第四章 4.1.2 圆的一般方程
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4.1.2 圆的一般方程
学习目标 1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.
知识点 圆的一般方程
1.圆的一般方程
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程.
2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
条件
图形
D2＋E2－4F<0 不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0 表示一个点－D2，－E2
D2＋E2－4F>0 表示以－D2，－E2为圆心，以D2＋E2－4F2为半径的圆
1.圆的一般方程可以化为圆的标准方程.( √ )
2.二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程.( × )
3.若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.( √ )
4.任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程.( √ )
题型一 圆的一般方程的理解
例1 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径.
考点 圆的一般方程
题点 由圆的一般方程求圆心、半径
解 由表示圆的条件， 得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
解得m<15，
即实数m的取值范围为－∞，15.
圆心坐标为(－m,1)，半径为1－5m.
反思感悟 形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法
(1)由圆的一般方程的定义，令D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆.
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.
应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.
跟踪训练1 (1)若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是( )
A.m<12 B.m>12
C.m<0 D.m≤12
考点
题点
答案 A
解析 因为x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，
则1＋1－4m>0，所以m<12.
(2)圆x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的半径和圆心坐标分别为( )
A.r＝1，(－2,1) B.r＝2，(－2,1)
C.r＝2，(2，－1) D.r＝1，(2，－1)
考点 圆的一般方程
题点 由圆的一般方程求圆心、半径
答案 D
解析 x2＋y2－4x＋2y＋4＝0可化为
(x－2)2＋(y＋1)2＝1，
所以半径和圆心分别为r＝1，(2，－1).
题型二 求圆的一般方程 例2 已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1).
(1)求△ABC的外接圆的一般方程；
(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值.
考点 圆的一般方程
题点 圆的一般方程的简单应用
解 (1)设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意，得 22＋22＋2D＋2E＋F＝0，52＋32＋5D＋3E＋F＝0，32＋－12＋3D－E＋F＝0，
解得 D＝－8，E＝－2，F＝12.
即△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
(2)由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，
∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上，
∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，
即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或6.
引申探究
若本例中将“点C(3，－1)”改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线y＝－x对称”，其他条件不变，如何求圆C的方程？
解 ∵kAB＝3－25－2＝13，AB的中点坐标为72，52，
∵AB的垂直平分线方程为y－52＝－3x－72.
联立 y＝－x，y－52＝－3x－72，得 x＝132，y＝－132，
即圆心C的坐标为132，－132，
r＝ 132－22＋－132－22＝ 3702，
∴圆C的方程为x－1322＋y＋1322＝1852.
反思感悟 应用待定系数法求圆的方程时应注意 (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
跟踪训练2 已知一圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为43，求圆的方程.
考点 圆的一般方程
题点 圆的一般方程的简单应用
解 方法一 (待定系数法)
设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将P，Q的坐标分别代入上式，
得 4D－2E＋F＋20＝0， ①D－3E－F－10＝0. ②
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，③
由已知得|y1－y2|＝43，其中y1，y2是方程③的根，
∴|y1－y2|2＝(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.④
联立①②④解得
D＝－2，E＝0，F＝－12或 D＝－10，E＝－8，F＝4.
故圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
方法二 (几何法)
由题意得线段PQ的垂直平分线方程为x－y－1＝0，
∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上，
设其坐标为(a，a－1).
又圆C的半径长
r＝|CP|＝a－42＋a＋12. (*)
由已知得圆C截y轴所得的线段长为43，而圆心C到y轴的距离为|a|，
∴r2＝a2＋4322，
代入(*)式整理得a2－6a＋5＝0， 解得a1＝1，a2＝5，
∴r1＝13，r2＝37.
故圆的方程为(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37.
求动点的轨迹方程
典例 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，点B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.
考点 与圆有关的轨迹问题
题点 有关点的轨迹的其他问题
解 (1)设线段AP的中点M的坐标为(x，y)，P的坐标为(x0，y0)，
∵ x＝2＋x02，y＝0＋y02，∴ x0＝2x－2，y0＝2y.
又P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，
∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，∴(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
[素养评析] (1)求与圆有关的轨迹问题的方程
①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.
②定义法：根据圆、直线等定义列方程.
③代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.
(2)理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，是数学运算的数学核心素养的体现.
1.圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为( )
A.(4，－6)，16 B.(2，－3)，4
C.(－2,3)，4 D.(2，－3)，16
考点 圆的一般方程
题点 由圆的一般方程求圆心、半径
答案 C
2.已知圆的方程是x2＋y2－2x＋6y＋8＝0，那么经过圆心的一条直线的方程是( )
A.2x－y＋1＝0 B.2x＋y＋1＝0
C.2x－y－1＝0 D.2x＋y－1＝0
考点 圆的一般方程
题点 圆的一般方程的简单应用
答案 B
解析 圆心坐标为(1，－3)，检验知2x＋y＋1＝0过圆心(1，－3).
3.圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为( )
A.8π B.4π
C.2π D.π
考点 圆的一般方程
题点 圆的一般方程的简单应用
答案 C
解析 原方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝2，
∴半径r＝2，∴圆的面积为S＝πr2＝2π.
4.若点M(3,0)是圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0内一点，则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是( )
A.x＋y－3＝0 B.x－y－3＝0
C.2x－y－6＝0 D.2x＋y－6＝0
考点 圆的一般方程
题点 圆的一般方程的简单应用
答案 C
解析 圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0的圆心坐标为(4,2)，则过点M(3,0)且过圆心(4,2)的弦最长.由k＝2－04－3＝2，可知C正确.
5.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程.
考点 与圆有关的轨迹问题
题点 有关点的轨迹的其他问题
解 设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点，所以4＝x0＋x2，3＝y0＋y2，
于是有x0＝8－x ，y0＝6－y.①
因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，
所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，
即(x0＋1)2＋y20＝4，②
把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，
整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4.
所以点B的轨迹方程为(x－9)2＋(y－6)2＝4.
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是圆的另一种表示形式，其隐含着D2＋E2－4F>0，同圆的标准方程类似，求圆的一般式方程也需要三个独立的条件.
求轨迹的方法很多，注意合理选取，在求与圆有关的轨迹时，注意充分利用圆的性质.
一、选择题
1.若圆的一般方程为x2＋y2＋6x＋6＝0，则该圆的圆心和半径分别是( )
A.(1,1)，3 B.(1,2)，3
C.(3,0)，3 D.(－3,0)，3
考点 圆的一般方程
题点 由圆的一般方程求圆心、半径
