【配套K12】[学习](江苏专用版 )2018-2019学年高中数学 阶段综合测评2 苏教版选修4-

常州市第一中学2018--2019学年期初考试高二数学试题（考试时间120分钟 满分160分）一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上)1．函数3sin(2)4y x π=+的最小正周期为 .2．不等式1021x x +≤-的解集为 . 3．在等比数列{}n a 中, 416a =-，61a =-，则5a 的值为 . 4．已知向量(1,1)a =,(2,)b x =，若()a b a +⊥，则实数x ＝ . 5．函数1ln(2)y x =-的定义域为 .6．已知直线1:240l x y +-=与 2:(2)10l mx m y ++-=平行，则实数m ＝ . 7．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2．若a k a k ＋1＜0，则正整数k ＝ ． 8．已知两正数x ，y 满足x ＋4y ＝1，则11xy+的最小值为 . 9．若变量x ，y 满足约束条件1020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩,则2z x y =+的最小值为 .10．已知直线20kx y -+=与圆O ：224x y +=相交于,A B 两点，若点M 在圆O 上，且有OM OA OB =+，则实数k ＝ .11．已知函数lg (010)()16(10)2x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c⋅⋅的取值范围是 .12．若钝角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长度之比为m ，则m 的取值范围是 ． 13．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线x y x b =+的距离为1，则b 的取值范围是 .14．已知函数2()44f x x x =++，若存在实数t ，当[4,]x m ∈时，()f x t x +≤恒成立，则实数m 的最大值为 .二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，设(3,1)m =，(1cos ,sin )n A A =+．(1)当3A π=时，求||n 的值；(2)若1,a c ==m n ⋅取最大值时，求b ．16．在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥平面PAD ， PD ＝AD ，AB ＝2DC ，E 是PB 的中点． 求证：(1)CE ∥平面PAD ； (2)CE ⊥平面PAB ．17．已知圆O ：224x y +=．(1)设直线l ：10x y +-=，求直线l 被圆O 截得的弦长；(2)设圆O 和x 轴相交于A ，B 两点，点P 为圆O 上不同于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 交直线3x = 于D ，E 两点．当点P 变化时，以DE 为直径的圆C 是否经过定点？请证明你的结论；18．某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ(弧度). (1)求θ关于x 的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？(扇形的弧长公式：l r θ=⋅；扇形的面积公式：21122S l r r θ=⋅=⋅)19．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”.(1)已知二次函数2()24f x ax x a =+-，a R ∈，试判断()f x 是否为“局部奇函数”，并说明理由；(2)若()2x f x m =+是定义在区间[1,1]-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围； (3)若12()423x x f x m m +=-⋅+-为定义在R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围.20．已知数列{}n a 满足15(1)2n n n n a a +++-=*(N )n ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ． (1)求13a a +的值； (2)若1532a a a +=．① 求证：数列{}2n a 为等差数列； ② 求满足224p m S S =*(N )p m ∈，的所有数对()p m ，．常州市第一中学2018--2019学年期初考试高二数学试题答案（考试时间120分钟 满分160分）一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．) 1．函数3sin(2)4y x π=+的最小正周期为 .π2．不等式1021x x +≤-的解集为 .1[1,)2-3．在等比数列{}n a 中, 416a =-，61a =-，则5a 的值为 .4± 4．已知向量(1,1)a =,(2,)b x =，若()a b a +⊥，则实数x ＝ .4- 5．函数1ln(2)y x =-的定义域为 .(2,3)∪(3,＋∞)6．已知直线1:240l x y +-=与 2:(2)10l mx m y ++-=平行，则实数m ＝ .2 7．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2．若a k a k ＋1＜0，则正整数k ＝ ．23 8．已知两正数x ，y 满足x ＋4y ＝1，则11xy+的最小值为 .9 9．