二次函数与直角三角形

二次函数与三角形的存在性问题一、预备知识1、坐标系中或抛物线上有两个点为P （x1，y ），Q （x2，y ）(1)线段对称轴是直线2x 21x x +=(2)AB 两点之间距离公式：221221)()(y y x x PQ -+-=中点公式：已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为⎪⎭⎫ ⎝⎛++222121y y ,x x 。

2、两直线的解析式为11b x k y +=与 22b x k y +=如果这两天两直线互相垂直，则有121-=⋅k k3、平面内两直线之间的位置关系：两直线分别为：L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2（1）当k1=k2，b1≠b2 ，L1∥L2（2）当k1≠k2， ，L1与L2相交（3）K1×k2= -1时， L1与L2垂直二、三角形的存在性问题探究：三角形的存在性问题主要涉及到的是等腰三角形，等边三角形，直角三角形（一）三角形的性质和判定：1、等腰三角形性质：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）。

判定：两腰相等，两底角相等，三线合一（中线、高线、角平分线）的三角形是等腰三角形。

2、直角三角形性质：满足勾股定理的三边关系，斜边上的中线等于斜边的一半。

判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形。

3、等腰直角三角形性质：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质，两底角相等且等于45°。

判定：具有等腰三角形和等边三角形的所以性质的三角形是等腰直角三角形4、等边三角形性质：三边相等，三个角相等且等于60°，三线合一，具有等腰三角形的一切性质。

判定：三边相等，抛物线或坐标轴或对称轴上三个角相等，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

总结：（1）已知A 、B 两点，通过“两圆一线”可以找到所有满足条件的等腰三角形，要求的点（不与A 、B 点重合）即在两圆上以及两圆的公共弦上（2）已知A 、B 两点，通过“两线一圆”可以找到所有满足条件的直角三角形，要求的点（不与A 、B 点重合）即在圆上以及在两条与直径AB 垂直的直线上。

二次函数与直角三角形1．（10分）（2006河南22题）二次函数218y x =的图象如图所示，过y 轴上一点()02M ，的直线与抛物线交于A ，B 两点，过点A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ． （1）当点A 的横坐标为2-时，求点B 的坐标；（2）在（1）的情况下，分别过点A ，B 作AE x ⊥轴于E ，BF x ⊥轴于F ，在EF 上是否存在点P ，使APB ∠为直角．若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当点A 在抛物线上运动时（点A 与点O 不重合），求AC BD 的值．解：（1）根据题意，设点B 的坐标为218x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，其中0x >．点A 的横坐标为2-，122A ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，． ······································································ 2分AC y ⊥轴，BD y ⊥轴，()02M ，， AC BD ∴∥，32MC =，2128MD x =-． Rt Rt BDM ACM ∴△∽△． BD MD AC MC∴=． 即212822x x -=．解得12x =-（舍去），28x =．()88B ∴，． ··················································································································· 5分 （2）存在． ··················································································································· 6分 连结AP ，BP ．由（1），12AE =，8BF =，10EF =． 设EP a =，则10PF a =-．AE x ⊥轴，BF x ⊥轴，90APB =∠，yDBMA C OxAEP PFB ∴△∽△． AE EP PF BF ∴=． 12108aa ∴=-．解得5a =5a =∴点P的坐标为()3+或()3． ···························································· 8分 （3）根据题意，设218A m m ⎛⎫⎪⎝⎭，，218B n n ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，不妨设0m <，0n >．由（1）知BD MDAC MC =， 则22128128n n m m -=--或22128128n n m m -=--． 化简，得()()160mn m n +-=．0m n -≠，16mn ∴=-．16AC BD ∴=． ········································································································· 10分2.如图17，(2010辽宁大连26题)抛物线F ：2(0)y ax bx c a =++>与y 轴相交于点C ，直线1L 经过点C 且平行于x 轴，将1L 向上平移t 个单位得到直线2L ，设1L 与抛物线F 的交点为C 、D ，2L 与抛物线F 的交点为A 、B ，连接AC 、BC （1）当12a =，32b =-，1c =，2t =时，探究△ABC 的形状，并说明理由； （2）若△ABC 为直角三角形，求t 的值（用含a 的式子表示）；（3）在（2）的条件下，若点A 关于y 轴的对称点A ’恰好在抛物线F 的对称轴上，连接A ’C ，BD ，求四边形A ’CDB 的面积（用含a 的式子表示）（1）213122y x x =-+，∴C 的坐标为（0，1），当t=2时，y=3，所以有2133122x x =-+，解得121; 4.x x =-=(A B∴-,5,CA CB AB ∴===222AB CB AC ∴=+,则△ABC 是直角三角形。

