2021-2022学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学九年级(上)期中数学试卷(含答案)

2021-2022学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学九年级（上）期中数学试

卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）将一元一次方程3x2﹣1＝6x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）

A．3，﹣6B．3，6C．3，﹣1D．3x2，﹣6x2．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）

A．B．C．D．

3．（3分）抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（ ）A．（﹣1，﹣2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）

4．（3分）一元二次方程x2+6x+4＝0配方后正确的是（ ）

A．（x﹣3）2＝5B．（x﹣3）2＝13C．（x+3）2＝5D．（x+3）2＝135．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E在CD延长线上，若∠B＝100°，则∠ADE的度数是（ ）

A．100°B．105°C．80°D．110°

6．（3分）青山村种的某农作物2019年平均每公顷产7200kg，2021年平均每公顷产8450kg，设这种农作

物每公顷产量的年平均增长率是x，根据题意，所列方程正确的是（ ）

A．7200×（1+x2）＝8450B．7200+2×7200x＝8450

C．7200×（1+x）2＝8450D．7200×（1+x+x2）＝84507．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针方向旋转得到△AB′C′，且点B′恰好落在BC上，若AB′＝

CB′，∠BAC＝105°，则∠C′的度数是（ ）A．22°B．23°C．24°D．25°

8．（3分）方程ax2+bx+c＝0（a＜0）有两个不相等的实数根，则抛物线y＝ax2+bx+c的顶点一定在（ ）

A．在x轴上方B．在x轴下方C．在y轴右侧D．在y轴左侧

9．（3分）二次函数y＝x2﹣2x+c的图象经过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，

下列说法一定正确的是（ ）

A．若y1＞0，则y2y3＜0B．若y2＞0，则y1y4＜0

C．若y3＜0，则y1y2＞0D．若y4＜0，则y2y3＞0

10．（3分）已知a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则代数式2a5﹣5a+3b3﹣b+1的值是（ ）A．19B．20C．14D．15

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11．（3分）在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于原点对称的点是 ．

12．（3分）关于x的一元二次方程x2+4x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 ．

13．（3分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，CD＝8，BE＝1，则AB的长为 ．

14．（3分）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根长度为3.2m水管AB，在水管的顶端A

点处安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离BC＝3m处达到最高，水柱落地处离

池中心距离BD＝8m，则抛物线形水柱的最高点到地面的距离EC是 m．

15．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象经过（﹣1，0），对称轴在y轴的右侧．下

列四个结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③若A（x1，n），B（x2，n）是抛物线上两点，当x＝x1+x2时，则y＝c．其中正确的是 ．（填写序号）

16．（3分）如图1，在矩形ABCD中，AD＜AB，点E和F同时从点A出发，点E以1cm/s的速度沿A﹣D

﹣C的方向运动，点F以1cm/s的速度沿A﹣B﹣C的方向运动，两点相遇时停止运动．设运动时间为

xs，△AEF的面积为ycm2，y关于x的函数图象如图2，图象经过点（3，m）（n，m），则n的值

为

　．三、解答题（共8小题，共72分）

17．（8分）解方程：x2﹣x﹣3＝0．

18．（8分）如图，在⊙O中，AB=AC，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC．

19．（8分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c图象经过（﹣1，0）和（3，0）．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）直接写出x满足什么条件时，y随x的增大而减小；

（3）直接写出不等式﹣x2+bx+c＞0的解集；

（4）当0＜x＜3时，直接写出y的取值范围．

20．（8分）如图是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．线段AB的两个端点都

在格点上，小正方形的边长为1个单位长度，以格点O为原点建立平面角坐标系，仅用无刻度的直尺

在给定网格中完成画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．

（1）图1中画出线段AB关于点O对称的图形CD（B与D对应）直接写出C的坐标；

（2）图1中画出线段AB绕点O逆时针旋转90°后的图形EF（B与F对应），直接写出E的坐标；

（3）图2中，点G和点H都在格点上，线段GH是由线段AB绕点P顺时针旋转得到的，画出点P，

直接写出P

的坐标．21．（8分）如图，在⊙中，弦AC为2cm，弦BC为4cm，∠ACB＝90°，AD=BD，OE与弦CD垂直于点E．

（1）求⊙O的半径；

（2）求OE的长．

22．（10分）两段相互垂直的墙AB和AC的长分别为12m和3m，用一段长为23m的篱笆围成一个矩形菜

园（篱笆全部使用完），如图所示，矩形菜园的一边AD由墙AC和一节篱笆CD构成，一边AF靠在墙

AB上，一边EF上有一个2m的门．假设篱笆CD的长为xm，矩形菜园的面积为Sm2（S＞0），回答下

面的问题：

（1）①用含x的式子表示篱笆DE的长为 m，x的取值范围是 ；②菜园的面积能不能等于90m2若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由．

（2）求菜园面积S的最大值．

23．（10

分）提出问题：如图1，在△ABC和△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝120°，BC＝AC，EC＝DC，点E在△ABC内部，直

线AD与BE交于点F，线段AF、BF、CF之间存在怎样的数量关系？

探究问题：

（1）先将问题特殊化，如图2，当点D、F重合时，直接写出一个等式，表示线段AF、BF、CF之间

的数量关系；

（2）再探究一般情形，如图1，当点D、F不重合时，证明（1）中的结论仍然成立．

解决问题：

（3）如图3，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC．若∠ADC＝135°，记AD＝a，BD＝b，CD＝c，补

