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09年中考数学一元二次方程及其应用

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第二课时 一元二次方程及其应用

【考点透析】

一元二次方程是初中数学的重点内容，也是各省市中考命题关注的热点，考查分数站总分值的8%，一方面以填空、选择的方式考察基础知识和基本技能；另一方面已解答题的形式来考察方程解的过程，探索方程与系数以及列方程解应用题问题，有的难度系数达到0.5左右。

【教学目标】

1、 了解一元二次方程的基本概念，理解一元二次方程的解法的基本思路及其与一元一次方程的联系，体会两者之间的相互比较和转化的思想方法。

2、 理解配方法的意义，会用直接开方法、分解因式法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程。

3、 了解一元二次方程的根的判别式，会用根的判别式判断一元二次方程的根的情况。

4、 会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解，能根据问题的实际意义检验所的结果是否合理。

【重难点】解一元二次方程的步骤和配方法解方程，

【学习过程】

（一）【课前热身】，请同学们根据题目进行练习。

1．方程3(1)0xx的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .

2．关于x的一元二次方程1(3)(1)30nnxnxn中，则一次项系数是 .

3．一元二次方程2230xx的根是 .

4．某地2005年外贸收入为2.5亿元，2007年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x，则可以列出方程为 .

5. 关于x的一元二次方程225250xxpp的一个根为1，则实数p=（ ）

A．4 B．0或2 C．1 D．1

（二）【考点链接】

1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数.

2. 一元二次方程的常用解法：

（1）直接开平方法：形如)0(2aax或)0()(2aabx的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.

（2）配方法：用配方法解一元二次方程02aocbxax的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2()xmn的形式，⑤如果是非负数，即0n，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n＜0，则原方程无解.

（3）公式法：一元二次方程20(0)axbxca的求根公式是

221,24(40)2bbacxbaca.

（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.

3．易错知识辨析：

（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0a.

（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.

（3）用配方法时二次项系数要化1.

（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.

（三）【典例精析】

例1 选用合适的方法解下列方程：

（1）)4(5)4(2xx； （2）xx4)1(2；

（3）22)21()3(xx； （4）31022xx.

例2 已知一元二次方程0437122mmmxxm）（有一个根为零，求m的值.

例3 用22长的铁丝，折成一个面积是30㎝2的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成面积是32㎝2的矩形呢？为什么？

（四）【中考演练】

1．方程 (5x－2) (x－7)＝9 (x－7)的解是_________.

2．已知2是关于x的方程23x2－2 a＝0的一个解，则2a－1的值是_________.

3．关于y的方程22320ypyp有一个根是2y，则关于x的方程23xp的解为_____.

4．下列方程中是一元二次方程的有（ ）

①9 x2=7 x ②32y=8 ③ 3y(y-1)=y(3y+1) ④ x2-2y+6=0

⑤ 2( x2+1)=10 ⑥ 24x-x-1=0

A． ①②③ B. ①③⑤ C. ①②⑤ D. ⑥①⑤

5. 一元二次方程(4x＋1)(2x－3)＝5x2＋1化成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)后a,b,c的值为（ ）

A．3，－10，－4 B. 3，－12，－2

C. 8，－10，－2 D. 8，－12，4 6．一元二次方程2x2－(m＋1)x＋1＝x (x－1) 化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为－1，则m的值为（ ）

A. －1 B. 1 C. －2 D. 2

7．解方程

(1) x2－5x－6＝0 ； (2) 3x2－4x－1＝0（用公式法）；

(3) 4x2－8x＋1＝0（用配方法）； （4）x222x+1=0．

8．某商店4月份销售额为50万元，第二季度的总销售额为182万元，若5、6两个月的月增长率相同，求月增长率．

课堂小结

作业设置:

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第八讲 一元二次方程及应用(2013-2014中考数学复习专题)

第八讲 一元二次方程及应用(2013-2014中考数学复习专题)

第八讲 一元二次方程及应用

【基础知识回顾】

一、 一元二次方程的定义：

1、一元二次方程：含有 个未知数，并且未知数最高次数是2的 方程

2、一元二次方程的一般形式： 其中二次项是 一次项是 ，

是常数项

【名师提醒：1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a≠0这一条件

2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正】

二、一元二次方程的常用解法：

1、直接开平方法：如果ax 2 =b 则X 2 = X1= X2=

2、配方法：解法步骤：①、化二次项系数为 即方程两边都 二次项系数,②、移项：把

项移到方程的 边

③、配方：方程两边都加上 把左边配成完全平方的形式

④、解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程

3、公式法：如果方程ax 2 +bx+c=0(a≠0) 满足b 2-4ac≥0，则方程的求根公式

为

4、因式分解法：一元二次方程化为一般形式后，如果左边能分解因式，即产生A.B=0的形式，则可将原方程化为两个 方程，即 、 从而得方程的两根

【名师提醒：一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用，较常用到的是 法和

法】

三、一元二次方程根的判别式

关于X的一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a≠0)根的情况由 决定，我们把它叫做一元二次方程根的判别式，一般用符号 表示

