中位线定理的三种证明方法

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专题11 三角形中位线定理

【考点归纳】

（1） 三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．

（2） 几何语言：

【好题必练】

一、选择题

1．（2020秋•罗湖区期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角平分线，ED∥AB交AC于点G，下列结论：

①AD⊥BC；②AE∥BC；③AE＝AG；④AD2+AE2＝4AG2．

其中正确结论的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（2020秋•安丘市期末）如图，面积为2的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积是（ ） 2 / 5

A．1 B． C． D．

3．（2020秋•长春期末）如图，在边长为4的等边三角形ABC中，DE为△ABC的中位线，则四边形BCED的面积为（ ）

A．2 B．3 C．4 D．6

4．（2020秋•长春期末）△ABC中，AB＝7，BC＝6，AC＝5，点D、E、F分别是三边的中点，则△DEF的周长为（ ）

A．4.5 B．9 C．10 D．12

5．（2020秋•绿园区期末）如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝10m，则A，B之间的距离是（ ）

A．5m B．10m C．20m D．40m

6．（2020秋•内江期末）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是（ ） 3 / 5

A．50° B．40° C．30° D．20°

二、填空题

7．（2020春•兴化市期中）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点．若BC＝6，则DE的长为 ．

8．（2020春•姜堰区期中）已知以三角形各边中点为顶点的三角形的周长为6cm，则原三角形的周长为

三角形中位线定理的证明与应用

三角形中位线定理是初中数学中的重要定理，也是几何学中的基本概念之一。本文将通过证明与应用，来深入解析三角形中位线定理的原理和意义。

一、三角形中位线定理的证明

三角形中位线定理是指在任意三角形ABC中，连接三个顶点A、B、C处的中点形成的三条线段AD、BE、CF，它们两两平行且长度相等。

为了证明这个定理，我们可以利用向量和线段相等的性质进行推导。

假设三角形ABC的顶点分别为A（x1,y1）、B（x2,y2）、C（x3,y3），中点分别为D（x4,y4）、E（x5,y5）、F（x6,y6）。可以得到以下向量关系式：

AB = AO + OB = (x2 - x1, y2 - y1) + (x2, y2)

BC = BO + OC = (x3 - x2, y3 - y2) + (x3, y3)

AC = AO + OC = (x3 - x1, y3 - y1) + (x3, y3)

根据中点的定义，可以得到：

D = (A + B) / 2 = (x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2

E = (B + C) / 2 = (x2 + x3) / 2, (y2 + y3) / 2

F = (A + C) / 2 = (x1 + x3) / 2, (y1 + y3) / 2

利用向量的加减法，可以计算得到： AD = D - A = [(x1 + x2) / 2 - x1, (y1 + y2) / 2 - y1]

BE = E - B = [(x2 + x3) / 2 - x2, (y2 + y3) / 2 - y2]

CF = F - C = [(x1 + x3) / 2 - x3, (y1 + y3) / 2 - y3]

将上述结果代入，得到：

AD = [(-x1 + x2) / 2, (-y1 + y2) / 2]

BE = [(-x2 + x3) / 2, (-y2 + y3) / 2]

三角形中位线定理的证明及其教学说明 一、 三角形中位线定理的几种证明方法

法1： 如图所示，延长中位线DE至F，使 ，连结CF，则

，有AD FC，所以FC BD，则四边形BCFD是平行四边

形，DF BC。因为 ，所以DE BC21．

法2：如图所示，过C作 交DE的延长线于F，则 ，有FC AD，那么FC BD，则四边形BCFD为平行四边形，DF BC。

因为 ，所以DE BC21．

法3：如图所示，延长DE至F，使 ，连接CF、DC、AF，则四边形

ADCF为平行四边形，有AD CF，所以FC BD，那么四边形BCFD为平

行四边形，DF BC。因为 ，所以DE BC21．

法4：如图所示，过点E作MN∥AB，过点A作AM∥BC，则四边形ABNM为平行四边形，易证CENAEM，从而点E是MN的中点，易证四边形ADEM和BDEN都为平行四边形，所以DE=AM=NC=BN，DE∥BC，即DEBC21。

法5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线．

二、教学说明

1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维”

在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。

⑴如图，A为线段BC(或线段BC的延长线)上的任意一点，D、E分别是AB、AC的中点，线段DE与BC有什么关系？

EDABC

图⑴： ⑵如果点A不在直线BC上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗?

图⑵：

说明：学生观察（几何画板制作的）课件演示：当△ABC的顶点A运动到直线BC上时,中位线DE也运动到BC上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不难猜想性质的两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜想，水到渠成.如果教师直接叫学生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜.

2、教学重点：本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。

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《中位线定理》预习导学

学习目标

1． 知道中位线的概念；

2． 理解中位线定理，会用中位线定理寻找线段间的位置关系与数量关系.

 重点：中位线定理．

 难点：中位线在复杂图形中的应用．

预习导学

旧知导入

我们在之前学习过三角形的特殊线段，其中有高线、中线、角平分线.这节课，我们将要学习三角形中另外一条重要的特殊线段——中位线，以及中位线的性质定理．三角形中的特殊线段都是中考重点考查的内容.

知识点 中位线定理

阅读课本本课时所有内容，完成下列问题.

1．明晰概念：连接三角形两边中点的 叫做三角形的 .

2．讨论：一个三角形有几条中位线？几条中线？几条高线？几条角平分线？

3. 观察课本“图18.1-15”，阅读相关证明过程，并讨论下列问题．

(1)说明四边形ADCF是平行四边形的理由是 ，是通过作辅助线构造出来的.

(2)说明四边形DBCF是平行四边形的理由是 ，是根据之前构造出来的平行四边形ADCF的性质并结合 得到的.

(3)由平行四边形DBCF的性质，又能得到DF BC，而DE=12DF.

归纳总结

中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的 ，并且等于第三边的 ．