状态估计之kalman滤波

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卡尔曼滤波的融合原理

卡尔曼滤波的融合原理
卡尔曼滤波（Kalman Filter）是一种基于贝叶斯估计理论的递归最优线性最小方差滤波器，它在信号处理和控制工程领域中广泛应用，尤其擅长于多传感器数据融合以及动态系统的状态估计。

其融合原理可以简化表述如下：
1.预测阶段：
1.利用系统的动态模型，根据上一时刻的状态估计值及其协方差矩
阵，结合当前时刻的系统输入（如果有），通过状态转移方程预测下一时刻的状态和相应的预测误差协方差矩阵。

2.更新阶段：
1.当新的观测数据可用时，通过观测模型计算出一个预测与实际观测
之间的残差（即所谓的卡尔曼增益K）。

2.卡尔曼增益是基于预测误差协方差和观测噪声的协方差之比确定
的，它反映了对预测的信任度和对观测的信任度的相对权重。

3.使用这个增益来调整预测状态，得到一个更加准确的状态估计，也
就是将预测结果与实际测量值进行加权融合。

4.同时更新后验状态误差协方差矩阵，以反映新信息被融合后的不确
定性。

整个过程的关键在于如何最优地结合来自系统动力学模型预测的信息（先验信息）与从传感器获取的实时观测信息（后验信息）。

由于假定噪声项服从高斯分布，卡尔曼滤波能够找到一种数学上的最优解，使得状态估计具有最小均方误差。

在实际应用中，这种融合方法非常强大且灵活，可以处理连续时间或离散时间的线性系统，对于非线性系统则可通过扩展如扩展卡尔曼滤波等方法来近似处理。

卡尔曼滤波_卡尔曼算法

卡尔曼滤波_卡尔曼算法1.引言1.1 概述卡尔曼滤波是一种用于估计系统状态的技术，通过融合传感器测量值和系统模型的预测值，提供对系统状态的最优估计。

它的应用十分广泛，特别在导航、图像处理、机器人技术等领域中发挥着重要作用。

在现实世界中，我们往往面临着各种噪声和不确定性，这些因素会影响我们对系统状态的准确估计。

卡尔曼滤波通过动态调整系统状态的估计值，可以有效地抑制这些干扰，提供更加精确的系统状态估计。

卡尔曼滤波的核心思想是利用系统模型的预测和传感器测量值之间的线性组合，来计算系统状态的最优估计。

通过动态地更新状态估计值，卡尔曼滤波可以在对系统状态的准确估计和对传感器测量值的实时响应之间进行平衡。

卡尔曼滤波算法包括两个主要步骤：预测和更新。

在预测步骤中，通过系统模型和上一时刻的状态估计值，预测当前时刻的系统状态。

在更新步骤中，将传感器测量值与预测值进行比较，然后根据测量误差和系统不确定性的权重，计算系统状态的最优估计。

卡尔曼滤波具有很多优点，例如它对传感器噪声和系统模型误差具有鲁棒性，可以提供较为稳定的估计结果。

此外，卡尔曼滤波还可以有效地处理缺失数据和不完全的测量信息，具有较高的自适应性和实时性。

尽管卡尔曼滤波在理论上具有较好的性能，但实际应用中还需考虑诸如系统模型的准确性、测量噪声的特性等因素。

因此，在具体应用中需要根据实际情况进行算法参数的调整和优化，以提高估计的准确性和可靠性。

通过深入理解卡尔曼滤波的原理和应用，我们可以更好地应对复杂环境下的估计问题，从而在实际工程中取得更好的效果。

本文将介绍卡尔曼滤波的基本原理和算法步骤，以及其在不同领域的应用案例。

希望通过本文的阅读，读者们可以对卡尔曼滤波有一个全面的了解，并能够在实际工程中灵活运用。

1.2文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式编写：1.2 文章结构本文将围绕卡尔曼滤波和卡尔曼算法展开论述。

首先，我们会在引言部分对卡尔曼滤波和卡尔曼算法进行简要概述，介绍其基本原理和应用领域。

扩展Kalman滤波(EKF)和无迹卡尔曼滤波(ukf)

