27.3 用推理方法研究四边形(3)(正方形)

27.３用推理方法研究四边形(4)第4课时（一）本课目标1．掌握等腰梯形的性质定理、判定定理的证明方法．2．通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，•使学生体会图形变换的方法和转化的思想．（二）教学流程1．情境导入请同学们动手操作，判断“有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形”，这句话对吗？如果对，怎样证明？如果不对，画出反例图形．2．课前热身将全班学生分成几个小组进行探索，得出结论：这句话不正确，因为满足条件的四边形除了平行四边形外，还可能是等腰梯形．3．合作探究（1）整体感知等腰梯形是特殊的梯形，除了定义中提出的两腰相等之外，它还有同一底边上的两个底角相等及两条对角线相等的重要性质．下面就来证明．（2）四边互动互动1师：如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，求证：∠B=∠C．待证的结论让我们联想到了什么？E DCBA生：等腰三角形两底角相等．师：很好．如果能将等腰梯形在同一底上的两个角转化为等腰三角形的两个底角，问题就容易解决了．考虑到条件中的AB=DC，我们可以采用“平移腰”的方法，•即过D作DE∥AB，交BC于E．生：（教师指导学生写出证明过程）师：证出∠B=∠C，可以通过“等角的补角相等”证得∠BAD=∠CDA．（板书）定理：等腰梯形同一底边上的两个内角相等．明确“平移腰”将梯形问题转化成平行四边形及三角形来解．互动2师：如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC．求证：AC=BD.EDBA为了证明AC=BD ，可以过D 作DE ∥AC ，交BC 延长线于E ，只须证BD=DE 即可． 生：（教师指导学生利用已证出的性质定理结合全等三角形加以证明）．师：（板书）定理：等腰梯形的两条对角线相等．明确 “平移对角线”使两条对角线在同一个三角形中．互动3师：如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=∠C ．求证：四边形ABCD 是等腰梯形． F E DCB A我们学过“如果一个三角形中有两个角相等，那么它们所对应的边相等．”因此，我们只要能将梯形同一底边上的两个角转化为等腰三角形的两个底角，就容易证明了． 生：（教师引导学生阅读课本第53页）师：（利用多媒体课件出示另两种证法）．① 如图所示，作高AE 、DF ，通过证Rt △ABE ≌Rt △DCF ，证出AB=DC ．②如图所示，分别延长BA 、CD 交于点E ，则△EAD 与△EBC 都是等腰三角形，可得AB=DC ．EDCBA（板书）定理：同一底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形．明确 “作高”使两腰在两个直角三角形中，“延长两腰到相交”构造具有公共角的两个等腰三角形．互动4师：如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC=BD ．求证：四边形ABCD•是等腰梯形．DC B A同学们选择一种辅助线证明．生：（教师鼓励学生用多种方法证明）师：（板书）定理：两条对角线相等的梯形是等腰梯形．明确 梯形中常用辅助线要灵活运用．4．达标反馈（1）判断题①一组对边平行且不相等的四边形是梯形． （∨）②有一组对角互补的梯形是等腰梯形． （∨）③一组对边平等而另一组对边相等的四边形是等腰梯形．（×）④两底角相等的梯形是等腰梯形． （∨）（2）填空题①等腰梯形上、下底分别为4cm 和10cm ，从上底的一个端点作梯形的高，•这条高把下底分成 3cm ，7cm 两部分．②等腰梯形ABCD 的两条对角线互相垂直，上、下底分别为a 、b ，则它的高等于2a b 。

