高二数学期末复习试题
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高二期末数学复习试卷一、选择题('60'512=⨯)1、已知α、β是两个不重合的平面,l 、m 是两条不重合的直线,则α∥β的一个充分条件是………………………………………( )(A) βββα//,//,m l m l 且⊂⊂ (B) m l m l //,且βα⊂⊂(C) m l m l //,且βα⊥⊥(D) m l m l ////,//且βα2、在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1过顶点A 1在空间作直线l ,使l 与直线AC 、BC 1所成的角都等于60°,这样的直线的条数为………( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 43、已知菱形ABCD 的边长为1,∠DAB=60°,将这个菱形沿AC 折成120°的二面角,则B,D 两点间的距离为………………………( ) (A)23 (B)21 (C)23 (D)434、PA、PB 、PC 为三条射线,且 ∠APB = ∠APC= 60°, ∠BPC=90°,则PA 与平面BPC 所成的角为…………………( )(A )30° (B )45° (C )60° (D )90°5、6人并排站成一排,乙必须站在甲的右方,丙必须站在乙的右方,则不同排法的种数为……………………………………………( )(A )4433A A (B )44A (C )3366A A (D )3544A A6、用1,2,3,4,5,7这6 个数字排成无重复的六位数,其中偶数数字不相邻的排法有………………………………………………………() (A )5566A A -(B )224466A A A -(C )141512A A A (D )3544A A 7、在100件产品中,有3件是次品,现从中任意抽取5件,其中至少有2件次品的取法种数为………………………………………( )(A )39723C C (B )2973339723C C C C +(C )497135100C C C -(D )5975100C C - 8、n 是奇数,二项式(1-x)2n+1展开式中系数最大的项是…( )(A )第n 项(B )第n +1项(C )第n+2项(D )第n+1,n +2项9、二项式244)1(xx +的展开式中,有理项共有………( ) (A )3项 (B )5项 (C )6项(D )7项 10、从装有白球3个、红球4个的箱子中,把球一个一个地取出来,到第五个恰好把白球全部取出的概率是………………………( )(A )354 (B )71 (C )356(D )72 11、从两件正品和两件次品中任取两件互为对立事件的是() (A )至少有一件正品与至少有一件次品(B )恰有一件正品与恰有两件正品(C )至多有一件次品与全是次品(D )至少有一件正品与全是正品12、一次游戏中有人出了12道选择题,每题附有4个答案,其中只有一个是符合要求的。
高二期末数学复习试卷一、选择题1.(理)点M(6,5π)关于极点并垂直于极轴的直线的对称点的极坐标(取ρ<0,-2π<θ<2π)是( )(A) (32,5π--) (B)( 65,5π--) (C)( 6,5π--) (D)( 34,5π--) (文)若)0,2(πθ-∈则方程θθ2sin )(sin 22=+y x 所表示的曲线是( )(A)焦点在X 轴上的椭圆 (B) 焦点在Y 轴上的椭圆(C)焦点在X 轴上的双曲线 (D) 焦点在Y 轴上的双曲线 2.ii 31)3(3+-+的值是( )(A)i 232+ (B) i 232- (C) i 232+- (D) i 232-- 3.(理)θρcos 8-=在极坐标系中,与圆相切的一条直线方程是( ) (A)4cos =θρ (B) 4cos -=θρ (C) 4sin =θρ (D) 4sin -=θρ(文)方程0||2=+x x 在复数集内的解集是( )(A){0} (B){0,i} (C){0,i,-i} (D){0,1,-1}4.(理)已知方程022=+-a ix x 有实根,则复数α在复平面内对应的点的轨迹是( )(A)一个点 (B)一条直线 (C)半个平面 (D)抛物线 (文)复数a+|b|i 和c+|d|i 相等的充要条件是( )(A)a=c,b=d (B)a=c,b=-d (C)a=c,b 2+d 2=0 (D) a=c,b 2=d 25.(理)椭圆⎩⎨⎧+-=+=θθsin 51cos 33y x (t 为参数)的两个焦点是( )(A)(-3,5),(-3,3) (B) (7,1),(-1,-1) (C)(1,1),(-7,1) (D) (3,3),(3,5)(文)五本不同的书分给4位同学每人至少1本不同的分法共有多少种( )(A)48 (B)60 (C)120 (D)2406. 设复平面内的点Z 1,Z 2分别对应复数z 1=1,z 2=3i ,将向量21Z Z 绕点Z 1逆时针方向旋转90°,得向量32Z Z ,则点Z 3对应的复数是( )(A)-3-i (B)3+i (C)-2-i (D)3+4i7.(理)以双曲线⎩⎨⎧==θθtg y x 3sec 4(θ为参数)的右焦点为顶点,左顶点为焦点的抛物线方程是( )(A) y 2= -36(x-5) (B) y 2= -36(x+5) (C) y 2= -18(x-5) (D) y 2= -4(x-5)(文)以双曲线13422=-y x 的右焦点为顶点,左顶点为焦点的抛物线方程是( )(A) y 2= -36(x-5) (B) y 2= -36(x+5) (C) y 2= -18(x-5) (D) y 2= -4(x-5) 8.已知|z|≤1则:arg(z-2i)的最大值是( )(A)34π (B) 35π (C) 611π (D) 32π 9.双曲线2mx 2-my 2=1的一条准线方程是y=1,则m 的值是( ) (A) 31- (B) 34- (C)31 (D) 55 10.某人射击8枪,命中4枪, 命中4枪恰有3枪连在一起的种数是( )(A) 20 (B) 224 (C) 480 (D) 72011.若动点P 到定点(0,-3)的距离比他到x 轴的距离多3则点P 的轨迹方程是( )(A) x 2= -12y (B) x 2=12y(C) y 2=-12x 或y=0(x ≥0) (D) x 2=-12y 或x=0(y ≥0)12.身高互不相同的6个人排成2横行3纵列,在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮,则所有不同的排法种数是( )(A)15 (B)84 (C)90 (D)54013.过双曲线2x 2-y 2-8x+6=0的右焦点作直线l 交双曲线于A,B 两点若|AB|=4,则这样的直线l 的条数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)414. 3男2女5个小孩排在一排照像,儿女孩之间有且仅有1个男孩的不同排法种数是( )(A)36 (B)18 (C)12 (D)6高二期末数学复习试卷15.(理)若点是圆⎩⎨⎧==θθsin 3cos 3y x (θ为参数)上到直线的距离最小的点,则点的坐标是 .(文) 双曲线18422=-y x 的两渐近线的夹角的正切值是 .16.若抛物线的顶点在原点,焦点在y 轴上,抛物线上的一个点的纵坐标是–3,且该点与焦点的距离是5,则该抛物线的准线方程是 .17.若11+-z z 是纯虚数,则|z 2 – z+1|的最大值是 . 18.(1+5x )15展开式中系数最大的项是 .19.如果曲线x 2–y 2 – 2x –2y –1=0,平移坐标轴后的新方程是 ,1''22=-y x 那么新坐标系的原点在就坐标系下的坐标是 .三、 解答题20. 已知: | z 1|=| z 2|=2,arg z 1≠2π,arg(z 1-32)=65π,且221z z ⋅的对应点在虚轴的负半轴上,求z 1和z 2.21.设z 1,z 2为非0复数,且z 12 -k z 1z 2+z 22=0(k ∈R),21z z 为虚数 (1) 求证:| z 1|=| z 2|(2) 若 k ∈N, z 2=1+ai,arg(z 1+ z 2)=4π,求实数a 的值 22. 已知双曲线0)b 0,(a by a x >>=-12222的离心率e=332,过点A(0,-b),和B(a,0)的直线与原点间的距离为23,(1)求双曲线的方程(2)是否存在实数k,使直线y=kx+1使直线与双曲线的两个交点C,D 关于y=2x 对称?若存在求出k, 若不存在,说明理由.23.(理)已知抛物线4322+-=x x y ,过其焦点F 作抛物线交抛物线于A,B 两点,且满足AF:FB=1:2. (1) 求此直线方程.(2) 求弦AB 中点到抛物线准线的距离.(文) 点M 是抛物线y 2=x 上的一动点,定点A(0,a)关于点M 的对称点是P(a ≠0).(1) 求点P 的轨迹方程;(2) 设(1)中轨迹与抛物线y 2=x 交于B,C 两点,则当AB ⊥AC 时,求a 的值.。
成都高2025届高二期末考试数学复习试题(三)(答案在最后)一、单选题(共8个小题,每个小题5分,共40分)1.设直线l sin 20y θ++=,则直线l 的倾斜角的取值范围是()A.[)0,πB.πππ2π,,3223⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C.π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.π2π0,,π33⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭U 【答案】D 【解析】【分析】根据直线斜率的范围求倾斜角的取值范围.sin 20y θ++=的倾斜角为[)0πa a Î,,,则由直线可得tan a q =Î,所以π2π0,,π33a 轾轹÷Î犏÷犏臌滕,故选:D2.能够使得圆x 2+y 2-2x +4y +1=0上恰有两个点到直线2x +y +c =0距离等于1的c 的一个值为()A.2B.C.3D.【答案】C 【解析】【分析】利用圆心到直线的距离大于1且小于3,列不等式求解即可.【详解】由圆的标准方程()()22124x y -++=,可得圆心为()1,2-,半径为2,根据圆的性质可知,当圆心到直线的距离大于1且小于3时,圆上有两点到直线20x y c ++=的距离为1,由()1,3d =可得(c ∈-⋃,经验证,3c =∈,符合题意,故选C.【点睛】本题主要考查圆的标准方程,点到直线距离公式的距离公式以及圆的几何性质,意在考查数形结合思想的应用,属于中档题.3.若椭圆的中心为原点,对称轴为坐标轴,短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形,焦点到椭圆上点的)A.221129x y +=B.221129x y +=或221912x y +=C.2213612x y += D.以上都不对【答案】B 【解析】【分析】由短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形可得b =,由焦点到椭圆上点的最短距离为a c -,结合222a b c =+可得.【详解】由题意,当椭圆焦点在x 轴上,设椭圆方程为:22221x ya b+=,由题意b =,a c -=所以2a c ===,c =a =,3b =,所以椭圆方程为:221129x y +=,当椭圆焦点在y 轴上时,同理可得:221912x y+=,故选:B4.某市经济开发区的经济发展取得阶段性成效,为深入了解该区的发展情况,现对该区两企业进行连续11个月的调研,得到两企业这11个月利润增长指数折线图(如下图所示),下列说法正确的是()A.这11个月甲企业月利润增长指数的平均数没超过82%B.这11个月的乙企业月利润增长指数的第70百分位数小于82%C.这11个月的甲企业月利润增长指数较乙企业更稳定D.在这11个月中任选2个月,则这2个月乙企业月利润增长指数都小于82%的概率为411【答案】C 【解析】【分析】根据折线图估算AC ,对于B 项把月利润增长指数从小到大排列,计算1170⨯%=7.7可求,对于D 项用古典概型的概率解决.【详解】显然甲企业大部分月份位于82%以上,故利润增长均数大于82%,A 不正确;乙企业润增长指数按从小到大排列分别是第2,1,3,4,8,5,6,7,9,11,10又因为1170⨯%=7.7,所以从小到大排列的第8个月份,即7月份是第70百分位,从折线图可知,7月份利润增长均数大于82%,故B 错误;观察折现图发现甲企业的数据更集中,所以甲企业月利润增长指数较乙企业更稳定,故C 正确;P (2个月乙企业月利润增长指数都小于82%)26211C 3C 11==,故D 错误.故选:C.5.已知空间三点(4,1,9),(10,1,6),(2,4,3)A B C -,则下列结论不正确的是()A.||||AB AC =B.点(8,2,0)P 在平面ABC 内C.AB AC ⊥D.若2AB CD =,则D 的坐标为31,5,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据空间两点距离公式判断A ,根据数量积的坐标运算判断B ,根据共面向量基本定理判断C ,根据向量的坐标运算判断D.【详解】因为||7AB ==,||7AC ==,故A 正确;因为(6,2,3)(2,3,6)126180AB AC →→⋅=--⋅--=--+=,所以AB AC ⊥,故C 正确;因为(6,2,3),(2,3,6)AB AC →→=--=--,(4,1,9)AP →=-,所以(4,1,9)AP AB AC →→→=+=-,所以点(8,2,0)P 在平面ABC 内,故B 正确;因为92(1,9,))(62(22,31,8,,),92AB CD ==------=-- ,显然不成立,故D 错误.故选:D6.已知某人收集一个样本容量为50的一组数据,并求得其平均数为70,方差为75,现发现在收集这些数据时,其中得两个数据记录有误,一个错将80记录为60,另一个错将70记录为90,在对错误得数据进行更正后,重新求得样本的平均数为X ,方差为2s ,则()A.270,75X sB.270,75X s ><C.270,75X s =>D.270,75X s =<【答案】D 【解析】【分析】根据平均数与方差的定义判断.【详解】因为80706090+=+,因此平均数不变,即70X =,设其他48个数据依次为1248,,,a a a ,因此()()()()()222221248707070607090705075a a a -+-++-+-+-=⨯ ,()()()()()22222212487070708070707050a a a s -+-++-+-+-=⨯ ,()250751004001004000s -=--=-<,∴275s <,故选:D .7.如图所示,在直三棱柱111ABC A B C -中,ACBC ⊥,且3BC =,4AC =,13CC =,点P 在棱1AA 上,且三棱锥A PBC -的体积为4,则直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值等于()A.4B.4C.5D.5【答案】C 【解析】【分析】利用锥体的体积公式可求得2PA =,然后以点C 为坐标原点,CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法可求得直线1BC 与平面PBC 所成角的正弦值.