若变量x ，y 满足约束条件1020y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩,则2z x y =+的最小值为 .－110．已知直线20kx y -+=与圆O ：224x y +=相交于,A B 两点，若点M 在圆O 上，且有OM OA OB =+，则实数k ＝.11．已知函数lg (010)()16(10)2x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则a b c⋅⋅的取值范围是 .(10,12)12．若钝角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长度之比为m ，则m 的取值范围是 ．(2,)+∞ 13．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线x y x b =+的距离为1，则b 的取值范围是.(3]-14．已知函数2()44f x x x =++，若存在实数t ，当[4,]x m ∈时，()f x t x +≤恒成立，则实数m的最大值为 .9二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，设(3,1)m =，(1cos ,sin )n A A =+．(1)当3A π=时，求||n 的值；(2)若1,a c ==m n ⋅取最大值时，求b ．16．在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥平面PAD ， PD ＝AD ，AB ＝2DC ，E 是PB 的中点．求证：(1)CE ∥平面PAD ； (2)CE ⊥平面PAB ． 【证】（1）取PA 的中点F ，连EF ，DF ．…… 2分因为E 是PB 的中点，所以EF // AB ，且12EF AB =．因为AB ∥CD ，AB ＝2DC ，所以EF ∥CD ，……………… 4分EF CD =，于是四边形DCEF 是平行四边形，从而CE ∥DF ，而CE ⊄平面PAD ，DF ⊂平面PAD ，故CE ∥平面PAD ． …………………… 7分 （2）（接（1）中方法1）因为PD ＝AD ，且F 是PA 的中点，所以DF PA ⊥．因为AB ⊥平面PAD ，DF ⊂平面PAD ，所以DF AB ⊥．… 10分因为CE ∥DF ，所以CE PA ⊥，CE AB ⊥． 因为PAAB ⊂，平面PAB ，PA AB A =，所以CE ⊥平面PAB ．因为CE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PAB ． …… 14分17．已知圆O ：224x y +=．(1)设直线l ：10x y +-=，求直线l 被圆O 截得的弦长；(2)设圆O 和x 轴相交于A ，B 两点，点P 为圆O 上不同于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 交直线3x = 于D ，E 两点．当点P 变化时，以DE 为直径的圆C 是否经过定点？请证明你的结论；解：(318．某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ(弧度).(1)求θ关于x 的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时，y 取得最大值？(扇形的弧长公式：l r θ=⋅；扇形的面积公式：21122S l r r θ=⋅=⋅) 解：(1)设扇环的圆心角为，则()30102(10)x x θ=++-，所以10210xxθ+=+，…………………………5分 (2) 花坛的面积为2221(10)(5)(10)550,(010)2x x x x x x θ-=+-=-++<<．………7分 装饰总费用为()9108(10)17010x x x θ++-=+， ………………………………………10分所以花坛的面积与装饰总费用的比22550550==1701010(17)x x x x y x x -++---++， …………………12分令17t x =+，则3913243()101010y t t =-+≤，当且仅当t =18时取等号，此时121,11x θ==． 答：当1x =时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．……………………………………16分19．对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”.(1)已知二次函数2()24f x ax x a =+-，a R ∈，试判断()f x 是否为“局部奇函数”，并说明理由；(2)若()2x f x m =+是定义在区间[1,1]-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围； (3)若12()423x x f x m m +=-⋅+-为定义在R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围.20．已知数列{}n a 满足15(1)2n n n n a a +++-=*(N )n ∈，数列{}n a 的前n 项和为n S ． (1)求13a a +的值； (2)若1532a a a +=．① 求证：数列{}2n a 为等差数列； ② 求满足224p m S S =*(N )p m ∈，的所有数对()p m ，．精品K12教育教学资料精品K12教育教学资料 【解】(1)由条件，得2132372a a a a -=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②，②得 1312a a +=．