用推理方法研究四边形(3)知识技能目标1.掌握菱形的性质，会用推理的方法证明一个四边形是菱形；2.能运用菱形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算．过程性目标经历探索菱形有关性质与判定条件的过程，在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯．教学过程一、创设情景教师出示教具：“一个活动的平行四边形木框”，用两根橡皮筋分别套在相邻的两个顶点上．平行移动另一对相邻的顶点B 、C ，立即改变平行四边形的形状． CBD A 1学生思考如下问题：(1)无论BC 平行移到什么位置，四边形ABCD 还是平行四边形吗？(2)当BC 移动什么位置时，这个平行四边形就变成一个特殊的平行四边形——菱形？这时两条对角线有什么位置关系？二、探究归纳我们知道菱形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的性质，而且还具有一些特殊的性质．根据菱形的定义，菱形是平行四边形，且有一组邻边相等，从而可得：定理菱形的四条边都相等．由问题(2)我们还知道定理 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．会用推理的方法证明吗？已知：如图，四边形ABCD 是菱形．求证：AC ⊥BD ；AC 平分∠DAB ，CA 平分∠BCD ，BD 平分∠ABC ，DB 平分∠CDA ．图27.3.5分析要证AC⊥BD，AC平分∠DAB，只要证明△DAB是等腰三角形，且AC平分BD．证明设对角线AC与BD交于点O．因为四边形ABCD是菱形，故AB＝AD，即△ABD为等腰三角形．又BO＝DO（平行四边形的对角线互相平分），所以AC⊥BD，AC平分∠DAB（等腰三角形的三线合一）．同理，CA平分∠BCD，BD平分∠ABC，DB平分∠CDA．要判定一个四边形是不是菱形，除了利用菱形的定义直接判定外，还有如下的判定定理：定理四条边相等的四边形是菱形思考根据对角线之间的关系能否判定一个平行四边形是菱形呢？再看上面一个活动的平行四边形木框,保持内角大小不变，仅改变边的大小，观察对角线的变化，当对角线具有什么性质时，平行四边形变为菱形？定理对角线互相垂直的平行四边形是菱形三、实践应用例1 如图，在菱形ABCD中，M是AB的中点，且DM⊥AB，则ΔABD是什么三角形?ACDBM解连结BD．因为四边形ABCD是菱形，所以AD＝AB．又因为DM⊥AB, M是AB的中点，所以DM垂直平分AB．所以AD＝BD，所以AD＝BD＝AB．所以ΔABD是等边三角形．例2 如图，AD是ΔABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DE∥BA交AC于F．猜想AD与EF 是什么关系?FBCADE解因为DE∥BA，DE∥AC．所以四边形AEFD为平行四边形，又因为AD是ΔABC的角平分线，所以∠EAD＝∠FAD．因为DE∥AC，所以∠FAD＝∠ADE．所以∠EAD＝∠ADE．所以ED＝EA．所以平行四边形AEFD为菱形．所以AD⊥EF，且AD与EF相互平分．四、交流反馈1.菱形的性质：(1)菱形具有平行四边形的一切性质；(2)菱形的四条边都相等；(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．2.菱形的判定：(1)四条边相等的四边形是菱形；(2)有一组邻边相等平行四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．五、检测反馈1.有一条对角线平分一个内角的平行四边形是否是菱形？如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例．2.如图，O是菱形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED是矩形．。