【详解】由已知得1AA ⊥底面ABC ,且AC BC ⊥,所以111344332A PBC P ABC ABC V V S PA PA --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△,解得2PA =.如图所示,以点C 为坐标原点,CB 、CA 、1CC 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系,则()0,0,0C 、()0,4,2P 、()3,0,0B 、()10,0,3C ,则()3,0,0CB = ,()0,4,2CP = ,()13,0,3BC =-.设平面BCP 的法向量为(),,n x y z =,则由00n CB n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得30420x y z =⎧⎨+=⎩,即020x y z =⎧⎨+=⎩,得0x =,令1y =,得2z =-,所以()0,1,2n =-为平面BCP 的一个法向量.设直线1BC 与平面PBC 所成的角为θ,则11110sin cos ,5n BC n BC n BC θ⋅=<>==⋅.故选:C.【点睛】方法点睛:求直线与平面所成角的方法:(1)定义法,①作,在直线上选取恰当的点向平面引垂线,确定垂足的位置是关键;②证,证明所作的角为直线与平面所成的角,证明的主要依据是直线与平面所成角的概念;③求,利用解三角形的知识求角;(2)向量法,sin cos ,AB n AB n AB nθ⋅=<>=⋅ (其中AB 为平面α的斜线,n为平面α的法向量,θ为斜线AB 与平面α所成的角).8.已知F 1,F 2分别为双曲线C :221412x y -=的左、右焦点,E 为双曲线C 的右顶点.过F 2的直线与双曲线C的右支交于A ,B 两点(其中点A 在第一象限),设M ,N 分别为△AF 1F 2,△BF 1F 2的内心,则ME NE -的取值范围是()A.44,33⎛⎫-⎪⎝⎭B.,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C.3333,55⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭ D.,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】利用平面几何和内心的性质,可知M ,N 的横坐标都是a ,得到MN ⊥x 轴,设直线AB 的倾斜角为θ,有22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ,根据θ∈(60∘,90∘],将ME NE -表示为θ的三角函数可求得范围.【详解】解:设1212,,AF AF F F 上的切点分别为H 、I 、J ,则1122||||,,===AH AI F H F J F J F I .由122AF AF a -=,得()()12||||2+-+=AH HF AI IF a ,∴122-=HF IF a ,即122-=JF JF a.设内心M 的横坐标为0x ,由JM x ⊥轴得点J 的横坐标也为0x ,则()()002c x c x a +--=,得0x a =,则E 为直线JM 与x 轴的交点,即J 与E 重合.同理可得12BF F △的内心在直线JM 上,设直线AB 的领斜角为θ,则22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ,||||()tan()tan 22--=---ME NE c a c a πθθcos sin 2cos 222()()()sin tan sin cos 22⎛⎫ ⎪=-⋅-=-=-⎪ ⎪⎝⎭c a c a c a θθθθθθθ,当2πθ=时,||||0ME NE -=;当2πθ≠时,由题知,2,4,===b a c a,因为A ,B 两点在双曲线的右支上,∴233ππθ<<,且2πθ≠,所以tan θ<tan θ>,∴3133tan 3θ-<<且10tan θ≠,∴44343||||,00,tan 33⎛⎫⎛⎫-=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ME NE θ,综上所述,44343||||,tan 33⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭ME NE θ.故选:B.二、多选题(共4个小题,每个小题5分,共20分)9.已知甲罐中有五个相同的小球,标号为1,2,3,4,5,乙罐中有四个相同的小球,标号为1,4,5,6,现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球,记事件A =“抽取的两个小球标号之和大于6”,事件B =“抽取的两个小球标号之积小于6”,则()A.事件A 与事件B 是互斥事件B.事件A 与事件B 不是对立事件C.事件A B ⋃发生的概率为1920D.事件A 与事件B 是相互独立事件【答案】ABC 【解析】【分析】由两球编号写出事件,A B 所含有的基本事件,同时得出所有的基本事件,然后根据互斥事件、对立事件的定义判断AB ,求出A B ⋃的概率判断C ,由公式()()()P AB P A P B =判断D .【详解】甲罐中小球编号在前,乙罐中小球编号在后,表示一个基本事件,事件A 含有的基本事件有:16,25,26,34,35,36,44,45,46,54,55,56,共12个,事件B 含有的基本事件有:11,14,15,21,31,41,51,共7个,两者不可能同时发生,它们互斥,A 正确;基本事件15发生时,事件,A B 均不发生,不对立,B 正确;事件A B ⋃中含有19个基本事件,由以上分析知共有基本事件20个,因此19()20P A B =,C 正确;123()205P A ==,7()20P B =,()0P AB =()()P A P B ≠,,A B 不相互独立,D 错.故选:ABC .10.在如图所示试验装置中,两个长方形框架ABCD 与ABEF 全等,1AB =,2BC BE ==,且它们所在的平面互相垂直,活动弹子,M N 分别在长方形对角线AC 与BF 上移动,且(0CM BN a a ==<<,则下列说法正确的是()A.AB MN⊥ B.MN 2C.当MN 的长最小时,平面MNA 与平面MNB 所成夹角的余弦值为13D .()25215M ABN a V-=【答案】ABC 【解析】【分析】建立空间直角坐标系,写出相应点的坐标,利用空间向量数量积的运算即可判断选项A ;利用空间两点间距离公式即可判断选项B ;根据二面角的余弦值推导即可判断选项C ;根据棱锥的体积计算公式即可判断选项D .【详解】由题意可知:,,BA BC BE 两两互相垂直,以点B 为坐标原点,,,BA BE BC为,,x y z 轴正方向,建立空间直角坐标系,建系可得525525,0,2,,,05555a a a a M N ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()25250,,2,1,0,055a a MN BA ⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭,0,AB MN AB MN ∴⋅=∴⊥,故选项A 正确;又MN===∴当2a=时,min||MN=,故选项B正确;当MN最小时,,,2a M N=分别是,AC BF的中点,取MN中点K,连接AK和BK,,AM AN BM BN==,,AK MN BK MN∴⊥⊥,AKB∠∴是二面角A MN B--的平面角.BMN中,,2BM BN MN===,可得2BK==,同理可得2AK=,由余弦定理可得331144cos322AKB∠+-==,故选项C 正确;2125252522365515M ABN ABNa aV S h-⎛⎫-=⨯⨯=⨯-=⎪⎪⎝⎭,故选项D错误.故选:ABC.11.抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经拋物线反射后,沿平行于拋物线对称轴的方向射出.反之,平行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线2:,C y x O=为坐标原点,一束平行于x轴的光线1l从点41,116P⎛⎫⎪⎝⎭射入,经过C上的点()11,A x y反射后,再经C上另一点()22,B x y 反射后,沿直线2l 射出,经过点Q ,则()A.PB 平分ABQ ∠B.121y y =-C.延长AO 交直线14x =-于点D ,则,,D B Q 三点共线D.2516AB =【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ,根据题意求得()1,1A ,11,164B ⎛⎫- ⎪⎝⎭,从而证得PA AB =,结合平面几何的知识易得PB 平分ABQ ∠;对于B ,直接代入12,y y 即可得到1214y y =-;对于C ,结合题意求得11,44D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,由,,D B Q 的纵坐标相同得,,D B Q 三点共线;对于D ,由选项A 可知2516AB =.【详解】根据题意,由2:C y x =得1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭,又由//PA x 轴,得()1,1A x ,代入2:C y x =得11x =(负值舍去),则()1,1A ,所以141314AF k ==-,故直线AF 为4134y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,即4310x y --=,依题意知AB 经过抛物线焦点F ,故联立24310x y y x --=⎧⎨=⎩,解得11614x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,即11,164B ⎛⎫- ⎪⎝⎭,对于A ,412511616PA =-=,2516AB =,故PA AB =,所以APB ABP ∠=∠,又因为//PA x 轴,//BQ x 轴,所以//PA BQ ,故APB PBQ =∠∠,所以ABP PBQ ∠=∠,则PB 平分ABQ ∠,故A 正确;对于B ,因为12141,y y =-=,故1214y y =-,故B 错误;对于C ,易得AO 的方程为y x =,联立14y x x =⎧⎪⎨=-⎪⎩,故11,44D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,又//BQ x 轴,所以,,D B Q 三点的纵坐标都相同,则,,D B Q 三点共线,故C 正确;对于D ,由选项A 知2516AB =,故D 正确.故选:ACD..12.己知椭圆222:1(02)4x y C b b+=<<的左,右焦点分别为1F ,2F ,圆22:(2)1M x y +-=,点P 在椭圆C 上,点Q 在圆M 上,则下列说法正确的有()A.若椭圆C 和圆M 没有交点,则椭圆C的离心率的取值范围是2,1⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B.若1b =,则||PQ 的最大值为4C.若存在点P 使得213PF PF =,则0b <≤D.若存在点Q使得12QF =,则1b =【答案】ACD 【解析】【分析】A 根据已知,数形结合得01b <<时椭圆C 和圆M 没有交点,进而求离心率范围;B 令(,)P x y ,求得||MP =,结合椭圆有界性得max ||MP =即可判断;C 由题设123,1PF PF ==,令(,)P x y,进而得到((222291x y x y⎧++=⎪⎨⎪-+=⎩,结合点在椭圆上得到公共解(0,2]x =求范围;D将问题化为圆心为的圆与圆22:(2)1M x y +-=有交点.【详解】由椭圆C 中2a =,圆M 中圆心(0,2)M ,半径为1,如下图示,A :由于02b <<,由图知:当01b <<时椭圆C 和圆M 没有交点,此时离心率,12e ⎛⎫⎪ ⎪⎝==⎭,对;B :当1b =时,令(,)P x y,则||MP =,而224(1)x y =-,所以||MP =,又11y -≤≤,故max ||MP =所以||PQ1+,错;C :由1224PF PF a +==,若213PF PF =,则123,1PF PF ==,由12(F F ,令(,)P x y ,且2221)(4x y b =-,则((222291x y x y⎧++=⎪⎨⎪+=⎩,即2222(4)200(4)120b x b x ⎧-+-=⎪⎨--+=⎪⎩,所以(0,2]x =,则23b ≤,且02b <<,故0b <≤D :令(,)Q x y,若12QF =,所以2222(3[(]x y x y +=-+,则222(4)0x b y -+-+=,所以222(3(4)x y b -+=-,Q轨迹是圆心为的圆,而(0,2)M与的距离为,要使点Q 存在,则1|1-≤≤,可得22(1)0b -≤,且02b <<,即1b =,对;故选:ACD【点睛】关键点点睛:对于C ,根据已知得到123,1PF PF ==,设(,)P x y ,利用两点距离公式得到方程组,求出公共解(0,2]x =为关键;对于D ,问题化为圆心为的圆与圆22:(2)1M x y +-=有交点为关键.三、填空题(共4个小题,每个小题5分,共20分)13.若直线1x y +=与直线2(1)40m x my ++-=平行,则这两条平行线之间的距离是__.【答案】322【解析】【分析】由题意结合直线平行的性质可得2m =-,再由平行线间的距离公式即可得解.【详解】 直线1x y +=与直线2(1)40m x my ++-=平行,∴2(1)4111m m +-=≠-,解得2m =-,故直线1x y +=与直线2(1)40m x my ++-=即为直线10x y +-=与直线20x y ++=,2=,故答案为:2.【点睛】本题考查了直线平行性质的应用,考查了平行线间距离公式的应用,属于基础题.14.曲线1y =+与直线l :y =k (x -2)+4有两个交点,则实数k 的取值范围是________.【答案】53124,纟çúçú棼【解析】【分析】首先画出曲线表示的半圆,再判断直线l 是过定点()24,的直线,利用数形结合判断k 的取值范围.【详解】直线l 过点A (2,4),又曲线1y =+0,1)为圆心,2为半径的半圆,如图,当直线l 与半圆相切,C 为切点时,圆心到直线l 的距离d =r,2=,解得512k =.当直线l 过点B (-2,1)时,直线l 的斜率为()413224-=--,则直线l 与半圆有两个不同的交点时,实数k 的取值范围为53124,纟çúçú棼.故答案为:53124,纟çúçú棼15.数学兴趣小组的四名同学各自抛掷骰子5次,分别记录每次骰子出现的点数,四名同学的部分统计结果如下:甲同学:中位数为3,方差为2.8;乙同学:平均数为3.4,方差为1.04;丙同学:中位数为3,众数为3;丁同学:平均数为3,中位数为2.