微分几何习题

《微分几何》复习题与参考答案一、填空题1．极限232lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+．2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0lim(()())t f t g t →⋅= 0 ．3．已知{}42r()d =1,2,3t t -⎰， {}64r()d =2,1,2t t -⎰，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则4622()()a r t dt+b a r t dt=⨯⋅⋅⎰⎰{}3,9,5-.4．已知()r t a '=（a 为常向量），则()r t =ta c +． 5．已知()r t ta '=，（a 为常向量），则()r t =212t a c +． 6. 最“贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___ 切线___和 密切平面____. 7. 曲率恒等于零的曲线是_____ 直线____________ . 8. 挠率恒等于零的曲线是_____ 平面曲线________ .9. 切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为 一般螺线 . 10. 曲线()r r t =在t = 2处有3αβ=，则曲线在t = 2处的曲率k = 3 . 11. 若在点00(,)u v 处v 0u r r ⨯≠，则00(,)u v 为曲面的_ 正常______点. 12． 已知()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则4()df g dt dt ⋅=⎰4cos 62-．13．曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 14．曲线{}()cosh ,sinh ,r t a t a t at =在0t =点的切向量为{}0,,a a ． 15．曲线{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =在0t =点的切向量为{}0,,a b ．16．设曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为2111-=--=-z ee y e e x ． 17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18. 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_ ______________. 19. u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是 _____ E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20. 在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是 方向(d) 与u －曲线 的夹角.21. 曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I = . 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则drd t={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+．23．已知{}r(,)cos cos ,cos sin ,sin a a a ϕθϕθϕθϕ=，其中t =ϕ，2t =θ，则dr(,)d tϕθ={}sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos a at a at a ϕθϕθϕθϕθϕ---+．24．设(,)r r u v =为曲面的参数表示，如果0u v r r ⨯≠，则称参数曲面是正则的；如果:()r G r G → 是 一一对应的 ，则称曲面是简单曲面．25．如果u -曲线族和v -曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为 正规坐标网 ． 26．平面{}r(,),,0u v u v =的第一基本形式为22d d u v +，面积微元为d d u v ．27．悬链面{}r(,)cosh cos ,cosh sin ,u v u v u v u =第一基本量是22cosh 0,cosh E u F G u ===，． 28．曲面z axy =上坐标曲线0x x =，0y y =的交角的余弦值是200222200(1)(1)a x a y ++.29．正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =的第一基本形式是2222d ()d u u b v ++． 30．双曲抛物面{}r(,)(),(),2u v a u v b u v uv =+-的第一基本形式是2222222222(4)d 2(4)d d (4)d a b v u a b uv u v a b u v +++-++++．31．正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =的平均曲率为 0 ．32．方向(d)d :d u v =是渐近方向的充要条件是22()020n k d Ldu Mdudv Ndv =++=或． 33. 方向(d)d :d u v =和(δ)δ:δu v =共轭的充要条件是(,)0()0dr δr Ldu δu M du δv dv δu Ndv δv =+++=II 或．34.λ是主曲率的充要条件是0E L F MF MG Nλλλλ--=--．35.(d)d :d u v =是主方向的充要条件是22d d d d 00d d d d dv dudv du E u F v L u M vE F G F u G v M u N vL MN-++==++或． 36. 根据罗德里格斯定理，如果方向(d)(d :d )u v =是主方向，则n n dn k dr k =-，其中是沿方向(d)的法曲率．37．旋转曲面中的极小曲面是平面 或悬链面．38．测地曲率的几何意义是曲面S 上的曲线在P 点的测地曲率的绝对值等于(C )在P 点的切平面上的正投影曲线(C*)的曲率．39．,,g n k k k 之间的关系是222g n k k k =+．40．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为 0 ． 41．正交网时测地线的方程为d ds du dsdv dsθθθ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩． 42．曲线是曲面的测地线，曲线(C )上任一点在其切平面的正投影曲线是 直线 . 二、单项选择题1．已知{}(),,t t r t e t e -=，则r (0)''为（ A ）．A. {}1,0,1；B. {}1,0,1-；C. {}0,1,1；D. {}1,0,1-. 2．已知()()r t r t λ'=，λ为常数，则()r t 为（ C ）．A. ta λ；B. a λ；C. t e a λ；D. e a λ. 其中a 为常向量．3. 曲线(C)是一般螺线，以下命题不正确的是（ D ）．A ．切线与固定方向成固定角；B ．副法线与固定方向成固定角；C ．主法线与固定方向垂直；D ．副法线与固定方向垂直． 4. 曲面在每一点处的主方向（ A ）A ．至少有两个；B ．只有一个；C ．只有两个；D ．可能没有. 5．球面上的大圆不可能是球面上的（ D ）A ．测地线；B ．曲率线；C ．法截线；D ．渐近线．. 6. 已知{}r(,),,x y x y xy =，求(1,2)dr 为（ D ）．A. {}d ,d ,d 2d x y x y +；B. {}d d ,d d ,0x y x y +-；C. {}d -d ,d +d ,0x y x y ；D. {}d ,d ,2d d x y x y +. 7．圆柱螺线{}cos ,sin ,r t t t =的切线与z 轴（ C ）.A. 平行；B. 垂直；C. 有固定夹角4π； D. 有固定夹角3π. 8．设平面曲线:()C r r s =，s 为自然参数，αβ,是曲线的基本向量．叙述错误的是（ C ）．A. α为单位向量；B. αα⊥；C. k αβ=-；D. k βατγ=-+. 9．直线的曲率为（ B ）．A. -1；B. 0；C. 1；D. 2.10．关于平面曲线的曲率:()C r r s =不正确的是（ D ）．A. ()()k s s α=；B. ()()k s s ϕ=，ϕ为()s α的旋转角；C. ()k s αβ=-⋅；D. ()|()|k s r s =.11．对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的（ D ）．A. 充分不必要条件；B. 必要不充分条件；C. 既不充分也不必要条件；D. 充要条件. 12．下列论述不正确的是（ D ）．A. ,αβγ,均为单位向量；B. αβ⊥；C. βγ⊥；D. αβ. 13．对于空间曲线C ，“挠率为零”是“曲线是直线”的（B ）．A. 充分不必要条件；B. 必要不充分条件；C. 既不充分也不必要条件；D. 充要条件. 14．2sin4),cos 1(),sin (t a z t a y t t a x =-=-=在点2π=t 的切线与z 轴关系为（ D ）． A. 垂直； B. 平行； C. 成3π的角； D. 成4π的角. 15．椭球面2222221x y z a b c++=的参数表示为（ C ）．A. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z ϕθϕθϕ=；B. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z a b ϕθϕθϕ=；C. {}{},,cos cos ,cos sin ,sin x y z a b c ϕθϕθϕ=；D. {}{},,cos cos ,sin cos ,sin 2x y z a b c ϕθϕθθ=.16．曲面{}2233(,)2,,r u v u v u v u v =-+-在点(3,5,7)M 的切平面方程为（ B ）．A. 2135200x y z +-+=；B. 1834410x y z +--=；C. 756180x y z +--=；D. 1853160x y z +-+=.17．球面{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r u v R u v R u v R u =的第一基本形式为（ D ）．A. 2222(d sin d )R u u v +；B. 2222(d cosh d )R u u v +；C. 2222(d sinh d )R u u v +；D. 2222(d cos d )R u u v +. 18．正圆柱面{}(,)cos ,sin ,r u v R v R v u =的第一基本形式为（ C ）．A. 22d d u v +；B. 22d d u v -； C 222d d u R v +； D. 222d d u R v -.19．在第一基本形式为222(d ,d )d sinh d u v u u v =+I 的曲面上，方程为12()u v v v v =≤≤的曲线段的弧长为（ B ）．A ． 21cosh cosh v v -；B ． 21sinh sinh v v -；C ． 12cosh cosh v v -；D ． 12sinh sinh v v -．20．设M 为正则曲面，则M 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（ B ）．A ． 0E =；B ． 0F =；C ． 0G =；D ． 0M =． 21．高斯曲率为零的的曲面称为（ A ）．A ．极小曲面；B ．球面；C ．常高斯曲率曲面；D ．平面． 22．曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（ A ）．A ． 0；B ． 1；C ．2；D ． 3． 23．当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为（ B ）．A ．B ．C ．D ． 24．如果测地线同时为渐近线，则它必为（ A ）．A ． 直线；B ． 平面曲线；C ． 抛物线；D ． 圆柱螺线． 三、判断题（正确打√，错误打×）1. 向量函数()r r t =具有固定长度，则()()r t r t '⊥. √2. 向量函数()r r t =具有固定方向，则()()r t r t '. √3. 向量函数()r t 关于t 的旋转速度等于其微商的模()r t '. ×4. 曲线Γ的曲率、挠率都为常数，则曲线Γ是圆柱螺线. ×5. 若曲线Γ的曲率、挠率都为非零常数，则曲线Γ是圆柱螺线. √6. 圆柱面{cos ,sin ,},r R R z θθ=z -线是渐近线. √7. 两个曲面间的变换等距的充要条件是它们的第一基本形式成比例. × 8. 两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例. √ 9. 等距变换一定是保角变换. √10. 保角变换一定是等距变换. × 11. 空间曲线的位置和形状由曲率与挠率唯一确定. × 12. 在光滑曲线的正常点处，切线存在但不唯一． × 13. 若曲线的所有切线都经过定点，则该曲线一定是直线．√ 14. 在曲面的非脐点处，有且仅有两个主方向． √ 15. 高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量． × 16. 曲面上的直线一定是测地线．√17. 微分方程A(,)B(,)0u v du u v dv +=表示曲面上曲线族. ×18. 二阶微分方程22(,)2(,)(,)0A u v du B u v dudv C u v dv ++=总表示曲面上两族曲线. × 19. 坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量. √ 20. 高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面. √ 21. 连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. × 22. 球面上的圆一定是测地线. × 23. 球面上经线一定是测地线. √ 24. 测地曲率是曲面的内蕴量. √ 四、计算题1．求旋轮线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=的π20≤≤t 一段的弧长．解 旋轮线{}()(sin ),(1cos )r t a t t a t =--的切向量为{}()cos ,sin r t a a t a t '=-，则在π20≤≤t 一段的弧长为：220()d 8s r t t t a ππ'===⎰⎰．2．求曲线t te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的切向量、主法向量、副法向量． 解 由题意知 {}()sin cos ,cos sin ,t t r t t t t t t t e te '=+-+， {}()2cos sin ,2sin cos ,2t t r t t t t t t t e te ''=---+，在原点，有 (0)(0,1,1),(0)(2,0,2)r r '''==， 又 ()(), r r r r r r r r r r r αβ'''''''''⋅-⋅=='''''⋅⨯，r r r r γ'''⨯='''⨯， 所以有22666333(0,,),(,,),(,,)3αβγ==-=-. 3．圆柱螺线为{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =，①求基本向量,,αβγ； ②求曲率k 和挠率τ.解 ①{}()sin ,cos ,r t a t a t b '=-，{}()cos ,sin ,0r t a t a t ''=--，又由公式()(), ,r r r r r r r r r r r r r r r αβγ''''''''''''⋅-⋅⨯===''''''''⋅⨯⨯ {}{}{}2222sin ,cos ,,cos ,sin ,0,sin ,cos ,a t a t b t t b t b t a a ba bαβγ∴=-=--=-++②由一般参数的曲率公式3()r r k t r '''⨯='及挠率公式2(,,)()r r r t r r τ''''''='''⨯ 有22a k a b =+，22b a b +=τ. 4．求正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =的切平面和法线方程． 解 {}cos ,sin ,0u r v v =，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-，切平面方程为cos sin cos sin 00sin cos x u v y u v z bv v v u vu vb---=-，sin cos 0,b v x b u y uz buv ⇒⋅-⋅+-=法线方程为cos sin sin cos x u v y u v z bvb v b v u---==-． 5．求球面{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r a a a ϕθϕθϕθϕ=上任一点处的切平面与法线方程． 解 {}sin cos ,sin sin ,cos r a a a ϕϕθϕθϕ=--， {}cos sin ,cos cos ,0r a a θϕθϕθ=-，312sin cos sin sin cos cos sin cos cos 0e e e r r a a a a a ϕθϕθϕθϕϕθϕθ⨯=--- {}2cos cos cos ,cos sin ,sin a ϕϕθϕθϕ=---∴ 球面上任意点的切平面方程为{}{}2cos cos ,cos sin ,sin cos cos cos ,cos sin ,sin 0,x a y a z a a ϕθϕθϕϕϕθϕθϕ---⋅---=即cos cos cos sin sin 0x y z a θϕϕθϕ⋅+⋅+⋅-=， 法线方程为2(cos cos ,cos sin ,sin )cos (cos cos ,cos sin ,sin ),x a y a z a a ϕθϕθϕλϕϕθϕθϕ---=⋅---即cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin x a y a z a ϕθϕθϕϕθϕθϕ---==．6．求圆柱螺线cos ,sin ,x a t y a t z t ===在点(,0,0)a 处的密切平面. 解 (){sin ,cos ,1},r t a t a t '=-(){cos ,sin ,0},r t a t a t ''=--所以曲线在原点的密切平面的方程为00sin cos 10cos sin 0x a y z a t a t =a ta t------， 即sin )(cos )sin 0t x t y az a t -+-=(.7．求旋转抛物面22()z a x y =+的第一基本形式．解 参数表示为{}22(,),,()r x y x y a x y =+，{}1,0,2x r ax =，{}0,1,2y r ay =，2214x x E r r a x =⋅=+，24x y F r r a xy =⋅=，2214y y G r r a y =⋅=+，2222222(d ,d )(14)d 8d d (14)d x y a x x a xy x y a y y ∴=++++I ．8．求正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =的第一基本形式． 解 {}cos ,sin ,0u r v v =，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-，1u u E r r =⋅=，0u v F r r =⋅=，22v v G r r u b =⋅=+，2222(d ,d )d ()d u v u u b v ∴=++I ．9．计算正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =的第一、第二基本量． 解 {}cos ,sin ,0u r v v =，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-，{}0,0,0uu r =，{}sin ,cos ,0uv r v v =-，{}cos ,sin ,0vv r u v u v =--，{}cos sin 0sin ,cos ,sin cos u v i j k r r v v b v b v u u v u v b⨯==--，sin ,cos ,u v u v b v b v u r r n r r -⨯==⨯， 1u u E r r =⋅=，0u v F r r =⋅=，22v v G r r u b =⋅=+， 0uu L r n =⋅=，2uv M r n b =⋅=-+，0vv N r n =⋅=．10．计算抛物面22z x y =+的高斯曲率和平均曲率．解 设抛物面的参数表示为{}22(,),,r x y x y x y =+，则{}1,0,2x r x =，{}0,1,2y r y =，{}0,0,2xx r =，{}0,0,0xy yx r r ==，{}002yy r =，，，{}1022,2,1012x y i j kr r x x y y⨯==--，22,2,1||4x y x y r r x y n r r x ⨯--==⨯214x x E r r x =⋅=+， 4x y F r r xy =⋅=， 214y y G r r y =⋅=+，24xx L r n x =⋅=+， 0xy M r n =⋅=， 24yy N r n x =⋅=+，2222222222404441(14)(14)(4)(441)LN M x y K EG F x y xy x y --++===-++-++，2232222124422(441)GL FM EN x y HEG Fx y -+++=⋅=-++． 11. 计算正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v av =的高斯曲率. 解 直接计算知1E =，0F =，22G u a =+，0L =，M =，0N =，222222()LN M a K EG F u a -∴==--+．12. 求曲面2z xy =的渐近线.解 2z xy =，则2z p y x∂==∂，2z q xy y ∂==∂，220zr x ∂==∂，22z s y x y ∂==∂∂，222zt x y ∂==∂ 所以，L =0， M =，N =20=，化简得(2)0dy ydx xdy +=， 020dy ydx xdy =+=或 渐近线为y=C 1，x 2y =C 213. 求螺旋面{}cos ,sin ,r u v u v bv =上的曲率线. 解 u v r {cos ,sin v,0},r {u sin v,u cos v,b}v ==-2222u u v v E r 1,F r r 0,G r u b ,===⋅===+{}{}u vu v bsin v,bcos v,u bsin v,bcos v,u r r n r r bsin v,bcos v,u--⨯===⨯- {}{}{}uu uv vv r=0,0,0,r =sin v,cos v,0,r ucos v,usin v,0-=--，L 0,M N 0===曲率线的微分方程为:2222dv dudv du 10u b =00-+ 或du bu dv 221+±=积分得两族曲率线方程:12v ln(u c v u)c .=+=+和14. 求马鞍面22{,,}r u v u v =-在原点处沿任意方向的法曲率. 解 {1,0,2},{0,1,2}==-u v r u r v ，22214,4,14==+==-=+u u v E r u F r r uv G v2222(14)8(14)=+-++u du uvdudv v dv Ⅰu v 2u v 2u,2v,1r r n r r 4u -⨯==⨯ uu 2L nr 4u ==uv M n r 0,== vv 2N n r 4u ==22=-Ⅱ， n k =ⅡⅠ. 15. 求抛物面22()z a x y =+在(0,0)点的主曲率. 解 曲面方程即22{,,()},=+r x y a x y{1,0,2},{0,1,2},==x y r ax r ay E(0,0)F(0,0)G(0,0)=1,=0,=1,{0,0,2},{0,0,0},{0,0,2}===xx xy yy r a r r a ，L(0,0)a M(0,0)N(0,0)=2,=0,=2a,代入主曲率公式，NN2a k 0002a k -=-，所以两主曲率分别为 12k k 2a == .16. 求曲面22{,,}r u v u v =+在点(1,1)的主方向.解 {}u r =,u 1,02,{},v r ,v =01,22214,4,14E u F uv G v =+==+(1,)5(1,)4(1,)5;E F G 1=,1=,1= 0,L M N ===2(1,1)(1,1),(1,1)0,3L N M === 代入主方向方程，得()()0du dv du dv +-=,即在点(1,1)主方向:1:1;:1:1du dv u v δδ=-=.17. 求曲面23(,){,,}r u v u v u v =+上的椭圆点，双曲点和抛物点． 解 由23{,,},r u v u v =+ 得{}u r =,u 1,02,{}2,v r ,v =01,3{}{}{}u u u v v v r =,r =,r =,v 0,02,0,00,0,06, 0,L M N ===2241241vLN M .u +9v +-=①v >0时，是椭圆点；②v <0时，是双曲点；③v =0时，是抛物点. 18. 求曲面32(,){,,}r u v v u u v =+上的抛物点的轨迹方程． 解 由32(,){,,},r u v v u u v =+ 得{}u r =u,0,21,{}2,v r v ,=30,1{}{}{}u u u v v v r =,r =,r =v ,0,20,0,00,6,00, 20,L M N ===令320LN M .-=得u =0 或v =0所以抛物点的轨迹方程为 {}r=v ,,v 30或{}0r=,u ,u 2. 19.求圆柱螺线(){cos ,sin ,}r t a t a t bt =自然参数表示.解 由(){cos ,sin ,},r t a t a t bt =得{sin ,cos ,}r a t a t b '=-， 2()r t a '=弧长(),t s t =⎰t =曲线的自然参数表示为(){sinr s a a =20. 求挠曲线的主法线曲面的腰曲线.解 设挠曲线为a a s =(),则主法线曲面为：r=a s v s ,β()+() 则,a =a=α',b ==-k βατγ'+a b =k,''-2,22b =k +τ' 所以腰曲线是222a b kr=a s s =a s s k b ββτ'''()-()()+()+ 21．求位于正螺面cos ,sin ,x u v y u v z av ===上的圆柱螺线00cos ,sin ,x u v y u v z av ===（0u =常数）的测地曲率．解 因为正螺面的第一基本形式为2222d ()d u u a v =++Ι，螺旋线是正螺面的v -曲线0u u =，由2πθ=得d 0d s θ=．由正交网的坐标曲线的测地曲率得0220g u k u a==+． 五、证明题1. 设曲线：(s),r r =证明：2()k -;r ,r ,r =k .ταγτ=⋅⑴⑵证明 ⑴由伏雷内公式，得=k =-,αβγτβ，两式作点积，得=-k =-k,αγτββτ⋅⋅k =-.ταγ∴⋅⑵r=r==k ,ααβ， 2()r=k +k =k +k -k +=-k +k +k βββατγαβτγ22()()()r ,r ,r =,k ,-k +k +k =,k ,k =k .αβαβτγαβτγτ∴2. 设曲线：(s),r r = 证明：3()()r ,r ,r =k k -k .ττ证明 由伏雷内公式，得r==k αβ， 2()r=k +k =k +k -k +=-k +k +k βββατγαβτγ323()(2)r =-kk +-k +k-k +k +k ατβττγ232()(())(3()(2))r ,r ,r =k -k +k +k -kk +-k +k-k +k +k βαβτγατβττγ⨯3232()(3()(2))=k +k -kk +-k +k-k +k +k γταατβττγ33432=-k k +k k +k τττ3()=k k -k ττ3. 曲线()r r s =是一般螺线，证明1:r R ds αβΓ=-⎰也是一般螺线（R 是曲线的曲率半径）． 证明 1r R ds αβ=-⎰， 两边关于s 微商，得 11ds R R ds αααβ=+-1R R R αββ=+-R α=， 1αα∴，由于Γ是一般螺线，所以Γ也是一般螺线.4. 证明曲线(){sin (),s (),}(r t a t dt a co t dt bt a,b ϕϕ=⎰⎰是常数）是一般螺线．证明 (){sin (),cos (),},r t a t a t b ϕϕ'=(){()cos (),()sin (),0},r t a t t a t t ϕϕϕϕ''''=-2()(){cos (),sin (),0}(){sin ()cos ()0}r t a t t t a t t t ϕϕϕϕϕϕ''''''=-+-，,22(),r r a t a b ϕ''''⨯=+32()()r r r a b t ϕ'''''''=-,,，322(),r r a k t a b r ϕ'''⨯'==+'()222(),r r r b t a b r r τϕ'''''''==-+'''⨯,, k a bτ∴=- . 5．曲面S 上一条曲线(C), P 是曲线(C)上的正常点，n g k ,k ,k 分别是曲线(C)在点P 的曲率、法曲率与测地曲率，证明222n g k =k +k ．证明 测地曲率()g k k k n βεβα=⋅=⋅⨯(,,)k n k n αβγ==⋅sin k .θ=± (θ是主法向量β与法向量n 的夹角)法曲率cos n k k n k βθ=⋅=，222n g k =k +k .∴6. 证明曲线{}cos ,sin ,0t t r e t e t =的切向量与曲线的位置向量成定角．证明 对曲线上任意一点，曲线的位置向量为{}cos ,sin ,0t t r e t e t =，该点切线的切向量为：{}(cos sin ),(sin cos ),0t t r e t t e t t '=-+，则有：2cos 22t t r r r r e θ'⋅==='4π. 由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角．7．证明：若r '和r ''对一切t 线性相关，则曲线是直线．证明 若r '和r ''对一切t 线性相关，则存在不同时为0的(),()f t g t 使()()()()0f t r t g t r t '''+=， 则 ,()()0, t r t r t '''∀⨯= 又3()r r k t r '''⨯='，故t ∀有()0k t =.于是该曲线是直线．8． 证明圆柱螺线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 的主法线和z 轴垂直相交．证明 由题意有{}{}()sin ,cos ,,()cos ,sin ,0r t a t a t b r t a t a t '''=-=--，由()()r r r r r r r r r β''''''''⋅-⋅=''''⋅⨯知{}cos ,sin ,0t t β=--. 另一方面z 轴的方向向量为{}0,0,1a =，而0a β⋅=，故a β⊥，即主法线与z 轴垂直．9．证明曲线t a z t t a y t a x cos ,cos sin ,sin 2===的所有法平面皆通过坐标原点．证明 由题意可得{}()sin 2,cos2,sin r t a t a t a t '=-，则任意点的法平面为0)cos (sin )cos sin (2cos )sin (2sin 00000020=---+-t a z t a t t a y t a t a x t a 将点（0,0,0）代入上述方程有左边)cos 0(sin )cos sin 0(2cos )sin 0(2sin 00000020t a t a t t a t a t a t a ---+-===0右边， 故结论成立．10．证明曲线222132225,1x t+t ,y t t z t =+=-+=-为平面曲线，并求出它所在的平面方程. 证明 {}222132225,1r t+t ,t t t =+-+-，{}34210,2r +t,t t '=-+-，{}410,2r ,''=-，{}00,0r ,'''=(,,)0r r r ,''''''= 0τ=，所以曲线是平面曲线. 它所在的平面就是密切平面{}(0)32,0r ,'=-， {}(0)410,2r ,''=-密切平面方程为12132004102x y z -=-－－－， 化简得其所在的平面方程是2x +3y +19z –27＝0.11. 证明如果曲线的所有切线都经过一个定点，那么它是直线.证明 设曲线方程()r r s =，定点的向径为0R ，则0()()r s R s λα-=两边求微商，得()()()()s s s s k αλαλαλαλβ=+=+(1())()0s s k λαλβ--= 由于,αβ线性无关，∴100k λλ⎧-⎨⎩＝＝∴ k ＝0曲线是直线.12. 证明如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么它是平面曲线.证明 取定点为坐标原点，曲线的方程为 ()r r t =，则曲面在任一点的密切平面方程为 ((),(),())0r t r t r t ρ'''-=因任一点的密切平面过定点，所以((),(),())0o r t r t r t '''-=, 即 ((),(),())0r t r t r t '''=所以 ()r r t =平行于固定平面， 所以 ()r r t =是平面曲线. 13. 若一条曲线的所有法平面包含非零常向量e ，证明曲线是直线或平面曲线.证明 根据已知条件，得0.............e α⋅=①，①两边求导，得 0e α⋅=，由伏雷内公式得 0k e β⋅=，ⅰ)0k =，则曲线是直线；ⅱ)0e β⋅= 又有①可知 γ‖e因e 是常向量，所以γ是常向量，于是 ||||0,τγ== 所以0τ= ，所以曲线为平面曲线.14. 设在两条挠曲线,ΓΓ的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应的点的副法线互相平行，证明它们在对应点的切线和主法线也分别平行.证明 γγ±１２＝ , 21ds ds γγ±１２＝ 由伏雷内公式得211ds ds τβτβ±１２２＝12ββ∴±= 进而12αα=± 15. 证明挠曲线（0τ≠）的主法线曲面是不可展曲面.证明 设挠曲线为()r r s =，则挠率0τ≠，其主法线曲面的方程是：()()r s t s ρβ=+ 取(),()a r s b s β==，则(),()k a s b s αβατγ''===-＋所以, (,,)((),(),k )((),(),k )((),(),)0a b b s s s s s s αβατγαβααβτγτ''=-=-≠＋＋＝所以挠曲线的主法线曲面不是可展曲面.16. 证明挠曲线（0τ≠）的副法线曲面是不可展曲面.证明 设挠曲线为()r r s =，则挠率0τ≠，其副法线曲面的方程是：()()r s t s ργ=+取(),()a r s b s γ==，则(),()a s b s αγτβ''===-所以, (,,)((),(),)0a b b s s αγτβτ''=-=≠，所以挠曲线的副法线曲面不是可展曲面.17. 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线.证明 设曲线r r(s),＝则曲线的主法线曲面为r r s +v s β=()() ,s r v k vk v αατγατγ++=+（-）=(1-) ()v r =s β,s v s v r r n==r r vk ⨯⨯（1-）-（1- 沿曲线（v ＝0）n=γ， 所以主法向量与曲面的法向量夹角,2πθ=n cos 0,k k θ==所以曲线是它的主法线曲面上的渐近线.18. 证明二次锥面{cos ,sin ,}r au bu cu θθ=沿每一条直母线只有一个切平面.证明 {cos ,sin ,}{cos ,sin ,}0()θθθθϕθ===+r au bu cu u a b c u 为直纹面(0,(),()0ϕθϕθ'=）, 所以，曲面可展，即沿每一条直母线只有一个切平面.也可以用高斯曲率K =0证明. 19. 给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一处的副法向量和曲面在该点处的法向量成定角，求证Γ是一平面曲线. 证明 设副法向量和曲面在该点处的法向量成定角θ0，则cos γθ0ｎ＝两边求微商，得 0γγｎ＋ｎ＝ 由于曲线Γ是曲率线，所以αｎ，进而0γｎ＝，由伏雷内公式得0τβ－ｎ＝⑴0τ＝时，Γ是一平面曲线⑵n 0β＝，即n β⊥，n kcos =0k θ=，又因为Γ是曲率线，所以0n dn k dr =-=即n 是常向量，所以Γ是平面曲线.20．求证正螺面上的坐标曲线（即u -曲线族v -曲线族）互相垂直．证明 设正螺面的参数表示是{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =，则{}cos ,sin ,0u r v v =，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-，{}{}cos ,sin ,0sin ,cos ,0u v r r v v u v u v b ⇒⋅=⋅-=，故正螺面上的坐标曲线互相垂直．21. 证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数.证明 由欧拉公式2212cos sin θθ=+n k k k*n 1in ππθθ=±-±-k k 222cos （）+k s （）221in cos k θθ=222s +k 所以*n n 12k k k k +=+＝常数.22. 如果曲面上非直线的测地线Γ均为平面曲线，则Γ必是曲率线.证明 因为曲线Γ是非直线的测地线，所以沿此曲线有,β=±n从而(),κατγ=±-+n 又因为曲线是平面曲线，所以0,τ=进一步n κα=±.由罗德里格斯定理可知曲线的切线方向为主方向，故所给曲线为曲率线.23. 证明在曲面()()z f x f y =+上曲线族x =常数，y =常数构成共轭网.证明 曲面的向量表示为 {}(,),,()(),r x y x y f x f y =+x =常数,y =常数是两族坐标曲线.{1,0,}x r f '=,{0,1,}y r g '=.{0,0,},{0,0,0},{0,0,},xx xy yy r f r r g ''''=== 因为0xy r r M r EG ⨯=⋅=-,所以坐标曲线构成共轭网，即曲线族 x =常数, y =常数构成共轭网.24．证明马鞍面z xy =上所有点都是双曲点．证明 参数表示为{}(,),,r x y x y xy =，则{}1,0,x r y =，{}0,1,y r x =，{}0,0,0xx r =，{}0,0,1xy r =，{}0,0,0yy r =，{},,1x y r r y x ⨯=--，2,,1||x yx y r r y x n r r x ⨯--==⨯+ 0xx L r n =⋅=， 2xy M r n x =⋅=+0yy N r n =⋅=， 222221100011LN M x y x y ∴-=⨯-=-<++++， 故马鞍面z xy =上所有点都是双曲点． 25．如果曲面上某点的第一与第二基本形式成比例，即(d ,d )(d ,d )u v u v II I 与方向无关，则称该点是曲面的脐点；如果曲面上所有点都是脐点，则称曲面是全脐的．试证球面是全脐的． 证明 设球面的参数表示为{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r u v R v u R v u R v =，则{}cos sin ,cos cos ,0u r R v u R v u =-，{}sin cos ,sin sin ,cos v r R v u R v u R v =--，{}cos cos ,cos sin ,0uu r R v u R v u =--，{}sin sin ,sin cos ,0uv vu r r R v u R v u ==-，{}cos cos ,cos sin ,sin vv r R v u R v u R v =---，22cosu u E r r R v =⋅=，0u v F r r =⋅=，2v v G r r R =⋅=，2cos L Rv ==-，0M ==，N R ==-， 1(,,)(,,)L M N E F G R∴=-，故球面是全脐的． 26．证明平面是全脐的．证明 设平面的参数表示为{}(,),,0r x y x y =，则{}1,0,0x r =，{}0,1,0y r =，{}0,0,0xx r =，{}0,0,0xy r =，{}0,0,0yy r =， 1x x E r r =⋅=，0x y F r r =⋅=，1y y G r r =⋅=，0xx L r n =⋅=，0xy M r n =⋅=，0yy N r n =⋅=(,,)0(,,)L M N E F G ∴=，故平面是全脐的．27．证明曲面3x y z +=的所有点为抛物点．证明 曲面的参数表示为{}1/3(,),,()r x y x y x y =+，则{}2/3131,0,()x r x y -=+， {}2/3130,1,()y r x y -=+， {}5/3230,0,()xx r x y -=-+，{}5/3290,0,()xy r x y -=-+， {}5/3290,0,()yy r x y -=-+， {}2/32/31133(),(),1x y r r x y x y --⨯=-+-+， ||x y x y r r n r r ⨯=⨯，{}5/3290,0,()xx L r n x y n -=⋅=-+⋅，{}5/3290,0,()xy M r n x y n -=⋅=-+⋅， {}5/3290,0,()yy N r n x y n -=⋅=-+⋅ 20LN M ⇒-=， ∴曲面3x y z +=的所有点为抛物点．28．求证正螺面{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v av =是极小曲面． 证明 {}cos ,sin ,0u r v v =，{}sin ,cos ,v r u v u v a =-， {}0,0,0uu r =，{}sin ,cos ,0uv r v v =-，{}cos ,sin ,0vv r u v u v =--，{}cos sin 0sin ,cos ,sin cos u v i j kr r v v a v a v u u v u v a⨯==--， 22sin ,cos ,||u v u v a v a v u r r n r r a u -⨯==⨯+， 1u u E r r =⋅=，0u v F r r =⋅=，22v v G r r a u=⋅=+， 0uu L r n =⋅=，2uv M r n a =⋅=-，0vv N r n =⋅=，21210,22EN FM GL H EG F -+∴=⋅==-故正螺面是极小曲面． 29. 圆柱面{cos ,sin ,}r a u a u v =上的纬线是测地线． 证明由{cos ,sin ,},r a u a u v ={sin ,cos ,0}u r -a u a u =，{0,0,1}v r =，2,0, 1.E a F G ===g d k ds θθθ=-， 纬线是u -线，此时0θπ=或， 0.g k ∴= 所以，纬线是测地线．30．证明极小曲面上的点都是双曲点或平点．证明 1202k k H +==， 12k k ∴=-， 21220K k k k ∴=⋅=-≤ 当0K =时，120k k ==， ∴极小曲面的点都是平点； 当0K <时，极小曲面的点都是双曲点．31. 证明 (1)如果测地线同时是渐近线，则它是直线；(2)如果测地线同时是曲率线，则它一定是平面曲线. 证明 (1) 因为曲线是测地线，所以0=g k ， 曲线又是渐近线，所以，0=n k ，而222=+n g k k k ，所以k=0，故所给曲线是直线. (2) 证法1 因曲线是测地线，所以沿此曲线有βn ，所以βdn ， 又曲线是曲率线，所以αdn dr ， 所以(k )ατγα-+，所以0τ=，故所给曲线是平面曲线. 证法2 因所给曲线既是测地线又为曲率线，所以沿此曲线有,,n n βα 而γαβ=⨯，所以,n γα=±⨯从而()(0)0n n k n γααβ=±⨯+⨯=±-⨯+=， 又γτβ=-，所以0τ=，故所给曲线是平面曲线.。

