求最小值问题

初中最小值问题解法篇一：初中最小值问题是指给定一组数，要求从中找出最小的数的问题。

解决初中最小值问题的方法有多种，下面介绍两种常用的方法。

一种方法是遍历法。

遍历法是指从第一个数开始，逐个与后面的数进行比较，找出其中最小的数。

具体步骤如下：1. 假设给定一组数为a[1], a[2], ..., a[n]，其中n为数的个数。

2. 初始化一个变量min为a[1]。

3. 从第二个数开始，依次与min进行比较，如果比min小，则将该数赋值给min。

4. 遍历完所有数后，min就是最小的数。

另一种方法是排序法。

排序法是指将给定的一组数按照大小进行排序，然后取最小的数即可。

具体步骤如下：1. 假设给定一组数为a[1], a[2], ..., a[n]，其中n为数的个数。

2. 使用常用的排序算法（如冒泡排序、选择排序等），对这组数进行排序。

3. 排序后，第一个数即为最小的数。

这两种方法各有优缺点。

遍历法简单直观，但需要逐个比较所有的数，时间复杂度较高；排序法的时间复杂度较低，但需要额外的排序操作。

总而言之，初中最小值问题可以通过遍历法或排序法来解决。

具体使用哪种方法可以根据实际情况和需求来选择。

篇二：初中最小值问题解法在初中数学中，我们经常会遇到求解一组数中的最小值的问题。

这类问题可以通过一些简单而有效的方法来解决。

一种常见的方法是遍历法。

我们首先将给定的一组数列出来，然后从中选取一个数作为当前的最小值，然后遍历其他的数与当前最小值进行比较。

如果当前的数比最小值还要小，那么就将当前数设为新的最小值。

继续进行遍历，直到所有的数都比较完为止。

最后所得到的最小值就是我们要求解的答案。

另一种方法是利用排序的思想。

我们可以将给定的一组数从小到大进行排序，然后选取排序后的第一个数作为最小值。

由于这个数是排序后的最小值，所以它也是原始数列中的最小值。

这种方法的优点是简单直观，但缺点是需要进行排序操作，如果数的个数很多，那么这个过程可能会比较耗时。

如何运用微积分理论解决求最大值最小值问题微积分是数学中的一门重要分支，广泛应用于各个领域。

其中，求解最大值和最小值问题是微积分理论中的基本内容之一。

本文将介绍如何运用微积分理论解决求最大值最小值问题。

一、寻找函数的驻点驻点是指函数的导数等于零的点，即$f'(x) = 0$的点。

在求解最大值最小值问题时，驻点是一个重要的起始点。

二、判断驻点的类型在找到驻点后，我们需要判断这些驻点是函数的最大值点、最小值点还是拐点。

通过利用二阶导数可以判断，若$f''(x) > 0$，则驻点为最小值点；若$f''(x) < 0$，则驻点为最大值点；若$f''(x) = 0$，则需要进行更详细的讨论。

三、边界点的考虑函数的最大值最小值不仅仅可能出现在驻点，还可能出现在函数的边界点上。

因此，在求解最大值最小值问题时，我们需要将函数在定义域的边界点也进行检查。

四、综合考虑找出最大值最小值通过对函数的驻点和边界点进行综合考虑，可以找出函数在给定区间内的最大值和最小值。

具体方法是将所有的极值点进行比较，其中最大的值即为函数的最大值，最小的值即为函数的最小值。

五、示例应用下面通过一个具体的例子来说明如何运用微积分理论解决求最大值最小值问题。

假设我们要求解函数$f(x) = x^3 - 3x^2 +2x$在区间[-1,3]内的最大值和最小值。

首先，我们需要求解函数的驻点。

计算导数$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，令其等于零，得到方程$3x^2 - 6x + 2 = 0$。

解这个方程可以得到两个驻点$x_1 \approx 0.23$和$x_2 \approx 2.77$。

接下来，我们计算二阶导数$f''(x) = 6x - 6$，并将驻点分别代入得到$f''(x_1) \approx -5.62$和$f''(x_2) \approx 13.23$。