……………………… 3分 (2)①证明：因为15(1)2n n n n a a +++-=，所以221212242252n n n n n a a n a a -++⎧-=⎪⎨+⎪+=⎩③④， ④③得 212112n n a a -++=， ……………………………………………… 6分 于是13353111()()422a a a a a =+=+++=， 所以314a =，从而114a =． ……………………………………………… 8分 所以121231111()(1)()0444n n n a a a ----=--==--=L ， 所以2114n a -=，将其代入③式，得294n a n =+， 所以2(1)21n n a a +-=（常数），所以数列{}2n a 为等差数列．……………… 10分 ②注意到121n a a +=，所以2122n n S a a a =+++L 2345221()()()n n a a a a a a +=++++++L2125322nk k n n =+==+∑， 由224p m S S =知()2234322p m p m +=+． 所以22(26)(3)27m p +=++，即(29)(23)27m p m p ++-+=，又*p m ∈N ，，所以2912m p ++≥且2923m p m p ++-+，均为正整数， 所以2927231m p m p ++=⎧⎨-+=⎩，解得104p m ==，，所以所求数对为(104)，．………………………………………………… 16分。

模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若sin ,则cos α=()A.-B.-C.D.α=1-2sin2=1-2×.故选C.2.若tan(α-3π)>0,sin(-α+π)<0,则α是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角tan α>0,sin α<0,∴α是第三象限角.3.函数f(x)=sin的图象的对称轴方程可以为()A.x=B.x=C.x=D.x=2x+=kπ+(k∈Z),得x=(k∈Z).当k=0时,x=.4.当cos 2α=时,sin4α+cos4α的值是()A.1B.C.D.4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α=1-sin22α=1-×(1-cos22α)=.5.已知a=,b=,c=a+k b,d=a-b,c与d的夹角是,则k的值为()A.-B.-3C.-3或-D.-1=,d=(0,1).cos,解得k=-3或-.6.如图,在直角三角形PBO中,∠PBO=90°,以O为圆心,OB为半径作圆弧交OP于A点,若等分△PBO 的面积,且∠AOB=α,则()A.tan α=αB.tan α=2αC.sin α=2cos αD.2sin α=cos αr,则扇形的面积为αr2,直角三角形PBO中,PB=r tan α,△PBO的面积为r×r tan α,由题意得r×r tan α=2×αr2,∴tan α=2α,故选B.7.已知函数y=A sin(ωx+φ)+m(A>0)的最大值为4,最小值为0,最小正周期为,直线x=是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的函数解析式是()A.y=4sinB.y=2sin+2C.y=2sin+2D.y=2sin+2得A=2,m=2.又∵T=,∴ω==4,∴ωx+φ=4x+φ.∵x=是其一条对称轴,∴π+φ=kπ+(k∈Z),∴φ=kπ-π.当k=1时,φ=,∴y=2sin+2.8.已知向量=(2,0),=(0,2),=(cos θ,sin θ),则||的取值范围是()A.[1,2]B.[2,4]C.[2-1,2+1]D.[2,2+1],=(2-cos θ,-2-sin θ),所以||=∈[],即||∈[2-1,2+1].9.已知函数f(x)=A sin,x∈R,A>0,y=f(x)的部分图象如图,P,Q分别为该图象的最高点和最低点,点P的横坐标为1.若点R的坐标为(1,0),∠PRQ=,则A=()A. B.2 C.1 D.2f(x)的周期为T==6,∴Q(4,-A).又∠PRQ=,∴直线RQ的倾斜角为,∴=-,A=.10.已知点A,B,C是直线l上不同的三个点,点O不在l上,则关于实数x的方程x2+x=0的解集为()A.⌀B.{-1}C. D.{-1,0},又,则存在实数λ,使=λ,则=λ()=λ-λ,所以有λ-λ=0,由于不共线,又x2+x=0,所以由于是任意非零向量,则实数λ是任意实数,则等式λ2=λ不一定成立,所以关于x的方程x2+x=0的解集为⌀.11.已知cos α=,cos(α+β)=-,且α,β∈,则cos(α-β)=()A.-B.C.-D.α∈,所以2α∈(0,π).因为cos α=,所以cos 2α=2cos2α-1=-,所以sin 2α=.又α,β∈,所以α+β∈(0,π),所以sin(α+β)=,所以cos(α-β)=cos[2α-(α+β)]=cos 2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)=.12.已知∠A1,∠A2,…,∠A n为凸多边形的内角,且lg sin A1+lg sin A2+…+lg sin A n=0,则这个多边形是()A.正六边形B.梯形C.矩形D.含锐角的菱形A1+lg sin A2+…+lg sin A n=lg(sin A1sin A2…sin A n)=0,则sin A1sin A2…sin A n=1,又∠A1,∠A2,…,∠A n为凸多边形的内角,则∠A1,∠A2,…,∠A n∈(0,π),则0<sin A1≤1,0<sin A2≤1,…,0<sin A n≤1,则sin A1sin A2…sin A n≤1,所以sin A1=sin A2=…=sin A n=1,所以∠A1=∠A2=…=∠A n=,则∠A1+∠A2+…+∠A n==(n-2)π,解得n=4,即这个多边形是矩形.