27.３用推理方法研究四边形(5)第5课时（一）本课目标1．理解三角形、梯形中位线的概念．2．掌握三角形、梯形中位线定理的证明方法．3．能熟练运用定理进行有关论证和计算．1．情境导入如图所示，A、B两点被池塘隔开，如何才能知道它们之间的距离呢？2．课前热身如图所示，在AB外选一点C，连结AC和BC，并分别找出AC和BC的中点M、N，通过测量MN就可以计算出A、B两点的距离，这是为什么呢？这里的MN是△ABC的中位线，它有着特殊性质，这正是我们这节课要学习的内容． 3．合作探究（1）整体感知（板书）连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线．要注意：①中位线与中线这两个概念的区别．②三角形有几条中位线？梯形也有中位线，它又是怎样定义的呢？（板书）连结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线．梯形有几条中位线？（2）四边互动互动1师：下面我们来探索三角形中位线的性质．如图所示，在△ABC中，AD=DB，AE=EC．求证：DE∥BC，DE=12 BC．要证明线段平行，有哪些途径？要证明线段有倍分关系，又有哪些方法？生：利用角相等，全等三角形或平行四边形的性质可证明线段平行；•利用加位或取半可证明线段的倍分关系．师：可以延长DE到F，使EF=DE，连结FG，证出△ADE≌△CFE，•从而证出四边形BCFD是平行四边形，则有DE∥BC且DE=12 BC．生：（教师指导学生写出证明过程）师：（板书）三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半．这个定理的证明还有其他方法，同学们课外完成．明确总结定理的证明思路，体会解决问题的一般途径，并熟记定理内容加以运用．互动2师：与三角形中位线类似，梯形中位线也有它的特殊性质．已知：如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE=BE，DF=CF．求证：EF∥BC，EF=12（AD+BC）．GFEDCBA经过分析、比较，发现本题结论与三角形中位线定理的结论比较接近，可以考虑将梯形中位线转化为三角形中位线．生：连结AF并延长交BC延长线于G，先证明△ADF≌△GCF，从而得到EF为△ABG的中位线即可．师：很好，请同学们按这个思路写出证明过程．生：（教师指导学生完成）师：（板书）梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．学习这个定理之后，梯形面积公式可以怎样改定？生：S=12（a+b ）h=Lh （其中a 、b 为两底，h 为高，L 为中位线） 明确 把握定理的特点：同一题设下两个结论，一是中位线与底的位置关系，•二是中位线与底的数量关系．互动3师：刚才我们比较了三角形的中位线与梯形的中位线，现在来探索三角形的中位线与第三边上的中线有何关系？已知：如图所示，在△ABC 中，AD=DB ，BE=EC ，AF=FC ．求证：AE 、DF 互相平分．FE D C B A要证AE 、DF 互相平分，可通过连结DE 、EF ，证明四边形ADEF 为平行四边形． 生：（教师引导学生完成证明过程）明确 利用三角形、梯形中位线定理可以证明两线的平行关系也可找到线段的数量关系．4．达标反馈（1）填空题①已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE=14AB ，DF=14CD ，若AD=10，BC=14，则EF= 11 ． ②连结△ABC 各边中点所得的三角形周长为9cm ，则△ABC 的周长为 18cm ．③梯形中位线被它的两条对角线分成三部分，长度比为2：3：2，中位线长为21cm ，则它的两底为 12cm ，30cm ．（2）证明题①如图所示，在△ABC 中，M 是BC 中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN ，若AB=14，AC ？=19，求证：MN=52． NB A（提示：延长BN 交AC 于D ，则AD=AB 所以MN=12CD=12（AC-AB ）=52） ②如图所示，E 、F 、G 、H 分别为凸四边形ABCD 各边的中点．1°求证：四边形EFGH 为平行四边形．2°当四边形ABCD 满足什么条件时，四边形EFGH 为矩形？为菱形？为正方形？H GE D C A（提示？：连结AC ，BD 即可）5．学习小结（1）引导学生作知识总结：三角形、梯形中位线的概念，中位线定理的证明，同？时运用定理证明有关两线平行及线段数量关系的问题．（2）•教师扩展：中点四边形的一系列结论及推导是三角形中位线定理的典型应？用．（三）延伸拓展1．链接生活你能将一个三角形纸片剪成四个全等的小三角形吗？2．巩固练习（1）如图所示，在△ABC 中，D 、G 分别为AB 、AC 上的点，且BD=CG ，M 、N 分别？是BG 、CD 中点，过MN 的直线交AB 于P ，交AC 于Q ，求证：AP=AQ ．Q G PN M DC B A（提示：取BC 中点H ，连结MH ，NH ，由中位线性质可知MH=12CG ，NH=12BD ，则MH=NH ，所以∠？HMN=∠HNM ，又因为∠APQ=∠HNM ，∠AQP=∠HMN ，则∠APQ=∠AQP ，则AP=AQ ）（2）如图所示，△ABC 中，D 是BC 的中点，M 是AD 的中点，CP 过点M 交AB 于P ，求证：3AP=AB ．P MD B A（提示：取CP 中点Q ，连结DQ ，易证DQ=AP=12BP ） （3）已知：如图所示，L 为△ABC 外一直线，D 、E 、F•分别是三边的中点，AA 1⊥L ，FF 1⊥L ，DD 1⊥L ，EE 1⊥L ，A 1，F 1，D 1，E 1分别为垂足．求证：AA 1+EE 1=FF 1+DD1（提示：作BB 1⊥L 于B 1 CC 1⊥L 于C 1，利用AA 1+CC 1=2FF 1，AA 1+BB 1=2DD 1）（四）板书设计。