根据统计结果,数据中肯定没有出现点数6的是______同学.【答案】乙【解析】【分析】假设出现6点,利用特例法,结合平均数和方差的计算公式,即可求解.【详解】对于甲同学,当投掷骰子出现结果为1,2,3,3,6时,满足中位数为3,平均数为:()11233635x =++++=,方差为()()()()()22222211323333363 2.85S ⎡⎤-+-+-+-+-⎣⎦==,可以出现点数6;对于乙同学,若平均数为3.4,且出现点数6,则方差221(6 3.4) 1.352 1.045S >-=>,所以当平均数为3.4,方差为1.04时,一定不会出现点数6;对于丙同学,当掷骰子出现的结果为1,2,3,3,6时,满足中位数为3,众数为3,可以出现点数6;对于丁同学,当投掷骰子出现的结果为2,2,2,3,6时,满足平均数为3,中位数为2,可以出现点数6.综上,根据统计结果,数据中肯定没有出现点数6的是乙同学.故答案为:乙16.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ,离心率为e ,点P 在椭圆上,连接1PF 并延长交C 于点Q ,连接2QF ,若存在点P 使2PQ QF =成立,则2e 的取值范围为___________.【答案】)11,1⎡-⎣【解析】【分析】设11,QF m PF n ==,所以存在点P 使2PQ QF =等价于()2min0,PQ QF -≤由2112am n b +=可求222PQ QF m n a -=+-的最小值,求得22b a的范围,从而得到2e 的取值范围.【详解】设11,QF m PF n ==,则22QF a m =-.显然当P 靠近右顶点时,2PQ QF >,所以存在点P 使2PQ QF =等价于()22min0,22PQ QF PQ QF m n a -≤-=+-,在12PF F △中由余弦定理得22221121122cos PF PF F F PF F F θ=+-⋅⋅,即()2222422cos a n n c n c θ-=+-⋅⋅,解得2cos b n a c θ=-,同理可得2cos b m a c θ=+,所以2112a m n b +=,所以()(2223112223222b b b n m m n m n a m n a m n a +⎛⎫⎛⎫+=++=++≥ ⎪ ⎝⎭⎝⎭,所以22min1)(22)22b m n a a a++-=-,当且仅当n =时等号成立.由221)202b a a+-≤得2212b a ≤-,所以2111e -≤<.故答案为:)11,1⎡-⎣【点睛】关键点点睛:求离心率范围关键是建立,,a b c 的不等式,此时将问题转化为()2min0PQ QF -≤,从而只需求222PQ QF m n a -=+-的最小值,求最小值的方法是结合焦半径性质211112aPF QF b+=使用基本不等式求解.四、解答题(共7个题,17题10分,18题—22题每题12分,共70分)17.在平面直角坐标系xOy 中,存在四点()0,1A ,()7,0B ,()4,9C ,()1,3D .(1)求过A ,B ,C 三点的圆M 的方程,并判断D 点与圆M 的位置关系;(2)若过D 点的直线l 被圆M 截得的弦长为8,求直线l 的方程.【答案】(1)228870x y x y +--+=,D 在圆M 内;(2)43130x y +-=或1x =.【解析】【分析】(1)设出圆的一般方程,利用待定系数法计算可得圆的方程,把D 坐标代入圆的方程判定位置关系即可;(2)对直线分类讨论,设出直线方程,利用直线与圆相交,已知弦长求直线方程.【小问1详解】设圆M 方程为220x y Dx Ey F ++++=,把A ,B ,C 三点坐标代入可得:10,4970,1681490,E F D F D E F ++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩解得8D =-,8E =-,7F =,所以圆M 方程是228870x y x y +--+=,把D 点坐标代入可得:1982470+--+<,故D 在圆M 内;【小问2详解】由(1)可知圆M :()()224425x y -+-=,则圆心()4,4M ,半径=5r ,由题意可知圆心到直线l 的距离是3,当直线l 斜率存在时,设直线l 方程为:()1330y k x kx y k =-+⇒-+-=,3=,解得43k =-,故直线l 的方程为43130x y +-=;当直线l 斜率不存在时,则直线l 方程为:1x =,此时圆心到直线l 的距离是3,符合题意.综上所述,直线l 的方程为43130x y +-=或1x =.18.我校举行的“青年歌手大选赛”吸引了众多有才华的学生参赛.为了了解本次比赛成绩情况,从中抽取了50名学生的成绩作为样本进行统计.请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图(如图所示)解决下列问题:频率分布表组别分组频数频率第1组[50,60)80.16第2组[60,70)a ▓第3组[70,80)200.40第4组[80,90)▓0.08第5组[90,100]2b 合计▓▓(1)求出a ,b ,x ,y 的值;(2)在选取的样本中,从成绩是80分以上的同学中随机抽取2名同学参加元旦晚会,求所抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率;(3)根据频率分布直方图,估计这50名学生成绩的中位数、平均数和方差(同一组的数据用该组区间的中点值作代表).【答案】(1)a =16,b =0.04,x =0.032,y =0.004(2)35(3)中位数为70.5,平均数为70.2,方差为96.96【解析】【分析】(1)利用频率=100%⨯频数样本容量,及频率组距表示频率分布直方图的纵坐标即可求出a ,b ,x ,y ;(2)由(2)可知第四组的人数,已知第五组的人数是2,利用组合的计算公式即可求出从这6人中任选2人的种数,再分两类分别求出所选的两人来自同一组的情况,利用互斥事件的概率和古典概型的概率计算公式即可得出.(3)根据频率分布直方图,估计这50名学生成绩的中位数、平均数和方差.【小问1详解】由题意可知,样本容量n =8500.16=,∴b =250=0.04,第四组的频数=50×0.08=4,∴508202416a =----=.y =0.0410=0.004,x =1650×110=0.032.∴a =16,b =0.04,x =0.032,y =0.004.【小问2详解】由题意可知,第4组共有4人,记为A ,B ,C ,D ,第5组共有2人,记为X ,Y .从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取2名同学,有AB ,AC ,AD ,BC ,BD ,CD ,AX ,AY ,BX ,BY ,CX ,CY ,DX ,DY ,XY ,共15种情况.设“随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组”为事件E ,有AX ,AY ,BX ,BY ,CX ,CY ,DX ,DY ,XY 共9种情况.所以随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率是P (E )=93155=.∴随机抽取的2名同学中至少有1名同学来自第5组的概率35.【小问3详解】∵[50,70)的频率为:0.160.320.48+=,[70,80)的频率为0.4,∴中位数为:0.50.48701070.50.4-+⨯=,平均数为:550.16650.32750.4850.08950.0470.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.方差为:()()()()()222225570.20.166570.20.327570.20.48570.20.089570.20.0496.96⨯+⨯+⨯+⨯+⨯﹣﹣﹣﹣﹣=.19.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ,点0(,4)M x 在C 上,且52pMF =.(1)求点M 的坐标及C 的方程;(2)设动直线l 与C 相交于,A B 两点,且直线MA 与MB 的斜率互为倒数,试问直线l 是否恒过定点?若过,求出该点坐标;若不过,请说明理由.【答案】(1)M 的坐标为()4,4,C 的方程为24y x =;(2)直线l 过定点()0,4-.【解析】【分析】(1)利用抛物线定义求出0x ,进而求出p 值即可得解.(2)设出直线l 的方程x my n =+,再联立直线l 与抛物线C 的方程,借助韦达定理探求出m 与n 的关系即可作答.【小问1详解】抛物线2:2C y px =的准线:2px =-,于是得0522p p MF x =+=,解得02x p =,而点M 在C 上,即2164p =,解得2p =±,又0p >,则2p =,所以M 的坐标为()4,4,C 的方程为24y x =.【小问2详解】设()()1122,,,A x y B x y ,直线l 的方程为x my n =+,由24x my n y x =+⎧⎨=⎩消去x 并整理得:2440y my n --=,则()2160m n ∆=+>,124y y m +=,124y y n =-,因此,121222121212444444144444444MA MB y y y y k k y y x x y y ----⋅=⋅==⋅=--++--,化简得()121240y y y y ++=,即4n m =,代入l 方程得4x my m =+,即()40x m y -+=,则直线l 过定点()0,4-,所以直线l 过定点()0,4-.【点睛】思路点睛:直线与圆锥曲线相交,直线过定点问题,设出直线的斜截式方程,与圆锥曲线方程联立,借助韦达定理求出直线斜率与纵截距的关系即可解决问题.20.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是直角梯形,AD AB ⊥,//AB DC ,PA ⊥底面ABCD ,点E 为棱PC 的中点.22AD DC AP AB ====.()1证明://BE 平面PAD .()2若F 为棱PC 上一点,满足BF AC ⊥,求二面角F AD C --的余弦值.【答案】()1证明见解析;()210.【解析】【分析】()1在PD 上找中点G ,连接AG ,EG ,利用三角形中位线性质得出12EG CD =,因为底面ABCD 是直角梯形,2CD AB =,所以能得出EG 平行且等于AB ,得出四边形ABEG 为平行四边形,再利用线面平行的判定,即可证出//BE 平面PAD ;()2根据BF AC ⊥,求出向量BF的坐标,进而求出平面FAD 和平面ADC 的法向量,代入向量夹角公式,可得二面角F AD C --的余弦值.【详解】解:()1证明:在PD 上找中点G ,连接AG ,EG ,图象如下:G 和E 分别为PD 和PC 的中点,∴EG //CD ,且12EG CD =,又 底面ABCD 是直角梯形,2CD AB =∴AB //CD ,且12AB CD =,∴AB GE //且AB GE =.即四边形ABEG 为平行四边形.∴AG E //B .AG ⊂平面PAD ,BE ⊄平面PAD ,∴//BE 平面PAD.()2以A 为原点,以AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴,AP 所在直线为z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,可得()1,0,0B ,()2,2,0C ,()0,2,0D ,()002P ,,,()1,1,1E ,()1,2,0BC = ,()2,2,2CP =-- ,()2,2,0AC = .由F 为棱PC 上一点,设()2,2,2CF CP λλλλ==-- ()01λ≤≤,所以()12,22,2BF BC CF λλλ=+=-- ()01λ≤≤,由BF AC ⊥,得()()2122220BF AC λλ⋅=-+-= ,解得34λ=,即113,,222BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,()1131131,0,0,,,,222222AF AB BF ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设平面FAD 的法向量为(),,n a b c = ,由00n AF n AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 可得113022220a b c b ⎧++=⎪⎨⎪=⎩所以030b a c =⎧⎨+=⎩,令1c =,则3a =-,则()3,0,1n =- ,取平面ADC 的法向量为()0,0,1m = ,则二面角F AD C --的平面角α满足:cos 10m n m nα⋅===⋅ ,故二面角F AD C --的余弦值为10.【点睛】本题考查线面平行的判定,空间二面角的平面角,建立空间直角坐标系,将二面角问题转化为向量夹角问题,属于难题.21.已知O 为坐标原点,()120F -,,()220F ,,点P 满足122PF PF -=,记点P 的轨迹为曲线.E (1)求曲线E 的方程;(2)过点()220F ,的直线l 与曲线E 交于A B ,两点,求+ OA OB 的取值范围.【答案】(1)()2211.3y x x -=≥(2)[)4∞+,【解析】【分析】(1)根据双曲线的定义,易判断点P 的轨迹是双曲线的右支,求出,a b 的值,即得;(2)设出直线方程与双曲线方程联立消元得到一元二次方程,推出韦达定理,依题得出参数m 的范围,将所求式等价转化为关于m 的函数式,通过整体换元即可求出其取值范围.【小问1详解】因()120F -,,()220F ,,且动点P 满足12122PF PF F F -=<,由双曲线的定义知:曲线E 是以12F F ,为焦点的双曲线的右支,且2c =,1a =,则2223b c a =-=,故曲线E 的方程为()2211.3y x x -=≥【小问2详解】当直线l 的斜率为0时,直线l 与双曲线的右支只有一个交点,故不符题意.如图,不妨设直线l 方程为:2x my =+,设()11A x y ,,()22B x y ,,联立22213x my y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,得()22311290m y my -++=,由韦达定理得1221221231931m y y m y y m -⎧+=⎪⎪-⎨⎪⋅=⎪-⎩,2121222124()443131m x x m y y m m -+=++=+=---,2212121212234(2)(2)2()431m x x my my m y y m y y m +⋅=++=+++=--.由题意:()()22212221223101243190403134031m m m x x m m x x m ⎧-≠⎪-⨯-⨯>⎪⎪⎪⎨+=->⎪-⎪+⎪⋅=->⎪-⎩,解得:210.3m ≤<OA OB +=====,令2131t m =-,因210,3m ≤<故1t ≤-,而OA OB +== ,在(],1t ∞∈--为减函数,故4OA OB +≥ ,即OA OB + 的取值范围为[)4∞+,.22.