一轮复习用学案~概率与统计

高三数学一轮复习学案概率统计【命题趋向】概率与统计是高中数学的重要学习内容，它是一种处理或然咨询题的方法，在工农业生产和社会生活中有着广泛的应用，渗透到社会的方方面面，概率与统计的基础知识成为每个公民的必备常识．概率与统计的引入，拓广了应用咨询题取材的范畴，概率的运算、离散型随机变量的分布列和数学期望的运算及应用差不多上考查应用意识的良好素材．在高考试卷中，概率与统计的内容每年都有所涉及，以解答题形式显现的试题常常设计成包含离散型随机变量的分布列与期望、统计图表的识不等知识为主的综合题，以考生比较熟悉的实际应用咨询题为载体，以排列组合和概率统计等基础知识为工具，考查对概率事件的识不及概率运算．解答概率统计试题时要注意分类与整合、化归与转化、或然与必定思想的运用． 由于中学数学中所学习的概率与统计内容是最基础的，高考对这一部分内容的考查注重考查基础知识和差不多方法．该部分在高考试卷中，一样是2—3个小题和一个解答题．【考点透析】概率统计的考点要紧有：概率与统计包括随机事件，等可能性事件的概率，互斥事件有一个发生的概率，古典概型，几何概型，条件概率，独立重复试验与二项分布，超几何分布，离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望和方差，抽样方法，总体分布的估量，正态分布，线性回来等．【例题解析】题型1 抽样方法【例1】在1000个有机会中奖的号码〔编号为000999-〕中，在公证部门监督下按照随机抽取的方法确定后两位数为的号码为中奖号码，该抽样运用的抽样方法是 〔 〕A ．简单随机抽样 B ．系统抽样 C ． 分层抽样 D ．以上均不对分析：实际〝间隔距离相等〞的抽取，属于系统抽样．解析：题中运用了系统抽样的方法采确定中奖号码，中奖号码依次为：088，188，288，388，488，588，688，788，888，988．答案B ．点评：关于系统抽样要注意如下几个咨询题：〔1〕系统抽样是将总体分成均衡几个部分，然按照预先定出的规那么从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本的一种抽样方法．〔2〕 系统抽样的步骤：①将总体中的个体随机编号；②将编号分段；③在第一段中用简单随机抽样确定起始的个体编号；④按事先研究的规那么抽取样本．〔3〕适用范畴：个体数较多的总体．例2〔2018年高考广东卷理3〕某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，那么应在三年级抽取的学生人数为〔 〕A ．24B ．18C ．16D ．12分析：依照给出的概领先求出x 的值，如此就能够明白三年级的学生人数，咨询题就解决了．占全校学生总数的19%，解析：C 二年级女生即20000.19380x =⨯=，如此一年级和二年级学生的总数是3733773803701500+++=，三年级学生有500人，用分层抽样抽取的三年级学生一年级 二年级 三年级女生 373 x y男生377 370 z应是64500162000⨯=．答案C ．点评：此题考查概率统计最基础的知识，还涉及到一点分析咨询题的能力和运算能力，题目以抽样的等可能性为动身点考查随机抽样和分层抽样的知识．例3．〔2018江苏泰州期末第2题〕一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并依照所得数据画了样本的频率分布直方图〔如以下图〕．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，那么在[)2500,3500〔元〕月收入段应抽出 人．分析：实际上是每100人抽取一人，只要把区间内的人数找出来即可．解析：依照图能够看出月收入在[)2500,3500的人数的频率是()0.00050.00035000.4+⨯=，故月收入在[)2500,3500人数是100000.44000⨯=，故抽取25人．点评：此题把统计图表和抽样方法结合起来，要紧目的是考查识图和运算能力．题型2统计图表咨询题例4〔安徽省皖南八校2018届高三第二次联考理科数学第2题〕从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中视力情形进行统计，其结果的频率分布直方图如右图：假设某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，那么该班学生中能报A 专业的人数为A ．10B ．20C ．8D ．16分析：依照图找出视力在0.9以上的人数的频率即可．解析：B ． 视力住0.9以上的频率为(10.75.025)0.20.4++⨯=，人数为0.45020⨯=．点评：在解决频率分不直方图咨询题时容易显现的错误是认为直方图中小矩形的高确实是各段的频率，实际上小矩形的高是频率除以组距．例5 〔2018年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第13题〕某篮球运动员在一个赛季的40场竞赛中的得分的茎叶图如下图，那么这组数据的中位数是 ；众数是 ．分析：依照茎叶图和中位数、众数的概念解决．解析：由于中位数是把样本数据按照由小到大的顺序排列起来，处在中间位置的一个〔或是最中间两个数的平均数〕，故从茎叶图能够看出中位数是23；而众数是样本数据中显现次数最多的数，故众数也是23．点评：一表〔频率分布表〕、三图〔频率分布直方图、频率折线图、茎叶图〕、三数〔众数、中位数、众数〕和标准差，是高考考查统计的一个要紧考点．例5〔2018高考广东文11〕为了调查某厂工人一辈子产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为[)45,55，[)[)[)55,65,65,75,75,85，[)85,95由此得到频率分布直方图如图，那么这20名工人中一天生产该产品数量在[)55,75 的人数是 ．分析：找出频率即可．解析： ()200.0400.00251013⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦．点评：此题考查频率分布直方图，解题的关键是明确那个直方图上的纵坐标是频率/组距，得出生产数量在[)55,75的人数的频率．题型3 平均数、标准差〔方差〕的运算咨询题例6 〔2018高考山东文9〕从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，那么这100 人成绩的标准差为〔〕A ．3 B ．2105 C ．3 D ．85分析：依照标准差的运算公式直截了当运算即可．解析： 平均数是5204103302301103100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，标准差是()()()()()222222053104330333023101310080103040821010055s ⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=+++===．答案B ．点评：此题考查数据组的平均数和标准差的知识，考查数据处理能力和运算能力．解题的关键是正确明白得统计表的意义，会用平均数和标准差的公式，只要考生对此认识清晰，解答并不困难．例7．〔中山市高三级2018—2018学年度第一学期期末统一考试理科第9题〕假设数据123,,,,n x x x x 的平均数5x =，方差22σ=，那么数据12331,31,31,,31n x x x x ++++的平均 数为 ，方差为 ．分析：依照平均数与方差的性质解决．解析：16,18例8．〔浙江宁波市2018学年度第一学期期末理科第3题〕如图是2009年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分不为A ． 84，4.84B ．84，1.6C ． 85，1.6D ．85，4解析：C题型4 用样本估量总体例8〔2018高考湖南文12〕从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情形如下表所示：那么该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多_____________人．解析：60 由上表得23211500023060.500-⨯=⨯=点评：考查样本估量总体的思想．题型5．线性回来分析例9．〔2007高考广东〕下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x 〔吨〕与相应的生产能耗y 〔吨标准煤〕的几组对比数据362.54.5〔1〕请画出上表数据的散点图；〔2〕请依照上表提供的数据，用最小二乘法求出ｙ关于ｘ的线性回来方程y bx a =+；〔3〕该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤；试依照〔２〕求出的线性回来方程，推测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？分析：此题中散点图好作，此题的关键是求y 关于x 的线性回来方程y bx a =+，它既能够由给出的回来系数公式直截了当运算，也能够遵循着最小二乘法的差不多思想――即所求的直线应使残差平方和最小，用求二元函数最值的方法解决．解析：〔1〕散点图如右；〔2〕方法一：设线性回来方程为y bx a =+，那么222222222(,)(3 2.5)(43)(54)(6 4.5)42(1814)(3 2.5)(43)(54)(6 4.5)f a b b a b a b a b a a a b b b a b =+-++-++-++-=+-+-+-+-+-∴79 3.5 4.52b a b -==-时， (,)f a b 取得最小值2222(1.51)(0.50.5)(0.50.5)(1.51)b b b b -+-+-+-，即22250.5[(32)(1)]572b b b b -+-=-+，∴0.7,0.35b a ==时(),f a b 取得最小值．因此线性回来方程为0.70.35y x =+．方法二：由系数公式可知，266.54 4.5 3.566.5634.5, 3.5,0.75864 4.5x y b -⨯⨯-=====-⨯93.50.70.352a =-⨯=，因此线性回来方程为0.70.35y x =+．〔3〕100x =时，0.70.3570.35y x =+=，因此推测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤．点评：此题考查回来分析的差不多思想．