全等三角形证明经典100题

全等三角形证明题1已知：如图，四边形ABCD 中，AC 平分角BAD ，CE 垂直AB 于E ，且角B+角D=180度，求证：AE=AD+BEABDCE 122已知，如图，AB=CD ，DF ⊥AC 于F ，BE ⊥AC 于E ，DF=BE 。

求证：AF=CE 。

3已知，如图，AB ⊥AC ，AB ＝AC ，AD ⊥AE ，AD ＝AE 。

求证：BE ＝CD 。

4如图，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，请你从下面三个条件中任选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题。

① AB=AC ② BD=CD ③ BE=CF5、如图，△ABC 中，AB=AC ，过A 作GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 交于点H ，它们的延长线分别交GE 于E 、G ，试在图中找出三对全等三角形，并对其中一对给出证明。

6、如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ在ＡＢ上，点Ｅ在ＢＣ上，ＢＤ＝ＢＥ。

（１）请你再添加一个条件，使得△ＢＥＡ≌△ＢＤＣ，并给出证明。

FE A C D BA E D CB F E DC A B F ED C A BGH你添加的条件是：________ ___（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形：______________（不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程）7、已知：如图，AB ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB=AD ，若E 是AC 上一点。

求证：EB=ED 。

DA E CB8、已知：如图，AB 、CD 交于O 点，CE//DF ，CE=DF ，AE=BF 。

求证：∠ACE=∠BDF 。

9. 已知：如图，△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，E 是AD 上一点，BE 的延长线交AC 于F ，若BD=AD ，DE=DC 。

求证：BF ⊥AC 。

10. 已知：如图，△ABC 和△A ＇B ＇C ＇中，∠BAC=∠B ＇A ＇C ＇，∠B=∠B ＇，AD 、A ＇D ＇分别是∠BAC 、∠B ＇A ＇C ＇的平分线，且AD=A ＇D ＇。

做辅助线证明三角形全等1、如图，等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 为腰CB 上的中线，CE ⊥AD 交AB 于E ．求证∠CDA ＝∠EDB ．2、在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，CE 是角平分线，和高AD 相交于F ，作FG ∥BC 交AB 于G ，求证：AF ＝BG ．3、如图，已知△ABC 是等边三角形，∠BDC ＝120º，说明AD=BD+CD 的理由4、如图，在△ABC 中，AD 是中线，BE 交AD 于F,且AE=EF,说明AC=BF 的理由5、如图，在△ABC 中，∠ABC=100º，AM=AN,CN=CP,求∠MNP 的度数C 1 2 A B CD E6、用两个全等的等边三角形△ABC 和△ACD 拼成菱形ABCD.把一个含60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A 重合，两边分别与AB 、AC 重合.将三角尺绕点A 按逆时针方向旋转.（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC 、CD 相交于点E 、F 时（如图所示），通过观察或测量BE 、CF 的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；B（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC 、CD 的延长线相交于点E 、F 时（如图所示），你在（1）中得到的结论还成立吗？说明理由。

B7、.在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE =AD ＋BE ；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE =AD －BE ；（3）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE ，AD ，BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．C B A ED 图1 N M A B C DE M N 图2 A C B E D N M 图3。

