含参一元二次不等式的解法

高中数学一元二次含参不等式的解法探究一元二次含参不等式通常是指形如 $ax^2+bx+c\geq0$ 或$ax^2+bx+c\leq0$（$a,b,c$ 为实数，$x$ 为变量，含参的地方通常是 $a,b,c$ 中的某个或某些）的不等式。

这类不等式的解法很多，下面就介绍一些常用的解法。

一、分离变量法如果不等式中的参数只有 $a$，则可尝试使用分离变量法来解决。

以 $ax^2+bx+c\geq0$ 为例，如果 $a>0$，则将所有 $x$ 看作常量，不等式左右两边同除以 $a$，得到关于 $x$ 的二次函数 $f(x) = x^2 + \dfrac{b}{a}x +\dfrac{c}{a}$ 的非负解集，容易通过求出函数图像的顶点坐标和判别式来确定这个非负解集。

二、配方法以 $ax^2+bx+c\geq0$ 为例，令 $x + \dfrac{b}{2a} = t$，则原不等式可化为$a(t-\dfrac{b}{2a})^2+c-\dfrac{b^2}{4a}\geq0$，即 $at^2 +(c-\dfrac{b^2}{4a})\geq0$。

通过求出 $at^2 + (c-\dfrac{b^2}{4a})$ 的图像的顶点坐标和判别式，解得 $t$ 的取值范围，进而解得 $x$ 的取值范围。

三、求导法对于形如 $f(x)\geq0$ 或 $f(x)\leq0$ 的不等式，如果洛必达法则得到$\lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)}{x-a}$ 的值总是和 $x$ 无关，那么$f(x)$ 在 $a$ 的附近单调递增或单调递减。

在这种情况下，我们可以使用求导法来解决不等式。

利用求导法可以解决大部分一元二次含参不等式，但需要注意的是，当不等式中含有绝对值时，求导法不一定适用。

四、其他方法在解决复杂的一元二次含参不等式时，可能需要结合多种方法，例如：1. 参照根的公式来求解，将不等式转化为以某个参数为自变量的一元二次函数，然后利用根的公式来解决。

含参数一元二次不等式的解法我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是或（其中均为常数，）.解含参一元二次不等式的相关问题对于基础薄弱的同学来说是一个难点.为了帮助这些同学解决此类问题，本文将相关解题方法进行简化、总结，帮助同学们理解和学习.下面我们通过例举进行具体的分析说明.类型一解二次项前不带参数的一元二次不等式1、对应方程（其中均为常数，）可以进行因式分解.方法：所求解的一元二次不等式对应的一元二次方程可因式分解为（为方程的实数根）的形式，则分类讨论的关键在于通过比较两根的大小，确定参数讨论的界限，进而解出的取值范围.例1 解关于的不等式 .分析：对应方程可因式分解为的形式，讨论两根的大小，即可解出的取值范围.解：原不等式等价于，所对应方程的两根是当时，不等式的解集为 .当时，不等式的解集为 .当时，不等式的解集为 .2、对应方程（其中均为常数，）不能进行因式分解.方法：所求解的一元二次不等式对应的一元二次方程不能进行因式分解，则分类讨论的关键在于判别式，此时根据判别式确定参数讨论的界限，解出的取值范围.例2 解关于的不等式 .分析：对应方程不能进行因式分解，此时根据判别式确定参数讨论的界限，求出的取值范围.解：原不等式对应方程的判别式为（1）当，时，的两根为或，不等式的解集为 .（2）当，时，的根为，不等式的解集为 .1.当，时, 不等式的解集为 .综上所述：当时，不等式的解集为.当时，不等式的解集为 .当时，不等式的解集为 .类型二解二次项前带参数的一元二次不等式1、对应方程（其中均为常数，）可以进行因式分解.方法：所求解的一元二次不等式对应的一元二次方程可因式分解为（为方程的实数根）的形式，则分类讨论的关键仍然在于通过比较两根的大小确定参数讨论的界限. 另外，需要注意的问题是二次项前带参数与二次项前不带参数不同，参数的范围决定对应二次函数的开口方向，影响对应一元二次不等式的解集.例3 解关于的不等式 .分析：对应方程可因式分解为的形式，讨论两根的大小，即可确定参数讨论的界限，根据参数的不同取值范围，求出不等式相应解集。

含参一元二次不等式的解法温县第一高级中学数学组 任利民解含参一元二次不等式，常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参一元二次不等式问题的一个难点.解含参一元二次不等式时对参数的分类主要依据有三个因素：①比较两根大小；②判别式的符号；③二次项系数的符号.下面例举几例来加以分析说明.一、 根据二次不等式所对应方程的根的大小分类例1解关于x 的不等式2(1)0x x a a --->. 分析：原不等式等价于()(1)0x a x a -+->，所对应方程的两根是 x a =或1x a =-.这两个根的大小关系不确定，因此分类的标准是a 与1a-的大小关系.这样就容易将a 分成111,,222a a a >=<这三类. 解：原不等式等价于()(1)0x a x a -+->，所对应方程的两根是x a =或1x a =-. 当12a >时，有1a a >-，所以不等式的解集为{x x a >或1}x a <-. 当12a =时，有1a a =-，所以不等式的解集为{x x R ∈且1}2x ≠ 当12a <时，有1a a <-，所以不等式的解集为{1x x a >-或}x a <. 【评注】对参数进行的讨论是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类讨论.当二次项系数不含参数且能进行因式分解时，其解法较容易，只讨论根的大小.本题中对a 的讨论时，12的选取依据就是比较两个根的大小.解题关键是熟练掌握二次函数的图象特征，做到眼中有题，心中有图.二、 根据判别式的符号分类例2解关于x 的不等式2220x ax ++>. 分析：设2()22f x x ax =++，欲确定()0f x =的根的情况，需讨论 0,0,0∆>∆=∆<三种情况，由此来确定()f x 的图像，并最终确定不等式的解集.解：不等式所对应方程的判别式216a ∆=- ① 当0∆>，即4a >或4a <-时，原不等式所对应方程的两根为: 4a x --=或4a x -+=,原不等式的解集为{4a x x -+>或}4a x --< ② 当0∆=，得4a =±. 当4a =时,原不等式的解集为{x x R ∈且1}x ≠-.当4a =-时,原不等式的解集为{xx R ∈且1}x ≠. ③ 当0∆<，即44a -<<时, 原不等式的解集为R .【评注】解含参的一元二次不等式，可先分解因式，再讨论求解，若不易分解，也可对∆分类讨论，或利用二次函数图象求解.本题对a 讨论时，4±的选取依据是题设条件和根存在的条件.对于二次项系数不含参数且不能因式分解时，则需对判别式∆的符号分类.三、 根据二次项系数的符号分类例3解关于x 的不等式220ax x a -+<. 分析：二次项系数决定了不等式的性质（0a=时，是一次不等式；0a ≠时，是二次不等式）.原不等式对应方程的根无法确定，需讨论的符号 解：①当0a=时,原不等式的解集为{0}x x >. 当0a ≠时,原不等式所对应方程的判别式244a ∆=-.② 当0a>时, 0∆>，即01a <<时,原不等式的解集为11{}x x a a-+<<. 当0∆=，即1a =时，原不等式的解集为φ.当0∆<，即1a>时，原不等式的解集为φ.③ 当0a <时, 0∆>，即10a -<<时,原不等式的解集为1{x x a +<或1}x a-> 当0∆=，即1a =-时，原不等式的解集为{1}x x ≠-.当0∆<，即1a <-时，原不等式的解集为R .【评注】本题中对参数的讨论，选取了0，1，-1其依据是二次项系数的符号、判别式的符号和根的大小.问题比较复杂，但只要抓住这三点，有次序地按大小讨论，问题就不难解决.另要注意原不等式在0a>或0a <时所对应的两个根的大小是不同的，要注意判断和识别.。