利用正方形的性质探索线段的数量关系正方形是一种特殊的四边形，它里面隐含着许多的线段之间的关系，历年中考题总会出现有关利用正方形的性质探索线段的数量关系问题，求解时只要我们能充分利用正方形的特性，结合图形大胆的探索、归纳、验证即可使问题获解.例1如图1，四边形ABCD是正方形, 点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.（1）求证：DE－BF = EF.（2）当点G为BC边中点时, 试探究线段EF与GF之间的数量关系，并说明理由.（3）若点G为CB延长线上一点，其余条件不变.请你在图2中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）.分析：（1）考查正方形的性质及全等三角形的判定及性质，找出图中全等的直角三角形，得两线段的差等于某条线段，（2）利用相似找三角形的性质，然后根据对应边成比例来到处两线段的倍数关系，从而使问题获解.证明：（1）∵ 四边形ABCD是正方形, BF⊥AG , DE⊥AG∴ DA=AB，∠BAF+ ∠DAE= ∠DAE+ ∠ADE= 90°∴ ∠BAF= ∠ADE∴ △ABF≌ △DAE∴ BF = AE , AF = DE∴ DE－BF = AF－AE = EF（2）EF = 2FG理由如下：∵ AB⊥BC , BF⊥AG , AB =2 BG∴ △AFB∽△BFG∽△ABG∴2===FGBF BF AF BF AB ∴ AF = 2BF , BF = 2 FG由（1）知, AE = BF ，∴ EF = BF = 2 FG（3） 如图3DE + BF = EF评注：正方形是有一个角是直角的菱形；正方形又是对角线相互垂直的矩形；正方形是中心对称对称图形，也是轴对称图形.正方形的对角线分其四个全等的等腰直角三角形.例2已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG .（1）求证：EG =CG ；（2）将图4中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图5所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG .问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.（3）将图4中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图6所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）分析：要猜想EG 与CG 之间的大小关系，由正方形的图形特征，可以先证CG= FD ，进而可以利用G 为DF 中点的知识或全等三角形的知识即可验证.解：（1）证明：在Rt△FCD 中，∵G 为DF 的中点，∴ CG= FD.同理，在Rt△DEF 中，EG= FD.∴ CG=EG.（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG.证法一：连接AG ，过G 点作MN⊥AD 于M ，与EF 的延长线交于N 点.D 图4D 图5 图6在△DAG与△DCG中，∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴ △DAG≌△DCG.∴ AG=CG.在△DMG与△FNG中，∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴ △DMG≌△FN G.∴ MG=NG在矩形AENM中，AM=EN.在Rt△AMG 与Rt△ENG中，∵ AM=EN， MG=NG，∴ △AMG≌△ENG.∴ AG=EG.∴ EG=CG.（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG.其他的结论还有:EG⊥CG.评注：求解本题中的问题一定要根据图形的特征，从中找到求解的最佳突破口.要说明两条线段的关系应分别从数量和位置两个方面去考虑，否则就有可能出现错误.。