微分几何练习题一 判断题1 曲线}sin ,cos ,{cos 2θθθ=r 不是正则曲线。

( )2 圆柱螺线},sin ,cos {θθθb a a r =的切线与z 轴成固定角。

( )3 空间曲线r = r (t), 当=)(t r 常数时,该空间曲线是圆。

( )4 若两个曲面间的变换是保角变换,则该变换也是等距变换。

( )5 曲线(c)是曲线(c*)的渐缩线,则曲线(c*)是曲线(c)的渐伸线。

( )6 2264dv dudv du +-可作为曲面的第一基本形式。

( )7 若0=⋅n dr δ则方向)();(δd 是正交方向。

( )8 罗德里格定理实际上是主方向判定定理。

( )9 曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充分必要条件是0φ=l 。

( ) 10 曲面的欧拉公式为θθ2221sin cos k k k n +=。

( ) 11 等距交换一定是保角变换。

( ) 12 空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定。

( )13 曲面之间的一个变换，如果伎曲面上对应曲线的交角相等则称为变换。

( ) 14 两个曲面之间的一个变换是保角变换的充要条件是它们的第一成比例。

( ) 15如果曲面上有直线，则它一定是曲面的渐近曲线。

( )二 填空题1 向量函数r (t)具有固定长的充要条件是对于t 的每一个值，)('t r 都与r (t)___________。

2 设r ( t )为可微分的向量函数，且a t r =)('（a 为常向量，0≠a ），则曲线r = r ( t )的图形是___________。

3 螺线r = { cost , sin t , t}上点（1，0，0）的切线方程是___________。

4 正螺线r = {u cos v , u sin v , b v }坐标曲线的方程是___________。

5 仅由曲面的第一基本形式出发所能建立的几何性质，称为曲面的___________性质。

第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r具有固定方向的充要条件是)(t r×)('t r= 0 。

分析：一个向量函数)(t r一般可以写成)(t r=)(t λ)(t e的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。

证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r=λ'λ（e ×e ）=0 。

反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。

当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e为常向量。

所以，)(t r 具有固定方向。

6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。

分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r的关系。

《微分几何》测试题（一）一．填空题：（每小题2分，共20分）⒈ 向量{}(),3,r t t t a =具有固定方向，则a =___t__。

⒉ 非零向量()r t 满足(),,0r r r '''=的充要条件是以该向量为切方向的曲线为平面曲线⒊ 设曲线在P 点的切向量为α，主法向量为β，则过P 由,αβ确定的平面是曲线在P 点的___密切平面__________。

⒋ 曲线()r r t =在点0()r t 的单位切向量是α，则曲线在0()r t 点的法平面方程是__________________________。

⒌ 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率(1)τ=_ -2_____。

⒍ 主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _⒎ 如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率的比是___常数_________________。

⒐ 曲面(,)z z x y =在点000(,,)x y z 的法线方程是_____________________。

二．选择填空题：（每小题3分，共30分）11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是___C___。

A 、 直线B 、平面曲线C 、球面曲线D 、圆柱螺线12、曲线()r r t =在P(t)点的曲率为k , 挠率为τ，则下列式子___A___不正确。

A 、2r r k r '''⨯=' B 、3r r k r '''⨯=' C 、k r = D 、()()2r r r r r τ''''''='''⨯ 13、对于曲面的第一基本形式2222,I Edu Fdudv Gdv EG F =++-__D___。

A 、0>B 、0<C 、0≤D 、0≥三．计算与证明题：（22题14分，其余各9分）21、已知圆柱螺线{}cos ,sin ,r t t t =，试求⑴ 在点0,1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线和法平面。

《微分几何》测试题（一）一．填空题：（每小题2分，共20分）⒈ 向量{}(),3,r t t t a =具有固定方向，则a =___t__。

⒉ 非零向量()r t 满足(),,0r r r '''=的充要条件是以该向量为切方向的曲线为平面曲线⒊ 设曲线在P 点的切向量为α，主法向量为β，则过P 由,αβ确定的平面是曲线在P 点的___密切平面__________。

⒋ 曲线()r r t =在点0()r t 的单位切向量是α，则曲线在0()r t 点的法平面方程是__________________________。

⒌ 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率(1)τ=_ -2_____。

⒍ 主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _⒎ 如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率的比是___常数_________________。

⒐ 曲面(,)z z x y =在点000(,,)x y z 的法线方程是_____________________。

二．选择填空题：（每小题3分，共30分）11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是___C___。

A 、 直线B 、平面曲线C 、球面曲线D 、圆柱螺线12、曲线()r r t =在P(t)点的曲率为k , 挠率为τ，则下列式子___A___不正确。

A 、2r r k r '''⨯=' B 、3r r k r '''⨯=' C 、k r = D 、()()2r r r r r τ''''''='''⨯ 13、对于曲面的第一基本形式2222,I Edu Fdudv Gdv EG F =++-__D___。

A 、0>B 、0<C 、0≤D 、0≥三．计算与证明题：（22题14分，其余各9分）21、已知圆柱螺线{}cos ,sin ,r t t t =，试求⑴ 在点0,1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线和法平面。

微分几何试题及答案1. 曲线的微分几何描述- 给定曲线 \( r(t) = (x(t), y(t), z(t)) \)，求其速度向量\( \mathbf{v}(t) \) 和加速度向量 \( \mathbf{a}(t) \)。

2. 曲面的第一基本形式- 已知曲面 \( S \) 由参数方程 \( x(u,v), y(u,v), z(u,v) \) 给出，求曲面 \( S \) 的第一基本形式。

3. 高斯曲率和平均曲率- 对于曲面 \( S \)，给出其高斯曲率 \( K \) 和平均曲率 \( H \) 的定义，并说明它们之间的关系。

4. 测地线的性质- 解释什么是测地线，并给出测地线在曲面上的性质。

5. 曲面的第二基本形式- 已知曲面 \( S \) 的法向量场 \( \mathbf{n}(u,v) \)，求曲面 \( S \) 的第二基本形式。

6. 曲面的高斯映射- 给出曲面 \( S \) 的高斯映射的定义，并解释其几何意义。

7. 曲面的内蕴几何与外蕴几何- 描述曲面的内蕴几何与外蕴几何的区别，并给出一个例子。

8. 微分几何在物理学中的应用- 简述微分几何在广义相对论中的应用。

答案1. 曲线的微分几何描述- 速度向量 \( \mathbf{v}(t) = \frac{dr(t)}{dt} = (x'(t),y'(t), z'(t)) \)，其中 \( x'(t), y'(t), z'(t) \) 分别是\( x(t), y(t), z(t) \) 的导数。

- 加速度向量 \( \mathbf{a}(t) = \frac{d\mathbf{v}(t)}{dt} = (x''(t), y''(t), z''(t)) \)。

