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《整式的乘除》全章复习与巩固【要点梳理】要点一、幂的运算1.同底数幂的乘法：(m n ，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方：(m n ，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方：(n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(a ≠0, m n ，为正整数，并且m n >).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：()010.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1. 6.负指数幂：1n na a -=（a ≠0，n 是正整数）. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；需灵活地双向应用运算性质.要点二、整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项包含前面的“＋”“－”号．根据多项式的乘法，能得出一个应用广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++. 4.单项式相除单项式相除、把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点三、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：1.在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.2.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是三项，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.【典型例题】类型一、幂的运算1、已知：2m +3n ＝5，则4m •8n ＝（ ）A ．16B ．25C ．32D ．64 【解答】解：4m •8n ＝22m •23n ＝22m +3n ＝25＝32，故选：C ．2．下列各式正确的有（ ）①x 4+x 4＝x 8；②﹣x 2•（﹣x ）2＝x 4；③（x 2）3＝x 5；④（x 2y ）3＝x 3y 6；⑤（﹣3x 3）3＝﹣9x 9；⑥2100×（﹣0.5）99＝﹣2；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：①x 4+x 4＝2x 4，此计算错误；②﹣x 2•（﹣x ）2＝﹣x 4，此计算错误；③（x 2）3＝x 6，此计算错误；④（x 2y ）3＝x 6y 3，此计算错误；⑤（﹣3x 3）3＝﹣27x 9，此计算错误；⑥2100×（﹣0.5）99＝2×299×（﹣0.5）99＝2×（﹣0.5×2）99＝2×（﹣1） ＝﹣2，此计算正确；故选：A ．3、阅读下列两则材料，解决问题：材料一：比较322和411的大小．解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2∴322＞222，即322＞411小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小材料二：比较28和82的大小解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6∴28＞26，即28＞82小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小【方法运用】（1）比较344、433、522的大小（2）比较8131、2741、961的大小（3）已知a 2＝2，b 3＝3，比较a 、b 的大小（4）比较312×510与310×512的大小【解答】解；（1）∵344＝（34）11＝8111，433＝（43）11＝6411，522＝（52）11＝2511， ∵81＞64＞25，∴8111＞6411＞2511，即344＞433＞522；（2）∵8131＝（34）31＝3124，2741＝（33）41＝3123，961＝（32）61＝3122，∵124＞123＞122，∴3124＞3123＞3122，即8131＞2741＞961；（3）∵a 2＝2，b 3＝3，∴a 6＝8，b 6＝9，∵8＜9，∴a 6＜b 6，∴a ＜b ；（4）∵312×510＝（3×5）10×32，310×512＝（3×5）10×52，又∵32＜52，∴312×510＜310×512．类型二、整式的乘除法运算1、要使()()621x a x -+的结果中不含x 的一次项，则a 等于( )A.0B.1C.2D.3【答案】D ；【解析】先进行化简，得：，要使结果不含x 的一次项，则x 的一次项系数为0，即：62a -＝0.所以3a =.【总结升华】代数式中不含某项，就是指这一项的系数为0.2．如图，一个边长为（m +2）的正方形纸片剪去一个边长为m 的正方形，剩余的部分可以拼成一个长方形，若拼成的长方形的一边长为2，则另一边长为 2m +2 ．【解答】解：设另一边长为x ，根据题意得，2x ＝（m +2）2﹣m 2，解得x ＝2m +2．故答案为：2m +2．3．如图，现有A ，C 两类正方形卡片和B 类长方形卡片各若干张，用它们可以拼成一些新的长方形．如果要拼成一个长为（3a+2b），宽为（a+b）的长方形，那么需要B类长方形卡片5张．【解答】解：长为3a+2b，宽为a+b的长方形的面积为：（3a+2b）（a+b）＝3a2+5ab+2b2，∵A类卡片的面积为a2，B类卡片的面积为ab，C类卡片的面积为b2，∴需要A类卡片3张，B类卡片5张，C类卡片2张，故答案为：5．类型三、乘法公式1．如果x2﹣2（m+1）x+4是一个完全平方公式，则m＝．【解答】解：∵x2﹣2（m+1）x+4是一个完全平方公式，∴﹣2（m+1）＝±4，则m＝﹣3或1．故答案为：﹣3或1．2、用简便方法计算：（1）1002﹣200×99+992（2）2018×2020﹣20192 （3）计算：（x﹣2y+4）（x+2y﹣4）【解答】解：（1）1002﹣200×99+992＝1002﹣2×100×（100﹣1）+（100﹣1）2＝[100﹣（100﹣1）]2＝12＝1；（2）2018×2020﹣20192＝（2019﹣1）（2019+1）﹣20192＝20192﹣1﹣20192＝﹣1．（3）原式＝x2﹣（2y﹣4）2＝x2﹣4y2+16y﹣16；3．图①是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称抽）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（）A．ab B．a2+2ab+b2C．a2﹣b2D．a2﹣2ab+b2【解答】解：图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，∴正方形的边长为：a +b ，∴正方形的面积为（a +b ）2，∵原矩形的面积为4ab ，∴中间空的部分的面积＝（a +b ）2﹣4ab ＝a 2﹣2ab +b 2．故选：D ．4、已知222246140x y z x y z ++-+-+=，求代数式2012()x y z --的值.【思路点拨】将原式配方，变成几个非负数的和为零的形式，这样就能解出,,x y z .【答案与解析】解：222246140x y z x y z ++-+-+= ()()()2221230x y z -+++-= 所以1,2,3x y z ==-=所以20122012()00x y z --==.【总结升华】一个方程，三个未知数，从理论上不可能解出方程，尝试将原式配方过后就能得出正确答案.类型四、综合类大题1．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，利用图①和图②发现并验证了平方差公式和完全平方公式，不仅更清晰地“看到”公式的结构，同时感受到这样的抽象代数运算也有直观的背景．