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知(sin x-2cos x)(3+2sin x+2cos x)=0,则的值为.3+2sin x+2cos x=3+2sin≥3-2,∴3+2sin x+2cos x≠0,∴sin x-2cos x=0,sin x=2cos x,∴(2cos x)2+cos2x=1,cos2x=.∴==2cos2x=.14.函数y=3-的定义域为.2cos≥0,得2kπ-≤3x+≤2kπ+(k∈Z),即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).(k∈Z)15.已知tan=2,则的值为.tan=2,得tan x=,∴.16.已知a1+a2+…+a2 015=0,且a n=(3,4)(1≤n≤2 010,n∈N*),则a1+a2+…+a n-1+a n+1+…+a2 015的模为.a1+a2+…+a n-1+a n+1+…+a2 015=-a n=(-3,-4),所以所求模为5.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知sin+sin.(1)求sin α的值;(2)求的值.∵sin+sin,∴sin α=.∴sin α=.(2)∵=,∴原式=.18.(12分)已知电流I与时间t的关系式为I=A sin(ωt+φ).(1)如图是I=A sin(ωt+φ)在一个周期内的图象,根据图中数据求解析式;(2)如果t在任意一段秒的时间内,电流I=A sin(ωt+φ)都能取得最大值和最小值,那么ω的最小正整数值是多少?由图知,A=300,×T=,∴T=,∴ω=,∴π×+φ=0.又|φ|<,∴φ=π,∴I=300sin.(2)∵t在任一段秒内I能取到最大值和最小值,∴I=A sin(ωt+φ)的周期T≤,即,ω≥300π≈943.∴ω的最小正整数值是943.19.(12分)设在平面上有两个向量a=(cos 2α,sin 2α)(0≤α<π),b=,a与b不共线.(1)求证:向量a+b与a-b垂直;(2)当向量a+b与a-b的模相等时,求α的大小.|a|==1,|b|==1,则(a+b)·(a-b)=a2-b2=0,所以a+b与a-b垂直.|a+b|=|a-b|两边平方,得3|a|2+2a·b+|b|2=|a|2-2a·b+3|b|2, ∴2(|a|2-|b|2)+4a·b=0.而|a|=|b|,∴a·b=0.∴cos 2α+sin 2α=0,即sin=0,∴2α+=kπ(k∈Z).又0≤α<π,∴α=或α=.20.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别与单位圆相交于A,B两点,已知A,B两点的横坐标分别为.(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.cos α=,cos β=.∵α,β为锐角,∴sin α=,sin β=.∴tan α=7,tan β=.(1)tan(α+β)==-3.(2)∵tan 2β=,∴tan(α+2β)==-1.∵α,β为锐角,∴0<α+2β<.∴α+2β=.21.(12分)已知点A,B,C的坐标分别为A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α),α∈.(1)若||=||,求角α的值;(2)若=-1,求的值.∵=(cos α-3,sin α),=(cos α,sin α-3),∴||=,||=.由||=||,得sinα=cos α.又∵α∈,∴α=.(2)由=-1,得(cos α-3)cos α+sin α(sin α-3)=-1.∴sin α+cos α=.①又=2sin αcos α.由①式两边平方,得1+2sin αcos α=,∴2sin αcos α=-.∴=-.22.(12分)如图,已知OPQ是半径为1,圆心角为θ的扇形,A是扇形弧PQ上的动点,AB∥OQ,OP与AB交于点B,AC∥OP,OQ与AC交于点C.(1)当θ=时,求点A的位置,使矩形ABOC的面积最大,并求出这个最大面积;(2)当θ=时,求点A的位置,使平行四边形ABOC的面积最大,并求出这个最大面积.连接OA,设∠AOB=α,则OB=cos α,AB=sin α.∴矩形面积S=OB·AB=sin αcos α.∴S=sin 2α.由于0<α<,∴当2α=,即α=时,S最大=.∴A点在的中点时,矩形ABOC面积最大,最大面积为.精品K12教育教学资料精品K12教育教学资料(2)连接OA,设∠AOP=α,过A点作AH⊥OP,垂足为H.在Rt△AOH中,AH=sin α,OH=cos α.在Rt△ABH中,=tan 60°=,∴BH=sin α.∴OB=OH-BH=cos α-sin α.设平行四边形ABOC的面积为S,则S=OB·AH=sin α=sin αcos α-sin2α=sin 2α-(1-cos 2α)=sin 2α+cos 2α-==sin.由于0<α<,∴当2α+,即α=时,S最大=.∴当A 是的中点时,平行四边形面积最大,最大面积为.。