2. 曲面的第一基本形式- 第一基本形式由曲面的度量张量给出，即 \( g_{ij} =\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u_i} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial u_j} \)。

微分几何期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 曲线在点处的切线方程为，若，则该点处的曲率是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 若函数在点处可微，则在该点处的切平面方程为（）。

A.B.C.D.答案：D3. 曲面在点处的法向量为，若，则该点处的高斯曲率是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C4. 给定曲线的参数方程为，则曲线在点处的曲率是（）。

A.B.C.D.答案：A5. 若函数在点处的梯度为，则在该点处的方向导数是（）。

A.B.C.D.答案：B6. 曲面在点处的主曲率分别为，则该点处的平均曲率是（）。

A.B.C.D.答案：A7. 给定曲线的参数方程为，则曲线在点处的挠率是（）。

A.B.C.D.答案：B8. 若函数在点处的Hessian矩阵为，则在该点处的二阶偏导数是（）。

A.B.C.D.答案：D9. 曲面在点处的切平面方程为，则该点处的法向量是（）。

A.B.C.D.答案：C10. 若函数在点处的Jacobi矩阵为，则在该点处的偏导数是（）。

A.B.C.D.答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 曲线在点处的挠率定义为______。

答案：曲线在点处的挠率定义为。

2. 若函数在点处的偏导数为0，则称该点为函数的______。

答案：临界点。

3. 曲面在点处的高斯曲率定义为______。

答案：曲面在点处的高斯曲率定义为。

4. 给定曲线的参数方程为，则曲线在点处的切向量为______。

答案：曲线在点处的切向量为。

5. 若函数在点处的梯度为，则在该点处的方向导数为______。

答案：函数在点处的方向导数为。

三、解答题（每题10分，共50分）1. 已知曲线的参数方程为，求曲线在点处的切线方程。

答案：首先求出曲线的导数，然后利用点斜式方程求得切线方程。

2. 已知函数在点处的梯度为，求在该点处沿向量方向的方向导数。

答案：首先求出向量的单位向量，然后利用方向导数的定义求得结果。

微分几何试题及答案一、选择题1. 曲线在某点的曲率是该点处曲线的：A. 切线斜率B. 切线方向C. 法线方向D. 切线与法线夹角的正弦值答案：D2. 曲面在某点的第一基本形式是：A. 曲面的高斯曲率B. 曲面的平均曲率C. 曲面的法向量D. 曲面在该点的切平面答案：D二、填空题1. 给定曲线 \( y = x^2 \) ，求其在点 \( x = 1 \) 处的曲率。

答案：\( \kappa = 4 \) （在 \( x = 1 \) 处）2. 曲面 \( z = x^2 + y^2 \) 在点 \( (1, 1, 2) \) 处的高斯曲率\( K \) 是：答案：\( K = 4 \) （在点 \( (1, 1, 2) \) 处）三、简答题1. 简述微分几何中“切空间”的概念。

答案：切空间是微分几何中描述曲面或流形上某一点处所有可能的切向量的集合，它是一个线性空间，可以看作是曲面或流形在某一点的局部线性近似。

2. 解释什么是高斯映射，并说明其几何意义。

答案：高斯映射是曲面上每一点处法向量的映射，它将曲面的每一点映射到其对应的法线方向。

几何意义上，高斯映射描述了曲面在某一点处的局部弯曲程度。

四、计算题1. 给定曲线 \( \vec{r}(t) = (t, t^2, t^3) \) ，求其在 \( t =1 \) 处的曲率。

答案：首先求导得到速度向量 \( \vec{r'}(t) = (1, 2t, 3t^2) \)和加速度向量 \( \vec{r''}(t) = (0, 2, 6t) \) 。

在 \( t = 1 \) 处，速度向量为 \( (1, 2, 3) \) ，加速度向量为 \( (0, 2, 6)\) 。

曲率 \( \kappa \) 由公式 \( \kappa = \frac{||\vec{r'}\times \vec{r''}||}{||\vec{r'}||^3} \) 计算得到，代入数值得到\( \kappa = \frac{12}{27} = \frac{4}{9} \) 。

微分几何试题及答案【篇一：微分几何试题】有曲线x?etcost,y?etsint,z?et，则当t?0时的切线方程为x?1?y?z?1。

2．设曲面s:r?r(u,v)的第一基本形式为i?du?sinhudv，则其上的曲线u?v从222et?e?t（这里sinht?） v?v1到v?v2的弧长为|sinhv1?sinhv2|。

23．设曲面s:r?r(u,v)在某点处的第一基本量为e?g?1,f?0，第二基本量为，则曲面在该点沿方向(d)?(1:2)的法曲率为kn?l?a,m?0,n?b a?4b。

54．设曲面s:r?r(u,v)在某点处的第一类基本量为e?1,g?1，且曲面在该点的切向量ru,rv相互平行，则f在该点等于 5．设曲面s:r?r(u,v)在某点处的第二基本量为l?1,m?0,n??1，则曲面在该点的渐近方向为(d)?(1:?1)。

6．设曲面的参数表示为r?r(u,v)，则|ru?rv| 7．曲线x?tsin?(0,t，主法向量为221．圆柱螺线的参数表示为r?(cost,sint,t)。

计算它在(1,0,0)点的切线、密切平面、法平面方程以及在任意点处的曲率和挠率。

（35分）解：r(0)?{1,0,0},r?(0)?{0,1,1},r??(0)?{?1,0,0}，所以切线：?x?1?0x?1y?0z?0??，即? 011?y?z?0法平面：(x?1)?0?(y?0)?1?(z?0)?1?0，即y?z?0x?1y密切平面：z1?0，即?y?z?00?110t?,r}?,t?() r(t)?{cots,stin{tsin t,r??(t)?{?cost,?sint,0},r???(t)?{sint,?cost,0}。

|r?| k??1}r,??r???{sitn?,ctos,r?,r |2??)1|r??r??|1(r?,r??,?r ???? 32(r??r??)2|r?|22．计算抛物面z?x2?y2的第一基本形式、第二基本形式、高斯曲率、平均曲率、脐点。

微分几何试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个概念不是微分几何中的概念？A. 流形B. 向量场C. 拓扑空间D. 黎曼曲率答案：C2. 在微分几何中，一个流形的局部坐标系是：A. 一组线性无关的向量B. 一组线性无关的函数C. 一组局部坐标函数D. 一组局部坐标点答案：C3. 微分几何中，一个向量场在点p的切空间中的表示为：A. 一个点B. 一个函数C. 一个向量D. 一个切平面答案：C4. 黎曼曲率张量R^i_jkl在微分几何中表示：A. 一个流形的局部性质B. 一个流形的全局性质C. 一个向量场的局部性质D. 一个向量场的全局性质答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个n维流形上的切向量空间的维数是______。

答案：n2. 微分几何中，联络（connection）是定义在切空间上的一个______。

答案：线性映射3. 黎曼度量g_ij定义了一个流形上的______。

答案：长度和角度4. 一个流形的测地线是该流形上使得______取极值的曲线。

答案：弧长三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述流形的概念。

答案：流形是一个拓扑空间，每一点都有一个邻域，这些邻域与欧几里得空间中的开集同胚。

2. 什么是联络形式？答案：联络形式是定义在切空间上的一组线性映射，它们满足特定的性质，如与坐标无关，并且可以用于描述流形上的平行性。

3. 黎曼曲率张量在广义相对论中有什么物理意义？答案：黎曼曲率张量在广义相对论中描述了时空的曲率，它与引力场的强度和方向有关。

四、计算题（每题15分，共30分）1. 给定一个二维流形上的度量张量g_ij，其中g_11 = 1, g_22 = 1, g_12 = g_21 = 0，计算该流形上的Christoffel符号。

答案：Christoffel符号为Γ^1_11 = 0, Γ^1_12 = 0, Γ^1_21 = 0, Γ^1_22 = 0, Γ^2_11 = 0, Γ^2_12 = 0, Γ^2_21 = 0, Γ^2_22 = 0。