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．请你利用上述方法解决下列问题：（1）请写出图（1）、图（2）、图（3）所表示的代数恒等式（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2【拓展应用】提出问题：47×43，56×54，79×71，……是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：（1）画长为47，宽为43的矩形，如图③，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形的上面．（2）分析：几何建模步骤原矩形面积可以有两种不同的表达方式，47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．请你参照上述几何建模步骤，计算57×53．要求画出示意图，写出几何建模步骤（标注有关线段）归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）：证明上述速算方法的正确性．【解答】解：（1）图（1）所表示的代数恒等式：（x+y）•2x＝2x2+2xy，图（2）所表示的代数恒等式：（x+y）（2x+y）＝2x2+3xy+y2图（3）所表示的代数恒等式：（x+2y）（2x+y）＝2x2+5xy+2y2．（2）几何图形如图所示：拓展应用：（1）①几何模型：②用文字表述57×53的速算方法是：十位数字5加1的和与5相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果；即57×53＝（50+10）×50+3×7＝6×5×100+3×7＝3021；十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；故答案为十位数字加1的和与十位数字相乘，再乘以100，加上两个个位数字的积，构成运算结果；2．阅读下列材料并解决后面的问题材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣﹣1783）才发现指数与对数之间的联系，我们知道，n个相同的因数a相乘a•a…，a记为a n，如23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28，即log28＝3一般地若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b，即log a b＝n．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381，即log381＝4．（1）计算下列各对数的值：log24＝，log216＝，log264＝（2）通过观察（1）中三数log24、log216、log264之间满足的关系式是；（3）拓展延伸：下面这个一股性的结论成立吗？我们来证明log a M+log a N＝log，a MN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）证明：设log a M＝m，log a N＝n，由对数的定义得：a m＝M，a n＝N，∴a m•a n＝a m+n＝M•N，∴log a MN＝m+n，又∵log a M＝m，log a N＝n，∴log a M+log a N＝log a MN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）仿照（3）的证明，你能证明下面的一般性结论吗？log a M﹣log a N＝log a（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（5）计算：log34+log39﹣log312的值为．【解答】解：（1）log24＝log222＝2，log216＝log224＝4，log264＝log226＝6；故答案为：2，4，6；（2）通过观察（1）中三数log24、log216、log264之间满足的关系式是：log24+log216＝log264；（4）证明：设log a M＝m，log a N＝n，由对数的定义得：a m＝M，a n＝N，∴a m÷a n＝a m﹣n＝，∴log a＝m﹣n，又∵log a M＝m，log a N＝n，∴log a M﹣log a N＝log a（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（5）log34+log39﹣log312，＝log3，＝log33，＝1，故答案为：1．。
第一章 整式的乘除（基础）幂的运算（基础）【学习目标】1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；2. 能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算. 【要点梳理】要点一、同底数幂的乘法性质(其中都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即（都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即（都是正整数）.要点二、幂的乘方法则 (其中都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广： (，均为正整数)（2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 要点三、积的乘方法则(其中是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广： (为正整数).（2）逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 要点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.+⋅=m n m n a a a ,m n m n p m n p a a a a ++⋅⋅=,,m n p m n m n a a a +=⋅,m n ()=m nmna a,m n (())=m n pmnpa a0≠a ,,m n p ()()nmmnm n aa a ==()=⋅n n n ab a b n ()=⋅⋅nnnnabc a b c n ()n n na b ab =1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方. （5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. （6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯. 【典型例题】类型一、同底数幂的乘法性质1、计算：（1）；（2）； （3）．【答案与解析】解：（1）原式． （2）原式．（3）原式．【总结升华】（2）（3）小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应的运算法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第（2）小题中的指数是1．在第（3）小题中把看成一个整体． 举一反三： 【变式】计算：（1）； （2）（为正整数）；（3）（为正整数）． 【答案】解：（1）原式．（2）原式． （3）原式．2、已知，求的值．【思路点拨】同底数幂乘法的逆用：【答案与解析】234444⨯⨯3452622a a a a a a ⋅+⋅-⋅11211()()()()()n n m n m x y x y x y x y x y +-+-+⋅+⋅+++⋅+234944++==34526177772222aa a a a a a +++=+-=+-=11211222()()()()2()n n m n m n m n m n m x y x y x y x y x y +++-++-+++=+++=+++=+a x y +5323(3)(3)⋅-⋅-221()()ppp x x x +⋅-⋅-p 232(2)(2)n⨯-⋅-n 532532532103(3)333333++=⋅-⋅=-⋅⋅=-=-22122151()p pp p p p p x x x x x +++++=⋅⋅-=-=-525216222(2)22nn n +++=⋅⋅-=-=-2220x +=2x 22222x x +=⋅解：由得．