1．判定两个三角形全等的基本事实：边边边（SSS）（1）基本事实：三边分别相等的两个三角形全等，简写成“__________”或“SSS”．（2）这个基本事实告诉我们：当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定．这也是三角形具有稳定性的原因．2．判定两个三角形全等的基本事实：边角边（SAS）（1）基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“__________”．（2）此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系．【注意】（1）此方法是证明两个三角形全等最常用的方法之一，应用时，可以从图形上直接观察到三个对应元素必须符合“两边夹角”，即“SAS”，不要误认为有两边一角就能判定两个三角形全等．（2）在书写时也要按照“边→角→边”的顺序排列条件，必须牢记“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件．3．判定两个三角形全等的基本事实：角边角（ASA）（1）基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“__________”．（2）用“ASA”来判定两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边分别相等，证明时要加强对夹边的认识．4．判定两个三角形全等的基本事实：角角边（AAS）（1）基本事实：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“__________”．（2）这一结论很容易由“ASA”推得，将这一结论与“ASA”结合起来，即可得出：两个三角形如果具备两角和一条边对应相等，就可判定其全等．5．直角三角形全等的判定方法：斜边、直角边（HL）（1）基本事实：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“________”．（2）“HL ”定理是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立． 【归纳】判定两个三角形全等常用的思路方法如下： HL SAS SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS ⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎩一直角边一斜边—已知两边找夹角—找另一边—边为角的对边—找任一角—找夹角的另一边—已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角—找边的对角—找夹边—已知两角找任一角的对边—K 知识参考答案：1．（1）边边边2．（1）SAS 3．（1）ASA4．（1）AAS5．（1）HLK —重点 三角形全等的判定K —难点 三角形全等的判定和性质的综合运用 K —易错三角形全等的判定一、用边边边（SSS ）证明三角形全等明确要证明全等的两个三角形，在书写两个三角形全等时，“≌”左边三角形的三边与“≌”右边三角形的三边的前后顺序要保持一致．【例1】如图，ABC △中，AB AC =，EB EC =，则由“SSS ”可判定A ．ABD △≌ACD △B ．ABE △≌ACE △△D．以上答案都不对C．BDE△≌CDE【答案】B二、用边角边（SAS）证明三角形全等此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系．【例2】如图，AB=AC，添加下列条件，能用SAS判断△ABE≌△ACD的是A．∠B=∠C B．∠AEB=∠ADC C．AE=AD D．BE=DC【答案】C【解析】∵AB=AC（已知），∠A=∠A（公共角），∴只需要AE=AD，∴△ABE≌△ACD，故选C．三、用角边角、角角边（ASA、AAS）证明三角形全等1．不能说“有两角和一边分别相等的两个三角形全等”，这是因为：假设这条边是两角的夹边，则根据角边角可知正确；假设一个三角形的一边是两角的夹边，而与另一个三角形相等的边是其中一等角的对边，则两个三角形不一定全等．2．有三个角对应相等的两个三角形不一定全等．【例3】如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长，就得出AB的长，判定△EDC≌△ABC的理由是A．SSS B．SASC．SAA D．ASA【答案】D【解析】∵BF⊥AB，DE⊥BD，∴∠ABC=∠BDE．又∵CD=BC，∠ACB=∠DCE，∴△EDC≌△ABC（ASA）．故选D．【例4】如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠A=∠D，BF=EC，AB∥DE，若∠1=80°，求∠BFD 的度数．四、用斜边、直角边（HL）证明直角三角形全等1．当证明两个直角三角形全等时，若不适合应用“HL”，也可考虑用“SAS”“ASA”或“AAS”来证明．2．在用一般方法证明时，因为两个直角三角形中已具备一对直角相等的条件，故只需找另外两个条件即可，在实际证明中可根据条件灵活选用不同的方法．【例5】如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌△Rt△DCF，则还需要添加一个条件是A．AE=DF B．∠A=∠D C．∠B=∠C D．AB=DC【答案】D五、全等三角形的判定和性质的综合寻找解决问题的思路方法可以从求证的结论出发，结合已知条件，逐步寻求解决问题所需要的条件．同时要注意对图形本身隐含条件的挖掘，如对顶角、公共角、公共边等．【例6】如图，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠A=50°，∠B=30°，则∠D的度数为A．50°B．30°C．80°D．100°【答案】B【解析】∵OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COB（SAS），∴∠D=∠B=30°．故选B．【例7】如图，已知∠CAB=∠DBA，∠CBD=∠DAC．求证：BC=AD．【解析】∵∠CAB=∠DBA，∠CBD=∠DAC，∴∠DAB=∠CBA．在△ADB与△BCA中，CAB DBA AB ABDAB CBA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADB≌△BCA（ASA），∴BC=AD．。

1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠24. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠CADBCBA CDF2 1 ECDB A6. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE7. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD8. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB9. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2A CDEF 21 ADBCDAB10. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC11. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C12. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