《微分几何》复习题与参考答案一、填空题1．极限232lim[(31)i j k]t t t →+-+=138i j k -+．2．设f ()(sin )i j t t t =+，2g()(1)i j t t t e =++，求0lim(()())t f t g t →⋅=0．3．已知{}42r()d =1,2,3t t -⎰，{}64r()d =2,1,2t t -⎰，{}2,1,1a =，{}1,1,0b =-，则46()()a r t dt+b a r t dt=⨯⋅⋅{}3,9,5-.4526.贴近”空间曲线的直线和平面分别是该曲线的___切线___7.曲率恒等于零的曲线是_________________.8.9.切线（副法线）和固定方向成固定角的曲线称为一般螺线3αβ=，则曲线在0≠，则(,u v 12．()(2)(ln )f t t j t k =++，()(sin )(cos )g t t i t j =-，0t >，则 曲线{}3()2,,t r t t t e =在任意点的切向量为{}22,3,t t e ． 曲线{()cosh r t a =曲线{()cos r t a =设曲线:C x e =17．设曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ，当0t =时的切线方程为11-==-z y x . 18.曲面的曲纹坐标网是曲率线网的充要条件是____F =M =0_______________.19.u －曲线（v －曲线）的正交轨线的微分方程是_____E d u +F d v ＝0（F d u +G d v ＝0）__. 20.在欧拉公式2212cos sin n k k k θθ=+中，θ是方向(d)与u －曲线的夹角.21.曲面的三个基本形式,,I II III 、高斯曲率K 、平均曲率H 之间的关系是20H K III -II +I =. 22．已知{}r(,),,u v u v u v uv =+-，其中2,sin u t v t ==，则drd t={}2cos ,2cos ,2cos t t t t vt u t +-+．23．已知{}r(,)cos cos ,cos sin ,sin a a a ϕθϕθϕθϕ=，其中t =ϕ，2t =θ，则dr(,)d tϕθ={}sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos a at a at a ϕθϕθϕθϕθϕ---+．24．设(,)r r u v =为曲面的参数表示，如果0u v r r ⨯≠，则称参数曲面是正则的；如果:()r G r G →是一一对应的，则称曲面是简单曲面．25．如果u -曲线族和v -曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为正规坐标网． 26．平面{}r(,),,0u v u v =的第一基本形式为22d d u v +，面积微元为d d u v ．27．悬链面{}r(,)cosh cos ,cosh sin ,u v u v u v u =第一基本量是22cosh 0,cosh E u F G u ===，． 2829224)d b v u +31{cos ,u v =32(d)d :d u v =和34.是主曲率的充要条件是35. 根据罗德里格斯定理，如果方向n n dn k dr k =-，其中是沿方向37旋转曲面中的极小曲面是平面或悬链面．38．测地曲率的几何意义是曲面S 上的曲线在P 点的测地曲率的绝对值等于(C )在P 点的切平面?上的正投影曲线(C*)的曲率． 39．,,g n k k k 之间的关系是222g n k k k =+．40．如果曲面上存在直线，则此直线的测地曲率为0． 41．正交网时测地线的方程为d ds du ds dv dsθθθ⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩． 42．曲线是曲面的测地线，曲线(C )上任一点在其切平面的正投影曲线是直线. 二、单项选择题12其中a 为常向量．3.是一般螺线，以下命题不正确的是（．切线与固定方向成固定角；4.5．曲率线；C ．法截线； 6.(1,2)dr 为（C.{d -d ,d x y x d ,d ,2d x y x +7圆柱螺线{cos ,sin r t =8C ）．A.α为单位向量；B.αα⊥；C.k αβ=-；D.k βατγ=-+. 9．直线的曲率为（B ）．A.-1；B.0；C.1；D.2.10．关于平面曲线的曲率:()C r r s =不正确的是（D ）．A.()()k s s α=；B.()()k s s ϕ=，ϕ为()s α的旋转角；C.()k s αβ=-⋅；D.()|()|k s r s =.11．对于曲线，“曲率恒等于0”是“曲线是直线”的（D ）．A.充分不必要条件；B.必要不充分条件；C.既不充分也不必要条件；D.充要条件. 12．下列论述不正确的是（D ）．A.,αβγ,均为单位向量；B.αβ⊥；C.βγ⊥；D.αβ. 13．对于空间曲线C ，“挠率为零”是“曲线是直线”的（B ）．A.充分不必要条件；B. 必要不充分条件；C.既不充分也不必要条件；D. 充要条件. 56x y z +--球面{(,)r u v R =2(d sinh d u u v +正圆柱面{(,)r u v R =在第一基本形式为的曲线段的弧长为（B ）．A ．21cosh cosh v v -；B ．21sinh sinh v v -；C ．12cosh cosh v v -；D ．12sinh sinh v v -．20．设M 为正则曲面，则M 的参数曲线网为正交曲线网的充要条件是（B ）．A ．0E =；B ．0F =；C ．0G =；D ．0M =． 21．高斯曲率为零的的曲面称为（A ）．A ．极小曲面；B ．球面；C ．常高斯曲率曲面；D ．平面．22．曲面上直线（如果存在）的测地曲率等于（A）．A．0；B．1；C．2；D．3．23．当参数曲线构成正交网时，参数曲线u-曲线的测地曲率为（B）．；B．AC．A．直线；B．平面曲线；C．抛物线；D．圆柱螺线．1.2.()r t.√r t'.×3.()r t关于t的旋转速度等于其微商的模()4.的曲率、挠率都为常数，则曲线Γ是圆柱螺线5.的曲率、挠率都为非零常数，则曲线是圆柱螺线6.7.8.两个曲面间的变换等角的充要条件是它们的第一基本形式成比例9.16.19.坐标曲线网是正交网的充要条件是0F=，这里F是第一基本量.√20.高斯曲率恒为零的曲面必是可展曲面.√21.连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的.×22.球面上的圆一定是测地线.×23.球面上经线一定是测地线.√24.测地曲率是曲面的内蕴量.√四、计算题1．求旋轮线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=的π20≤≤t 一段的弧长．解旋轮线{}()(sin ),(1cos )r t a t t a t =--的切向量为{}()cos ,sin r t a a t a t '=-，则在π20≤≤t 一段的弧长为：220()d 8s r t t t a ππ'===⎰⎰．2．求曲线t te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的切向量、主法向量、副法向量． 解由题意知 {}()sin cos ,cos sin ,t t r t t t t t t t e te '=+-+，{}()2cos sin ,2sin cos ,2t t r t t t t t tt e te ''=---+，, r r r r β='''''⋅⨯，r r γ='''⨯， 所以有22666333(0,,),(,,),(,,)223663αβγ==-=-. 3圆柱螺线为{}()cos ,sin ,r t a t a t bt =，}sin ,cos ,t a t b {}()cos ,sin ,0r t a t a t =--()(), ,r r r r r r r r r r r r r r r αβγ''''''''''''⋅-⋅⨯===''''''''⋅⨯⨯ ②由一般参数的曲率公式3()r r k t r '''⨯='及挠率公式2(,,)()r r r t r r τ''''''='''⨯ b +4求正螺面{(,)r u v u =解{cos ,sin u r v =，{sin v r u =-cos v 法线方程为cos sin sin cos x u v y u v z bvb v b v u---==-． 5．求球面{}(,)cos cos ,cos sin ,sin r a a a ϕθϕθϕθϕ=上任一点处的切平面与法线方程． 解{}sin cos ,sin sin ,cos r a a a ϕϕθϕθϕ=--，{}cos sin ,cos cos ,0r a a θϕθϕθ=-，∴球面上任意点的切平面方程为即cos cos cos sin sin 0x y z a θϕϕθϕ⋅+⋅+⋅-=， 法线方程为即cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin x a y a z a ϕθϕθϕϕθϕθϕ---==．6．求圆柱螺线cos ,sin ,x a t y a t z t ===在点(,0,0)a 处的密切平面. 解(){sin ,cos ,1},r t a t a t '=-(){cos ,sin ,0},r t a t a t ''=--所以曲线在原点的密切平面的方程为 即sin )(cos )sin 0t x t y az a t -+-=(.7．求旋转抛物面22()z a x y =+的第一基本形式．228求正螺面}(,,sin ,r u v u v bv 的第一基本形式． 1u r =，F 2v v r r u b ⋅=+．9．计算正螺面{cos ,u v u =}cos ,sin ,0v v ，{}sin ,cos ,u v u v b =-，}0,0,0，{}uv r =，{cos vv r u =-}cos sin cos ,sin cos u v i j k r r v v b v u v u v b⨯=-{sin u v u v b r r n r r b u⨯==⨯+1u u E r r =⋅=，0u v F r r ⋅=，G 0uu r n ⋅=，2uv M uN r =．计算抛物面z x =的高斯曲率和平均曲率． 解设抛物面的参数表示为{}22(,),,r x y x y x y =+，则{}1,0,2x r x =，{}0,1,2y r y =，{}0,0,2xx r =，{}0,0,0xy yx r r ==，{}002yy r =，，，{}1022,2,1012x y i j kr r x x y y⨯==--，22,2,1||4x y x y r r x y n r r x ⨯--==⨯214xx E r r x =⋅=+，4x y F r r xy =⋅=，214y y G r r y =⋅=+，xx L r n =⋅=，0xy M r n =⋅=，yy N r n =⋅=，2222222222404441(14)(14)(4)(441)LN M x y K EG F x y xy x y --++===-++-++， 220=，G =x 求螺旋面{cos r u v =解u v r {cos ,sin v,0},r {u sin v,u cos v,b}v ==-{}{}{}uu uv vv r =0,0,0,r =sin v,cos v,0,r ucos v,usin v,0-=--，L 0,M N 0===曲率线的微分方程为:2222dv dudv du 10u b =00-+或du bu dv 221+±=积分得两族曲率线方程:14.求马鞍面22{,,}r u v u v =-在原点处沿任意方向的法曲率. 解{1,0,2},{0,1,2}==-u v r u r v ，u v 2u v n r r 4u =⨯1=+Ⅱ，{0,0,2},{0,0,0},{0,0,2}===xx xy yy r a r r a ，代入主曲率公式，N2a 002a k=-，所以两主曲率分别为求曲面2{,,r u v u =解{u r =,u 1,02,{}v r ,v =01,2(1,1)(1,1)N =解由23{,,},r u v u v =+得{}u r =,u 1,02,{}2,v r ,v =01,3①v >0时，是椭圆点；②v <0时，是双曲点；③v =0时，是抛物点. 18.求曲面32(,){,,}r u v v u u v =+上的抛物点的轨迹方程． 解由32(,){,,},r u v v u u v =+得{}u r =u,0,21,{}2,v r v ,=30,1令320LN M .-=得u =0或v =0所以抛物点的轨迹方程为{}r=v ,,v 30或{}0r=,u ,u 2. 19.求圆柱螺线(){cos ,sin ,}r t a t a t bt =自然参数表示.解由(){cos ,sin ,},r t a t a t bt =得{sin ,cos ,}r a t a t b '=-，2()r t a '=弧长(),s t =⎰t =曲线的自然参数表示为(){sin r s a a =20.求挠曲线的主法线曲面的腰曲线.,=a=αb ==-k βατγ'+b =k,''-b '所以腰曲线是222b kr=a s s =a s s k bββτ'''()-()()+()+ 求位于正螺面cos ,sin ,x u v y u v z av ===上的圆柱螺线0x u av ==（0u =0u =，由2πθ=设曲线：(s),r r =证明：2()k -;r ,r ,r =k .ταγτ=⋅⑵ =k =-,αβγτβ，两式作点积，得=-k =-k,αγτββτ⋅⋅⑵r=r==k ,ααβ，2()r=k +k =k +k -k +=-k +k +k βββατγαβτγ 设曲线：(s),r r =证明：3()()r ,r ,r =k k -k .ττ 由伏雷内公式，得??()r r s =是一般螺线，证明:r Γ． 证明1r R ds αβ=-⎰，两边关于s 微商，得1αα∴，由于Γ是一般螺线，所以Γ也是一般螺线.4.证明曲线(){sin (),s (),}(r t a t dt a co t dt bt a,b ϕϕ=⎰⎰是常数）是一般螺线． 证明(){sin (),cos (),},r t a t a t b ϕϕ'=k abτ∴=-.5．曲面S 上一条曲线(C),P 是曲线(C)上的正常点，n g k ,k ,k 分别是曲线(C)在点P 的曲率、法曲率与测地曲率，证明222n g k =k +k ．证明测地曲率()g k k k n βεβα=⋅=⋅⨯(,,)k n k n αβγ==⋅sin k .θ=±(θ是主法向量β与法向量n 的夹角)法曲率cos n k k n k βθ=⋅=，6.证明曲线{}cos ,sin ,0t t r e t e t =的切向量与曲线的位置向量成定角．证明对曲线上任意一点，曲线的位置向量为{}cos ,sin ,0t t r e t e t =，该点切线的切向量为：{t r e '=2t r r e ='由所取点的任意性可知，该曲线与曲线的切向量成定角．7证明：若r '和r ''()()()r t g t r t '''+=则 ,()t r t r '''∀⨯3r r r '''⨯'，故t ∀有()k t =8．证明圆柱螺线t a x =,cos 证明由题意有{}{()sin ,cos ,,()cos ,sin r t a t a t b r t a t a '''=-=--()()r r r r r r r r r β''''''''⋅-⋅=''''⋅⨯知{cos ,t β=-另一方面z 轴的方向向量为{}0,0,1a =9证明曲线y t a x ,sin 2==}2,cos2sin t a t t ，则任意点的法平面为0)cos (sin )cos sin (2cos )sin (2sin 00000020=---+-t a z t a t t a y t a t a x t a 将点（0,0,0）代入上述方程有左边)cos 0(sin )cos sin 0(2cos )sin 0(2sin 00000020t a t a t t a t a t a t a ---+-===0右边， 故结论成立．10．证明曲线222132225,1x t+t ,y t t z t =+=-+=-为平面曲线，并求出它所在的平面方程. 证明{}222132225,1r t+t ,t t t =+-+-，{}34210,2r +t,t t '=-+-，{}410,2r ,''=-，{}00,0r ,'''=(,,)0r r r ,''''''=0τ=，所以曲线是平面曲线.它所在的平面就是密切平面{}(0)32,0r ,'=-，{}(0)410,2r ,''=- 密切平面方程为12132004102x y z -=-－－－， 化简得其所在的平面方程是2x +3y +19z –27＝0.11.证明如果曲线的所有切线都经过一个定点，那么它是直线.证明设曲线方程()r r s =，定点的向径为0R ，则())s λαλ-0λ＝ 曲线是直线.证明如果曲线的所有密切平面都经过一个定点，那么它是平面曲线取定点为坐标原点，曲线的方程为()r r t =，(),(),())0r t r t r t '''-=,即((),(),())0r t r t r t '''=所以平行于固定平面，所以()r r t =是平面曲线13.若一条曲线的所有法平面包含非零常向量e ，证明曲线是直线或平面曲线根据已知条件，得0.............e α⋅=①，0e α⋅=，由伏雷内公式得0k =，则曲线是直线；ⅱ)0e β⋅=又有①可知γ‖e因e 是常向量，所以γ是常向量，|||0,τγ==所以0，所以曲线为平面曲线设在两条挠曲线的点之间建立了一一对应关系，使它们在对应的点的副法线互相平行，证明它们在对应点的切线和主法线也分别平行证明γγ±１２＝,21ds ds γγ±１２＝ 由伏雷内公式得211ds ds τβτβ±１２２＝12ββ∴±=进而12αα=± 15.证明挠曲线（0τ≠）的主法线曲面是不可展曲面.证明设挠曲线为()r r s =，则挠率0τ≠，其主法线曲面的方程是：()()r s t s ρβ=+取(),()a r s b s β==，则(),()k a s b s αβατγ''===-＋所以,(,,)((),(),k )((),(),k )((),(),)0a b b s s s s s s αβατγαβααβτγτ''=-=-≠＋＋＝ 所以挠曲线的主法线曲面不是可展曲面.16.证明挠曲线（0τ≠）的副法线曲面是不可展曲面.证明设挠曲线为()r r s =，则挠率0τ≠，其副法线曲面的方程是：()()r s t s ργ=+取(),()a r s b s γ==，则(),()a s b s αγτβ''===-.s v s v =r r vk ⨯（1-）n=γ， 所以主法向量与曲面的法向量夹角θcos 0,θ=沿每一条直母线只有一个切平面0()ϕθ+u 为直纹面(0,ϕ所以，曲面可展，即沿每一条直母线只有一个切平面. 19.cos γθ0ｎ＝0γγｎ＋ｎ＝是曲率线，所以αｎ，进而0γｎ＝，由伏雷内公式得 是一平面曲线⑵n 0β＝，即n β⊥，n kcos =0k θ=，又因为Γ是曲率线，所以0n dn k dr =-=即n 是常向量，所以Γ是平面曲线.20．求证正螺面上的坐标曲线（即u -曲线族v -曲线族）互相垂直．证明设正螺面的参数表示是{}(,)cos ,sin ,r u v u v u v bv =，则{}cos ,sin ,0u r v v =，{}sin ,cos ,v r u v u v b =-，{}{}cos ,sin ,0sin ,cos ,0u v r r v v u v u v b ⇒⋅=⋅-=，故正螺面上的坐标曲线互相垂直．21.证明在曲面上的给定点处,沿互相垂直的方向的法曲率之和为常数.证明由欧拉公式2212cos sin θθ=+n k k k所以*n n 12k k k k +=+＝常数.22.如果曲面上非直线的测地线Γ均为平面曲线，则Γ必是曲率线.证明因为曲线Γ是非直线的测地线，所以沿此曲线有,β=±n从而(),κατγ=±-+n 又因为曲线是平面曲线，所以0,τ=进一步n κα=±.由罗德里格斯定理可知曲线的切线方向为主方向，故所给曲线为曲率线.23.证明在曲面()()z f x f y =+上曲线族x =常数，y =常数构成共轭网.因为20xy M r EG F =⋅=-常数,y =常数构成共轭网．证明马鞍面z xy =上所有点都是双曲点．}，{0,0,0xx r =，{}0,0,1xy r ={},1x y r r x ⨯=-，{2|1x yx y r r y n r r x ⨯-==⨯++0xx r n =⋅=，2211xy M r n x y =⋅=++221001M y x -=⨯-=-++， {}(,)cos cos ,cos sin ,sin r u v R v u R v u R v =，则{}cos sin ,cos cos ,0u r R v u R v u =-，{}sin cos ,sin sin ,cos v r R v u R v u R v =--， {}cos cos ,cos sin ,0uu r R v u R v u =--，{}sin sin ,sin cos ,0uv vu r r R v u R v u ==-， {}cos cos ,cos sin ,sin vv r R v u R v u R v =---，22cos u u E r r R v =⋅=，0u v F r r =⋅=，2v v G r r R =⋅=，2cosL R v==-，0M==，N R==-，1(,,)(,,)L M N E F GR∴=-，故球面是全脐的．26．证明平面是全脐的．证明设平面的参数表示为{}(,),,0r x y x y=，则{}1,0,0xr =，{}0,1,0yr =，{}0,0,0xxr =，{}0,0,0xyr =，{}0,0,0yyr =，1x xE r r=⋅=，0x yF r r=⋅=，1y yG r r=⋅=，}，{}0,0,r=，{0,0,yyr =-}),1x y+|x yx yr rnr r⨯=⨯，{}5/3290,0,()xxr n x y n-=⋅=-+⋅，{}5/3290,0,()xyM r n x y n-=⋅=-+⋅，{}5/3290,0,()yyr n x y n-=⋅=-+⋅20LN M⇒-=，曲面3x y z+=的所有点为抛物点．．求证正螺面{}(,)cos,sin,r u v u v u v av=是极小曲面．证明{}cos,sinur v=，{sinvr u=-{0,0,0uur=，{sinuvr v=-}cos sin cos,sin cosu vi j kr r v v a v uv u v a⨯=-sin,cos,||u vu va v a v ur rnr r-⨯==⨯1u uE r r=⋅=，0u vF r r=⋅=，22v vG r r a u=⋅=+，uuL r n=⋅=，uvM r n=⋅=0vvN r n=⋅=，21210,22EN FM GLHEG F-+∴=⋅==-故正螺面是极小曲面．29.圆柱面{cos ,sin ,}r a u a u v =上的纬线是测地线． 证明由{cos ,sin ,},r a u a u v =2,0, 1.E a F G ===g d k ds θθθ=+，纬线是u -线，此时0θπ=或， 0.g k ∴=所以，纬线是测地线．30．证明极小曲面上的点都是双曲点或平点． 证明1202k k H +==，12k k ∴=-，21220K k k k ∴=⋅=-≤ 当0K =时，31.因曲线是测地线，所以沿此曲线有βn ，所以βdn ， 又曲线是曲率线，所以αdn dr ，k )ατγα+，所以0τ=，故所给曲线是平面曲线. 因所给曲线既是测地线又为曲率线，所以沿此曲线有,,n βα γαβ=⨯，所以,n γα=±⨯从而()(0)0n n k n γααβ=±⨯+⨯=±-⨯+=，γτβ=-，所以τ。

