三角函数的平移伸缩变换规律

1 函数)sin(Axy的图像

（1）物理意义：sin()yAx（A＞0，ω＞0），x∈[0,+ ∞）表示一个振动量时，A称为振幅，T = 2，1fT称为频率，x称为相位，称为初相。

（2）函数sin()yAxk的图像与sinyx图像间的关系：

① 函数sinyx的图像纵坐标不变，横坐标向左（>0）或向右（<0）平移||个单位得sinyx的图像；

② 函数sinyx图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的1，得到函数sinyx的图像；

③ 函数sinyx图像的横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数sin()yAx的图像；

④ 函数sin()yAx图像的横坐标不变，纵坐标向上（0k）或向下（0k），得到sinyAxk的图像。

要特别注意，若由sinyx得到sinyx的图像，则向左或向右平移应平移||个单位。

对)sin(xy图像的影响

一般地，函数)sin(xy的图像可以看做是把正弦函数曲线上所有的点向____(当>0时)或向______(当<0时)平移个单位长度得到的

注意：左右平移时可以简述成“______________”

对xysin图像的影响

函数xysin)10(且Rx，的图像可以看成是把正弦函数上所有的点的横坐标______)1(或_______)10(到原来的1倍（纵坐标不变）。

2 A对xysinA的影响

函数xysinA，)1A0A(且Rx的图像可以看成是把正弦函数上所有的点的纵坐标_______)1A(或_______)1A0(到原来的A倍得到的

由xysin到)sin(Axy的图像变换

先平移后伸缩：

三角函数图像平移与伸缩题组练习

1．(2020·福建质检)将函数y＝sinx的图像向左平移π2个单位，得到函数y＝f(x)的图像，则下列说法正确的是( )

A．y＝f(x)是奇函数

B．y＝f(x)的周期为π

C．y＝f(x)的图像关于直线x＝π2对称

D．y＝f(x)的图像关于点－π2，0对称

答案 D

解析 由题意知，f(x)＝cosx，所以它是偶函数，A错；它的周期为2π，B错；它的对称轴是直线x＝kπ，k∈Z，C错；它的对称中心是点kπ＋π2，0，k∈Z，D对．

2．要得到函数y＝cos2x的图像，只需把函数y＝sin2x的图像( )

A．向左平移π4个单位长度 B．向右平移π4个单位长度

C．向左平移π2个单位长度 D．向右平移π2个单位长度

答案 A

解析 由于y＝sin2x＝cos(π2－2x)＝cos(2x－π2)＝cos[2(x－π4)]，因此只需把函数y＝sin2x的图像向左平移π4个单位长度，就可以得到y＝cos2x的图像．

3．若把函数y＝f(x)的图像沿x轴向左平移π4个单位，沿y轴向下平移1个单位，然后再把图像上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y＝sinx的图像，则y＝f(x)的解析式为( )

A．y＝sin(2x－π4)＋1 B．y＝sin(2x－π2)＋1

C．y＝sin(12x＋π4)－1 D．y＝sin(12x＋π2)－1

答案 B

解析 将y＝sinx的图像上每个点的横坐标变为原来的一半(纵坐标保持不变)，得到y＝sin2x的图像，再将所得图像向上平移1个单位，得到y＝sin2x＋1的图像，再把函数y＝sin2x＋1的图像向右平移π4个单位，得到y＝sin2(x－π4)＋1的图像，即函数f(x)的图像，所以f(x)＝sin2(x－π4)＋1＝sin(2x－π2)＋1，故选B.

4．函数y＝cos(4x＋π3)图像的两条相邻对称轴间的距离为( ) A.π8 B.π4

(完整版)三角函数图像平移变换

三角函数图像平移变换

由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋）的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量"起多大变化，而不是“角变化”多少.

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换）

先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右（＜0＝平移｜｜个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的1倍（ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象.

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的1倍(ω＞0)，再沿x轴向左（＞0）或向右(＜0＝平移||个单位，便得y＝sin（ωx＋)的图象。

1。为得到函数πcos23yx的图像,只需将函数sin2yx的图像( A ）

A．向左平移5π12个长度单位 B．向右平移5π12个长度单位

C．向左平移5π6个长度单位 D．向右平移5π6个长度单位

2.要得到函数sinyx的图象，只需将函数cosyx的图象（ D ）

A．向右平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向左平移个单位

3.为了得到函数)62sin(xy的图象，可以将函数xy2cos的图象（ B ）

(A）向右平移6个单位长度 （B)向右平移3个单位长度

(C)向左平移6个单位长度 （D)向左平移3个单位长度

4.把函数sinyx（xR）的图象上所有点向左平行移动3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是C

三角函数变换公式

三角函数是初等数学中的重要概念，在许多数学和科学领域中都有广泛的应用。在三角函数中，最常见的函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，它们都具有周期性和较为规律的变化。

然而，在实际应用中，有时我们需要对三角函数进行一些变换，以适应特定的需求。这些变换包括平移、伸缩和反转等操作，可以使得函数图像更加灵活和有用。

一、平移变换

平移变换是指在函数图像中将其整个图像沿横轴或纵轴方向平移一定距离。平移变换可以改变函数图像的位置，使其整体向左或向右移动，或者向上或向下移动。

1.横向平移：

设函数f(x)的图像为y=f(x)，将其沿横轴方向平移h个单位，得到函数g(x)=f(x-h)。根据平移的定义，可知g(x)的图像在x轴上的任意点P(x,y)的坐标变为P(x+h,y)。因此，横向平移后的函数g(x)相当于在f(x)的图像上每个点向右平移h个单位。

2.纵向平移：

设函数f(x)的图像为y=f(x)，将其沿纵轴方向平移k个单位，得到函数g(x)=f(x)+k。根据平移的定义，可知g(x)的图像在y轴上的任意点P(x,y)的坐标变为P(x,y+k)。因此，纵向平移后的函数g(x)相当于在f(x)的图像上每个点向上平移k个单位。

二、伸缩变换 伸缩变换是指将函数图像在横轴或纵轴方向进行拉伸或压缩。伸缩变换可以改变函数图像的形状和走向，使其更加符合实际情况或数学要求。

1.横向伸缩：

设函数f(x)的图像为y=f(x)，将其沿横轴方向进行伸缩，得到函数g(x)=f(kx)。根据伸缩的定义，可知g(x)的图像在x轴上的任意点P(x,

y)的坐标变为P(x/k, y)。因此，横向伸缩后的函数g(x)相当于在f(x)的图像上每个点的横坐标缩小k倍。

2.纵向伸缩：

设函数f(x)的图像为y=f(x)，将其沿纵轴方向进行伸缩，得到函数g(x)=kf(x)。根据伸缩的定义，可知g(x)的图像在y轴上的任意点P(x,