数学六年级培优题

数学六年级培优题

一、分数运算类。

1. 计算：(1)/(1×2)+(1)/(2×3)+(1)/(3×4)+·s+(1)/(99×100)

- 解析：

- 我们可以发现每一项都可以拆分成两个分数的差，如(1)/(n(n + 1))=(1)/(n)-(1)/(n + 1)。

- 所以原式=(1-(1)/(2))+((1)/(2)-(1)/(3))+((1)/(3)-(1)/(4))+·s+((1)/(99)-(1)/(100))。

- 去括号后可以发现中间项都相互抵消，只剩下首项1和末项-(1)/(100)，结果为1-(1)/(100)=(99)/(100)。

2. 计算：(3)/(2)-(5)/(6)+(7)/(12)-(9)/(20)+(11)/(30)-(13)/(42)+(15)/(56)

- 解析：

- 先将各项进行拆分，(3)/(2)=1+(1)/(2)，(5)/(6)=(1)/(2)+(1)/(3)，(7)/(12)=(1)/(3)+(1)/(4)，(9)/(20)=(1)/(4)+(1)/(5)，(11)/(30)=(1)/(5)+(1)/(6)，(13)/(42)=(1)/(6)+(1)/(7)，(15)/(56)=(1)/(7)+(1)/(8)。

- 原式=(1+(1)/(2))-((1)/(2)+(1)/(3))+((1)/(3)+(1)/(4))-((1)/(4)+(1)/(5))+((1)/(5)+(1)/(6))-((1)/(6)+(1)/(7))+((1)/(7)+(1)/(8))。

- 去括号后得到1+(1)/(2)-(1)/(2)-(1)/(3)+(1)/(3)+(1)/(4)-(1)/(4)-(1)/(5)+(1)/(5)+(1)/(6)-(1)/(6)-(1)/(7)+(1)/(7)+(1)/(8)=1+(1)/(8)=(9)/(8)。

二、比和比例类。

3. 已知a:b = 3:4，b:c = 5:6，求a:b:c。 - 解析：

- 因为a:b = 3:4 = 15:20（将前项和后项同时乘以5），b:c = 5:6=20:24（将前项和后项同时乘以4）。

- 所以a:b:c = 15:20:24。

4. 一个三角形的三个内角的度数比是1:2:3，这个三角形是什么三角形？

- 解析：

- 三角形内角和为180^∘。

- 设三个内角分别为x，2x，3x，则x + 2x+3x = 180^∘。

- 解得x = 30^∘，那么三个角分别为30^∘，2×30^∘=60^∘，3×30^∘=90^∘。

- 所以这个三角形是直角三角形。

三、百分数类。

5. 一件商品原价120元，先提价20%，再降价20%，现在的价格是多少元？

- 解析：

- 提价20%后价格为120×(1 + 20%)=120×1.2 = 144元。

- 再降价20%后的价格为144×(1 - 20%)=144×0.8 = 115.2元。

6. 某工厂有职工1200人，其中男职工占60%，后来又招进一批男职工，这时男职工占全厂职工总数的62.5%，新招进的男职工有多少人？

- 解析：

- 原来男职工人数为1200×60% = 720人，女职工人数为1200 - 720 = 480人。 - 设新招进男职工x人，则(720 + x)÷(1200 + x)=62.5%。