第二课时组合的应用[对应学生用书P15][例1]队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有1名女生；(2)两名队长当选；(3)至少有1名队长当选．[思路点拨]特殊元素特殊对待，特殊位置优先安排．[精解详析](1)1名女生，4名男生，故共有C15·C48＝350种．(2)将两名队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C22·C311＝165种．(3)至少有1名队长含有两类：只有1名队长；2名队长，故共有选法C12·C411＋C22·C311＝825种，或采用间接法共有C513－C511＝825种．[一点通]解答组合应用题的总体思路：(1)整体分类：从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，即“不漏”，任意两类的交集等于空集，即“不重”，计算结果时使用分类计数原理．(2)局部分步：整体分类以后，对每类进行局部分步，分步要做到步骤连续，保证分步不遗漏，同时步骤要独立．1．从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有________种．解析：法一：选出3名志愿者中含有1名女生2名男生或2名女生1名男生，共有C12C26＋C22C16＝2×15＋6＝36(种)选法；法二：从8名学生中选出3名，减去全部是男生的情况，共有C38－C36＝56－20＝36(种)选法．答案：362．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有________种．解析：从中选出2名男医生的选法有C26＝15种，从中选出1名女医生的选法有C15＝5种，所以不同的选法共有15×5＝75种．答案：753．设集合I＝{1,2,3,4,5}．选择集合I的两个非空子集A和B，若集合B中最小的元素大于集合A中最大的元素，则不同的选择方法共有多少种？解：从5个元素中选出2个元素，小的给集合A，大的给集合B，有C25＝10种选择方法；从5个元素中选出3个元素，有C35＝10种选择方法，再把这3个元素从小到大排列，中间有2个空，用一个隔板将其隔开，一边给集合A、一边给集合B，方法种数是2，故此时有10×2＝20种选择方法；从5个元素中选出4个元素，有C45＝5种选择方法，从小到大排列，中间有3个空，用一个隔板将其隔开，一边给集合A、一边给集合B，方法种数是3，故此时有5×3＝15种选择方法；从5个元素中选出5个元素，有C55＝1种选择方法，同理隔开方法有4种，故此时有1×4＝4种选择方法．根据分类计数原理，总计为10＋20＋15＋4＝49种选择方法．[例2](1)经过这9个点，可确定多少条直线？(2)以这9个点为顶点，可以确定多少个三角形？(3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？[思路点拨]解答本题可用直接法或间接法进行．[精解详析]法一：(直接法)(1)可确定直线C44＋C14C15＋C25＝31条．(2)可确定三角形C24C15＋C14C25＋C35＝80个．(3)可确定四边形C24C25＋C14C35＋C45＝105个．法二：(间接法)(1)可确定直线C29－C24＋1＝31条．(2)可确定三角形C39－C34＝80个．(3)可确定四边形C49－C44－C34C15＝105个．[一点通]解答几何组合应用题的思考方法与一般的组合应用题基本一样，只要把图形隐含的条件视为组合应用题的限制条件即可．计算时可用直接法，也可用间接法，要注意在限制条件较多的情况下，需要分类计算符合题意的组合数．4．正六边形的中心和顶点共7个点，以其中三个点为顶点的三角形共有________个．解析：C37－3＝32.答案：325．平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这两组平行线相交，可以构成__________个平行四边形．解析：第一步，从m条中任选2条，C2m；第二步，从n条中任选2条C2n.由分步计数原理，得C2m·C2n.答案：C2m·C2n6．已知平面α∥β，在α内有4个点，在β内有6个点．(1)过这10个点中的任意3点作一平面，最多可作多少个不同的平面？(2)以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥？(3)上述三棱锥中最多可以有多少个不同的体积？解：(1)所作出的平面有三类：①α内1点，β内2点确定的平面，有C14·C26个；②α内2点，β内1点确定的平面，有C24·C16个；③α，β本身．所以所作的不同平面最多有C14·C26＋C24·C16＋2＝98(个)．(2)所作的三棱锥有三类：①α内1点，β内3点确定的三棱锥，有C14·C36个；②α内2点，β内2点确定的三棱锥，有C24·C26个；③α内3点，β内1点确定的三棱锥，有C34·C16个．所以最多可作出的三棱锥有C14·C36＋C24·C26＋C34·C16＝194(个)．(3)因为当等底面积、等高的情况下三棱锥的体积相等，又平面α∥β，所以体积不相同的三棱锥最多有C36＋C34＋C26·C24＝114(个)．解有限制条件的组合应用题的基本方法是“直接法”和“间接法”(排除法)．(1)用直接法求解时，则应坚持“特殊元素优先选取”、“特殊位置优先安排”的原则．(2)选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分的类较多、较复杂或计算量较大，不妨从反面问题入手，试一试看是否简捷些，特别是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此，此时，正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键．[对应课时跟踪训练(六)]一、填空题1．某施工小组有男工7人，女工3人，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工队，不同的选法有________种．解析：每个被选的人都无角色差异，是组合问题，分2步完成：第1步，选女工，有C13种选法；第2步，选男工，有C27种选法．故有C13·C27＝3×21＝63种不同选法．答案：632．