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空间角总结什么是空间角？空间角是几何学中的一个重要概念，用来描述两个向量之间的夹角。
空间角通常用希腊字母θ（theta）表示，其单位是弧度（rad）。
空间角的概念可以扩展到三维空间中，帮助我们描述物体之间的方向关系和位置关系。
空间角的特征空间角具有以下几个重要特征：1.空间角是无向角：空间角没有方向之分，只关注两个向量之间夹角的大小，与向量的起点和终点无关。
2.空间角的大小范围：空间角的取值范围是0到π（也就是0到180度）。
3.水平角和垂直角：当两个向量在同一平面内，夹角为水平角；当两个向量互相垂直，夹角为垂直角。
4.空间角的计算方法：可以使用余弦定理或向量的点积来计算空间角的大小。
空间角的计算方法余弦定理余弦定理是计算空间角的常用方法之一。
设有两个向量A和B，它们之间的夹角θ满足以下关系：cos(θ) = (A·B) / (|A| * |B|)其中，A·B表示向量A和向量B的点积，|A|和|B|表示向量A和向量B的模。
通过余弦定理，我们可以根据向量的数值计算出它们之间的夹角。
向量的点积另一种计算空间角的方法是使用向量的点积。
向量A·B的点积可以通过以下公式计算得到：A·B = |A| * |B| * cos(θ)其中，θ表示向量A和向量B的夹角。
通过这个公式，我们可以根据两个向量的点积来计算它们之间的夹角。
球面角与立体角除了空间角之外，还有两个相关概念：球面角和立体角。
球面角球面角是指由球心发出的射线与球面上两个端点所夹的角。
球面角的单位是球面度（sr），1球面度是球面上的一个单位面积所占的立体角。
球面角可以通过球面面积和球半径来计算。
立体角立体角用来描述三维空间中的角度，是由空间中一点发出的射线与空间中的两个向量所夹的角。
立体角的单位是立体度（steradian，sr），1立体度表示空间中的一个单位面积所占的立体角。
立体角可以通过空间角和距离来计算。
第六讲：空间中的角（二）二面角 一，知识点 1，基本概念1）半平面：当两个平面相交时，我们往往只画起一部分，就像一本翻开的书，我们把其中一部分叫做半平面。
2）二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角l αβ--，二面角的大小指的是二面角的平面角的大小。
即分别在两个半平面内做交线的垂线，两条射线所成的角为二面角的平面角。
2，范围：],0[π特别：重合为0，共面为π，即相当于把一张纸折叠后的两种极限情况。
3，步骤：一找，二证，三计算4，用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是： ①明确构成二面角两个半平面和棱； ②明确二面角的平面角是哪个？而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱垂直。
二，典型例题与解读求解二面角是立体几何中最基本、最重要的题型，也是各地高考中的“热点”问题，虽然对此可说是“千锤百炼”，但我们必须面对新的情境、新的变化，如何以基本方法的“不变”去应对题目中的“万变”就是我们研究的中心话题.总的来说，求解二面角的大体步骤为：“作、证、求”.其中“作、证”是关键也是难点，“求”依靠的计算，也决不能忽视，否则因小失大，功亏一篑，也是十分遗憾之事.1 定义法即在二面角的棱上找一点（特殊点），在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.定义法是“众法之源”，万变不离其宗，“树高千尺，叶落归根”，求二面角的一切方法盖源出定义这个“根”！用定义法时，要认真观察图形的特性。
例1 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。
jA B CDP H2、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例2 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A的大小。
3、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；例3 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求B-PC-D的大小。
空间角的概念和应用空间角是指两个射线在平面内的夹角。
它是几何学中一个非常基础的概念，但在实际应用中也有着广泛的作用。
本文将系统地介绍空间角的定义和性质，并讨论其在不同领域中的应用。
一、空间角的定义和性质在平面几何中，我们常见的角度分为两类：一个端点是顶点的角称为尖角，两个端点在一条直线上的角称为平角，两个端点分别位于两条相交直线上的角称为锐角或钝角。
而在三维几何中，射线可以在任意方向上延伸，在这种情况下，我们需要使用更为复杂的空间角概念。
具体来说，如果空间中有两个射线OA和OB，其中O是它们的公共起点，那么我们可以定义它们之间的空间角为AOB所在的平面与由OA和OB张成的空间角度量之间的夹角。
在大多数情况下，我们通常选取OA和OB所在的平面作为一个基准面，这样就可以将空间角化为一个平面角，方便我们进一步计算。
空间角的性质类似于平面角。
它们有一个共同的基本量度单位——弧度。
一个完整的圆周对应的弧度数为2π，任意角的弧度数等于它所对应的弧长与圆的半径之比。
此外，空间角也具有可加性、可减性、开放性和大小比较等性质。
二、空间角在物理学中的应用空间角在物理学、力学、天文学等领域中具有非常广泛的应用。
在物理学中，我们经常会利用空间角辅助描述一个系统中的物理过程。
例如，在热力学中，我们可以使用相角来描述多组态系统中的相变行为。
这是因为相角可以一目了然地表明不同相之间的相对状况，从而帮助我们更好地理解和说明相变热力学行为。
在力学中，相角还可以帮助我们描述复杂的运动状态。
例如，我们可以利用相角来表征旋转物体的自转轴和公转轴之间的夹角，从而更好地控制和预测它的运动状态。
此外，相角还可以用于描述阻力、电阻、电容、电感等物理量的相角特性。
三、空间角在计算机科学中的应用空间角在计算机科学中也有着非常广泛的应用。
例如，在计算机视觉和模式识别中，我们常常需要利用空间角计算两幅图像或对象之间的相似性。
在机器学习和自然语言处理中，两个向量的空间角可以作为它们之间相似性的一种度量方式。
教学过程设计一、复习上次课内容二、梳理本节课重要知识：1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。
（1）异面直线所成的角的范围是]2,0(π。
求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。
