两点之间线段最短_直线、射线、线段

M O aBAaMO 线段、射线、直线【知识要点】知识点1、线段、直线、射线的概念：线段：一段拉直的棉线可近似地看作线段，线段有两个端点。

线段的画法：（1）画线段时，要画出两个端点之间的部分，不要画出向任何一方延伸的情况．射线：将线段向一个方向无限延长，就形成了射线，射线有一个端点。

如手电筒、探照灯射出的光线等。

射线的画法：画射线 一要画出射线端点 ；二要画出射线经过一点，并向一旁延伸的情况．直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线，直线没有端点。

如笔直的铁轨等。

直线的画法：用直尺画直线，但只能画出一部分，不能画端点。

知识点2、线段、直线、射线的表示方法：（1） 点的记法：用一个大写英文字母（2） 线段的记法：①用两个端点的字母来表示 ②用一个小写英文字母表示 如图：记作线段AB 或线段BA ， 记作线段a ，与字母顺序无关 此时要在图中标出此小写字母（3） 射线的记法：用端点及射线上一点来表示，注意端点的字母写在前面如图：记作射线OM,但不能记作射线MO（4） 直线的记法：①用直线上两个点来表示 ②用一个小写字母来表示如图：记作直线AB 或直线BA ， 记作直线l与字母顺序无关。

此时要在图中标出此小写字母知识点3、线段、射线、直线的区别与联系：联系：三者都是直的，线段向一个方向延长可得到射线，线段向两个方向延长可得到直线，故射线、线段都是直线的一部分，线段是射线的一部分。

区别：直线可以向两方延伸，射线可以向一方无限延伸，线段不能延伸，三者的区别见下表：名称图形表示方法界限 端点 长度线段线段AB （或线段BA ）（字母无序）线段a两方 有界 两个 有射线射线AB(字母有序) 一方有界，一方无限一个 无BA BAlBAkBA直线直线AB （或直线BA ）（字母无序）直线l两方 无限无 无知识点4、直线的基本性质（重点）（1） 经过一点可以画无数条直线 （2） 经过两点只可以画一条直线直线的基本性质：经过两点有且只有一条直线（也就是说：两点确定一条直线） 注：“确定”体现了“有”，又体现了“只有”。

Fra bibliotek1 2
【总结升华】在解答没有给出图形的问题时，一定要审题，要全面 考虑所有可能的情况，即当我们面临的数学问题无法确定是哪种情形
时，就要分类讨论．
举一反三：
【变式】 (武汉武昌区期末联考)如图所示，数轴上线段AB＝2(单位长度)，CD＝ 4(单位长度)，点A在数轴上表示的数是-10，点C在数轴上表示的数是16．若线段 AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速 度向左匀速运动．
【总结升华】在表示线段和直线时，两个大写字母的顺序可以颠 倒．然而，在叙述线段的延长线的时候，表示线段的两个大写字 母的顺序就不能颠倒了，因为线段向一方延伸后就形成了射线(延
长部分已不再是线段本身了)，而表示射线的两个大写字母的顺序
是不能颠倒的，只能用第一个字母表示射线的端点，第二个字母 表示射线方向上的任一点．
关系： （1）点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A． （2）点在直线外，如
要点二、线段 1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段． 2.表示方法： （1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作 ：线段AB或线段BA． （2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a．
[
②当点B在点C的右边时， 6t-8+2t＝2 ， t＝4(秒) 答：当t等于2秒或4秒时，BC＝8(单位长度)
(2) 由（1）知：当t＝2(秒)时，B点坐标为：-8+6t=﹣8+6×2=4（单位长度） 当t＝4(秒)时，B点坐标为：-8+6t=﹣8+6×4=16（单位长度）
所以答案为：4或16
(3) 存在，若存在，则有：BD＝AP+3PC，设运动时间为t(秒)，则： 1°当t＝3时，点B与点C重合，点P在线段AB上，O＜PC≤2且BD＝CD＝4， AP+3PC＝AB+2PC＝2+2PC 所以：2+2PC=4，解得：PC＝1 ∴此时， PD＝5 2°当 3 t

A B
C
D
5
【例题 7】如图，已知线段 a，b，c，画一条线段，使它等于 a＋b－c(用尺规法)．
【例题 8】如图，线段 AB＝8 cm，点 C 是 AB 的中点，点 D 在 CB 上且 DB＝1.5 cm， 求线段 CD 的长度．
【例题 9】平面上有 n 个点（n≥2） ，且任意三个点不在同一条直线上，过这些点能作 多少条不同的直线？
4．已知线段 AB，在 BA 的延长线上取一点 C，使 CA＝3AB，则 CB＝_______AB，CA＝_______CB． 5．如图所示，射线 OA 表示的方向是_______，射线 OB 表示的方向是_______·
6.如图，下列说法，正确说法的个数是（
A B 图1 C A B 图2 C D
考点 2
射线
（1）射线的概念：直线上的一点和它一旁的部分叫做射线，这个点叫做射线的端 点。 （2）射线的表示方法：用射线的端点和射线上任一点来表示，如图 1 中的射线记 做射线 OA 或射线 l . 注意：①表示端点的字母一定要写在前面，使字母的顺序与射线延伸的方向一致， 如图 1 射线 OA 不能表示成射线 AO； ②同一条射线是指射线的端点相同，而延伸方向也相同的射线。如图 2， 射线 OA 与射线 OB 表示同一条射线； ③两条不同射线是指端点不同的射线，或者是指端点相同但延伸方向不同 的射线，如图 2 中，射线 OB 与射线 AB 不是同一射线.
5 BC ,则线段 BC 等于（ 3
(D) 3.5cm
）
4.如图,已知 AB=8,AP=5,OB=6,则 OP 的长是( A.2 B.3 C.4 D.5
5.已知 1 条直线能将平面分成两部分,2 条直线能将平面分成 3 和 4 部分,则 3 条直线最多能将平面 分成( A.4 部分 ) B.6 部分 C.7 部分 D.8 部分 ）

“直线、射线、线段”第三课时教学背景:这节课是“直线、射线、线段”第三课时，对于“两点之间线段最短”这一事实的讲解中发生的一个热烈的争论，从同学们的讨论中发现在理论，现实和情理也是有争议的；同学们对这一事实十分肯定，但从这一案例中也发现学生的思想和价值观的形成过程。

新课标中提倡每个人能在数学中获得发展------知识，思维，情感，价值观。

【案例简述】本节课是在学习直线、射线、线段两课时的基础上进一步探究“两之间线段最短”这一事实。

书128页思考如图 4.2-12，从A地到B地有四条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路？如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短路线。

••A B学生很容易的就画出了线段AB。

为了使这节课能够更加富有情趣，和意义我又设计了以下情景：如果你在上学的路上要路过一块草坪你应该怎么走？学生1：“直接穿过去。

”师：“能否画出你走的路线？”学生1画好之后补充：“两点之间线段最短。

”师：回答的很好！于是我再接着设置了一个情景师：“从她身边跑过一只小狗，从她刚画的路线跑了过去。

”。

（同学们通过思考后）此时几个学生似乎明白了什么，一直再举手。

学生2：“老师！我觉得不应该踩踏草坪，我应该沿着草坪边走。

”学生3：“对的，如果我们为了走近路就去践踏草坪，我们就和狗一样了！”此时一片掌声。

学生4：“我觉得狗都知道两点之间线段最短何况人呢？”学生5：“你那样说不对，人是要有道德的，不能不讲道德践踏草坪”学生6:“老师！您是给我们设定了情景，如果学校着火了，学生的地方是消防车，那我觉得应该从草坪直接穿过去，人的生命最重要，草可以再种而生命不能再生。

”学生又是一片掌声。

学生7：。

此时课堂达到一定高潮！学生都能说出自己的看法。

师：“老师很高兴，你说的太好了，老师给你们一个赞！！”结论：本案例虽然是个比较简单事实的认可过程，但是内初班同学在老师的情景设定，大胆自发表自己的看法和意见，并且在此基础上有所拓展，得到了知识，方法，情感的发展。

A D C B
3、已知：点A、B、C在同一直线上，AB = 8cm，BC = 6cm，点M、N分 别是AB、BC的中点。 求：线段MN的长。
n
m
（2）在射线AM上顺次截取AB = m，BC = n。
A
B
C
M
则线段AC就是所求作的线段。
已知：线段m、n。（如图）
m
n
求作：线段AC，使AC = m - n。 （1）作射线AM； 作法： （2）在射线AM上截取AB = m。 （3）在线段AB上截取BC = n。
A
C
B
M
则线段AC就是所求作的线段。
A
B (2)
C
D
直线的表示方法
l
A B
方法1：用两个大写字母来表示，例如可表示成 直线AB(或直线BA） 方法2：用一个小写字母表示, 例如可以表示成 直线l 归纳：用两个大写字母表示的时候与字母的顺序 无关。此时的字母可以是任意的字母。
名称 概念 图形
线段
A

射线
将线段向一个 方向无限延长 就得到了射线
两条线段的大小（长短）关系：
（1）AB > CD； （2）AB = CD； （3）AB < CD；
合作学习：
怎样比较两根细木条的长短?
观察下列三组图形，你能看出每组图 形中线段a与b的长短吗? b
a b
(1) a (3)
b
(2)
a
第一种方法： 度量法
用一把尺子量出两根绳子的长度，再进行比较.
3.1cm 4.1cm
射线的表示方法
b
A
B
此时可以表 示成射线 BA吗？
方法1：用两个大写字母来表示，例如可表示成 射线AB 方法2：用一个小写字母表示, 例如可以表示成 射线b 归纳：射线必须由端点和射线上的一点表示出来，

两点之间，线段最短设计思想（1）国家数学课程标准指出：义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展。