上海某区政府召集5家企业的负责人开年终总结经验交流会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上推选3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为________．解析：若3人中有一人来自甲企业，则共有C12C24种情况，若3人中没有甲企业的，则共有C34种情况，由分类计数原理可得，这3人来自3家不同企业的可能情况共有C12C24＋C34＝16(种)．答案：163．圆周上有20个点，过任意两点连结一条弦，这些弦在圆内的交点最多有________个．解析：在圆内的交点最多，相当于从圆周上的20个点，任意选4个点得到的，故最多有C420＝20×19×18×17＝4 845个．4×3×2×1答案：4 8454．如图所示的几何体是由一个正三棱锥P-ABC与正三棱柱ABC-A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有________种．解析：先涂三棱锥P-ABC的三个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有C13×C12×C11×C12＝3×2×1×2＝12种不同的涂法．答案：125．20个不加区别的小球放入编号为1,2,3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，求不同的放法种数为________．解析：先在编号为2,3的盒内放入1,2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个球，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块挡板分为三堆放入三个盒中即可，共C216＝120种方法．答案：120二、解答题6．一个口袋里装有7个白球和2个红球，从口袋中任取5个球．(1)共有多少种不同的取法？(2)恰有1个为红球，共有多少种取法？解：(1)从口袋里的9个球中任取5个球，不同的取法为C59＝126(种)．(2)可分两步完成，首先从7个白球中任取4个白球，有C47种取法，然后从2个红球中任取1个红球共有C12种取法．所以，共有C12·C47＝70种取法．7．某医科大学的学生中，有男生12名，女生8名，在某市人民医院实习，现从中选派5名参加青年志愿者医疗队．(1)某男生甲与某女生乙必须参加，共有多少种不同的选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？解：(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C318＝816种．(2)只需从其他18人中选5 人即可，共有C518＝8 568(种)．(3)分两类：甲、乙两人中只有一人参加，则有C12·C418种选法；甲、乙两人都参加，则有C318种选法．故共有C12·C418＋C318＝6 936种选法．8．甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式？解：甲公司从8项工程中选出3项工程，有C38种选法；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程有C15种选法；丙公司从甲、乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程有C24种选法；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程有C22种选法．根据分步计数原理可得不同的承包方式有C38×C15×C24×C22＝1 680(种)．。

专题2.7 对数与对数函数【考纲解读】【直击教材】1．已知a >0，且a ≠1，函数y ＝a x 与y ＝log a (－x )的图象可能是______(填序号)．【答案】②2．函数f (x )＝log a (x ＋2)－2(a >0，且a ≠1)的图象必过定点________．【答案】(－1，－2)3．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ 4．计算：(1)log 35－log 315＝______；(2) log 23·log 32＝______.【答案】(1)－1 (2)1【知识清单】1．对数2.对数函数的图象与性质【考点深度剖析】关于对数的运算近两年高考卷没有单独命题考查，都是结合其他知识点进行．有关指数函数、对数函数的试题每年必考，有填空题，又有解答题，且综合能力较高．【重点难点突破】考点一 对数式的化简与求值1．计算：(1)4log 23＝________.(2)log 225·log 34·log 59＝________.【答案】(1)9 (2)82．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝______.【答案】－20【解析】原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg 122·52×10＝lg 10－2×10 ＝－2×10＝－20.3.12lg 3249－43lg 8＋lg 245＝________. 【答案】12【解析】12lg 3249 －43lg 8＋lg 245 ＝12(5lg 2－2lg 7)－43·12·3lg 2＋12(lg 5＋2lg 7) ＝12(lg 2＋lg 5)＝12. [谨记通法]对数运算的一般思路(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简；(2)将同底对数的和、差、倍合并；(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． 考点二 对数函数的图象及应用1．