求线性回来方程的方法一这实际上是重复了回来系数公式的推导过程，那个地点的另一个解决方法是对(),f a b 我们再按b 集项，即()()()()()22222,86(36133) 2.534 4.5f a b b a b a a a a =+-+-+-+-+-，而那个时候，当13336172a b -=时(),f a b 有最小值，结合上面解法中 3.5 4.5a b =-时(),f a b 有最小值，组成方程组就能够解出a ，b 的值；方法二前提是正确地使用回来系数的运算公式，一样考试中都会给出那个公式，但要注意各个量的运算；最后求出的19.65是指的平均值或者是估量值，不是完全确定的值．关于此题我们能够运算题目所给的数据组的相关系数0.9899r =，相关指数20.98R =．这讲明x ，y 具有专门强的线性相关性，讲明讲明变量对预报变量的奉献率是98%，即耗煤量的98%是来自生产量，只有约2%来自其它因素，这与我们的直观感受是十分符合的．此题容易用错运算回来系数的公式，或是把回来系数和回来常数弄颠倒了．例10．〔江苏扬州市2018-2018学年度第一学期期未调研测试第17题〕为了分析某个高三学生的学习状态，对其下一时期的学习提供指导性建议．现对他前7次考试的数学成绩x 、物理成绩y 进行分析．下面是该生7次考试的成绩．数学 88 83 117 92 108 100 112物理 94 91 108 96 104 101 106〔1〕他的数学成绩与物理成绩哪个更稳固？请给出你的证明；〔2〕该生的物理成绩y 与数学成绩x 是线性相关的，假设该生的物理成绩达到115分，请你估量他的数学成绩大约是多少？并请你依照物理成绩与数学成绩的相关性，给出该生在学习数学、物理上的合理建议．分析：成绩的稳固性用样本数据的方差判定，由物理成绩估量数学成绩由回来直线方程解决．解析：〔1〕12171788121001007x --+-++=+=； 69844161001007y --+-+++=+=；2994==1427S ∴数学，2250=7S ∴物理， 从而22S S >数学物理，因此物理成绩更稳固． 〔2〕由于x 与y 之间具有线性相关关系，依照回来系数公式得到497ˆˆ0.5,1000.510050994b a ===-⨯=， ∴线性回来方程为0.550y x =+．当115y =时，130x =．建议：进一步加强对数学的学习，提高数学成绩的稳固性，将有助于物理成绩的进一步提高．点评：«考试大纲»在必修部分的统计中明确指出〝①会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．②了解最小二乘法的思想，能依照给出的线性回来方程系数公式建立线性回来方程〞．2007年广东就以解答题的方式考查了那个咨询题，在复习备考时不可掉一轻心．题型6 古典概型与几何概型运算咨询题例11 〔2018高考江苏2〕一个骰子连续投2次，点数和为4的概率 ．分析：枚举差不多事件总数和随机事件所包含的差不多事件的个数后，依照古典概型的运算公式运算．解析：点数和为4，即()()()1,3,2,2,3,1，差不多事件的总数是36，故那个概率是31369=．或是数形结合处理． 点评：古典概型的运确实是一个基础性的考点，高考中除了以解答题的方式重点考查概率的综合性咨询题外，也以选择题、填空题的方式考查古典概型的运算．例12．〔2018年福建省理科数学高考样卷第4题〕如图，边长为2的正方形内有一内切圆．在图形上随机投掷一个点，那么该点落到圆内的概率是A ．4πB ．4πC ．44π-D ．π分析：确实是圆的面积和正方形面积的比值．解析：依照几何概型的运算公式，那个概率值是4π，答案A ． 点评：高考对几何概型的考查一样有两个方面，一是以选择题、填空题的方式有针对性地考查，二是作为综合解答题的一部分和其他概率运算一起进行综合考查．例13．〔2018高考山东文18〕现有8名奥运会理想者，其中理想者123A A A ，，通晓日语，123B B B ，，通晓俄语，12C C ，通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的理想者各1名，组 成一个小组．〔1〕求1A 被选中的概率；〔2〕求1B 和1C 不全被选中的概率．分析：枚举的方法找出差不多事件的总数，结合着随机事件、对立事件的概率，用古典概型的运算公式解决．解析：〔1〕从8人中选出日语、俄语和韩语理想者各1名，其一切可能的结果组成的差不多事件空间Ω={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，122131()()A B C A B C ，，，，，， 132()A B C ，，，211212221()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，222()A B C ，，， 231()A B C ，，，232()A B C ，，，311312321()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，， 322331332()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}由18个差不多事件组成．由于每一个差不多事件被抽取的机会均等，因此这些差不多事件的发生是等可能的．用M 表示〝1A 恰被选中〞这一事件，那么M ={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，， 122131132()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}事件M 由6个差不多事件组成，因而61()183P M ==． 〔2〕用N 表示〝11B C ，不全被选中〞这一事件，那么其对立事件N 表示〝11B C ，全被选中〞这一事件， 由于N ={111211311()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}，事件N 有3个差不多事件组成， 因此31()186P N ==，由对立事件的概率公式得15()1()166P N P N =-=-=． 点评：此题考查古典概率、对立事件等概率的基础知识，考查分类讨论、〝正难那么反〞等数学思想方法，考查分析咨询题解决咨询题的能力．题型7 排列组合〔理科〕例14．〔浙江宁波市2018学年度第一学期期末理科第9题〕由0,1,2,3,4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺序排成一个数列{}n a ,那么19a =A ．2014B ．2034C ．1432D ．1430分析：按照千位的数字查找规律． 解析：千位是1的四位偶数有123318C A =，故第19和是千位数字为2的四位偶数中最小的一个，即2014，答案A ．例15．〔2018年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第17题〕有3张都标着字母A ，6张分不标着数字1,2,3,4,5,6的卡片，假设任取其中6张卡片组成牌号，那么能够组成的不同牌号的总数等于 ．〔用数字作答〕分析：由于字母A 是一样的，没有区不，故能够按照含有字母A 的多少分类解决，如含有2个字母A 时，只要在6个位置上选两个位置安排字母A 即可，再在其余位置上安排数字．解析：不含字母A 的有66720A =；含一个字母A 的有156667204320C A =⨯=；含两个字母A 时，24665400C A =；含三个字母A 时，33662400C A =．故总数为72043205400240012840+++=．点评：解决排列、组合咨询题的一个差不多原那么确实是先对咨询题分类、再对每一类中的咨询题合理地分步，依照排列组合的有关运算公式和两个差不多原理进行运算． 题型8 二项式定理〔理科〕例15．〔浙江宁波市2018学年度第一学期期末理科第12题〕1110(1)n n n n n ax a x a x a x a --+=++++*()n ∈N ,点列(,)(0,1,2,,)i i A i a i n =部分图象 如下图，那么实数a 的值为___________．分析：依照点列的图能够明白012,,a a a 的值，即能够通过列方程组解决．解析：由图123,4a a ==，又依照二项展开式113n n a C a na -===，()()222233(1)4222n n na na a a n n a C a a ----=====，解得13a =． 点评：此题以点列的部分图象设计了一个与二项式有关的咨询题，解决咨询题的差不多动身点是方程的思想．例16〔安徽省皖南八校2018届高三第二次联考理科数学第4题〕假设23123(1)1()n n x a x a x a x x n N +-=+++++∈，且13:1:7a a =，那么5a 等于A ．56B ．56-C ．35D ．35- 分析：依照展开式的系数之比求出n 值．解析：2323,n n a C a C =-=-，由23:1:7a a =，得8n =，故55856a C =-=-，答案B ．点评：解这类题目要注意展开式的系数和展开式中项的系数是区不，不把符号弄错了． 题型9 离散型随机变量的分布、期望与方差〔理科的重要考点〕例17．〔浙江宁波市2018学年度第一学期期末理科第19题〕在一个盒子中，放有标号分不为1，2，3的三张卡片，现从那个盒子中，有放回．．．地先后抽得两张卡片的标号分不为x 、y ，记x y x -+-=2ξ．〔1〕求随机变量ξ的最大值，并求事件〝ξ取得最大值〞的概率；〔2〕求随机变量ξ的分布列和数学期望．分析：依照对随机变量ξ的规定，结合,x y 的取值确定随机变量能够取那些值，然后依照其取这些值的意义，分不运算其概率．解析：〔1〕x 、y 可能的取值为1、2、3，12≤-∴x ，2≤-x y ，3≤∴ξ，且当3,1==y x 或1,3==y x 时，3=ξ． 因此，随机变量ξ的最大值为3 ．有放回抽两张卡片的所有情形有933=⨯种，92)3(==∴ξP ． 〔2〕ξ的所有取值为3,2,1,0． 0=ξ 时，只有2,2==y x 这一种情形，1=ξ时，有1,1==y x 或1,2==y x 或3,2==y x 或3,3==y x 四种情形， 2=ξ时，有2,1==y x 或2,3==y x 两种情形．91)0(==∴ξP ，94)1(==ξP ，92)2(==ξP ． 那么随机变量ξ的分布列为：因此，数学期望993929190=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ． 点评：有放回的〝取卡片、取球〞之类的咨询题，其差不多事件的总数要由分步乘法计数原明白得决，这是一类重要的概率模型．例18．