微分几何期末考试试题一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个不是微分几何中的基本概念？A. 流形B. 向量场C. 微分形式D. 群论2. 给定一个光滑曲线 \(\gamma: [a, b] \rightarrow\mathbb{R}^3\)，其参数化形式为 \(\gamma(t)\)，该曲线的切向量是：A. \(\gamma(t)\)B. \(\frac{d\gamma}{dt}\)C. \(\gamma'(t)\)D. 以上都不是3. 曲率（Curvature）是描述曲线局部性质的一个重要概念，以下哪个是曲率的正确定义？A. 曲线在某点的切向量的变化率B. 曲线在某点的法向量的变化率C. 曲线在某点的切线的变化率D. 曲线在某点的法线的变化率4. 在微分几何中，度量张量是用来描述空间的内在度量性质。

以下哪个是度量张量的属性？A. 正定性B. 反对称性C. 线性D. 以上都是5. 黎曼曲率张量是描述黎曼流形的内在曲率性质的量，以下哪个是黎曼曲率张量的属性？A. 对称性B. 反对称性C. 张量性D. 以上都是二、简答题（每题10分，共30分）1. 描述什么是流形的切空间，并给出一个具体的例子。

2. 解释什么是联络，并简述其在微分几何中的重要性。

3. 描述什么是测地线，并解释它在广义相对论中的应用。

三、计算题（每题25分，共50分）1. 给定一个二维黎曼流形 \((M, g)\)，其度量张量 \(g\) 在局部坐标系 \((x^1, x^2)\) 下的分量为 \(g_{11} = 1, g_{12} = 0,g_{22} = x^1\)。