它不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。

（2）初一学生从基础知识，基本技能和思维水平以及学习方式等方面有一个逐步适应和提高的过程。

因此，在进行教学设计时，必须时时考虑到新初一学生的学习实际，既不能盲目拔高，也不能搞简单化的结论式教学。

在新课改的过程中，教学设计应立足于学生实际，从大处着眼，深入挖掘教材内容的素质教育功能。

（3）数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。

数学教学应从学生的实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习。

（4）本课题通过对内容的挖掘与整理，采用“问题情境──建立模型──解释、应用与拓展”的模式展开教学，让学生经历“从生活中发现数学──在教室里学习数学──到生活中运用数学” 这样一个过程，从而更好地理解数学知识的意义，发展应用数学知识的意识与能力，进一步增强学好数学的愿望和信心。

学生通过本节从具体情境发现并提出数学问题的学习活动，进一步体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值。

在互动交流活动中，学习从不同角度理解问题，寻求解决问题的方法，并有效地解决问题。

体会在解决问题中与他人合作的重要性。

体会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识。

教学任务分析教学流程安排课前准备教学过程设计效果检测1、通过课堂学习活动的展示与交流，学生对学生进行相互评价2、在学习活动过程中教师注意及时地鼓励、指导、点评，实施过程评价3、课后要求学生“蚂蚁爬行最短”问题进行继续研究，并写出数学小作文。

我想试试
作者：罗赛蒂
那个说“我想试试”的小孩 他将登上山巅，
那个说“我不成”的小孩， 在山下停步不前。
“我想试试”每天办成很多事， “我不成”就真一事无成。
因此你务必说“我想试试”， 将“我不成”弃于埃尘。
小蚂蚁住在广阔的森林里的一棵大树底 下，这天，树上的蜂窝滴下了一滴美味 的蜂蜜，香味四溢，小蚂蚁嗅着了这香 味，他会往哪条路走最快地吃到蜂蜜， 为什么？
B.
A
两点之间线段最短
3、下列说法正确的是（ D ） A、连结两点的线段叫做两点间的距离 B、两点间的连线的长度，叫做两点间的距离 C、连结两点的直线的长度，叫做两点的距离 D、连结两点的线段的长度，叫做两点间的距离
小蚂蚁在树的两侧发现了两处A、B，有较
多的食物，于是它想在家附近的直线l上挖
个仓库，将AB两处的食物储存入该仓库， 以备过冬，那么你猜他会把仓库建在哪， 使自己的搬运路径最短呢？
l
C
小蚂蚁在树的两侧发现了两处A、B，有较
多的食物，于是它想在家附近的直线l上挖
个仓库，将AB两处的食物储存入该仓库， 以备过冬，那么你猜他会把仓库建在哪， 使自己的搬运路径最短呢？
将实际问题抽象为几何问题：
l
已知,A、B位于 直线l的两侧，在
C
直线l上求作一个
点C，使得
AC+BC最小？
小蚂蚁家门口不知何时多了一个几 何体，引发了小蚂蚁的好奇心，于 是就爬了上去，可就当它爬到了A 点的时候，天上下起了雨，它要以 最快的速度从A爬到B点回家，你能 找出它回家的最短路径吗？
A
A
A
B
B
B
A B
A B
A B
A B
A B

第01讲直线、射线与线段考点1 直线、射线与线段的概念注意：直线是可以向两边无限延伸的，射线受端点的限制，只能向一边无限延伸；线段不能延伸，所以直线与射线不可测量长度，只有线段可以测量。

考点2 ：基本事实1. 经过两点有一条直线，并且仅有一条直线，即两点确定一条直线2. 两点之间的线段中，线段最短，简称两点间线段最短【题型1 直线、射线与线段】【典例1】（2022秋•陈仓区期末）如图，下列说法错误的是（）A．点A在直线AC上，点B在直线m外B．射线AC与射线CA不是同一条射线C．直线AC还可以表示为直线CA或直线mD．图中有直线3条，射线2条，线段1条【变式11】（2022秋•沈丘县月考）下列说法错误的是（）A．直线AB和直线BA表示同一条直线B．过一点能作无数条直线C．射线AB和射线BA表示不同射线D．射线比直线短【变式12】（2023春•栖霞市期末）如图，下列说法正确的是（）A．点O在射线AB上B．点B是直线AB的一个端点C．点A在线段OB上D．射线OB和射线AB是同一条射线【变式13】（2022秋•隆化县期末）如图，下列不正确的几何语句是（）A．直线AB与直线BA是同一条直线B．射线OA与射线OB是同一条射线C．射线OA与射线AB是同一条射线D．线段AB与线段BA是同一条线段【典例2】（2022秋•梁山县期末）如图，图中射线条数为（）A．8B．6C．5D．4【变式21】（2022秋•新民市期末）观察图形，下列说法正确的个数是（）（1）直线BA和直线AB是同一条直线；（2）AB+BD＞AD；（3）射线AC和射线AD是同一条射线；（4）三条直线两两相交时，一定有三个交点．A．1个B．2个C．3个D．4个【变式22】（2022秋•惠来县期末）经过两点可以画（）直线．A．三条B．两条C．一条D．不确定【题型2 直线的性质】【典例3】（2022秋•渭滨区期末）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（）A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线C．垂线段最短D．以上都不是【变式31】（2022秋•凉州区期末）在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是（）A．1枚B．2枚C．3枚D．任意枚【变式32】（2023春•芝罘区期中）在下列现象中，不可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式33】（2023春•钢城区期末）如图，建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙，这是因为（）A．两点之间，直线最短B．两点之间，射线最短C．两点之间，线段最短D．两点确定一条直线【题型3 线段的应用】【典例4】（2023春•高青县期中）如图，AB是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制多少种车票？（）A．10B．11C．18D．20【变式41】（2022秋•海门市期末）往返A，B两地的客车，中途停靠两个站，客运站根据两站之间的距离确定票价（距离不相等，票价就不同）．若任意两站之间的距离都不相等，则不同的票价共有（）A．4种B．5种C．6种D．7种【变式42】（2023春•东平县期中）如图所示，由泰山始发终点至青岛的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：泰山——济南——淄博——潍坊——青岛，那么要为这次列车制作的单程火车票（）种．A．5B．10C．15D．20【变式43】（2022秋•高邑县期末）往返于甲、乙两地的火车，中途停靠三站，每两站间距离各不相等，需要准备（）种不同的车票．A．4B．8C．10D．20【题型4 作图直线射线和线段】【典例5】（2022秋•凉州区校级期末）如图，在平面内有A、B、C三点．（1）画直线AC，线段BC，射线AB；（2）在线段BC上任取一点D（不同于B、C），连接AD；（3）数数看，此时图中线段共有条．【变式51】（2022秋•重庆期末）如图，已知线段AB，点C在AB上，点P在AB外．（1）根据要求画出图形：画直线P A，画射线PB，连接PC；（2）写出图中的所有线段．【变式52】（2022秋•灵宝市期末）如图，在平面内有A，B，C三点．（1）画直线AB，射线AC，线段BC；（2）在线段BC上任取一点D（不同于B，C），连接AD，并延长AD至E，使DE＝AD；（3）数一数，此时图中线段共有条．【变式53】（2022秋•怀仁市校级期末）如图，已知四点A、B、C、D，请用尺规作图完成．（保留画图痕迹）（1）画直线AB；（2）画射线AC；（3）连接BC并延长BC到E，使得CE＝AB+BC；（4）在线段BD上取点P，使P A+PC的值最小．1．（2022秋•宝塔区期末）下列各图中，表示“线段CD”的是（）A．B．C．D．2．（2022秋•衡东县期末）平面上有不同的三个点，经过其中任意两点画直线，一共可以画（）A．1条B．2条C．3条D．1条或3条3．（2022秋•江汉区期末）下列说法正确的是（）A．延长线段AB和延长线段BA的含义相同B．射线AB和射线BA是同一条射线C．经过两点可以画一条直线，并且只能画一条直线D．延长直线AB4．（2022秋•下陆区校级期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（）①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上．A．①③B．②④C．①④D．②③5．（2022秋•安顺期末）平面上有三点A、B、C，如果AB＝10，AC＝7，BC＝3，那么（）A．点C在线段AB上B．点C在线段AB的延长线上C．点C在直线AB外D．点C可能在直线AB上，也可能在直线AB外6．（2022秋•山亭区期末）下列各图中，表示“射线CD”的是（）A．B．C．D．7．（2023•邯山区校级开学）下列各图中所给的线段、射线、直线能相交的是（）A．B．C．D．8．（2022秋•婺城区期末）杭衢高铁线上，要保证衢州、金华、义乌、诸暨、杭州每两个城市之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（）A．20种B．15种C．10种D．5种9．（2022秋•永年区期末）在开会前，工作人员进行会场布置，如图为工作人员在主席台上由两人拉着一条绳子，然后以“准绳”摆放整齐的茶杯，这样做的理由是（）A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线C．垂线段最短D．过一点可以作无数条直线10．（2023•凉州区校级开学）如图中一共有条射线，条线段．11．（2022秋•丰泽区校级期末）如图，经过刨平的木板上的A，B两个点，可以弹出一条笔直的墨线，能解释这一实际应用的数学知识是．12．（2022秋•阳谷县期末）如图有a条直线，b条射线，c条线段，则a+b﹣c ＝．13．（2022秋•连山区期末）如图，以图中A，B，C，D，E为端点的线段共有条．14．（2022秋•山亭区期末）如图，棋盘上有黑、白两色棋子若干，若直线l经过3枚颜色相同的棋子，则这样的直线共有条．15．（2022秋•济南期末）如图，平面上有A、B、C、D四个点，请根据下列语句作图．（1）画直线AC；（2）线段AD与线段BC相交于点O；（3）射线AB与射线CD相交于点P．。