〔江苏扬州市2018-2018学年度第一学期期未调研测试加试第4题〕某次乒乓球竞赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，竞赛采纳五局三胜制，按以往竞赛体会，甲胜乙的概率为23． 〔1〕求竞赛三局甲获胜的概率；〔2〕求甲获胜的概率；〔3〕设甲竞赛的次数为X ，求X 的数学期望．分析：竞赛三局甲即指甲连胜三局，能够按照相互独立事件同时发生的概率乘法公式运算，也能够将咨询题归结为三次独立重复试验，将咨询题归结为独立重复试验概型；甲最后获胜，能够分为甲三局获胜、四局获胜、五局获胜三个互斥事件的概率之和；甲竞赛的次数也确实是本次竞赛的次数，注意当三局就终止时，可能是甲取胜也可能是乙取胜等．解析：记甲n 局获胜的概率为n P ，3,4,5n =，〔1〕竞赛三局甲获胜的概率是：333328()327P C ==； 〔2〕竞赛四局甲获胜的概率是：2343218()()3327P C ==； 竞赛五局甲获胜的概率是：232542116()()3381P C ==； 甲获胜的概率是：3456481P P P ++=． 〔3〕记乙n 局获胜的概率为'n P ，3,4,5n =．333311'()327P C ==，2343122'()()3327P C ==；23254128'()()3381P C ==；1882168107()3()4()5()27272727818127E X =⨯++⨯++⨯+=． 点评：这是一个以独立重复试验概型为差不多考查点的概率试题，但那个地点又不是单纯的独立重复试验概型，是一个局部的独立重复试验概型和相互独立事件的结合．这类竞赛型的概率试题也是一个重要的概率模型．题型11 正态分布例19.〔2018高考湖南理4〕设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,假设(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,那么c = ( )A ．1B ．2C ．3D ．4分析：依照正态密度曲线的对称性解决．解析：B 依照正态密度曲线的对称性，即直线1x c =+与直线1x c =-关于直线2x =对称，故1122c c ++-=，即2c =． 点评：本质是通过正态密度曲线考查数形结合的思想意识．例20〔2018高考安徽理10〕设两个正态分布2111()(0)N μσσ>，和2222()(0)N μσσ>， 的密度函数图像如下图．那么有A ．1212,μμσσ<<B ．1212,μμσσ<>C ．1212,μμσσ><D ．1212,μμσσ>>分析：依照正态密度曲线的性质解决．解析：A 依照正态分布),(2σμN 函数的性质：正态分布曲线是一条关于μ=x 对称，在μ=x 处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A ．点评：考试大纲对正态分布的要求是〝利用实际咨询题直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义〞，那个考点多次显现在高考试卷中．【专题训练与高考推测】文科部分一、选择题1．从某鱼池中捕得120条鱼，做了记号之后，再放回池中，通过适当的时刻后，再从池中捕得100条鱼，假设其中有记号的鱼为10条，试估量鱼池中共有鱼的条数为〔〕A．1000B．1200C．130D．13002．x与y之间的一组数据：x0123y1357那么y与x的线性回来方程为y a bx=+必过点〔〕A．()2,2B．()1.5,0C．()1,2D．()1.5,43．从2007名学生中选取50名学生参加全国数学联赛，假设采纳下面的方法选取：先用简单随机抽样从2007人中剔除7人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取，那么每人入选的概率〔〕A．不全相等B．均不相等C．都相等，且为200750D．都相等，且为4014．依照某医疗研究所的调查，某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，B型30%，AB型5%．现有一血液为A型病人需要输血，假设在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为〔〕A．15%B．20%C．45%D．65%5．4张奖券中只有1张能中奖，现分不由4名同学无放回地抽取．假设第一名同学没有抽到中奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率是〔〕A．14B．13C．12D．16．有如下四个游戏盘，假如撒一粒黄豆落在阴影部分，那么可中奖．小明期望中奖，他应选择的游戏盘是〔〕二、填空题7．归直线方程为0.50.81y x=-，那么25x=时，y的估量值为．8．假设由一个2*2列联表中的数据运算得2 4.013K=，那么有把握认为两个变量有关系．9．一工厂生产了某种产品180件，它们来自甲、乙、丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采纳分层抽样的方法进行抽样，甲、乙、丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，那么乙生产线生产了件产品．10．如图：M是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能的任取一点N，连接MN，那么弦MN 的长度超过2R 的概率是 ．三、解答题11．一个质地平均的正方体玩具的六个面上分不写着数字1,2,3,4,5,6，现将那个正方体玩具向桌面上先后投掷两次，记和桌面接触的面上的数字分不为,a b ，曲线:1x y C a b+=． 〔1〕曲线C 和圆221x y +=有公共点的概率；〔2〕曲线C 所围成区域的面积不小于50的概率． 年收入x 〔万元〕 2 4 4 6 6 6 7 7 8 10 年饮食支出y 〔万元〕 0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3〔2〕假如某家庭年收入为9万元，推测其年饮食支出．理科部分一、选择题1．在区间[]2,2-内任取两数a ，b ，使函数()222f x x bx a =++有两相异零点的概率是〔 〕 A ．16 B ．14 C ．13 D ． 122．在一次实验中，测得(,)x y 的四组值分不为()1,2，()2,3，()3,4，()4,5，那么y 与x的线性回来方程可能是〔 〕 A ．1y x =+ B ．2y x =+ C ．21y x =+D ．1y x =- 5．向假设的三座相互毗邻的军火库投掷一颗炸弹，只要炸中其中任何一座，另外两座也要发生爆炸．炸中第一座军火库的概率为0.2，炸中第二座军火库的概率为0.3，炸中第三座军火库的概率为0.1，那么军火库发生爆炸的概率是 〔 〕A ． 0.006B ．0.4C ． 0.5D ． 0.66．从标有1237，，，，的7个小球中取出一球，记下它上面的数字，放回后再取出一球，记下它上面的数字，然后把两数相加得和，那么取得的两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率是 〔 〕A ．1649B ．1549C ．27D ．13497．在长为60m ，宽为40m 的矩形场地上有一个椭圆形草坪，在一次大风后，发觉该场地内共落有300片树叶，其中落在椭圆外的树叶数为96片，以此数据为依据能够估量出草坪的面积约为 〔 〕A ．2768mB ．21632mC ．21732mD ．2868m8．6名同学报考,,A B C 三所院校，假如每一所院校至少有1人报考，那么不同的报考方法共有 〔 〕A ．216种B ．540种C ．729种D ．3240种二、填空题9． 某校有高一学生400人，高二学生302人，高三学生250人，现在按年级分层抽样，从所有学生中抽取一个容量为190人的样本，应该高 学生中，剔除 人，高一、高二、高三抽取的人数依次是 ．10． 5)212(++xx 的展开式中整理后的常数项为 _____ ． 11． 假设2x =，那么50(1)x +展开式中最大的项是 项．三、解答题13．甲、乙两运动员进行射击训练，他们击中的环数都稳固在7,8,9,10环，且每次射击成绩互不阻碍．射击环数的频率分布条形图如下：假设将频率视为概率，回答以下咨询题．〔1〕求甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上(含9环)的概率；〔2〕假设甲、乙两运动员各自射击1次，ξ表示这2次射击中击中9环以上(含9环)的次数，求ξ的分布列及Eξ．15．袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．求：〔1〕有放回抽样时，取到黑球的个数X的分布列；〔2〕不放回抽样时，取到黑球的个数Y的分布列．〔1〕依照表中数据，确定家庭的年收入和年饮食支出的相关关系；〔2〕假如某家庭年收入为9万元，推测其年饮食支出．【参考答案】文科部分1．解析：B 依照用样本估量总体的思想，池中有记号的鱼的频率是110，故鱼池中鱼的条数是1200条．4．解析：D 过样本中心点．选D ．7．解析：C 任何个体被抽到的概率都相等，且是200750． 8．解析：D 只有O 型和A 型，依照互斥事件的概率加法得结论为65%． 9．解析：B 相当于在3张奖券中1张有奖，3人抽取，最后一人抽到中奖奖券的概率是13． 10．解析：A 选择游戏盘的原那么是中奖的概率大，A 中中奖的概率是38，B 中中奖的概率是13，C 中中奖的概率是44π-，B 中中奖的概率是1π，比较大小即知． 11．解析：11.69 0.5250.8111.69⨯-=12．解析：95%13．解析：60．三条生产线的产品也组成等差数列．14．解析：12连接圆心O 与M 点，作弦MN 使090=∠MON ，如此的点有两个，分不记为12,N N ，仅当N 在不属于M 的半圆弧上取值时满足MN >，现在21180=∠ON N ，故所求的概率为2136018000=． 15．解析：差不多事件的总数是36．〔1〕,a b1≤，即22111a b+≥，逐个检验， ()()()()()()()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,1，随机事件：曲线C 和圆221x y +=有公共点的概率包含着11个差不多事件，故所求的概率是1136； 〔2〕曲线C 所围成的区域的面积是2ab ，即求25ab ≥的概率，差不多事件只能是()5,5，()5,6，()6,5，()6,6，故所求的概率是41369=． 16．解析：〔1〕由题意知，年收入x 为讲明变量，年饮食支出y 为预报变量，作散点图〔如下图〕．。

