三年级幻方题目

一、数阵图定义及分类：

定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.

数阵：是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.

二、解题方法：

解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：

第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；

第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；

第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．

三、幻方起源：

幻方也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，知识框架 数阵图与幻方 这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图：

987654321

我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们．

第 1 页 共 3 页 幻方与数阵

姓名

1、 根据表中数字排列规律，在空格中填上适当的数。

2、 根据图中直行数字的排列规律，在○内填上适合的数。

3、自然数按下面规律排列，第8行的第2个数是什么？28应该是第几行左起的第几个数。

1 2 3 4 5

10 9 8 7 6

11 12 13 14 15

20 19 18 17 16

…………………………

4、 在下面数阵中，第8行的第8个数是多少？

1

2 3

4 5 6

7 8 9 10

11 12 13 14 15

………………… 1 2 3 4 5

2 3 4 5

6

3 4 5 6

8 4 5

24 36

3 9 8 第 2 页 共 3 页 5、观察下面各题中数的变化规律，然后填上各题中所缺的数。

8 7 15

14 6

9 3 18

6、下面哪一项数字可以代替表格中的问号？

A 24

B 30

C 18

D 12

E 26

7、先找出图形中各数之间的规律，然后将空缺的数填上

5 30 6

4 28 7

3 8

6 2 5 7

8 3 17 7

9 2 17

7

7 4 10 ？

3 7

5

9

21 9 5 4

2 6

12

24 30 第 3 页 共 3 页

三年级奥数教程第12讲三阶幻方

三阶幻方就是将九个自然数填在3×3(三行三列)的正方形内，使每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数的和都相等．三阶幻方是一种特殊的数阵图．

例1、将1～9这九个数填入下图，使它成为一个三阶幻方．

图12-1

分析与解 1+2+„+8+9＝45．所以，每行、每列、每条对角线的三个数的和是15(＝45÷3)．

从1到9中，三个不同的数相加等于15，只可能是

9+5+1，9+4+2，

8+6+1，8+5+2，

8+4+3，7+6+2，

7+5+3．6+5+4

这八个式子．其中只有5出现四次，因此5一定在中心．在式子中出现三次的只有8、

6、4、2这四个数，因此这四个数应当在四个角上．从而将三阶幻方完成，如图

所示．

8 1 6

3 5 7

4 9 2

图12-2

说明 除了上图所示的答案外，如果8、6、4、2在四个角上的位置排得不同，9、7、3、1的位置也相应有所不同，那么还可以得到其他形式的三阶幻方．我们把这些只是形式不同而实质相同的结果看作是一个解，只要写出其中一个作为答案就可以了．

随堂练习1 用0到8这9个数构造一个三阶幻方．

例2、将1，3，5，7，„17填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方．

分析与解将图12—2中的1，2，3，„，9分别用1，3，5，„，17代替，得到图12—3．

它就是所求的三阶幻方，每行、每列、每条对角线上的和都是27．

15 1 11

5 9 13

7 17 3

图12-3

随堂练习2 将2，4，6，„，18填入3×3的方格中，使它成为一个三阶幻方．

例3、 如果l、4、7、10、13、16、19、22、25这9个数组成三阶幻方，那么每一行、每一列、每条对角线的和是多少?中央的那个数是多少?

第四讲 奇妙的幻方

专题解析：在3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等（这个相等的和叫做幻和），通常这样的图形叫做三阶幻方。

幻方实际上就是一种填数游戏，它不仅限于三阶，还有四阶、五阶，……，直到任意阶。

开心进入：1、把1－5这5个自然数，分别填入图2－4中五个圆圈内，使相交成十字的两条直线上三个数之和都等于9。问如何填法？

开心探究：

例1、请你将1～9这九个数字填在方格里，使每横行、每竖行和对角线上的三个数的和都相等。

小结：（1）幻和=九个数之和÷3

（2）幻和=中心数×3

（3）九个连续的自然数中，第五个数是中心数，第二、 四、六、八个数是四个角上的数。

（4）相邻边上两个中间数的平均数=对角上的数

例2、将7～15九个数填入左图空格中使每横行、纵列、对角线的和都相等。

练一练：将10～18九个数填入左图空格中使每横行、纵列、对角线的和都相等。

例3、请你编出一个三阶幻方，使其幻和为24。

例4、在3×3的阵列中，第一行第三列的位置上填5，第二行第一列的位置上填6，如图9。请你在其他方格中填上适当的数，使方阵横、纵、斜三个方向的三个数之和均为36。

练一练：请你编出一个三阶幻方，使其幻和为45。

例5、根据所给数字，完成下面三阶幻方。

小结：要填出一个三阶幻方，中心数起着至关重要的作用。利用幻和=中心数×3这个关系式，在已知幻和的情况下，可先求出中心数；在已知中心数的情况下，可求出幻和，以便其他数的求出。

练一练：下图每行每列，对角线的和都是18，请填出空格中的数。

课后练习： 一、体验成功

1、用1～9这九个数字补全图12中的幻方，并求出幻和。

2、将2～10这九个数分别填入3×3的方格中，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都相等。

3、将从1开始的九个连续奇数填入3行3列的九个空格中，使每一横行、每一竖列及两条对角线上的三个数之和都相等。