求证：BC=AB+DC 。

13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠CBA CDF2 1 ECDB DCBA FEA14. 已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C15. P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-AB16. 已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE17. 已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC18．（5分）如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ． 19．（5分）如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB =∠OBAAB C DP DACBFAED C B20．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．21．（6分）如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B22．（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ． （1）求证：MB =MD ，ME =MF（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．23．（7分）已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：24．（7分）如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ．PE DCB A OE D C B A FEDCBA D CB A25、（10分）如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。

《全等三角形》证明题题型归类训练题型1：全等+等腰性质1、如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O. 求证：(1) △ABC ≌△AED ； (2) OB ＝OE .2、已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB ＝DC ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ． 求证：OA ＝OD ．题型2：两次全等1、AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。

求证：BF=CF2、已知如图，E 、F 在BD 上，且AB ＝CD ，BF ＝DE ，AE ＝CF ，求证：AC 与BD 互相平分3、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°DE ⊥AC 于点F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE=AC.求证：BG=FG题型3：直角三角形全等（余角性质）1、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是斜边上AB 上任一点，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ，CH ⊥AB 于H 点，交AE 于G ． 求证：BD ＝CG ．2、如图，将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A ，B 两点分别作直线的垂线，垂足分别为D ，E ，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．3、如图，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，D 为AC 上一点，分别过A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为E 、F 求证：EF ＝CF －AE4、在△中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1)MN 绕点C 旋转到图1的位置时， ①ADC ∆≌CEB ∆；②BE AD DE +=； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.5、如图：BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，BM=AC ，CN=AB 。

1.已知： AB=4 ，AC=2 ， D 是 BC 中点， AD 是整数，求 AD AB CD12. 已知： D 是 AB 中点，∠ ACB=90 °，求证：CD AB2ADC B3.已知： BC=DE ，∠ B= ∠E，∠ C= ∠ D， F 是 CD 中点，求证：∠ 1=∠ 2A21B EC F D4.已知：∠ 1=∠ 2， CD=DE ， EF//AB ，求证： EF=ACA12FCDEB5.已知： AD 均分∠ BAC ， AC=AB+BD ，求证：∠ B=2 ∠ CACB D6.已知： AC 均分∠ BAD ， CE⊥ AB ，∠ B+ ∠D=180 °，求证： AE=AD+BE7.已知： AB=4 ，AC=2 ， D 是 BC 中点， AD 是整数，求 AD AB CD8. 已知： D 是 AB 中点，∠ ACB=90 °，求证：CD 1 AB2ADC B9.已知： BC=DE ，∠ B= ∠E，∠ C= ∠ D， F 是 CD 中点，求证：∠ 1=∠ 2A21B EC F D10. 已知：∠ 1=∠ 2， CD=DE ， EF//AB ，求证： EF=ACA12FCDEB11.已知： AD 均分∠ BAC ， AC=AB+BD ，求证：∠ B=2 ∠ CACB D12. 已知： AC 均分∠ BAD ， CE⊥ AB ，∠ B+ ∠D=180 °，求证： AE=AD+BE12.如图，四边形 ABCD 中， AB ∥ DC ，BE、 CE 分别均分∠ ABC 、∠ BCD ，且点 E 在 AD上。