求直角三角形的方法中的特定函数在二次函数中求直角三角形的方法中，可以使用特定的函数来计算直角三角形的各个属性，例如边长、角度、面积等。

这些函数可以帮助我们快速准确地解决直角三角形相关的问题。

本文将详细介绍几个常用的函数，包括函数的定义、用途和工作方式等。

1. 求斜边长的函数求斜边长的函数是用来计算直角三角形斜边的长度的。

根据勾股定理，直角三角形的斜边长度可以通过已知的两个直角边的长度来计算。

函数的定义如下：def hypotenuse(a, b):"""计算直角三角形的斜边长:param a: 直角三角形的直角边a的长度:param b: 直角三角形的直角边b的长度:return: 直角三角形的斜边长"""c = math.sqrt(a**2 + b**2)return c该函数接受两个参数a和b，分别表示直角三角形的直角边a和直角边b的长度。

函数内部使用勾股定理来计算斜边的长度，并返回结果。

2. 求角度的函数求角度的函数是用来计算直角三角形中某个角度的大小的。

根据三角函数的定义，我们可以通过已知的两个直角边的长度来计算角度的大小。

函数的定义如下：def angle(a, b):"""计算直角三角形中的角度:param a: 直角三角形的直角边a的长度:param b: 直角三角形的直角边b的长度:return: 直角三角形中的角度（弧度制）"""radians = math.atan(a / b)return radians该函数接受两个参数a和b，分别表示直角三角形的直角边a和直角边b的长度。

函数内部使用反正切函数来计算角度的大小，并返回结果（以弧度制表示）。

3. 求面积的函数求面积的函数是用来计算直角三角形的面积的。

根据直角三角形的面积公式，我们可以通过已知的两个直角边的长度来计算面积。

二次函数与直角三角形的探究问题“某函数图象（或对称轴）上是否存在一点，使之与另两个定点构成直角三角形或”的问题”(1)：利用坐标系中两点距离公式,得到所求三角形三边平方的关系式（勾股定理）；确定三角形中的直角顶点，若无法确定则分情况讨论；根据勾股定理得到方程,然后解方程，若方程有解，此点存在；否则不存在；(2)：利用两直线垂直，k 值互为负倒数（121-=k k ），先确定点所在的直线表达式,将直线与抛物线的表达式联立方程组，若求出交点坐标，此点存在；否则不存在；注：若夹直角的两边中有一边与y 轴平行，此时不能使用斜率公式。

补救措施是：过余下的那一个点（没在平行于y 轴的那条直线上的点）直接向平行于y 的直线作垂线或过直角点作平行于y 轴的直线的垂线与另一相关图象相交，则相关点的坐标可轻松搞定。

如图，已知抛物线()02≠++=a c bx ax y 的对称轴为直线1-=x ,且经过()0,1A ，()3,0C 两点，与x 轴的另一个交点为B 。

（1）若直线n mx y +=经过C B ,两点，求抛物线和直线BC 的解析式；（2）设点P 为抛物线的对称轴1-=x 上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.如图，直线3+=x y 与两坐标轴交于A ，B 两点，抛物线c bx x y ++-=2过点B A 、，且交x 轴的正半轴于点C 。

（1）直接写出B A 、两点的坐标；（2）求该抛物线的解析式和顶点D 的坐标；（3）在抛物线上是否存在动点P ，使得PAB △是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

如图，直线2+=x y 与抛物线)0(62≠++=a bx ax y 相交于)25,21(A ，),4(cB 两点，点P 是线段AB 上异于B A 、的动点，过点P 作x PC ⊥轴于点D ，交抛物线于点C 。

（1）求该抛物线的解析式；（2）求PAC △为直角三角形时点P的坐标。

1、已知抛物线与x轴交于A、 B两点，与y轴交于点C．是否存在实数a，使得△ABC为直角三角形．若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．由，解得，．∴点A、B的坐标分别为（-3，0），（，0）．∴，，．∴，，．〈ⅰ〉当时，∠ACB＝90°．由，得．解得．∴当时，点B的坐标为（，0），，，．于是．∴当时，△A BC为直角三角形．〈ⅱ〉当时，∠ABC＝90°．2：如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(-3，0)两点，顶点为D。