∴ ．【总结升华】（1）本题逆用了同底数幂的乘法法则，培养了逆向思维能力．（2）同底数幂的乘法法则的逆运用：．类型二、幂的乘方法则3、计算：（1）；（2）；（3）．【思路点拨】此题是幂的乘方运算，（1）题中的底数是，（2）题中的底数是，（3）题中的底数的指数是，乘方以后的指数应是． 【答案与解析】解：（1）．（2）．（3）．【总结升华】运用幂的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.幂的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、字母，也可以是单项式或多项式.4、（2019春•湘潭期末）已知a x =3，a y =2，求a x +2y的值．【思路点拨】 直接利用同底数幂的乘法运算法则将原式变形进而将已知代入求出答案． 【答案与解析】解：∵a x =3，a y=2， ∴a x +2y =a x ×a 2y =3×22=12．【总结升华】本题考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解题时记准法则是关键． 举一反三：【变式1】已知，．求的值．【答案】 解：．【变式2】已知，，求的值．【答案】 解：因为, .2220x +=22220x ⋅=25x=m nm n aa a +=⋅2()m a 34[()]m -32()m a-a m -a 3m -2(3)62m m -=-2()m a 2m a =34[()]m -1212()m m =-=32()m a-2(3)62m m a a --==2a x =3b x =32a bx +32323232()()238972a ba b a b xx x x x +===⨯=⨯=84=m 85=n 328+m n 3338(8)464===mm 2228(8)525===n n所以.类型三、积的乘方法则5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：（1）； （2）； （3）． 【答案与解析】解：（1）错，这是积的乘方，应为：． （2）对．（3）错，系数应为9，应为：．【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘方． （2）注意系数及系数符号，对系数－1不可忽略． 举一反三：【变式】（2018春•铜山县校级月考）（﹣8）57×0.12555． 【答案】解：（﹣8）57×0.12555=（﹣8）2×[（﹣8）55×]=﹣64．【巩固练习】一.选择题1.（2018•杭州模拟）计算的x 3×x 2结果是（ ）A ．x 6B ．6xC ． x 5D ．5x2．的值是( )．A.B.C.D.3．（2019•淮安）下列运算正确的是（ ）A ．a 2•a 3=a 6B ．（ab ）2=a 2b 2C ．（a 2）3=a 5D ．a 2+a 2=a 4 4．下列各题中，计算结果写成10的幂的形式，其中正确的是( ).A. 100×＝B. 1000×＝C. 100×＝D. 100×1000＝ 5．下列计算正确的是( )． A.B. C.D.6．若成立，则( )．A. ＝6，＝12B. ＝3，＝12323288864251600+=⨯=⨯=m nm n 22()ab ab =333(4)64ab a b =326(3)9x x -=-222()ab a b =326(3)9x x -=2n n a a +⋅3n a+()2n n a+22n a+8a 21031010103010310510410()33xy xy =()222455xyx y -=-()22439xx -=-()323628xyx y -=-()391528m n a ba b =m n m nC. ＝3，＝5D. ＝6，＝5 二.填空题7.（2019•大庆）若a m =2，a n =8，则a m+n= ． 8. 若，则＝_______． 9. 已知，那么______．10．若，则＝______；若，则＝______． 11. ______； ______； ＝______．12.若n 是正整数，且，则＝__________.三.解答题13.（2018春•莱芜校级期中）计算：（﹣x ）3•x 2n ﹣1+x 2n •（﹣x ）2．14.（1） ； （2）；（3）； （4）；（5）；15.（1）若，求的值． （2）若，求、的值．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C ； 【解析】解：原式=x 3+2=x 5，故选C ．2. 【答案】C ；【解析】. 3. 【答案】B ；【解析】解：A 、a 2•a 3=a 2+3=a 5，故本选项错误； B 、（ab ）2=a 2b 2，故本选项正确；C 、（a 2）3=a 2×3=a 6，故本选项错误；D 、a 2+a 2=2a 2，故本选项错误．故选B ．4. 【答案】C ；【解析】100×＝；1000×＝；100×1000＝. 5. 【答案】D ；m n m n ()319xaa a ⋅=x 35na=6n a =38m a a a ⋅=m 31381x +=x ()322⎡⎤-=⎣⎦()33n ⎡⎤-=⎣⎦()523-210na =3222()8()n n a a --3843()()x x x ⋅-⋅-2333221()()3a b a b -+-3510(0.310)(0.410)-⨯-⨯⨯⨯()()3522b a a b --()()2363353a a a -+-⋅3335n n x xx +⋅=n ()3915n ma b b a b ⋅⋅=m n 2222n n n n n a aa a ++++⋅==21041010101310510【解析】；；.6. 【答案】C ； 【解析】，解得＝3，＝5.二.填空题7. 【答案】16；【解析】解：∵a m =2，a n =8，∴a m+n=a m •a n=16，故答案为：16.8. 【答案】6； 【解析】.9. 【答案】25； 【解析】.10.【答案】5；1； 【解析】；.11.【答案】64；；； 12.【答案】200； 【解析】.三.解答题 13.【解析】解：（﹣x ）3•x 2n ﹣1+x 2n •（﹣x ）2=﹣x 2n+2+x 2n+2 =0．14.【解析】解：（1）；（2）； （3）； （4）；（5）.15.【解析】解：（1）∵ ∴()333xy x y =()2224525xyx y -=()22439x x -=()333915288,39,315m n m n a b a b a b m n ====m n 3119,3119,6x aa x x +=+==()2632525nn aa ===338,38,5mma a aa m m +⋅==+==3143813,314,1x x x +==+==9n -103-()()32322222()8()81000800200n nn n a a a a --=-=-=3843241237()()x x x x x x x ⋅-⋅-=-⋅⋅=-233322696411()()327a b a b a b a b -+-=-+3535810(0.310)(0.410)0.30.4101010 1.210-⨯-⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯()()()()()3535822222b a a b a b a b a b --=---=--()()236331293125325272a a a a a a a -+-⋅=-⋅=-3335n n x xx +⋅=4335n xx +=∴4＋3＝35 ∴＝8（2）＝4，＝3 解：∵∴ ∴3＝9且3＋3＝15∴＝3且＝4同底数幂的除法【学习目标】1. 会用同底数幂的除法性质进行计算．2. 掌握零指数幂和负整数指数幂的意义． 3．掌握科学记数法． 