初中数学求最大值最小值的方法求解最大值最小值的问题，在初中数学中主要注重以下方法：插值法、二分法、多项式函数的性质、排列组合和不等式。

一、插值法插值法常用于确定连续函数在其中一区间内的最大值最小值。

插值法的基本思想是根据已知的一些数值推算未知数值，然后利用推算得到的数值进行分析。

在初中数学中，可以应用插值法来确定一个函数在两个点之间的最大值最小值。

具体步骤如下：1.根据题目给出的条件，建立函数模型；2.根据给出的两个点，求出这两个点之间的差值；3.根据差值构造等差数列或等比数列；4.利用等差数列或等比数列的特性，给出一个近似的解；5.根据近似解，验证是否等差数列或等比数列的最大值最小值。

二、二分法二分法是一种逐步逼近的方法，它可以用来求解一个问题的最大值最小值。

二分法的基本思想是将问题的解域逐步缩小，通过排除不可能的解来逼近最终的解。

在初中数学中，可以应用二分法来求解一元函数的最大值最小值。

具体步骤如下：1.利用题目给出的条件建立函数模型；2.根据函数模型在给定区间内进行等分，确定中位数；3.利用中位数确定的点，验证其是否是函数的最大值最小值；4.如果不是，根据中位数及其左右两边的点，更新最大值最小值的区间；5.重复步骤2-4，直到得出符合条件的最大值最小值。

三、多项式函数的性质多项式函数的性质可以用来求解多项式函数在其中一区间内的最大值最小值。

在初中数学中，可以利用多项式函数的性质来求解复杂的多项式函数的最大值最小值。

具体步骤如下：1.利用给出的多项式函数进行展开；2.根据多项式的展开式，提取各项的系数和次数；3.通过观察各项的系数和次数，判断函数的最大值最小值出现的条件；4.根据判断条件，确定最大值最小值的区间；5.在确定的区间内，求解最大值最小值。

四、排列组合排列组合可以用来求解一组数据的最大值最小值。

在初中数学中，可以利用排列组合的方法来求解一组数据的最大值最小值。

具体步骤如下：1.根据题目给出的数据，列出所有可能的排列组合；2.根据题目要求的最大值或最小值的属性，制定策略；3.运用制定的策略，筛选出符合条件的排列组合；4.对筛选出的排列组合进行比较，得出最大值最小值。

求线段之和的最小值问题的常用方法嘿，咱今儿个就来唠唠求线段之和的最小值问题的那些常用法子！这可是数学里挺有意思的一块儿呢！你想想啊，就好像咱要在一个迷宫里找最短的路一样。

比如说，有两个固定的点 A 和 B，然后还有一条线，咱得找到从 A 到这条线再到B 的最短路径，这就是求线段之和最小值的一种常见情况。

先来说说对称法吧。

这就好比是给线段照镜子，通过找到某个点关于某条线的对称点，然后把问题转化一下，一下子就变得简单明了啦！就好像你本来要绕一大圈才能到的地方，突然发现有条捷径就在眼前。

再讲讲三角形三边关系法。

这就像是三根小棍儿，两边之和肯定得大于第三边呀，那咱就利用这个道理来找最小值。

就好比你知道走哪几条路组合起来最短，嘿，就是这么神奇！还有一种呢，就是利用一些特殊的几何图形的性质。

就像正方形、圆形之类的，它们都有自己独特的地方。

比如说在正方形里，对角线就是个很关键的线索，能帮咱找到那些最短的线段组合。

咱举个例子哈，想象有只小蚂蚁要从一个角落爬到另一个角落，但是中间有好多障碍，那咱就得开动脑筋，想想怎么让这小蚂蚁走最短的路呀！这时候这些方法就派上用场啦。

有时候啊，做这种题就跟玩游戏一样，一点点去探索，去发现其中的奥秘。

你得仔细观察题目中的条件，看看能不能找到那个关键的点或者线，然后运用合适的方法去求解。

哎呀，数学的世界就是这么奇妙！这些求线段之和最小值的方法就像是一把把钥匙，能打开各种难题的大门。

咱可得把这些宝贝方法好好记住，以后遇到问题就不怕啦！你说是不是？总之呢，求线段之和的最小值问题虽然有时候会让人觉得有点头疼，但只要咱掌握了这些常用方法，再加上一点点耐心和细心，那都不是事儿！相信自己，咱都能在数学的海洋里畅游，找到那些隐藏的宝藏！所以啊，别害怕这些问题，大胆去尝试，去探索，你会发现其中的乐趣无穷呢！。