如图,已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与等轴双曲线2C 共顶点(±,过椭圆1C 上一点P (2,-1)作两直线与椭圆1C 相交于相异的两点A ,B ,直线PA 、PB 的倾斜角互补,直线AB 与x ,y 轴正半轴相交,分别记交点为M ,N .(1)求直线AB 的斜率;(2)若直线AB 与双曲线2C 的左,右两支分别交于Q ,R ,求NQ NR 的取值范围.【答案】(1)12-(2)11(1,9+【解析】【分析】(1)先求出椭圆方程,联立直线与椭圆方程,利用韦达定理求解A ,B 坐标,直接计算直线AB 斜率即可.(2)联立直线与双曲线的方程,利用求根公式表示出Q ,R 的坐标,化简NQ NR 的表达式,整理求出NQ NR的取值范围即可得出结果.【小问1详解】由题椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>,顶点(±,可得a =(2,1)P -在椭圆1C 上,即24118b +=,得22b =,所以椭圆方程为22182x y +=,设等轴双曲线2C :222x y m -=,0m >,由题意等轴双曲线2C 的顶点为(±,可得2=8m ,所以双曲线2C 的方程为:228x y -=,因为直线PA 、PB 的倾斜角互补,且A ,B 是不同的点,所以直线PA 、PB 都必须有斜率,设直线PA 方程为(2)1y k x =--,联立22(2)1182y k x x y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得2222(14)(168)161640k x k k x k k +-+++-=,A 和P 点横坐标即为方程两个根,可得221681+4A P k k x x k ++=,因为=2P x ,所以22882=14A k k x k +-+,代入直线PA 可得2244114A k k y k--=+,即2222882441(,)1414k k k k A k k+---++,又因为直线PA 、PB 的倾斜角互补,将k 换成k -,可得2222882441(,)1414k k k k B k k --+-++,两点求斜率可得出12AB k =-所以直线AB 的斜率为12-【小问2详解】由(1)可设直线AB 的方程:12y x n =-+,又因为直线AB 与x ,y 轴正半轴相交,则0n >,联立方程组2212182y x n x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,整理得2224480x nx n -+-=,22Δ168(48)0n n =-->,解得02n <<.联立直线AB 和双曲线方程221(02)28y x n n x y ⎧=-+<<⎪⎨⎪-=⎩,消去y 得22344320x nx n +--=,利用求根公式可得23n x -±=,所以1Q R x NQ NR x ====,又因为204n <<,所以2632n >,则11>,即29<,所以1121019NQNR+<<,所以NQNR 的取值范围为11210(1,9+【点睛】方法点睛:(1)解答直线与圆锥曲线题目时,时常把两个曲线的方程联立,消去一个未知数建立一元二次方程,然后借助根与系数的关系,并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.(2)涉及到直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率不存在的特殊情况.。
高二期末复习卷一、单选题1.已知()f x '是()f x 的导函数,()f x '的图象如图所示,则()f x 的图象只可能是()A.B.C.D.2.“m>2”是“方程22212x ym m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2121S =,则616a a +的值为()A .1B .2C .3D .44.若直线l :12y x m =-+与曲线C :21164x x y +=有两个公共点,则实数m 的取值范围为()A.()(0,- B.(0,C .()()2,00,2-⋃D .()0,25.已知()f x 在0x x =处可导,则()()02200lim x x f x f x x x →-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-等于()A .()0f x 'B .()0f x C .()20f x '⎡⎤⎣⎦D .()()002f x f x '6.有关数据显示,2015年我国快递行业产生的包装垃圾约为400万吨.有专家预测,如果不采取措施,快递行业产生的包装垃圾年平均增长率将达到50%.由此可知,如果不采取有效措施,则从()年(填年份)开始,快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨.(参考数据:lg 20.3010,lg 30.4771≈≈)A .2019B .2020C .2021D .20227.数列{}n a 满足154a =,211n n n a a a +=-+,*n ∈N ,则122022111a a a +++ 的整数部分是()A .1B .2C .3D .48.已知抛物线22(0)y px p =>)的焦点为F ,过F 且倾斜角为π4的直线l 与抛物线相交于A ,B 两点,12AB =,过A ,B 两点分别作抛物线的切线,交于点Q .则下列四个命题中正确的个数是()个.①QA QB ⊥;②若M (1,1),P 是抛物线上一动点,则||||PM PF +的最小值为52;③AOB (O为坐标原点)的面积为;④(,0)2PM -,则tan AMB ∠=A .1B .2C .3D .4二、多选题9.下列说法正确的是()A .已知函数3()2f x x x =+,则该函数在区间[]1,3上的平均变化率为30B .已知11(,)A x y ,22(,)B x y 在函数()y f x =图象上,若函数()f x 从1x 到2x则曲线()y f x =的割线AB 的倾斜角为3πC .已知直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是221V t =-,则2t =时瞬时加速度为7D .已知函数()f x x =,则(9.05) 3.008f ≈10.在底面边长为2、高为4的正四棱柱1111ABCD A B C D -中,O 为棱1A A 上一点,且111,4A O A A P Q =、分别为线段1111B D A D 、上的动点,M 为底面ABCD 的中心,N 为线段AQ 的中点,则下列命题正确的是()A .CN 与QM 共面B .三棱锥A DMN -的体积为43C .PQ QO +的最小值为322D .当11113D Q D A = 时,过,,A Q M 三点的平面截正四棱柱所得截面的周长为()82103+11.数列{}n a 满足1a a =,2131n n n a a a +=--,则下列说法正确的是()A .若1a ≠且2a ≠,数列{}n a 单调递减B .若存在无数个自然数n ,使得1n n a a +=,则1a =C .当2a >或1a <时,{}n a 的最小值不存在D .当3a =时,121111,12222n a a a ⎛⎤++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∈ ⎥---⎝⎦12.设F 是抛物线2:4C y x =的焦点,直线:1l x ty =+与抛物线C 交于,A B 两点,O 为坐标原点,则下列结论正确的是()A .||4AB ≥B .OA OB ⋅可能大于0C .P 为抛物线上异于A 、B 的点,直线l 与准线交于点T ,当0,t A >为第一象限的点时,若APB α∠=,PF 平分APB ∠,则π2APT +∠=αD .若在抛物线上存在唯一一点Q (异于,)A B ,使得QA QB ⊥则3t =±三、填空题13.若()f x 为可导函数,且()()0121lim 14x f x f x→--=-,则过曲线()y f x =上点()()1,1f 处的切线斜率为______.14.对于数列{}n a ,若1,n n a a +是关于x 的方程2103n n x c x -+=的两个根,且12a =,则数列{}n c 所有项的和为________.15.法国数学家加斯帕•蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆,这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的蒙日圆为2223:2C x y a +=,过C 上的动点M 作Γ的两条切线,分别与C 交于P ,Q 两点,直线PQ 交Γ于A ,B 两点,则下列说法,正确的有______.①椭圆Γ的离心率为22②MPQ 面积的最大值为232a③M 到Γ的左焦点的距离的最小值为()22a-④若动点D 在Γ上,将直线DA ,DB 的斜率分别记为1k ,2k ,则1212k k =-16.已知数列{}n a 的通项公式为4152nn n a +⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭,设数列{}n a 的最大项和最小项分别为,M N ,则M N +=______.四、解答题17.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的四个顶点构成的四边形的面积为12.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过椭圆C 右焦点且倾斜角为135︒的直线l 交椭圆C 于M 、N 两点,求MN 的值.18.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>,四点12346,,4,,4,333M M M M ⎛⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中恰有三点在C 上.(1)求C 的方程;(2)过点(3,0)的直线l 交C 于P ,Q 两点,过点P 作直线1x =的垂线,垂足为A .证明:直线AQ 过定点.19.如图1,在等腰直角三角形ABC 中,4AC BC ==,D 是AC 的中点,E 是AB 上一点,且DE AB ⊥.将ADE V 沿着DE 折起,形成四棱锥-P BCDE ,其中点A 对应的点为点P ,如图2.(1)在图2中,在线段PB 上是否存在一点F ,使得CF ∥平面PDE ?若存在,请求出PFPB的值,并说明理由;若不存在,请说明理由;(2)在图2中,平面PBE 与平面PCD 所成的锐二面角的大小为3π,求四棱锥-P BCDE 的体积.20.在①11a =,525S =;②35a =,917a =;③416S =,864S =这三个条件中任选一个补充在下面的横线上并解答.已知等差数列{}n a 满足________.(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)求数列{3}n n a ⋅的前n 项和.n T (如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分)21.在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和,形成新的数列,我们把这样的操作称为该数列的一次“Z 拓展”.如数列1,2第1次“Z 拓展”后得到数列1,3,2,第2次“Z 拓展”后得到数列1,4,3,5,2.设数列a 、b 、c 经过第n 次“Z 拓展”后所得数列的项数记为n P ,所有项的和记为n S .(1)求1P 、2P ;(2)若2023n P ≥,求n 的最小值;(3)是否存在实数a 、b 、c ,使得数列{}n S 为等比数列?若存在,求a 、b 、c 满足的条件;若不存在,说明理由.21.记数列{}n a 的前n 项和为111,2,34n n n n S a S S a ++=+=-.(1)求{}n a 的通项公式;(2)设2log n n n b a a =,记{}n b 的前n 项和为n T .若2(1)2n t n T -+≤对于2n ≥且*N n ∈恒成立,求实数t 的取值范围.22.已知抛物线的顶点为原点,焦点F 在x轴的正半轴,F 到直线20x +=的距离为54.点()2,2N ,不过点N 的直线l 与抛物线交于两点,A B ,且2NA NB k k +=-.(1)求抛物线方程及抛物线的准线方程(2)求证:直线AB 过定点,并求该定点坐标.高二期末复习卷(答案)一、单选题1.已知()f x '是()f x 的导函数,()f x '的图象如图所示,则()f x 的图象只可能是()2.“m>2”是“方程22212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且2121S =,则616a a +的值为()A .1B .2C .3D .4【答案】B【分析】根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质,可得2121S =与616a a +的关系式,即可求得结果.4.若直线l :12y x m =-+与曲线C :21164x x y +=有两个公共点,则实数m 的取值范围为()A .()(0,-B .(0,2,00,2-⋃0,2如图可知,当直线l 介于直线12y x =-和与曲线C 有两个公共点.设1l 的方程为012y x m =-+,()00m >,则有联立220116412x yy x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩,消去x 并整理得2y 由()2200Δ4840m m =--=,解得022m =故m 的取值范围为()0,22.故选:B .5.已知()f x 在0x x =处可导,则()()02200lim x x f x f x x x →-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-等于()A .()0f x 'B .()0f x C .()20f x '⎡⎤⎣⎦D .()()002f x f x '业产生的包装垃圾年平均增长率将达到50%.由此可知,如果不采取有效措施,则从()年(填年份)开始,快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨.(参考数据:lg 20.3010,lg 30.4771≈≈)7.数列{}n a 满足154a =,211n n n a a a +=-+,*n ∈N ,则122022111a a a +++ 的整数部分是()8.已知抛物线22(0)y px p =>)的焦点为F ,过F 且倾斜角为π4的直线l 与抛物线相交于A ,B 两点,12AB =,过A ,B 两点分别作抛物线的切线,交于点Q .则下列四个命题中正确的个数是()个.