图 4－2－25
解：为使 PA＋PC 最小，点 P 应在线段 AC 上；为使 PB＋PD 最小，点 P 应 在线段 BD 上．因此，当点 P 是 AC 与 BD 的交点时，PA＋PB＋PC＋PD 最小， 故水厂 P 应建在 AC 与 BD 的交点处．
【点悟】 若一点到已知两点的距离之和最小，则这一点一定在连接这两点 的线段上．
图 4－2－31 解：连接 AB 交 l 于点 C，则点 C 就是建发电厂的位置．理由是两点之间线段 最短．
仅做学习交流，谢谢！
语语文文：：初初一一新新生生使使用用的的是是教教育育部部编编写写的的教教材材，，也也称称““部部编编””教教材材。。““部部编编本本””是是指指由由教教育育部部直直接接组组织织编编写写的的教教材材。。““部部编编本本””除除了了语语文文，，还还有有德德育育和和历历史史。。现现有有的的语语文文教教材材，，小小学学有有1122种种版版本本，，初初中中有有88种种版版本本。。这这些些版版本本现现在在也也都都做做了了修修订订，，和和““部部编编本本””一一同同投投入入使使用用。。““部部编编本本””取取代代原原来来人人教教版版，，覆覆盖盖面面比比较较广广，，小小学学约约占占5500%%，，初初中中约约占占6600%%。。今今秋秋，，小小学学一一年年级级新新生生使使用用的的是是语语文文出出版版社社的的修修订订版版教教材材，，还还是是先先学学拼拼音音，，后后学学识识字字。。政政治治：：小小学学一一年年级级学学生生使使用用的的教教材材有有两两个个版版本本，，小小学学一一年年级级和和初初一一的的政政治治教教材材不不再再叫叫《《思思想想品品德德》》，，改改名名为为《《道道德德与与法法治治》》。。历历史史：：初初一一新新生生使使用用华华师师大大版版教教材材。。历历史史教教材材最最大大的的变变化化是是不不再再按按科科技技、、思思想想、、文文化化等等专专题题进进行行内内容容设设置置，，而而是是以以时时间间为为主主线线，，按按照照历历史史发发展展的的时时间间顺顺序序进进行行设设置置。。关关于于部部编编版版，，你你知知道道多多少少？？为为什什么么要要改改版版？？跟跟小小编编一一起起来来了了解解下下吧吧！！一一新新教教材材的的五五个个变变化化一一、、入入学学以以后后先先学学一一部部分分常常用用字字，，再再开开始始学学拼拼音音。。汉汉字字是是生生活活中中经经常常碰碰到到的的，，但但拼拼音音作作为为一一个个符符号号，，在在孩孩子子们们的的生生活活中中接接触触、、使使用用都都很很少少，，教教学学顺顺序序换换一一换换，，其其实实是是更更关关注注孩孩子子们们的的需需求求了了。。先先学学一一部部分分常常用用常常见见字字，，就就是是把把孩孩子子的的生生活活、、经经历历融融入入到到学学习习中中。。二二、、第第一一册册识识字字量量减减少少，，由由440000字字减减少少到到330000字字。。第第一一单单元元先先学学4400个个常常用用字字，，比比如如““地地””字字，，对对孩孩子子来来说说并并不不陌陌生生，，在在童童话话书书、、绘绘本本里里可可以以看看到到，，电电视视新新闻闻里里也也有有。。而而在在以以前前，，课课文文选选用用的的一一些些结结构构简简单单的的独独体体字字，，比比如如““叉叉””字字，，结结构构比比较较简简单单，，但但日日常常生生活活中中用用得得不不算算多多。。新新教教材材中中，，增增大大了了常常用用常常见见字字的的比比重重，，减减少少了了一一些些和和孩孩子子生生活活联联系系不不太太紧紧密密的的汉汉字字。。三三、、新新增增““快快乐乐阅阅读读吧吧””栏栏目目，，引引导导学学生生开开展展课课外外阅阅读读。。教教材材第第一一单单元元的的入入学学教教育育中中，，有有一一幅幅图图是是孩孩 子子们们一一起起讨讨论论《《西西游游记记》》等等故故事事，，看看得得出出来来，，语语文文学学习习越越来来越越重重视视孩孩子子的的阅阅读读表表达达，，通通过过读读故故事事、、演演故故事事、、看看故故事事等等，，提提升升阅阅读读能能力力。。入入学学教教育育中中第第一一次次提提出出阅阅读读教教育育，，把把阅阅读读习习惯惯提提升升到到和和识识字字、、写写字字同同等等重重要要的的地地位位。。四四、、新新增增““和和大大人人一一起起读读””栏栏目目，，激激发发学学生生的的阅阅读读兴兴趣趣，，拓拓展展课课外外阅阅读读。。有有家家长长担担心心会会不不会会增增加加家家长长负负担担，，其其实实这这个个““大大人人””包包含含很很多多意意思思，，可可以以是是老老师师、、爸爸妈妈、、爷爷爷爷、、奶奶奶奶、、外外公公、、外外婆婆等等，，也也可可以以是是邻邻居居家家的的小小姐姐姐姐等等。。每每个个人人讲讲述述一一个个故故事事，，表表达达是是不不一一样样的的，，有有人人比比较较精精炼炼，，有有人人比比较较口口语语化化，，儿儿童童听听到到的的故故事事不不同同，，就就会会形形成成不不同同的的语语文文素素养养。。五五、、语语文文园园地地里里，，新新增增一一个个““书书写写提提示示””的的栏栏目目。。写写字字是是有有规规律律的的，，一一部部分分字字有有自自己己的的写写法法，，笔笔顺顺都都有有自自己己的的规规则则，，新新教教材材要要求求写写字字的的时时候候，，就就要要了了解解一一些些字字的的写写法法。。现现在在信信息息技技术术发发展展很很快快，，孩孩子子并并不不是是只只会会打打字字就就可可以以，，写写字字也也不不能能弱弱化化。。二二为为什什么么要要先先识识字字后后学学拼拼音音？？一一位位语语文文教教研研员员说说，，孩孩子子学学语语文文是是母母语语教教育育，，他他们们在在生生活活中中已已经经认认了了很很多多字字了了，，一一年年级级的的识识字字课课可可以以和和他他们们之之前前的的生生活活有有机机结结合合起起来来。。原原先先先先拼拼音音后后识识字字，，很很多多孩孩子子觉觉得得枯枯燥燥，，学学的的时时候候感感受受不不到到拼拼音音的的用用处处。。如如果果先先接接触触汉汉字字，，小小朋朋友友在在学学拼拼音音的的过过程程中中会会觉觉得得拼拼音音是是有有用用的的，，学学好好拼拼音音是是为为了了认认识识更更多多的的汉汉字字。。还还有有一一位位小小学学语语文文老老师师说说：：““我我刚刚刚刚教教完完一一年年级级语语文文，，先先学学拼拼音音再再识识字字，，刚刚进进校校门门的的孩孩子子上上来来就就学学，，压压力力会会比比较较大大，，很很多多孩孩子子有有挫挫败败感感，，家家长长甚甚至至很很焦焦急急。。现现在在让让一一年年级级的的孩孩子子们们先先认认简简单单的的字字，，可可以以让让刚刚入入学学的的孩孩子子们们感感受受到到学学习习的的快快乐乐，，消消除除他他们们害害怕怕甚甚至至恐恐惧惧心心理理。。我我看看了了一一下下网网上上的的新新教教材材，，字字都都比比较较简简单单，，很很多多小小朋朋友友都都认认识识。。””

七年级数学上（XJ） 教学课件
第4章 图形的认识
4.2 线段、射线、直线
第2课时 线段的长短比较
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1. 会用尺规画一条线段等于已知线段，会比较两 条线段的长短. (重点)
2. 理解线段等分点的意义. 3. 能够运用线段的和、差、倍、分关系求线段的
长度. (重点、难点) 4. 体会文字语言、符号语言和图形语言的相互转化. 5. 了解两点间距离的意义，理解“两点之间，线段
AC＝AB－BC， 又因为 AB＝6，BC＝4，所以 AC＝6－4＝2， 因为 D 是 AC 的中点，所以 AD＝1；
(2) 当点 C 在线段 AB 的延长线上时，如图：
AC＝AB＋BC， 又因为AB＝6，BC＝4，所以 AC＝6＋4＝10， 因为 D 是 AC 的中点， 所以 AD＝5. 故选 D. 方法总结：解答本题关键是正确画图，本题渗透了分 类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类 似的问题时，要防止漏解.
a+b
a
b
A
a-b D b B
C
做一做
如图，点 B，C 在线段 AD 上则 AB + BC＝_A_C__； AD－CD＝_A_C_；BC＝_A_C_ －_A_B_＝ _B_D_ － _C_D_.
A
B
C
D
典例精析
这样仅用圆规和没有刻度的直 尺作图的方法叫尺规作图.
例2 如图，已知线段 a，借助圆规和直尺作一条线段使
(1) AC < AB (2) BC < AB
2. 如图，AB + BC ＞ AC，AC + BC ＞ AB，AB + AC ＞ BC (填“>”“<”或“=”). 其中蕴含的 数学道理是 两点之间，线段最短 .

直线、射线、线段、角、相交线、平行线1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补任意三个点不在一直线上的n 个点通过任意两点可以确定直线的条数：三角形15 定理 三角形两边的和大于第三边 16 推论 三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等22边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等26 斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角） 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35 推论1 三个角都相等的三角形是等边三角形36 推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理1 关于某条直线对称的两个图形是全等形43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44定理3 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上 45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称 46勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和、等于斜边c 的平方，即222a b c +=47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 有关系222a b c += ，那么这个三角形是直角三角形四边形48定理 四边形的内角和等于360° 49四边形的外角和等于360°50多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于（n-2）×180°51推论 任意多边的外角和等于360°任意n 边形对角线的条数：52平行四边形性质定理1 平行四边形的对角相等 53平行四边形性质定理2 平行四边形的对边相等 54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等55平行四边形性质定理3 平行四边形的对角线互相平分56平行四边形判定定理1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57平行四边形判定定理2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58平行四边形判定定理3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59平行四边形判定定理4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60矩形性质定理1 矩形的四个角都是直角 61矩形性质定理2 矩形的对角线相等62矩形判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形 63矩形判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形 64菱形性质定理1 菱形的四条边都相等65菱形性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b ）÷2 67菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形68菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形69正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等70正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角 71定理1 关于中心对称的两个图形是全等的72定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一 点平分，那么这两个图形关于这一点对称 74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 75等腰梯形的两条对角线相等76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 77对角线相等的梯形是等腰梯形78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79 推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80 推论2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第 三边 81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于它 的一半82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的 一半 L=2a b+；梯形面积 S=L×h三角形与四边形的面积：以a 为底，h 为悬高12S ah= 比例与相似83 (1)比例的基本性质 如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d84 (2)合比性质如果a cb d=,那么a b c db d±±=;a b c da b c d--=++;a b c da b c d++=--85 (3)等比性质如果a c e mb d f n===⋅⋅⋅=(b+d+…+n≠0),那么a c e m ab d f n b+++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+86 平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87 推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88 定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90 定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91 相似三角形判定定理1 两角对应相等，两三角形相似（ASA）92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93 判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94 判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）95 定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96 性质定理1 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97 性质定理2 相似三角形周长的比等于相似比98 性质定理3 相似三角形面积的比等于相似比的平方99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值圆101圆是到定点的距离等于定长的点的集合102圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合103圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合104同圆或等圆的半径相等105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