A．
B．
C．
D．
【答案】C
∵关于 的方程
存在三个不等实根，
∴方程
有两个根，且一正一负，且正根在区间
令
，
内．
则有
，解得
．
∴实数 的取值范围是
．选 C．
点睛：
解答本题时，根据所给函数的特征并利用换元的方法将问题化为方程根的问题处理，然后结合二次方程根
的分布情况再转化成不等式的 问题解决．对于本题中的
根的情况，还要根据数形结合根据两函
个，则有 1－ a2 <0，此时 a2 >1，而 0<b<1+a，故 a>1，
由不等式 a2 1 x2 2bx b2 <0 解得
2b 2ab x 2b 2ab , 即 b x b 1 要使该不等式的解集中的整数恰有 3 个，那么－
2 a2 1
2 a2 1
a 1
a 1
2020 年
数图象交点的个数来判断．
5．若“
”是“
”的充分而不必要条件，则实数 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
2020 年
B 中的不等式不能分解因式，故考虑判断式 4k 2 4(k 2 k) 4k ，
(1)当 k=0 时， 0, x R . (2)当 k＞0 时，△＜0，x R .
(3)当 k＜0 时， 0, x k k或x k k .
第三步 ，得出结论：
综上所述，k 的取值范围是： k 0或 1 k 0.
考点：1.一元二次不等式的解法；2.含参不等式的解法.
【变式演练 3】已知 a 0 ，解关于 x 的不等式 ax2 (a 2)x 2 0 ．

高中数学一元二次含参不等式的解法探究一元二次不等式是高中数学中的重要内容，也是一个比较难以掌握的部分。

而当一元二次不等式中含有参数时，更是让学生感到困惑和挑战。

在数学学习中，一元二次不等式的解法探究是非常重要的，下面我们就来探讨一下高中数学一元二次含参不等式的解法。

一、含参一元二次不等式的一般形式ax^2 + bx + c > 0 或者 ax^2 + bx + c < 0其中a、b、c是常数，x是未知数，不等式的解集也就是x的取值范围。

1. 代入法当一元二次不等式中含有参数时，一种比较简单的解法是采用代入法。

将参数用实数代入，然后对得到的一元二次不等式进行求解。

将得到的解与参数的取值范围相结合，得到最终的解集。

2. 讨论法3. 图像法一元二次函数的图像方法可以帮助我们更直观的理解含参不等式的解法。

我们可以根据一元二次函数的图像特征，结合参数的取值范围，来判断不等式的解集。

1. 例题一已知不等式(x-1)(3x-k) > 0，若k为正数，求x的取值范围。

解：我们根据不等式的性质得到x-1>0，3x-k>0或者x-1<0，3x-k<0。

然后我们可以推导出k>3x或者k<3x。

结合k为正数，可得k>0。

最终，x的取值范围为(1,k/3)。

通过以上应用实例，我们可以看到含参一元二次不等式的解法在实际应用中是非常有用的，能够帮助我们更好地理解和掌握不等式的解题方法。

四、总结含参一元二次不等式是高中数学中的一个重要内容，具有一定的难度。

解决含参一元二次不等式，我们可以采用代入法、讨论法和图像法等多种方法。

在应用实例中，我们可以根据不等式的性质和参数的取值范围来求解不等式，得到最终的解集。

通过不断练习和应用，我们可以更好地掌握含参一元二次不等式的解法，提高自己的数学解题能力。

在学习过程中，我们还需要多总结经验，勤加练习，多探索多思考，在老师的指导下加深对含参一元二次不等式的理解，从而更好地解决各种数学问题。

含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按$x$项的系数$a$的符号分类，即$a>0$，$a=0$，$a<0$。

例1：解不等式$ax+(a+2)x+1>2$分析：本题二次项系数含有参数，$\Delta=(a+2)^2-4a=a+4>0$，故只需对二次项系数进行分类讨论。

解：当$a>0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a>0$，所以$x_1x_2$或$x<x_1$，即$x\in\left(-\infty,\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}\right)\cup\left(\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a},+\infty\right)$。

当$a=0$时，不等式为$2x+1>2$，解得$x>\frac{1}{2}$，即解集为$x>\frac{1}{2}$。

当$a<0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a<0$，所以$x_1<x_2$。

所以解集为$x_1<x<x_2$，即$x\in\left(\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a},\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}\right)$。

例2：解不等式$ax-5ax+6a>(a\neq0)^2$分析：因为$a\neq0$，$\Delta>0$，所以我们只需讨论二次项系数的正负。

解：当$a>0$时，解得方程$ax-5ax+6a=0$的两根$x_1=2$，$x_2=3$，因为$a>0$，所以$x_13$，即$x\in\left(-\infty,2\right)\cup\left(3,+\infty\right)$。