求证： BC=AB+DC 。

13.已知： AB//ED ，∠ EAB= ∠ BDE ， AF=CD ， EF=BC ，求证：∠ F=∠ CE DCFA B14.已知： AB=CD ，∠ A= ∠ D，求证：∠ B= ∠ CADB C15.P 是∠ BAC 均分线 AD 上一点， AC>AB ，求证： PC-PB<AC-AB CAP DB16. 已知∠ ABC=3 ∠ C，∠ 1=∠2， BE⊥ AE ，求证： AC-AB=2BE17.已知， E 是 AB 中点， AF=BD ， BD=5 ， AC=7 ，求 DCDF A CE B18．（ 5 分）如图，在△ABC 中， BD=DC ，∠ 1=∠ 2，求证： AD ⊥ BC．19．（ 5 分）如图， OM 均分∠ POQ ，MA⊥ OP,MB ⊥OQ ， A、B 为垂足， AB 交 OM 于点N．求证：∠ OAB=∠OBA(完满版)全等三角形证明经典100题20．（ 5 分）如图，已知AD ∥BC，∠ PAB 的均分线与∠ CBA 的均分线订交于E， CE 的连线交 AP 于 D．求证： AD+BC=AB．PCEDA B21．（ 6 分）如图，△ ABC 中， AD 是∠ CAB 的均分线，且AB=AC+CD，求证：∠ C=2∠ BACD B22．（ 6 分）如图①， E、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于 E， BF⊥AC 于 F ，若 AB=CD ， AF=CE， BD 交 AC 于点 M．（1）求证： MB=MD ， ME =MF（2）当 E、F 两点搬动到如图②的地址时，其余条件不变，上述结论可否成立？若成立请恩赐证明；若不成立请说明原由．23．（ 7 分）已知：如图，DC ∥AB，且 DC =AE， E 为 AB 的中点，（ 1）求证：△ AED≌△ EBC．（ 2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：AE O DB C24．（ 7 分）如图，△ABC 中，∠ BAC=90 度， AB=AC， BD 是∠ ABC 的均分线， BD 的延长线垂直于过 C 点的直线于 E，直线 CE 交 BA 的延长线于 F ．求证： BD =2CE．F25、（ 10 分）如图： DF=CE， AD=BC，∠ D=∠ C。

《全等三角形》证明题题型归类训练题型1：全等+等腰性质1、如图，在△ABE 中，AB ＝AE,AD ＝AC,∠BAD ＝∠EAC, BC 、DE 交于点O. 求证:（1） △ABC ≌△AED ； （2) OB ＝OE 。

2、已知：如图，B 、E 、F 、C 四点在同一条直线上，AB ＝DC ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ． 求证:OA ＝OD ．题型2：两次全等1、AB=AC ，DB=DC ，F 是AD 的延长线上的一点。

求证：BF=CFFDCBA2、已知如图,E 、F 在BD 上，且AB ＝CD ，BF ＝DE,AE ＝CF,求证：AC 与BD 互相平分O C E BDAA B E O F D C3、如图,在四边形ABCD 中,AD ∥BC ，∠ABC=90°DE ⊥AC 于点F ，交BC 于点G ，交AB 的延长线于点E ，且AE=AC.求证：BG=FG题型3：直角三角形全等(余角性质）1、如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是斜边上AB 上任一点，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 交CD 的延长线于F ，CH ⊥AB 于H 点，交AE 于G ． 求证：BD ＝CG ．2、如图,将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上，且过A,B 两点分别作直线的垂线，垂足分别为D,E ，请你在图中找出一对全等三角形，并写出证明它们全等的过程．3、如图，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，D 为AC 上一点，分别过A 、C 作BD 的垂线，垂足分别为E 、F 求证：EF ＝CF －AEAFCBDEGA BC FD E4、在△ABC 中，︒=∠90ACB ，BC AC =，直线MN 经过点C ，且MN AD ⊥于D ，MN BE ⊥于E .(1）当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时， 求证： ①ADC ∆≌CEB ∆；②BE AD DE +=；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时,（1）中的结论还成立吗?若成立，请给出证明；若不成立,说明理由.5、如图：BE ⊥AC,CF ⊥AB ，BM=AC,CN=AB 。