交Y轴于C，在抛物线第二象限图象上是否存在一点M，使△MBC是以∠BCM为直角的直角三角形，若存在，求出点P的坐标。

若没有，请说明理由抛物线y=-x^2+bx+c与x轴交予A(1,0),B(-3,0)两点,得-1+b+c=0-9-3b+c=0得b=-2,c=3该抛物线的解析式y=-x^2-2x+3点C为（0.3）△ABC的面积为1/2AB*OC=6设在抛物线第二象限图象上存在点M(x0,y0)使△MBC是以∠BCM为直角的直角三角形则x0<0,y0>0y0=-x0^2-2x0+3(1)再由MB^2=MC^2+BC^2得(x0+3)^2+(y0-0)^2=(x0-0)^2+(y0-3)^2+(0+3)^2+(3-0)^2(2)(3)由（1）和（2）可解得y0=3,x0=0或者y0=4，x0=-1又x0<0,y0>0所以y0=4，x0=-1在抛物线第二象限图象上存在点M(-1,4)使△MBC是以∠BCM为直角的直角三角形.3：（2012云南）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线的图象过点E（-1，0），并与直线相交于A、B两点（1）求抛物线的解析式（关系式）；（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）直线解析式为y=x+2，令x=0，则y=2，∴A（0，2），∵抛物线y=x2+bx+c的图象过点A（0，2），E（﹣1，0），∴，解得．∴抛物线的解析式为：y=x2+x+2．（2）∵直线y=x+2分别交x轴、y轴于点P、点A，∴P（6，0），A（0，2），∴OP=6，OA=2．∵AC⊥AB，OA⊥OP，∴Rt△OCA∽Rt△OPA，∴，∴OC=，又C点在x轴负半轴上，∴点C的坐标为C（，0）．（3）抛物线y=x2+x+2与直线y=x+2交于A、B两点，令x2+x+2=x+2，解得x1=0，x2=，∴B（，）．如答图①所示，过点B作BD⊥x轴于点D，则D（，0），BD=，DP=6﹣=．点M在坐标轴上，且△MAB是直角三角形，有以下几种情况：①当点M在x轴上，且BM⊥AB，如答图①所示．设M（m，0），则MD=﹣m．∵BM⊥AB，BD⊥x轴，∴，即，解得m=，∴此时M点坐标为（，0）；②当点M在x轴上，且BM⊥AM，如答图①所示．设M（m，0），则MD=﹣m．∵BM⊥AM，易知Rt△AOM∽Rt△MDB，∴，即，化简得：m2﹣m+=0，解得：x1=，x2=，∴此时M点坐标为（，0），（，0）；（说明：此时的M点相当于以AB为直径的圆与x轴的两个交点）③当点M在y轴上，且BM⊥AM，如答图②所示．此时M点坐标为（0，）；④当点M在y轴上，且BM′⊥AB，如答图②所示．设M′（0，m），则AM=2﹣=，BM=，MM′=﹣m．易知Rt△ABM∽Rt△MBM′，∴，即，解得m=，∴此时M点坐标为（0，）．综上所述，除点C外，在坐标轴上存在点M，使得△MAB是直角三角形．符合条件的点M有5个，其坐标分别为：（，0）、（，0）、（，0）、（0，）或（0，）．4：（2012?河池）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线经过A、B两点．（1）写出点A、点B的坐标；（2）若一条与y轴重合的直线l以每秒2个单位长度的速度向右平移，分别交线段OA、CA和抛物线于点E、M和点P，连接PA、PB．设直线l移动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S（面积单位）与t（秒）的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使得△PAM是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）抛物线y=﹣x2+x+4中：令x=0，y=4，则 B（0，4）；令y=0，0=﹣x2+x+4，解得 x1=﹣1、x2=8，则 A（8，0）；∴A（8，0）、B（0，4）．△ABC中，AB=AC，AO⊥BC，则OB=OC=4，∴C（0，﹣4）．由A（8，0）、B（0，4），得：直线AC：y=﹣x+4；依题意，知：OE=2t，即 E（2t，0）；∴P（2t，﹣2t2+7t+4）、Q（2t，﹣t+4），PQ=（﹣2t2+7t+4）﹣（﹣t+4）=﹣2t2+8t；S=S△ABC+S△PAB=×8×8+×（﹣2t2+8t）×8=﹣8t2+32t+32=﹣8（t﹣2）2+64；∴当t=2时，S有最大值，且最大值为64．（3）∵PM∥y轴，∴∠AMP=∠ACO＜90°；而∠APM是锐角，所以△PAM若是直角三角形，只能是∠PAM=90°；由A（8，0）、C（0，﹣4），得：直线AC：y=x﹣4；所以，直线AP可设为：y=﹣2x+h，代入A（8，0），得：﹣16+h=0，h=16∴直线AP：y=﹣2x+16，联立抛物线的解析式，得：，解得、∴存在符合条件的点P，且坐标为（3，10）．5：（2012?海南）如图，顶点为P（4，-4）的二次函数图象经过原点（0，0），点A在该图象上，OA交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON，（1）求该二次函数的关系式；（2）若点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，请解答下面问题：①证明：∠ANM=∠ONM；②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标；如果不能，请说明理由．1）∵二次函数图象的顶点为P（4，－4），∴设二次函数的关系式为。

