一元二次函数方程和不等式教学设计(陈开懋)

课题：一元二次函数、方程和不等式（衔接课）

华中师范大学第一附属中学陈开懋

一、教学设计

1.教学内容解析

在现行人民教育出版社A版高中数学教材中，“一元二次不等式的解法”这一部分内容安排在《必修5》的第三章第二节，学生高二时才学习，导致高一学生在学习《必修1》的“集合”、“函数”等内容时，有一定的障碍，达不到一定的深度，初高中数学内容衔接不连贯，对于这一部分内容，老师普遍认为应调整到《必修1》之前，或是安排在《必修1》的“集合”之后，“函数”之前比较好.

本节课的产生正是基于以上原因，但它并不是一节“一元二次不等式的解法”的新知课，也不是一节复习课，而是一节衔接课，以一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式（后面称三个“二次”）三者之间的关系及其应用为核心内容，特别是用函数的观点来处理方程与不等式问题，引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，为高中数学课程的学习作学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡.

三个“二次”是初中三个“一次”（一元一次函数、一元一次方程与一元一次不等式）在知识上的延伸和发展，它是函数、方程、不等式问题的基础和核心，在高中数学中，许多问题的解决都会直接或间接用到三个“二次”.如，解析几何中解决直线与二次曲线位置关系问题，导数中导函数为二次函数时的许多问题等，同时，此部分内容又是培养函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想以及等价转化思想的极好素材，本节课的地位和作用主要体现在它的基础性和工具性方面.

根据以上分析，本节课的教学重点确定为

教学重点：一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系及应用.

2.学生学情诊断

本节课的授课对象为华中师大一附中高一平行班学生，华中师大一附中是湖北省示范高中，学生基础很好，一般而言，学生已经掌握了一次函数、二次函数的图象与性质，简单的一元二次不等式的解法，能利用函数图象解决简单的方程和不等式问题. 但是，当所研究的问题中含有参数或者综合性较强、或者运算较复杂的时候，学生往往不能正确理解题意，不能准确地利用三个“二次”之间的内在联系进行合理转化，不善于分类讨论，不善于归纳总结，对函数、方程、不等式的处理方法不够完整，没有形成基本的规律.

教学难点：含参数的二次方程、不等式，如何利用三个“二次”之间的关系进行等价转化处理，为今后处理其它类型的函数、方程、不等式问题提供范式.

3.教学目标设置

(1)理解一元二次函数、一元二次方程及一元二次不等式三者之间的关系；

(2)能够用二次函数的观点处理二次方程和二次不等式问题，感悟函数的重要性以及数学知识之间的关联性；

(3)引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，能够在本主题的学习中，逐步提升数学抽象、逻辑推理、几何直观和数学运算等核心素养.

4.教学策略分析

本课作为初高中内容和方法上的“衔接课”，有其重要特点：一不能靠单纯的复习；二不宜上成新课；三，必须展示基本的套路，而又不可能一次到位；四，需要立足于函数、圆锥曲线等核心概念必然联系的高度，着眼于继续学习，而又必须遵循数学的自然顺序，避免后继内容的前移。

这种课的关键是整合和提升，形成基本套路并了解它在进一步学习中的基本价值。这些都需要问题驱动，循序渐进，在师生互动中不断地归纳总结。

5 师：同学们，我们初中学过一元一次不等式，同学们说说这个不等式023>-x 的解集是多少啊？

生：3

2>x . 师：诶，怎么算出来的啊？哪位同学来说说？

生：把2移到右边去，再不等式左右两边同时除以3.

师：你的解题依据是什么呢？

生：不等式的性质.

师：很好，请坐，这位同学利用不等式的性质，从代数的角度把这个不等式解出来了，还有其它的解法吗？

生：可以先画出一次函数的图象，从图象可以看出不等式的解集.

师：好，我们先画图象，怎么画这个函数的图象？

生：找两个点.

师：找那两个点比较好？

生：与坐标轴的交点.

师：与x 轴的交点是多少?

生：)0,3

2

(. 师：这

3

2是怎么出来的啊？ 生：令0=y . 即023=-x ，这个方程的根.

师：很好，与x 轴的交点的横坐标恰好是对应一次方程的根. 与y 轴的交点是多少？ 生：令0=x . 得2-=y ，交点)2,0(-. 师：所以这个不等式的解集就是？

生：3

2>x ，即图象在x 轴上方时所对应的x 的范围. 师：很好，请坐，由此可以看出一次函数、一次方程和一次不等式三者之间有着密切的联系，谁来概括一下？

生：一次方程的根就是一次函数图象与x 轴交点的横坐标（即一次函数的零点）， 一次不等式的解集就是一次函数图象在x 轴上方时所对应的x 的范围， 一次方程的根也是一次不等式解集的端点

师：同学们再想一想，这三者之间为什么会有关系呢？

生：……

师：我们从代数表达式来看一看， 一次方程、一次不等式和一次函数，这个三个表达式有什么共同点？^……，都含有一次式，对吧，所以它们之间有关系.

【评析】回顾初中知识，利用一次函数的图象理解一次方程和一次不等式. 由三个“一

次”，类比引出课题，并为三个“二次”的研究提供思路.

环节二：整合

师：很好，一次函数、一次方程和一次不等式三者之间有着密切的关系. 我们再来看一下一元二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ，一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 、一元二次不等式)0(02≠>++a c bx ax ，)0(02≠<++a c bx ax .

师：从它们表达式来看，好像也有相同的部分，是什么呀？……，二次多项式，对吧？那么这三个二次之间是否也有类似三个一次之间的关系呢？这就是我们这节课要研究的内容，首先请同学们画画这个二次函数的图象. （板书课题） 画出二次函数322--=x x y 的图象.

观看几何画板动画，随着动点C 横坐标x 的变化，纵坐标y 的变化情况.

（1） 当x 取哪些值时，0=y ？ （2）方程0322=--x x 的根为 ； 当x 取哪些值时，0>y ？ 不等式0322>--x x 的解集为 ； 当x 取哪些值时，0

>--x x 和一元二次函

数322--=x x y ，三者之间有什么关系？

动画展示：

问题3：对于一般的一元二次方程、一元二次不等式和一元二次函数，三者之间有什么关系？

小组合作探究： 画一画

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