ADB C E倍长中线〔线段〕造全等1、：如图,AD 是△ABC 的中线,BE 交AC 于E,交AD 于F,且 AE=EF,求证：AC=BFC分析：要求证的两条线段AC 、BF 不在两个全等的三角形中,因此证AC=BF 困难,考虑能否通过辅助线把AC 、BF 转化到同一个三角形中,由AD 是中线,常采用中线倍长法,故延长AD 到G,使DG=AD,连BG,再通过全等三角形和等线段代换即可证出.2、在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,且BE=AC,延长BE 交AC 于F,求证：AF=EF提示：倍长AD 至G,连接BG,证明ΔBDG ≌ΔCDA 三角形BEG 是等腰三角形3、,如图△ABC 中,AB=5,AC=3,如此中线AD 的取值X 围是_________.4、在△ABC 中,AC=5,中线AD=7,如此AB 边的取值X 围是< >A 、1<AB<29B 、4<AB<24C 、5<AB<19D 、9<AB<195、：AD 、AE 分别是△ABC 和△ABD 的中线,且BA=BD, 求证：AE=21ACCE6、如图,△ABC中,BD=DC=AC,E 是DC 的中点,求证：AD 平分∠BAE. 7、CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE 是△ABD 的中线,求证：∠C=∠BAE提示：倍长AE 至F,连结DF证明ΔABE ≌ΔFDE 〔SAS 〕进而证明ΔADF ≌ΔADC 〔SAS 〕 8、如图23,△ABC 中,D 是BC 的中点,过D 点的直线GF 交AC 于F,交AC 的平行线BG 于G 点,DE ⊥DF,交AB 于点E,连结EG 、EF.⑴求证：BG=CF⑵请你判断BE+CF 与EF 的大小关系,并说明理由.9、如图,AD 为ABC ∆的中线,DE 平分BDA ∠交AB 于E,DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+ 方法1：在DA 上截取DG=BD,连结EG 、FG 证明ΔBDE ≌ΔGDE ΔDCF ≌ΔDGF 所以BE=EG 、CF=FG利用三角形两边之和大于第三边 方法2：倍长ED 至H,连结CH 、FH 证明FH=EF 、CH=BE利用三角形两边之和大于第三边10、如图,△ABC 中,E 、F 分别在AB 、AC 上,DE ⊥DF,D 是中点,试比拟BE+CF 与EF 的大小.11、：如图,在ABC ∆中,AC AB ≠,D 、E 在BC 上,且DE=EC,过D 作BA DF //交AE 于点F,DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠方法1：倍长AE 至G,连结DG 方法2：倍长FE 至H,连结CH截长补短7.9作业：,四边形ABCD 中,AB ∥CD,∠1＝∠2, ∠3＝∠4.求证：BC ＝AB ＋CD.1、如图,AD ∥BC,点E 在线段AB 上,∠ADE=∠CDE,∠DCE=∠ECB.求证：CD=AD+BC.证明：在CD 上截取CF=BC在△FCE 与△BCE 中,∴△FCE ≌△BCE 〔SAS 〕, ∴∠2=∠1.又∵AD ∥BC,∴∠ADC+∠BCD=180°,∴∠DCE+∠CDE=90°,∴∠2+∠3=90°,∠1+∠4=90°, ∴∠3=∠4.在△FDE 与△ADE 中,∴△FDE ≌△ADE 〔ASA 〕, ∴DF=DA, ∵CD=DF+CF, ∴CD=AD+BC.2、：如图,在△ABC 中,∠C ＝2∠B,∠1＝∠2. 求证：AB=AC+CD.证明：方法一〔补短法〕延长AC 到E,使DC=CE,如此∠CDE ＝∠CED,FD C B A 12E D C B A 12∴∠ACB ＝2∠E, ∵∠ACB ＝2∠B,∴∠B ＝∠E,在△ABD 与△AED 中, ∴△ABD ≌△AED 〔AAS 〕, ∴AB=AE. 又AE=AC+CE=AC+DC, ∴AB=AC+DC. 方法二〔截长法〕 AB 上截取AF=AC,在△AFD 与△ACD 中,∴△AFD ≌△ACD 〔SAS 〕,∴DF=DC,∠AFD ＝∠ACD. 又∵∠ACB ＝2∠B, ∴∠FDB ＝∠B, ∴FD=FB.∵AB=AF+FB=AC+FD, ∴AB=AC+CD.3、如图,在△ABC 中,∠BAC=60°, AD 是∠BAC 的平分线,且AC=AB+BD,求∠ABC 的度数4、如图,在△ABC 中,∠B=60°,△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O,求证：OE=OD5、ABC ∆中,60A ∠=,BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠,BD 、CE 交于点O ,试判断BE 、CD 、BC 的数量关系,并加以证明．6、如图,在ABC 内,060BAC ∠=,040C ∠=,P,Q 分别在BC,CA 上,并且AP,BQ 分别是BAC ∠,ABC ∠的角平分线.