证明正方形的方法正方形是一种特殊的四边形，具有很多独特的性质和特征。

证明一个图形是正方形的方法可以采用几何证明和数学推理，下面我们将深入探讨这个问题。

首先，我们来定义正方形。

正方形是一种四边形，具有以下特征：四条边相等，四个内角均为直角，对角线相等且互相垂直。

这些特征是正方形的重要特性，也是我们确定一个图形是否为正方形的基础。

证明一个图形是正方形的方法可以通过多种几何证明以及数学推理来完成。

下面我们将逐步论证。

首先，我们可以通过测量四条边的长度来证明一个图形是否为正方形。

如果一个四边形的四条边长度相等，则这个四边形符合正方形的定义。

我们可以使用尺子或者测量工具来测量四条边的长度，如果它们完全相等，则可以确定这个图形是正方形。

其次，我们可以通过测量对角线的长度来证明一个图形是否为正方形。

根据正方形的定义，对角线相等且互相垂直。

因此，我们可以使用测量工具来测量对角线的长度，如果它们完全相等，则可以确定这个图形是正方形。

除了测量边长和对角线长度，我们还可以通过角度的测量来证明一个图形是正方形。

根据正方形的定义，四个内角均为直角，即90度。

我们可以使用角度测量器或者直角尺来测量四个内角的大小，如果它们均为90度，则可以确定这个图形是正方形。

此外，我们还可以通过图形的对称性来证明一个图形是否为正方形。

正方形具有多种对称性，包括旋转对称、轴对称和中心对称。

通过观察图形的对称性，我们可以确定一个图形是否为正方形。

最后，我们可以通过计算图形的面积和周长来证明一个图形是否为正方形。

正方形的面积可以通过边长的平方来计算，周长可以通过四条边的长度相加来计算。

如果一个图形的面积和周长符合正方形的特征，则可以确定这个图形是正方形。

综上所述，证明一个图形是正方形的方法可以通过测量边长、对角线长度、角度、对称性以及计算面积和周长来完成。

这些方法可以通过几何证明和数学推理来确定一个图形是否为正方形，是一种科学严谨的方法。

通过这些方法，我们可以准确地判断一个图形是否为正方形，这对于几何学的学习和实践具有重要意义。

用推理方法研究四边形(4)知识技能目标1.掌握正方形的性质，会用推理的方法证明一个四边形是正方形；2.能运用正方形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算．过程性目标经历探索正方形有关性质与判定条件的过程，在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯．教学过程一．创设情景1.展开活动的衣帽架（如图）．(2)(1)a 90图(1)的α在不断的地变化过程中．这个图形始终是怎样的图形？生答：菱形．老师继续问当α＝90°时，这个图形还是菱形吗？如上图(2)．有的生答：不是，是正方形．有的生答：是，还是菱形，是一个特殊的菱形．最后老师进行评判，并指出：当α＝90°时，这个四边形还是菱形．因为它是邻边相等的平行四边形．但它是特殊的菱形是一个内角为直角的菱形也是正方形．2.展开一边固定对边活动的矩形．将活动的矩形架的CD 边左右移动时，问：图中CD 在移动时，这个图形始终是怎样的图形？（CD 在活动的过程中始终保持与AB 平行）生答：矩形．当CD 移动到C′D′位置，且AC′＝AB 时，此时的图形还是矩形吗？这时生回答：是，是矩形，但它是特殊的矩形，也是正方形．二、探究归纳我们已经知道正方形既是矩形，又是菱形，因此，正方形具有矩形和菱形的所有性质． 定理 正方形的四个角都是直角，四条边都相等．正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角．反之，如果一个四边形既是矩形，又是菱形，那么这个四边形一定是正方形．于是可得：定理 有一个角是直角的菱形是正方形．定理有一组邻边相等的矩形是正方形．三、实践应用例1 求证：依次连结正方形各边中点所成的四边形是正方形．已知：如图27.3.7，在正方形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是正方形．图27.3.7分析 要证四边形EFGH 是正方形，可先证四边形EFGH 是矩形，然后再证有一组邻边相等；也可先证四边形EFGH 是菱形，然后再证有一个角是直角．证明 因为四边形ABCD 是正方形，所以∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝BC ＝CD ．因为点E 、F 、G 分别是AB 、BC 、CD 的中点，所以BE ＝BF ＝CF ＝CG ，∠BEF ＝∠BFE ＝∠CFG ＝∠CGF ＝45°，因此∠EFG ＝90°．同理FGH ＝∠GHE ＝90°．所以四边形EFGH 是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）．因为BE ＝CF ，∠B ＝∠C ，BF ＝CG ，所以△BEF ≌△CFG （S.A.S.），EF ＝FG （全等三角形的对应边相等）．所以四边形EFGH 是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）提问：你能用分析中的第二种方法证明吗？变式应用 如图，已知点A′B′C′D′分别是正方形ABCD 四条边上的点，并且AA′＝BB′＝CC′＝DD′，求证：四边形A′B′C′D′是正方形．BD A CD'C'B'A'分析 证明方法类同上例，请同学们自己完成．四、交流反思1.正方形具有平行四边形的一切性质：两组对边平行且相等，两组对角相等，对角线互相平分；2.正方形具有矩形的一切性质：四个角都是直角，对角线相等；3.正方形具有菱形的一切性质：四条边相等，对角线垂直；4.有一个角是直角的菱形是正方形；5.有一组邻边相等的矩形是正方形．五、检测反馈1.如图，在平行四边形ABCD中，∠1＝∠2＝45°．求证：四边形ABCD是正方形．（第1题）2.尽可能多地说出识别一个四边形为正方形的方法．（说明理由）。