二次项前面的系数、判别式等
2、上述不等式所对应的一元二次方程的特征是什么？ 二次项前面没有参数、可因式分解
3、若将条件a>1去掉，该不等式如何求解？
分类讨论，比较两根a与1的大小关系
引导探究 变式训练：
1、解关于x的不等式 x2-ax - (a+1) >0
2、解关于x的不等式 ax2-(a+1)x+1>0
数学思想：分类讨论思想
当堂练习（10分钟）
基础题1.解关于x的不等式：x2 + 5ax + 6a2 > 0
2.解关于x的不等式：ax2 + (6a+1)x + 6 > 0
探究题： 已知常数 a R, 解关于x的不等式： ax2 2x a 0
当堂诊学（10分钟）
请同学们根据下面提供的答案自我订正：
思考：
{x x 5 或x 6}
2
R
{x 2 x 1}
3
2
1、解一元二次不等式时要考虑哪些要素？
2、若对于一个一元二次不等式中项的系数含有参数，
该如何解决呢？
解关于x的不等式x2-(a+1)x+a>0（a>1）
引导探究 解关于x的不等式x2-(a+1)x+a>0（a>1）
探究： 1、解一元二次不等式应考虑它的哪些要素？
当a <0时，解集为：{x︱x> －3a或x< －2a};
1：
当a =0时，解集为： {x︱x∈R且x≠0};
当a >0时，解集为：{x︱x> －2a或x< －3a}.
1.当a
0时，解集为x
6

高中数学一元二次含参不等式的解法探究一元二次不等式是高中数学中一个非常重要的知识点，而含参的一元二次不等式更是需要同学们格外注重。

因为含参的一元二次不等式在现实中有着广泛应用，例如通过解决含参的一元二次不等式，可以优化设计制造成本、确定工艺参数、调节运动规律等等问题。

所以，解决含参的一元二次不等式，对提高数学水平和现实生活都是非常有益的。

解决含参的一元二次不等式，可以从以下四个方面入手。

1. 方程法含参的一元二次不等式可以理解为是变量 $x$ 的一元二次函数，而求解含参一元二次不等式，就是为了知道这个函数图像 $y=ax^{2}+bx+c\left( a,b,c\in R \right)$ 在数轴上的位置关系，因此，使用方程法求解含参一元二次不等式是非常直接和简单的。

具体步骤如下：1）将一元二次不等式的两边同时移项，将不等式转换为相等式，得到一个含参二次方程；2）解出方程，得到二次函数图像的根；3）分别把这些根代入原不等式中，求出参数的取值范围。

例如要求 $\left( 1-\sqrt{x} \right)\left( 1+qx \right)<0$ (其中 $q>0$)，我们可以按以下步骤来解决：3）分别将这些解代回原不等式中，得出 $x>1/q^2$ 或 $x<0$。

因为 $q>0$，所以$x>1/q^2$，也就是说，当 $x\in \left( 0,\frac{1}{q^2}\right)$ 时，原不等式成立。

2. 图像法尽管用方程法可以得到含参一元二次不等式的解，但这种方法需要解出二次方程，不太方便。

另一种方法是通过函数图像，观察函数的零点和拐点，直接得出不等式的解。

这种方法叫做图像法。

具体步骤如下：1）将一元二次不等式写成一元二次函数的形式，并确定函数的最高次幂系数 $a$，括号里的内容作为变量 $x$，同时限制 $x$ 的取值范围，画出函数的图像。

一元二次不等式的解法
（第三课时）
含参数的不等式
1、分式不等式
1 、
f (x) g ( x)

0
f (x) 0 g(x)
2、指数、对数不等式
①当 a 1时
a f (x) ag(x) f (x) g(x)
loga f (x) loga g(x) f (x) g(x) 0
求出 a,b.
题型与解法
（三）逆向问题
例2.已知不等式 ax2 bx 2 0 的解集为
11
( , ), 求a-b 的值.
23
解法一：∵不等式
∴方程 ax2
ax2
bx


bx 2 0的解集为 (
2 0 的两根为 1 , 1
1 2
,
,
1 3
),
23
1

66 a b 10.
题型与解法
（三）逆向问题
变式训练2
若不等式 ax2 bx c 0 的解 集是{x | 1 x 2}，求不等式
3 cx2 bx a 0 的解集.
{x | 3 x 1} 2
课堂练习
1.下列不等式中，解集为实数集R的是（D ）
(A) (x 1)2 0 (B) | x3 8 | 0
(C) | x | 0
(D) x2 2x 3 0
2.当 a 0时,不等式x2 ax 12a2 0 的解是（C）
(A) x 3a或x 4a (B) 3a x 4a
(C) 4a x 3a (D) 3a x 4a
4 a
a1 2
1b
b 2 0, 2 0.

含参一元二次不等式方程组的解法
一元二次不等式方程组是一组同时包含含有变量的二次不等式的方程。

解决这种方程组需要确定变量的取值范围，使得方程组中的不等式都成立。

解决步骤
以下是解决含参一元二次不等式方程组的一般步骤：
1.通过观察，并利用一元二次方程解法，得到每个不等式的解集。

将解集表示为一个或多个范围。

2.确定每个变量的取值范围，使得方程组中的每个不等式都得到满足。

这涉及比较解集并取交集。

3.给出变量的取值范围，作为最终的解。

以下是一个示例问题的解决步骤：
示例
解决方程组：
x^2 - 5x + 6 ≥ 0
2x^2 + 3x - 2.0
1.对于第一个不等式，我们可以通过分解因式得到 `(x - 2)(x - 3) ≥ 0`。

因此，解集可以表示为 `x ∈ (-∞。

2] ∪ [3.+∞)`。

2.对于第二个不等式，我们可以使用一元二次方程解法，得到解集为 `x ∈ (-∞。

-2) ∪ (1/2.+∞)`。

3.确定变量 `x` 的取值范围，我们取两个不等式解的交集，得
到最终解为 `x ∈ (1/2.2] ∪ [3.+∞)`。

因此，方程组的解为 `x ∈ (1/2.2] ∪ [3.+∞)`。

总结
解决含参一元二次不等式方程组的步骤包括找到每个不等式的解集，确定变量的取值范围，并求解交集。

通过这些步骤，可以得到方程组的最终解。

含参的一元二次不等式的解法一元二次不等式是指形如ax^2 + bx + c > 0（或< 0）的二次函数的不等式，其中a, b, c是实数，且a ≠ 0。

解一元二次不等式的方法与解一元二次方程类似，但是需要注意的是，不等式的解是满足不等式条件的解集。

下面将介绍一元二次不等式的解法，包括图像法、开方法、配方法、代数法等。

一、图像法：对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0（或< 0），我们可以首先绘制二次函数y = ax^2 + bx + c的图像，并找出函数图像在x轴上方（或下方）的区间。