Pkk_1 = Phikk_1*Pk_1*Phikk_1' + Qk;
Pxz = Pkk_1*Hk'; Pzz = Hk*Pxz + Rk;
Pxz*Pzz^-1;
Kk =
Xk = fXk_1 + Kk*Zk_hfX;
Pk = Pkk_1 - Kk*Pzz*Kk';
二、扩展Kalman滤波(EKF)算法
[Xk, Pk, Kk] = ekf(eye(4)+Ft*Ts, Qk, fX, Pk, Hk, Rk, Z(k,:)'-hfX);
X_est(k,:) = Xk';
Hale Waihona Puke end二、扩展Kalman滤波(EKF)算法
figure(1), plot(X_est(:,1),X_est(:,3), '+r')
EKF与UKF
一、背景
普通卡尔曼滤波是在线性高斯情况下利用最小均方误差准则获得目标的动态估计，适应于过程和测量都属于线性系统，且误差符合高斯分布的系统。但是实际上很多系统都存在一定的非线性，表现在过程方程（状态方程）是非线性的，或者观测与状态之间的关系（测量方程）是非线性的。这种情况下就不能使用一般的卡尔曼滤波了。解决的方法是将非线性关系进行线性近似，将其转化成线性问题。对于非线性问题线性化常用的两大途径：（1）将非线性环节线性化，对高阶项采用忽略或逼近措施；（EKF）（2）用采样方法近似非线性分布. ( UKF)
三、无迹卡尔曼滤波算法(UKF)
UKF是用确定的采样来近似状态的后验PDF,可以有效解决由系统非线性的加剧而引起的滤波发散问题，但UKF仍是用高斯分布来逼近系统状态的后验概率密度，所以在系统状态的后验概率密度是非高斯的情况下，滤波结果将有极大的误差。

基于Kalman滤波器的状态估计软测量

．
Ｋａｍａｌｅｎｅｒｄｓｉａｉｎｏｍｉａａａｅｎｅｌｅｈｒｍｅｅｓｏｅｓｒｍｅｈｃｃｌｎｆｔｒｉｆｒｅｅｔｍｔｏｆｄｏｎｎｔｖｒｂｌｓａｄｒａｉｄｔｅｐａａｔｒｆｍａｕｅｎｔｗｉｈｏｎｖｎｉａｉｉｚｅｔｏｎｌｍｅｈｏｅｅｄｉｃｌｏｍｅｓｅ，ｔｎｅｐｌｉｅｎｄｔａｐｉａｉｎ．Ｔｈｅｆｔｅｖｅｏｔｄｓｗｒｆｕｔｔａｕｒｉｈｅｘａｎｄｂｙｉｕｓｒｌａｐｌｃｔｏｉｕｒｈｒｄｅｌｐｍｅｔａｐｐｉａｉｎｎｎｄａｌｃｔｏｏｆｓｆ—ｓｎｓｎｅｈｏｏｙｗｅｅｐｒｓｎｔｄ．ｏｔｅｉｇｔｃｌｇｒｅｅｅ
ｅｔｍａｉｎｂａｅｌｍａｆｌｅ．ＫａｍａｆｌｅｖｓｕｅｏｅｔｍａｅｔｙｔｍｔｔｙｔｂｅｖｂｅｉｏｒａｉｅｓｉｔｏｓｄｏｎＫａｎｔｒｉｌｎｔｒ＼ａｓｄｔｓｉｔｈｅｓｓｅｓａｅｂｈｅｏｓｒａｌｎｆｍｔｏｎｓｔｉＴｈｅｄｏｉｎｔｖｒａｅｅｅｕｓｓｔｅｓａｕｓｏｏｃｓｏｂｅｅｔｍａｅｍｎａａｂｌｓｗｒｅｄａｈｔｔｆｐｒｅｓｔｓｉｔｄ．Ｔｈｅｅｔｎｄｅｅｆｄａｉｅａｇｉｔｍｆｉｘｅｄｓｌ－ａｐｔｖｌｏｒｈｏ
形成了一个具有深刻理论背景又非常实用的研究方向：测量技术的理论与应用研究。软