①QA QB ⊥;②若M (1,1),P 是抛物线上一动点,则||||PM PF +的最小值为52;③AOB (O 为坐标原点)的面积为;④(,0)2PM -,则tan AMB ∠=二、多选题9.下列说法正确的是()A .已知函数3()2f x x x =+,则该函数在区间[]1,3上的平均变化率为30B .已知11(,)A x y ,22(,)B x y 在函数()y f x =图象上,若函数()f x 从1x 到2x 则曲线()y f x =的割线AB 的倾斜角为3πC V 与时间t 的关系是221V t =-,则2t =时瞬时加速度为7D .已知函数()f x =,则(9.05) 3.008f ≈【答案】BD10.在底面边长为2、高为4的正四棱柱1111ABCD A B C D -中,O 为棱1A A 上一点,且11,4A O A A P Q =、分别为线段1111B D A D 、上的动点,M 为底面ABCD 的中心,N 为线段AQ 的中点,则下列命题正确的是()A .CN 与QM 共面B .三棱锥A DMN -的体积为43C .PQ QO +的最小值为2D .当11113D Q D A = 时,过,,A Q M 三点的平面截正四棱柱所得截面的周长为83对于C ,如图2,展开平面点P ,交11A D 与点Q ,则此时对于D ,如图3,取11113D H D C =uuuu r uuuu r共面,即过,,A Q M 三点的正四棱柱的截面为梯形,且12233QH AC ==,所以平面截正四棱柱所得截面的周长为故选:ACD.11.数列{}n a 满足1a a =,1n n n +=--,则下列说法正确的是()A .若1a ≠且2a ≠,数列{}n a 单调递减B .若存在无数个自然数n ,使得1n n a a +=,则1a =C .当2a >或1a <时,{}n a 的最小值不存在D .当3a =时,121111,12222n a a a ⎛⎤++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+∈ ⎥---⎝⎦【答案】ACD【分析】A 选项,根据()2110n n n a a a +=--<-求出1n a ≠,再由21311n n n a a a +=--≠求出2n a ≠,从而得到1a ≠且2a ≠,数列{}n a 单调递减,A 正确;B 选项,可举出反例;与抛物线C 交于两点,O 为坐标原点,则下列结论正确的是()A .||4AB ≥B .OA OB ⋅可能大于0C .P 为抛物线上异于A 、B 的点,直线l 与准线交于点T ,当0,t A >为第一象限的点时,若APB α∠=,PF 平分APB ∠,则π2APT +∠=α对于D 选项,因QA QB ⊥,则Q 为以因()()1122,,A x y B x y ,,1222y y t +=,212212x xt +=+,2AB 则以AB 为直径的圆的方程为(22x t -将其与2:4C y x =联立,消去x 化简得:注意到()4228166448y t y ty +---4y =()()2244412yty yty =--++,由题可得,联立方程有2440y ty --=,其判别式恒大于0,则24120y ty ++=的判别式216t -故选:ACD【点睛】关键点点睛:本题为直线与抛物线综合题为常用手段;对于C 选项,在抛物线中有很多的等量关系与成比例的关系分解因式处理.三、填空题13.若()f x 为可导函数,且()()121lim14x f x f x→--=-,则过曲线()y f x =上点()()1,1f 处的切线斜率为14.对于数列n a ,若1,n n a a +是关于x 的方程203n n x c x -+=的两个根,且12a =,则数列{}n c 所有项的和为________.【答案】92##4.5种情况进行分类讨论,利用分组和法来求得n T ,进而可利用极限求得“数列所有项的和”.15.法国数学家加斯帕•蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆,这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的蒙日圆为2223:2C x y a +=,过C 上的动点M 作Γ的两条切线,分别与C 交于P ,Q 两点,直线PQ 交Γ于A ,B 两点,则下列说法,正确的有______.①椭圆Γ②MPQ 面积的最大值为232a③M到Γ的左焦点的距离的最小值为(2a④若动点D 在Γ上,将直线DA ,DB 的斜率分别记为1k ,2k ,则1212k k =-16.已知数列{}n a 的通项公式为52n n a +⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭,设数列{}n a 的最大项和最小项分别为,M N ,则四、解答题17.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的四个顶点构成的四边形的面积为12.18.已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>,四点12346,,4,,3M M M M⎛⎛⎛-⎝⎭⎝⎭⎝⎭中恰有三点在C上.(1)求C的方程;将ADEV沿着DE折起,形成四棱锥-P BCDE,其中点A对应的点为点P,如图2.(1)在图2中,在线段PB 上是否存在一点F ,使得CF ∥平面PDE ?若存在,请求出PFPB的值,并说明理由;若不存在,请说明理由;(2)在图2中,平面PBE 与平面PCD 所成的锐二面角的大小为3π,求四棱锥-P BCDE 的体积.3PB 理由如下:过点C 作CH ED ⊥,垂足为H ,在PE 上取一点M ,使得13PM PE =,连接因为13PM PE =,13PF PB =,所以FM 建立空间直角坐标系,设PEB θ∠=,则()2,0,0D -,()22,2,0C -,(P 则()2,2,0DC =- ,(2,2cos DP = 设平面PCD 的法向量为(),,m x y z =,则220,22cos 2sin m DC x y m DP x y θθ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+⋅+⎪⎩取sin x θ=,则sin y θ=,cos z θ=-所以()sin ,sin ,cos 1m θθθ=--,,948153线上并解答.已知等差数列{}n a满足________.(1)求数列{}n a的通项公式;(2)求数列{3}na⋅的前n项和.n Tn一次“Z拓展”.如数列1,2第1次“Z拓展”后得到数列1,3,2,第2次“Z拓展”后得到数列1,4,3,5,2.设数列a、b、c经过第n次“Z拓展”后所得数列的项数记为n P,所有项的和记为n S.(1)求1P 、2P ;(2)若2023n P ≥,求n 的最小值;(3)是否存在实数a 、b 、c ,使得数列{}n S 为等比数列?若存在,求a 、b 、c 满足的条件;若不存在,说明n 项和为111n n n n ++(1)求{}n a 的通项公式;(2)设2log n n n b a a =,记{}n b 的前n 项和为n T .若2(1)2n t n T -+≤对于2n ≥且*N n ∈恒成立,求实数t 的取值范围.【答案】(1)2nn a =(2)8t ≤【分析】(1)利用n a 与n S 的关系证得数列{}n a 是等比数列,从而求得2n n a =;22.已知抛物线的顶点为原点,焦点F 在x 轴的正半轴,F 到直线20x +=的距离为4.点2,2N ,不过点N 的直线l 与抛物线交于两点,A B ,且2NA NB k k +=-.(1)求抛物线方程及抛物线的准线方程。
高二文科数学期末复习一、填空题:1.若复数z 满足()12i 34i z +=-+(i 是虚数单位),则=z . 答案:i 21+.2.设全集=U Z ,集合2{|20=--≥A x x x ,}∈x Z ,则U=A (用列举法表示).答案:{0,1}.3.若复数z 满足i iz 31+-=(i 是虚数单位),则=z .i +4.已知A ,B 均为集合{=U 2,4,6,8,10}的子集,且}4{=⋂B A ,}10{)(=⋂A B C U ,则=A .答案:{4,10}5.已知全集R U =,集合=A {32|≤≤-x x },=B {1|-<x x 或4>x },那么集合⋂A (UB )等于 .答案:{x|-1≤x≤3}解析:主要考查集合运算.由题意可得,UB ={x|-1≤x≤4},A ={x|-2≤x≤3},所以(⋂A U)B ={x|-1≤x≤3}.6.已知集合},3,1{m A =,}4,3{=B ,且}4,3,2,1{=B A ,则实数m = . 答案:27.命题“若b a >,则b a 22>”的否命题为 . 答案:若b a ≤,则ba22≤8.设函数()⎩⎨⎧=x xx f 2log 2 11>≤x x ,则()[]=2f f .答案:2 9.函数)23(log 5.0-=x y 的定义域是 .答案:]1,32(10.已知9.01.17.01.1,7.0log ,9.0log ===c b a ,则c b a ,,按从小到大依次为 .答案:c a b <<11.设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数.若当),0(∞+∈x 时,x x f lg )(=,则满足0)(>x f 的x 的取值范围是 .答案:),1()0,1(∞+-12.曲线C :x x y ln =在点M (e ,e )处的切线方程为 . 答案:e x y -=213.已知函数211)(xx f -=的定义域为M ,)1(log )(2x x g -=(1-≤x )的值域为N ,则(RM )N ⋂等于 .答案:{x|x≥1}解析:考查定义域求解.可求得集合M ={x|-1<x<1},集合N ={g (x )|g (x )≥1},则RM ={x|x≤-1或x≥1},∴(RM )N ⋂={x|x≥1}.14.设⎪⎩⎪⎨⎧+--=,11,2|1|)(2x x x f 1||1||>≤x x ,则)]21([f f 等于 .答案:134解析:本题主要考查分段函数运算. ∵232|121|)21(-=--=f ,∴134)23(11)23()]21([2=-+=-=f f f .15.已知函数)1ln()(2++=x x x f ,若实数a ,b 满足0)1()(=-+b f a f ,则b a +等于 .答案:1解析:考查函数奇偶性.观察得)(x f 在定义域内是增函数, 而)1ln()(2++-=-x x x f )(11ln2x f x x -=++=,∴)(x f 是奇函数,则)1()1()(b f b f a f -=--=,∴b a -=1,即1=+b a .16.若函数)(log )(3ax x x f a -=(0>a ,1≠a )在区间(21-,0)上单调递增,则a 的范围是 .答案:143<≤a解析:本题考查复合函数单调性,要注意分类讨论.设ax x x u -=3)(,由复合函数的单调性,可分10<<a 和1>a 两种情况讨论:①当10<<a 时,ax x x u -=3)(在(21-,0)上单调递减,即03)('2≤-=a x x u 在(21-,0)上恒成立,∴43≥a ,∴143<≤a ;②当1>a 时,ax x x u -=3)(在(21-,0)上单调递增,即03)('2≥-=a x x u 在(21-,0)上恒成立,∴0≤a ,∴a 无解.综上,可知143<≤a .17.已知()f x 为偶函数,且)3()1(x f x f -=+,当02≤≤-x 时,xx f 3)(=,则=)2011(f . 答案:3118.函数221x xy =+的值域为 .答案:)1,0(19.已知函数)(x f 的定义域为A ,若其值域也为A ,则称区间A 为)(x f 的保值区间.若()ln g x x m x =++的保值区间是[,)e +∞ ,则实数m 的值为 .答案:1-20.若不等式0122<-+-m x mx 对任意]2,2[-∈m 恒成立,则实数x 的取值范围是 .答案:)213,217(+-21.直线1=y 与曲线a x x y +-=2有四个交点,则实数a 的取值范围是 . 答案:)45,1(22.已知函数0)(3(log 2≠-=a ax y a 且)1±≠a 在]2,0[上是减函数,则实数a 的取值范围是 . 答案:)23,1()0,1( -二、解答题: 1.已知函数132)(++-=x x x f 的定义域为A ,函数)1()]2)(1lg[()(<---=a x a a x x g 的定义域为B . (1)求A ;(2)若A B ⊆,求实数a 的取值范围. 解:(1)由0132≥++-x x ,得011≥+-x x ,∴1-<x 或1≥x , ……4分即),1[)1,(+∞--∞= A ; ……6分 (2)由0)2)(1(>---x a a x ,得0)2)(1(<---a x a x .∵1<a ,∴a a 21>+.∴)1,2(+=a a B . ……8分 ∵A B ⊆,∴12≥a 或11-≤+a ,即21≥a 或2-≤a . ……12分而1<a ,∴121<≤a 或2-≤a .故当A B ⊆时,实数a 的取值范围是)1,21[]2,( --∞. ……14分2.已知命题p :函数)2(log 25.0a x x y ++=的值域为R ,命题q :函数x a y )25(--= 是减函数.若p 或q 为真命题,p 且q 为假命题,求实数a 的取值范围.解:对命题p :∵函数)2(log 25.0a x x y ++=的值域为R ,∴1)1(222-++=++a x a x x 可以取到),0(+∞上的每一个值,∴01≤-a ,即1≤a ; ……4分命题q :∵函数xa y )25(--=是减函数,∴125>-a ,即2<a . ……8分 ∵p 或q 为真命题,p 且q 为假命题,∴命题p 与命题q 一真一假,若p 真q 假,则1≤a 且2≥a ,无解, ……10分 若p 假q 真,则21<<a , ……12分 ∴实数a 的取值范围是)2,1( ……14分3.某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为2.1万元/辆,年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为)10(<<x x ,则出厂价相应提高的比例为x 75.0,同时预计年销售量增加的比例为x 6.0.已知年利润=(出厂价–投入成本)⨯年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式;(2)为使本年度的年利润比上年有所增加,问投入成本增加的比例x 应在什么范围内? 解:(1)由题意得)10)(6.01(1000)]1(1)75.01(2.1[<<+⨯⨯+⨯-+⨯=x x x x y ,…5分 整理得 )10( 20020602<<++-=x x x y ;……7分(2)要保证本年度的利润比上年度有所增加,当且仅当⎩⎨⎧<<>⨯--.10,01000)12.1(x y …10分即⎩⎨⎧<<>+-.10,020602x x x 解不等式得 310<<x . ……13分答:为保证本年度的年利润比上年度有所增加,投入成本增加的比例x 应满足33.00<<x .