例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以绘制出y = x^2 - 4x + 3的图像。

首先，找到抛物线的顶点，顶点就是不等式解的中心点。

顶点的横坐标为x = -b/(2a)，纵坐标为y = f(-b/(2a))。

在这个例子中，a = 1，b = -4，c = 3，所以顶点的横坐标为x = -(-4)/(2*1) = 2，纵坐标为y = f(-4/(2*1)) = f(2) = 2^2 - 4*2 + 3= -1。

然后，可以找到函数图像在x轴上方的区间，即函数图像在x < 1和x > 3时，都在x轴上方。

根据图像可知，在x < 1和x > 3时，x^2 - 4x + 3 > 0。

所以，不等式x^2 - 4x + 3 > 0的解为x < 1或x > 3。

二、开方法：对于一元二次不等式ax^2 + bx + c > 0（或< 0），我们可以考虑将不等式转化为以x为未知数的一元二次方程，并求解方程的根，在不等式的根之间的区间满足不等式。

例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以通过因式分解或配方法得到方程(x - 1)(x - 3) > 0。

根据求解一元二次方程的方法，可以得到方程的两个根为x = 1和x = 3。

含参一元二次不等式的解法及推广一：一元二次不等式的解法（含参）思路①数性结合---利用二次函数图像读出解集（最常用的方法可同理写出开口向下的） 思路②利用不等式性质求解集（可推广到指对数等两根的不等式）类型一：二次不等式含参数问题（利用图像法，只需利用开口，判别式，两根大小画图草图即可，不需要y 轴，对称轴，所以二次不等式含参数问题主要围绕上述三个方面讨论）例题1 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0.解：(1)当a ＝0时，原不等式可化为－x ＋1<0，∴x>1.(2)当a ≠0时，原不等式可化为(ax －1)(x －1)<0，①当a<0时，不等式可化为(x －1a)(x －1)>0， ∵1a <1，∴x<1a或x>1. ②当a>0时，不等式可化为(x －1a)(x －1)<0， 若1a <1，即a>1，则1a<x<1； 若1a＝1，即a ＝1，则x ∈∅； 若1a >1，即0<a<1，则1<x<1a. 综上所述，当a<0时，原不等式的解集为{x|x<1a或x>1}； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当0<a<1时，原不等式的解集为{x|1<x<1a}； 当a ＝1时，原不等式的解集为∅；当a>1时，原不等式的解集为{x|1a<x<1}． 例2．解关于x 的不等式：()2220mx m x +-->.解：当0m =时，不等式化为220x -->，解得1x <-；当0m >时，不等式化为()()210mx x -+>，解得1x <-，或2x m >； 当20m -<<时，21m <-，不等式化为2(1)0x x m ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭， 解得21x m <<-；当2m =-时，不等式化为()210x +<，此时无解；当2m <-时，21m >-，不等式化为2(1)0x x m ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭， 解得21x m-<<； 综上，0m =时，不等式的解集是{}1x x <-；0m >时，不等式的解集是{|1x x <-或2x m ⎫>⎬⎭； 20m -<<时，不等式的解集是21x x m ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭； 2m =-时，不等式无解；2m <-时，不等式的解集是21x x m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. 例3．已知不等式()20ax a b x b -++>（1）若不等式的解集为{|1x x <或}x b >，求实数a 的值；（2）若2b =，解该不等式.解：（1）因为不等式()20ax a b x b -++>的解集为{|1x x <或}x b >，所以1x =和x b =是方程()20ax a b x b -++=的两个根， 由根与系数关系得11a b b a b b a +⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得1a =； （2）当2b =时，不等式为()2220ax a x -++>，当0a =时，不等式为220x -+>，可得：1x <；当0a ≠时，不等式可化为()()210ax x -->，方程()2220ax a x -++=的两根为11x =，22x a=， 当0a <时，可得：21x a <<； 当0a >时， ①当21a <时，即2a >时，可得：1x >或2x a <； ②当21a 即2a =时，可得：1x ≠；③当21>a，即02a <<时，可得1x <或2x a >； 综上：当0a <时，不等式解集为21x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭； 当0a =时，不等式解集为{}1x x <；当02a <<时，不等式解集为{|1x x <或2x a ⎫>⎬⎭； 当2a =时，不等式解集为{}1x x ≠；当2a >时，不等式解集为{1x x 或2x a ⎫<⎬⎭. 例4．（1）当5a =-时，求不等式2320ax x ++>的解集；（2）求关于x 的不等式2321ax x ax ++>--（其中0a >）的解集.解（1）由题意，当5a =-时，不等式2320ax x ++>，即为25320x x -++>，可得()()1520x x -+<，所以原不等式的解集为2,15⎛⎫- ⎪⎝⎭. （2）不等式2321ax x ax ++>--可化为()2330ax a x +++>，即()()310ax x ++>，即()310x x a ⎛⎫++> ⎪⎝⎭， 当0<<3a 时，31a -<-，不等式的解集为()3,1,a ⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭； 当3a =时，31a-=-，不等式的解集为()(),11,-∞--+∞； 当3a >时，31a ->-，不等式的解集为()3,1,a ⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭， 综上所述，原不等式解集为①当0<<3a 时，()3,1,a ⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭； ②当3a =时，()(),11,-∞--+∞；③当3a >时，()3,1,a ⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭. 例5．解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0.解： 原不等式可化为(x －a)(x －a 2)>0.则方程x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3＝0的两根为x 1＝a ，x 2＝a 2，由a 2－a ＝a(a －1)可知，(1)当a<0或a>1时，a 2>a.∴原不等式的解为x>a 2或x<a.(2)当0<a<1时，a 2<a ，∴原不等的解为x>a 或x<a 2.(3)当a ＝0时，原不等式为x 2>0，∴x ≠0.(4)当a ＝1时，原不等式为(x －1)2>0，∴x ≠1.综上可知：当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a 或x>a 2}；当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a 2或x>a}；当a ＝0时，原不等式的解集为{x|x ≠0}；当a ＝1时，原不等式的解集为{x|x ≠1}．类型二：二次不等式恒成立求参数范围问题二次不等式ax 2＋bx ＋c>0(a ≠0)恒成立两种解法①最小值大于0②图像始终位于x 轴上方常见题目又分为R 上恒成立和在给定区间上恒成立解题思路分三类①最值②图像③分离参数后重复1和2（前提参数好分离）例1：函数f(x)＝x 2＋ax ＋3，当x ∈R 时，f(x)≥a 恒成立，求实数a 的取值范围；解法1：设g(x)＝f(x)－a ＝x 2＋ax ＋3－a ，当x ∈R 时，f(x)≥a 恒成立，即g(x)＝x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需且只需Δ＝a 2－4(3－a)≤0，即a 2＋4a －12≤0， 解得－6≤a ≤2，即a 的范围是[－6,2]．