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3x x 20 0; 4x 2 x 8 0 2 2 5y 3x 2 0; 6x 11x 30 0
1x 2x 4 0 解：
x 2 0 x 4 0 x1 2, x2 4
解方程1x 6 x 8 0;
所以小圆的半径为5 5 2m.
十字相乘法因式分解
一丶教学目标:
1. 使学生会用十字相乘法 , 把形如 x (a b)x ab分解因式:
2
二丶复习提问; 1:计算: (1). (x+2)(x+3);
(2). (x+2)(x-3);
2
解 : 原式 x - 3x 2x 2 (-3)
设小圆半径为r.根据题意, 得 (r 5) π 2 r π
2 2
(r 5) 2r
2 2
2 2
r 10r 25 2r 50 (r 5) 2 r 5 5 2 r 55 2 r1 5 5 2
25 25 r 2 10r 25
r2 5 5 2 0(舍)
(2x 1)2x 1 0.
4 x 1 0,
2
2x 1 0, 或2x 1 0. x1 2, x2 1. 1 1 x1 ; x2 . 2 2 分解因式法解一元二次方程的步骤是:
1.化方程为一般形式; 2. 将方程左边因式分解; 3. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
所以有x 0或x 2 3 0，
(3)3 x 6 x 3,
2
移项，得： 3 x 6 x 3 0，
2 2
提公因式得： 3( x 2 x 1) 0， 所以3( x 1) 0，
2
有( x 1) 0，
2
所以x1 x2 1.
2 x 112 x 11 0
2 2 2
2x
2
5 x 6 0;
3x x 20 0; 4x 2 x 8 0 2 2 5y 3x 2 0; 6x 11x 30 0
解 2x 2x 3 0
x 2 0, x- 3 0
x1 2, x2 3
2 x －4=0
解：原方程可变形为
(x+2)(x－2)=0 X+2=0 或 x－2=0 ∴ x1=-2 ,x2=2
X2－4= (x+2)(x－2)
AB=0A=0或Ｂ＝０
重 点 难 点
重点： 用因式分解法解一元二次方程 难点： 正确理解AB=0〈=〉A=0或B=0 （ A、B表示两个因式）
例题欣赏
(5)3x(2 x 1) 4 x 2 移项： 3x(2 x 1) 2(2 x 1) 0， 提取公因式： (2 x 1)(3x 2) 0， 所以有： 2 x 1 0或3x 2 0， 1 2 所以x1 ，x2 . 2 3
(6)x 4 5 2 x
分解因式法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分 解因式法. 1.用分解因式法解一元二次方程的条件是:
方程左边易于分解,而右边等于零; 2.理论依据是.
“如果两个因式的积等于零,
那么至少有一个因式等于零”
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
(1) x( x 2) 0
x1 0, x2 2
2 1 (3)(3x 2)( 2 x 1) 0 x1 , x2 3 2 2 (4) x x x1 0, x2 1
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
(6)另一解法 : ( x 4) (5 2 x) x 4 (5 2 x)
2 2
x 4 5 2 x或x 4 5 2 x 3x 9或x 1 即x1 3，x2 1.
2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形 场地,场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.
a a
5a+2a=7a
5 2
结果为 ( B ) 1. 分解a 2 a 12的
练习一选择题:
A. (a - 3)(a 4); C. a 6 a 2 ;
B. D.
a 3a 4; a 6a 2;
2. 分解x 2 2x 8的结果为 ( A ) A. a 4 a 2 ; B. a 4 a 2 ; C. a 4 a 2 ; D. a - 4 a 2 ; 3. 若 多项项M分解的因式是 (x - 2)(x- 3),则M是( C ) A. x2 5x 6; C. x2 5X 6; A. a b a 2b; C. (a - b)(a 2b); B. x2 5x 6; D. x2 5x 6; B. (a b)(a - 2b); D. (a - b)(a - 2b);1.解下列方程： .源自2(1) x x 0,
提公因式：x( x 1) 0， 所以有x 0或x 1 0 即x1 0，x2 1.
1.解下列方程： .
2
(2) x 2 3 x 0,
提公因式x( x 2 3 ) 0， 即x1 0，x2 2 3.
☞
解：x( x 2) x 2 0,
(1)x(x-2)+x-2=0;
例3 解下列方程: 1 3 2 2 (2)5 x 2 x x 2 x , 4 4
解 : 移项, 合并同类项, 得：
x 2x 1 0.
x 2 0, 或x 1 0.
x (a b)x ab (x+a)(x+b) 也就是说, 对于二次三项式 x 2 px q, 如果常数q
能分解为分解为两个因 数a, b的积, 并且a b p时, (a与b和是一次项的系数)就可以用上面的公式分 解因式.
例1: 把x 3x 18分解因式; 解:原式= (x+6) (x-3)
提公因式法
2、(3x+1)2－5=0 解：原方程可变形为
(3x+1+ 5 )(3x+1－
5)=0
=0 5
3x+1+ 5 =0或3x+1－
１ 5 １ 5 ∴ x1= , x2= 3 3
公式法
用因式分解法解一元二次方程的步骤
1o方程右边化为 零 。 2o将方程左边分解成两个 一次因式 的 乘积。 3o至少 有一个 因式为零，得到两个 一元一次方程。 4o两个 一元一次方程的解 就是原方 程的解。
2
解 : 原式 x bx ax a b x (-3 2)x 6
2
x 5x 6
2
x (a b)x ab
2
x (a b) x ab
2
三丶试一试:
反过来:
2
(x a)(x b) x 2 (a b)x ab
解 : 原式 x 2x 3x 2 3
2
x (2 3)x 6
2
x (-3 2)x 6
2
x 5x 6
2
x x6
2
十字相乘法因式分解
二丶复习提问; 1:计算: (3). (x-2)(x-3);
(4)(x+a)(x+b);
2
解 : 原式 x - 3x - 2x (-2) (-3)
10 4.9 x 0 以上解方程 x 是如何使二次方程降为一次的？
的方法
x 10 4.9 x 0
① ②
x 0 或 10 4.9 x 0,
可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开方降 次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的 形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种 解法叫做因式分解法．
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
解方程 ( x 5)( x 2) 18 解： 原方程化为 ( x 5)( x 2) 3 6 由x 5 3，得x 8; 由x 2 6，得x 4. 原方程的解为x1 8或x2 4.
(
)
练习：书P40练习
①
方程①的右边为0，左边可因式分解，得
x 10 4.9 x 0.
于是得 如果a· b=0 那么a=0或 b=0．
x 0 或 10 4.9 x 0,
100 x1 0, x2 2.04. 49
上述解中，x2≈2.04表示物体约在2.04时落回地面，面x1=0表示物体被上抛时离 地面的时刻，即在0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m．
回顾与复习 1
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法? (1)直接开平方法: x2=a (a≥0) (2)配方法:
(x+h)2=k (k≥0)
2
b b 4 ac 2 (3)公式法: x . b 4ac 0 . 2a
我思
我进步
分解因式的方法有那些? （1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c). （2）公式法: a2-b2=(a+b)(a-b), a2+2ab+b2=(a+b)2.
解方程1x 6 x 8 0;
2 2 2
2x
2
5 x 6 0;
3x x 20 0; 4x 2 x 8 0 2 2 5y 3x 2 0; 6x 11x 30 0