求证：BQ+AQ=AB+BP7、如图在△ABC 中,AB ＞AC,∠1＝∠2,P 为AD 上任意一点,求证;AB-AC ＞PB-PC8、如图,点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点<点B 除外>,作60DMN ∠=︒,射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ,DM 与MN 有怎样的数量关系?角平分线上的点向角两边引垂线段1、如图,在四边形ABCD 中,BC ＞BA,AD ＝CD, 求证：∠BAD+∠C=180°2、如图,四边形ABCD 中,AC 平分∠BAD,CE ⊥AB 于E,AD+AB=2AE,如此∠B 与∠ADC 互补. 为？3、如图4,在△ABC 中,BD=CD,∠ABD=∠ACD,求证AD 平分∠BAC.4、如图,在△ABC 中,∠ABC=100°,∠ACB=20°,CE 平分∠ACB,D 是AC 上一点,假如∠CBD=20°,求∠ADE 的度数.7.5作业：,AB ＞AD,∠1＝∠2,CD ＝BC. 求证：∠ADC ＋∠B ＝180°.7.6作业：如图,在△ABC 中∠A BC,∠A CB 的外角平分线交P.求证:AP 是∠BAC 的角平分线 7.6作业：如图,∠B=∠C=90°,AM 平分∠DAB,DM 平分∠ADC 求证:点M 为BC 的中点连接法〔构造全等三角形〕7.9作业：：如以下图,AB ＝AD,BC ＝DC,E 、F 分别是DC 、BC 的中点,求证： AE ＝AF.1、如图,直线AD 与BC 相交于点O,且AC=BD,AD=BC ．求证：CO=DO ．2、：如图16,AB=AE,BC=ED,点F 是CD 的中点,AF ⊥CD ．求证：∠B=∠E ． 3、如图 11-30,AB ＝AE,∠B ＝∠E,BC ＝ED,点F 是CD 的中点.求证：AF ⊥CD.4、在正ABC ∆内取一点D ,使DA DB =,在ABC ∆外取一点E ,使DBE DBC ∠=∠,且BE BA =,求BED ∠.5、如以下图,BD=DC,DE ⊥BC,交∠BAC的平分线于BD BEACABCDE,EM⊥AB,EN⊥AC,求证：BM=6、如图,在△ABD和△ACD中,AB=AC,∠B=∠C．求证：△ABD≌△ACD．全等+角平分线性质1、如图21,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,且DB=DC,求证：EB=FC2、：如以下图,BD为∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD于M,•PN⊥CD于N,判断PM与PN的关系．全等+等腰性质1、如图,在△ABE中,AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC, BC、DE交于点O.求证：<1> △ABC≌△AED； <2> OB＝OE .2、.：如图,B、E、F、C四点在同一条直线上,AB＝DC,BE ＝CF,∠B＝∠C．求证：OA＝OD．两次全等7.4作业：AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点.求证：BF=CF1、如图,D、E、F、B在一条直线上AB=CD, ∠B=∠D,BF=DE.求证：〔1〕AE=CF;〔2〕AE∥CF〔3〕∠AFE=∠CEF2、如图：A、E、F、B四点在一条直线上,AC⊥CE,BD ⊥DF,AE=BF,AC=BD.求证：△ACF≌△BDE 3、如图,在四边形ABCD中,E是AC上的一点,∠1=∠2,∠3=∠4,求证: ∠5=∠6．4、如图,E、F在BD上,且AB＝CD,BF＝DE,AE＝CF求证：AC与BD互相平分由BF＝DF,得BE＝DF∴△ABE≌△CDF,∴∠B＝∠D再证△AOB≌△COD,得OA＝OC,OB＝OD即AC、BD互相平分5、如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°DE⊥AC于点F,交BC于点G,交AB的延长线于点E,且AE=AC.求证：BG=FG直角三角形全等〔余角性质〕作业：如图,在等腰Rt△ABC中,∠C＝90°,D是斜边上AB上任一点,AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD的延长线于F,CH⊥AB于H点,交AE于G．求证：BD＝CG．1、如图,将等腰直角三角形ABC的直角顶点置于直线l 上,且过A,B两点分别作直线l的垂线,垂足分别为D,E,请你在图中找出一对全等三角形,并写出证明它们全等的过程．解：全等三角形为：△ACD≌△CBE．证明如下：由题意知∠CAD+∠ACD=90°,∠ACD+∠BCE=90°,∴∠CAD=∠BCE．在△ACD与△CBE中,∠ADC=∠CEB=90°∠CAD=∠BCE AC=BC ,∴△ACD≌△CBE〔AAS〕．2、如图,∠ABC＝90°,AB＝BC,D为AC上一点,分别过A、C作BD的垂线,垂足分别为E、F求证：EF＝CF－AE证△ABE≌△BCF,得BE＝AFCBDEGADFECBACNEMB D AB EO F DC∴EF ＝BE －BF ＝CF －AE3、在△ABC 中,︒=∠90ACB ,BC AC =,直线MN 经过点C ,且MN AD ⊥于D ,MN BE ⊥于E .