第11章概率与统计11.1 随机事件及其概率考纲要求1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性．2．了解概率的意义，了解频率与概率的区别．1．事件必然事件在一定条件下，__________的事件叫做必然事件不可能事件在一定条件下，__________的事件叫做不可能事件随机事件在一定条件下，____________的事件叫做随机事件2.互斥事件与对立事件(1)不能__________的两个事件称为互斥事件；如果事件A1，A2，A3，…，A n中的__________，就说事件A1，A2，A3，…，A n彼此互斥．(2)如果两个互斥事件中__________事件发生，则称这两个事件是对立事件，事件A的对立事件记为__________．3．频率在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数n A为事件A出现的__________，称事件A出现的比例f n(A)＝__________为事件A出现的频率．4．概率对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率f n(A)稳定在__________上，把这个__________记作__________，称为随机事件A的概率，简称为A的概率．5．概率的性质(1)对于任意一个随机事件A，P(A)的范围是__________．(2)用Ω表示必然事件，则P(Ω)＝______.(3)用表示不可能事件，则P()＝______.1．在下列六个事件中，随机事件的个数为__________．①如果a，b都是实数，那么a＋b＝b＋a；②从分别标有号数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10张号签中任取一张，得到4号签；③没有水分，种子发芽；④某电话总机在60秒内接到至少10次呼叫；⑤在标准大气压下，水的温度达到50 ℃时沸腾；⑥同性电荷，相互排斥．2．下列说法中：①某事件发生的频率为P(A)＝1.1；②不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1；③小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然发生的事件；④某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的．正确的序号是__________．(写出所有正确说法的序号)3．(2012江苏南京高三二模)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率f的分布如下：X 1234 5f a 0.20.450.150.1则在所抽取的200件日用品中，等级系数X＝1的件数为__________．4．某射手在一次射击中，击中10环，9环，8环的概率分别是0.24，0.28，0.19，则该射手在一次射击中不够9环的概率是________．5．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面上分别写有1,2,3,4,5,6)，若前3次连续抛到“6点朝上”，则第4次抛掷出现“6点朝上”的概率为__________．如何理解频率与概率？提示：(1)依据定义求一个随机事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验，用事件发生的频率近似地作为它的概率，但是，某一事件的概率是一个常数，而频率随着试验次数的变化而变化．(2)概率意义下的“可能性”是大量随机事件现象的客观规律，与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的．也就是说，单独一次结果的不肯定性与积累结果的有规律性，才是概率意义下的“可能性”，事件A的概率是事件A的本质属性．一、事件、事件的关系的判断【例1】盒中有4只白球5只黑球，从中任意取出一只球．(1)“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？(2)“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？(3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？方法提炼判断一个事件是必然事件、不可能事件、随机事件的依据是在一定的条件下，所求的结果是否一定出现、不可能出现或可能出现、可能不出现．请做针对训练2二、互斥事件与对立事件的判定【例2】判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中，任取一张．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．方法提炼对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件的关系．请做针对训练1三、随机事件的频率与概率【例3】 (2013届江苏南京五中月考)某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加 5.已知近20年X的值为：140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.(1)完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表：降雨量70110140160200220频率120420220(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．方法提炼概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．请做针对训练3随机事件的概率、频率与概率的关系是概率的基础知识，通过近三年高考试题可以看出该部分考查的题型多以填空题为主．通常以实际生活中的实例为背景，如摸球、取数、掷骰子、分配等模型．解决此类问题时，要注意分析题目中的“试验”和“事件”，并熟练求出“试验”中基本事件的个数和“事件”中基本事件的个数，或将“事件”进行合理的拆分．1．一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A 表示向上的一面出现奇数点，事件B 表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C 表示向上的一面出现的点数不小于4，则下列结论正确的是__________．①A 与B 是互斥而非对立事件；②A 与B 是对立事件；③B 与C 是互斥而非对立事件；④B 与C 是对立事件．2．指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：(1)某体操运动员将在某次运动会上获得全能冠军；(2)同一门炮向同一目标发射多发炮弹，其中50%的炮弹击中目标；(3)某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意在键盘上按了一个数字，恰巧是朋友的电话号码；(4)技术充分发达后，不需要任何能量的“永动机”将会出现．3．某企业生产的乒乓球被2012年伦敦奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如表所示：抽取球数n 50 100 200 500 1 000 2 000优等品数m 45 92 194 470 954 1 902优等品频率mn(1)计算表中乒乓球优等品的频率；(2)从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？(结果保留到小数点后三位)参考答案基础梳理自测知识梳理1．必然会发生 肯定不会发生 可能发生也可能不发生2．(1)同时发生 任何两个事件都是互斥事件 (2)必有一个 A3．频数 n A n4．某个常数 常数 P (A )5．(1)0≤P (A )≤1 (2)1 (3)0基础自测1．2 解析：①⑥是必然要发生的，是必然事件；③⑤是不可能事件；②④是随机事件．2．② 解析：概率、频率的值不能大于1，故①错．小概率事件不一定不发生，大概率事件也不一定发生，故③错．概率是频率的稳定值，不会随试验次数的变化而变化，故④错．而不可能事件的概率与必然事件的概率分别为0和1，②正确．3．20 解析：由所有频率之和为1，可知道a ＝0.1，由频率公式可知道所求件数为20. 4．0.48 解析：设击中10环、9环分别为事件A ，B ，则该射手在一次射击中不够9环的概率P ＝1－P (A )－P (B )＝1－0.24－0.28＝0.48.5.16解析：随机事件具有不确定性，与前面的试验结果无关．由于正方体骰子的质地是均匀的，所以它出现哪一个面朝上的可能性都是相等的．考点探究突破【例1】 解：(1)“取出的球是黄球”在题设条件下根本不可能发生，因此它是不可能事件，其概率为0.(2)“取出的球是白球”是随机事件，它的概率是49. (3)“取出的球是白球或黑球”在题设条件下必然要发生，因此它是必然事件，它的概率是1.【例2】解：(1)是互斥事件，不是对立事件．原因是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”与“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，但是，不能保证其中必有一个发生，这是由于还有可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．原因是：从40张扑克牌中，任意抽取1张．“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，也不是对立事件．原因是：从40张扑克牌中任意抽取1张．“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．【例3】 解：(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量 70 110 140 160 200 220频率 120 320 420 720 320 220 (2)由已知得Y ＝X2＋425，故P (“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)＝P (Y ＜490或Y ＞530)＝P (X ＜130或X ＞210)＝P (X ＝70)＋P (X ＝110)＋P (X ＝220)＝120＋320＋220＝310. 故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为310.演练巩固提升针对训练1．④解析：根据互斥事件与对立事件的意义作答，A∩B＝{出现点数1或3}，事件A，B不互斥更不对立；B∩C＝，B∪C＝Ω，故事件B，C是对立事件．2．解：根据必然事件、不可能事件及随机事件的定义，可知(1)、(2)、(3)是随机事件，(4)是不可能事件．3．解：(1)乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.(2)随着试验次数的增加，频率在常数0.950附近摆动，所以从这批乓乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率约是0.950.。