巧用绝对值的“几何意义”求多个绝对值之和的最小值问题例1求y=｜x+3｜+｜x+2｜+｜x+1｜+｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜的最小值,并指出y为最小值时,x的值为多少初一引进绝对值的概念,但多数学生对绝对值的问题只是浅尝辄止;绝对值有两个方面的意义,一个是代数意义,另一个几何意义,但一般教学往往侧重于代数意义而忽略了其几何意义;绝对值的代数意义：｜a｜=a, a≥0；｜a｜=－a, a＜0;绝对值的几何意义：｜a｜是数轴上表示数a的点到原点的距离;众所周知,如果数轴上有两点A,B,它们表示的数分别为a, ba≤b, 则A,B之间的距离：｜AB｜=｜a-b｜如图1;设点X在数轴上表示的点为x,则｜x-a｜+｜x-b｜表示点X到点A和点B的距离之和：｜XA｜+｜XB｜,由图2可以看出,如果X在A,B两点之间,那么｜XA｜+｜XB｜可以取到最小值｜AB｜,即：当a≤x≤b时,｜x-a｜+｜x-b｜取最小值｜a-b｜；同样,设点C在数轴上表示的点为c,a≤b≤c,则｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜表示点X到点A、点B和点C的距离之和：｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜,由图3可以看出,如果X落在B点,那么｜XA｜+｜XB｜+｜XC｜可以取到最小值｜AC｜,即：当x=b时,｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜取最小值｜a-c｜;一般说来,设fx=｜x-a₁｜+｜x-a₂｜+｜x-a₃｜+•••+｜x-a n｜,其中a₁≤a₂≤…≤a n,那么：当n为偶数时,f min x=fa,其中a n/2≤a≤a n/2+1；且fa=a n-a1+a n-1-a2+•••+a n/2+1-a n/2=a n+a n-1+••• a n/2+1-a1+a2+•••+a n/2当n为奇数时,f min x=fa n+1/2；且fa=a n-a1+a n-1-a2+•••+a n+1/2+1-a n+1/2-1=a n+a n-1+••• a n+1/2+1-a1+a2+•••+ a n+1/2-1也就是说,偶数个绝对值相加,当x处于最中间的两个点所表示的数之间时,其值为最小,x可能有无数个取值；奇数个绝对值相加,当x等于最中间那个点所表示的数时,其值为最小,x只有一个取值;利用这个原理来解决例1的问题将非常容易地得到结论：y=｜x--3｜+｜x--2｜+｜x--1｜+｜x-0｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜,所以x=0时y最小,最小值为12;下面我们利用这一原理解决更多的问题;例2已知y=⅔｜x+1｜+2｜x-1｜+｜x-2｜,求y的最小值;解y=⅓2｜x+1｜+6｜x-1｜+3｜x-2｜=⅓｜x--1｜+｜x--1｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-2｜+｜x-2｜∵有11个绝对值相加,11为奇数,∴当x=a5,即x=1时,y最小为：⅓2｜1+1｜+3｜1-2｜=⅓4+3=7/3例3已知｜a+3｜+｜a-5｜=8,求a的取值范围;解∵当-3≤a≤5时,｜a+3｜+｜a-5｜的最小值为8,∴a的取值范围是-3≤a≤5例4已知2｜a+1｜+｜a-2｜+｜b+1｜+4｜b-5｜=9,求a b的值;解∵2｜a+1｜+｜a-2｜=｜a+1｜+｜a+1｜+｜a-2｜,当a=-1时,最小值为3；｜b+1｜+4｜b-5｜=｜b+1｜+｜b-5｜+｜b-5｜+｜b-5｜+｜b-5｜,当b=5时,最小值为6,∴2｜a+1｜+｜a-2｜+｜b+1｜+4｜b-5｜≥9,只有当a=-1,b=5时,原式=9,∴a b=-15=-1例5如图4,一条公路旁有6个村庄,分别为A,B,C,D,E,F,现在政府要在公路边建一个公交站,请问建在哪一段比较合理分析所建公交站应该到各村的距离之和最小,以公路为数轴,设A,B,C,D,E,F在数轴上表示的数分别为：a,a,c,d,e,f,则a≤a≤c≤d≤e≤f,故当所建公交站到各村的距离之和最小时,公交站应该处于C村和D村之间;。