具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角； ③利用三角形来求角。
（2）直线与平面所成的角的范围是]2,0[π。
求直线和平面所成的角用的是射影转化法。
具体步骤如下：①找过斜线上一点与平面垂直的直线；②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角；③把该角置于三角形中计算。
注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有αθ≤；（3）确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置： a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；DB AC αc. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；（4）二面角的范围，一般是指],0(π，解题时要注意图形的位置和题目的要求。
作二面角的平面角常有三种方法①棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；②面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；③空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。
空间角一. 教学内容： 空间角［知识要点］角是立体几何的重点内容之一。
要掌握好异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角这三种角的概念，深刻理解每种角的涵义。
能够在具体图形中作出表示这些角大小的平面角，并会利用条件求出其大小，求角的常用方法： （1）异面直线所成角：平移法——在空间中任取一点（一般选取其中一条直线上的特殊点），平移直线，得到两条相交直线的夹角（或转化成两向量的夹角）。
范围——，02π⎛⎝ ⎤⎦⎥（2）斜线与平面所成角：做法关键是作出斜线在平面内的射影。
其范围是，02π⎛⎝ ⎫⎭⎪（3）二面角的平面内作法：定义法；三垂线法；垂面法。
[]范围：，0π【典型例题】例1. 在长方体ABCD —A'B'C'D'中，已知AB ＝a ，BC ＝b ，AA'＝c （a ＞b ），求异面直线D'B和AC 所成的角的大小。
cC解法一：平移AC 到A'C'，BD'到EFE 、F 分别是B'D'与BB'中点，则只求∠C'EF 即可在△中，，，C'EF C E a b EF a b c C F b c ''=+=++=+⎛⎝ ⎫⎭⎪1212122222222由余弦定理得：cos ''''()∠··C EF C E EF C F C E EF a b a b c a b =+-=-+++>222222222220()a r c c o sa b a b a b c a b >∴-+++所求角为·2222222 解法二：设A 为坐标原点O ，AB 方向为x 轴、AD 方向为y 轴，AA 1方向为z 轴，建立坐标系O —xyz ，则()()()()A B a C a b D b c 0000000，，，，，，，，，，，'()()() D B OB OP a b c a b c ''→=→-→=-=--，，，，，，000()()()AC AB BC a b a b →=→+→=+=，，，，，，00000()()∴→→=--=-D B AC a b c a b a b '·，，·，，022 ()()|'|D B a b c a b c →=+-+-=++222222||AC a b a b →=++=+222220于是，c o s ''|'|||<→→>=→→→→=-+++D B AC D B AC D B AC a b a b c a b，···（下同上）2222222例2. 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，BC ＝3，AA 1＝5，试求B 1D 1与平面A 1BCD 1所成角的正弦值。
第六讲：空间角
一、空间角：空间角的计算步骤 一作、二证、三算.
㈠异面直线所成角：
⒈定义：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线',',a a b b ∥∥则''a b 和所成的锐角（或直角）叫做异面直线a b 与所成的角。
范围：(]0,90︒︒
⒉计算异面直线a b 与所成角的方法：9896P 5,P 5选修例 ⑴平移法：①利用已知条件，选择中点、线段的端点或在其中一条直线上取点等；②过此点作异面直线的平行
线，得所求角；③构造特殊三角形求角；⑵向量法：设a 、
b
分别为异面直线a 、b 的方向向量, 929798P 1,P 3,P 10选修
则两异面直线所成的角cos a b
a b
α= ；⑶补形法：将空
间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角θ。
注：证明两条异面直线垂直,即所成角为0
90。
⒈如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为
1的菱形，4
ABC π
∠=
, OA ABCD ⊥底面,
2OA =,M 为O A 的中点，N 为B C 的中点
a
b
F C P
G E
A
B
图5 D
（Ⅰ）证明：直线M N OCD
平面
‖
（Ⅱ）求异面直线AB与MD
（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。
⒉如图5所示，四棱锥P ABCD
-的底面ABCD是半径为R的圆的内接四边形，其中BD是圆的直径，
60 ABD
∠=
，45
BDC
∠= ，PD垂直底面ABCD，
PD=，,E F分别是,
PB CD上的点，且PE D F
EB FC
=，过点E作B C的平行线交P C于G．
（1）求BD与平面ABP所成角θ的正弦值；（2）证明：
EFG
△是直角三角形；（3）当
1
2
P E
E B
=时，求EFG
△的
面积．
㈡直线与平面所成的角：
⒈定义：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角；一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角。
α
P
O
B
A 1θ
2θ
θ ⒉范围 []0,90︒︒；
⒊最小角定理：斜线和平面所成的角，是这
条斜线和这个平面内经过斜足的直线所成的一切角中
最小的角.