解法2：设g(x)＝f(x)－a ＝x 2＋ax ＋3－a ，当x ∈R 时，f(x)≥a 恒成立即g(x)＝x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立， 只需g(x)的最小值2244(3)044ac b a a a ---=≥， 解得－6≤a ≤2，即a 的范围是[－6,2]解法3：分离出a ，2(1)(3)a x x -≥-+当1x =时，易得恒成立；当1x >时， 22(3)(1)2(1)44(12)(1)(1)1x x x a x x x x +-+-+≥-=-=--++---由均值不等式得－6≤a ，同理当1x <时，22(3)(1)2(1)4412(1)(1)1x x x a x x x x +-+-+≤-=-=-+----由均值不等式得a ≤2小结：二次恒成立定义域R 用图像（法一），定义域非R 用最值（法二）分参数容易就用法3变式练习一、解答题例2．已知2(1)1y m x mx =+-+.（1）当5m =时，求不等式0y >的解集；（2）若不等式0y >的解集为R ，求实数m 的取值范围.解：（1）当5m =时，2651y x x =-+，不等式0y >即26510x x -+>，即()()31210x x -->， 故不等式的解集为13x x ⎧<⎨⎩或12x ⎫>⎬⎭； （2）由题意得2(1)10m x mx +-+>的解集为R ，当10m +=时，该不等式的解集为{}1x x >-，不符合题意，舍去；当10m +≠时，根据二次函数图象特征知，开口向上且∆<0，即()210410m m m +>⎧⎨-+<⎩，解得22m -<+综上所述，实数m 的取值范围是{22m m -<+.例3．设a 为实数，若关于x 的不等式220x ax a -->恒成立，求a 的取值范围.因为关于x 的不等式220x ax a -->恒成立，故二次函数22y x ax a =--的判别式即280a a +<，解得()8,0a ∈-.例4．已知二次函数()()21f x kx k x k =--+.若关于x 的不等式()0f x <的解集为R ，求实数k 的取值范围.解：因为()0f x <的解集为R ，所以()210kx k x k --+<，对x ∈R 恒成立,由二次函数知识得00k <⎧⎨∆<⎩，即()220140k k k <⎧⎪⎨--<⎪⎩， 解得1k <-.例5．已知不等式2364ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >．（1）求a 、b 的值；（2）m 为何值时，230ax mx ++≥的解集为R ？（3）解不等式()20ax ac b x bc -++<．解：（1）由题意知，1和b 是方程2320ax x -+=的两根，则320a -+=，得1a =，方程为2320x x -+=，由韦达定理可得12b ⨯=，解得2b =；（2）由题意可知，关于x 的不等式230x mx ++≥的解集为R ，所以，2120m ∆=-≤，解得m -≤（3）不等式()20ax ac b x bc -++<，即为()2220x c x c -++<，即()()20x x c --<．①当2>c 时，原不等式的解集为{}2x x c <<；②当2c <时，原不等式的解集为{}2x c x <<；③当2c =时，原不等式无解．综上知，当2>c 时，原不等式的解集为{}2x x c <<；当2c <时，原不等式的解集为{}2x c x <<；当2c =时，原不等式的解集为∅．例6．已知y ＝x 2＋ax ＋3－a ，若－2≤x ≤2，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，求a 的取值范围． 解：设函数y ＝x 2＋ax ＋3－a 在－2≤x ≤2时的最小值为关于a 的一次函数，设为g(a)，则当对称轴x ＝－2a <－2，即a>4时，g(a)＝(－2)2＋(－2)a ＋3－a ＝7－3a ≥0，解得a ≤73，与a>4矛盾，不符合题意．当－2≤－2a ≤2，即－4≤a ≤4时，g(a)＝3－a －24a ≥0，解得－6≤a ≤2，此时－4≤a ≤2. 当－2a >2，即a<－4时，g(a)＝22＋2a ＋3－a ＝7＋a ≥0，解得a ≥－7，此时－7≤a<－4. 综上，a 的取值范围为－7≤a ≤2.例7．（1）解关于x 的不等式()()22442x a x a a R -++≤-∈.（2）若14x <≤时，不等式()2241x a x a -++≥--恒成立，求实数a 的取值范围.解解：（1）因为2(2)442x a x a -++-，即2(2)20x a x a -++，所以()(2)0x a x --，当2a <时，2a x ，当2a =时，2x =，当2a >时，2x a ．综上所述，当2a <时，不等式的解为{|2}x a x ，当2a =时，不等式的解为{|2}x x =，当2a >时，不等式的解为{|2}x x a ．（2）对于任意的14x <≤，()2241x a x a -++≥--恒成立，即2(2)50x a x a -+++恒成立，对任意的14x <≤，2(1)25a x x x --+恒成立，当14x <时，2254(1)11x x a x x x -+=-+--恒成立， 因为14x <时，所以013x <-，所以4(1)2(1)41x x x -+--，当且仅当411x x -=-，即3x =时等号成立， 所以4a ≤，所以实数a 的取值范围为(],4-∞．例8．已知函数2()(1)f x x a x a =-++．（1）当2a =时，求关于x 的不等式()0f x >的解集；（2）求关于x 的不等式()0f x <的解集；（3）若()20f x x +≥在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．解析：（1）当2a =时，则2()32f x x x =-+，由()0f x >，得2320x x -+>，令2320x x -+=，解得1x =，或2x =∴原不等式的解集为(-∞，1)(2⋃，)+∞（2）由()0f x <得1(0)()x a x --<，令()(1)0x a x --=，得1x a =，21x = ；当1a >时，原不等式的解集为(1,)a ；当1a =时，原不等式的解集为∅；当1a <时，原不等式的解集为(,1)a ；（2）由()20f x x +即20x ax x a -++在(1,)+∞上恒成立，得21x x a x +≤-令1(0)t x t =->， 则22(1)1232231x x t t t x t t++++==+++-， ∴223a +故实数a 的取值范围是(,3-∞⎤⎦例9．已知关于x 的不等式210ax x a -+-≤．（1）当a ∈R 时，解关于x 的不等式；（2）当[]2,3a ∈时，不等式210ax x a -+-≤恒成立，求x 的取值范围．解：（1）不等式210ax x a -+-≤可化为()()110x ax a -+-≤，当0a =时，不等式化为10x -≥，解得1≥x ，当0a <时，不等式化为()110a x x a -⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭， 解得1a x a-≤，或1≥x ； 当0a >时，不等式化为()110a x x a -⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭； ①102a <<时，11a a ->，解不等式得11a x a -≤≤， ②12a =时，11a a -=，解不等式得1x =， ③12a >时，11a a -<，解不等式得11a x a-≤≤． 综上，当0a =时，不等式的解集为{|1}x x ≥， 当0a <时，不等式的解集为{1|a x x a -≤或1}x ≥， 102a <<时，不等式的解集为1{|1}a x x a-≤≤， 12a =时，不等式的解集为{}|1x x =， 12a >时，不等式的解集为1{|}1a ax x ≤≤-． （2）由题意不等式210ax x a -+-≤对[]2,3a ∈恒成立，可设()()()211f a x a x =-+-+，[]2,3a ∈，则()f a 是关于a 的一次函数，要使题意成立只需：()()222021030320f x x f x x ⎧≤⎧--≤⎪⇒⎨⎨≤--≤⎪⎩⎩， 解得：112x -≤≤， 所以x 的取值范围是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 例10．