充并探究图形，直接写出a、b、c之间的数量关系．

24．（12分）将抛物线y＝4x2﹣8x+7先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C，

经过定点D的直线y＝kx+2（k≠0）交抛物线C于A，B两点（点A在点B的左侧），点O为坐标原

点．

（1）直接写出抛物线C的解析式和定点D的坐标；

（2）用字母S表示三角形的面积，若2S△AOD﹣S△BOD＝1．请补充图1，求k的值；（3）若点P在直线y＝﹣2上运动，且满足直线PA与直线PB分别与y轴交于M、N两点，请补充图

2，求证：OM与ON的积是定值．2021-2022学年湖北省武汉市武昌区武珞路中学九年级（上）期中数学试

卷

参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）将一元一次方程3x2﹣1＝6x化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）

A．3，﹣6B．3，6C．3，﹣1D．3x2，﹣6x

【解答】解：方程整理得：3x2﹣6x﹣1＝0，

则二次项系数和一次项系数分别为3，﹣6，

故选：A．

2．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）

A．B．C．D．

【解答】解：选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重

合，所以不是中心对称图形，

选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，

故选：D．

3．（3分）抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（ ）A．（﹣1，﹣2）B．（1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，﹣2）

【解答】解：

∵y＝﹣3（x﹣1）2﹣2，

∴顶点坐标为（1，﹣2），

故选：B．

4．（3分）一元二次方程x2+6x+4＝0配方后正确的是（ ）

A．（x﹣3）2＝5B．（x﹣3）2＝13C．（x+3）2＝5D．（x+3）2＝13

【解答】解：方程移项得：x2+6x＝﹣4，

配方得：x2+6x+9＝5，即（x+3）2＝5．

故选：C．

5．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E在CD延长线上，若∠B＝100°，则∠ADE的度数是

（ ）A．100°B．105°C．80°D．110°

【解答】解：∵∠B＝100°，

∴∠ADE＝100°．

故选：A．

6．（3分）青山村种的某农作物2019年平均每公顷产7200kg，2021年平均每公顷产8450kg，设这种农作

物每公顷产量的年平均增长率是x，根据题意，所列方程正确的是（ ）

A．7200×（1+x2）＝8450B．7200+2×7200x＝8450

C．7200×（1+x）2＝8450D．7200×（1+x+x2）＝8450

【解答】解：设这种农作物每公顷产量的年平均增长率是x，

由题意得7200（1+x）2＝8450．

故选：C．

7．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针方向旋转得到△AB′C′，且点B′恰好落在BC上，若AB′＝

CB′，∠BAC＝105°，则∠C′的度数是（ ）

A．22°B．23°C．24°D．25°

【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针方向旋转得到△AB′C′，

∴AB＝AB'，

∴∠ABB'＝∠AB'B，

∵AB′＝CB′，

∴∠C＝∠B'AC，

∴∠AB'B＝2∠C＝∠ABB'，

∵∠BAC＝105°，

∴∠C+∠ABB'＝75

°，∴∠C＝25°

故选：D．

8．（3分）方程ax2+bx+c＝0（a＜0）有两个不相等的实数根，则抛物线y＝ax2+bx+c的顶点一定在（ ）

A．在x轴上方B．在x轴下方C．在y轴右侧D．在y轴左侧

【解答】解：∵关于x的方程ax2+bx+c＝0（a＜0）有两个不相等的实数根，

∴b2﹣4ac＞0，

∵顶点的横坐标为―𝑏2𝑎，纵坐标为4𝑎𝑐―𝑏24𝑎，a＞0，

∴4𝑎𝑐―𝑏24𝑎＞0，―𝑏2𝑎不能确定正负，

∴抛物线y＝ax2+bx+c的顶点在x轴上方，

故选：A．

9．（3分）二次函数y＝x2﹣2x+c的图象经过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，

下列说法一定正确的是（ ）

A．若y1＞0，则y2y3＜0B．若y2＞0，则y1y4＜0

C．若y3＜0，则y1y2＞0D．若y4＜0，则y2y3＞0

【解答】解：∵y＝x2﹣2x+c＝（x﹣1）2+c﹣1，

∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，

∵1﹣（﹣3）＞4﹣1＞1﹣（﹣1）＞2﹣1，

∴y1＞y4＞y2＞y3，

A选项中，若y1＞0，则y2y3＞0，错误，不符合题意．

B选项中，若y2＞0，由y1＞y4＞y2＞0能判断y1y4＞0，错误，不符合题意．

C选项中，若y3＜0，由y1＞y4＞y2＞0不能判断y1y2＞0，错误，不符合题意．

D选项中，若y4＜0，由y1＞y4＞y2＞y3能判断y2y3＞0符号，正确，符合题意．

故选：D．

10．（3分）已知a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，则代数式2a5﹣5a+3b3﹣b+1的值是（ ）A．19B．20C．14D．15

【解答】解：∵a、b是方程x2﹣x﹣1＝0的两根，

∴a2﹣a﹣1＝0，b2﹣b﹣1＝0，a+b＝1，

∴a2＝a+1，b2＝b+1，