高考数学一轮复习专题2.8函数图像练习(含解析)

第八讲 函数图像

1．函数的图象

将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到了坐标平面上的一个点的坐标，当自变量取遍定义域A内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)用符号表述为{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数的图象．

2．描点法作图

方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．

3．图象变换

(1)平移变换

(2)对称变换

①y＝f(x)―――――→关于x轴对称y＝－f(x)；

②y＝f(x)―――――→关于y轴对称y＝f(－x)；

③y＝f(x)―――――→关于原点对称y＝－f(－x)；

④y＝ax (a>0且a≠1)―――――→关于y＝x对称y＝logax(a>0且a≠1)．

(3)伸缩变换

①把函数()yfx图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的w1倍得()yfx(0<<1)

②把函数()yfx图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的w1倍得()yfx(>1)

③把函数()yfx图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的w倍得()yfx(>1)

④把函数()yfx图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的w倍得()yfx(0<<1) 【套路秘籍】---千里之行始于足下

(4)翻折变换

①y＝f(x)――――――――――→保留x轴上方图象将x轴下方图象翻折上去y＝|f(x)|.

②y＝f(x)―――――――――――→保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称的图象y＝f(|x|)．

考向一 作图像

【例1】作出函数f(x)＝x2＋2x－3的图象，通过图象的变换分别画出函数y＝－f(x)，y＝f(－x)，y＝－f(－x)，y＝f(|x|)，y＝|f(x)|，y＝f(x＋1)，y＝f(x)＋1的图象，并说明各图象和函数f(x)图象的关系．

【答案】见解析

【解析】f(x)＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，y＝f(x)的图象是开口向上的抛物线，其顶点为(－1，－4)，与x轴的两个交点是(－3,0)，(1,0)，和y轴交点是(0，－3)，图象如图(1)，y＝－f(x)的图象如图(2)．两图象关于x轴对称．

各图象和y＝f(x)的图象关系如下：

(1)函数y＝f(－x)的图象与y＝f(x)的图象关于y轴对称；

(2)函数y＝－f(－x)的图象与y＝f(x)的图象关于原点对称；

(3)函数y＝f(|x|)＝ fx，x≥0，f－x，x<0，即在y轴上及其右侧图象与函数y＝f(x)图象相同，再将y轴右侧图象作y轴的对称图象可得x<0时的图象；

(4)函数y＝|f(x)|＝ fx，fx≥0，－fx，fx<0，即在x轴上及其上方的图象与函数y＝f(x)图象相同，再将x轴【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始

下方的图象作x轴的对称图象可得f(x)<0时的图象；

(5)函数y＝f(x＋1)的图象是将y＝f(x)的图象向左平移一个单位得到的；

(6)函数y＝f(x)＋1的图象是将y＝f(x)的图象向上平移一个单位得到的．

【举一反三】分别画出下列函数的图象：

(1)y＝|lg(x－1)| （2）y＝12|x| （3）y＝2x＋1－1 （4）(4)y＝2x－1x－1.

【答案】见解析

【解析】

(1)首先作出y＝lg x的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y＝lg(x－1)的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝|lg(x－1)|的图象，如图①所示(实线部分)．

(2)先作出y＝12x的图象，保留y＝12x图象中x≥0的部分，再作出y＝12x的图象中x>0部分关于y轴的【套路总结】

一．画函数图像的一般方法有：

（1）直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是基本函数或函数图像是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出．

（2）图像变换法：若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．

对于左、右平移变换，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减；但要注意加、减指的是自变量，否则不成立．

（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法，为了通过描少量点，就能得到比较准确的图像，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．

二．变换作图的技巧：

（1）图象变换时可抓住对称轴，零点，渐近线。在某一方向上他们会随着平移而进行相同方向的移动。先把握住这些关键要素的位置，有助于提高图象的精确性

（2）图象变换后要将一些关键点标出：如边界点，新的零点与极值点，与轴的交点等 y

对称部分，即得y＝12|x|的图象，如图②实线部分.

(3)y＝2x的图象向左平移1个单位得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y＝2x＋1－1的图象，如图③所示．

（4）∵y＝2＋1x－1，故函数的图象可由y＝1x的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图④所示．

考向二 函数图像的识别

【例2】函数y＝x2ln|x||x|的图象大致是( )

【答案】D

【解析】从题设提供的解析式中可以看出函数是偶函数，x≠0，且当x>0时，y＝xln x，y′＝1＋ln x，可知函数在区间0，1e上单调递减，在区间1e，＋∞上单调递增．由此可知应选D.

【举一反三】

1.函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为( )

【答案】D

【解析】f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2，2]是偶函数，又f(2)＝8－e2∈(0，1)，排除选项A，B；

设g(x)＝2x2－ex，x≥0，则g′(x)＝4x－ex.

又g′(0)＜0，g′(2)＞0，∴g(x)在(0，2)内至少存在一个极值点，∴f(x)＝2x2－e|x|在(0，2)内至少存在一个极值点，排除C，故选D.

2.函数y＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( ) 【套路总结】

1.函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；

(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．

2.抓住函数的性质，定性分析：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.

3.抓住函数的特征，定量计算：

从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.

【答案】C

【解析】令f(x)＝sin 2x1－cos x，定义域为{x|x≠2kπ，k∈Z}，又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)在定义域内为奇函数，图象关于原点对称，B不正确；又f(1)＝sin 21－cos 2>0，f(π)＝0，∴选项A，D不正确，只有选项C满足.

3.函数1sinln1xfxx的图像大致为（ ）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】由于0x，故排除A选项．1sinln1xfxfxx，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，排除C选项．12sinlnsinln303f，排除D选项，故选B．

4.函数lnxxxxeeyee的图象大致为（ ）

A．B．C．D．

【答案】C

5.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可以是( )

A．f(x)＝ln|x|x B．f(x)＝exx C．f(x)＝1x2－1 D．f(x)＝x－1x

【答案】A

【解析】由函数图象可知，函数f(x)为奇函数，应排除B，C.若函数为f(x)＝x－1x，则x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D.

考向三 函数图像研究函数性质

【例3】已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是________．(填序号)

①f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞)②f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)

③f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1,1)④f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)

【答案】 ③

【解析】 将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值，得f(x)＝ x2－2x，x≥0，－x2－2x，x<0，

画出函数f(x)的图象，如图，

观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．③正确，其余错误．

【举一反三】1.对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1)，给出如下三个命题：①f(x＋2)是偶函数；②f(x)在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f(x)没有最小值．其中正确的个数为( )

A．1 B．2 C．3 D．0

【答案】B

考向四 利用图像解不等式

【例4】设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式f（x）－f（－x）x<0的解集为________.

【答案】 (－1，0)∪(0，1)

【解析】 f(x)为奇函数，所以不等式f（x）－f（－x）x<0化为f（x）x<0，即xf(x)<0，f(x)的大致图象如图所示.所以xf(x)<0的解集为(－1，0)∪(0，1).

【举一反三】

1.函数f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式fxcos x<0的解集为________________．

【答案】 －π2，－1∪1，π2

【解析】 当x∈0，π2时，y＝cos x>0.当x∈π2，4时，y＝cos x<0.