（1）当1≤x ≤2时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，求实数m 的取值范围．（2）对任意－1≤x ≤1，函数y ＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值恒大于0，求a 的取值范围． 解：（1）令y ＝x 2＋mx ＋4．∵y<0在1≤x ≤2上恒成立．∴y ＝0的根一个小于1，另一个大于2．如图所示：可得504240m m +<⎧⎨++<⎩，∴m 的取值范围是{m|m<－5}． （2）∵x 2＋(a －4)x ＋4－2a>0恒成立，即x 2＋ax －4x ＋4－2a>0恒成立．∴(x －2)·a>－x 2＋4x －4.∵－1≤x ≤1，∴x －2<0．∴()22244222x x x a x x x --+-<=-=---. 令y ＝2－x ，则当－1≤x ≤1时，y 的最小值为1，∴a<1．故a 的取值范围为{a|a<1}． 类型三：分式，高次不等式的解法分式不等式：此类不等式求解，要先移项通分化为f x g x >0(或f x g x<0)的形式，再等价转化为整式不等式，特别的如果分母的正负容易判断，则可两边同乘以分母化正式例题1 解下列不等式：(1)3x －22x ＋1>0； (2)x ＋12－x≥3. ．[解析] (1)3x －22x ＋1>0⇔(3x －2)(2x ＋1)>0⇔{x|x>23或x<－12}．(2)x ＋12－x ≥3⇔x ＋12－x －3≥0⇔4x －52－x ≥0⇔4x －5x －2≤0， ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 4x －5x －2≤0x －2≠0⇔{x|54≤x<2}． ∴原不等式的解集为{x|54≤x<2}． 例2解下列不等式：(1)x ＋1x －3≥0；(2)5x ＋1x ＋1<3. [解析] (1)不等式x ＋1x －3≥0可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1x －3≥0x －3≠0，∴x ≤－1或x>3.∴原不等式的解集为{x|x ≤－1或x>3}．(2)不等式5x ＋1x ＋1<3可化为5x ＋1x ＋1－3<0， 即2x －1x ＋1<0，∴2(x －1)(x ＋1)<0， ∴－1<x<1.∴原不等式的解集为{x|－1<x<1}．简单高次不等式解法：把分式不等式转化为高次整式不等式，然后用“穿根法”求解 例题3：解下列不等式：(1)x 2＋2x 3－x ≥0； (2)2x 2－5x ＋13x 2－7x ＋2≤1. -[解析] (1)原不等式⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x 3－x ≥03－x ≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x x ＋2x －3≤0，①x －3≠0.②将①式的三个根－2,0,3在数轴上标出来，然后用一条曲线穿根(从最大的根右上方穿起)，如图所示，①式的解为x ≤－2，或0≤x ≤3.由②式知x ≠3，∴原不等式的解为{x|x ≤－2，或0≤x<3}．(2)2x 2－5x ＋13x 2－7x ＋2≤1⇔2x 2－5x ＋1－3x 2＋7x －23x 2－7x ＋2≤0⇔－x 2＋2x －13x 2－7x ＋2≤0⇔x 2－2x ＋13x 2－7x ＋2≥0⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧ x －123x －1x －2≥0，①3x －1x －2≠0.②①式中三个根为13，1,2，其中1为二重根．由图知，①式的解为x ≤13，或x ≥2，或x ＝1.由②式知x ≠13，且x ≠2， ∴原不等式的解为{x|x<13，或x>2，或x ＝1}． 『规律总结』 穿根法求高次不等式的解集：(1)求解过程概括为：化正⇒求根⇒标根⇒穿根⇒写集(注意端点值能否取到)． (2)“化正”指不等式中未知数最高项的系数为正值．(3)奇(奇次根)过，偶(偶次根)返回．例4：不等式：x(x －1)2(x ＋1)3(x －2)>0的解集为__{x|－1<x<0，或x>2}__.[解析] 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x x ＋1x －2>0x －1≠0 ⇔⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x<0，或x>2x ≠1⇔－1<x<0，或x>2.∴原不等式的解集为{x|－1<x<0，或x>2}．例5：已知集合631x M x x +⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，2324850221x x N x x x x ⎧⎫--=≤⎨⎬-+-⎩⎭，求M N ⋃，（∁R M ）∩N ． 解：由631x x +≥+得，2301x x -≤+，则312x -≤＜，即312M x x ⎧⎫=-≤⎨⎬⎩⎭＜； 由2324850221x x x x x --≤-+-得，()()()()22125011x x x x x +-≤--+，则12x ≤-或512x ＜≤， 即15122N x x x ⎧⎫=≤-≤⎨⎬⎩⎭或＜； ∴52M N x x ⎧⎫⋃=≤⎨⎬⎩⎭，312R C M x x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭或＞，()35122R C M N x x x ⎧⎫⋂=≤-≤⎨⎬⎩⎭或＜． 例6：解关于x 的不等式11ax a x +≤+. 21(1)110ax a x ax a x x-+++≤+⇔≤ 即(1)(1)0ax x x--≤等价于(1)(1)00ax x x x --≤⎧⎨≠⎩1.0a =时，即()[)(1)0,01,0x x x x -≥⎧⇒∈-∞⋃+∞⎨≠⎩2.0a ≠时，三次不等式对应的方程的三个根分别为0，1和1a ； ⑴0a <时，利用数轴标根法，大致图像为：[)1,01,x a ⎡⎫∴∈+∞⎪⎢⎣⎭；⑵0a >时，草图为：需要判断1a 和1的大小①01a <<时，解集为()1,01,a ⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦； ②1a =时，解集为(){},01-∞；③1a >时，解集为()1,0,1a ⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦. 综上：①0a <时，解集为[)1,01,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭； ②0a =时，解集为()[),01,-∞+∞；③01a <<时，解集为()1,01,a ⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦； ④1a =时，解集为(){},01-∞；⑤1a >时，解集为()1,0,1a ⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦.例7．解关于x 的不等式()2201x x a R ax -->∈-. 由原不等式可得()()1201x x ax +->-，所以 ()()()1120ax x x -+-> 当0a =时，不等式的解集为：12x -<<；当0a ≠时，方程()()()1120ax x x -+-=解为：1x a=，1-，2； 当0a <时：()()1120x x x a ⎛⎫-+-< ⎪⎝⎭ ①11a <-，10a -<<时，其解集为：()1,1,2a ⎛⎫-∞⋃- ⎪⎝⎭ ②11a=-，1a =-时，其解集为：()(),11,2-∞-⋃- ③110a -<<，1a <-时，其解集为()1,1,2a ⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭当0a >时：()()1120x x x a ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭ ①12a >，102a <<时，其解集为：()11,2,a ⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭②12a=，12a =时，其解集为：()()1,22,-+∞ ③102a <<，12a >时，其解集为()11,2,a ⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭。