卡尔曼滤波的作用

卡尔曼滤波的作用
卡尔曼滤波（Kalman Filter）是一种线性滤波算法。

它不仅可以解决系统建模不准确时引起的定位任务的过拟合和欠拟合问题，而且还可以增强系统的动态特性。

卡尔曼滤波为传感器准备了两个重要参数，即测量噪声和过程噪声，将这两部分参数分别用协方差矩阵表示，卡尔曼滤波既可以将测量噪声和过程噪声在一定程度上消除掉，从而使得信息更精确地传输，也可以准确地估计系统的状态，能较好地提高系统性能。

卡尔曼滤波由理查德·卡尔曼于1930年提出，是一种基于状态估计的线性有限时间滤波方法。

卡尔曼滤波既可改善信号检测中噪声的影响，又能减少传感器衰减的因素，以改善定位精度。

卡尔曼滤波算法被广泛用于路径规划，无人机定位，自动驾驶车辆定位等领域。

基本原理是：它通过对历史信息和现有信息的综合分析，运用有限时间状态估计，并结合测量数据的新观测来建立状态估计方程和协方差方程，将高斯噪声定义为状态的控制变量，从而克服传感器的衰减和环境中存在的噪声的影响，从而改善定位精度。

由于卡尔曼滤波具有高精度和高稳定性，因此被广泛应用于定位，导航，跟踪等技术中，在复杂环境下能够有效地确定目标状态。

综上所述，卡尔曼滤波解决了因建模不准确而引发的系统性问题，提供了定位的可靠性，准确性，可行性以及灵活性，是一种动态算法，可以提高系统对外界环境变化的准确响应能力。

卡尔曼滤波进行状态估计模型

卡尔曼滤波进行状态估计模型
卡尔曼滤波是一种用于状态估计的强大工具，它在许多现代科
学和工程领域中都得到了广泛的应用。

这种滤波器能够从一系列不
完全、噪声干扰的测量中，估计出系统的真实状态。

它的应用范围
包括但不限于航空航天、导航、无人机、自动控制系统和金融领域。

卡尔曼滤波的核心思想是通过将先验信息（系统的动态模型）
和测量信息（传感器测量）进行融合，来估计系统的真实状态。

它
能够有效地处理测量噪声和模型不确定性，并且能够提供对系统状
态的最优估计。

卡尔曼滤波的工作原理是通过不断地更新系统状态的估计值，
以使其与实际状态尽可能接近。

它通过两个主要步骤实现这一目标，预测和更新。

在预测步骤中，根据系统的动态模型和先验信息，估
计系统的下一个状态。

在更新步骤中，根据测量信息，修正先前的
状态估计，以获得最优的系统状态估计。

卡尔曼滤波的优势在于它能够在计算复杂度相对较低的情况下，提供对系统状态的最优估计。

它还能够有效地处理非线性系统，并
且能够适应不同类型的测量噪声。

总的来说，卡尔曼滤波是一种强大的状态估计工具，它在许多现代应用中都发挥着重要作用。

通过将先验信息和测量信息进行融合，它能够提供对系统状态的最优估计，为科学和工程领域的研究和应用提供了重要的支持。

卡尔曼滤波 matlab算法

卡尔曼滤波 matlab算法卡尔曼滤波是一种用于状态估计的数学方法，它通过将系统的动态模型和测量数据进行融合，可以有效地估计出系统的状态。

在Matlab中，实现卡尔曼滤波算法可以通过以下步骤进行：1. 确定系统的动态模型，首先需要将系统的动态模型表示为状态空间方程，包括状态转移矩阵、控制输入矩阵和过程噪声的协方差矩阵。

2. 初始化卡尔曼滤波器，在Matlab中，可以使用“kf = kalmanfilter(StateTransitionModel, MeasurementModel, ProcessNoise, MeasurementNoise, InitialState, 'State', InitialCovariance)”来初始化一个卡尔曼滤波器对象。