…14分 4.已知命题p :指数函数xa x f )62()(-=在R 上单调递减,命题Q :关于x 的方程012322=++-a ax x 的两个实根均大于3.若p 或q 为真,p 且q 为假,求实数a 的取值范围.解:若p 真,则f (x )=(2a -6)x在R 上单调递减,∴0<2a -6<1,∴3<a<72,若q 真,令f (x )=x 2-3ax +2a 2+1,则应满足⎩⎪⎨⎪⎧Δ= -3a 2-4 2a 2+1 ≥0--3a2>3f 3 =9-9a +2a 2+1>0,∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤-2a>2a<2或a>52,故a>52,又由题意应有p 真q 假或p 假q 真.①若p 真q 假,则⎩⎪⎨⎪⎧3<a<72a ≤52,a 无解.②若p 假q 真,则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3或a ≥72a>52,∴52<a ≤3或a ≥72.故a 的取值范围是{a|52<a ≤3或a ≥72}.5.已知函数)(x f 满足对任意实数y x ,都有1)()()(+++=+xy y f x f y x f ,且2)2(-=-f .(1)求)1(f 的值;(2)证明:对一切大于1的正整数t ,恒有t t f >)(;(3)试求满足t t f =)(的所有的整数t ,并说明理由.解:(1)令0==y x ,得1)0(-=f ;令1-==y x ,得2)1()1()2(+-+-=-f f f ,又2)2(-=-f ,∴2)1(-=-f ; 令1,1-==y x ,得)1()1()0(-+=f f f ,∴1)1(=f . ……4分 (2)令1=x ,得2)()1(+=-+y y f y f ①∴当N y ∈时,有0)()1(>-+y f y f ,由1)1(),()1(=>+f y f y f 知对*N y ∈有0)(>y f ,∴当*N y ∈时,111)(2)()1(+>+++=++=+y y y f y y f y f ,于是对于一切大于1的正整数t ,恒有t t f >)(. ……9分 (3)由①及(1)可知1)4(,1)3(=--=-f f ; ……11分下面证明当整数4-≤t 时,t t f >)(,∵4-≤t ,∴02)2(>≥+-t 由① 得0)2()1()(>+-=+-t t f t f ,即 0)4()5(>---f f ,同理0)5()6(>---f f , ……,0)2()1(>+-+t f t f ,0)1()(>+-t f t f , 将以上不等式相加得41)4()(->=->f t f ,∴当4-≤t 时,t t f >)(, ……15分 综上,满足条件的整数只有2,1-=t . ……16分6.如下图所示,图1是定义在R 上的二次函数)(x f 的部分图象,图2是函数)(log )(b x x g a +=的部分图象.(1)分别求出函数)(x f 和)(x g 的解析式;(2)如果函数)]([x f g y =在区间[1,m )上单调递减,求实数m 的取值范围. 解:(1)由题图1得,二次函数)(x f 的顶点坐标为(1,2), 故可设函数2)1()(2+-=x a x f ,又函数)(x f 的图象过点(0,0),故2-=a , 整理得x x x f 42)(2+-=.由题图2得,函数)(log )(b x x g a +=的图象过点(0,0)和(1,1),故有⎩⎨⎧=+=1)1(log 0log b b aa ,∴⎩⎨⎧==12b a ,∴)1(log )(2+=x x g (1->x ).(2)由(1)得)142(l og )]([22++-==x x x f g y 是由t y 2log =和1422++-=x x t 复合而成的函数,而t y 2log =在定义域上单调递增,要使函数)]([x f g y =在区间[1,m )上单调递减,必须1422++-=x x t 在区间[1,m )上单调递减,且有0>t 恒成立.由0=t 得262±=x ,又因为t 的图象的对称轴为1=x .所以满足条件的m 的取值范围为2621±<<m .7.已知1212)3(4)(234+-++-=x x m x x x f ,R m ∈.(1)若f 0)1('=,求m 的值,并求)(x f 的单调区间;(2)若对于任意实数x ,0)(≥x f 恒成立,求m 的取值范围.解:(1)由f ′(x )=4x 3-12x 2+2(3+m )x -12,得f ′(1)=4-12+2(3+m )-12=0,解得m =7.………2分所以 f ′(x )=4 x 3-12x 2+20x -12=4(x -1)(x 2-2x +3) .方程x 2-2x +3=0的判别式Δ=22-3×4=-8<0,所以x 2-2x +3>0. 所以f ′(x )=0,解得x =1.……………………………4分由此可得f (x )的单调减区间是(-∞,1),f (x )的单调增区间是(1,+∞).…8分(2)f (x )=x 4-4x 3+(3+m )x 2-12x +12=(x 2+3)(x -2)2+(m -4)x 2. 当m <4时,f (2)=4(m -4)<0,不合题意;……………12分当m≥4时,f (x )=(x 2+3)(x -2)2+(m -4)x 2≥0,对一切实数x 恒成立. 所以,m 的取值范围是[4,+∞).……………16分。
绝密★启用前高二数学期末考试复习卷班级: 学号: 姓名: 得分: 一、选择题.1.已知集合{|10}M x x =+≥,{|24}x N x =<,则M N = ( ) A .(,1]-∞- B .[1,2)- C .(1,2]- D .(2,)+∞ 2. 已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为( ) A .2 B .4 C .6 D .8 3.下列函数中,最小正周期T π=的是( ) A.tan 2y x = C.sin y x = 4.在ABC ∆中,已知030,1A AB BC ∠===,则AC 的长为( ) A .2 B .1 C .2或1 D .45.在ABC ∆中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,sin :sin :sin 3:2:4A B C =,则cos C 的值为( ) A6.“1a =-”是“直线260a x y -+=与直线()4390x a y --+=互相垂直”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件7.若,) A . B C . D .8.为了得到函数sin 2cos2y x x =+的图象,可以将函数 )AC D9则tan 2α=( )10.函数()si ()n fx A x ωϕ=+(000A ωϕπ>><<,,)的图象如 )A .0 C .1 D 11.若,是第三象限的角,则等于( )A . B. C . -2 D. 212C ,则下列结论中正确的是( ) ①图象C ②图象C ③函数在区间 ④由C . A .①② B .②③ C .①②③ D .①②③④ 二、填空题.13.曲线2y x =与y x =所围成的图形的面积是 .14.若函数()ln f x kx x =-在区间()1,+∞单调递增,则k 的取值范围是 .15.已知,则= . 16.已知直线l 过点)1,0(-,且与曲线x x y ln =相切,则直线l 的方程为 .0.52a =πlog 3b =b c a >>a b c >>c a b >>54cos -=αα2tan12tan 1αα-+21-21()f x 3sin 2y x =2log x x f (x)f (x ) x >⎧=⎨+≤⎩010)1(-f三、解答题. 17. ,α为第三象限角. (1)求sin ,tan αα的值; (218.(1),求()f α的值.19.在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为c b a 、、,且满足C b B c a coscos )2(=-,()1求角B 的大小; ()2若求ABC ∆的面积.20.(1)求()f x 的最小正周期; (2)求()f x 在区间21. 设函数. (1)若曲线在点(2,(2))f 处与直线相切,求的值; (2)求函数的极值点与极值.22设函数()2()1x f x x e ax =--.(1,求()f x 的单调区间; (2)若当x ≥0时()f x ≥0,求a 的取值范围.3()3(0)f x x ax b a =-+≠()y f x =8y =,a b ()f x。
高二(下)期末数学复习试卷三(文科)一、选择题(每小题5分,共60.0分)1.设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=()A. 12B. √22C. √2D. 22.用反证法证明“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是( )A. 有两个内角是钝角B. 有三个内角是钝角C. 至少有两个内角是钝角D. 没有一个内角是钝角3.设函数y=√4−x2的定义域为A,函数y=ln(1-x)的定义域为B,则A∩B=()A. (1,2)B. (1,2]C. (−2,1)D. [−2,1)4.设i为虚数单位,m∈R,“复数m(m−1)+i是纯虚数”是“m=1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5.执行如图所示的程序框图,如果运行结果为720,那么判断框中可以填入( )A. k<6?B. k<7?C. k>6?D. k>7?6.设某中学的高中女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(x i,y i)(i=1,2,3,…,n),用最小二乘法近似得到回归直线方程为,则下列结论中不正确的是()A. y与x具有正线性相关关系B. 回归直线过样本的中心点(x,y)C. 若该中学某高中女生身高增加1cm,则其体重约增加0.85kgD. 若该中学某高中女生身高为160cm,则可断定其体重必为50.29kg7.函数f(x)=ln|x+1|x+1的大致图象为()A. B.C. D.8.用二分法求方程近似解的过程中,已知在区间[a,b]上,f(a)>0,f(b)<0,并计算得到f(a+b2)<0,那么下一步要计算的函数值为()A. f(3a+b4) B. f(a+3b4) C. f(a+b4) D. f(3a+3b4)9.随着人民生活水平的提高,对城市空气质量的关注度也逐步增大,图2是某城市1月至8月的空气质量检测情况,图中一、二、三、四级是空气质量等级,一级空气质量最好,一级和二级都是质量合格天气,下面四种说法正确的是( )①1月至8月空气合格天数超过20天的月份有5个②第二季度与第一季度相比,空气达标天数的比重下降了 ③8月是空气质量最好的一个月 ④6月份的空气质量最差.A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④10. 下列说法错误的是()A. 在统计学中,独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法B. 在残差图中,残差分布的带状区域的宽度越狭窄,其模拟的效果越好C. 线性回归方程对应的直线y ̂=b ̂x +a ̂至少经过其样本数据点中的一个点D. 在回归分析中,相关指数R 2越大,模拟的效果越好 11. 若函数f (x )=12x 2-9ln x 在区间[a -1,a +1]上单调递减,则实数a 的取值范围是( )A. 1<a ≤2B. a ≥4C. a ≤2D. 0<a ≤312. 已知定义在R 上的函数y =f (x )对任意的x 满足f (x +1)=−f (x ),当−1≤x <1,f (x )=x 3.函数g(x)={|log a x|,x >0−1x,x <0,若函数h (x )=f (x )-g (x )在[-6,+∞)上恰有6个零点,实数a 的取值范围是( )A. (0,17)⋃(7,+∞)B. [19,17)⋃(7,9]C. (19,17]⋃[7,9)D. [19,1)⋃(1,9]二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20.0分)13. 函数f (x )=ax 3+3x 2+2,若f ′(-1)=6,则a 的值等于______ . 14. ln1=0,ln (2+3+4)=2ln3,ln (3+4+5+6+7)=2ln5,ln (4+5+6+7+8+9+10)=2ln7,……则根据以上四个等式,猜想第n 个等式是______.(n ∈N *) 15. 已知函数f(x)={3x −1,x >0−2x 2−4x,x ≤0,若方程f(x)=m 有3个不等的实根,则实数m 的取值范围是________.16. 已知函数f (x )的定义域为[-1,5],部分对应值如下表,f (x )的导函数y =f ˈ(x )图象如图所示.下列关于f (x )的命题:X -1 0 4 5 f (x )1221①函数f(x)的极大值点为0,4;②函数f(x)在[0,2]上是减函数;③如果当x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;④当1<a<2时,函数y=f(x)-a有4个零点.其中正确命题的序号是__________.三、解答题(本大题共7小题,共84.0分)17.已知命题p:不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对任意实数x恒成立,命题q:函数y=log a(1-2x)在定义域上单调递增,若“p∨q”为真命题且“p∧q”为假命题,求实数a的取值范围.18.已知函数f(x)=(a2-3a+3)a x是指数函数.(1)求f(x)的表达式;(2)判断F(x)=f(x)-f(-x)的奇偶性,并加以证明;(3)解不等式:log a(1-x)>log a(x+2).19.为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查,其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众收看该节目的场数与所对应的人数表:场数91011121314人数10182225205将收看该节目场次不低于13场的观众称为“歌迷”,已知“歌迷”中有10名女性.(Ⅰ)根据已知条件完成下面的2×2列联表,并据此资料我们能否有95%的把握认为“歌迷”与性别有关?非歌迷歌迷合计男女合计(Ⅱ)将收看该节目所有场次(14场)的观众称为“超级歌迷”,已知“超级歌迷”中有2名女性,若从“超级歌迷”中任意选取2人,求至少有1名女性观众的概率.P(K2≥k)0.050.01k 3.841 6.635.附:K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)20. 中国"一带一路"战略构思提出后,某科技企业为抓住"一带一路"带来的机遇,决定开发生产一款大型电子设备.生产这种设备的年固定成本为500万元,每生产x台,需另投入成本c (x )(万元),当年产量不足80台时,c (x )=12x 2+40x(万元);当年产量不小于80台时,c (x )=101x +8100x−2180(万元).