<1>当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时,求证： ①ADC ∆≌CEB ∆；②BE AD DE +=； <2>当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时,〔1〕中的结论还成立？假如成立,请给出证明；假如不成立,说明理由.4、如图：BE ⊥AC,CF ⊥AB,BM=AC,=AB.求证：〔1〕AM=AN ；〔2〕AM ⊥AN. 作平行线 1、△ABC,AB=AC,E 、F 分别为AB 和AC 延长线上的点,且BE=CF,EF 交BC 于G ．求证：EG=GF ． 2、如图,在△ABC 中,AB=AC,BD 平分∠ABC,DE ⊥BD 于D,交BC 于点E ． 求证：CD=1BE 证明：过点D 作DF ∥AB 交BC 于点F ．∵BD 平分∠ABC,∴∠1=∠2．∵DF ∥AB,∴∠1=∠3,∠4=∠ABC ． ∴∠2=∠3,∴DF=BF ．∵DE ⊥BD,∴∠2+∠DEF=90º,∠3+∠5=90º． ∴∠DEF=∠5．∴DF=EF ． ∵AB=AC,∴∠ABC=∠C ． ∴∠4=∠C,CD=DF ．∴CD=EF=BF,即CD=21BE ． 延长角平分线的垂线段1、如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,CE ⊥AD 于E ． 求证：∠ACE=∠B+∠ECD ．分析：注意到AD 平分∠BAC,CE ⊥AD,于是可延长CE 交AB 于点F,即可构造全等三角形． 证明：延长CE 交AB 于点F ． ∵AD 平分∠BAC, ∴∠FAE=∠CAE ． ∵CE ⊥AD,∴∠FEA=∠CEA=90º． 在△FEA 和△CEA 中, ∠FAE=∠CAE,AE=AE,∠FEA=∠CEA ． ∴△FEA ≌△CEA ． ∴∠ACE=∠AFE ． ∵∠AFE=∠B+∠ECD, ∴∠ACE=∠B+∠ECD ．2、如图,△ABC 中,∠BAC=90度,AB=AC,BD 是∠ABC 的平分线,BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E,直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD=2CE ．3、如图：∠BAC=90°,CE ⊥BE,AB=AC ,BD 是∠ABC的平分线,求证：BD=2EC4、,如图34,△ABC 中,∠ABC=90º, AB=BC,AE 是∠A 的平分线,CD ⊥AE 于D ．求证：CD=21AE ．面积法例1 如图1,在△ABC 中,∠BAC 的角平分线AD 平分底边BC.求证AB=AC. 分析：根据可知AD 是∠BAC 的平分线,可通过点D 作∠BAC 的垂线,根据角平分线的性质,结合三角形的面积进展证明. 证明：过点D 作DE ⊥AB,DF ⊥AC,垂足分别为E 、F. 因为DA 为∠BAC 的平分线,所以DE=DF. 又因为AD 平分BC,所以BD=CD, 所以S △ABD =S △ACD , 又S △ABD =21AB ·DE,S △ACD =21AC ·DF, 所以AB ·DE=AC ·DF, 所以AB=AC.2、如以下图,D 是等腰△ABC 底边BC 上的一点,它到两腰AB 、AC 的距离分别为DE 、DF,CM ⊥AB,垂足为M,请你探索一下线段DE 、DF 、CM 三者之间的数量关系, 并给予证明.3、己知,△ABC 中,AB=AC,CD ⊥AB,垂足为D,P 是BC 上任一点,PE ⊥AB,PF ⊥AC 垂足分别为E 、F, 求证：① PE+PF=CD.② PE – P F=CD.旋转型1、如图,正方形ABCD 的边长为1,G 为CD 边上一动点〔点G 与C 、D 不重合〕, 以CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF,连接DE 交BG 的延长线于H. 求证：①△BCG ≌△DCE ② BH ⊥DE2、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,B,C,E 在同一条直线上,连结DC ． 〔1〕请找出图2中的全等三角形,并给予证明〔说明：结论中不得含有未标识的字母〕；〔2〕证明：DC ⊥BE ．3、〔1〕如图7,点O 是线段AD 的中点,分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD,连结AC 和BD,相交于点E,连结BC ．求∠AEB 的大小；〔2〕如图8,ΔOAB 固定不动,保持ΔOCD 的形状和大小不变,将ΔOCD 绕着点O 旋转〔ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠〕,求∠AEB 的大小.4、如图,AE ⊥AB,AD ⊥AC,AB=AE,∠B=∠E,求证：〔1〕BD=CE ；〔2〕BD ⊥CE ．．证明：〔1〕AE ⊥AB,AD ⊥AC ∠BAE=∠CAD⇒∠BAD=∠CAE ．而AB=AE,∠B=∠E, ∴△ABD ≌△AEC ．