【要点梳理】要点一、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（≠0，都是正整数，并且）要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式. 要点二、零指数幂任何不等于0的数的0次幂都等于1.即（≠0）要点诠释：底数不能为0，无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式. 要点三、负整数指数幂任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（≠0，是正整数）.引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立.（、为整数，）；（为整数，，）n n m n ()3915n ma b ba b ⋅⋅=333333915n m n m a b b a ba b +⋅⋅=⋅=n m n m m n m na a a -÷=a m n 、m n >01a =a a 00n -n n 1nnaa -=a n m n m n a a a +=m n 0a ≠()mm m ab a b =m 0a ≠0b ≠（、为整数，）.要点诠释：是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）. 要点四、科学记数法的一般形式（1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数，（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，.用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法. 【典型例题】类型一、同底数幂的除法1、计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【思路点拨】利用同底数幂相除的法则计算．(2)、(4)两小题要注意符号． 【答案与解析】解：（1）．（2）．（3）．（4）． 【总结升华】（1）运用法则进行计算的关键是看底数是否相同．（2）运算中单项式的系数包括它前面的符号．2、计算下列各题：（1） （2）（3） （4）【思路点拨】（1）若被除式、除式的底数互为相反数时，先将底数变为相同底数再计算，尽()nm mn a a =m n 0a ≠()0na a -≠n a a ()1122xy xy -=0xy ≠()()551a b a b -+=+0a b +≠10na ⨯n 1||10a ≤<10na -⨯n 1||10a ≤<83x x ÷3()a a -÷52(2)(2)xy xy ÷531133⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭83835x x x x -÷==3312()a a aa --÷=-=-5252333(2)(2)(2)(2)8xy xy xy xy x y -÷===535321111133339-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭5()()x y x y -÷-125(52)(25)a b b a -÷-6462(310)(310)⨯÷⨯3324[(2)][(2)]x y y x -÷-可能地去变偶次幂的底数，如．（2）注意指数为1的多项式．如的指数为1，而不是0． 【答案与解析】解：（1）．（2） （3）．（4）．【总结升华】底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幂的除法法则进行计算．3、已知，，求的值．【答案与解析】 解： ． 当，时，原式． 【总结升华】逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含，的式子，再代入求值．本题是把除式写成了分数的形式，为了便于观察和计算，我们可以把它再写成除式的形式． 举一反三：【变式】（2019春•苏州）已知以=2，=4，=32．则的值为 ．【答案】解： ==8，==16，=•÷=8×16÷32=4，故答案为：4．类型二、负整数次幂的运算4、计算：（1）；（2）．【答案与解析】1212(52)(25)a b b a -=-x y-5514()()()()x y x y x y x y --÷-=-=-1251257(52)(25)(25)(25)(25)a b b a b a b a b a -÷-=-÷-=-64626426212(310)(310)(310)(310)910-⨯÷⨯=⨯=⨯=⨯3324[(2)][(2)]x y y x -÷-9898(2)(2)(2)2x y x y x y x y -=-÷-=-=-32m =34n =129m n+-121222222221222244449(3)33333(3)399(3)33(3)(3)m m m m m m m nn n n n n n ++++-======32m=34n=224239464⨯==3m 3nma na ka 32m n ka +-3ma322n a 2432m n k a +-3m a 2n a k a 223-⎛⎫- ⎪⎝⎭23131()()a b a b ab ---÷解：（1）； （2）．【总结升华】要正确理解负整数指数幂的意义． 举一反三：【变式】计算：．【答案】解： 5、 已知，，则的值＝________．【答案与解析】 解： ∵ ，∴ ． ∵ ，，∴ ，．∴ ． 【总结升华】先将变形为底数为3的幂，，，然后确定、的值，最后代值求． 举一反三：【变式】计算：（1）；（2）；222119434293-⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭2313123330()()a b a b ab a b a b ab a b b -----÷===4513012222( 3.14)2π----⎛⎫++⨯⨯+- ⎪⎝⎭4513012222( 3.14)2π----⎛⎫++⨯⨯+- ⎪⎝⎭45311111122116212223228=++⨯⨯+=++⨯⨯+1151611732832=+++=1327m =1162n⎛⎫= ⎪⎝⎭n m 331133273m-===3m =-122n n -⎛⎫= ⎪⎝⎭4162=422n -=4n =-4411(3)(3)81nm -=-==-127122nn-⎛⎫= ⎪⎝⎭4162=m n nm 1232()a b c --3232312b c b c ---⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭解：（1）原式．（2）原式． 类型三、科学记数法6、（2018秋•福州）观察下列计算过程：（1）∵÷=，÷==，∴=（2）当a≠0时，∵÷===，÷==，=, 由此可归纳出规律是：=（a≠0，P 为正整数） 请运用上述规律解决下列问题： （1）填空：= ；= ．（2）用科学记数法：3×= ．（写成小数形式）（3）把0.00000002写成如（2）的科学记数法的形式是： ． 【答案与解析】 解：（1）=； ==； （2）3×=0.0003，（3）0.00000002=2×．【总结升华】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【巩固练习】424626b a b c a c--==8236981212888b b c b cb cc---=⨯==3353332231333=⨯3353353-23-23-2a 7a 27a a 225a a a⨯51a 2a 7a 27a -5a -5a -51a pa-1p a103-259x x x ⨯÷410-10na ⨯103-1013259x x x ⨯÷259x +-221x x-=410-810-10na ⨯1. （2019•桂林）下列计算正确的是（ ）A ．B ．÷=C ．+=D ．•=2.下列计算中正确的是( )．A.B.C.D.3．近似数0.33万表示为（ ）A ．3.3×B ．3.3000×C ．3.3×D ．0.33×4．的结果是（ ）A ．B ．C ．2D ．05.．