七年级几何第一讲：直线、射线、线段一、直线、射线、线段的基本概念及性质1、直线(1) 思考：经过一点可以得到几条直线？经过两点可以得到几条直线？直线公理：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，简述为：两点确定一条直线(2) 直线的表示方法：①l；②AB(3) 点和直线的位置关系：点在直线上；点在直线外2、射线(1) 射线的概念：直线上的一点和它一旁的部分叫做射线，这个点叫做射线的端点(2) 射线的表示方法3、线段(1) 线段的概念：直线上的两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点(2) 线段公理：所有连接两点的线中，线段最短，即两点之间线段最短(3) 线段的表示方法：如图1，用两个大写字母表示，记作线段AB或线段BA；或用一个小写字母表示，记作线段a注：①线段AB和线段BA是同一条线段；②连接AB就是画以A、B为端点的线段；③延长线段AB是指按从A到B的方向延长(4) 线段的中点及等分点的概念：例1．如果线段AB＝10cm，MA＋MB＝14cm，那么下列说法中正确的是（）A．M点在线段AB上B．M点在直线AB上C．M点在直线AB外D．M点可能在直线AB上，也可能在直线AB外例2．下列四个图中的线段（或直线、射线）能相交的是（）A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）例3．观察图形，下列说法正确的个数是（）(1) 直线BA和直线AB是同一条直线(2) 射线AC和射线AD是同一条射线(3)AB＋BD＞AD(4) 三条直线两两相交时，一定有三个交点A．1个B．2个C．3个D．4个二、几何计数问题例4．如图，点A、B、C、D是直线L上的四点．已知点E是直线L外的一点．则图中的线段有_________条，三角形有_________个例5．观察图①，由点A和点B可确定_________条直线观察图②，由不在同一直线上的三点A、B和C最多能确定_________条直线(1) 动手画一画图③中经过A、B、C、D四点的所有直线，最多共可作_________条直线(2) 在同一平面内任三点不在同一直线的五个点最多能确定_________条直线、n 个点（n ≥2）最多能确定_________条直线例6．观察下列图形，并阅读下面相关文字：则n 条直线最多有___________个交点例7．① 如图1直线l 上有2个点，则图中有2条可用图中字母表示的射线，有1条线段② 如图2直线l 上有3个点，则图中有________条可用图中字母表示的射线，有_______条线段 ③ 如图3直线上有n 个点，则图中有________条可用图中字母表示的射线，有________条线段 ④ 应用③中发现的规律解决问题：某校七年级共有6个班进行足球比赛，准备进行循环赛（即每两队之间赛一场），预计全部赛完共需________场比赛有关线段的计算专题一：直接求线段长度 例1.(2013·江岸)如图，已知AD ＝21DB ，E 是BC 的中点，BE ＝51AC ＝2cm ，求线段AB 和DE 的长练1.(2013·硚口)如图，线段AD 上有两个点C 、B ，AB ＝3CB ，M 、N 分别是线段AB 和线段CD 的中点，若AB ＝12cm ，MN ＝10cm ，则线段AD 的长为（ ） A ．20 cmB ．21 cmC ．22 cmD ．24 cm练2.(2014·武汉三初12月月考)已知：如图，点C 为线段AB 的中点，点E 为线段AB 上的点，点D 为线段AE 的中点，若线段AB ＝15，CE ＝4.5，求线段DE练3.(2014·江岸期末)已知线段AB ＝6cm ，延长AB 至点C ，使BC =AB ，反向延长线段AB 至D ，使AD ＝21AB (1) 按题意画出图形，并求出CD 的长(2) 若M 、N 分别是AD 、BC 的中点，求MN 的长练4.(2013·洪山)已知线段AB 的长度是a cm ，线段BC 的长度比线段AB 的长度的2倍多5 cm ，线段AD 的长度比线段BC 长度2倍少5 cm (1) 求线段CD 的长度（用含a 的代数式表示） (2) 当a ＝15时，求线段CD 的长练5.(2014·东湖开发区)如图(1)，长方形纸片ABCD ，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，连接EF ，将∠BEF 对折，点B 落在直线EF 上的点B ′处，得折痕EM ；将AEF 对折，点A 落在直线EF 上的A ′处，得折痕EN(1) 若A ′F ∶FB ′∶B ′E ＝2∶3∶1且FB ′＝6，求线段EB 的长度 (2) 如图(2)，若F 为边DC 的一点，BE ＝83AB ，长方形ABCD 的面积为48，求三角形FEB 的面积专题二：作图并求线段长度例2.(2013·洪山)已知线段AB ＝3cm ，反向延长线段AB 到C ，使BC ＝53AB ，D 是BC 的中点，则线段AD 的长为（ ）cm A ．12B ．1C ．52D ．4练1.(2014·硚口期末)根据条件画出图形，并解答问题：(1) 已知三条直线a 、b 、c ，且直线a 、c 相交于点B ，直线b 、c 相交于点A ，直线a 、b 相交于点C ，点D 在线段AC 上，点E 在线段DC 上，请你按已知画出图形 (2) 在(1)的基础上，若AD 的2倍比AE 少4，且AE ＝16，试求DE 的长练2.(2014·东湖开发区)如图，说明题．如图，已知四个点A 、B 、C 、D(1) 画射线AD ；(2) 画线段BC ；(3) 画∠ACD ；(4) 画出一点P ，使P 到点A 、B 、C 、D 的距离之和最小，并说明理由练3.(2013·硚口)如图，同一平面内有五个点A 、B 、C 、D 、E ，位置如图所示，按下列要求解答：(1) 画直线AB(2) 连接DA 并延长DA 至点M ，使AM ＝2DA(3) 在平面内是否存在一点P ，使P A ＋PE ＋PC ＋PD 最小？若存在，在图中画出点P ，并简要说明理由；若不存在，直接回答不存在专题三、线段条数问题例3.(2014·江汉期末)将线段AB 延长至C ，再将线段AB 反向延长至D ，则图中线段一共有（ ） A ．8条B ．7条C ．6条D ．5条练1.(2014·武昌期末)如图，C 为线段AB 延长线上一点，D 为线段BC 上一点，CD ＝2BD ，E 为线段AC 上一点，CE ＝2AE (1) 若AB ＝18，BC ＝21，求DE 的长(2) 若AB ＝a ，求DE 的长（用含a 的代数式表示） (3) 若图中所有线段的长度之和是线段AD 长度的7倍，则ACAD的值为专题四、多选项问题1.(2013·江岸)已知点A 、B 、C 是同一条直线上的三个不同点，下列论断：① 若点C 为线段AB 的中点，则AC ＝BC ；② 若AC ＝BC ，则点C 为线段AB 的中点；③ 若点C 为线段AB 的中点，则AB ＝2BC ；④ 若AB ＝2BC ，则点C 为线段AB 的中点，其中正确的有（ ） A ．①②③B ．①②③④C ．②③④D ．①③④2.(2014·东湖开发区)如图所示，B 在线段AC 上，且BC ＝3AB ，D 是线段AB 的中点，E 是BC 的三等分点，则下列结论：① EC ＝31AE ；② DE ＝5BD ；③ BE ＝21(AE ＋BC )；④ AE ＝56(BC－AD )，其中正确结论的有（ ） A ．①②B ．①②④C ．②③④D ．①②③④3.(2014·武汉三初12月月考)如图，C 为射线AB 上一点，AB ＝30，AC 比BC 的41多5，P 、Q 两点分别从A 、B 两点同时出发，分别以2单位/秒和1单位/秒的速度在射线AB 上沿AB 方向运动，运动时间为t 秒，M 为BP 的中点，N 为QM 的中点，以下结论：① BC ＝2AC ；② AB ＝4NQ ；③ 当PB ＝21BQ 时，t ＝12，其中正确结论的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4针对练习1.(2012·武昌期末)四位同学做“读语句画图”练习．甲同学读语句“直线经过A ，B ，C 三点，且点C 在点A 与点B 之间”，画出图形（1）；乙同学读语句“两条线段AB ，CD 相交于点P ”画出图形（2）；丙同学读语句“点P 在直线l 上，点Q 在直线l 外”画出图形（3）；丁同学读语句“点M 在线段AB 的延长线上，点N 在线段AB 的反向延长线上”画出图形（4）．其中画的不正确的是（ ）A ．甲同学B ．乙同学C ．丙同学D ．丁同学2.(2012·武昌期末)如图，点C ，D 在线段AB 上，AC ＝31AB ，CD ＝21CB ，若AB ＝3，则图中所有线段长的和是（ ） A ．6B ．8C ．10D ．123.(2012·青山期末)如图，线段AB ＝9cm ，C 、D 、E 分别为线段AB （端点A ，B 除外）上顺次的三个不同的动点，图中所有线段的和等于40cm ，则下列结论一定成立的是（ ） A ．CD ＝1cm B ．CE ＝2cm C ．CE ＝3cm D ．DE ＝2cm4.(2012·江岸区)已知：如图，点C 为线段AB 的中点，点E 为线段AB 上的点，点D 为线段AE 的中点(1) 若线段AB ＝a ，CE ＝b ，|a －15|＋(b －4.5)2＝0，求a 、b (2) 如图1，在(1)的条件下，求线段DE (3) 如图2，若AB ＝15，AD ＝2BE ，求线段CE5.(2011·江岸区)如图，已知线段AB ，点C 在AB 的延长线上，AC ＝35BC ，D 在AB 的反向延长线上，BD ＝53DC (1) 在图上画出点C 和点D 的位置(2) 设线段AB 长为x ，则BC ＝________，AD ＝________（用含x 的代数式表示） (3) 若AB ＝12 cm ，求线段CD 的长6.(2012·青山期末)已知m 、n 满足|m －12|＋(n －m ＋10)2＝0 (1) 求m 、n 的值(2) 已知线段AB ＝m ，在直线AB 上取一点P ，恰好是AP ＝nPB ，点Q 为BP 的中点，求线段AQ 的长7．已知方程5m －6＝4m 的解也是关于x 的方程2(x －3)－n ＝4的解 (1) 求m 、n 的值(2) 已知线段AB ＝m ，在直线AB 上取一点P ，恰好使PBAP＝n ，点Q 为PB 的中点，求线段AQ 的长。