教案中考第一轮复习《统计与概率》第二节概率姓名：陈桂玲单位：河南省郑州市中牟县实验学校第一轮复习统计与概率第二节概率教学目标：知识目标：1、正确区分确定事件（包括不可能事件和必然事件）和不确定事件（随机随机）2、在确定的情境中了解概率的含义，运用列表法或画树状图法计算简单事件发生的概率。

3、通过实验，获得事件发生概率的估计值。

4、能用概率知识解决一些实际问题。

5、能用实验或模拟试验的方法估计一些复杂的随机事件发生的概率。

过程与方法：通过中考真题再现，在解决问题的过程中，让学生初步体会成功的喜悦，增强学习的自信心。

情感态度与价值观：通过解决实际问题，培养学生用数学思维方式解决问题，增强学生的学习数学的兴趣。

教学重点：运用列表法或画树状图法计算简单事件发生的概率。

教学难点：能用概率知识解决一些实际问题。

教学方法：启发式教学、讲练结合教具准备：多媒体课件教学过程：一、知识梳理考点再现考点一：确定事件与随机事件1、_______和________称为确定事件。

2、在一定条件下，__________的事件，叫做随机事件。

考点二：概率1、概率的定义。

一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率mn会稳定在某个常数P附近，•那么这个常数P就叫做事件A的概率，记为P（A）=P．2、确定事件和随机事件的概率。

3、概率的计算。

列表法或画树状图法计算简单事件发生的概率考点三：频率与概率的关系是大量试验后频率趋于稳定的值，对于一个随机事件做大量试验时发现，随机事件发生的次数与试验次数的比总是在一个固定值附近摆动，这个固定的值叫做随机事件的概率，概率的大小反映随机事件的可能性的大小。

二、典例精析例1 (2010台州市)．下列说法中正确的是( )A．“打开电视，正在播放《新闻联播》”是必然事件；B．某次抽奖活动中奖的概率为1001，说明每买100张奖券，一定有一次中奖；C．数据1，1，2，2，3的众数是3；D ．想了解台州市城镇居民人均年收入水平，宜采用抽样调查．例2（2010陕西省）．某班毕业联欢会设计的即兴表演节目的摸球游戏，游戏采用一个不透明的盒子，里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，游戏规则是参加联欢会的50名同学，每人将盒子乒乓球摇匀后闭上眼睛从中随即一次．．摸出两个球（．．．．．．每位同学必须且只能摸一次）。

【课标要求】1．统计⑴从事收集、整理、描述和分析的活动，能用计算器处理较复杂的统计数据．⑵通过丰富的实例，感受抽样的必要性，能指出总体、个体、样本，体会不同的抽样可能得到不同的结果．⑶会用扇形统计图、条形统计图、折线统计图表示数据．⑷在具体情境中理解并会计算加权平均数；根据具体问题，能选择合适的统计量表示数据的集中程度．⑸探索如何表示一组数据的离散程度，会计算极差和方差、标准差，并会用它们表示数据的离散程度．⑹通过实例，理解频数、频率的概念，了解频数分布的意义和作用，会列频数分布表，画频数分布直方图和频数折线图，并能解决简单的实际问题．⑺通过实例，体会用样本估计总体的思想，能用样本的平均数、方差来估计总体的平均数和方差．⑻根据统计结果作出合理的判断和预测，体会统计对决策的作用，能比较清晰地表达自己的观点，并进行交流．⑼能根据问题查找有关资料，获得数据信息；对日常生活中的某些数据发表自己的看法．⑽认识到统计在社会生活及科学领域中的应用，并能解决一些简单的实际问题．2．概率⑴在具体情境中了解概率的意义，运用列举法(包括列表和画树状图)计算简单事件发生的概率．⑵通过实验，获得事件发生的频率；知道大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值．⑶通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题．【课时分布】概率与统计部分在第一轮复习时大约需要7个课时，其中包括单元测试．下表为内容及课时安排（仅供参考）2、基础知识数据的收集与处理⑴通过调查收集数据的过程一般有下列六步：明确调查问题、确定调查对象、选择调查方法、展开调查、记录结果、得出结论．⑵条形统计图、折线统计图、扇形统计图是三种最常用的统计图．这三种统计图各具特点：条形统计图可以直观地反映出数据的数量特征；折线统计图可以直观地反映出数据的数量变化规律；扇形统计图可以直观地反映出各部分数量在总量中所占的份额．⑶我们把所要考察的对象的全体叫做总体，把组成总体的每一个考察对象叫做个体．从总体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本．样本中包含的个体的个数叫做样本容量．⑷普查是通过调查总体的方式来收集数据的，抽样调查是通过调查样本方式来收集数据的．⑸用抽签的办法决定哪些个体进入样本．统计学家们称这种理想的抽样方法为简单的随机抽样．⑹在记录实验数据时，每个对象出现的次数称为频数．每个对象出现的次数与总次数的比值(或者百分比)称为频率．⑺绘制频数分布直方图的步骤是：①计算最大值与最小值的差；②决定组距和组数；③决定分点；④画频数分布表；⑤画出频数分布直方图．数据的代表⑻在一组数据中，用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的平均数．⑼将一组数据从小到大依次排列，位于正中间位置的数（或正中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．⑽在一组数据中，出现频数最多的数叫做这组数据的众数．⑾在一组数据中，各个数在总结果中所占的百分比称为这个数的权重，每个数乘以它相应的权重后所得的平均数叫做这组数据的加权平均数．⑿一组数据中的最大值减去最小值所得差称为极差．⒀方差：我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果通常称为方差．.则这组数据的方差是：用公式可表示为：Array可能性与概率⒂那些无需通过实验就能够预先确定他们在每一次实验中都一定会发生的事件称为必然事件．那些在每一次实验中都一定不会发生的事件称为不可能事件．必然事件和不可能事件统称为确定事件．⒃无法预先确定在一次实验中会不会发生的事件称为不确定事件或随机事件． ⒄表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率． ⒅概率的理论计算有：①树状图；②列表法． 2、 能力要求例1为了了解某区九年级7000名学生的体重情况，从中抽查了500名学生的体重，就这个问题来说，下面说法正确的是 （ ）A ．7000名学生是总体B ．每个学生是个体C ．500名学生是所抽取的一个样本D ．样本容量为500【分析】这个问题主要考查学生对总体、个体、样本、样本容量概念的理解.此题学生容易把研究对象的载体(学生)当作研究对象(体重).【解】D .例2 下面两幅统计图（如图1、图2），反映了某市甲、乙两所中学学生参加课外活动的情况.请你通过图中信息回答下面的问题.⑴通过对图1的分析，写出一条你认为正确的结论； ⑵通过对图2的分析，写出一条你认为正确的结论；⑶2003年甲、乙两所中学参加科技活动的学生人数共有多少？【分析】此题就是考查学生的读图、识图的能力. 从统计图中处理数据的情况一般有以下几种:一、分析数据大小情况；二、分析数据所占的比例；三、分析数据的增加、减少等趋势或波动情况.【解】⑴1997年至2003年甲校学生参加课外活动的人数比乙校增长得快； ⑵甲校学生参加文体活动的人数比参加科技活动的人数多； ⑶200038%110560%1423⨯+⨯=（人）.答：2003年两所中学的学生参加科技活动的总人数是1423人.【说明】⑴本题是利用折线统计图和扇形统计图展示数据，折线统计图清楚地反映参加课外活动人数的变化情况，扇形统计图清楚地表示出参加课外活动人数占总人数的比例. ⑵从折线统计图可获得2003年甲校参加课外活动人数为2000人，乙校为1105人，再根据扇形统计图参加各类活动人数的百分比即可算出参加各类活动的人数.这里着重考查了学生的甲、乙两校参加课外活动的学生人数统计图 （1997～2003年）/年乙校 （图1）2003年甲、乙两校学生参加课外活动情况统计图（图2） 甲校 乙校读图能力.例3 某市实行中考改革，需要根据该市中学生体能的实际情况重新制定中考体育标准．为此，抽取了50名初中毕业的女学生进行“一分钟仰卧起坐”次数测试．测试⑵根据这一样本数据的特点，你认为该市中考女生“一分钟仰卧起坐”项目测试的合格标准应定为多少次较为合适？请简要说明理由；⑶根据⑵中你认为合格的标准，试估计该市中考女生“一分钟仰卧起坐”项目测试的合格率是多少？【分析】本题是以统计初步知识在该市怎样定中考女生“一分钟仰卧起坐”项目测试的合格标准中的应用为背景，把制定体育成绩的某项合格指标转化为统计问题，投出了统计中的平均数、众数、中位数运算.【解】⑴该组数据的平均数=,5. 20)2361351322302275251020181871511216(50 1=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯众数为18，中位数为18；⑵该市中考女生一分钟仰卧起坐项目测试的合格标准应定为18次较为合适，因为众数及中位数均为18，且50人中达到18次的人数有41人，确定18次能保证大多少人达标；⑶根据⑵的标准，估计该市中考女生一分钟仰卧起坐项目测试的合格率800．【说明】本题不仅有很强的现实性和很好的问题背景，而且联系学生的生活实际，易引起学生的解题兴趣，既可以有效地考查学生对统计量的计算，又将关注的重点转变为结合学生实际问题进行定量和定性分析，进而整理数据、分析数据、做出判断、预测、估计和决策，突出了题目的教育价值.例4 两人要去某风景区游玩，每天某一时段开往该风景区有三辆车(票价相同)，但是他们不知道这些车的舒适程度，也不知道车子开过来的顺序. 两人采取了不同的乘车方案:甲无论如何总是上开来的第一辆车，而乙则是先观察后上车，当第一辆车开来时他不上车，而是仔细观察车的舒适度，如果第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；如果第二辆车不比第一辆好，他就上第三辆车.如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请尝试着解决下面的问题:⑴三辆车按出现的先后顺序工有哪几种不同的可能?⑵ 你认为甲、乙两人采用的方案， 哪一种方案使自己．．乘上等车的可能性大? 为什么? 【分析】由于各车的舒适度不同，而且开过来的顺序也事先未知，因此不同的乘车方案使自己乘坐上等车的可能性不一样.我们只要将三种不同的车开来的可能性顺序全部列出来，再对照甲乙二人不同的乘车方案，就可以得出两人乘坐上等车的可能性. 【解】⑴三辆车开来的先后顺序有6种可能，分别是:(上、中、下)、(上、下、中)、(中、上、下)、(中、下、上)、(下、中、上)、(下、上、中)；⑵由于不考率其他因素，三辆车6种顺序出现的可能性相同.甲、乙二人分别乘坐上等车的概率，用列表法可得.于是不难看出，甲乘上等车的概率是31；而乙乘上等车的概率是21. ∴乙采取的方案乘坐上等车的可能性大. 【说明】解决本题的关键是通过列表的方法将三辆车开来的顺序列出来，再根据甲、乙两种不同的乘车方案求出他们乘坐上等车的概率.另外本题也可以通过画数状图来求解.例5 某电脑公司现有A 、B 、C 三种型号的甲品牌电脑和D 、E 两种型号的乙品牌电脑．希望中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．⑴写出所有选购方案(利用树状图或列表方法表示）； ⑵ 如果⑴中各种选购方案被选中的可能性相同，那么A 型号电脑被选中的概率是多少？⑶ 现知希望中学购买甲、乙两种品牌电脑共36台(价格如图所示)，恰好用了10万元人民币，其中甲品牌电脑为A 型号电脑，求购买的A 型号电脑有几台．【分析】本题实际上是要在A ，B ，C 三种型号的甲品牌电脑中选择一种，再从D ，E 两种型号的乙品牌电脑中选择一种，我们可以在所有选购方案中按照题意要求就可以确定符合条件的方案. 【解】⑴ 树状图如下：或列表如下：有6种可能结果：(A ，D )，（A ，E ），（B ，D ），（B ，E ），（C ，D ），（C ，E ）． ⑵ 因为选中A 型号电脑有2种方案，即(A ，D )（A ，E ），所以A 型号电脑被选中的概率是31.(3) 由(2)可知，当选用方案（A ，D ）时，设购买A 型号、D 型号电脑分别为x ，y台，根据题意，得⎩⎨⎧=+=+.10000050006000,36y x y x解得⎩⎨⎧=-=.116,80y x 经检验不符合题意，舍去；当选用方案（A ，Ｅ）时，设购买A 型号、Ｅ型号电脑分别为x ，y 台，根据题意，得⎩⎨⎧=+=+.10000020006000,36y x y x 解得⎩⎨⎧==.29,7y x所以希望中学购买了7台A 型号电脑．【分析】本题通过画树状图确定了所有选购方案后，再运用方程组对所有的方案进行取舍，从而确定符合题意的方案，题目设计巧妙，各问之间环环相扣，并且渗透了方程思想，是一道不可多得的好题. 【复习建议】⑴立足教材，理清概念，夯实基础，学生通过复习，应熟练掌握概率与统计的基本知识、基本技能和基本方法.⑵要突出统计思想，用样本估计总体是统计的基本思想，在复习中要使学生更多的机会接触这一思想，使学生对抽样的必要性、样本的代表性、用样本估计总体的可行性，以及对不同的抽样所得结果的不确定性有更多的体会.⑶统计与现实生活、科学领域的联系是非常紧密的，教学中应特别注意将统计的学习与实际问题密切结合，选择典型的、充满趣味性和富有时代气息的现实问题作为例子，使学生在解决问题的过程中，学习数据处理方法，理解统计的概念和原理，培养学生的统计观念.⑷突出概率建模思想，对概率的计算问题，可以把不同背景下的各类问题加以变通，寻找他们之间是否存在相同的数学本质，对相同的一类问题，我们可以用一个概率模型来解决.这样也能对学生思维的灵活性、缜密性和开放性加以锤炼.⑸加强用列表法和树状图求解决简单事件的概率的复习，渗透分类讨论思想. ⑹重视学科间知识、方法的渗透，复习中可综合物理、化学等学科相关知识及特点，用数学的视角来加强相关知识的学习与巩固.。

统计与概率复习课教案一、课程和目标1.1 课程统计与概率是数学中的一个重要分支，它研究的是随机现象的规律性和不确定性。

在现实生活中，我们经常会遇到各种各样的随机事件，如掷骰子、抽签、样本调查等，统计与概率能够帮助我们理解和分析这些事件，并从中得到有意义的。

1.2 课程目标本节复习课的主要目标是回顾统计与概率的基本概念和方法，并帮助学生巩固已学知识，为下一阶段的学习打下坚实的基础。

通过本节课的复习，学生将能够：- 理解概率的基本概念和性质； - 掌握常见的概率计算方法； - 复习统计学中的基本概念和统计量的计算方法。

二、教学内容和方式2.1 教学内容本节复习课的教学内容主要包括以下几个方面： 1. 概率的基本概念 - 样本空间和事件 - 概率的定义和性质2.概率计算方法–独立事件的概率计算–互斥事件的概率计算–条件概率和乘法定理–加法定理和全概率定理3.统计学基本概念和统计量的计算方法–总体和样本的概念–样本均值和样本方差的计算–正态分布的基本性质和应用2.2 教学方式本节复习课采用以下教学方式： - 板书讲解：通过板书解释概念和公式，并结合示例进行说明。

- 互动讨论：鼓励学生在课堂上提问和讨论，以促进学生的思考和理解。

- 练习和讲解：设置一些练习题供学生练习，再进行讲解和答疑。

3.1 热身活动（5分钟）•引导学生回顾统计与概率的基本概念，如样本空间、事件、概率等。

3.2 概率的基本概念（10分钟）•板书讲解样本空间和事件的概念，并举例说明。

•解释概率的定义和性质，引导学生理解概率的基本含义。

3.3 概率计算方法（25分钟）•板书讲解独立事件的概率计算和互斥事件的概率计算方法。

•解释条件概率和乘法定理的概念，引导学生掌握计算方法。

•板书讲解加法定理和全概率定理的概念和计算方法。

3.4 统计学基本概念和统计量的计算方法（25分钟）•板书讲解总体和样本的概念，引导学生理解抽样的过程。

•解释样本均值和样本方差的计算方法，帮助学生掌握统计量的计算方法。

概率与统计复习教案一、教学目标1. 回顾和巩固概率与统计的基本概念、原理和方法。

2. 提高学生运用概率与统计解决实际问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。

二、教学内容1. 概率的基本概念：必然事件、不可能事件、随机事件。

2. 概率的计算：古典概率、条件概率、独立事件的概率。

3. 统计的基本概念：平均数、中位数、众数、方差、标准差。

4. 数据的收集与处理：调查方法、数据整理、数据可视化。

5. 概率与统计在实际应用中的例子。

三、教学方法1. 讲授法：讲解概率与统计的基本概念、原理和方法。

2. 案例分析法：分析实际应用中的例子，引导学生运用概率与统计解决实际问题。

3. 小组讨论法：分组讨论问题，培养学生的团队协作能力。

4. 练习法：布置课后作业，巩固所学知识。

四、教学准备1. 教学PPT：制作包含概率与统计基本概念、原理和方法的PPT。

2. 案例材料：收集实际应用中的概率与统计例子。

3. 作业题目：准备课后作业，涵盖本节课的主要内容。

五、教学过程1. 导入：回顾上节课的内容，引导学生进入本节课的学习。

2. 讲解概率的基本概念：必然事件、不可能事件、随机事件。

3. 讲解概率的计算：古典概率、条件概率、独立事件的概率。

4. 案例分析：分析实际应用中的例子，让学生体会概率与统计在生活中的应用。

5. 讲解统计的基本概念：平均数、中位数、众数、方差、标准差。

6. 讲解数据的收集与处理：调查方法、数据整理、数据可视化。

7. 小组讨论：分组讨论问题，培养学生的团队协作能力。

8. 课堂练习：布置课后作业，巩固所学知识。

9. 总结：对本节课的主要内容进行总结，提醒学生注意重点知识点。

10. 课后作业：布置作业，让学生进一步巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对概率与统计概念的理解程度。

2. 小组讨论：观察学生在讨论中的表现，评估他们的团队协作能力和问题解决能力。

3. 课后作业：检查学生作业完成情况，评估他们对课堂所学知识的掌握程度。

第13周③统计与概率6——古典概型一、考纲解读1.理解古典概型及其概率计算公式，能计算一些随机事件包含基本事件及其事件发生的概率．(重点、难点)2.了解随机数意义，能运用模拟方法估计概率．二、学习重难点重点：作差法与作商法比较大小难点：不等式性质的应用三、考向预测从近三年高考情况来看，本讲一直是高考的热点之一. 预测2020年将会考查：①古典概型的基本计算；②古典概型与其他知识相结合. 题型以解答题的形式呈现，与实际背景相结合，试题难度中等.四、重要知识梳理1．基本事件的特点：(1)任何两个基本事件都是互斥的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．2．古典概型：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝mn.4．古典概型的概率公式：P(A)＝A包含的基本事件的个数基本事件的总数.五、典例讲解题型一、基本事件与古典概型的判断A例1、袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球．(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？解(1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法．又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型．(2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为111，而白球有5个，故一次摸球摸到白球的可能性为511，同理可知摸到黑球、红球的可能性均为311，显然这三个基本事件出现的可能性不相等．所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型．一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．题型二、古典概型的求法例2、 (1)(2015·高考全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )A.310 B ．15 C.110D ．120解析 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为110.故选C.答案 C(2)(2015·高考山东卷)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)②在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5,3名女同学B 1，B 2，B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率．解：①由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人， 故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15(人)，所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P ＝1545＝13.②从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有： {A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 1，B 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 2，B 3}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{A 3，B 3}，{A 4，B 1}，{A 4，B 2}，{A 4，B 3}，{A 5，B 1}，{A 5，B 2}，{A 5，B 3}，共15个．根据题意，这些基本事件的出现是等可能的． 事件“A 1被选中且B 1未被选中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个．因此A1被选中且B1未被选中的概率为P＝215.题型三、古典概型与统计的综合应用例3．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自A，B(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650＋150＋100＝150，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×150＝1,150×150＝3,100×150＝2.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为：{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有：{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．所以P(D)＝415，即这2件商品来自相同地区的概率为415.六、达标训练1．下列试验中，是古典概型的个数为()①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；②向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；④在线段上任取一点，求此点小于2的概率．A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选B.①中，硬币质地不均匀，不是等可能事件， 所以不是古典概型．②④的基本事件都不是有限个，不是古典概型． ③符合古典概型的特点，是古典概型问题．2．(2016·高考全国丙卷)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.815 B ．18 C.115 D ．130 解析：选C.根据古典概型的概率公式求解．∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P ＝115.3．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为( )A.15 B ．25 C.16 D ．18解析：选B.如图，在正六边形ABCDEF 的6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF ，BCDE ，ABCF ，CDEF ，ABCD ，ADEF ，共6种情况，故构成的四边形是梯形的概率P ＝615＝25. 4．已知集合A ＝{(x ，y )|x －2y －1＝0}，B ＝{(x ，y )|ax －by ＋1＝0}，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，则A ∩B ＝∅的概率为( )A.112 B ．16 C.14D ．13解析：选A.∵A ∩B ＝∅， ∴直线x －2y －1＝0与直线ax －by ＋1＝0平行， ∴b ＝2a ，这样的(a ，b )有：(1,2)，(2,4)，(3,6)，共3个， ∴所求概率P ＝36×6＝112.5．(2016·高考四川卷)从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率是________．解析：由题意得，a ，b 有(2,3)，(2,8)，(2,9)，(3,8)，(3,9)，(8,9)，(3,2)，(8,2)，(9,2)，(8,3)，(9,3)，(9,8)，共12种取法．若满足log a b 为整数，则仅有a ＝2，b ＝8和a ＝3，b ＝9两种情况，∴log a b 为整数的概率为212＝16. 答案：166．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a ，b ，则直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为________．解析：依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a ，b )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36种，其中满足直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点，即满足2a a 2＋b2≤2，a 2≤b 2的数组(a ，b )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，…，(6,6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率等于2136＝712. 答案：7127．最新高考改革方案已在上海和浙江开始实施，某教育机构为了解我省广大师生对新高考改革方案的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下：2y .(1)现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数各是多少？(2)在(1)中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出三人进行座谈，求至少有一名教师被选出的概率．解：(1)由题意x500＝0.3，∴x ＝150，∴y ＋z ＝60，∵z ＝2y ，∴y ＝20，z ＝40，则应抽取“不赞成改革”的教师人数为50500×20＝2，应抽取“不赞成改革”的学生人数为50500×40＝4.(2)所抽取的“不赞成改革”的2名教师记为a ，b,4名学生记为1,2,3,4，随机选出三人的不同选法有(a ，b,1)，(a ，b,2)，(a ，b,3)，(a ，b,4)，(a,1,2)，(a,1,3)，(a,1,4)，(a,2,3)，(a,2,4)，(a,3,4)，(b,1,2), (b,1,3)，(b,1,4)，(b,2,3)，(b,2,4)，(b,3,4)，(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)，共20种，至少有一名教师的选法有(a ，b,1)，(a ，b,2)，(a ，b,3)，(a ，b,4)，(a,1,2)，(a,1,3)，(a,1,4)，(a,2,3)，(a,2,4)，(a,3,4)，(b,1,2)，(b,1,3)，(b,1,4)，(b,2,3)，(b,2,4)，(b,3,4)共16种．至少有一名教师被选出的概率P ＝1620＝45.七、课堂小结1．古典概型计算三步曲第一，本试验是不是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个．2．确定基本事件的方法(1)当基本事件总数较少时，可列举计算；(2)列表法、树状图法．3．较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式简化运算．。

2023-2024学年四年级下学期数学总复习统计与概率（教案）一、教学目标1. 让学生理解和掌握统计与概率的基本概念和原理，提高学生的数据分析能力。

2. 培养学生运用统计与概率知识解决实际问题的能力，增强学生的数学应用意识。

3. 通过对统计与概率知识的复习，提高学生对数学学科的兴趣，培养学生的自主学习能力。

二、教学内容1. 统计与概率的基本概念：数据、统计表、统计图、概率等。

2. 统计方法：平均数、中位数、众数、极差、方差等。

3. 概率计算：可能性、不可能性、必然性、随机事件等。

4. 统计与概率在实际生活中的应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：统计与概率的基本概念和原理，统计方法的应用，概率计算。

2. 教学难点：统计方法的灵活运用，概率计算公式的理解和应用。

四、教学方法1. 讲授法：讲解统计与概率的基本概念和原理，分析统计方法的应用，解释概率计算公式。

2. 案例分析法：通过具体案例，让学生了解统计与概率在实际生活中的应用。

3. 练习法：布置相关练习题，让学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。

4. 小组讨论法：分组讨论，培养学生的合作意识和团队精神。

五、教学步骤1. 导入：简要回顾上学期所学内容，引入本节课的主题——统计与概率。

2. 讲解：讲解统计与概率的基本概念和原理，如数据、统计表、统计图、概率等。

3. 分析：分析统计方法的应用，如平均数、中位数、众数、极差、方差等。

4. 计算：讲解概率计算公式，如可能性、不可能性、必然性、随机事件等。

5. 应用：通过具体案例，让学生了解统计与概率在实际生活中的应用。

6. 练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。

7. 小组讨论：分组讨论，培养学生的合作意识和团队精神。

8. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识。

9. 作业：布置课后作业，让学生进一步巩固所学知识。

六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、积极性和合作意识。

概率与统计复习教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）掌握概率的基本概念和性质；（2）了解随机事件的独立性和互斥性；（3）熟练运用概率计算公式解决实际问题；（4）理解统计学的基本概念和方法。

2. 过程与方法：（1）通过复习使学生能够自主掌握概率统计的基本知识；（2）培养学生运用概率统计知识解决实际问题的能力；（3）提高学生分析数据、处理数据、解释数据的能力。