用推理方法研究四边形(3)教学目标：知识技能目标1.掌握菱形的性质，会用推理的方法证明一个四边形是菱形；2.能运用菱形的性质定理和判定定理进行有关的证明和计算．过程性目标经历探索菱形有关性质与判定条件的过程，在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯．教学重点：知识技能目标1、2教学难点：经历探索菱形有关性质与判定条件的过程，在直观操作活动中发展学生的逻辑推理能力和主动探究的习惯．教学过程：(一)情境导入教师出示教具：“一个活动的平行四边形木框”，用两根橡皮筋分别套在相邻的两个顶点上．平行移动另一对相邻的顶点B、C，立即改变平行四边形的形状．学生思考如下问题：(1)无论BC平行移到什么位置，四边形ABCD还是平行四边形吗？(2)当BC移动什么位置时，这个平行四边形就变成一个特殊的平行四边形——菱形？这时两条对角线有什么位置关系？(二)实践与探索1我们知道菱形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的性质，而且还具有一些特殊的性质．根据菱形的定义，菱形是平行四边形，且有一组邻边相等，从而可得：定理菱形的四条边都相等．由问题(2)我们还知道定理菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．会用推理的方法证明吗？已知：如图，四边形ABCD是菱形．分析要证AC⊥BD，AC平分∠DAB，只要证明△DAB是等腰三角形，且AC 平分BD．要判定一个四边形是不是菱形，除了利用菱形的定义直接判定外，还有如下的判定定理：定理四条边相等的四边形是菱形思考根据对角线之间的关系能否判定一个平行四边形是菱形呢？再看上面一个活动的平行四边形木框,保持内角大小不变，仅改变边的大小，观察对角线的变化，当对角线具有什么性质时，平行四边形变为菱形？定理对角线互相垂直的平行四边形是菱形已知：如图，四边形ABCD是菱形．求证：AC⊥BD；AC平分∠DAB，CA平分∠BCD，BD平分∠ABC，DB平分∠CDA．分析要证AC⊥BD，AC平分∠DAB，只要证明△DAB是等腰三角形，且AC平分BD．要判定一个四边形是不是菱形，除了利用菱形的定义直接判定外，还有如下的判定定理：定理四条边相等的四边形是菱形思考有哪些方法可以判断一个四边形是菱形？(三)实践与探索2例2 如图，在菱形ABCD中，M是AB的中点，且DM⊥AB，则ΔABD是什么三角形?例3 如图，AD是ΔABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DE∥BA交AC于F．猜想AD与EF是什么关系?(四)小结与反思1.菱形的性质：(1)菱形具有平行四边形的一切性质；(2)菱形的四条边都相等；(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．2.菱形的判定：(1)四条边相等的四边形是菱形；(2)有一组邻边相等平行四边形是菱形；(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．。