求最小值问题
引例：在一条公路上修一个供水站，要使它到在它异侧或同侧的两个村庄的供水所用水管最短，问它应修在何处？
1、菱形ABCD的两条对角线分别为6和8. P是AC上一个动点，M、N分别为AB、BC的中点，求PM+PN的最小值
2、在△ABC中，AC=BC=2 ∠C=90O. D是BC的中点。

E是AB上的动点，则EC+ED的最小值
3、等腰梯形ABCD中，AB=CD=AD=1，∠B=60O.MN为对称轴。

P为MN上一动点，则PC+PD的最小值
4、正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2. N是AC上一动点，则DN+MN的最小值
5、在直角梯形ABCD中，AD∥BC. AB⊥BC.AD=2 BC=DC=3. P在BC上移动，则当PA+PD 取最小值时，△APD中AP上的高为
6、已知点A是半圆上一个三等分点，点B是弧AN的中点，P是半径ON上一个动点，若 O的半径为1，则AP+BP的最小值
7、等腰梯形ABCD，AD=DC=4, BC=8，CN=2，E是AB中点，在AC上找一点M,使EM+MN 的值最小，最小值为
8、已知△ABC中，∠ABC=45o，BD平分∠ABC,BC=4√2，在BD上找一点M，BC上找一点N,求CM+MN的最小值。

求最大值怎么算最小值在数学中，求函数的最大值和最小值是一种常见的问题。

通常情况下，我们可以通过找到函数的导数为零的点，或者通过观察函数的图像来确定函数的最大值和最小值。

接下来，我们将介绍求最大值和最小值的常见方法。

一、求最大值和最小值的基本概念在数学中，给定一个函数f(x)，我们希望找到该函数在某个区间内的最大值和最小值。

最大值指的是函数在该区间内取得的最大值，而最小值则是函数在该区间内取得的最小值。

通常情况下，我们将求函数最大值和最小值的问题转化为求函数的驻点（导数为零的点）或者分析函数的定义域和函数的图像。

二、求导数为零的点求导数为零的点是求解最大值和最小值的常见方法之一。

假设我们有一个函数f(x)，要找到其最大值和最小值，我们可以先求出函数f(x)的导数，即f′(x)。

然后，我们将f′(x)置为零，得到方程f′(x)=0，解这个方程可以得到函数f(x)的驻点。

我们需要进一步通过二阶导数或者函数图像的形状来判断这些驻点是最大值点还是最小值点。

三、分析函数的定义域和图像除了求导数为零的点之外，我们还可以通过分析函数的定义域和图像来求解最大值和最小值。

通过观察函数的定义域、函数的增减性质和凹凸性质，我们可以初步判断函数的最大值和最小值可能出现的位置。

进一步结合函数的导数和二阶导数，我们可以更准确地确定函数的最大值和最小值。

四、举例说明下面通过一个简单的例子来说明如何求解最大值和最小值。

假设我们需要求函数f(x)=x2−4x+3在区间[−1,5]内的最大值和最小值。

首先我们计算函数的导数f′(x)=2x−4，令导数为零，得到x=2。

然后，我们可以通过计算二阶导数或者观察函数图像的形状，发现x=2是一个最小值点。

进一步计算f(2)，即可得到该函数在区间[−1,5]内的最小值。

五、总结求最大值和最小值是数学中的重要问题，对于函数的最大值和最小值求解有多种方法。

通过求解导数为零的点或者分析函数的定义域和图像，我们可以找到函数的最大值和最小值。

最小值问题(解析版)引言最小值问题是数学中一个常见的问题，它涉及找到一组数中的最小值。

这个问题在各个领域中都有广泛的应用，比如优化问题、统计分析和机器研究等。

在解决最小值问题时，我们需要找到使得目标函数达到最小值的变量取值。

解决方法解决最小值问题有多种方法，下面介绍几种常见的方法：1. 枚举法枚举法是最简单直观的方法之一，它通过逐个遍历所有可能的变量取值，找到使得目标函数最小化的取值。