BAaMOBA 直线 、线段、射线讲义 知识点1、线段、直线、射线的概念线段：一段拉直的棉线可近似地看作线段，线段有两个端点。

射线：将线段向一个方向无限延长，就形成了射线，射线有一个端点。

如手电筒、探照灯射出的光线等。

直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线，直线没有端点。

如笔直的铁轨等。

知识点2、线段、射线、直线的区别与联系 名称图形表示方法延伸性 端点 长度线段1、线段AB （或线段BA ）（字母无序）2、线段a不能延伸 两个 有射线1、射线OM(字母有序)2、射线l向一方无线延伸一个 无直线1、直线AB （或直线BA ）（字母无序）2、直线l两方 无限延伸无无联系：三者都是直的，线段向一个方向延长可得到射线，线段向两个方向延长可得到直线，故射线、线段都是直线的一部分，线段是射线的一部分。

【典型例题】【例1】如图，下列几何语句不正确的是（ ） A 、直线AB 与直线BA 是同一条直线 B 、射线OA 与射线OB 是同一条射线C 、射线OA 与射线AB 是同一条射线D 、线段AB 与线段BA 是同一条线段【例2】指出右图中的射线（以O 为端点）和线段。

【例3】下列说法错误的是( )A 、线段AB 与线段BA 是同一条线段 B 、射线AB 与射线BA 是同一条射线C 、直线AB 与直线BA 是同一条直线D 、线段AB 在直线BA 上lBA O CBAO【例4】下列说法正确的是（ ）A 、直线虽然没有端点，但长度可以度量B 、射线只有一个端点，但长度是可以确定的C 、线段虽然有两个端点，但长度却可以变化的D 、只有线段的长度是可以确定的，直线、射线的长度不可以度量 【例5】读出下列语句，并画出图形。

（1）直线AB 经过点M ． （2）点A 在直线l 外． （3）经过M 点的三条直线． （4）直线AB 与CD 相交于点O ．（5）直线l 经过A 、B 、C 三点，点C 在点A 与点B 之间． 【例6】读句画图（在右图中画） （1） 连结BC 、AD （2） 画射线AD（3） 画直线AB 、CD 相交于E（4） 延长线段BC ，反向延长线段DA 相交与F （5） 连结AC 、BD 相交于O 知识点4、直线类型一、点和直线的位置关系：点在直线上或点在直线外。