初三数学用推理方法研究四边形华东师大版【同步教育信息】一. 本周教学内容：用推理方法研究四边形［重要知识归纳］一. 平行四边形1. 平行四边形的判定定理：（1）从边的关系去判定①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

②两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

③两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

（2）从角的关系去判定④两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

（注：邻角都互补的四边形也可证其是平行四边形。

）（3）从对角线的关系去判定：⑤对角线相互平分的四边形是平行四边形。

2. 平行四边形的性质定理：（1）从边的关系分析①平行四边形对边平行且相等。

（2）从角的关系分析②平行四边形对角相等、邻角互补。

（3）从对角线分析③平行四边形对角线互相平分。

（4）从对称性分析④平行四边形是中心对称图形，对角线交点是对称中心。

（注：由中心对称性，可通过绕三角形一边中点旋转180°来构造平行四边形。

）二. 矩形1. 矩形的判定定理：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。

（2）有三个角是直角的四边形是矩形。

（3）对角线相等的平行四边形是矩形。

（4）对角线相等且相互平分的四边形是矩形。

2. 矩形的性质定理：（1）矩形的四个角都是直角。

（2）矩形的对角线相等且相互平分。

3. 矩形的对称性：矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。

三. 菱形1. 菱形的判定定理：①四条边都相等的四边形是菱形。

②有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

③对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

④对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。

2. 菱形的性质定理：①菱形四条边都相等。

②菱形对角线互相垂直且平分，并且每条对角线平分一组对角。

3. 菱形的对称性：菱形既是轴对称图形又是中心对称图形。

4. 菱形的面积等于它的两条对角线的乘积的一半。

四. 正方形1. 正方形的性质：（1）正方形四个角都是直角，四条边都相等。

（2）正方形两对角线互相垂直平分且相等，并且每条对角线平分一组对角。

正方形的性质与判定正方形是一种特殊的四边形，它具有独特的性质和判定方法。

本文将详细介绍正方形的性质，并探讨如何准确地判定一个四边形是否为正方形。

一、正方形的性质1.四边相等：正方形的四条边长相等，即AB = BC = CD = DA。

2.四个角相等：正方形的四个内角都是直角，即∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°。

3.对角线相等：正方形的对角线互相垂直且相等，即AC = BD。

4.对角线平分角：正方形的对角线将内角平分，即∠BAD = ∠BCD = 45°。

5.对角线平分边：正方形的对角线平分相邻边，即AB = BC = CD = DA = AC = BD。

二、判定一个四边形是否为正方形判定一个四边形是否为正方形通常有两种方法，包括几何性质判定和长度关系判定。

1.几何性质判定若一个四边形满足以下条件之一，那么它是一个正方形：（1）四边相等且四个角都是直角；（2）对角线相等且相互垂直。

2.长度关系判定若一个四边形满足以下条件之一，那么它是一个正方形：（1）四边相等且其中一条对角线的平方等于两条相邻边长度的平方之和；（2）对角线相等且任意一条边的平方等于对角线长度的平方的一半。

三、应用案例案例一：判定四边形ABCD是否为正方形，已知AB = 5cm，∠A = ∠B = 90°。

解析：根据正方形的性质可知，当四边相等且四个角都是直角时，该四边形为正方形。

由已知条件可知AB = BC = CD = DA，并且∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90°。

因此，四边形ABCD是一个正方形。

案例二：判定四边形EFGH是否为正方形，已知EF = 7cm，GH = 4cm，EG = FH = 5cm。

解析：根据正方形的判定方法可知，当四边相等且其中一条对角线的平方等于两条相邻边长度的平方之和时，该四边形为正方形。

由已知条件可知EF = FG = GH = HE = 5cm，且EG = FH = 5cm。