含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按X 2项的系数a 的符号分类，即a 〉0,a=0,a<0; 例1解不等式： ax 2a 2x 1 0分析：本题二次项系数含有参数， A=(a +2f_ 4a = a 2+4》0,故只需对二次项系数进行分类讨论。

解：•, A = (a +2 2 —4a = a 2+4》0 解得方程 ax 2 +(a +2 X +1=0 两根为=—'—2；；京*4, X2 = -'-2*带 八心 臣”兀 —a -2 +而2 +4 y _a -2 - da 2 +4 .•当 a 》0时,解集为』x | x > ----------------------- 或x < ---------------------2a 2a当a =0时，不等式为2x+1》0，解集为』x|x 〉；？— a —2+y a 2+4_a_2_Ja 2+4当a<0时，解集为Jx|一 <x <一 .2例2解不等式ax —5ax + 6a 》0(a 孝0 )分析 因为a #0 , A >0,所以我们只要讨论二次项系数的正负。

解a(x 2 -5x 6) = a x - 2 x -3 )〉0,二当a a 0时，解集为<x | x < 2或x a 3"当a < 0时，解集为 k | 2 <x < 3}2、(1 — ax )2<1.【解】 由(1 - ax)2<1 得 a 2x 2 - 2ax+ 1<1.即 ax(ax —2)<0. (1)当a=0时，不等式转化为0<0,故原不 等式无解.(2)当a<0时，不等式转化为 x(ax 一2)>0,2即 x(x — )<0.a2<0 , 不等式的解集为 {x|2aa<x<0}.变式：解关于x 的不等式1、(x —2)(ax —2) A0 ; ⑴当a ：：：0时,{x|2:::x<2} a(2) 当 a =0 时,{x|x =:: 2)2 (3) 当0 <a C 1 时,{ x| x <2,或xA —)a (4) 当a =1 时,{x | x =2) 2工(5) 当a A 1 时,{x | x 〈一,或x A2)a(3)当a>0时，不等式转化为 x(ax — 2)<0 ,一 2 又>0, a2...不等式的解集为{x|0<x<a }.综上所述：当a= 0时，不等式解集为 空集；2 当a<0时，不等式解集为{x|2<x<0}; a2当a>0时，不等式解集为{x|0<x< }.a二、按判别式 △的符号分类，即 A A 0,A=0,A<0; 例3解不等式x 2 +ax +4>0分析 本题中由于x 2的系数大于0,故只需考虑△与根的情况。

含参一元二次不等式的解法步骤嘿，咱今儿来唠唠含参一元二次不等式的解法步骤哈！这玩意儿就像是个小怪兽，咱得一步步把它给搞定咯！先看看这不等式长啥样，ax²+bx+c＞0 或者 ax²+bx+c＜0 这样的。

那第一步呢，就是得确定这个二次项系数 a 是正还是负呀。

这就好比你要去一个地方，得先搞清楚方向不是？要是 a 是正的，那图像就是个开口向上的抛物线；要是 a 是负的，那就是开口向下咯。

接下来呢，咱就得看看判别式Δ=b²-4ac 啦。

这判别式可重要了去了，就像给这个小怪兽做个体检一样。

要是Δ＞0，那就说明有两个不同的根；要是Δ=0，那就只有一个根；要是Δ＜0，嘿，那可就没根啦！这是不是有点像找宝藏，有的地方有两个宝贝，有的地方就一个，有的地方干脆啥都没有。