①当 时，方程有两个不等的实数根

2012年中考数学专题复习教学案6 一元二次方程及其应用

2012年中考数学专题复习教学案6 一元二次方程及其应用

1 课时6 一元二次方程及其应用

【课前热身】

1．方程xx2的解______________．

2. 如果2是一元二次方程x2＋bx＋2＝0的一个根，那么常数b的值为 ．

3．用配方法解方程2250xx时，原方程应变形为

A．2(1)6x B．2(2)9x C．2(1)6x D．2(2)9x

4．关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是( )

A．a<2 B．a>2 C．a<2且a≠1 D．a<－2

5.由于甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降．由原来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为x，则根据题意可列方程为 ．

【典例精析】

例1．已知关于x的方程260xkx的一个根为3x，则实数k的值为（ ）

A．1 B．1 C．2 D．2

例2．解方程：2420xx

例3．（1）、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？

（2）、（2011山东日照）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2011年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米，预计到2012年底三年共累计投资9.5亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．

(1)求每年市政府投资的增长率；

(2)若这两年内的建设成本不变，求到2012年底共建设了多少万平方米廉租房．

【迎考精炼】

1．一元二次方程0)5)(3(xx的两根分别为（ ）

2017年中考数学备考专题复习 一元二次方程(含解析)

2017年中考数学备考专题复习 一元二次方程(含解析)

一元二次方程

一、单选题（共15题；共30分）

1、（2016•江西）设α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则αβ的值是（ ）

A、2

B、1

C、﹣2

D、﹣1

2、（2016•金华）一元二次方程x2﹣3x﹣2=0的两根为x1 ， x2 ， 则下列结论正确的是（ ）

A、x1=﹣1，x2=2

B、x1=1，x2=﹣2

C、x1+x2=3

D、x1x2=2

3、（2016•福州）下列选项中，能使关于x的一元二次方程ax2﹣4x+c=0一定有实数根的是（ ）

A、a＞0

B、a=0

C、c＞0

D、c=0

4、（2016•荆门）若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（ ）

A、x1=0，x2=6

B、x1=1，x2=7

C、x1=1，x2=﹣7

D、x1=﹣1，x2=7

5、（2016•玉林）若一次函数y=mx+6的图象与反比例函数y= 在第一象限的图象有公共点，则有（ ）

A、mn≥﹣9

B、﹣9≤mn≤0

C、mn≥﹣4

D、﹣4≤mn≤0

6、（2016•玉林）关于x的一元二次方程：x2﹣4x﹣m2=0有两个实数根x1、x2 ， 则m2（ ）=（ ）

A、

B、-

C、4

D、﹣4

7、（2016•自贡）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）=0有实数根，则m的取值范围是（ ） A、m＞1

B、m＜1

C、m≥1

D、m≤1

8、（2016•大庆）若x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，设M=1﹣ac，N=（ax0+1）2 ， 则M与N的大小关系正确的为（ ）

A、M＞N

B、M=N

C、M＜N

D、不确定

9、（2016•呼和浩特）已知a≥2，m2﹣2am+2=0，n2﹣2an+2=0，则（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值是（ ）

2012年全国各地中考关于一元二次方程的综合题

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1．已知△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x 2－( 2k＋3 )x＋k 2＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边长为5．

（1）当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；

（2）当k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．

2．已知△ABC的三边长为a、b、c，关于x的方程x 2－2( a＋b )x＋c 2＋2ab＝0有两个相等的实数根，又sinA、sinB是关于x的方程( m＋5 )x 2－( 2m－5 )x＋m－8＝0的两个实数根．

（1）求m的值；

（2）若△ABC的外接圆面积为25π，求△ABC的内接正方形的边长．

3．已知关于x的方程x 2－( m＋n＋1)x＋m＝0（n≥0）的两个实数根为α、β，且α≤β．

（1）试用含有α、β的代数式表示m和n；

（2）求证：α≤1≤β；

（3）若点P（α，β）在△ABC的三条边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A（1，2），B（1 2 ，1），C（1，1），问是否存在点P，使m＋n＝ 5 4 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4．请阅读下列材料：

问题：已知方程x 2＋x－1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．

解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝ y 2 ．

把x＝ y 2 代入已知方程，得( y 2 )2＋ y 2 －1＝0．

化简，得y 2＋2y－4＝0．

故所求方程为y 2＋2y－4＝0．

这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）；

（1）已知方程x 2＋x－2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：___________________；

（2）已知关于x的一元二次方程ax 2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．