二次函数顶点与x轴两交点为等腰直角三角形题目中的问题是关于二次函数顶点和x轴两交点构成等腰直角三角形的情况。

在这篇文章中，我们将一步一步解答这个问题，并对相关的数学概念进行详细解释。

接下来，我们来开始探索这个问题。

第一部分：二次函数基础知识在讨论题目之前，我们先来回顾一下二次函数的基本知识。

二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中a, b, c 是实数且a \neq 0。

二次函数的图像呈现出抛物线的形态，可以开口向上、向下。

其中，a 控制了图像的开口方向：当a > 0 时，抛物线开口向上，这种函数称为上凹函数；当a < 0 时，抛物线开口向下，这种函数称为下凹函数。

第二部分：顶点坐标与x轴交点现在，我们考虑一个二次函数的顶点坐标和与x轴的交点。

顶点坐标可以通过计算二次函数的极值点得出，而与x轴的交点可以通过令二次函数等于零求解。

我们假设该二次函数的顶点坐标为(h, k)，与x轴的两个交点分别为x1 和x2。

根据题目要求，我们知道这两个交点构成了一个等腰直角三角形。

首先，我们可以通过求导数来找到二次函数的极值点，即顶点坐标。

对f(x) 求导可以得到f'(x) = 2ax + b。

极值点的横坐标可以通过求解方程f'(x) = 0 来得到，即2ah + b = 0，解得h = -\frac{b}{2a}。

接下来，我们来计算与x轴的交点。

我们令f(x) = ax^2 + bx + c 等于零，即ax^2 + bx + c = 0。

通过求解这个二次方程，我们可以得到与x轴的交点的横坐标：x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} 和x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}。

根据题目的要求，我们知道这两个交点构成了一个等腰直角三角形。

我们可以通过计算两个交点之间的距离和两个交点到顶点的距离，来验证这一点。

二次函数直角三角形二次函数是一种常见的数学模型，其图像呈现出连续的曲线，可以用于描述许多实际问题，如物体的运动轨迹、物体的抛射运动、电子电路等。

而直角三角形是一个三角形中的一种特殊情况，其中一个角为90度。

在这篇文章中，我们将讨论二次函数与直角三角形之间的关系，以及如何利用二次函数和三角函数求解直角三角形问题。

一、二次函数二次函数是一种以自变量x的二次多项式的形式表示的函数，其一般式为：y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。

二次函数的图像通常呈现出抛物线状，其开口向上或向下取决于系数a的正负性。

当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。

二、二次函数与直角三角形之间的关系二次函数可以用于描述许多物理问题，如自由落体运动、抛体运动等。

这些物理问题中通常包含有物体的高度、速度、加速度等数值。

而这些数值往往与直角三角形有直接关系。

例如，在自由落体运动中，当一个物体从高度h自由落下时，其高度与时间的关系可以表示为二次函数y=-gt²/2 + h，其中g为重力加速度，t为时间。

同时，当物体与地面碰撞时，其速度可以表示为v=gt，即与时间t存在线性关系。

这些物理问题中的二次函数常常与直角三角形有关，我们可以将物体高度与时间关系中的高度看作直角三角形中的斜边，将时间看作直角三角形中的一条直角边，将落地时的高度看作直角三角形中的另一条直角边。