⒋斜线与平面所成角的计算：()1直接法：关键是作垂线，找射影，可利用面面垂直的性质； ()2应用结论：如右
图所示，P O
α
⊥，O
与
平面α所成的角为1θ，∠P A B θ∠=，则1cos cos θ
θ=64P 4,3直例真题
⑸向量法：设,OA n α为的斜线段αOA 与
α所成的角为θ
，则sin cos ,O A n O A n O A n
θ⋅=<>=
⒈已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，
1A 在底面ABC 内的射影为A B C △的中心，则1A B 与底面
ABC
所成角的正弦值等于（ ）
A ．1
3
B 3
C 3
D ．2
3
⒉如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==,
11AA = ,则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为
（ ）
3
5
5
5
⒊如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，
AD BC ∥,0
90BAD ∠= ,ABC D PA ⊥底面，且PA AD AB 2BC ===，M ,N 分别为PC,PB 的中点。
(Ⅰ)求证：PB DM ⊥；(Ⅱ)求CD 与平面ADMN 所成的角的正弦值。
⒋在如图所示的几何体中，ABC EA ⊥平面，BD ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且2AC BC BD AE ===，M 是
AB 的中点．()1求证：CM EM ⊥； ()2求C M 与平面C D E 所成的角．
⒌如图，在Rt AOB △中，π6
O AB ∠=，斜边AB 4=．
E
D C
M
A
B
Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得
到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 的斜边
AB 上．()1求证：AO B C O D ⊥平面平面； ()2当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与C D 所成角
的大小；()3求C D 与平面AOB 所成角的最大值．
㈢二面角：
⒈定义：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分叫做半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面.二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角，叫做这个二面角的平面角。
注：二面角的大小范围为[]0,π。
⒉确定二面角的方法：()1定义法；()2三垂线定理及其逆定理法；64P 5,4直例真题()3垂面法；()4射影面积法：
O
C
A
D
B
cos S S θ=
射影多边形原多边形
，此方法常用于无棱二面角大小的计
算；无棱二面角也可以先根据线面性质恢复二面角的棱，然后再用方法()1、()2计算大小；()5向量法：法一、在α
内a l ⊥ ，在β内b l ⊥
，其方向如左图，则二面角
l αβ-- 的平面角cos a b
a b α= ；其方向如右图，则
二面角l αβ--的平面角α=arccos a b
a b
π- （同等异
补）
法二： 设12,n n 分别是半平面,αβ的法向量，平面角为θ
则12
1212
,cos ,n n n n n n <>=
，当12,n n 与θ都为锐角或钝
角时，
12,n n θ
=
；当
12
,n n 与θ互补时，
12,n n θπ=-<>。
注：⒈求角或已知某角时，必须交待哪一个角为所求；
C D
E
A
B
P
C
B
A
D
E ⒉求角时，必须确定角的范围；⒊知道用几何方法求角时，应用几何方法求，否则应转化向量法求解；⒋平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角。
⒈如图，PCBM 是直角梯形，90PCB ∠=︒，
PM BC
∥，1,2PM BC ==，又1AC =，
120ACB ∠=︒，AB PC ⊥，直线AM 与直线PC 所成
的角为0
60.(要求第()2小题用多种方法解答,包括向量法）.()1求证：平面PAC ⊥平面ABC ；
()2求二面角M AC B --
的大小; ()3求三棱锥P MAC -的体积.
⒊四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面
ABC ⊥底面BCDE ，2,CD AB AC BC ==
=。
（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；
（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为0
45，求二面角
C A
D
E --的大小．
A
B
C
M
P
A
B
C D E A 1
B 1
C 1 D
1 ⒋如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，
124AA AB ==，点E 在1CC 上且13C E EC =． （Ⅰ）证明：1A C ⊥平面BED ； （Ⅱ）求二面角1A DE B --的大小．
⒌如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，
90ACB ∠=
，AP BP AB ==，PC AC ⊥．
（Ⅰ）求证：P C A B ⊥；
（Ⅱ）求二面角B AP C --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面A P B 的距离．
⒍如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形．已
知3,2,2,60AB AD PA PD PAB ====∠= ． （Ⅰ）证明⊥
AD
平面PAB ；
（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角P BD A --的大小．
A
C
B
P。