将这三个数按从小到大的顺序排列为（）A ．B ．C ．D ．6.下列各式中正确的有（ ）①②；③；④；⑤．A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个二.填空题7. ______，＝______．8. __________,__________,______.9． ＝______，＝______．10．一种细菌的半径为0.0004，用科学记数法表示为______.11．“神威一号”计算机运算速度为每秒384000000000次，其运算速度用科学记数法表示，为______次/秒．()25a=10a 16x 4x 4x 22a 23a 46a 3b 3b 32b 212a a xx x ++÷=()()6322xy xy x y÷=()12529x x xx÷÷=()42332nn n n xx x x +÷=210-310310410020122012(1)(0.125)8π-+⨯323-201)3(,)2(,)61(---21)3()61()2(-<<--201)3()2()61(-<-<-102)61()2()3(-<-<-120)61()3()2(-<-<-21()9;3-=224-=-01a =()111--=()2336-==-+-01)π()21(()011 3.142--++()()532aa -÷-=201079273÷÷=02139⎛⎫+= ⎪⎝⎭()3223a b-()22a b---m m12（2019春•江西）若=-2, =-，则= ． 三.解答题13．（2019春•吉州）已知=3，=5．求： （1）的值；（2）的值； （3）的值．14．用小数表示下列各数：（1）8.5×（2）2.25×（3）9.03×15. 先化简，后求值：，其中.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A ； 【解析】A 、，正确； B 、÷=，错误；C 、+=，错误；D 、•=b 3•b 3=b 6，错误；故选A.2. 【答案】C ； 【解析】； ； .3. 【答案】C ；【解析】0.33万＝3300＝3.3×. 4. 【答案】C ；【解析】.5. 【答案】A ； 【解析】，所以.6. 【答案】D ；【解析】只有①正确；；；；. m a na 12-23m n a -2x 2y2x y+32x212x y +-310-810-510-()()23424211212a b a b ab----⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭23a b ==-，()25a=10a 16x 4x 12x 22a 23a 25a 3b 3b 6b 21a a xx x ++÷=()()6333xy xy x y ÷=()4235n n n n x x x x ÷=3102012201220121(1)(0.125)8181128π⎛⎫-+⨯=+⨯=+= ⎪⎝⎭1021()6,(2)1,(3)96-=-=-=210)3()61()2(-<<--2124-=()010a a =≠()111--=-()239-=二.填空题7. 【答案】3；；【解析】. 8. 【答案】；【解析】.9.【答案】；【解析】；.10.【答案】；11.【答案】； 12.【答案】-32； 【解析】解：，=4=﹣32.三.解答题13.【解析】 解：（1）=•=3×5=15；（2）===27；（3）=•÷2=×5÷2=．14.【解析】解：（1）8.5×＝0.0085 （2）2.25×＝0.0000000225（3）9.03×＝0.0000903 15.【解析】解：原式 12()01111 3.1421122--++=-++=7;27;10a 201074030739273333327÷÷=÷÷==6627a b 42a b()632266627327a a ba b b --==()422422a a b a b b----==4410-⨯113.8410⨯()224mm a a ,==()3318n n a a ==-23m n a -2x y+2x 2y32x()32x33212x y +-()22x 2y 23310-810-510-4863482323444a b a b a b a b a b ------=-÷=-=-当时，原式.整式的乘法（基础）【学习目标】1. 会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算．2. 掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算. 【要点梳理】要点一、单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 要点二、单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即.要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.要点三、多项式与多项式相乘的运算法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.23a b ==-，23412(3)27=-=-()m a b c ma mb mc ++=++()()a b m n am an bm bn ++=+++()()()2x a x b x a b x ab ++=+++【典型例题】类型一、单项式与单项式相乘1、计算：（1）；（2）；（3）．【思路点拨】前两个题只要按单项式乘法法则运算即可，第（3）题应把与分别看作一个整体，那么此题也属于单项式乘法，可以按单项式乘法法则计算． 【答案与解析】解： （1）．（2）．（3）．221323ab a b abc ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭121(2)(3)2n n xy xy x z +⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭232216()()3m n x y mn y x -⋅-⋅⋅-x y -y x -221323ab a b abc ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭22132()()3a a a b b b c ⎡⎤⎛⎫=⨯-⨯⋅⋅⋅⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦442a b c =-121(2)(3)2n n xy xy x z +⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭121(2)(3)()()2n n x x x y y z +⎡⎤⎛⎫=-⨯-⨯-⋅⋅⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦413n n x y z ++=-232216()()3m n x y mn y x -⋅-⋅⋅-232216()()3m n x y mn x y =-⋅-⋅⋅-22321(6)()()[()()]3m m n n x y x y ⎡⎤=-⨯⋅⋅-⋅-⎢⎥⎣⎦3352()m n x y =--【总结升华】凡是在单项式里出现过的字母，在其结果里也应全都有，不能漏掉． 举一反三：【变式】（2018•甘肃模拟）计算：2m 2•（﹣2mn ）•（﹣m 2n 3）． 【答案】解：2m 2•（﹣2mn ）•（﹣m 2n 3）=[2×（﹣2）×（﹣）]（m 2×mn×m 2n 3） =2m 5n 4．类型二、单项式与多项式相乘2、 计算：（1）； （2）；（3）； 【答案与解析】 解：（1）．（2）．