求该流形的黎曼曲率张量 \(R\)。

2. 考虑一个三维空间中的曲面 \(S\)，参数化表示为 \(\phi(u, v) = (u \cos v, u \sin v, v)\)。

计算曲面 \(S\) 的第一基本形式和第二基本形式，并求出其高斯曲率和平均曲率。

《微积分几何》温习题 本科第一部分：演习题库及答案一.填空题（每题后面附有症结词;难易度;答题时长） 第一章1．已知(1,1,1),(1,0,1)=-=-a b ,则这两个向量的夹角的余弦θcos =36 2．已知(0,1,1),(1,0,1)=-=-a b ,求这两个向量的向量积⨯=a b (-1,-1,-1)． 3．过点)1,1,1(P 且与向量(1,0,1)=-a 垂直的平面方程为X-Z=04．求两平面0:1=++z y x π与12:2=+-z y x π的交线的对称式方程为21131--=-=+z y x 5．盘算232lim[(31)]t t t →+-+=i j k 138-+i j k ． 6．设()(sin )t t t =+f i j ,2()(1)t t t e =++g i j ,求0lim(()())t t t →⋅=f g 0．7．已知(,)(,,)u v u v u v uv =+-r ,个中2t u =,t v sin =,则d d t=r(2cos ,2cos ,2cos )t t t t vt u t +-+ 8．已知t =ϕ,2t =θ,则d (,)d tϕθ=r (sin cos 2cos sin ,sin sin 2cos cos ,cos )a at a at a ϕθϕθϕθϕθϕ---+ 9．已知42()d (1,2,3)t t =-⎰r ,64()d (2,1,2)t t =-⎰r ,求4622()d ()d t t t t ⨯+⋅⋅=⎰⎰a r b a r )5,9,3(-,个中(2,1,1)=a ,(1,1,0)=-b10．已知()t '=r a （a 为常向量）,求()t =r t +a c 11．已知()t t '=r a ,（a 为常向量）,求()t =r 212t +a c12．已知()(2)(log )t t t =++f j k ,()(sin )(cos )t t t =-g i j ,0t >,则4d()d d t t ⋅=⎰f g 4cos 62-． 第二章13．曲线3()(2,,)t t t t e =r 在随意率性点的切向量为2(2,3,)t t e 14．曲线()(cosh ,sinh ,)t a t a t at =r 在0t =点的切向量为(0,,)a a 15．曲线()(cos ,sin ,)t a t a t bt =r 在0t =点的切向量为(0,,)a b16．设有曲线2:,,t t C x e y e z t -===,当1t =时的切线方程为2111-=--=-z ee y e e x 17．设有曲线t t t e z t e y t e x ===,sin ,cos ,当0t =时的切线方程为11-==-z y x 第三章18．设(,)u v =r r 为曲面的参数暗示,假如u v ⨯≠r r 0,则称参数曲面是正则的;假如:()G G →r r 是一一的,则称参数曲面是简略的．19．假如u -曲线族和v -曲线族处处不相切,则称响应的坐标网为正规坐标网．(坐标网;易;3分钟)20．平面(,)(,,0)u v u v =r 的第一根本情势为22d d u v +,面积元为d d u v21．悬链面(,)(cosh cos ,cosh sin ,)u v u v u v u =r 的第一类根本量是2cosh E u =,0F =,2cosh G u = 22．曲面z axy =上坐标曲线0x x =,0y y =223．正螺面(,)(cos ,sin ,)u v u v u v bv =r 的第一根本情势是2222d ()d u u b v ++．24．双曲抛物面(,)((),(),2)u v a u v b u v uv =+-r 的第一根本情势是2222222222(4)d 2(4)d d (4)d a b v u a b uv u v a b u v +++-++++25．正螺面(,)(cos ,sin ,)u v u v u v bv =r 的平均曲率为0．（正螺面.第一根本量.第二根本量;中;3分钟）26．偏向(d)d :d u v =是渐近偏向的充要前提是n κ=或22d 2d d d 0L u M u v N v ++=27．两个偏向(d)d :d u v =和(δ)δ:δu v =共轭的充要前提是(d ,δ)0=II r r 或d δ(d δd δ)d δ0L u u M u v v u N v v +++=28．函数λ是主曲率的充要前提是0E LF MF MG Nλλλλ--=--29．偏向(d)d :d u v =是主偏向的充要前提是d d d d 0d d d d E u F vL u M vF uG v M u N v++=++30．依据罗德里格定理,假如偏向(d)(d :d )u v =是主偏向,则d d n κ=-n r ,个中n κ是沿(d)偏向的法曲率31．扭转微小曲面是平面或悬链面 第四章32．高斯方程是kij ijk ij kL =Γ+∑r r n ,,1,2i j =,魏因加尔吞方程为,kj i ik i j kL g =-∑n r ,,1,2i j = 33．ijg 用ij g 暗示为221212111()det()ijij g g g g g g -⎛⎫=⎪-⎝⎭． 34．测地曲率的几何意义曲直面S 上的曲线()C 在P 点的测地曲率的绝对值等于()C 在P 点的切平面∏上的正投影曲线()C *的曲率35．,,g n κκκ之间的关系是222g n κκκ=+．36．假如曲面上消失直线,则此直线的测地曲率为 0．37．测地线的方程为22,d d d 0,1,2d d d k i jk ij i ju u u k s s s +Γ==∑ 38．高斯-波涅公式为1d d ()2kg i i GGK s σκπαπ=∂++-=∑⎰⎰⎰39．假如G ∂是由测地线构成,则高斯-波涅公式为1d ()2ki i GK σπαπ=+-=∑⎰⎰．二.单选题 第一章40．已知(1,0,1)=--a ,(1,2,1)=-b ,则这两个向量的内积⋅a b 为（ C ）．（内积;易;2分钟）A 2B 1-C 0D 141．求过点(1,1,1)P 且与向量(1,0,1)=--a 平行的直线的方程是（ A ）．（直线方程;易;2分钟） A ⎩⎨⎧==1y z x B 1321+==-z yx C 11+==+z y x D ⎩⎨⎧==1z y x42．已知(1,1,1),(1,0,1),(1,1,1)=-=-=a b c ,则混杂积为（ D ）．（混杂积;较易;2分钟）A 2B 1-C 1D 2-()(,,)t t t e t e -=r ,则(0)''r 为（ A ）．（导数;易;2分钟）Ａ (１,０,１) Ｂ (-１,０,１) Ｃ (０,１,１) Ｄ (１,０,-１)44．已知()()t t λ'=r r ,λ为常数,则()t r 为（ C ）．（导数;易;2分钟） Ａ t λa Ｂ λa Ｃ t e λa Ｄ e λa 上述a 为常向量．(,)(,,)x y x y xy =r ,求d (1,2)r 为（ D ）．（微分;较易;2分钟）Ａ (d ,d ,d 2d )x y x y + Ｂ (d d ,d d ,0)x y x y +- 第二章46．圆柱螺线(cos ,sin ,)t t t =r 的切线与z 轴（ C ）.(螺线.切向量.夹角;较易.2分钟) Ａ 平行 Ｂ 垂直 Ｃ 有固定夹角4π Ｄ 有固定夹角3π 47．设有平面曲线:()C s =r r ,s 为天然参数,α,β曲直线的根本向量．下列论述错误的是（C ）．Ａ α为单位向量 Ｂ ⊥αα Ｃ κ=-αβ Ｄ κ=-βα 48．直线的曲率为（ B ）．（曲率;易;2分钟）Ａ –１ Ｂ ０ Ｃ １ Ｄ ２49．关于平面曲线的曲率:()C s =r r 不准确的是（ D ）．（伏雷内公式;较易;2分钟） Ａ ()()s s κ=α Ｂ ()()s s κϕ=,ϕ为()s α的扭转角 Ｃ ()s κ=-⋅αβ Ｄ ()|()|s s κ=r50．对于平面曲线,“曲率恒等于０”是“曲线是直线”的（ D ）．（曲率;易;2分钟)Ａ 充分不须要前提 Ｂ 须要不充分前提 Ｃ 既不充分也不须要前提 Ｄ 充要前提 51．下列阐述不准确的是（ D ）．（根本向量;易;2分钟） Ａ α,β,γ均为单位向量 Ｂ ⊥αβ Ｃ ⊥βγ Ｄ //αβ52．对于空间曲线Ｃ,“曲率为零”是“曲线是直线”的（ D ）．（曲率;易;2分钟) A 充分不须要前提 B 须要不充分前提 C 既不充分也不须要前提 D 充要前提53．对于空间曲线C ,“挠率为零”是“曲线是直线”的（ D ）．（挠率;易;2分钟) A 充分不须要前提 B 须要不充分前提 C 既不充分也不须要前提 D 充要前提 54．2sin 4),cos 1(),sin (t a z t a y t t a x =-=-=在点2π=t 的切线与z 轴关系为（ D ）．Ａ 垂直 Ｂ 平行 Ｃ 成3π的角 Ｄ 成4π的角 第三章55．椭球面2222221x y z a b c++=的参数暗示为（C ）．（参数暗示;易;2分钟）A (,,)(cos cos ,cos sin ,sin )x y z ϕθϕθϕ=B (,,)(cos cos ,cos sin ,sin )x y z a b ϕθϕθϕ=C (,,)(cos cos ,cos sin ,sin )x y z a b c ϕθϕθϕ=D (,,)(cos cos ,sin cos ,sin 2)x y z a b c ϕθϕθθ=56．以下为单叶双曲面2222221x y z a b c+-=的参数暗示的是（D ）．（参数暗示;易;2分钟）A (,,)(cosh sin ,cosh cos ,sinh )x y z a u v b u v u =B (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z u v u v u =C (,,)(sinh cos ,sinh sin ,cosh )x y z a u v b u v c u =D (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z a u v b u v c u =57．以下为双叶双曲面2222221x y z a b c+-=-的参数暗示的是（A ）．（参数暗示;易;2分钟）A (,,)(sinh cos ,sinh sin ,cosh )x y z a u v b u v c u =B (,,)(cosh cos ,sinh sin ,cosh )x y z a u v b u v c u =C (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z a u v b u v c u =D (,,)(cosh cos ,cosh sin ,sinh )x y z u v u v u =58．以下为椭圆抛物面22222x y z a b+=的参数暗示的是（B ）．（参数暗示;易;2分钟）A 2(,,)(cos ,sin ,)2u x y z u v u v =B 2(,,)(cos ,sin ,)2u x y z au v bu v =C 2(,,)(cosh ,sinh ,)2u x y z au v bu v = D (,,)(cos ,sin ,)x y z a v b v v =59．以下为双曲抛物面22222x y z a b-=的参数暗示的是（C ）．（参数暗示;易;2分钟）A (,,)(cosh ,sinh ,)x y z a u b u u =B (,,)(cosh ,sinh ,)x y z u u u =C (,,)((),(),2)x y z a u v b u v uv =+-D (,,)(,,)x y z au bv u v =-60．曲面2233(,)(2,,)u v u v u v u v =-+-r 在点(3,5,7)M 的切平面方程为（B ）．（切平面方程;易;2分钟）A 2135200x y z +-+=B 1834410x y z +--=C 756180x y z +--=D 1853160x y z +-+=61．球面(,)(cos cos ,cos sin ,sin )u v R u v R u v R u =r 的第一根本情势为（D ）．（第一根本情势;中;2分钟）A 2222(d sin d )R u u v +B 2222(d cosh d )R u u v +C 2222(d sinh d )R u u v +D 2222(d cos d )R u u v +62．正圆柱面(,)(cos ,sin ,)u v R v R v u =r 的第一根本情势为（ C ）．（第一根本情势;中;2分钟）A 22d d u v +B 22d d u v -C 222d d u R v +D 222d d u R v -63．在第一根本情势为222(d ,d )d sinh d u v u u v =+I 的曲面上,方程为12()u v v v v =≤≤的曲线段的弧长为（B ）．（弧长;中;2分钟）A 21cosh cosh v v -B 21sinh sinh v v -C 12cosh cosh v v -D 12sinh sinh v v -64．设M 为3R 中的2维2C 正则曲面,则M 的参数曲线网为正交曲线网的充要前提是（ B ）．A 0E =B 0F =C 0G =D 0M = 65．以下准确的是（ D ）．（魏因加尔吞变换;较易;2分钟）A d (d )=n rB d (d )u =n rC d (d )u v =n r D d (d )=-n r66．以下准确的是（ C ）．（魏因加尔吞变换;较易;2分钟） A (d ,(δ))(d ,δ)=-I r r II r r B (d ,(δ))((δ),d )=-I r r I r r C (d ,(δ))((d ),δ)=I r r I r r D (d ,(δ))((d ),δ)=I r r II r r 67．以下准确的是（A ）．（魏因加尔吞变换;较易;2分钟） A (d ,(δ))(d ,δ)=I r r II r r B (d ,(δ))((d ),δ)=I r r II r r C (d ,(δ))((d ),δ)=-I r r I r r D (d ,(δ))((d ),δ)=II r r II r r68．高斯曲率为常数的的曲面叫（C ）．（高斯曲率;易;2分钟）A 微小曲面B 球面C 常高斯曲率曲面D 平面 第四章B 69．,___________ij ji i jg g =∑．（第一根本情势;易;2分钟）A 1B 2C 0D -1 B 70．______j kj l jg δ=∑．（第一根本情势;易;2分钟）A kj gB kl gC ki gD ij gA 71．________kij Γ=．（克氏符号;较易;2分钟）A 1()2jl ij kl il j i l i g g g g u u u ∂∂∂+-∂∂∂∑B 1()2jl ijkl il j i l i g g g g u u u ∂∂∂--∂∂∂∑C 1()2jl ij kl il j i l ig g g g u u u ∂∂∂++∂∂∂∑ D 1()2jl ijkl il j il i g g g g u u u ∂∂∂-+∂∂∂∑ A 72．曲面上直线（假如有的话）的测地曲率等于_____．A 0B 1C 2D 3B 73．当参数曲线构成正交网时,参数曲线u-曲线的测地曲率为_____．（刘维尔定理.测地曲率;中;4分钟）B CA 74．假如测地线同时为渐进线,则它必为_____．（测地曲率.法曲率.曲率;中;2分钟）A 直线B 平面曲线C 抛物线D 圆柱螺线B 75．在伪球面(1)K ≡-上,任何测地三角形的内角之和____．（高斯-波涅定理;中;4分钟）A 等于πB 小于πC 大于πD 不克不及肯定 三.多选题 第一章()((),(),()),1,2,3i i i i t x t y t z t i ==r 为向量函数,则下列阐述准确的是（ AD ）．（导数;易;4分钟）Ａ 1111()((),(),())t x t y t z t ''''=rＢ 1111111111()((),(),())((),(),())((),(),())t x t y t z t x t y t z t x t y t z t ''''=++r Ｃ 123123((),(),())((),(),())t t t t t t ''''=r r r r r rＤ 123((),(),())t t t 'r r r 123123123((),(),())((),(),())((),(),())t t t t t t t t t '''=++r r r r r r r r r Ｅ 123123((),(),())((),(),())t t t t t t ''=r r r r r r77．m,n 为常向量,()t r 为向量函数,则下述准确的是（ ABC ）．（积分的性质;中;4分钟） Ａ()d ()d b b aat t t t ⋅=⋅⎰⎰m r m r Ｂ ()d ()d b baat t t t ⨯=⨯⎰⎰m r m rＣ (,,())d ()()d b b aat t t t =⨯⎰⎰m n r m n r Ｄ (,,())d ()()d b baat t t t =⋅⎰⎰m n r m n rＥ(,,())d ()()d bbaat t t t =⨯⨯⎰⎰m n r m n r第二章78．下列曲线中为正则曲线的有（ACDE ）.（曲线的概念;易;4分钟） Ａ 3()(,)x x x =r ,),(+∞-∞∈x Ｂ 23()(,)x x x =r ,),(+∞-∞∈x Ｃ23()(,)x x x =r ,),0(+∞∈x Ｄ()(cos ,)x x x =r ,),(+∞-∞∈x Ｅ()(,)x x x =r ,)2,1(-∈x79．下列曲线中是正则曲线的有（ABCDE ）.（曲线的概念;易;4分钟） Ａ (cos ,sin ,)t t t =r , ),(+∞-∞∈t Ｂ (sin 3,3,0)t t =r , ),(+∞-∞∈t Ｃ 2(cos ,cos ,sin )t t t =r , ),(+∞-∞∈t Ｄ (cos ,1cos sin ,sin )t t t t =---r , ),(+∞-∞∈t Ｅ 22(2sin ,2sin tan ,)t t t t =r , ),(+∞-∞∈t80．下列式子准确的是（ABCE ）．（伏雷内公式;中;4分钟） Ａ =⨯γαβ Ｂ ⊥γα Ｃ k τ=-+βαγ Ｄ ⊥γβ Ｅ γ∥β． 第三章81．曲面33z x y =+在点(1,2,9)M 的（AD ）．（切平面.法线;中;4分钟）A 切平面方程为312180x y z +--=B 切平面方程为31480x y z +-+=C 法线方程为1393121x y z ---==- D 法线方程为1293121x y z ---==- E 法线方程为1294121x y z ---==-82．正螺面(cos ,sin ,)u v u v av =r 的（AC ）．（切平面.法线;中;4分钟）A 切平面方程为sin cos 0xa v ya v zu auv -+-=B 切平面方程为sin cos 0xa u ya u zv auv -+-=C 切平面方程为sin cos 0xa u ya u zv auv ---=D 法线方程为cos sin sin cos x u v y u v z ava v a v u ---==- E 法线方程为cos sin sin cos x u v y u v z ava u a u v---==- 83．下列二次情势中,（ ABD ）不克不及作为曲面的第一根本情势．（第一根本情势;易;4分钟）A 22(d ,d )d 4d d d u v u u v v =++IB 22(d ,d )d 4d d 4d u v u u v v =++IC 22(d ,d )d 4d d 6d u v u u v v =-+ID 22(d ,d )d 4d d 2d u v u u v v =+-IE 22(d ,d )d 4d d 5d u v u u v v =++I84．