∴BD=CE ．〔2〕由△ABD ≌△AEC 知∠B=∠E ．而∠AGB=∠EGF,∴∠EFG=∠EAB=90°,∴BD ⊥CE ． 5、如以下图,AE ⊥AB,AF ⊥AC,AE=AB,AF=AC. 求证： 〔1〕EC=BF ；〔2〕EC ⊥BF6、 正方形ABCD 中,E 为BC 上的一点,F 为CD 上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF 的度数.7、D 为等腰Rt ABC ∆斜边AB 的中点,DM ⊥DN,DM,DN 分别交BC,CA 于点E,F.①当MDN ∠绕点D 转动时,求证DE=DF. ②假如AB=2,求四边形DECF 的面积.8、如图,ABC ∆是边长为3的等边三角形,BDC ∆是等腰三角形,且0120BDC ∠=,以D 为顶点做一个060角,使其两边分别交AB 于点M,交AC 于点N,连接MN,求AMN∆图1 图2 C CBO D图7AEAE BM CFFEDC ABGPFEDCABGP FE D C AB G HBAO DCE图8的周长.9、五边形ABCDE中,AB=AE,BC+DE=CD,∠ABC+∠AED=180°,求证：AD平分∠CDE10、如图,AB=CD=AE=BC+DE=2,∠ABC=∠AED=90°,求五边形ABCDE的面积。

1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠24. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC5. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C ADBCBA CDF2 1 E6.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 7.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD8.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：12 CD ABAD BC CD BA9. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠210. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC11. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C12. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BEBA CDF2 1 ECDB A12. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

求证：BC=AB+DC 。

13.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C14. 已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C15. P 是∠BAC 平分线AD 上一点，AC>AB ，求证：PC-PB<AC-ABDCBAFEP D ACB16. 已知∠ABC=3∠C ，∠1=∠2，BE ⊥AE ，求证：AC-AB=2BE17. 已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC18．（5分）如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ． 19．（5分）如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB =∠OBA 20．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． FAED CBPEDCBA21．（6分）如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B22．（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ． （1）求证：MB =MD ，ME =MF（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．23．（7分）已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， （1）求证：△AED ≌△EBC ．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：24．（7分）如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．OE DCBA D CBA求证：BD =2CE ．25、（10分）如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。