（3）21242233ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭22213(6)32xy y x xy ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭2222340.623a ab b a b ⎛⎫⎛⎫+--⎪⎪⎝⎭⎝⎭21242233ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭212114(2)23223ab ab ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+--+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭232221233a b a b ab =-+-22213(6)32xy y x xy ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭2222213(6)(6)()(6)32xy xy y xy x xy ⎛⎫=--+-+-- ⎪⎝⎭23432296x y xy x y =-+2222340.623a ab b a b ⎛⎫⎛⎫+--⎪⎪⎝⎭⎝⎭2222334253a ab b a b ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【总结升华】计算时，符号的确定是关键，可把单项式前和多项式前的“＋”或“－”号看作性质符号，把单项式乘以多项式的结果用“＋”号连结，最后写成省略加号的代数和． 举一反三：【变式1】．【答案】解：原式．【变式2】若为自然数，试说明整式的值一定是3的倍数． 【答案】解：＝因为3能被3整除，所以整式的值一定是3的倍数．类型三、多项式与多项式相乘3、计算：（1）； （2）；（3）； （4）．【答案与解析】解：（1）．（2）．222222223443423353a a b ab a b b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭42332444235a b a b a b =--+224312(6)2m n m n m n ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭2224232211222m n mn m n +⨯⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭26262262171221244m n m n m n m n m n =-+=-n ()()2121n n n n +--()()2121n n n n +--222223n n n n n +-+=n ()()2121n n n n +--(32)(45)a b a b +-2(1)(1)(1)x x x -++()(2)(2)()a b a b a b a b +--+-25(21)(23)(5)x x x x x ++-+-(32)(45)a b a b +-221215810a ab ab b =-+-2212710a ab b =--2(1)(1)(1)x x x -++22(1)(1)x x x x =+--+41x =-（3）．（4）．【总结升华】多项式乘以多项式时须把一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，刚开始时要严格按法则写出全部过程，以熟悉解题步骤，计算时要注意的是：（1）每一项的符号不能弄错；（2）不能漏乘任何一项． 4、（2019春•长春校级期末）若（x +a ）（x +2）=x 2﹣5x +b ，则a +b 的值是多少？【思路点拨】根据多项式与多项式相乘的法则把等式的左边展开，根据题意列出算式，求出a 、b 的值，计算即可． 【答案与解析】解：（x +a ）（x +2）=x 2+（a +2）x +2a ， 则a +2=﹣5，2a=b ， 解得，a=﹣7，b=﹣14， 则a +b=﹣21．【总结升华】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 举一反三：【变式】求出使成立的非负整数解． 【答案】不等式两边分别相乘后，再移项、合并、求解． 解：，， ，，． ∴ 取非负整数为0，1，2，3．【巩固练习】一.选择题()(2)(2)()a b a b a b a b +--+-2222(2)(2)a ab b a ab b =---+-222222a ab b a ab b =----+2ab =-25(21)(23)(5)x x x x x ++-+-322(5105)(2715)x x x x x =++---32251052715x x x x x =++-++32581215x x x =+++(32)(34)9(2)(3)x x x x +->-+22912689(6)x x x x x -+->+-229689954x x x x -->+-229699854x x x x --->-1546x ->-4615x <x1．下列算式中正确的是( )．A.B.C.D.2．（2019•毕节市）下列运算正确的是（ ） A ．﹣2（a +b ）=﹣2a +2b B ．（a 2）3=a5C ．a 3+4a=a 3D ．3a 2•2a 3=6a 53．（2018秋•白云区期末）下列计算正确的是（ ）A ．x （x 2﹣x ﹣1）=x 3﹣x ﹣1 B ．ab （a+b ）=a 2+b 2C ．3x （x 2﹣2x ﹣1）=3x 3﹣6x 2﹣3xD ．﹣2x （x 2﹣x ﹣1）=﹣2x 3﹣2x 2+2x 4．已知，那么的值为( )．A.－2B.2C.－5D.55. 要使成立，则，的值分别是( )．A. B. C.D.6．设M ＝，N ＝，则M 与N 的关系为( )． A.M ＜N B.M ＞NC.M ＝ND.不能确定二.填空题7. 已知三角形的底边为，高是，则三角形的面积是_________. 8. 计算：①＝________；②＝______；③＝_______；④＝______．9.（2019•瑶海区一模）计算：x 2y （2x +4y ）= ． 10. .11.（2018•江都市模拟）若化简（ax+3y ）（x ﹣y ）的结果中不含xy 项，则a 的值为 ． 12. 若，，则＝____________.三.解答题13.（2018春•邳州市期末）当我们利用2种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式．例如，由图1，可得等式：（a+2b ）（a+b ）=a 2+3ab+2b 2． （1）由图2，可得等式： ． （2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知 a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a 2+b 2+c 2的值；（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a 2+5ab+2b 2=（2a+b ）（a+2b ）；326326a a a ⋅=358248x x x ⋅=44339x x x ⋅=77145510y y y ⋅=()()221323x x x mx +-=--m ()23254x x a x b x x ++-=++a b 22a b =-=-，22a b ==，22a b ==-，22a b =-=，()()37x x --()()28x x --(62)a b -(26)b a -+()()23x x ++()()37x x ++()()710x x +-()()56x x --()()()_______x y z y x z z x y ---+-=2xy =3x y +=()()11x y ++（4）小明用2 张边长为a 的正方形，3 张边长为b 的正方形，5 张边长分别为a 、b 的长方形纸片重新拼出一个长方形，那么该长方形较长的一条边长为 ．14. 解下列各方程．（1） （2） 15. 化简求值：（1），其中．（2），其中．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】B ；【解析】；；.2. 【答案】D ；【解析】A 、原式=﹣2a ﹣2b ，错误；B 、原式=a 6，错误；C 、原式不能合并，错误；D 、原式=6a 5，正确.3. 【答案】C ；【解析】解：A 、x （x 2﹣x ﹣1）=x 3﹣x 2﹣x ，故此选项错误；B 、ab （a+b ）=a 2b+ab 2，故此选项错误；C 、3x （x 2﹣2x ﹣1）=3x 3﹣6x 2﹣3x ，故此选项正确；D 、﹣2x （x 2﹣x ﹣1）=﹣2x 3+2x 2+2x ，故此选项错误； 故选：C ．