其中StateTransitionModel和MeasurementModel分别是状态转移模型和测量模型，ProcessNoise和MeasurementNoise是过程噪声和测量噪声的协方差矩阵，InitialState是初始状态向量，InitialCovariance是初始状态协方差矩阵。

3. 进行预测和更新，在每个时间步，通过调用“predict”和“correct”方法，可以对状态进行预测和更新，得到最优的状态估计值。

4. 实时应用，将测量数据输入到卡尔曼滤波器中，实时获取系统的状态估计值。

需要注意的是，在实际应用中，还需要考虑卡尔曼滤波器的参数调节、性能评估以及对不确定性的处理等问题。

此外，Matlab提供了丰富的工具箱和函数，可以帮助用户更便捷地实现和应用卡尔曼滤波算法。

总的来说，实现卡尔曼滤波算法需要对系统建模和Matlab编程有一定的了解和技能。

希望以上内容能够对你有所帮助。

状态估计卡尔曼滤波

估值的均方误差
P
E[(Xˆ k
x)2 ]
1 1
a a
2 n
而一次取样的均方误差
P 1
E[(
x
nk
x)2 ]
E(nk2 )
2 n
故上一结果的均方误差约为一次采样的（1-a）/（1+a）倍。
18
自动化学院
NUST
二、线性均方估计
1、最优非递归估计（标量维纳滤波） 2、递归估计
智能信息处理技术
19
自动化学院
P (k 1/ k) E[e2(k 1/ k)] E[x(k 1/ k) Xˆ (k 1/ k)]2
将预测方程代入该式，并求导，就会得到一组正交方程：
E[e(k 1/ k) Xˆ (k / k 1)] 0 E[e(k 1/ k)z(k)] 0
38
自动化学院
NUST
智能信息处理技术
解之，得
NUST
智能信息处理技术
1. 非递归滤波器的估计值及其估计误差可分别表示为
m
Xˆ hi zi
i 1 m
P E[(Xˆ x)2 ] E[( hi zi x)2 ]
i 1
20
自动化学院
NUST
智能信息处理技术
对m个参数逐一求导，令等于零，在均值为零的白噪声的
情况下，可得到最小均方误差和估计：
^
X k1 X k bk1(zk1 X k )
27
自动化学院
NUST
智能信息处理技术
递推开始时的初始条件
Xˆ
应满足
0
：
E[(x Xˆ Xˆ 0
0
)2
]
0
以使
Xˆ
为最佳值。