函数f (x )＝lg 1|x ＋1|的大致图象为________．(填序号)．【答案】④【解析】f (x )＝lg 1|x ＋1|＝－lg|x ＋1|的图象可由偶函数y ＝－lg|x |的图象左移1个单位得到． 由y ＝－lg|x |的图象可知④正确．2．当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则实数a 的取值范围是________． 【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1[由题悟法]应用对数型函数的图象可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．[即时应用]设f (x )＝|lg x |，a ，b 为实数，且0＜a ＜b .(1)若a ，b 满足f (a )＝f (b )，求证：ab ＝1；(2)在(1)的条件下，求证：由关系式f (b )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2所得到的关于b 的方程g (b )＝0，存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0.证明：g (4)＞0，根据零点存在性定理可知，函数g (b )在(3,4)内一定存在零点，即存在b 0∈(3,4)，使g (b 0)＝0. 考点三 对数函数的性质及应用角度一：比较对数值的大小1．已知a ＝log 29－log 23，b ＝1＋log 27，c ＝12＋log 213，则a ，b ，c 的大小关系为________． 【答案】b >a >c【解析】a ＝log 29－log 23＝log 233，b ＝1＋log 27＝log 227，c ＝12＋log 213＝log 226，因为函数y ＝log 2x 是增函数，且27>33>26，所以b >a >c .角度二：简单对数不等式的解法2．若f (x )＝lg x ，g (x )＝f (|x |)，则g (lg x )>g (1)时，x 的取值范围是__________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫0，110∪(10，＋∞) 【解析】当g (lg x )>g (1)时，f (|lg x |)>f (1)，由f (x )为增函数得|lg x |>1，从而lg x >1或lg x <－1，解得0<x <110或x >10. 角度三：对数函数的综合问题3．已知函数f (x －3)＝log a x6－x (a >0，a ≠1)． (1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)当0<a <1时，求函数f (x )的单调区间．解：令x －3＝u ，则x ＝u ＋3，于是f (u )＝log a 3＋u 3－u(a >0，a ≠1，－3<u <3)， 所以f (x )＝log a 3＋x 3－x(a >0，a ≠1，－3<x <3)．(1)因为f (－x )＋f (x )＝log a 3－x 3＋x ＋log a 3＋x 3－x＝log a 1＝0，[通法在握]1．解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤2．比较对数值大小的方法(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．(2)若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(3)若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较．[演练冲关]1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 2x ，x ＞0，log 12－x ，x ＜0，若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是________________．【答案】(－1,0)∪(1，＋∞)【解析】由f (a )＞f (－a )得 ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，log 2a ＞log 12a 或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0，log 12－a ＞log 2－a ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＜0，－log 2－a ＞log 2－a解得a ＞1或－1＜a ＜0.2．已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)．(1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 解：(1)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，【易错试题常警惕】1．在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M >0的条件下应为log a M α＝αlog a |M | (α∈N *，且α为偶数)．2．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．[小题纠偏]1．函数y ＝log 0.5x －的定义域为______．【答案】⎝ ⎛⎦⎥⎤34，12．函数f (x )＝log (x ＋1)(2x －1)的单调递增区间是______．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞。