探索多边形的内角和与外角和(一) - 教学设计

《北师大版实验教科书八年级上册》4.6探索多边形的内角和与外角和(1)教学目标(一)教学知识点：1.理解多边形及正多边形的定义.2.掌握多边形的内角和公式.(二)能力训练要求1.经历探索多边形内角和公式的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系.2.探索并了解多边形的内角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力.(三)情感与价值观要求经历探索多边形内角和的过程，进一步发展学生合情推理意识、主动探究习惯，进一步体会数学与现时生活的紧密联系教学重点：多边形的内角和.教学难点：探索多边形的内角和公式过程.教具准备：多媒体课件、三角尺、剪刀、正方形只纸片。

教学过程：一．.巧设情景问题，引入课题：引导学生回忆已经学过哪些图形？书桌面是什么形状？作业本的每一张是什么形状？提问：若把长方形的一张纸剪去一角，会出现什么形状的图形，并指导。

（学生讨论并得出结论：三角形，四边形，五边形）二.讲授新课1．多边形的定义：在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形.在定义中应注意：①若干条；②首尾顺次相连，二者缺一不可.多边形有凸多边形和凹多边形之分，如图.把多边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形(如图(2))图(1)的多边形是凹多边形我们探讨的一般都是凸多边形.多边形的边、内角、顶点、对角线、内角和的含义与三角形相同，即：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边.顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点.对角线：在多边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线.内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角.如图多边形通常以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形.三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.多边形的表示方法与三角形、四边形类似.可以用表示它的顶点的字母来表示，如可顺时针方向表示，也可逆时针方向表示，如图(3)，可表示为五边形ABCDE，也可表示为五形EDCBA。

好，我们了解了多边形的有关概念后，看一幅图及问题(出示投影片§4.7.1A)(课本P108的图)(1)一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗？与同伴交流.(2)小明、小亮分别利用下面的图形求出了该五边形的五个内角的和.你知道他们是怎么做的吗？(3)还有其他的方法吗？(学生讨论、画图、归纳自己的方法)在求五边形的内角和时，先把五边形转化成三角形.进而求出内角和，这种由未知转化为已知的方法是我们数学中一种非常重要的方法.请同学们完成课本的“想一想”。

（学生画图，归纳，猜想）（从n边形的一个顶点出发，向自身和相邻的两个顶点无法引对角线，向其他顶点共引(n －3)条对角线，这时n边形被分割成(n－2)个三角形，因为每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和为(n－2)·180°）大家想一想，n边形的内角和公式中，字母n取值有没有范围？（必须是大于3的自然数.）同学们口答一下：12边形的内角和是多少呢？（1800°）请同学们“想一想”：观察下图中的多边形，它们的边、角有什么特点？1．在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做正多边形，如上图中的多边形分别为：正三角形、正四边形即正方形、正五边形、正六边形、正八边形.2．正多边形都是轴对称图形，边数为偶数的正多边形是中心对称图形. 下面大家想一想，议一议：1.一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？2.一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？3.正三角形、正四边形(正方形)、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？ 1．.如菱形的四条边相等，但它的内角不一定都相等，所以应该说：一个多边形的边都相等，它的内角不一定都相等.2．一个多边形的内角都相等，它的边不一定都相等，如：矩形的内角都是直角，但它的边未必都相等.3．因为正多边形的每个内角都相等，且它的内角和为(n －2)·180°,所以，正n 边形的每个内角为：nn )2(-·180°.因此，正三角形的内角是：︒=︒⋅-603180)23(；正方形的内角是：4)24(-·180°=90° 正五边形的内角是：正六边形的内角是： ；正八边形的内角是： 三．知识运用：例1：一个多边形的内角和为2520°，则多边形的边数为 例2：一个正方形缺去一个角后内角和为多少度？ 四.课堂练习(一)课本“随堂练习” 1.如下图.(1)作多边形所有过顶点A 的对角线，并分别用字母表示出来. (2)求这个多边形的内角和.解：(1)如下图：过顶点A 的对角线是AC 、AD 、AE.(2)从(1)图中可知：这个六边形被过顶点A 的对角线分割成四个三角形，所以，这个多边形的内角和为180°×4=720°.也可以利用多边形的内角和公式进行计算即：(6－2)×180°=720° 五.课时小结本节课我们研究了多边形的定义及其内角和公式，重点探讨了多边形的内角和公式. 即：n 边形的内角和等于(n －2)·180°,它揭示了多边形内角和与边数之间的关系. 六．.课后作业：课本习题4.11 1、2、3 板书设计：《北师大版实验教科书八年级上册》4.6 探索多边形的内角和（1）一、教学目标1、知识与技能（1）经历探索多边形内角和公式的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主探索多边形内角和 多边形的定义及相关概念：探索多边形内角和的方法及过程： （n-2）×180°正多边形的定义及性质：正多边形的每一个内角的度数：nn )2( ·180°.例题讲解：动探究的习惯；（2）探索并了解多边形的内角和公式及正多边形的特点，进一步发展学生的说理和简单推理意识及能力；2、过程与方法通过探索多边形内角和公式的过程，让学生了解化归，从特殊到一般的基本数学思想方法；3、情感与态度体会数学与现实生活的紧密联系，了解数学的价值，增进学生对数学的理解和学好数学的信心，从探究活动中，体验合作学习的快乐。

二、教材分析新教材从呈现顺序来看是在学生全面学习了平行四边形、梯形之后才来研究多边形内角和公式，这实际上是对前面所学几何图形进行归纳、总结、实践应用，提高了学生的认识，起到升华的作用；同时这样的教学顺序使学生在知识方面准备比较充分，在推理能力与作图能力方面有了较好的训练。

新教材是把“让学生经历探索多边形内角和公式这一过程”作为本节课的主要内容，这样不单单是为了获得“多边形内角和公式”，更主要是想通过这一过程提供给学生从事观察、猜测、推理、探究和归纳等活动的机会，让学生感受数学的研究过程，获得数学活动的经验，而相应地淡化了对公式的应用。

另外，新教材还增加了正多边形的有关概念，把正多边形作为多边形的一个补充，这使多边形的知识模型更趋于完整，同时也使学生的认识得到深化。

这样看来，新教材更注重通过数学思维活动过程，使学生在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。

三、学校与学生情况分析我校是一所普通的初级中学，学校位于城乡交界处，部分学生来自农村，因此学生的家庭经济状况、学习环境、学习习惯、学习基础、学习兴趣等差别较大。

考虑到这些，我在设计这节课时，尽量从学生实际生活中的问题入手，以引起学生的兴趣，并为不同图一图二程度的学生设计不同的问题，使他们都能得到一定程度的发展。

四、教学设计 课前准备：（1）学生复习三角形，四边形的有关概念；（2）学生提前准备四边形、五边形、六边形等图形。

（3）准备作图工具及计算器。

活动一、观察图形，感知概念1、在这一活动中教师首先利用多媒体出示生活中关于三角形、四边形、五边形等图案，让学生观察其中都有哪些熟悉的平面图形。

设计意图：○1使学生充分感受数学与现实生活的紧密联系；○2使学生感受到现实生活中除了研究过的三角形，四边形以外，还有其它多边形，感受研究多边形的现实性与必要性。

2、出示抽象出来的关于多边形的平面图形，引导学生归纳、总结多边形的有关概念。

（1）提出问题“由三角形、四边形的有关概念，你能说一说什么叫多边形吗？以及多边形的顶点、边、内角与对角线吗？”（2）小组讨论启发学生依据已有的知识经验，应用类比的数学思想给多边形有关概念下定义、起名称，然后在全班交流。

（3）教师明晰通过多元化的想法和提法的交换,最后获得正确的多边形的有关概念。

设计意图：①体会各图形之间的联系；②体会如何应用类比的数学思想获得新知，同时培养学生归纳、总结的能力。

活动二、探索规律，合作交流1、提出问题“三角形的内角和等于180°,那么四边形、五边形、六边形……它们的内角和又分别是多少度？计算多边形内角和有什么规律吗？”设计意图：提出这样具有挑战性的问题，是为了引起学生探究问题的兴趣和认知矛盾，产生认知冲突。

2、探究多边形内角和公式（1）独立研究让学生拿出准备好的各类多边形图形，自主探究，求出各多边形内角和的度数。

（2）小组交流、探讨当学生有了一定的探究成果时，允许分组讨论，并给学生提供充分合作交流的时间和空间，鼓励学生有多种解法，体验数学活动充满着探索性和创造性。

设计意图：①让学生经历探索多边形内角和公式的过程，在这个探索过程中认识数学，解决问题，理解和掌握基本的数学知识、技能，感受数学中的化归、从特殊到一般等数学思想方法。

从而进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯。

这样数学学习也就成为学生的主体性，能动性，独立性不断发展、提升的过程。

②在此活动中，学生在合作交流的氛围中，解除困惑，更清楚地明确自己的思想，并有机会分享自己和他人的想法，从而发展学生与他人交流，合作研究的能力。

③给学生提供充分的合作交流的时间和空间，使学生展开思维，从不同角度思考问题，培养学生良好的思维品质。

3、展示学生成果，总结规律学生将各自的成果，用实物投影展示出来。

同时，教师认真倾听学生的思想，对学生的思维活动进行积极引导，引导学生总结出一般性规律，并用多媒体演示各类分割多边形的方法。

设计意图：①实物投影展示学生的成果能使学生更清楚地表达自己的想法，为学生提供一个展示自我的机会和舞台；②通过多媒体形象、直观地演示各类分割多边形的方法，有助于学生理解，从而使学生的思想得到完善，得到升华。

活动三、完善知识，应用练习1、完善知识结构图三如图三，先出示一组关于正多边形的图形，让学生感知这些图形的特殊性，引起学生的兴趣，再让学生观察、分析图形的特点，总结正多边形的有关概念。