一般螺面(,)(cos ,sin ,())u v u v u v f u av =+r 的第一类根本量是（ BCD ）．（第一根本量;易;4分钟）A 21(())E f u =+B 21(())E f u '=+C ()F af u '=D 22G a u =+E 22G a u =-85．下列曲面中,（ BCD ）是扭转常高斯曲率曲面．（常高斯曲率曲面;易;4分钟）A 正螺面B 平面C 球面D 圆柱面E 悬链面 第四章ABC 86．对于曲面上的正交坐标网,测地曲率_____g κ=（设曲线的切偏向与u r 的夹角为θ）．A d ds θθθ+B d ds θθθ-+ Ccos sin u v g g d ds θκθκθ++ D sin cos u v g g d ds θκθκθ++E cos sin u v g g d dsθκθκθ+-87．曲面上的曲线是测地线的充分须要前提是ABCD （测地线的概念;中;4分钟）A 知足方程22,d d d 0d d d k i jk ij i ju u u s s s +Γ=∑的曲线 B 知足0g κ=的曲线C 除了曲率为零的点外,曲线的主法线重合于曲面的法线D 知足0κ=的曲线E 知足0n κ=的曲线 四.论述题 第三章88．曲面.[解]设G 是初等区域,S⊂3R ,假如消失一个持续一一映射3:G →r R 使得()G S =r ,则称S 是一张曲面,而()x =r r 叫S 的参数暗示．89．坐标曲线.【解】曲面:(,),(,)S u v u v G =∈r r ,0(,)u v r 的像叫u -曲线,0(,)u v r 的像叫v -曲线,u -曲线和v -曲线都叫坐标曲线．90．第一根本情势.【解】称二次型22(d ,d )d 2d d d u v E u F u v G v =++I （个中u u E =⋅r r ,u v F =⋅r r ,v v G =⋅r r ）为曲面的第一根本情势．而E .F.G 叫曲面的第一类根本量．91．内蕴量.【解】由曲面的第一类根本量所决议的量叫曲面的内蕴量．92．第二根本情势.【解】称二次型22(d ,d )d 2d d d u v L u M u v N v =++II （个中uu L =⋅r n ,uv M =⋅r n ,vv N =⋅r n ）为曲面的第二根本情势．而L ,M,N 为曲面的第二类根本量．93．【解】若在P 点有20LN M ->,则称P 点为曲面的椭圆点．94．法曲率.【解】给定曲面S 上一点P 处的一个切向量(d)d :d u v =,则P 点沿偏向()d 的法曲率界说为(d)(d ,d )/(d ,d )n κ=II r r I r r ．95．主曲率.【解】使法曲率(d)n κ达到极值的偏向叫曲面在该点的主偏向,而主偏向的法曲率叫该点的主曲率．96．高斯曲率.【解】曲面的两个主曲率之积12K κκ=⋅叫曲面的高斯曲率． 97．微小曲面.【解】平均曲率0H =的曲面叫微小曲面． 五.盘算题 第二章98．求旋轮线)cos 1(),sin (t a y t t a x -=-=的π20≤≤t 一段的弧长．（弧长;中;5分钟） 【解】旋轮线()((sin ),(1cos ))t a t t a t =--r 的切向量为()(cos ,sin )t a a t a t '=-r ,则它的π20≤≤t 一段的弧长为：22()d 8s t t t a ππ'===⎰⎰r ．99．求曲线t te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的切向量.主法向量.副法向量．（根本向量;中;10分钟【解】由题意知()(sin cos ,cos sin ,)t t t t t t t t t e te '=+-+r ,()(2cos sin ,2sin cos ,2)t t t t t t t t t e te ''=---+r ,在原点时有 (0)(0,1,1),(0)(2,0,2)'''==r r . 又(,)(,), '''''''''-=='''''⋅⨯r r r r r r r αβr r r r ,'''⨯='''⨯r r γr r ,所以有===αβγ.100．圆柱螺线为()(cos ,sin ,)t a t a t bt =r .（根本向量.曲率.挠率;中;15分钟）①求根本向量α,β,γ; ②求曲率κ和挠率τ;【解】①由题意有()(sin ,cos ,)t a t a t b '=-r ,()(cos ,sin ,0)t a t a t ''=--γ,又由公式()(),,''''''''''''⋅-⋅⨯===''''''''⋅⨯⨯r r r r r r r r r αβγr r r r r r 有②由一般参数的曲率公式3()t κ'''⨯='r r r 及挠率公式2(,,)()t τ''''''='''⨯r r r r r 有22aa b κ=+,22b a b+=τ.第三章101．求正螺面(,)(cos ,sin ,)u v u v u v bv =r 的切平面和法线方程．（切平面.法线;中;5分钟）【解】(cos ,sin ,0)u v v =r ,(sin ,cos ,)v u v u v b =-r ,切平面方程为 法线方程为cos sin sin cos x u v y u v z bvb v b v u---==-． 102．求球面(,)(cos cos ,cos sin ,sin )a a a ϕθϕθϕθϕ=r 上任一点处的切平面与法线方程． 【解】(sin cos ,sin sin ,cos )a a a ϕϕθϕθϕ=--r ,(cos sin ,cos cos ,0)a a θϕθϕθ=-r , ∴球面上随意率性点的切平面方程为即cos cos cos sin sin 0x y z a θϕϕθϕ⋅+⋅+⋅-=, 法线方程为 即cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin x a y a z a ϕθϕθϕϕθϕθϕ---==．103．求扭转抛物面22()z a x y =+的第一根本情势．（第一根本情势;中;5分钟） 【解】参数暗示为22(,)(,,())x y x y a x y =+r ,(1,0,2)x ax =r ,(0,1,2)y ay =r ,2214x x E a x =⋅=+r r ,24x y F a xy =⋅=r r ,2214y y G a y =⋅=+r r ,2222222(d ,d )(14)d 8d d (14)d x y a x x a xy x y a y y ∴=++++I ．104．求正螺面(,)(cos ,sin ,)u v u v u v bv =r 的第一根本情势．（第一根本情势;中;5分钟） 【解】(cos ,sin ,0)u v v =r ,(sin ,cos ,)v u v u v b =-r ,1u u E =⋅=r r ,0u v F =⋅=r r ,22v v G u b =⋅=+r r , 2222(d ,d )d ()d u v u u b v ∴=++I ．105．盘算正螺面(,)(cos ,sin ,)u v u v u v bv =r 的第一.第二根本量．（第一根本情势.第二根本情势;中;15分钟）【解】(cos ,sin ,0)u v v =r ,(sin ,cos ,)v u v u v b =-r ,(0,0,0)uu =r ,(sin ,cos ,0)uv v v =-r ,(cos ,sin ,0)vv u v u v =--r ,cos sin 0(sin ,cos ,)sin cos u v vvb v b v u u v u v b⨯==--ij kr r ,||u v u v ⨯==⨯r r n r r ,1u u E =⋅=r r ,0u v F =⋅=r r ,22v v G u b =⋅=+r r , 0uu L =⋅=r n,uv M =⋅=r n 0vv N =⋅=r n ．106．盘算抛物面22z x y =+的高斯曲率和平均曲率．（高斯曲率.平均曲率;中;15分钟）【解】设抛物面的参数暗示为22(,)(,,)x y x y x y =+r ,则(1,0,2)x x =r ,(0,1,2)y y =r ,(0,0,2)xx =r ,(0,0,0)xy yx ==r r ,(002)yy =r ，，,102(2,2,1)012x y x x y y⨯==--i j kr r ,||x y x y ⨯==⨯r r n r r ,214x x E x =⋅=+r r ,4x y F xy =⋅=r r ,214y y G y =⋅=+r r ,xx L =⋅=r n 0xy M =⋅=r n ,yy N =⋅=r n ,222222222244441(14)(14)(4)(441)LN M x y K EG F x y xy x y --++===-++-++, 2232222124422(441)GL FM EN x y H EG F x y -+++=⋅=-++．107．盘算正螺面(,)(cos ,sin ,)u v u v u v bv =r 的高斯曲率（高斯曲率;中;15分钟） 【解】直接盘算知1E =,0F =,22G u a =+,0L =,M =0N =,222222()LN M a K EG F u a -∴==--+．第四章108．求位于正螺面cos ,sin ,x u v y u v z av ===上的圆柱螺线00cos ,sin ,x u v y u v z av ===（0u =常数）的测地曲率．（测地曲率.刘维尔定理;中;15分）【解】因为正螺面的第一根本情势为2222d ()d u u a v =++Ι,螺旋线是正螺面的v-曲线0u u =,由2πθ=得d 0d sθ=．由正交网的坐标曲线的测地曲率得0220g uu aκ==+．六.证实题 第二章109．证实曲线(cos ,sin ,0)t t e t e t =r 的切向量与曲线的地位向量成定角．（切向量.夹角;较易;5分钟）【证】对曲线上随意率性一点,曲线的地位向量为(cos ,sin ,0)t t e t e t =r ,该点切线的切向量为：((cos sin ),(sin cos ),0)t t e t t e t t '=-+r ,则有：2cos2t θ'⋅==='r r r r , 故夹角为4π.由所取点的随意率性性可知,该曲线与曲线的切向量成定角． 110．证实：若'r 和''r 对一切t 线性相干,则曲线是直线．（曲率;中;10分钟） 【证实】若'r 和''r 对一切线性相干,则消失恒不合时为0的(),()f t g t 使()()()()f t t g t t '''+=r r 0.则()() t t t '''⨯=∀r r 0. 又3()t κ'''⨯='r r r ,故()0k t =t ∀.于是该曲线是直线．111．证实圆柱螺线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 的主法线和z 轴垂直订交．（主法线.夹角;中;10分钟） 【证实】由题意有()(sin ,cos ,),()(cos ,sin ,0)t a t a t b t a t a t '''=-=--r r .由(,)(,)''''''''-=''''⋅⨯r r r r r r βr r r知(cos ,sin ,0)t t =--β.另一方面z 轴的偏向向量为(0,0,1)=a ,而0⋅=a β,故⊥a β,即主法线与z 轴垂直．112．证实曲线t a z t t a y t a x cos ,cos sin ,sin 2===的所有法平面皆经由过程坐标原点．（法平面;较易;5分钟）【证实】由题意可得()(sin 2,cos 2,sin )t a t a t a t '=-r ,则随意率性点的法平面为0)cos (sin )cos sin (2cos )sin (2sin 00000020=---+-t a z t a t t a y t a t a x t a 将点（0,0,0）代入上述方程有 左边)cos 0(sin )cos sin 0(2cos )sin 0(2sin 00000020t a t a t t a t a t a t a ---+-===0右边,故结论成立．113．证实曲线t z t y t t x +=-=-+=11,11,112为平面曲线,并树立曲线地点平面的方程.（挠率;中;10分钟） 【证实】设01111112=+++-+-+D t C tB t t A,整顿比较双方同次项可得 0,02,0=+++=-=-D C B A C A D A ,则有D C D B D A 2,4,=-==,即曲线为直线,且有0124=++-z y x ． 第三章114．求证正螺面上的坐标曲线（即u -曲线族v -曲线族）互相垂直．（坐标曲线.夹角;5分钟）【证实】设正螺面的参数暗示是(,)(cos ,sin ,)u v u v u v bv =r ,则(cos ,sin ,0)u v v =r ,(sin ,cos ,)v u v u v b =-r , (cos ,sin ,0)(sin ,cos ,)0u v v v u v u v b ⇒⋅=⋅-=r r ,故正螺面上的坐标曲线互相垂直．115．证实马鞍面z xy =上所有点都是双曲点．（点的分类.第二根本量;中;15分钟） 【证实】参数暗示为(,)(,,)x y x y xy =r ,则(1,0,)x y =r ,(0,1,)y x =r ,(0,0,0)xx =r ,(0,0,1)xy =r ,(0,0,0)yy =r , (,,1)x y y x ⨯=--r r,||x y x y ⨯==⨯r r n r r0xx L =⋅=r n,xy M =⋅=r n 0yy N =⋅=r n ,222221100011LN M x y x y ∴-=⨯-=-<++++,故马鞍面z xy =上所有点都是双曲点．116．假如曲面上某点的第一与第二根本情势成比例,即(d ,d )(d ,d )u v u v II I 与偏向无关,则称该点曲直面的脐点;假如曲面上所有点都是脐点,则称曲面是全脐的．试证球面是全脐的．（脐点;难;15分钟） 【证实】设球面的参数暗示为(,)(cos cos ,cos sin ,sin )u v R v u R v u R v =r ,则(cos sin ,cos cos ,0)u R v u R v u =-r , (sin cos ,sin sin ,cos )v R v u R v u R v =--r , (cos cos ,cos sin ,0)uu R v u R v u =--r , (sin sin ,sin cos ,0)uv vu R v u R v u ==-r r , (cos cos ,cos sin ,sin )vv R v u R v u R v =---r ,22cos u u E R v =⋅=r r ,0u v F =⋅=r r ,2v v G R =⋅=r r ,2cos L R v ==-,0M ==,N R ==-,1(,,)(,,)L M N E F G R∴=-,故球面是全脐的． 117．证实平面是全脐的．（脐点;易;5分钟） 【证实】设平面的参数暗示为(,)(,,0)x y x y =r ,则(1,0,0)x =r ,(0,1,0)y =r ,(0,0,0)xx =r ,(0,0,0)xy =r ,(0,0,0)yy =r ,1x x E =⋅=r r ,0x y F =⋅=r r ,1y y G =⋅=r r , 0xx L =⋅=r n ,0xy M =⋅=r n ,0yy N =⋅=r n (,,)0(,,)L M N E F G ∴=,故平面是全脐的．118．设有曲面(,)z f x y =,试证曲面的第二根本情势与函数(,)f x y 的二阶微分成比例．（第二根本情势;较难;10分钟）【证实】设曲面(,)z f x y =的参数暗示为(,)(,,(,))x y x y f x y =r ,则(1,0,)x x f '=r ,(0,1,)y y f '=r ,(0,0,)xx xxf ''=r ,(0,0,)xy xy f ''=r ,(0,0,)yy yy f ''=r , 10(,,1)01x y x x y y f f f f '''⨯==--'i j kr r,(,,1)||x y x y f f ''⨯--==⨯r r n r r ,xx L ''=⋅=r n,xy f M ''=⋅=r n ,yy f N ''=⋅=r n22(d ,d )d 2d d d )xxxy yy f x f x y f y ''''''∴=++II r r ． 119．证实曲面3x y z +=的所有点为抛物点．（点的分类.第二根本量;中;15分钟） 【证实】记曲面的参数暗示为1/3(,)(,,())x y x y x y =+r ,则2/313(1,0,())x x y -=+r ,2/313(0,1,())y x y -=+r , 5/323(0,0,())xx x y -=-+r , 5/329(0,0,())xy x y -=-+r ,5/329(0,0,())yy x y -=-+r ,2/32/31133((),(),1)x y x y x y --⨯=-+-+r r ,||x y x y ⨯=⨯r r n r r ,5/329(0,0,())xx L x y -=⋅=-+⋅r n n ,5/329(0,0,())xy M x y -=⋅=-+⋅r n n ,5/329(0,0,())yy N x y -=⋅=-+⋅r n n 20LN M ⇒-=,∴曲面3x y z +=的所有点为抛物点．120．求证正螺面(,)(cos ,sin ,)u v u v u v av =r 是微小曲面．（平均曲率;中;15分钟） 【证实】(cos ,sin ,0)u v v =r ,(sin ,cos ,)v u v u v a =-r ,(0,0,0)uu =r ,(sin ,cos ,0)uv v v =-r ,(cos ,sin ,0)vv u v u v =--r ,cos sin 0(sin ,cos ,)sin cos u v vva v a v u u v u v a⨯==--ij kr r ,||u v u v ⨯==⨯r r n r r ,1u u E =⋅=r r ,0u v F =⋅=r r ,22v v G a u =⋅=+r r , 0uu L =⋅=r n,uv M =⋅=r n ,0vv N =⋅=r n ,21210,22EN FM GL H EG F -+∴=⋅==-故正螺面是微小曲面．121．证实微小曲面上的点都是双曲点或平点．（点的分类.平均曲率;中;5分钟） 【证实】1202H κκ+==,12κκ∴=-,21220K κκκ∴=⋅=-≤当0K =时,120κκ==,∴微小曲面的点都是平点; 当0K <时,微小曲面的点都是双曲点． 第四章122．证实若曲面上有两族测地线交于定角,则曲面的高斯曲率为零．（高斯曲率;难;10分钟）【证实】在每族测地线中任取两条,围成曲面上的曲边四边形．依据已知前提,曲边四边形的外角和为2,π由高斯-波涅公式有d 22GK σππ+=⎰⎰,d 0GK σ=⎰⎰．若在曲面上的某点0P 处,0K ≠,无妨设0()0K P >,则在0P 点的临近0K >,从而对于环绕0P 点的充分小的曲边四边形有d 0GK σ>⎰⎰,得出抵触,所以0K ≡,即曲面为可展曲面．123．求证半径为R 的球面上测地三角之和为()21,A R π∆+个中()A ∆为测地三角形的面积．（高斯-波涅定理;难; 【证实】由高斯-波涅公式有d ()GK S σπ=∆-⎰⎰．对于半径为R 的球面有21K R =,所以21()()S A Rπ∆=+∆, 个中()A ∆为测地三角形的面积．124．若曲面S 的高斯曲率处处小于零,则曲面S 上不消失围成单连通区域的滑腻的闭测地线．【证实】设若消失所述闭测地线()C ,它所围成的曲面部分为G ,则由高斯-波涅公式1d d ()2kg i i G G K s σκπαπ=∂++-=∑⎰⎰⎰． 因为0K <,则d 0G K σ≤⎰⎰,又后两项均为0,得出抵触．所以不消失所述测地线．。