这样，我们就可以将二次函数转化为三角函数的形式，利用三角函数求解直角三角形的问题。

三、利用三角函数求解直角三角形的问题在直角三角形中，我们通常会用三角函数来计算三角形的各边和角度的大小。

其中最常用的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

通过利用三角函数可以快速地求解直角三角形的各项参数，如角度、斜边、直角边以及三角形的面积等。

下面是利用三角函数求解直角三角形的常用公式：1.正弦定理：a/sin(A)=b/sin(B)=c/sin(C)。

二次函数综合题-中考数学重难点题型二次函数与直角三角形有关的问题（专题训练）1.（2022·山东滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =--与x 轴相交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，连接,AC BC ．(1)求线段AC 的长；(2)若点Р为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA PC =时，求点P 的坐标；(3)若点M 为该抛物线上的一个动点，当BCM 为直角三角形时，求点M 的坐标．【答案】()11，-(3)()14-，或()25-，或⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭【分析】（1）根据解析式求出A ，B ，C 的坐标，然后用勾股定理求得AC 的长；（2）求出对称轴为x=1，设P （1，t ），用t 表示出PA 2和PC 2的长度，列出等式求解即可；（3）设点M（m,m 2-2m-3），分情况讨论，当222CM BC BM +=，222BM BC CM +=，222BM CM BC +=分别列出等式求解即可．(1)223y x x =--与x 轴交点：令y=0，解得121,3x x =-=，即A （-1，0），B （3，0），223y x x =--与y 轴交点：令x=0，解得y=-3，即C （0，-3），∴AO=1,CO=3,∴AC ==(2)抛物线223y x x =--的对称轴为：x=1，设P （1，t ），∴()()22221104PA t t =++-=+，()()()222210313PC t t =-++=++，∴24t +()213t =++∴t=-1，∴P （1，-1）；(3)设点M （m,m 2-2m-3），()()()()22222223230323BM m m m m m m =-+---=-+--，()()()222222202332CM m m m m m m =-+--+=+-，()()222300318BC =-++=,①当222CM BC BM +=时，()()()222222218323m m m m m m +-+=-+--，解得，10m =（舍），21m =，∴M （1，-4）；②当222BM BC CM +=时，()())222222323182m m m m m m-+--+=+-，解得，12m =-，23m =（舍），∴M （-2，5）；③当222BM CM BC +=时，()()()222222323218m m m m m m -+--++-=，解得，m =，∴M ⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭；综上所述：满足条件的M 为()14-，或()25-，或1522⎛+ ⎪ ⎪⎝⎭或1522⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了与坐标轴交点、线段求值、存在直角三角形等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．2.（2021·四川中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴分别交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，6），抛物线的顶点坐标为E （2，8），连结BC 、BE 、CE ．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE 的形状，并说明理由；（3）如图2，以C 为半径作⊙C ，在⊙C 上是否存在点P ，使得BP ＋12EP 的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=12-x 2+2x+6；（2）直角三角形，见解析；（3）存在，2【分析】（1）用待定系数法求函数解析式；（2）分别求出三角形三边的平方，然后运用勾股定理逆定理即可证明；（3）在CE 上截取CF=2（即CF 等于半径的一半），连接BF 交⊙C 于点P ，连接EP ，则BF 的长即为所求．【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E （2，8），∴设该抛物线的表达式为y=a （x-2）2+8，∵与y 轴交于点C （0，6），∴把点C （0，6）代入得：a=12-，∴该抛物线的表达式为y=12-x 2+2x+6；（2）△BCE 是直角三角形．理由如下：∵抛物线与x 轴分别交于A 、B 两点，∴当y=0时，12-（x-2）2+8=0，解得：x 1=-2，x 2=6，∴A （-2，0），B （6，0），∴BC 2=62+62=72，CE 2=（8-6）2+22=8，BE 2=（6-2）2+82=80，∴BE 2=BC 2+CE 2，∴∠BCE=90°，∴△BCE 是直角三角形；（3）如图，在CE 上截取CF=2（即CF 等于半径的一半），连接BF 交⊙C 于点P ，连接EP ，则BF 的长即为所求．连接CP ，∵CP 为半径，∴12CF CP CP CE ==，又∵∠FCP=∠PCE ，∴△FCP ∽△PCE ，∴12CF FP CP PE ==，FP=12EP ，∴BF=BP+12EP ，由“两点之间，线段最短”可得：BF 的长即BP+12EP 为最小值．∵CF=14CE ，E （2，8），∴F （12，132），∴2【点睛】本题考查二次函数综合，待定系数法，二次函数图象和性质，勾股定理及其逆定理，圆的性质，相似三角形的判定和性质等，题目综合性较强，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数图象和性质，圆的性质，相似三角形的判定和性质等相关知识是解题关键．3.（2021·湖北中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点()1,0A -和点B ，与y 轴交于点C ，顶点D 的坐标为()1,4-．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图1，若点P 在抛物线上且满足PCB CBD ∠=∠，求点P 的坐标；（3）如图2，M 是直线BC 上一个动点，过点M 作MN x ⊥轴交抛物线于点N ，Q 是直线AC 上一个动点，当QMN 为等腰直角三角形时，直接写出此时点M 及其对应点Q 的坐标【答案】（1）223y x x =--；（2）()14,5P ，257,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）154,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，154,93Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2134,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2134,93Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭；(35,2M ，()35,12Q -；()42,1M -，()40,3Q -；()51,2M -，()50,3Q -；()67,4M ，()67,18Q -．【分析】（1）由()1,0A -和D ()1,4-，且D 为顶点列方程求出a 、b 、c ，即可求得解析式；（2）分两种情况讨论：①过点C 作1//CP BD ，交抛物线于点1P ，②在BC 下方作BCF BCE ∠=∠交BG 于点F ，交抛物线于2P ；（3）QMN 为等腰直角三角形，分三种情况讨论：当90QM MN QMN =∠=︒，；②当90QN MN QNM =∠=︒，；③当90QM QN MQN =∠=︒，．【详解】解：（1）将()1,0A -和D ()1,4-代入2y ax bx c=++得04a b c a b c -+=⎧⎨++=-⎩又∵顶点D 的坐标为()1,4-∴12ba-=-∴解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩∴抛物线的解析式为：223y x x =--．（2）∵()3,0B 和()1,4D -∴直线BD 的解析式为：26y x =-∵抛物线的解析式为：223y x x =--，抛物线与y 轴交于点C ，与x 轴交于点()1,0A -和点B，则C 点坐标为()0,3-，B 点坐标为()3,0．