4. 【答案】D ；【解析】，所以.5. 【答案】C ；【解析】由题意，所以.6. 【答案】B ；【解析】M ＝，N ＝，所以M ＞N.二.填空题222(1)(32)22y y y y y y +--+=-25(3)4(6)(4)0x x x x x x +--++-+=11112323x x ⎛⎫⎛⎫+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭4x =-22323(21)(342)x x x x x x x -+--+1x =-325326a a a ⋅=45339x x x ⋅=77145525y y y ⋅=()()2221325323x x x x x mx +-=--=--5m =3524a b +=-=，22a b ==-，21021x x -+21016x x -+7. 【答案】；8. 【答案】. 9. 【答案】x 3y +2x 2y 2； 10.【答案】0；【解析】原式＝. 11.【答案】3；【解析】解：（ax+3y ）（x ﹣y ）=ax 2+（3﹣a ）xy ﹣3y 2，含xy 的项系数是3﹣a ， ∵展开式中不含xy 的项， ∴3﹣a=0， 解得a=3． 故答案为：3．12.【答案】6；【解析】原式＝. 三.解答题 13.【解析】解：（1）（a+b+c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc ； （2）∵a+b+c=11，ab+bc+ac=38，∴a 2+b 2+c 2=（a+b+c ）2﹣2（ab+ac+bc ）=121﹣76=45； （3）如图所示：（4）根据题意得：2a 2+5ab+3b 2=（2a+3b ）（a+b ），则较长的一边为2a+3b ．14.【解析】解：（1）．，．（2）．， ．2212182-++ab a b 222256;1021;370;1130x x x x x x x x ++++---+0xy xz xy yz xz yz --++-=12316xy x y +++=++=2222223222y y y y y y +-++=-42y =-12y =-222551524440x x x x x x +----+=1515x -=1x =-15.【解析】 解：（1）原式 ． 当时，原式． （2）原式当时，原式．乘法公式（基础）【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算. 【要点梳理】要点一、平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如2111111111111222332334669x x x x x x x ⎛⎫=⋅-⋅+⋅+-=-+- ⎪⎝⎭21149x =-4x =-21118(4)434999=⨯--=-=4324324326333423x x x x x x x x x =-+-+-=++1x =-4323(1)(1)(1)3113=⨯-+-+-=-+=22()()a b a b a b +-=-b a ,()()a b b a +-+(35)(35)x y x y +-3232()()m n m n +-()()a b a b ---()()m n p m n p ++-+（6）增因式变化：如 要点二、完全平方公式完全平方公式：两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 要点四、补充公式；；；. 【典型例题】类型一、平方差公式的应用1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的，写出计算结果．(1)； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ．【思路点拨】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式. 【答案与解析】解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算．(2) ＝－＝． (3) ＝ － ＝． (4) ＝－ ＝．2244()()()()a b a b a b a b -+++()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+()()224a b a b ab +=-+2()()()x p x q x p q x pq ++=+++2233()()a b a ab b a b ±+=±33223()33a b a a b ab b ±=±+±2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++()()2332a b b a --()()2323a b a b -++()()2323a b a b ---+()()2323a b a b +-()()2323a b a b ---()()2323a b a b +--()()2323a b a b -++()23b ()22a 2294b a -()()2323a b a b ---+()22a -()23b 2249a b -()()2323a b a b +-()22a ()23b 2249a b -(5) ＝－＝．【总结升华】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项（系数为相反数的同类项）． 举一反三：【变式】计算：（1）； （2）； （3）．【答案】解：（1）原式． （2）原式．（3）原式．2、计算：(1)59.9×60.1； (2)102×98． 【答案与解析】解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝＝3600－0.01＝3599.99(2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝＝10000－4＝9996．【总结升华】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可利用两数的平均数，通过两式(两数)的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式．这样可顺利地利用平方差公式来计算．举一反三： 【变式】（2019春•莱芜校级期中）怎样简便就怎样计算：（1）1232﹣124×122（2）（2a+b ）（4a 2+b 2）（2a ﹣b ） 【答案】解：（1）1232﹣124×122=1232﹣（123+1）（123﹣1）=1232﹣（1232﹣1）=1232﹣1232+1 =1；（2）（2a+b ）（4a 2+b 2）（2a ﹣b ）=（2a+b ）（2a ﹣b ）（4a 2+b 2）=（4a 2﹣b 2）（4a 2+b 2）()()2323a b a b ---()23b -()22a 2294b a -332222x x y y ⎛⎫⎛⎫+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭(2)(2)x x -+--(32)(23)x y y x ---2222392244x x y y ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222(2)4x x =--=-22(32)(23)(32)(32)94x y y x x y x y x y =-+-=+-=-22600.1-221002-=（4a 2）2﹣（b 2）2=16a 4﹣b 4．类型二、完全平方公式的应用3、计算：(1)； (2)； (3)； (4)．【思路点拨】此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方公式.【答案与解析】解：(1) ．(2) ．(3) ．(4) ．【总结升华】(1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时，结果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符号为负．