才能使投入成本最少？“家电下乡”后农民买家电（冰箱、彩电、洗衣机）可享受13%的政府补贴，那么在这种方案下政府需补贴给农民多少元？（3）若按（2）中的方案生产，冰箱厂计划将获得的全部利润购买三种物品：体育器材、实验设备、办公用品支援某希望小学．其中体育器材至多买4套，体育器材每套6000元，实验设备每套3000元，办公用品每套1800元，把钱全部用尽且三种物品都购买的情况下，请你直接写出实验设备的买法共有多少种．2.(2009年齐齐哈尔市）某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？3. （2009襄樊市）为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A、B两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金1575万元．改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元．（1）改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？（2）若该县的A类学校不超过5所，则B类学校至少有多少所？（3）我市计划今年对该县A、B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元．请你通过计算求出有几种改造方案？。