第10讲直线、射线、线段考点·方法·破译1．会正确地画出和表示直线、射线、线段；会用中点解题．2．应用“两点之间，线段最短”解决实际问题，会求两点之间的距离．经典·考题·赏析【例1】指出图中的直线、射线和线段．【解法指导】本题紧扣直线、射线、线段的概念及性质，注意它们的表示方法的不同，找直线、射线时，注意直线两端可以无限延伸，而射线只有一端可以无限延长，线段是无法延长的，只有当两条射线的端点和方向相同时，两条射线才表示同一条射线，在同一直线上，不同两点间的部分表示不同的线段．解：直线有一条是直线AD，射线有六条，分别是射线BA、BD、CA、BE、CD、EF．线段有三条，分别是线段BC、BE、CE．【变式题组】01．（兰州）下列语句表述正确的是（）A．延长射线OC B．射线BA与射线AB是同一条射线C．作直线AB＝BC D．已知线段AB，作线段CD＝AB 02．（南京）如图，可以用字母表示出来的不同射线有（）ABCA．4条B．6条C．5条D．1条03．（秦皇岛）如图，直线l、线段a及射线DA，能相交的图形是（）①②③④⑤⑥lDAA DllA．①③④B．①④⑥C．①④⑤D．②③⑥【例2】（云南）在同一平面内不在同一直线上的3个点，过任意2个点作一条直线，则可作直线的条数为________．【解法指导】因为3点不共线，任意两点都可能确定一条直线，从政个点中任选出两个点，共有3种情况，所以共可作直线的条数为3条．【变式题组】 01．（丹东）根据语句“点M 在直线a 外，过M 有一直线b 交直线a 于点N ，直线b 上另一点Q 位于M 、N 之间”画图，正确的是（ ）baaa02．（北京）根据下列语句画出图形⑴直线AB 经过点C ；⑵经过点M 、N 的射线NM ； ⑶经过点O 的两条直线m 、n ；⑷经过三点E 、F 、G 中的每两点画直线． 03．（温州）如图A 、B 、C 表示3个村庄，它们被三条河隔开，现在打算在每两个村庄之间都修一条笔直公路，则一共需架多少座桥？请你在图上用字母标明桥的位置．【例3】已知：线段AB ＝10cm ，M 为AB 的中点，在AB 所在直线上有一点P ，N 为AP 的中点，若MN ＝1.5cm ，求AP 的长．【解法指导】题中已说明P 在AB 所在直线上，即说明P 点可能在线段AB 上，也可能在AB 的延长线上（不可能在BA 的延长线上），故应分类讨论．解：⑴如图①，当点P 在线段AB 上时，点N 在点M 的左侧，则AP ＝2AN ＝2（AM －MN ）＝2（12AB －MN ）＝2×（5－1.5）＝7（cm ）；①P A⑵当点P 在线段AB 的延长线上时，N 点在M 点的右侧如图②，则AP ＝2AN ＝2（AM ＋MN ）＝2（12AB ＋MN ）＝2×（5＋1.5）＝13（cm ）；②A N M所以AP 的长为7cm 或13cm 【变式题组】 01．（昆明）已知A 、B 、C 为直线l 上的三点，线段AB ＝9cm ，BC ＝1cm ，那么A 、C 两点间的距离是（ ） A ．8cm B ．9cm C ．10cm D ．8cm 或10cm 02．（十堰）如图C 、D 是线段AB 上两点，若CB ＝4cm ，DB ＝7cm ，且D 是AC 的中点，则AC 的长等于（ ）A ．3cmB ．6cmC ．11cmD ．14cm 03．（青海）已知线段AB ，C 是AB 的中点，D 是BC 的中点，下面等式不正确的是（ ）A ．CD ＝AB －BDB ．CD ＝AD －BCC ．CD ＝12AB －BDD ．CD ＝13AB【例4】往返于甲、乙两地的客车，中途停靠三个站，问： ⑴要有多少种不同的票价？ ⑵要准备多少种车票？【解法指导】首先要能把这个实际问题抽象成一个数学问题，把车站和三个停方点当作一条直线上的五个点，票价视路程的长短而变化，实际上就是要找出图中有多少条不同的线段．因为不同的线段就是不同的票价，故求有多少种票价即求有多少条线段，而要求有多少种车票即是求有多少条射线．BA解：因为图中有10 条不同的线段，故票价有10种；有20条不同的射线，故应准备20种车票．【变式题组】 01．（河南）如图从A 到C 地，可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中、从A 到B 有2条水路、2条陆路；从B 地到C 地有3条陆路可供选择；走空中从A 不经B 地直接到达C 地，则从A 地到C 地可供选择的方案有（ ）A ．20种B ．8种C ．5种D ．13种02．（海南）如图，在菱形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是菱形四边的中点，连接EG 与FH 交于点O ，则图中的菱形共有（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个 3．（佛山实验区）A 车站到B 车站之间还有3个车站，那么从A 车站到B 车站方向发出的车辆，一共有多少种不同的车票（ ） A ．8 B ．9C ．10D ．11【例5】如图，B 、C 两点把线段AD 分成2∶3∶4的三部分，M 是AD 的中点，CD ＝8，求MC 的长．DBA【解法指导】由AB ∶BC ∶CD ＝2∶3∶4，可设AB ＝2x ，CD ＝3x ，CD ＝4x ，由CD ＝4x ＝8，而求得x 的值，进而求出MC 的长．解：设AB ＝2x ，由AB ∶BC ∶CD ＝2∶3∶4，得CD ＝4x ，CD ＝3x ，AD ＝（2＋3＋4）x ＝9x ，∵CD ＝8，∴x ＝2，∴AD ＝9x ＝18，∵M 是AD 的中点，∴MC ＝MD －CD ＝12AD －B DCD ＝12×18－8＝1【变式题组】 01．（河北）如图，长度为12cm 的线段AB 的中点为M ，C 点将线段MB 分MC ∶CB ＝1∶2，则线段AC 的长度为（ ）A ．2cmB ．8cmC ．6cmD ．4cm02．（随州）已知线段AB ＝16cm ，点C 在线段AB 上，且BC ＝13AC ，M 为BC 的中点，则AM 的长为________. 03．（黄冈）已知线段AB ＝12cm ，直线AB 上有一点C ，且BC ＝6cm ，M 是线段AC 的中点，求线段AM 的长．【例6】如图⑴，一只昆虫要从正方体的一个顶点A 爬行相距它最远的另一个顶点B ，哪条路径最短？说明理由．图（2）图（1）【解法指导】解答此类题的方法是将立方体展开，再根据两点之间，线段量短． 解：将立方体展开成如图⑵，由两点之间线段最短知线段AB 即为最短路线． 【变式题组】 01．（天津）下列直线的说法错误的是（ ）A ．经过一点可以画无数条直线B ．经过两点可以画一条直线C ．一条直线上只有两个点D ．两条直线至多只有一个公共点 02．（湘潭）如图所示，从A 地到B 地有多条道路，一般地，人们会走中间的直路，而不会走其他的曲折的路线，这是因为（ ） A ．两点之间线段最短 B ．两直线相交只有一个交点 C ．两点确定一条直线 D ．垂线段最短【例7】（第五局“华罗庚金杯”赛试题）摄制组从A 市到B 市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C 市吃饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息，司机说，再走从C 市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问A 、B 两市相距多少千米？【解法指导】条件中只有路程，而没有给出时间与速度，所以可以画出线段表示各段路程，借助图形思考它们之间的关系．解：设小镇为D ，傍晚汽车在E 休息，则AD ＝12DC ，EB ＝12CE ，AD ＋EB ＝12DE ＝200，∴AB ＝AD ＋EB ＋DE ＝200＋400＝600．答：A 、B 两市相距600千米． 【变式题组】 01．（哈尔滨）已知点O 在直线AB 上，且线段OA 的长度为4cm ，线段OB 的长度为6cm ，E 、F 分别为线段OA 、OB 的中点，则线段EF 的长度为____cm ． 02．（银川）AB 、AC 是同一条直线上的两条线段，M 是线段AB 的中点，N 是线段AC 的中点，线段BC 与MN 的大小有什么关系？请说明理由． 03．（河南）如图，线段AB ＝4，点O 是线段AB 上一点，C 、D 分别是线段OA 、OB 的中点，小明据此很轻松地求得CD ＝2，但他在反思的过程突发奇想：若点O 运动到AB 的延长线上，原有的结论“CD ＝2”是否仍成立？请帮小明画出图形并说明理由．演练巩固 反馈提高01．当AB ＝5cm ，BC ＝3cm 时，A 、C 两点间的距离是（ ）A ．无法确定B ．2cmC ．8cmD ．7cm 02．下列说法正确的是（ ）A ．延长直线AB B ．延长线段ABC ． 延长射线ABD ．延长线段AB 03．若P A ＋PB ＝AB ，则（ ）A ．P 点一定在线段AB 上 B ．P 点一定在线段AB 外C ．P 点一定在AB 的延长线上D ．P 点一定在线段BA 的延长线上 04．（内江）已知点C 是线段AB 上的一点，下列说法中不能说明点C 是线段AB 的中点是（ ）A ．AC ＝BCB ．AC ＝12ABC ．AC ＋BC ＝ABD ．2AC ＝AB05．如图，已知线段AD ＞BC ，则线段AC 与BD 的关系是（ ）A ．AC ＞BDB ．AC ＝BD C ．AC ＜BD D ．不能确定 06．（黄冈）某公司员工分别在A 、B 、C 三个住宅区，A 区有30人，B 区有15人，C 区有10人，三个区在一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，那么它有位置应在（ ）A ．A 区B ．B 区C ．C 区D ．A 、B 两区之间 07．（广州）线段AB ＝4cm ，在直线AB 上截取BC ＝1cm ，则AC ＝________.08．（云南）延长线段AB 到点C ，使BC ＝13AB ，D 为AC 的中点，且DC ＝6cm ，则AB 的长是________cm ．09．在直线l 上任取一点A ，截取AB ＝16cm ，再截取AC ＝40cm ，求AB 的中点D 与AC 的中点E 的距离．10．线段AB 上有两点M 、N ，点M 将AB 分成2∶3两部分，点N 将AB 分成4∶1两部分，且MN ＝3cm ，求AM 、NB 的长．11．如图，C 是线段AB 上一点，D 是线段BC 的中点，已知图中所有线段长度之和为23，线段AC 与线段CB 的长度都是正整数，则线段AC 的长度是多少？12．如图B 、C 两点把线段AD 分成2∶3∶4的三部分，M 是AD 的中点，CD ＝8，求MC的长．13．指出图中的射线（以O 为端点）和线段．ABO14．判断下列语句是否正确：⑴直线l 有两个端点A 、B ； ⑵延长射线OA 到C ；⑶已知A 、B 两点，经过A 、B 两点只有一条线段．15．已知A 、B 、C 三点：⑴AB ＝10cm ，AC ＝15cm ，BC ＝5cm ；⑵AB ＝5.2cm ，AC ＝9cm ，BC ＝3.8cm ；⑴AB ＝3.2cm ，AC ＝1.5cm ，BC ＝4.5cm ．A 、B 、C 三点是否在一条直线上？培优升级奥赛检测01．（全国初中数学联赛试题）在一条直线上已知四个不同的点依次是A、B、C、D的距离之和最小小的点（）A．可以是直线AD外的某一点B．只有点B或点CC．只是线段AD的中点D．有无穷多个02．（“五羊杯”邀请赛）如图，已知B是线段AC上一点，M是线段AB的中点，N是线段AC的中点，P为NA的中点，Q为MA的中点，则MN∶PQ等于（）A．1 B．2 C．3 D．403．（海南省竞赛题）如图，点A、B、C顺次在直线l上，M是线段AC的中点，N是线段BC的中点，若想求出MN的长度，则只需条件（）lA．AB＝12 B．BC＝4 C．AM＝5 D．CN＝2 04．（第18届江苏省竞赛题）已知数轴上的三点A、B、C所对应的数a、b、c满足a＜b＜c，abc＜0和a＋b＋c＝0，那么线段AB与BC的大小关系是（）05．（江苏省竞赛题）如图，C是线段AB上的一点，D是线段CB的中点，已知AC＝p，且p、q、r为质数，p＜q，p＋q＝r，又知图中所有线段长度之和为27，则线段AB的长是（）A．8 B．7 C．6 D．非上述答案06．（襄樊）下列四个生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中可用公理“两点之间，线段最短”来解释的现象有（）A．①②B．①③C．②④D．③④07．平面上有四个点，经过其中每两点画一条直线，那么一共可以画直线（）A．6条B．1条或3条或6条C．1条或4条D．1条或4条或6条08．（第十六届江苏省竞赛题）如图，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A、B、C、D、E、F离城市的距离分别为4，10，15，17，19，20公里，而村庄G正好是AF的中点，现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在（）A．A处B．C处C．G处D．E处09．如图，A、B、C、D四点在同一直线上，M是AB的中点，N是线段DC的中点，MN ＝a，BC＝b，则AD＝（）N M DA B C A ．a ＋b B ．a ＋2b C ．2b －aD ．2a －b10．如图AC ＝13AB ，BD ＝14AB ，且AE ＝CD ，则CE 为AB 长的（ ）A ．16B ．18C ．112D ．11611．（“希望杯”邀请赛试题）平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为_____个，最多为______个． 12．把线段AB 延长到D 使BD ＝32AB ，再延长BA 到C ，使CA ＝AB ，则BC 是CD 的___倍.13．已知A 、B 、C 三点在一条直线上，若线段AB ＝60，其中点为M ，线段BC ＝20，其中点为N ，求MN 的长．。

比较线段的长短
点滴记忆：
线段公理：
两点之间的所有连线中，线段最短。 即两点之间,线段最短
两点的距离
连接两点间的线段的长度,叫做这两点 的距离
1、作射线（直尺） 2、量线段（圆规） 3、画弧取线段（圆规）
4、∴线段即为所求.
见词想性：
中点的概念：
• 如图，点M把线段AB分成相等的
两条线段AM和BM,点M叫做线段
3.已知线段AB=2㎝,延长AB到C,使 BC=2AB,若D为AB的中点,E为AC的中点, 求线段CE的长.
本节课的主要内容：
• 1、线段的性质：两点之间的所有连线中，线 段最短。
• 2、连接两点之间线段的长度叫做这两点之间 的距离。
• 3、线段中点的定义和运用。 • 4、比较线段大小的方法：叠合法和度量法。
AB的A 中点。 M
B
AM = BM = －21 AB AB=2AM AB=2BM
判断：
• 若AM=BM，则M为线段AB的中点。
M
A
B
线段中点的条件：
1、在已知线段上。
2、把已知线段分成两条相等线段的点
用尺子度量 通过折绳找到中点。
自己画一条线段CD，想一想，你 用什！
例1. 在直线a上顺次截取A,B,C三点， 使得 AB=4cm,BC=3cm.如果o是 线段AC的中点,求线段OB的长。
递进式
在直线a上截取A,B,C三点，使得 AB=4cm,BC=3cm.如果o是线段AC 的中点,求线段OB的长。
回归训练
• 已知直线L上顺次三个点A、B、C，已知 AB=10cm,BC=4cm。
（1）如果D是AC的中点，那么AD= 7 cm. （2）如果M是AB的中点，那么MD= 5 cm.