①过点C 作1//CP BD ，交抛物线于点1P ，则直线1CP 的解析式为23y x =-，结合抛物线223y x x =--可知22323x x x --=-，解得：10x =（舍），24x =，故()14,5P ．②过点B 作y 轴平行线，过点C 作x 轴平行线交于点G ，由OB OC =可知四边形OBGC 为正方形，∵直线1CP 的解析式为23y x =-∴1CP 与x 轴交于点3,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，在BC 下方作BCF BCE ∠=∠交BG 于点F ，交抛物线于2P ∴OCE FCG∠=∠又∵OC=CG ，90COE G ∠=∠=︒∴OEC △≌()GFC ASA ，∴32FG OE ==，33,2F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又由()0,3C -可得直线CF 的解析式为132y x =-，结合抛物线223y x x =--可知212332x x x --=-，解得10x =（舍），252x =，故257,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．综上所述，符合条件的P 点坐标为：()14,5P ，257,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（3）∵()3,0B ，()0,3C -∴直线BC 的解析式为3BC y x =-设M 的坐标为()3m m -，，则N 的坐标为()223m m m --，∴()22=3233MN m m m m m----=-∵()1,0A -，()0,3C -∴直线BC 的解析式为33AC y x =--∵QMN 为等腰直角三角形∴①当90QM MN QMN =∠=︒，时，如下图所示则Q 点的坐标为33m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴4=33m mQM m ⎛⎫--=⎪⎝⎭∴24=33mm m -解得：10m =（舍去），2133m =，353m =∴此时154,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，154,93Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2134,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2134,93Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭；②当90QN MN QNM =∠=︒，则Q 点的坐标为222233m m m m ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，∴222=33m m m mQM m -+-=∴22=33m mm m +-解得：10m =（舍去），25m =，32m =∴此时()35,2M ，()35,12Q -；()42,1M -，()40,3Q -；③当90QM QN MQN =∠=︒，时，如图所示则Q 点纵坐标为()()22211113236=32222m m m m m m m -+--=----∴Q 点的坐标为22111136622m m m m ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，∴Q 点到MN 的距离=221151+6666m m m m m--=∴22511+=3662m m m m ⋅-（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）解得：10m =（舍去），27m =，31m =∴此时()51,2M -，()50,3Q -；()67,4M ，()67,18Q -．综上所述，点M 及其对应点Q 的坐标为：154,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，154,93Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2134,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2134,93Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭；()35,2M ，()35,12Q -；()42,1M -，()40,3Q -；()51,2M -，()50,3Q -；()67,4M ，()67,18Q -．【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形．该题综合性较强，属于中考压轴题．4.（2021·湖北中考真题）抛物线22y ax bx b =-+（0a ≠）与y 轴相交于点()0,3C -，且抛物线的对称轴为3x =，D 为对称轴与x 轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴上方且平行于x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于E 、F 两点，若DEF 是等腰直角三角形，求DEF 的面积；（3）若()3,P t 是对称轴上一定点，Q 是抛物线上的动点，求PQ 的最小值（用含t 的代数式表示）．【答案】（1）263y x x =-+-；（2）4；（3）6(6)116(6)211()2t t PQ t t t ⎧⎪-≥⎪⎪=-<<⎨≤【分析】（1）与y 轴相交于点()0,3C -，得到3b =-，再根据抛物线对称轴，求得1a =-，代入即可．（2）在x 轴上方且平行于x 轴的直线与抛物线从左到右依次交于E 、F 两点，可知E 、F 两点关于对称轴对称，DEF 是等腰直角三角形得到45FED ∠=︒，设(,)(0)E m n n >，根据等腰直角三角形的性质求得E 点坐标，从而求得DEF 的面积．（3）(,)(6)Q p q q ≤，根据距离公式求得222(21)6PQ q t q t =-+++，注意到q 的范围，利用二次函数的性质，对t 进行分类讨论，从而求得PQ 的最小值．【详解】解：（1）由抛物线22y ax bx b =-+（0a ≠）与y 轴相交于点()0,3C -得到3b =-抛物线的对称轴为3x =，即232b a--=，解得1a =-∴抛物线的方程为263y x x =-+-（2）过点E 作EM AB ⊥交AB 于点M ，过点F 作FN AB ⊥，交AB 于点N ，如下图：∵DEF 是等腰直角三角形∴DE DF =，45FED ∠=︒又∵EF x ∥轴∴45EDM ∠=︒∴EMD 为等腰直角三角形∴EM DM=设(,)(0)E m n n >，则(,0)M m ，3,DM m EM n=-=∴3n m=-又∵263n m m =-+-∴2363m m m -=-+-2760m m -+=解得1m =或6m =当1m =时，2n =，符合题意，2,4DM EM MN ===142DEF S MN EM =⨯=△当6m =时，30n =-<，不符合题意综上所述：4DEF S = ．（3）设(,)(6)Q p q q ≤，Q 在抛物线上，则263q p p =-+-222222(3)()692PQ p q t p p q tq t =-+-=-++-+将263q p p =-+-代入上式，得222(21)6PQ q t q t =-+++当112t >时，2162t +>，∴6q =时，2PQ 最小，即PQ 最小22223612661236(6)PQ t t t t t =--++=-+=-PQ =6(6)6116(6)2t t t t t -≥⎧⎪-=⎨-<<⎪⎩当112t ≤时，2162t +≤，∴212t q +=时，2PQ 最小，即PQ 最小22344t PQ -=，2PQ =综上所述6(6)116(6)211()2t t PQ t t t ⎧⎪-≥⎪⎪=-<<⎨≤【点睛】此题考查了二次函数的对称轴、二次函数与三角形面积、等腰直角三角形的性质以及距离公5.（2020•泸州）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx+c 经过A （﹣2，0），B （4，0），C （0，4）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）经过点B 的直线交y 轴于点D ，交线段AC 于点E ，若BD ＝5DE ．①求直线BD 的解析式；②已知点Q 在该抛物线的对称轴l 上，且纵坐标为1，点P 是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l 右侧，点R 是直线BD 上的动点，若△PQR 是以点Q 为直角顶点的等腰直角三角形，求点P 的坐标．