但是，枚举法的缺点是计算量大，特别是在变量的取值范围较大时。

2. 梯度下降法梯度下降法是一种优化算法，通过不断调整变量的取值来逼近最小值。

它的基本思想是通过计算目标函数关于变量的梯度，然后朝着梯度的反方向调整变量的取值。

梯度下降法需要选择合适的研究率和迭代次数，以确保找到最优解。

3. 牛顿法牛顿法是一种迭代方法，它利用函数的一阶导数和二阶导数的信息来逼近最小值。

它通过不断更新变量的取值，直到达到目标函数的局部最小值。

牛顿法在一些情况下表现出较快的收敛速度，但是对于复杂的函数或高维问题，牛顿法可能会收敛到局部最小值。

适用范围最小值问题的解析方法适用于各种数学模型和实际问题。

无论是优化问题、统计分析还是机器研究，找到最小值都是一个重要的步骤。

但是，在选择解析方法时，需要考虑问题的特点和复杂度，选择合适的解决方法。

结论最小值问题是数学中的一个常见问题，它涉及找到一组数中的最小值。

解决最小值问题的方法有很多种，包括枚举法、梯度下降法和牛顿法等。

选择合适的解决方法需要考虑问题的特点和复杂度。

通过解决最小值问题，我们可以找到目标函数的最优解，为后续的决策和分析提供基础。

中考数学《最值问题》及参考答案一、轴对称求最小值1.如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，△ABC是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的值最小，求这个最小值．2.四边形ABCD中,∠BAD=122°,∠B=∠D=90°,在BC、CD上分别找一点M、N,当△AMN周长最小时,求∠MAN的度数．3.如图,∠AOB =45°,OC为∠AOB内部一条射线,点D为射线OC上一点,OD=√2,点E、F分别为射线0A、OB上的动点,求△DEF周长的最小值．二、垂线段最短求最值4.如图,矩形ABCD中,AD=3,AB=4,M为线段BD上一动点,MP⊥CD于点P,MQ⊥BC于点Q,求PQ 的最小值．5.如图,边长为6的等边三角形ABC中,E是对称轴AD上一个动点,连接EC,将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC,连接DF,则在点E运动的过程中,求DF的最小值．6.如图所示,在RtΔABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,P为AB上一动点(不与A、 B重合),作PE ⊥AC于点E,PF⊥BC于点F,连接EF,求EF的最小值．7.如图,在ΔABC中,∠BAC=90,AB=6,BC=10,BD平分∠ABC,若P,Q分别是BD,AB上的动点,求PA+PQ的最小值．8.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,以AB为边在AB上方作正方形ABDE,过点D作DF⊥CB,交CB的延长线于点F,连接BE,P,N分别为AC,BE上的动点,连接AN, PN,若DF=5,AC=9,求AN+PN的最小值.二、两点之间,线段最短求最值9.如图,等边△ABC的边长为4,过点B的直线l⊥AB,且△ABC与△A´B´C´公关于直线l对称,D为线段BC´上一动点,求AD+CD的最小值是( )10.如图,在长方形ABCD中,AB=3,AD=4,动点P满足S△PCD=14S长方形ABCD´,求点P到A,B两点的距离之和PA+PB的最小值．三、三角形三边的关系求最值问题11.如图,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD的坐标分别为A(-1,0)、B(0,2)、 C(4,2)、D(3,0),点P是AD边上的一个动点,若点A关于BP的对称点为A´,求则A´C的最小值．参考答案1.析：连接BP.因为点B 与点D 关于直线AC 对称，所以PB=PD .所以PD+PE =PB+PE≥BE，所以PD+PE 的最小值即为BE 的长．BE ＝AB ＝6，则PD+PE 的值最小为6．2.析：如图,延长AB 到A ´使得BA ´=AB,延长AD 到A ´使得DA"=AD,连接A ´A"与BC 、CD 分别交于点M 、N.