- 即(720+x)=(1200 + x)×0.625。

- 展开得720+x = 750+0.625x。

- 移项得x-0.625x=750 - 720。

- 解得x = 80人。

四、圆的相关类。

7. 一个圆的半径扩大3倍，它的面积扩大多少倍？

- 解析：

- 圆的面积公式为S=π r^2。

- 半径扩大3倍后变为3r，新面积S'=π(3r)^2=9π r^2。

- 原来面积是π r^2，所以面积扩大了9倍。

8. 一个半圆的直径是8厘米，求这个半圆的周长。

- 解析：

- 半圆的周长等于圆周长的一半加上直径。

- 圆的周长公式为C = π d（d为直径）。

- 圆周长的一半为(1)/(2)×π×8 = 4π厘米，直径为8厘米。

- 所以半圆的周长为4π+8≈4×3.14 + 8=12.56+8 = 20.56厘米。

五、圆柱和圆锥类。

9. 一个圆柱的底面半径是2厘米，高是5厘米，求它的侧面积。

- 解析： - 圆柱侧面积公式为S = 2π rh。

- 其中r = 2厘米，h = 5厘米。

- 所以侧面积S=2×π×2×5 = 20π≈20×3.14 = 62.8平方厘米。

10. 一个圆锥的底面半径是3厘米，高是4厘米，求它的体积。

- 解析：

- 圆锥体积公式为V=(1)/(3)π r^2h。

- 这里r = 3厘米，h = 4厘米。

- 所以体积V=(1)/(3)×π×3^2×4 = 12π≈12×3.14 = 37.68立方厘米。

六、工程问题类。

11. 一项工程，甲单独做10天完成，乙单独做15天完成，两人合作多少天可以完成？

- 解析：

- 把这项工程的工作量看作单位“1”。

- 甲的工作效率为(1)/(10)，乙的工作效率为(1)/(15)。

- 两人合作的工作效率为(1)/(10)+(1)/(15)=(3 + 2)/(30)=(1)/(6)。

- 根据工作时间=工作量÷工作效率，两人合作完成需要的时间为1÷(1)/(6)=6天。

12. 一项工程，甲、乙两队合作12天完成，甲队单独做20天完成，如果乙队单独做需要多少天完成？

- 解析：

- 设乙队单独做需要x天完成。 - 把这项工程的工作量看作单位“1”。

- 甲、乙两队合作的工作效率为(1)/(12)，甲队单独做的工作效率为(1)/(20)。

- 乙队的工作效率为(1)/(x)，则(1)/(20)+(1)/(x)=(1)/(12)。

- 移项得(1)/(x)=(1)/(12)-(1)/(20)=(5 - 3)/(60)=(1)/(30)。

- 所以x = 30天。

七、行程问题类。

13. 甲、乙两地相距300千米，一辆汽车从甲地开往乙地，速度是50千米/小时，行驶了3小时后，离乙地还有多少千米？

- 解析：

- 根据路程 = 速度×时间，汽车行驶的路程为50×3 = 150千米。

- 离乙地的距离为300 - 150 = 150千米。

14. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲的速度是6千米/小时，乙的速度是4千米/小时，经过3小时两人相遇，求A、B两地的距离。

- 解析：

- 根据路程 = 速度和×相遇时间。

- 甲、乙的速度和为6 + 4 = 10千米/小时。

- 经过3小时相遇，所以A、B两地的距离为10×3 = 30千米。

八、数的整除类。

15. 既能被2整除又能被3整除的最小三位数是多少？

- 解析： - 既能被2整除又能被3整除的数是6的倍数。

- 最小的三位数是100，100÷6 = 16·s·s4。

- 所以6的17倍是6×17 = 102，即既能被2整除又能被3整除的最小三位数是102。

16. 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余5，这个数最小是多少？

- 解析：

- 这个数加上2就能被5、6、7整除。

- 5、6、7的最小公倍数为5×6×7 = 210。

- 所以这个数最小是210 - 2 = 208。

九、几何图形组合类。

17. 一个长方形的长是12厘米，宽是8厘米，在这个长方形内画一个最大的半圆，求这个半圆的面积。

- 解析：

- 在这个长方形内画最大的半圆，半圆的直径应等于长方形的长12厘米。

- 所以半径r = 6厘米。

- 半圆的面积为(1)/(2)π r^2=(1)/(2)×π×6^2=18π≈18×3.14 = 56.52平方厘米。

18. 有一个正方形的边长为8厘米，在正方形内画一个最大的圆，再在圆内画一个最大的正方形，求这个小正方形的面积。

- 解析：

- 正方形内最大的圆的直径等于正方形的边长8厘米，半径为4厘米。

- 在圆内画最大的正方形，这个小正方形的对角线长等于圆的直径8厘米。 - 设小正方形的边长为a，根据勾股定理a^2+a^2=8^2，2a^2=64，a^2=32平方厘米。

十、平均数类。

19. 某班有40名学生，一次数学考试，有2名学生缺考，班级平均分为89分，缺考的两名学生补考后分别得99分和91分，这个班现在的平均分是多少？

- 解析：

- 40 - 2 = 38名学生的总分为38×89 = 3382分。

- 加上补考学生的分数后总分为3382+99 + 91=3572分。

- 现在班级的平均分是3572÷40 = 89.3分。

20. 一组数据10，12，14，16，18的平均数是14，如果再加入一个数x，平均数变为15，求x的值。

- 解析：

- 原来数据的总和为14×5 = 70。

- 加入x后数据总和为15×(5 + 1)=90。

- 则x = 90 - 70 = 20。