第8讲垂线与平行线1.线段、射线、直线的相同点和不同点：2.两点之间线段最短。

3.连接两点的线段的长度叫作这两点间的距离。

【例1】（2022秋•沁县期中）仔细观察量角器上的刻度，把对应角的度数填在相应的括号里。

【分析】用量角器度量角的方法是：把量角器的中心与角的顶点重合，0度刻度线与角的一边重合，角的另一边所经过的量角器上（与0度刻度线同一圈）所显示的刻度就是被量角的度数。

【解答】解：【点评】用量角器量角要做“两重合”，“一看准”。

“两重合”是先把量角器的中心与角的顶点重合；把量角器的零度刻度线与角的一边重合；“一看准”是指最后看角的另一边所对的量角器上的刻度，就是所量的角的度数。

【例2】（2022秋•顺德区期中）如图中的两条直线互相平行。

（1）请分别过点A、B、C画出这两条平行线之间的垂线段。

（2）量一量图中所画的垂线段的长度，并观察它们的位置关系。

你发现了什么？答：我发现了。

【分析】根据平行线和垂线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线相交成90度时，这两条直线就互相垂直，它们的交点叫做垂足；然后根据平行线之间的距离相等解答即可。

【解答】解：（1）作图如下：（2）量一量图中所画的垂线段的长度都是1厘米，并观察它们的位置关系，发现了平行线之间的垂线相互平行，并且平行线之间的距离相等。

故答案为：平行线之间的垂线相互平行，并且平行线之间的距离相等。

【点评】明确平行和垂直的性质，是解答此题的关键。

4.从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。

角是由一个顶点和两条边组成的。

角的大小和角的两边张开的大小有关。

5.直角=90度，平角=180度，周角=360度；1平角 =2直角，1周角=2平角 =4直角；锐角小于90度，钝角大于90度且小于180度。

6.两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条线的垂线，这两条直线的交点叫作垂足。

【例3】（2022•蓬莱市）如图，平面内有彼此距离相等的三个点A，B，C，请按要求完成下列问题：（1）利用直尺和圆规，在线段BC的延长线上作线段CD，使CD＝AB，并连接线段AD （保留画图痕迹）；（2）用量角器度量∠BAD的度数是96°（精确到1°）。