∵∠ABC=∠ADC=90° ∴ A 、A ´关于BC 对称,A 、A"关于CD 对称,此时ΔAMN 的周长最小∵BA=BA ´,MB ⊥ AB ∴MA =MA ´同理:NA=NA" ∴∠A ´=∠MAB,∠A"=∠NAD∵∠AMN =∠A ´+∠MAB =2∠A ´,∠ANM =∠A"+∠NAD =2∠A"∴∠AMN +∠ANM = 2(∠A ´+∠A")∵∠BAD=122° ∴ ∠A ´+LA"=180°-∠BAD=58° ∴∠AMN +∠ANM=2x58°=116∴∠MAN =180-116°=64°3.析：作点D 作关于OA 的对称点P,点D 关于OB 的对称点Q,连接PQ,与OA 的交点为点E,与OB 的交点为点F.△DEF 的最小周长为DE +EF +QF =PE+EF+QF =PQ连接OP 、OQ,则OP=0Q=√2 ∵∠POQ =2∠AOB=90°∴ΔOPQ 是等腰直角三角形∴PQ =√2OD=2∴ΔDEF 的周长的最小值是2.4.析：如图,连接CM∵MP ⊥CD 于点P,MQ ⊥BC 于点Q ∴∠CPM =∠CQM=90°∴四边形ABCD 是矩形∴BC=AD=3,CD=AB=4,∠BCD=90°∴四边形PCQM 是矩形,PQ =CM∴BD =√32+42=5当CM ⊥BD 时,CM 最小,则PQ 最小,此时,S △BCD =1 2BD ·CM=12BC ·CD ∴PQ 的最小值为125.5.析：取线段AC 的中点G,连接EG∵ΔABC 为等边三角形,AD 为△ABC 的对称轴∴CD=CG=1 2AB=3,∠ACD =60° ∵ ∠ECF =60°∴∠FCD =∠ECG在ΔFCD 和ΔECG 中,FC =EC,∠FCD=∠ECG,DC=GC∴ΔFCD ≌AECG ∴DF =GE当EG ⊥AD 时,EG 最短,即DF 最短∵点G 为AC 的中点,EG=DF=1 2CD=32 6.析： 连接CP.∵∠C=90,AC=3,BC =4 ∴AB =√32+42=5∵PE ⊥AC,PF ⊥BC,∠C=90°∴四边形CFPE 是矩形∴EF =CP由垂线段最短可得CP ⊥AB 时,线段EF 的值最小S △ABC=1 2BC ·AC=12AB ·CP ∴1 2×4×3=12×5·CP ∴CP =2.4 7.如图,作点Q 关于直线BD 的对称点Q ´∵BD 平分∠ABC ∴点Q 在BC 上连接PQ ´,则PA+PQ 的最小值即为PA+PQ ´的最小值∴当A 、P 、Q ´三点共线且AQ ´⊥BC 时,PA+PQ 的值最小过点A 作AM ⊥BC 于点M,则PA+PQ 的最小值即为AM 的长∵AB=6,BC=10 ∴AC ²=10²-6²=64 ∴AC=8∵ S △ABC =1 2AM ·BC=1 2AB ·AC ∴AM=AB·AC BC =48 10=4.88.析：连接AD ，与BE 交于点O∵四边形ABDE 是正方形 ∴BE ⊥AD,OD =OA ，点A 与点D 关于直线BE 对称 求PN + AN 的最小值，只需D ，N ，P 在同一条直线上，由于P ，N 分别是AC 和BE 上的动点，过点D 作DP ⊥AC 于P 交BE 于点 N ，此时PN + AN =PN+ND=PD ，由△ABC ≌ △BDF 可知，BF= AC = 9，BC=DF=5，易知四边形DFCP 是矩形，CF=PD=BF+BC=9+5=149.析：如图,连接AD∵△ABC 是边长为4的等边三角形 ∴AB =BC=4,∠ABC=60° ∵△ABC 与△ A ´B ´C ´关于直线l 对称∴A ´B=BC,∠AB ´C ´=60°∴∠CBC ´=60°=∠A ´BD∴△BCD ≌△BA ´D(SAS)∴A ´D=CD ∴CD +AD =AD +A ´D当A 、D 、A ´三点共线时,AD+A ´D 最小,此时CD+AD 最小,最小为4+4=8.10.析：如图,设APC 的CD 边上的高是h.∵S △PCD =1 2S 长形ABCD ,AD=4 ∴1 2·CD ·h =1 4CD ·AD ∴h=12AD=2 ∵动点P 在与CD 平行且与CD 的距离是2的直线l 上连接AC 交直线l 于点P ´∵l//CD,AD=4,四边形ABCD 是长方形 ∴l ⊥AD,l ⊥BC∴直线l 是BC 边的垂直平分线 ∴BP ´=CP ´∴AP ´+BP ´=AP ´+CP ´ ∴ AC 的长是最短距离∴AC=√32+4=5,PA +PB 的最小值为5.11.析：连接BA ´∵AB=√5,BC =4若点A 关于BP 的对称点为A ´ ∴BA ´=BA=√5在△BA ´C 中,A ´C ≥BC-BA ´,即AC ´≥4-√5∴AC ´的最小值为4-√5。