新疆2020年普通高考第二次适应性检测理科数学

新疆维吾尔自治区2020年普通高考第二次适应性检测

理科数学

（卷面分值：150分；考试时间：120分钟）

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.

3.回答笫Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集UR，1Axx，1Bxx，则集合UCABU（ ）

A.1xx B.1xx C.11xx D.11xx

2.设复数z满足11ziz，则z的虚部为（ ）

A.2i B.2 C.i D.-1

3.在等差数列na中，12018a，其前n项和为nS，若121056120SS，则2020S（ ）

A.-4040 B.-2020 C.2020 D.4040

4.设M是ABC△所在平面上的一点，33022MBMAMCuuuruuuruuuur，D是AC的中点，tMBDMuuuruuuur，则实数t的值为（ ）

A.12 B.13 C.2 D.1

5.将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，其中一个路口3人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有（ ）

A.18种 B.24种 C.36种 D.72种

6.如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD中，点P在正方体表面上移动，且满足11BPBD，则点1B和动点P的轨迹形成的图形的周长是（ ）

A.32 B.42 C.33 D.43

7.下列命题中不正确命题的个数是（ ）

①已知a，b是实数，则“1133ab”是“33loglogab”的充分而不必要条件；

②,0x，使23xx；

③若2020220200122020(2)(2)(2)xaaxaxaxL，则2019120202a；

④若角的终边在第一象限，则sincos22sincos22的取值集合为2,2.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

8.《九章算术》有如下问题：“今有金棰，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？意思是：“现在有一根金棰，长五尺，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”假设金棰由粗到细各尺重量依次成等比数列，则从粗端开始的第三尺的重量是（ ）

A.22斤 B.322斤 C.422斤 D.3斤

9.甲、乙、丙三人中，一人是董事长，一人是总经理，一人是秘书，已知：丙的年龄比秘书的大，甲的年龄和总经理不同；总经理的年龄比乙小，根据以上情况，下列判断正确的是（ ）

A.甲是董事长，乙是秘书，丙是总经理 B.甲是秘书，乙是总经理，丙是董事长

C.甲是秘书，乙是董事长，丙是总经理 D.甲是总经理，乙是秘书，丙是董事长

10.已知函数cos2fxxR，若3fxfx且2ff，则函数fx取得最大值时x的可能值为（ ）

A.23 B.6 C.3 D.2 11.如图，已知双曲线2222:10,0xyEabab的左、右焦点分别为1F，2F，126FF，P是双曲线E右支上一点，1PF与y轴交于点A，2PAF△的内切圆与2AF相切于点Q.若3AQ，则双曲线E的离心率是（ ）

A.3 B.2 C.5 D.23

12.已知函数33fxxx，0,2x，函数24gxxxa，若对于任意10,2x，总存在00,2x，使得01gxfx成立，则a的值为（ ）

A.-1 B.1 C.-2 D.2

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.随机变量2~2,XN，且020.3PX，4PX____________.

14.在ABC△中，45C，4AB，D为BC边上的点，且13AD，3BD，则AC________.

15.已知三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，6AB，6SASBSC，则三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离是_______________.

16.已知椭圆22143xy的一条弦为AB，点P的坐标为0,1，且230OAOBOPuuuruuuruuur，则弦AB的中点到直线14y的距离为_________________.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

设ABC△的内角,,ABC所对的边长分别为,,abc且cos1aB，sin2bA.

（Ⅰ）求sinAC和边长a； （Ⅱ）当22bc取最小值时，求ABC△的面积.

18.（本小题满分12分）

如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为平行四边形，PA底面ABCD，60ABC，3AB，23AD，3AP.

（Ⅰ）求证：平面PCA平面PCD；

（Ⅱ）若E是侧棱PC上的一点，且BE与底面ABCD所成的是为45°，求二面角BAED的余弦值.

19.（本小题满分12分）

目前，我国老年人口比例不断上升，造成日趋严峻的人口老龄化问题.2019年10月12日，北京市老龄办、市老龄协会联合北京师范大学中国公益研究院发布《北京市老龄事业发展报告（2018）》，相关数据有如下图表.规定年龄在15岁至59岁为“劳动年龄”，具备劳动力，60岁及以上年龄为“老年人”，据统计，2018年底北京市每2.4名劳动力抚养1名老年人.

（Ⅰ）请根据上述图表计算北京市2018年户籍总人口数和北京市2018年的劳动力数；（保留两位小数） （Ⅱ）从2014年起，北京市老龄人口与年份呈线性关系，比照2018年户籍老年人人口年龄构成，预计到2020年年底，北京市90以上老人达到多少人？（精确到1人）

（附：对于一组数据1122,,,,,,nnuvuvuvLL其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：1221ˆniiiniiuvnuvunu，ˆˆvu.227，62111.0218.98224.78124.8）

20.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，直线:1ly与抛物线2:20Cypxp交于M，抛物线C的焦点为F，且1MF.

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）设点Q是抛物线C上的动点，点D，E在y轴上，圆2211xy内切于QDE△，求QDE△的面积的最小值.

21.（本小题满分12分）

已知函数xfxe，xR，21lngxxx.

（Ⅰ）求函数gx的导函数gx的零点个数；

（Ⅱ）若0,x时，12axfaxgx恒成立，求实数a的取值范围.

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲.

平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为32xsys（s为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2222cos，R，直线与曲线C交于A，B两点.

（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）已知点P的极坐标为2,24，求PAPB的值.

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲. 已知函数0,0fxxaxbab.

（Ⅰ）若1ab时，解不等式2fxx；

（Ⅱ）若fx的值域是4,，若1111kab恒成立，求k的最大值.

2020年普通高考第二次适应性检测

理科数学 参考答案

一、选择题

1.D 2.D 3.C 4.B 5.C 6.A 7.B 8.A 9.C 10.B 11.A 12.D

二、填空题

13. 0.2 14.26 15.3 16. 1

三、解答题

17.解：（Ⅰ）由正弦定理及cos1aB与 sin2ba得：

2sincos1RAB，2sinsin2RBA（R是ABC△的外接圆半径）

两式相除，得1cos2sinBB，…………………………2分

设cosBk，sin2Bk

∵B是ABC△的内角，∴sin00Bk

∵22sincos1BB，∴55k

∴5cos5B，25sin5B，……………………4分

将5cos5B代入cos1aB，得5a，

∴25sinsinsin5ACBB.…………………………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）及余弦定理知22222cos52bacacBcc

∴22221992252222bcccc……………………8分

当且仅当12c时，22bc取得最小值92. ∴111251sin522252ABCSacB△

∴22bc最小时ABC△的面积为12………………………………12分

18.解：（Ⅰ）在平行四边形ABCD中，60ADC，3CD，23AD

由余弦定理得

2222cos1232233cos609ACADCDADCDADC

∴222ACCDAD，∴90ACDACCD……………………2分

又PA底面ABCD，CD底面ABCD.∴PACD

又ACAPAI ∴CD平面PCA

又CD平面PCD ∴平面PCA平面PCD……………………4分

（Ⅱ）如图，以A为坐标原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.则0,0,0A，3,0,0B，0,3,0C，3,3,0D，0,0,3P

设PEPCuuuruuur，01

∵0,3,3PCuuur，0,3,3PEuuur

又∵3,0,3BPuuur

∴3,3,33BEBPPEuuuruuuruuur

又平面ABCD的一个法向量为0,0,1nr

∴22332cos,2||||3933BEnBEnBEnuuurruuurruuurr

∴13即13PEPCuuuruuur