【分析】（1）根据交点式设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入抛物线交点式中，即可求出a，即可得出结论；（2）①先利用待定系数法求出直线AC的解析式，再利用相似三角形得出比例式求出BF，进而得出点E坐标，最后用待定系数法，即可得出结论；②先确定出点Q的坐标，设点P（x，−12x2+x+4）（1＜x＜4），得出PG＝x﹣1，GQ=−12x2+x+3，再利用三垂线构造出△PQG≌△QRH（AAS），得出RH＝GQ=−12x2+x+3，QH＝PG＝x﹣1，进而得出R（−12x2+x+4，2﹣x），最后代入直线BD的解析式中，即可求出x的值，即可得出结论．【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），将点C坐标（0，4）代入抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4）中，得﹣8a＝4，∴a=−12，∴抛物线的解析式为y=−12（x+2）（x﹣4）=−12x2+x+4；（2）①如图1，设直线AC的解析式为y＝kx+b'，将点A（﹣2，0），C（0，4），代入y＝kx+b'中，得−2k+b'=0b'=4，∴k=2b'=4，∴直线AC的解析式为y＝2x+4，过点E作EF⊥x轴于F，∴OD∥EF，∴△BOD∽△BFE，∴OB BF=BD BE，∵B（4，0），∴OB＝4，∵BD＝5DE，∴BD BE=BD BD+DE=5DE5DE+BE=56，∴BF=BE BD×OB=65×4=245，∴OF＝BF﹣OB=245−4=45，将x=−45代入直线AC：y＝2x+4中，得y＝2×（−45）+4=125，∴E（−45，125），设直线BD的解析式为y＝mx+n，∴4m+n=0−45m+n=125，∴m=−12n=2，∴直线BD的解析式为y=−12x+2；②∵抛物线与x轴的交点坐标为A（﹣2，0）和B（4，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴点Q（1，1），如图2，设点P（x，−12x2+x+4）（1＜x＜4），过点P作PG⊥l于G，过点R作RH⊥l于H，∴PG＝x﹣1，GQ=−12x2+x+4﹣1=−12x2+x+3，∵PG⊥l，∴∠PGQ＝90°，∴∠GPQ+∠PQG＝90°，∵△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，∴PQ＝RQ，∠PQR＝90°，∴∠PQG+∠RQH＝90°，∴∠GPQ ＝∠HQR ，∴△PQG ≌△QRH （AAS ），∴RH ＝GQ =−12x 2+x+3，QH ＝PG ＝x ﹣1，∴R （−12x 2+x+4，2﹣x ），由①知，直线BD 的解析式为y =−12x+2，∴x ＝2或x ＝4（舍），当x ＝2时，y =−12x 2+x+4=−12×4+2+4＝4，∴P （2，4）．6.（2020·甘肃兰州?中考真题）如图，抛物线24y ax bx =+-经过A （－3，6），B （5，－4）两点，与y 轴交于点C ，连接AB ，AC ，BC ．（1）求抛物线的表达式；（2）求证：AB 平分CAO ∠；（3）抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得ABM ∆是以AB 为直角边的直角三角形．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）215466y x x =--；（2）详见解析；（3）存在，点M 的坐标为（52，－9）或（52，11）．【解析】【分析】（1）将A （-3，0），B （5，-4）代入抛物线的解析式得到关于a 、b 的方程组，从而可求得a 、b 的值；（2）先求得AC 的长，然后取D （2，0），则AD=AC ，连接BD ，接下来，证明BC=BD ，然后依据SSS 可证明△ABC ≌△ABD ，接下来，依据全等三角形的性质可得到∠CAB=∠BAD ；（3）作抛物线的对称轴交x 轴与点E ，交BC 与点F ，作点A 作AM′⊥AB ，作BM ⊥AB ，分别交抛物线的对称轴与M′、M ，依据点A 和点B 的坐标可得到tan ∠BAE=12，从而可得到tan ∠M′AE=2或tan ∠MBF=2FM 和M′E 的长，故此可得到点M′和点M 的坐标．【详解】解:（1）将A （-3，0），B （5，-4）两点的坐标分别代入，得9340,25544a b a b --=⎧⎨+-=-⎩，解得1,65,6a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故抛物线的表达式为y ＝215466y x x =--．（2）证明：∵AO=3，OC=4，∴．取D （2，0），则AD=AC=5．由两点间的距离公式可知=5．∵C （0，-4），B （5，-4），∴BC=5．∴BD=BC ．在△ABC 和△ABD 中，AD=AC ，AB=AB ，BD=BC ，∴△ABC ≌△ABD ，∴∠CAB=∠BAD ，∴AB 平分∠CAO ；（3x 轴与点E ，交BC 与点F ．抛物线的对称轴为x=52，则AE=112．∵A （-3，0），B （5，-4），∴tan ∠EAB=12．∵∠M′AB=90°．∴tan ∠M′AE=2．∴M′E=2AE=11，∴M′（52，11）．同理：tan ∠MBF=2．又∵BF=52，∴FM=5，∴M （52，-9）．∴点M 的坐标为（52，11）或（52，-9）．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，全等三角形的性质和判定、锐角三角函数的定义，求得FM 和M′E 的长是解题的关键7.（2020·内蒙古通辽?中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点,A B ，与y 轴交于点C ，且直线6y x =-过点B ，与y 轴交于点D ，点C 与点D 关于x 轴对称．点P 是线段OB 上一动点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，交直线BD 于点N ．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当MDB △的面积最大时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在y 轴上是否存在点Q ，使得以,,Q M N 三点为顶点的三角形是直角三角形，若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）256y x x =-++；（2）（2，0）；（3）存在，（0，12）或（0，-4）或（0，4+）或（0，4-）.【解析】【分析】（1）根据直线6y x =-求出点B 和点D 坐标，再根据C 和D 之间的关系求出点C 坐标，最后运用待定系数法求出抛物线表达式；（2）设点P 坐标为（m ，0），表示出M 和N 的坐标，再利用三角形面积求法得出S △BMD =231236m m -++，再求最值即可；（3）分当∠QMN=90°时，当∠QNM=90°时，当∠MQN=90°时，三种情况，结合相似三角形的判定和性质，分别求解即可.【详解】解：（1）∵直线6y x =-过点B ，点B 在x 轴上，令y=0，解得x=6，令x=0，解得y=-6，∴B （6，0），D （0，-6），∵点C 和点D 关于x 轴对称，∴C （0，6），∵抛物线2y x bx c =-++经过点B 和点C ，代入，03666b c c =-++⎧⎨=⎩，解得：56b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的表达式为：256y x x =-++；（2）设点P 坐标为（m ，0），则点M 坐标为（m ，256m m -++），点N 坐标为（m ，m-6），∴MN=256m m -++-m+6=2412m m -++，∴S △BMD =S △MNB +S △MND =()2141262m m ⨯-++⨯=231236m m -++=-3（m-2）2+48当m=2时，S △BMD 最大=48，此时点P 的坐标为（2，0）；（3）存在，由（2）可得：M （2，12），N （2，-4），设点Q 的坐标为（0，n ），当∠QMN=90°时，即QM ⊥MN ，如图，可得，此时点Q 和点M 的纵坐标相等，即Q （0，12）；当∠QNM=90°时，即QN ⊥MN ，如图，可得，此时点Q 和点N 的纵坐标相等，即Q （0，-4）；当∠MQN=90°时，MQ⊥NQ，如图，分别过点M和N作y轴的垂线，垂足为E和F，∵∠MQN=90°，∴∠MQE+∠NQF=90°，又∠MQE+∠QME=90°，∴∠NQF=∠QME，∴△MEQ∽△QFN，∴ME EQQF FN=，即21242nn-=+，解得：n=4+或4-，∴点Q（0，4+）或（0，4-），综上：点Q的坐标为（0，12）或（0，-4）或（0，4+）或（0，4-）.【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的表达式，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，二次函数的最值，解一元二次方程，解题时要注意数形结合，分类讨论思想的运用.。