卡尔曼滤波基础知识

卡尔曼滤波基础知识卡尔曼滤波(Kalman filtering)是一种常用于估计被测量的物理系统状态的算法。

它最初在20世纪60年代由Rudolf Kalman发明，并被广泛应用于自动控制、导航、机器人、计算机视觉、信号处理等领域。

卡尔曼滤波的基本原理是通过测量系统中的输入和输出信号，得出最优的状态估计。

它利用数学模型来描述系统的动态行为，并从中预测未来状态。

此外，它还使用实际测量的数据来校正预测结果，从而提高估计的准确性。

卡尔曼滤波主要分为两个阶段：预测阶段和更新阶段。

预测阶段通过数学模型预测系统的状态，并计算出其协方差矩阵。

更新阶段则使用实际测量的数据进行校正，进一步提高估计的准确性。

卡尔曼滤波的数学模型通常以状态空间形式表示。

状态空间是一个向量空间，可以将系统的状态表示为该空间中的一个向量。

在状态空间中，系统状态和测量数据可以表示为向量和矩阵的形式，从而简化了卡尔曼滤波的计算。

卡尔曼滤波的估计过程涉及多个概率分布的计算，包括状态先验分布、状态后验分布、观测先验分布和观测后验分布等。

这些分布都可以通过贝叶斯公式进行计算，从而得出最优的状态估计。

卡尔曼滤波具有许多优点，最主要的是它可以通过测量数据自适应地调整估计的精度，因此可以很好地应用于动态和噪声环境下的系统。

此外，它还可以处理多个输入和输出，以及随时间变化的系统参数。

然而，卡尔曼滤波也有一些局限性。

例如，在高噪声环境下，其精度可能会受到限制。

此外，它对测量数据的特性和系统参数的行为做了一些假设，因此可能不适用于某些特殊情况。

在实际应用中，卡尔曼滤波通常需要与其他算法一起使用。

例如，它可以与模糊逻辑、神经网络等算法相结合，以提高估计的精度和鲁棒性。

此外，它还可以与传感器融合技术一起使用，以利用多个传感器的信息，进一步提高估计的准确性。

总之，卡尔曼滤波是一种强大的估计算法，可以应用于各种物理系统，并在自动控制、导航、机器人、计算机视觉、信号处理等领域取得了广泛应用。

Kalman滤波在工程中的应用

Kalman滤波在工程中的应用Kalman滤波在工程中的应用Kalman滤波是一种常用于工程中的估计和控制问题的优秀方法。

它使用统计学方法和线性系统理论来估计未知变量的状态，通过将测量值与模型预测进行加权平均，提供更准确和可靠的结果。

在工程领域，Kalman滤波广泛应用于航空航天、导航系统、机器人、自动驾驶和信号处理等方面。

以下是使用Kalman滤波的步骤：1. 建立模型：首先，我们需要建立一个数学模型来描述系统的动态行为。

这可以是一个线性或非线性模型，以及关于系统状态和测量值的方程。

例如，在自动驾驶中，我们可以使用车辆动力学方程来描述汽车的运动。

2. 初始化：在开始使用Kalman滤波之前，我们需要初始化系统状态估计值和协方差矩阵。

通常，我们将初始状态设置为零，协方差矩阵设置为较大的值，以表示对初始状态的不确定性。

3. 预测：通过使用系统模型，我们可以预测下一个时刻的状态和协方差矩阵。

这是通过将当前状态和模型方程进行线性组合得到的。

预测结果提供了系统状态的最佳猜测，但仍然受到噪声和不确定性的影响。

4. 更新：在此步骤中，我们使用传感器测量值来更新状态估计和协方差矩阵。

首先，我们计算测量残差，即测量值与预测值之间的差异。

然后，通过卡尔曼增益将测量残差与预测误差相结合，以获得修正后的状态估计值和协方差矩阵。

5. 重复：通过不断重复预测和更新步骤，我们可以不断改进状态估计值的准确性。

每一次迭代都会减少状态估计的不确定性，并提供更可靠的结果。

通过以上步骤，Kalman滤波可以在工程中提供准确的状态估计和控制。

它可以帮助我们从受噪声和不确定性影响的测量中提取有用的信息，以便更好地理解和控制系统的行为。

通过将预测和测量步骤相结合，Kalman滤波使得我们能够实时地更新状态估计值，并在不断迭代中逐渐减小估计误差。

总而言之，Kalman滤波在工程中具有广泛的应用。

它可以提高系统的鲁棒性和稳定性，同时也能够减少传感器噪声和测量误差的影响。

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？
求现在时刻的状态值滤波
？
时间k
求将来时间段某一点的状态值预测
平滑、滤波和预测
2012/6/6 11
5.1 卡尔曼滤波
二、卡尔曼滤波算法推导
⎧ Xk = Φk ,k −1 Xk −1 + Γ k ,k −1Wk −1 ⎨ ⎩Zk = Hk Xk +Vk
W （1）为推导简化，假设 Φ, H 不随时间变化， k ,Vk 都是均值
K 其中， k 为增益矩阵，实质是一加权矩阵。
校正后的状态变量的估计误差用 X k 表示，误差的均方值用
Pk 表示，未校正的状态变量估计误差的均方值用 Pk '表示，即