(2)注意之间的转化．4、（2019春•吉安校级期中）图a 是由4个长为m ，宽为n 的长方形拼成的，图b 是由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙，恰好是一个小正方形． （1）用m 、n 表示图b 中小正方形的边长为 ． （2）用两种不同方法表示出图b 中阴影部分的面积；（3）观察图b ，利用（2）中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式（m+n ）2，（m ﹣n ）2，mn ；（4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知a+b=7，ab=5，求（a ﹣b ）2的值．【答案与解析】 解：（1）图b 中小正方形的边长为m ﹣n ．故答案为m ﹣n ；（2）方法①：（m ﹣n ）（m ﹣n ）=（m ﹣n ）2；方法②：（m+n ）2﹣4mn ；（3）因为图中阴影部分的面积不变，所以（m ﹣n ）2=（m+n ）2﹣4mn ；（4）由（3）得：（a ﹣b ）2=（a+b ）2﹣4ab ，()23a b +()232a -+()22x y -()223x y --()()22222332396a b a a b b a ab b +=+⨯⋅+=++()()()222223223222334129a a a a a a -+=-=-⨯⨯+=-+()()22222222244x y x x y y x xy y -=-⋅⋅+=-+()()()()2222222323222334129x y x y x x y y x xy y --=+=+⨯⨯+=++()()22a b a b --=+∵a+b=7，ab=5，∴（a ﹣b ）2=72﹣4×5 =49﹣20 =29．【总结升华】本题考查了完全平方公式的应用，列代数式，可以根据题中的已知数量利用代数式表示其他相关的量．5、已知，＝12．求下列各式的值：(1) ；(2) ．【答案与解析】解：(1)∵ ＝－＝－3＝－3×12＝13．(2)∵ ＝－4＝－4×12＝1.【总结升华】由乘方公式常见的变形：①－＝4；②＝－2＝＋2．解答本题关键是不求出的值，主要利用完全平方公式的整体变换求代数式的值． 举一反三：【变式】已知，，求和的值．【答案】解：由，得； ①由，得． ②①＋②得，∴ ． ① ②得，∴ ．【巩固练习】一.选择题1. 在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D.7a b +=ab 22a ab b -+2()a b -22a ab b -+22a b +ab ()2a b +ab 27()2a b -()2a b +ab 27()2a b +()2a b -ab 22a b +()2a b +ab ()2a b -ab ,a b 2()7a b +=2()4a b -=22a b +ab 2()7a b +=2227a ab b ++=2()4a b -=2224a ab b -+=222()11a b +=22112a b +=43ab =34ab =))((n m n m +--()()3333x y xy -+))((b a b a ---()()2222c ddc -+2．若＝6，＝5，则等于( )． A.11 B.15 C.30 D.603．下列计算正确的是( )．A.＝B. ＝C.D.( )()＝4．下列多项式不是完全平方式的是( )．A.B.C.D.5．（2019春•重庆校级期中）已知关于x 的二次三项式4x 2﹣mx+25是完全平方式，则常数m 的值为（ ） A ．10 B ．±10 C ．﹣20 D ．±20 6．下列等式不能恒成立的是( )． A.B. C. D.二.填空题7．若是一个完全平方式，则＝______．8. 若＝,则M ＝______．9. 若＝3，＝1，则＝_______.10.（2019春•陕西校级期末）（1+x ）（1﹣x ）（1+x 2）（1+x 4）= ． 11. ___________.12.若，则代数式的值为________.三.解答题13.（2019春•兴平市期中）用平方差公式或完全平方公式计算（必须写出运算过程）． （1）69×71； （2）992．14.先化简，再求值：，其中． 15.已知：，且求的值.x y +x y -22x y -()()55m m -+225m -()()1313m m -+213m -()()24343916n n n ---+=-+2ab n -2ab n +224ab n-244x x --m m ++2412296a ab b ++24129t t ++()222396x y x xy y -=-+()()22a b c c a b +-=--22241)21(n mn m n m +-=-()()()2244x y x y x yxy -+-=-2216x ax ++a 2294x y +()232x y M ++x y +xy 22x y +()25(2)(2)21x x x -+--=()212x -=225x x -+22)1(2)1)(1(5)1(3-+-+-+a a a a 3=a 2225,7x y x y +=+=,x y >x y -【答案与解析】一.选择题1. 【答案】A ；【解析】A 中和符号相反，和符号相反，而平方差公式中需要有一项是符号相同的，另一项互为相反数.2. 【答案】C ；【解析】＝6×5＝30.3. 【答案】C ；【解析】＝；＝；()()＝.4. 【答案】A ；【解析】；；. 5. 【答案】D ；【解析】解：∵关于x 的二次三项式4x 2﹣mx+25是完全平方式，∴﹣m=±20，即m=±20． 故选：D ．6. 【答案】D ；【解析】.二.填空题7. 【答案】±4；【解析】，所以.8. 【答案】；【解析】＝.9. 【答案】7；【解析】，.10.【答案】1﹣x 8；【解析】解：（1+x ）（1﹣x ）（1+x 2）（1+x 4）=（1﹣x 2）（1+x 2）（1+x 4）=（1﹣x 4）（1+x 4）=1﹣x 8，故答案为：1﹣x 811.【答案】；m m -n n -()()22x y x y x y -=+-()()55m m -+225m -()()1313m m -+219m -2ab n -2ab n +2224a b n -2211()42m m m ++=+22296(3)a ab b a b ++=+224129(23)t t t ++=+()()()()22222x y x y x yxy-+-=-222216244x ax x x ++=±⨯+4a =±12xy -2294x y +()23212x y xy +-()2222x y x y xy +=++22927x y +=-=2421x x +-【解析】.12.【答案】6；【解析】因为，所以.三.解答题 13.【解析】 解：（1）原式=（70﹣1）×（70+1）=4900﹣1=4899； （2）原式=（100﹣1）2=10000﹣200+1=9801． 14.【解析】解：当. 15.【解析】解：∵，且∴，∴，∵∴ ∵即 ∴.整式的除法（基础）【学习目标】1. 会进行单项式除以单项式的计算．2. 会进行多项式除以单项式的计算． 【要点梳理】要点一、单项式除以单项式法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.要点诠释：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.()()()22225(2)(2)2154441421x x x x x x x x -+--=---+=+-()212x -=2221,256x x x x -=-+=223(1)5(1)(1)2(1)a a a a +-+-+-()()()22232151221210a a a a a a =++--+-+=+3,=231016a =⨯+=时原式()2222x y x y xy +=++2225,7x y x y +=+=27252xy =+12xy =()2222252121x y x y xy -=+-=-⨯=1x y -=±,x y >0x y ->1x y -=。