二次函数中求直角三角形的方法以二次函数中求直角三角形的方法为标题，我们将介绍如何利用二次函数来求解直角三角形的相关问题。

在二次函数中，我们常常会遇到求解直角三角形的问题。

直角三角形是指其中一个角为90度的三角形。

对于直角三角形，我们可以利用二次函数的性质来解决一些与其相关的问题。

我们来讨论直角三角形的三边关系。

根据勾股定理，直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

假设直角三角形的两直角边分别为a和b，斜边为c，则有a^2 + b^2 = c^2。

这个关系式在解决直角三角形问题时非常重要。

在二次函数中，我们经常会遇到求解两点之间的距离的问题。

对于直角三角形，我们可以利用二次函数的距离公式来求解两点之间的距离。

假设直角三角形的两个顶点坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则两点之间的距离可以通过以下公式来计算：d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)接下来，我们将介绍如何利用二次函数来解决直角三角形的面积问题。

直角三角形的面积可以通过以下公式来计算：S = 1/2 * a * b其中，a和b分别为直角三角形的两直角边的长度。

当我们已知直角三角形的两直角边的长度时，可以利用二次函数来求解斜边的长度。

根据勾股定理，我们可以得到以下公式：c = sqrt(a^2 + b^2)其中，c为直角三角形的斜边的长度。

当我们已知直角三角形的两个直角边的长度时，可以利用二次函数来求解直角三角形的两个锐角的正弦、余弦和正切值。

根据三角函数的定义，我们可以得到以下公式：sinA = a / ccosA = b / ctanA = a / b其中，A为直角三角形的一个锐角。

在二次函数中，我们也常常会遇到求解直角三角形的最大值或最小值的问题。

对于直角三角形，我们可以通过二次函数的顶点来求解其最大值或最小值。

在直角三角形中，顶点即为直角三角形的顶点，其x坐标为a/2，y坐标为b/2，其中a和b分别为直角三角形的两直角边的长度。