若每台设备售价为100万元,通过市场分析,该企业生产的电子设备能全部售完.(1)求年利润y(万元)关于年产量x(台)的函数关系式;(2)年产量为多少台时,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大?21. 已知函数f (x )=x •ln x .(Ⅰ)求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程; (Ⅱ)求f (x )的单调区间;(Ⅲ)若对于任意x ∈[1e ,e],都有f (x )≤ax -1,求实数a 的取值范围.四、选考题(本题满分10,请在22题23题任选一题作答,多答则以22题计分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)[选修4-4:坐标系与参数方程]22. 已知曲线C 1在平面直角坐标系中的参数方程为{x =√55ty =2√55t −1(t 为参数),以坐标原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,有曲线C 2:ρ=2cosθ-4sinθ (1)将C 1的方程化为普通方程,并求出C 2的平面直角坐标方程 (2)求曲线C 1和C 2两交点之间的距离.23. 已知函数f (x )=|2x +1|-|x -m |(m ∈R ).(1)当m =1时,解不等式f (x )≥2;(2)若关于x 的不等式f (x )≥|x -3|的解集包含[3,4],求m 的取值范围.答案和解析1.【答案】C2.【答案】C3.【答案】D4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】D7.【答案】A8.【答案】A9.【答案】A 10.【答案】C 11.【答案】A 12.【答案】B【解析】解:∵对任意的x 满足f (x+1)=-f (x ),∴f (x+2)=-f (x+1)=f (x ),即函数f (x )是以2为周期的函数,画出函数f (x )、g (x )在[-6,+∞)的图象,由图象可知:在y 轴的左侧有2个交点,只要在右侧有4个交点即可,则即有,故7<a≤9或≤a <.13.【答案】4 14.【答案】15.【答案】(0,2) 16.【答案】①②【解析】由导函数的图象可知:当x ∈(-1,0),(2,4)时,f′(x )>0, 函数f (x )增区间为(-1,0),(2,4); 当x ∈(0,2),(4,5)时,f′(x )<0, 函数f (x )减区间为(0,2),(4,5). 由此可知函数f (x )的极大值点为0,4,命题①正确; ∵函数在x=0,2处有意义,∴函数f (x )在[0,2]上是减函数,命题②正确; 当x ∈[-1,t]时,f (x )的最大值是2,那么t 的最大值为5,命题③不正确; 2是函数的极小值点,若f (2)>1,则函数y=f (x )-a 不一定有4个零点,命题④不正确. ∴正确命题的序号是①②. 故答案为:①②.17.【答案】解:不等式(a -2)x 2+2(a -2)x -4<0对任意实数x 恒成立.当a =2时不等式等价为-4<0成立,当a ≠2时,可得{a −2<0∆=4(a −2)2+16(a −2)<0,解得-2<a <2,综上-2<a ≤2.即p :-2<a ≤2,函数y =log a (1-2x )在定义域上单调递增,可得0<a <1,即q :0<a <1,若“p ∨q ”为真命题且“p ∧q ”为假命题,则p ,q 为一真一假,若p 真q 假,则{−2<a ≤2a ≥1或a ≤0即1≤a ≤2或-2<a ≤0,若p 假q 真,则{a >2或a ≤−20<a <1,此时无解,故实数a 的取值范围是1≤a ≤2或-2<a ≤0. 18.【答案】解:(1)∵函数f(x)=(a 2−3a +3)a x 是指数函数,a >0且a ≠1, ∴a 2-3a +3=1,可得a =2或a =1(舍去),∴f (x )=2x ;(2)由(1)得F (x )=2x -2-x ,∴F (-x )=2-x -2x ,∴F (-x )=-F (x ), ∴F (x )是奇函数;(3)不等式:log 2(1-x )>log 2(x +2),以2为底单调递增, 即1-x >x +2>0,∴-2<x <-12,解集为{x |-2<x <-12}.19.【答案】解:(Ⅰ)由统计表可知,在抽取的100人中,“歌迷”有25人,从而完2×2…(分)将列联表中的数据代入公式计算,得: K 2=100×(30×10−45×15)275×25×45×55=10033≈3.030 因为3.030<3.841,所以我们没有95%的把握认为“歌迷”与性别有关.…(6分)(Ⅱ)由统计表可知,“超级歌迷”有5人,从而一切可能结果所组成的基本事件空间为Ω={(a 1,a 2),(a 1,a 3),(a 2,a 3),(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 3,b 1),(a 3,b 2),(b 1,b 2)}其中a i 表示男性,i =1,2,3,b i 表示女性,i =1,2.Ω由10个等可能的基本事件组成.…(9分)用A 表示“任选2人中,至少有1个是女性”这一事件,则A ={(a 1,b 1),(a 1,b 2),(a 2,b 1),(a 2,b 2),(a 3,b 1),(a 3,b 2),(b 1,b 2) },事件A 由7个基本事件组成.∴P (A )=710 (12)20.【答案】解:(1)∵当0<x <80时,∴y =100x −(12x 2+40x)−500=−12x 2+60x −500,∵当x ≥80时,∴y =100x −(101x +8100x−2180)−500=1680−(x +8100x),∴y ={−12x 2+60x −500,0<x <801680−(x +8100x),x ≥80; (2)∵由(1)可知当0<x <80时,y =−12(x −60)2+1300,∴此时当x =60时y 取得最大值为1300(万元),∵当x ≥80时,y =1680−(x +8100x)≤1680−2√x ·8100x=1500,∴当且仅当x =8100x,即x =90时,y 取最大值为1500(万元),∴综上所述,当年产量为90台时,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大,最大利润为1500万元.21.【答案】解:(Ⅰ)因为函数f (x )=x lnx ,所以f′(x)=lnx +x ⋅1x =lnx +1,f '(1)=ln1+1=1.又因为f (1)=0,所以曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y =x -1.(Ⅱ)函数f (x )=x lnx 定义域为(0,+∞),由(Ⅰ)可知,f '(x )=ln x +1. 令f ′(x )=0,解得x =1e .所以,f (x )的单调递增区间是(1e ,+∞),f (x )的单调递减区间是(0,1e ). (Ⅲ)当1e ≤x ≤e 时,“f (x )≤ax -1”等价于“a ≥lnx +1x ”.令g(x)=lnx +1x ,x ∈[1e,e],g′(x)=1x−1x 2=x−1x 2,x ∈[1e ,e].当x ∈(1e ,1)时,g '(x )<0,所以以g (x )在区间(1e ,1)单调递减.当x ∈(1,e )时,g '(x )>0,所以g (x )在区间(1,e )单调递增.而g(1e )=−lne +e =e −1>1.5,g(e)=lne +1e =1+1e <1.5.所以g (x )在区间[1e ,e]上的最大值为g(1e )=e −1.所以当a ≥e -1时,对于任意x ∈[1e ,e],都有f (x )≤ax -1.22.【答案】解:(1)曲线C 1在平面直角坐标系中的参数方程为{x =√55ty =2√55t −1(t 为参数),消去参数t 可得普通方程:y =2x -1.由曲线C 2:ρ=2cosθ-4sinθ,即ρ2=ρ(2cosθ-4sinθ),可得直角坐标方程:x 2+y 2=2x -4y .(2)x 2+y 2=2x -4y .化为(x -1)2+(y +2)2=5.可得圆心C 2(1,-2),半径r =√5. 圆心C 2(1,-2)到直线y =2x -1的距离为d =√12+22∴曲线C 1和C 2两交点之间的距离=2√5−(√12+22)2=8√55. 23.【答案】解:(1)当x ≤−12时,f (x )=-2x -1+(x -1)=-x -2,由f (x )≥2解得x ≤-4,综合得x ≤-4;当−12<x <1时,f (x )=(2x +1)+(x -1)=3x ,由f (x )≥2解得x ≥23,综合得23≤x <1;当x ≥1时,f (x )=(2x +1)-(x -1)=x +2,由f (x )≥2解得x ≥0,综合得x ≥1.所以f (x )≥2的解集是(−∞,−4]∪[23,+∞).(2)∵f (x )=|2x +1|-|x -m |≥|x -3|的解集包含[3,4],∴当x ∈[3,4]时,|2x +1|-|x -m |≥|x -3|恒成立原式可变为2x +1-|x -m |≥x -3,即|x -m |≤x +4,∴-x -4≤x -m ≤x +4即-4≤m ≤2x +4在x ∈[3,4]上恒成立,显然当x =3时,2x +4取得最小值10,即m 的取值范围是[-4,10].。
北京市人大附中2022-2023学年高二数学期末复习参考试题(3)学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________二、填空题11.能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立,则f (x )在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是__________.12.能够说明“设,,a b c 是任意实数,若a b c >>,则a b c +>”是假命题的一组整数,,a b c 的值依次为__________.三、单选题13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,则“{}n a 为常数列”是“*N n "Î,n n S na =”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件14.“a b c d ,,,成等差数列”是“a d b c +=+”的A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件15.数列{}n a 的通项公式为||n a n c =-(*)n N Î,则“1c £”是 “{}n a 为递增数列”的A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件16.已知数列{}na 满足11a =,1n n a ra r +=+,(*n ÎN ,r R Î,0r ¹),则“1r =”是“数列{}na 为等差数列”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件17.已知S n 是等差数列{}()*N na n Î的前n 项和,且675S S S >>,有下列四个命题,假命题的是( )A .公差0d <B .在所有S 0n <中,13S 最大C .满足S 0n>的n 的个数有11个D .67a a >18.设,ab R Î,则“a b >”是“22a b >”的A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件19.设0,0a b >>,则( )A .若2223a b a b +=+,则a b >B .若2223a b a b +=+,则a b <C .若2223a b a b -=-,则a b >D .若2223a b a b -=-,则a b<四、填空题20.比较下列各数的大小:可借助Venn图;对连续的数集间的运算,常利用数轴;对点集间的运算,则通过坐标平面内的图形求解,这在本质上是数形结合思想的体现和运用.4.空集是不含任何元素的集合,在未明确说明一个集合非空的情况下,要考虑集合为空集的可能.另外,不可忽略空集是任何集合的子集.5.C【详解】试题分析:由题意得,(2,3)Ç=,故选C.A B【考点】集合的交集运算【名师点睛】1.首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义),是数集还是点集,如集合,,三者是不同的.2.集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性,特别是互异性,在判断集合中元素的个数时,以及在含参的集合运算中,常因忽略互异性而出错.3.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观.对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算,可借助Venn图;对连续的数集间的运算,常利用数轴;对点集间的运算,则通过坐标平面内的图形求解,这在本质上是数形结合思想的体现和运用.4.空集是不含任何元素的集合,在未明确说明一个集合非空的情况下,要考虑集合为空集的可能.另外,不可忽略空集是任何集合的子集.6.A【详解】在数轴上将集合A,B表示出来,如图所示,由交集的定义可得,A BÇ为图中阴影部分,即{}-<<,故选A.|32x x考点:集合的交集运算.【详解】分析:举的反例要否定增函数,可以取一个分段函数,使得f (x )>f (0)且(0,2]上是减函数.详解:令0,0()4,(0,2]x f x x x =ì=í-Îî,则f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立,但f (x )在[0,2]上不是增函数.又如,令f (x )=sin x ,则f (0)=0,f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立,但f (x )在[0,2]上不是增函数.点睛:要判定一个全称命题是假命题,只要举出集合M 中的一个特殊值0x ,使0()p x 不成立即可.通常举分段函数.12.1,2,3---【详解】试题分析:()123,1233->->--+-=->-,矛盾,所以−1,−2,−3可验证该命题是假命题.【名师点睛】对于判断不等式恒成立问题,一般采用举反例排除法.解答本题时利用赋值的方式举反例进行验证,答案不唯一.13.C【分析】利用常数列、数列前n 项和的意义,结合充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】数列{}na 为常数列,则*N n "Î,1n a a =,121n n n S a a a na na =+++==L ,*N n "Î,n n S na =,则当2n ³时,11(1)n n n n n a S S na n a --=-=--,即1(1)(1)n n n a n a --=-,有1n n a a -=,因此,*N n "Î,11n a a S ==,数列{}n a 为常数列,所以“{}n a 为常数列”是“*N n "Î,n n S na =”的充分必要条件.故选:C 14.A【详解】a ,b ,c ,d 成等差数列Þ a d b c +=+,而1533+=+ ,但1,3,3,5不成等差数列,。