9.2 直线、射线、线段第三课时 ---线段的性质一、教学目标（一）学习目标1.掌握“两点之间，线段最短”的性质，并能熟练应用.2.理解两点的距离，并能计算线段中两点的距离.（二）学习重点掌握“两点之间，线段最短”的性质及应用.（三）学习难点两点的距离定义及计算二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（1）两点的所有连线中，线段最短.简单说成：两点之间，线段最短. （2）连接两点间的线段的长度,叫做这两点的距离. 2.预习自测（1）如图所示，在我国“西气东输”的过程中，从A 城市到B 城市架设管道，有四条路可供选择，在不考虑其他因素的情况下，架设管道的最短路线是 ，你能说明为什么吗？【知识点】线段性质.【解题过程】解：根据“两点之间，线段最短”，选择②. 【思路点拨】根据线段性质直接判断. 【答案】②.（2）下列说法中正确的个数是 ()①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫做两点的距离；③两点之间，线段最短．A.O个B．1个 C.2个 D.3个【知识点】线段性质.【解题过程】解：①③正确；连接两点的线段的长度叫做两点的距离，故②错误.【思路点拨】分清直线性质、线段性质、两点的距离,注意文字表述要准确.【答案】C.（3）下列生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程，其中能用“两点之间，线段最短”来解释的现象有( )A.①②B.①③C.②④D.③④【知识点】线段性质.【解题过程】解：①③属直线性质的应用；②④属线段性质的应用，故选C.【思路点拨】区分直线性质、线段性质.【答案】C.（4）如图，M是线段AB的中点，点C在线段AB上，且AC=4cm，N是AC的中点，MN=3cm，则A、B两点的距离是cm．【知识点】线段性质.【解题过程】解：如图，∵M是线段AB的中点，N是AC的中点，∴AB=2AM，12AN AC=，而AC=4cm，∴AN=2，∴AM=AN+NM=2+3=5cm，∴AB=2×5cm=10cm．故答案为10．【思路点拨】根据线段中点的定义得到AB=2AM，12AN AC==2，则AM=AN+NM=2+3=5，所以AB=2×5cm=10cm．【答案】10.（二）课堂设计1.知识回顾（1）线段的中点及表示（2）线段的和差计算2.问题探究探究一探究线段性质★●活动①学生自主学习92、93页.师问：从A地到B地有如图所示的三条路线：路线①：半圆的长；路线②：折线AC+CB的长；路线③: 线段AB的长.你认为哪条路线最短？学生举手抢答.师问:请用度量或计算的方法，验证你的结论是否正确？学生活动：学生思考，小组讨论，如何比较三条路线的长度，教师点拨.总结：路线①>路线②>路线③，由此得出下列结论：在A、B两点的所有连线中，线段AB 最短. 释义：“所有连线”包括：直线、射线、线段、折线、曲线等，在这些连线中，线段最短.【设计意图】通过学生动手实践，由具体数据直观判断，探究得出线段性质“两点之间，线段最短”，对性质理解更深刻.探究二线段性质的实际应用★●活动①师问：你能列举“两点之间，线段最短”在生活中的例子吗？学生举手抢答.总结：梳理学生所举实例，正面实例：如修高速路时，隧道将路变直；铺水管时，走最短的路线等.负面实例：横穿公路，公园踩踏草坪等，此时对学生渗透德育教育.【设计意图】通过列举实例，学生体会线段性质的应用在我们生活中处处存在，我们在不知不觉中运用这条性质.●活动②学生活动：完成教材94页第8题.师问：对于线段性质“两点之间，线段最短”，在现实生活中，是否都是以设计最短距离为好？（引发学生深层思考）学生举手抢答.总结：通过做第8题后得到启发：在现实生活中，对于线段性质的使用，不都是以设计最短距离为好，如直的河道改弯曲，可以减缓洪水压力，可以灌溉更多土地；风景区湖中修“九曲桥”，可以在桥上增加游客人数及游客停留时间等.【设计意图】通过做第8题后得到启发：在现实生活中，对于线段性质的使用，不都是以设计最短距离为好，要视情况灵活运用线段性质.●活动③探究两点的距离★▲师问：什么叫做两点的距离？定义中的关键词是什么？学生举手抢答.总结：连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离.师问：下列说法正确吗？为什么？（1）连接两点的线段叫两点的距离；（2）画出A、B两点的距离学生举手抢答：（1）错；（2）错.总结：“线段的长度是距离”，距离是一个非负数，距离可度量，不能说画出来.【设计意图】通过解答上述问题，在教师对定义强调后，让学生全面理解两点的距离的概念,突出对关键词的理解.探究三运用知识解决问题★▲●活动①例1.如图所示，设A、B、C、D为4个村庄，现在需要在四个村庄中间建一个自来水中心，请你确定一个点，使这4个村庄的居民到该中心的距离之和最小．【知识点】线段性质.【数学思想】【解题过程】解：如图，连AC、BD交于O点，此时距离之和=AC+BD为最小.【思路点拨】根据两点之间，线段最短，连AC、BD交于O点，此时距离之和最小.【答案】如图，点O为所求.练习：如图所示，A、B是两个村庄，若要在河边l上修建一个水泵站往两村输水，问水泵站应修在河边的什么位置，才能使铺设的管道最短，并说明理由．【知识点】线段性质.【数学思想】【解题过程】解：如图所示，根据两点之间，线段最短，连接AB，交l于O点，则O点为水泵站位置.【思路点拨】根据两点之间，线段最短，连接AB，交l于O点，则O点为水泵站位置. 【答案】如图，O点为水泵站位置.【设计意图】考查线段性质在实际生活中的应用，通过分析作图，进一步体会用线段性质的原理.●活动2例2.已知线段AB =10cm，点C在直线AB上，试探讨下列问题：(1)是否存在一点C，使它到A、B两点的距离之和等于8 cm?并说明理由；(2)是否存在一点C，使它到A、B两点的距离之和等于10cm?若存在，它的位置是唯一的吗？(3)当点C到A、B两点距离之和等于20 cm，试说明点C的位置，并举例说明．【知识点】线段性质.【数学思想】分类讨论、数形结合.【解题过程】解：（1）根据两点之间，线段最短，AC+BC 最短距离为10cm ，故不存在合条件的点；（2）存在，这样的点不唯一，线段AB 上任意一点均满足条件； （3）存在，在A 、B 两点外5 cm 处的点均满足条件.【思路点拨】根据两点之间，线段最短，（1）不存在合条件的点；（2）存在，线段AB 上任意一点均满足条件；（3）在A 、B 两点外均存在一个点满足条件.【答案】（1）根据两点之间，线段最短，AC+BC 最短距离为10cm ，故不存在合条件的点； （2）存在，这样的点不唯一，线段AB 上任意一点均满足条件； （3）存在，在A 、B 两点外5cm 处的点均满足条件.练习：数轴上，点A 表示的数是-2，点B 表示的数是6.解答下列问题：（1）数轴上是否存在一点C ，使它到A 、B 两点的距离之和等于6 ? 并说明理由； （2）数轴上是否存在一点C ，使它到A 、B 两点的距离之和等于8？若存在，它的位置是唯一的吗？（3）数轴上当点C 到A 、B 两点距离之和等于10时，试说明点C 表示的数是什么数？ 【知识点】线段性质.【数学思想】分类讨论、数形结合.【解题过程】解：（1）根据两点之间，线段最短，AC+BC 最短距离为8，故不存在合条件的点；（2）存在，这样的点不唯一，线段AB 上任意一点均满足条件； （3）存在，C 点表示的数为-3或7时均满足条件.【思路点拨】根据两点之间，线段最短，（1）不存在合条件的点；（2）存在，线段AB 上任意一点均满足条件；（3）在A 、B 两点外均存在一个点满足条件.【答案】（1）根据两点之间，线段最短，AC+BC 最短距离为8，故不存在合条件的点； （2）存在，这样的点不唯一，线段AB 上任意一点均满足条件； （3）存在，C 点表示的数为73或 时均满足条件.【设计意图】线段性质和两点间的距离知识在实际问题中综合应用，渗透数学思想，提升学生的分析能力和思维能力. ●活动3例3.如图所示，一只蚂蚁从棱长为l 的正方体的一个顶点A 沿表面爬行到的顶点B ，怎样爬行路程最短？画图说明．【知识点】线段的性质.【数学思想】转化思想【解题过程】解：如图，线段AB均可.【思路点拨】求立体图形中的最短距离问题，转化为平面展开图中研究.【答案】如图所示线段AB.练习：如图所示，有一个圆柱形的柱子，一只蚂蚁由圆柱的一条高线AB的底端点B沿侧面转圈爬到顶端点A，小蚂蚁怎么走才能使路线最短？请画出最短路线.【知识点】线段的性质.【数学思想】转化思想.【解题过程】解：如图，将圆柱展开后，则图中线段AB为最短路线.【思路点拨】求立体图形中的最短距离问题，转化为平面展开图中研究.【答案】如图所示线段AB为最短路线.【设计意图】通过问题思考与解答，让学生懂得解决立体图形中两点最短距离问题，转化为平面图形中进行研究.3.课堂总结知识梳理（1）掌握线段“两点之间，线段最短”的性质，并能进行应用.（2）理解两点间的距离，并能计算线段中两点间的距离.重难点归纳（1）掌握线段性质：“两点之间，线段最短”.（2）理解两点间的距离，并能计算线段中两点间的距离.（三）课后作业基础型自主突破1.如图所示，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一现象的原因：．【知识点】线段的性质.【数学思想】【解题过程】解：原因为：应用线段性质“两点之间，线段最短”.【思路点拨】根据：“两点之间，线段最短”解答.【答案】应用线段性质“两点之间，线段最短”.2.如图所示，数轴上标出的点中，相邻两点间的距离相等，则点A表示的数为________．【知识点】线段的性质.【数学思想】【解题过程】解：A表示的数为5.【思路点拨】A为中点.【答案】5.3.如图，从A地到B地有多条道路，一般地，人们会走中间的直路，而不会走其他的曲折的路，这是因为（）A.两点之间，直线最短B.两直线相交只有一个交点C.两点确定一条直线D.两点之间，线段最短【知识点】线段的性质.【数学思想】【解题过程】解：根据“两点之间，线段最短”，故选D.【思路点拨】根据“两点之间，线段最短”解答.【答案】D.4.A、B、C是不在一条直线上的三个点，下列四个判断中不正确的是( )A.AB +AC >BCB.BC +AC >ABC.AB +BC >ACD.AB - BC >AC【知识点】线段的性质.【数学思想】【解题过程】解：根据“两点之间，线段最短”，故选D.【思路点拨】根据“两点之间，线段最短”解答.【答案】D.5.如图所示，某同学的家在A处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店B，请你帮助他选择一条最近的路线（）A．A→C→D→B B．A→C→F→B C．A→C→E→F→B D．A→C→M→B【知识点】线段的性质.【数学思想】【解题过程】解：根据两点之间的线段最短，可得C、B两点之间的最短距离是线段CB的长度，所以想尽快赶到书店，一条最近的路线是：A→C→F→B．故选B．【思路点拨】根据线段的性质，可得C 、B 两点之间的最短距离是线段CB 的长度，所以想尽快赶到书店，一条最近的路线是：A →C →F →B ，据此解答即可． 【答案】B ．6.数轴上A 、B 、C 三点所表示的数分别为a 、b 、c ，且c 在AB 上，若b a =，AC ：CB=1：3，则下列b 、c 的关系式正确的是 ( )A ．b c 21=B ．b c 31=C ．14cb = D ．bc 43= 【知识点】线段的性质. 【数学思想】【解题过程】解：∵C 在AB 上，AC ：CB=1：3，∴4a b c +=，又∵a b =，∴12c b =．故选A ．【思路点拨】根据题意作出图象，根据AC ：CB=1：3，可得4a bc +=，又根据a b =，即可得出12c b =． 【答案】A ．能力型 师生共研1.在直线上依次取点A 、B 、C 、D ，且使得AB ：BC ：CD=3：4：5，若AB 的中点M 与CD 的中点N 的距离为10cm ，求线段AB 的长度． 【知识点】线段的性质.【数学思想】数形结合、方程思想.【解题过程】解：如图：，由AB ：BC ：CD=3：4：5，可设3AB x =，4BC x =，5CD x =，由M 、N 分别为AB 、CD 中点，得x CD CN x AB MB 2521,2321====，由线段的和差，得1025423=++=++x x x CN BC MB ， 解得45=x ，4154533=⨯==x AB ．【思路点拨】画出图形，根据AB ：BC ：CD=3：4：5，可得3AB x =，4BC x =，5CD x =，根据线段中点的性质，可得MB 、CN 的长，根据线段和差，可得x 的值． 【答案】415.2.下列说法不正确的是（ ）A.若点C 在线段BA 的延长线上，则BA=AC ﹣BC.B.若点C 在线段AB 上，则AB=AC+BC. C.若AC+BC ＞AB ，则点C 一定在线段AB 外.D.若A 、B 、C ，三点不在一直线上，则AB ＜AC+BC. 【知识点】线段的性质. 【数学思想】【解题过程】解：A.根据线段的延长线的概念，则BA=BC ﹣AC ，故错误； B.根据线段的和的计算，正确； C.根据两点之间，线段最短，显然正确； D.根据两点之间，线段最短，显然正确． 故选A ．【思路点拨】熟练掌握线段的和差运算和线段性质解答. 【答案】A ．探究型 多维突破1.如图，已知A 、B 、C 、D 四点． (1)经过这四点最多能确定______条线段；(2)如果这四点是公园里湖面上桥的支撑点，图中黑的实线表示桥面，从B地到C 地有两座桥如图所示，要想在B 、C 之间铺设自来水管道，从节省材料的角度考虑，应选择图中①、②两条路中的哪一条，为什么？如果有人想在桥上较长时间观赏湖面风光，应选择哪条路线？说说你的理由.【知识点】线段的性质.【解题过程】解：（1）因为A 、B 、C 、D 四点不共线，故最多能确定6条线段；（2）铺设自来水管道，从节省材料的角度考虑选②，想在桥上较长时间观赏湖面风光，应选择路线①，理由：两点之间，线段最短.【思路点拨】由：“两点确定一条直线”可确定线段的条数；（2）利用线段性质解答 【答案】（1）6；（2）②，①，理由：两点之间，线段最短.2.如图所示，从A 地到C 地，可供选择的方案是走水路，走陆路，走空中，从A 地到B 地有2条水路，2条陆路，从B 地到C 地有三条陆路可供选择，走空中从A 地不经B 地直接到C 地，则从A 地到C 地可供选择的方案有 ( ) A.20种 B.8种 C.5种 D.13种【知识点】线段的性质.【解题过程】 解：从A 到B 有4条，每条到C 有3条，共12条；从A 到C 有1条，共13条，故选D.【思路点拨】从A 到B 有4条，每条到C 有3条，共12条；从A 到C 有1条，共13条. 【答案】D. 自助餐1.如图，点C 在线段AB 上，M 、N 分别是线段AC 、BC 的中点，M 、N 两点的距离是4cm ，则A 、B 两点的距离是（ ）A.10cmB.8 cmC.6cmD.4cm 【知识点】线段的性质. 【数学思想】【解题过程】解：∵点M 是AC 中点，∴AC MC 21=，∵点N 是BC 中点，∴BC CN 21=，cm 421)(21==+=+=AB CB AC CN MC MN ．∴AB=2MN=8cm 故选B ．【思路点拨】由于点M 是AC 中点，所以AC MC 21=，由于点N 是BC 中点，则BC CN 21=，而AB CB AC CN MC MN 21)(21=+=+=，从而可以求出AB 的距离． 【答案】B ．2.A 、B 、C 、D 四个村庄之间的道路如图，从A 去D 有以下四条路线可走，其中路程最短的是（ ）A ．A →B →C →DB ．A →C →D C ．A →E →D D ．A →B →D【知识点】线段的性质. 【数学思想】【解题过程】 解：如图所示：从A 去D 有以下四条路线可走，其中路程最短的是：A →E →D ． 故选C ．【思路点拨】利用两点之间线段最短的性质得出答案． 【答案】C ．3.如图，从A 地到B 地，最短路线是__________．【知识点】线段的性质. 【数学思想】【解题过程】解：因为两点之间线段最短，从A 地到B 地，最短路线是最少走曲线，沿直线，行走即为A →F →E →B.【思路点拨】从A 地到B 地，要尽量缩短两地之间的里程，就用到两点间线段最短定理． 【答案】A →F →E →B.4.如图：由A 到B 有三条路线，最短路线是 （填序号），理由是_____________.【知识点】线段的性质.【数学思想】【解题过程】解：由A到B有三条路线，最短路线是③（填序号），理由是：两点之间，线段最短．故答案为③；两点之间，线段最短．【思路点拨】直接利用“两点之间，线段最短”的性质进行作答.【答案】③；两点之间，线段最短．5.如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB=10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）写出数轴上点B表示的数，点P表示的数（用含t的代数式表示）；（2）动点R从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、R同时出发，问点P运动多少秒时追上点R？点P追上点R时在什么位置？【知识点】线段的性质.【数学思想】数形结合、方程思想【解答过程】解：（1）∵A表示的数为6，且AB=10，∴B表示的数为6﹣10=﹣4，∵PA=6t，∴P表示的数为6﹣6t=6（1﹣t）；故答案为﹣4，6（1﹣t）；（2）点P运动t秒时追上点R，根据题意得6t=10+4t，解得t=5，所以4t=20，所以点P在数﹣24表示的点追上点R．答：点P运动5秒时追上点R，点P追上点R时在数﹣24表示的点．【思路点拨】（1）根据数轴表示数的方法得到B表示的数为6﹣10，P表示的数为6﹣6t；（2）点P运动t秒时追上点R，由于点P要多运动10个单位才能追上点R，则6t=10+4t，然后解方程得到t=5，此时4t=20，此时P点与R点都在﹣24表示的点的位置．【答案】（1）﹣4，6（1﹣t）；（2）点P追上点R时在数﹣24表示的点．6.探究归纳：分月饼中的数学问题一个月饼放在桌子上用刀切下去，一刀可以切成2块，2刀最多可以切成4块；3刀最多可以切成7块，4刀最多可以切成11块（如图）．上述问题转化为数学模型实际上就是n 条直线最多把平面分成几块的问题，有没有规律呢？请先进行试验，然后回答以下问题． （1）填表：（2）设n 条直线把平面最多分成的块数是S ，请写出S 关于n 的表达式． （3）如果x 条直线把平面最多分成的块数是56，则求出x 的值． 【知识点】线段的性质. 【数学思想】【解题过程】解：（1）（2）222)1(1)321(12++=++=+++++=n n n n n S ； （3）22=562x x ++，（x +11）（x -10）=0解得x 1=10，x 2=-11（不合题意，舍去） 所以，x =10.【思路点拨】（1）当有1条直线时，平面数为1+1=2； 有2条直线时，平面数有1+1+2=4； 有3条直线时，平面数有1+1+2+3=7； …有5条直线时，平面数为1+1+2+3+4+5；有6条直线时，平面数有1+1+2+3+4+5+6，计算即可； （2）1123S n =+++++，整理即可.【答案】（1）16,22；（2）222n n S ++=；（3）x =10.。