ˆ ˆ ˆ X k = X k − X k , Pk = E ⎡( X k − X k )( X k − X k )T ⎤ ⎣ ⎦
ˆ ˆ Pk ' = E ⎡( X k − X k ')( X k − X k ')T ⎤ ⎣ ⎦
系统初始条件为：
E [ X 0 ] = μ0 ⎡( X - μ0 )( X - μ0 )T ⎦ = p0 ⎤ var [ X 0 ] = E ⎣ cov [ X 0 ,Wk ] = E ⎡ X 0WkT ⎤ = 0 ⎣ ⎦ cov [ X 0 ,Vk ] = E ⎡ X 0VkT ⎤ = 0 ⎣ ⎦
2012/6/6 16
5.1 卡尔曼滤波
ˆ X k = ( I − K k H k ) ⎡Φk ( X k −1 − X k −1 ) + Wk −1 ⎤ − K kVk ⎣ ⎦
X k 由三部分组成，可记为
Xk = a + b − c
其中
ˆ a = ( I − K k H k )Φk ( X k −1 − X k −1 ) b = ( I − K k H k )Wk −1 c = K kVk
ˆ E ⎡ba T ⎤ = E ⎡ ( I − K k H k )Wk −1 ( X k −1 − X k −1 ) T ΦkT ( I − K k H k ) T ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
T E ⎡bc T ⎤ = E ⎡( I − K k H k )Wk −1VkT K k ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ˆ E ⎡ca T ⎤ = E ⎡ K kVk ( X k −1 − X k −1 )T ΦkT ( I − K k H k )T ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ E ⎡cb T ⎤ = E ⎡ K kVkWkT ( I − K k H k )T ⎤ -1 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ˆ ˆ = Φk X k −1 + K k ( H k X k + Vk − H kΦk X k −1 )
ˆ = ( I − K k H k )Φk X k −1 + K k H k X k + K kVk
ˆ Xk = Xk − Xk
X k = Φk X k −1 + Wk −1
ˆ = Φk X k −1 + Wk −1 − ⎡( I − K k H k )Φk X k −1 + K k H k X k + K kVk ⎤ ⎣ ⎦
ˆ 设 X k , j 表示利用输出zj 来对X进行估计的值，分三种情况：
• • •
Yj
当 k>j 时，称为预测；当 k=j 时，称为滤波；当 k<j 时，称为平滑。
2012/6/6
10
5.1 卡尔曼滤波
已知过去 ←--- 现在时刻 ---→ 将来
？
求过去时间段某一点的状态值
数据平滑、插值、拟合
1. 连续型状态空间模型
● SISO线性时不变连续系统状态空间表达式为：
确定性状态空间模型
⎧ x (t ) = Ax (t ) + b u (t ) ⎨ ⎩ y (t ) = cx (t )
● 对应状态空间模型的传递函数为：
G(s) = c(sI − A)−1 b
2. 离散型状态空间模型
ˆ ˆ E ⎡ aaT ⎤ =E ⎡( I − K k H k )Φk ( X k −1 − X k −1 )( X k −1 − X k −1 )T ΦkT ( I − K k H k )T ⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ =( I − K k H k )Φk Pk -1ΦkT ( I − K k H k )T E ⎡bbT ⎤ =E ⎡( I − K k H k )Wk −1WkT ( I − K k H k )T ⎤ -1 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ = ( I − K k H k )Qk -1 ( I − K k H k )T E ⎡ccT ⎤ =E ⎡ K kVkVkT K kT ⎤ = K k Rk K kT ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
2012/6/6
4
5.1 卡尔曼滤波
卡尔曼滤波的应用
• 机器人导航、控制 • 传感器数据融合 • 雷达系统以及导弹追踪 • 计算机图像处理 – 头脸识别 – 图像分割 – 图像边缘检测
Apollo Navigation
目标跟踪
2012/6/6 5
5.1 卡尔曼滤波
比如，在雷达中，人们感兴趣的是跟踪目标，但目标
为零的高斯白噪声随机过程向量序列，且两者互不相关，即