然后呢，根据根的情况来求解不等式。

要是有两个根 x1 和 x2，那大于取两边，小于取中间呀。

这就好比你走在路上，两边都能走就是大于，只能在中间走就是小于。

要是只有一个根，那也好办呀，根据不等式的方向来判断。

要是没根呢，那就得看看具体情况咯。

哎呀，你说这解个不等式咋就这么麻烦呢？不过别怕呀，咱就一步一步来，总能把它给解开的。

就像爬山一样，一步一步往上爬，总能爬到山顶的。

举个例子呗，比如说 x²-2x-3＞0。

先看 a 是 1 正的，好嘞，开口向上。

再算判别式，4+12=16＞0，有两个根。

解方程 x²-2x-3=0，得到x=3 或者 x=-1。

那大于取两边，不就是 x＜-1 或者 x＞3 嘛。

你看，这不就解出来啦！解含参一元二次不等式就是这么个过程，虽然有点麻烦，但只要咱有耐心，有细心，就一定能把它搞定！别嫌它难呀，等你掌握了，那感觉可老有成就感了。

加油吧，小伙伴们！咱一定能行！。

【高考地位】解含参一元二次不等式，常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参一元二次不等式问题的一个难点. 在高考中各种题型多以选择题、填空题等出现，其试题难度属中高档题.【方法点评】类型一 根据二次不等式所对应方程的根的大小分类使用情景：一元二次不等式可因式分解类型解题模板：第一步 将所给的一元二次不等式进行因式分解；第二步 比较两根的大小关系并根据其大小进行分类讨论； 第三步 得出结论.例1 解关于的不等式：2(1)10(0)ax a x a ---<<. 【答案】详见解析.考点：解含参的一元二次不等式【点评】解含参的一元二次不等式，第一步先讨论二次项前的系数，此题为0<a ，所以先不讨论，第一步，先将式子分解因式，整理为1()(1)0x x a +->，第二步，ax 11-=，12=x ，讨论两根的大小关系，从而写出解集的形式．【变式演练1】解关于x 的不等式01)1(2>++-x a ax （a 为常数且0≠a ）.【答案】0<a 时不等式的解集为)1,1(a ； 10<<a 时不等式的解集为),1()1,(+∞-∞a；1=a 时不等式的解集为),1()1,(+∞-∞ ；1>a 时不等式的解集为),1()1,(+∞-∞ a.若1>a ，110<<a ，不等式的解集为),1()1,(+∞-∞ a【解析】若1=a ，不等式的解集为),1()1,(+∞-∞ ； 若1>a ，110<<a ，不等式的解集为),1()1,(+∞-∞ a； 考点：1.一元二次不等式的解法；2.含参不等式的解法.【变式演练2】已知0a <，解关于x 的不等式2(2)20ax a x ---<． 【答案】当2a <-时，2{x | x x 1}a＜-或＞；当2a =-时，{}1x x ≠；当20a -<<时，2{x |x 1x }a＜或＞-．【解析】试题分析：先将一元二次不等式用十字相乘法分解因式，可得方程等于0的两根．注意讨论两根的大小，再根据函数图象开口向下，可解得不等式． 试题解析：原式可化为：(2)(1)0ax x +-<方程(2)(1)0ax x +-<的两根为：122,1x x a-== 当2a <-时，∵21a >-，∴其解集为2{x | x x 1}a＜-或＞．当2a =-时，∵21a -=，且原不等式可化为2(1)0x ->，其解集为1x ≠ 当20a -<<时，∵21a ->，∴其解集为2{x |x 1x }a＜或＞-综上所述：当2a <-时，2{x | x x 1}a＜-或＞当2a =-时，{}1x x ≠当20a -<<时，2{x |x 1x }a＜或＞- 考点：一元二次不等式．【变式演练3】已知二次函数2()23f x mx x =--，关于实数的不等式()0f x ≤的解集为[]1,n -．（1）当0a >时，解关于的不等式：21(1)2ax n m x ax ++>++；（2）是否存在实数(0,1)a ∈，使得关于的函数1()3x x y f a a +=-（[]1,2x ∈）的最小值为5-？若存在，求实数的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）当01a <≤时，原不等式的解集为2|2x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或；当1a >时，原不等式的解集为2|2x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或．（2）512a -= 【解析】试题分析：（1）由二次不等式解集与二次方程根的关系得：2230mx x --=的两根为1-和，且0m >，从而21,3(1),n mn m ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=-⎪⎩，解得1,3.m n =⎧⎨=⎩，再化简不等式，因式分解：(2)(2)0x ax -->，最后根据两根2与2a大小关系，分三种情况讨论不等式解集（2）先化简函数，为一元二次函数12()3(32)3xx x x y f a aa a a +=-=-+-2(32)3t a t =-+-，其中2a t a ≤≤，再根据对称轴与定义区间位置关系研究函数最小值：因为322a a +<，所以当t a =时，y 取最小值。

含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，往常状况下，均需分类议论，那么怎样议论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按 x2项的系数 a 的符号分类，即a0, a 0, a0 ;例 1解不等式： ax 2 a 2 x10剖析：此题二次项系数含有参数，a 2 24a a240 ，故只需对二次项系数进行分类议论。

解：∵a 2 24a a 2 4 0解得方程ax2a 2 x10 两根 x1a2 a 24, x2a2a242a2a∴当 a0 时,解集为x | x a2a24或 x a2a242a2a当 a0时，不等式为2x10 ,解集为x | x 1 2当 a0时 , 解集为x |a2 a 24xa2 a 24 2a2a例 2解不等式 ax 25ax6a0 a0剖析因为 a0，0，因此我们只需议论二次项系数的正负。

解a(x 25x 6) a x 2 x 3 0当 a 0时，解集为x | x 2或x3；当 a0 时，解集为x | 2x3二、按鉴别式的符号分类，即0,0,0 ；例 3解不等式 x 2ax 4 0剖析此题中因为x2的系数大于0,故只需考虑与根的状况。

解：∵ a 216∴当 a4,4 即0 时，解集为 R ；当a 4即＝ 0 时，解集为且a；x x R x2当 a 4 或 a 4 即0 ,此时两根分别为x1a a 216aa216x2, 2， x22，明显 x1∴不等式的解集为x x a a216 或x〈 a a 2 1622例 4解不等式 m2 1 x24x10 m R解因 m2 1 0,( 4) 2 4 m 2 1 4 3 m2因此当 m 3 ，即0 时，解集为x | x 1；2当3m 3 ，即0时，解集为x x 2 3m2或x〈23m2；m21m21当 m3或m 3 ，即0 时，解集为R。

三、按方程ax2bx c0的根 x1, x2的大小来分类，即x1 x2 , x1x2 , x1x2；例 5解不等式 x 2(a1) x 1 0 (a0)a剖析：此不等式能够分解为：x a (x1 ) 0，故对应的方程必有两解。