《微分几何》测试题（一）一．填空题：（每小题2分，共20分）⒈ 向量{}(),3,r t t t a =具有固定方向，则a =___t__。

⒉ 非零向量()r t 满足(),,0r r r '''=的充要条件是以该向量为切方向的曲线为平面曲线⒊ 设曲线在P 点的切向量为α，主法向量为β，则过P 由,αβ确定的平面是曲线在P 点的___密切平面__________。

⒋ 曲线()r r t =在点0()r t 的单位切向量是α，则曲线在0()r t 点的法平面方程是__________________________。

⒌ 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率(1)τ=_ -2_____。

⒍ 主法线与固定方向垂直的曲线是__ 一般螺线_ _⒎ 如果曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率的比是___常数_________________。

⒐ 曲面(,)z z x y =在点000(,,)x y z 的法线方程是_____________________。

二．选择填空题：（每小题3分，共30分）11、若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是___C___。

A 、 直线B 、平面曲线C 、球面曲线D 、圆柱螺线12、曲线()r r t =在P(t)点的曲率为k , 挠率为τ，则下列式子___A___不正确。

A 、2r r k r '''⨯='B 、3r r k r '''⨯='C 、k r =D 、()()2r r r r r τ''''''='''⨯ 13、对于曲面的第一基本形式2222,I Edu Fdudv Gdv EG F =++-__D___。

A 、0>B 、0<C 、0≤D 、0≥。

微分几何试题及答案试题1.设曲线 C 的参数方程为x = \\cos t, y = \\sin t, z = t其中，\(0 \leq t \leq 2\pi\)。

求曲线 C 上一点 P 的切向量和法向量。

2.给定曲线 C：\(x = t^2, y = t^3\)，其中 \(t\) 是参数。

求曲线 C 在点 (4, 8) 处的切线方程。

3.设平面曲线 C 的参数方程为x = \\cos t, y = \\sin t, z = t其中，\(0 \leq t \leq 2\pi\)。

求曲线 C 上一点 P 的切平面方程。

4.设曲面 S 的方程为 \(x^2 + y^2 + z^2 = 9\)，点 P 的坐标为 (1, 1, -1)。

求曲面 S 上点 P 的切平面方程。

5.已知曲面 S 的方程为 \(x^2 + y^2 - 2z = 0\)，点 P 的坐标为 (1, 1, 1)。

求曲面 S 上点 P 的法向量。

答案1.切向量的计算：曲线 C 上一点 P 的切向量为曲线的导数：\[ \begin{align} \frac{{d\mathbf{r}}}{{dt}} & =\frac{{dx}}{{dt}}\mathbf{i} + \frac{{dy}}{{dt}}\mathbf{j} + \frac{{dz}}{{dt}}\mathbf{k} \\ & = -\sin t \mathbf{i} + \cos t \mathbf{j} + \mathbf{k} \end{align} \]所以，曲线 C 上一点 P 的切向量为 \(-\sin t\mathbf{i} + \cos t \mathbf{j} + \mathbf{k}\)。

法向量的计算：曲线 C 上一点 P 的法向量垂直于切向量，可以选择切向量既是切线上的，也是切平面上的。

所以，曲线 C 上一点 P 的法向量为 \(-\sin t \mathbf{i} + \cos t \mathbf{j} + \mathbf{k}\)。