高二数学期末复习题一、选择题: (每小题5分,共60分)1、复数1i1.1i z -+=-+在复平面内,z 所对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2、若复数312a ii++(a ∈R ,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数a 的值为 A .-2B .4C .-6D .63由曲线2y x =与y =的边界所围成区域的面积为( )A.13B.23C.1D.164、若函数f (x )在x =1处的导数为3,则f (x )的解析式可以为 A .f (x )=(x -1)2+3(x -1) B .f (x )=2(x -1) C .f (x )=2(x -1)2 D .f (x )=x -15、一个学生能够通过某种英语听力测试的概率是12,他连续测试2次,那么其中恰有一次获得通过的概率是A .14B .13C .12D .346、曲线)12ln(-=x y 上的点到直线032=+-y x 的最短距离是( )A.5B.52C.53D.07、已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的取值范围是( )A.),3[]3,(+∞--∞B.]3,3[-C.),3()3,(+∞--∞D.)3,3(-8..连续抛掷一枚骰子两次,得到的点数依次记为(m ,n ),则点(m ,n )恰能落在不等式组|4|23x y y +-<⎧⎨≤⎩所表示的平面区域内的概率为( ) A .14 B .29 C .736D .169、从4位男教师和3位女教师中选出3位教师,派往郊区3所学校支教,每校1人,要求这3位教师中男、女教师都要有,则不同的选派方案有 A .210种 B .186种 C .180种 D .90种10、若A ,B ,C ,D ,E ,F 六个不同元素排成一列,要求A 不排在两端,且B 、C 相邻,则不同的排法共有 A .72种 B .96种 C .120种 D .144种 11. 5678(1)(1)(1)(1)x x x x -+-+-+-在的展开式中,含3x 的项的系数( )A.74B.121C.-74D.-12112.已知函数32()f x x px qx =--的图像与x 轴切于点(1,0),则()f x 的极值为 ( )A.极大值为427,极小值为0 B.极大值为0,极小值为427 C.极小值为427-,极大值为0 D. 极大值为427-,极小值为0二、填空题: (每小题5分,共20分) 13、若,)2(i b ii a -=-,其中a 、b ∈R ,i 是虚数单位,则____22=+b a .14、(1)⎰321dx x的值为__________.(2)01-⎰(x 2+2 x +1)dx =_________________.15、从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次,每次抽1张,已知第1次抽到A ,那么第2次也抽到A 的概率为_______________________16、若(2x -1)7=a 7x 7+a 6x 6+…+a 1x +a 0,则a 7+a 5+a 3+a 1=_____________. 三、解答题:(共70分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。
高二数学期末复习试题(1)一、选择题1.下列命题中,真命题是 ( )A .00,0x x R e ∃∈≤B . 2,2x x R x ∀∈>C .0a b +=的充要条件是1ab=- D .1,1a b >>是1ab >的充分条件2.在△ABC 中,“A >30︒”是“sin A >21”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.“方程22121x y n n -=++表示双曲线”是“n>-1”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>与直线y=x 交于不同的两点,则双曲线C 的离心率的取值范围是()A.(1)+∞B. )+∞C.D. 5.若命题“2(1,),(2)20x x a x a ∀∈+∞-+++≥”为真命题,则实数a 的取值范围是()A. (-∞,-2]B. (-∞,2]C.[-2,2] (1, +∞)D. (,2][2,)-∞-+∞ 6.已知ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,以下说法:①在ABC ∆中,“a,b,c 成等差数列”是“22A 3cos cos 222C a c b +=”的充要条件;②命题“在锐角ABC ∆中,sin sin .A B >”的逆命题和逆否命题均为真命题; ③命题“对任意ABC ∆,sin sin sin .A B C +>”为假命题. 正确的个数为()A. 0B.1C. 2D. 37.⊙O 1与⊙O 2的半径分别为1和2,|O 1O 2|=4,动圆与⊙O 1内切而与⊙O 2外切,则动圆圆心轨迹是 ( )A.椭圆B.抛物线C.双曲线D.双曲线的一支 8.曲线y =2x e -+1在点(0,2)处的切线与直线y =0和y =x 围成的三角形的面积为 ( ) A.13 B.12 C.23 D.19.若函数21()f x x ax x =++在1[,)3+∞上是增函数,则实数a 的取值范围是() A.[-1,0] B.[0,253] C.[253,+∞) D. [9,+∞)10.已知)0,(),0,(21c F c F -为椭圆12222=+by a x 的两个焦点,P 为椭圆上一点且221c PF =⋅,则此椭圆离心率的取值范围是 ( )A .,1)3B .11[,]32C.[32D.211.如图,设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右顶点分别为12,A A ,上顶点为B ,从椭圆上一点P 向x 轴作垂线,垂足恰为左焦点F ,且2//A BOP,2FA =,过A 2作x 轴的垂线l ,点M 是l 上任意一点,1A M 交椭圆于点N ,则O MO N ⋅=() A. 10 B.5C. 15D. 随点M 在直线l 上的位置变化而变化12.已知可导函数)(x f y =在点))(,(00x f x P 处切线为)(:x g y l =(如图),设)()()(x g x f x F -=,则 ( )A.00()0,F x x x '==是()F x 的极大值点B.00()0,F x x x '==是()F x 的极小值点C.00()0,F x x x '≠=不是()F x 的极值点D.00()0,F x x x '≠=是()F x 的极值点 二、填空题13.已知222:0,:210(0)2x p q x x m m x -≤-+-<>+,命题“若p ⌝则q ⌝”为假命题,“若q ⌝则p ⌝”为真命题,则实数m 的取值范围是为___14.若函数3()63f x x bx b =-+在(0,1)内有极小值,则实数b 的取值范围是___ 15.已知数列{}n a 满足1133,2n n a a a n +=-=,则na n的最小值为___ 16.设F 为抛物线2:4C y x =的焦点,过点P(-1,0)的直线l交抛物线C 于A,B两)x点,点Q 为线段AB 的中点,若FQ=2,则直线l 的斜率等于___ 三、解答题. 17 .设p :方程210x mx ++=有两个不等的负根,q :方程244(2)10x m x +-+=无实根,若p 或q 为真,p 且q 为假,求m 的取值范围.18.已知a,b,c 分别为ABC ∆的三个内角A,B,C的对边,cos sin 0a C C b c --=. (1)求角A;(2)若a=2,ABC ∆面积为 3 求b,c.19.已知等差数列{}n a 的首项11a =,公差d>0,且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{}n b 的第2项、第3项、第4项. (1)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; (2)设数列{}n c 对于任意*n N ∈均有3121123...n n nc c c c a b b b b +++++=成立,求123201...c c c c ++++的值.20.在∆ABC 中角A.B.C 的对边分别是a ,b ,c.设向量=(a,cosB) m,n =(b ,cos A). 且m //n 且m ≠n(1)求证A+B=2π,并求出sin A+sin B 的取值范围。
(2)设sin A+sin B= t ,将y =BA BA sin sin sin sin +表示成t 的函数f (t ),并求出y = f (t )的值域.21.已知抛物线2:2(0)E x py p => 直线2y kx =+ 与E 交于A,B 两点,且2OA OB ⋅=其中O 为原点. (1)求抛物线E 的方程;(2)已知点C(0,-2),记直线CA ,CB 的斜率分别为12,k k ,求222122k k k +-的值.22.已知函数21()ln f x x x=-.(1)求函数f(x)在21[,]e e上的最值;(2)证明:当(1,)x ∈+∞时,函数3221()32g x x x =+的图像在()y f x =的图像上方.高二数学期末复习试题(2)一、选择题1. 下列结论正确的是()A.当x>0且x ≠1时,1lg 2lg x x+≥ B.46x x --的最大值是22的最小值是2D.当(0,)x π∈时4sin 4sin x x+≥ 2. “26m <<”是“222(6)(2)812m x m y m m -+-=-+-表示椭圆”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3. 各项都是正数的等比数列{}n a 中,1321,,2a a a 成等差数列,则4534a a a a ++的值为()4. 已知F 是双曲线22154x y -=的右焦点,点P 的坐标为(3,1),点A 在双曲线上,则AP+AF 的最小值为()A.37+4B.37-4C.37-2 5D. 37+2 55. 双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线21y x =+相切,则该双曲线的离心率为()A. 3 B. 2 C. 5 D. 66.已知圆C 1:(x+4)2+y 2=4,圆C 2:(x ﹣4)2+y 2=1,若圆C 与圆C 1外切且与圆C 2内切,则圆心C 的轨迹是() A .椭圆B .椭圆在y 轴上及其右侧部分C .双曲线 D . 双曲线右支7.下面命题中,正确命题的个数为()①命题:“若x 2﹣2x ﹣3=0,则x=3”的逆否命题为:“若x ≠3,则x 2﹣2x ﹣3≠0” ②命题:“∃x ∈R ,使x ﹣2>lgx ”的否定是“∀x ∈R ,x ﹣2≤lgx ”;③“点M 在曲线y 2=4x 上”是“点M 的坐标为(1,2)”的必要不充分条件. A .0个B . 1个 C .2个 D . 3个8.如图所示,为测一建筑物的高度,在地面上选取A ,B 两点,从A ,B 两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°,45°,且A ,B 两点间的距离为60m ,则该建筑物的高度为() A .(30+30)m B .(30+15)m C .(15+30)mD .(15+15)m9.若直线mx+ny+2=0(m >0,n >0)截得圆22(3)(1)1x y +++=的弦长为2,则13m n+ 的最小值为( )A .4B .12C .16D .610.若△ABC 顶点B , C 的坐标分别为(-4, 0), (4, 0),AC , AB 边上的中线长 之和为30,则△ABC 的重心G 的轨迹方程为 ( )A.221(0)10036x y y +=≠ B.221(0)10084x y y +=≠ C.221(0)10036x y x +=≠ D.221(0)10084x y x +=≠ 11.已知我们把使乘积123n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅为整数的数叫做“成功数”,则在区间内的所有成功数的和为( ) A.1024 B.2003 C.2026 D.204812.设直线l 与抛物线24y x =相交于A ,B 两点,与圆()()22250x y r r -+=>相 切于点M ,且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值 范围是( ) A. ()13, B. ()14, C. ()23, D. ()24, 二、填空题13. 在曲线323610y x x x =++-的切线斜率中斜率最小的切线方程是_____. 14. 命题“对任何x R ∈,243x x -+->”的否定是________。
15.已知两点M(1,45)、N(-4,-45),给出下列曲线方程:①4x+2y -1=0,②223x y +=,③22x +y 2=1,④22x -y 2=1,在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是_________.16.过点()1,1M 作斜率为-12的直线与椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>相交于,A B 两点,若M 是线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率等于_______.三、解答题(共6小题,满分70分)17. 已知2:21p a x a ≤≤+,2:3(1)620q x a x a -+++≤,若p 是q 的充分条件,求实数a 的取值范围.*1log (2)()n n a n n N +=+∈n (1,2011)18. 由正数组成的数列{}{},n n a b ,若1,n n a a +是关于x 的方程22120n n n n x b x a b b +-+= 的两根,(1)求证:{}n b 为等差数列;(2)已知 122,6a a == 分别求数列{}{},n n a b 的通项公式(3)在(2)的条件下求数列2n n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S19.已知抛物线2:2(0)E x py p => 直线2y kx =+ 与E 交于A,B 两点,且2OA OB ⋅=其中O 为原点. (1)求抛物线E 的方程;(2)已知点C(0,-2),记直线CA ,CB 的斜率分别为k1,k2,求222122k k k +-的值.20.已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点。