2 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ Wk：E [Wk ] = 0，cov ⎣Wk , W j ⎦ = E ⎣WkW jT ⎦ = Qk δ kj，σ W = Qk
Vk： E [Vk ] = 0， cov ⎡Vk , V j ⎤ = E ⎡VkV jT ⎤ = Rk δ kj , ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ cov ⎡Wk , V j ⎤ = E ⎡WkV jT ⎤ = 0, ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ k , j = 0,1, 2…
则状态变量的估计误差的均方值 Pk 由9项组成。
⎡ ⎤ Pk = E ⎣ X k X kT ⎦ = E ⎡(a + b − c)(a + b − c)T ⎤ ⎣ ⎦
= E ⎡ aa T + bb T + cc T + ab T − ac T + ba T − bc T − ca T − cbT ⎤ ⎣ ⎦
2012/6/6
13
5.1 卡尔曼滤波
（2）基本思想：先不考虑输入信号 Wk 和观测噪声 Vk 的影响,
得到状态变量和输出信号（即观测数据）的估计值，再用输出信号的估计误差加权后校正状态变量的估计值，使状态变量估计误差的均方值最小。卡尔曼滤波的关键是计算加权矩阵的最佳值。
（3）推导过程
当不考虑 Wk 和 Vk 时，状态方程和量测方程为
2 σ V = Rk
式中 Qk＝ var [Wk ] =E ⎡WkWkT ⎤ 称为动态噪声协方差阵， ⎣ ⎦ Rk＝ var [Vk ] = E ⎡VkVkT ⎤ 称为测量噪声协方差阵。 ⎣ ⎦
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另外 δ kj = ⎨
⎧1 ⎩0
k= j k≠ j
克罗尼克 δ 函数
12
5.1 卡尔曼滤波
2012/6/6 17
5.1 卡尔曼滤波
ˆ 因为： a = ( I − K k H k )Φk ( X k −1 − X k −1 ) b = ( I − K k H k )Wk −1 ,
b T =WkT ( I − K k H k )T , -1
c = K kVk
c T =VkT K kT
ˆ a T =( X k −1 − X k −1 )T ΦkT ( I − K k H k )T 所以：
线性时不变 (LTI) 系统 LTI系统的输入u为离散控制量，采样周期为T，采样期间零阶保持，则采样保持期间的系统可以计算得到：
Π
其中：
Π
进而：
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Π
8
5.1 卡尔曼滤波
● 针对随机线性时不变离散系统，用状态方程描述如下：
⎧ X k = Φk ,k −1 X k −1 + Γ k ,k −1Wk −1 状态(转移)方程 ⎨ 观测方程 ⎩Zk = Hk X k + Vk
卡尔曼滤波的任务：选择合适的 K k ，使 Pk 取得最小值。
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5.1 卡尔曼滤波
ˆ 下边推导 X k 和 X k ，然后计算 X k 的均方值 Pk ，简化 Pk ，最后得到一组卡尔曼滤波的递推公式。
ˆ ˆ ˆ X k = Φk X k −1 + K k ( Z k − H kΦk X k −1 )
ˆ ˆ X k ' = Φk X k −1 ˆ ˆ ˆ Z k ' = H k X k ' = H kΦk X k −1
际值有误差）
2012/6/6
⎧ X k = Φk X k −1 + Wk −1 ⎨ ⎩ Z k = H k X k + Vk
输出信号的误差为 Z （由于不考虑噪声，输出信号估计值与实 k
第5章状态估计
5.1
卡尔曼滤波广义卡尔曼滤波增广广义卡尔曼滤波
5.2
5.3
2012/6/6
2
第5章状态估计
引入状态向量是为了对系统内部结构进行数学描述, 但在许多情况下，系统的状态是无法直接测量到的, 有时甚至全部不能量测到。或者，需要从夹杂随机干扰的观测信号中分离出系统的状态值。
例如，飞机在飞行过程中所处的位置、速度等状态参数需要通过雷达或其它测量装置进行观测，而这些测量装置也存在着随机干扰，因此观测到飞机的位置、速度等信号中就夹杂着随机干扰，我们只能根据观测到的信号来估计和预测飞机的状态。
● SISO线性时不变离散系统状态空间模型为：
⎧ x ( k + 1) = Α x ( k ) + b u ( k ) ⎨ ⎩ y ( k ) = cx ( k )
● 对应状态空间模型的传递函数为： G( z −1 ) = c( zI − A)−1 b