3. 情感态度价值观：（1）培养学生对概率统计学科的兴趣和好奇心；（2）使学生认识到概率统计在实际生活中的重要性；（3）培养学生的团队协作和自主学习能力。

二、教学内容1. 概率的基本概念和性质：（1）概率的定义；（2）概率的基本性质；（3）概率的计算公式。

2. 随机事件的独立性和互斥性：（1）随机事件的独立性；（2）随机事件的互斥性；（3）独立事件和互斥事件的概率计算。

三、教学过程1. 导入新课：（1）回顾概率的基本概念和性质；（2）引导学生思考概率在实际生活中的应用。

2. 自主学习：（1）让学生自主学习随机事件的独立性和互斥性的定义及性质；（2）让学生通过例题理解独立事件和互斥事件的概率计算方法。

3. 课堂讲解：（1）讲解概率的基本概念和性质；（2）讲解随机事件的独立性和互斥性的判断方法及概率计算；（3）通过典型例题分析，引导学生掌握解题技巧。

4. 巩固练习：（1）让学生完成课后习题，巩固所学知识；（2）组织小组讨论，共同解决难题。

5. 课堂小结：（1）总结本节课的主要内容和知识点；（2）强调概率统计在实际生活中的应用。

四、课后作业1. 完成课后习题；2. 选取一道实际问题，运用概率统计知识解决。

1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态；2. 课后作业：检查学生完成作业的情况，评估学生的掌握程度；3. 小组讨论：评价学生在团队合作中的表现，了解学生的合作能力；4. 课堂小结：评估学生的总结能力，了解学生对知识的掌握情况。

第12周⑥统计与概率3——用样本估计总体（2）一、考纲解读1•了解频率分布直方图的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，并体会它们各自的特点.2•理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差；能从样本数据中提取基本的数字特征，并作出合理的解释.3会用样本的频率分布估计总体分布，用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征.4会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决实际问题.二、学习重难点重点：用样本的频率分布估计总体分布难点：用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征三、考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点•预测2020年将会考查用样本估计总体，主要体现在利用频率分布直方图或茎叶图估计总体，利用样本数字特征估计总体•题型以客观题呈现，试题难度不大，属中、低档题型•频率分布直方图与茎叶图也可能出现于解答题中，与概率等知识综合命题.四、重要知识梳理1•样本的数字特征①标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，s= . —[ X1 —X 2+ X2—x 2+ …+ X n —x 勺t 4 _ _________ _____________②方差：标准差的平方s2= 1【(X1—x )2+(X2—x)2+…+(X n—X )2]，其中X i(i =1,2,3,…，n)是样本数据,n是样本容量, Y是样本平均数.③方差与标准差相比，都是衡量样本数据离散程度的统计量，但方差因为对标准差进行了平方运算，夸大了样本的偏差程度.(3)平均数、方差公式的推广若数据X1, X2,…，x n的平均数为x，方差为s2,则数据mx— a, mx2+ a,…，mx n+ a的平均数为m x + a,方差为m2s2.五、典例讲解题型一、与频率分布直方图交汇命题[例3] (2016北京高考)某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图.(1) 如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？(2) 假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替. 当w = 3时，估计该市居民该月的人均水费.[解](1)由用水量的频率分布直方图，知该市居民该月用水量在区间[0.5,1] , (1,1.5], (1.5,2], (2,2.5] , (2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.25,0.15.所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%，用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意，w至少定为3.(2)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表如下：组号12345678分组[2,4](4,6](6,8](8,10](10,12](12,17](17,22](22,27]频率0.10.150.20.250.150.050.050.05根为w立方米的部分按410 000位居民，获得4X 0.1 + 6X 0.15+ 8X 0.2+ 10 X 0.25+ 12X 0.15+ 17X 0.05+ 22X 0.05+ 27X 0.05= 10.5(元).设计：苑长厚审核：苑长厚时间：2019/11/9友好三中高三数学一轮复习(文科)题型二、与茎叶图交汇命题［例4］ (1)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位: 分)，已知甲组数据的中位数为17,乙组数据的平均数为17.4,则x, y的值分别为()A.7,8B. 5,7C. 8,5D. 7,7(2)将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：89则7个剩余分数的方差为0x9［解析］(1)甲组数据的中位数为17,故y=乙乙组数据的平均数为3X 10+ 20+ 9 + 6+ 6+ x + 9 _5 =17.4,解得x = 7.(2)由图可知去掉的两个数是87,99，所以87 + 90X 2+ 91 X 2+ 94 + 90 + x= 91 X 7,解得x= 4.S2 =7[(87 - 91)2+ (90 - 91)2X2+ (91 - 91)2X2+ (94- 91)2X2]=孚［答案］(1)D (2)7题型三、与优化决策问题交汇［例5］甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示:从这四个人中选择一人参加该运动会射击项目比赛，最佳人选是()A .甲B .乙C .丙D .丁［解析］由题目表格中数据可知，丙平均环数最高，且方差最小，说明成绩好，且技术稳定，选 C.［答案］C六、达标训练1•如图是某学校举行的运动会上七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为 （解析：选 B 「x 心26+ 28+29+ 31 + 31= 29,X 乙=28+ 29 +严 31 +32 = 30,••• s 甲〉s 乙.故可判断结论①④正确. 3•从甲、乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示）•设甲、乙两组数据的平均数分别为 x 甲、x 乙，中位数分别为 m 甲、m 乙，则（）A. x 甲＜ x 乙,m 甲＞m 乙B. x 甲＜ x 乙,m 甲＜m 乙[1'乙8 6 5 0—— —— —— ——百日10 01 02 8 C. x 甲＞ x 乙,m 甲＞m 乙D. x 甲〉x 乙,m 甲＜m 乙7 5 2 2 0 2 3 3 ?8 0 03 t3 412 4 4 8 2 3 4A . 84,4.84B . 84,1.6C . 85,1.685,4解析：选C 依题意，所剩数据的平均数是180+ =X (4X 3+ 6 + 7) = 85，所剩数据的方差是5X [3 ＞(84 - 85)2+ (86 - 85)2 + (87 — 85)2] = 1.6.2•为比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机选取该月中的 5天, 将这5天中14时的气温数据位：C ）制成如图所示的茎叶图•考虑以下结论: ①甲地该月 ②甲地该月 14时的平均气温； 甲19 8 6 2 8 914时的平均气温； 1 13 0 1 Z③甲地该月 14时的气温的标准差小于乙地该月④甲地该月 14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差.A .①③B .①④C .②③D .②④又$甲 =18 215"，品= 4+ 1 + 0 + 1+ 4 5=2,14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的气温的标准差;解析：选B 由茎叶图知m 甲=22+ 18= 20, m 乙=27+ 31 = 29,二m 甲v m 乙;x 甲=；6(41 + 43 + 30 + 30+ 38 + 22+ 25 + 27+ 10+ 10+ 14+ 18+ 18+ 5 + 6 + 8)=囂,+ 43+ 48+ 31+ 32 + 34+ 34 + 38+ 20+ 22 + 23+ 23+ 27+ 10 + 12+ 18) =164.甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)： 甲 10 8 9 9 9 乙1010799如果甲、乙两人中只有 1人入选，则入选的最佳人选应是 _____________ .— 一 1 2 解析：x 甲=x 乙= 9,矗= X [(9 — 10)1 2+ (9 — 8)2+ (9 — 9)2+ (9 — 9)2 + (9 — 9)2]=5 5虽=1 X [(9 — 10)2+ (9 — 10)2+ (9 — 7)2+ (9 — 9)2+ (9 — 9)2] = 6>s 甲，故甲更稳定.55答案：甲5•某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满 分100分)的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的众数是 85,乙班学生成绩的中位数是83，则x + y 的值为 __________ .解析：由甲班学生成绩的众数是 85，知x = 5，由乙班学生成绩的中位数是+ y = 8.答案：86•我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水， 计划调整居民生活用水收费方案， 拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费•为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5) , [0.5,1),…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.1 求直方图中a 的值；2 设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由;甲:£5 a 0 fi 27 S 9 61 1 y 1 I 683,得y = 3.所以xx 乙=(3) 若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由.解：⑴由频率分布直方图可知，月均用水量在[0,0.5)中的频率为0.08 >0.5= 0.04•同理，在[0.5,1), [1.5,2) , [2 , 2.5), [3,3.5) , [3.5,4), [4,4.5]中的频率分别为0.08, 0.20, 0.26,0.06,0.04,0.02.由0.04+ 0.08+ 0.5X a + 0.20+ 0.26+ 0.5 > a+ 0.06 + 0.04+ 0.02 = 1,解得 a = 0.30.(2) 由(1)知100位居民每人的月均用水量不低于3吨的频率为0.06 + 0.04+ 0.02 = 0.12.由以上样本的频率分布，可以估计全市30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000> 0.12= 36 000.(3) 因为前6组的频率之和为0.04 + 0.08 + 0.15+ 0.20 + 0.26+ 0.15 = 0.88> 0.85，而前5组的频率之和为0.04 + 0.08+ 0.15+ 0.20 + 0.26= 0.73V 0.85，所以 2.5< x v 3.由0.30 > (x— 2.5) = 0.85- 0.73, 解得x= 2.9.所以，估计月用水量标准为 2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准.7.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：(1)(2) 估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3) 根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80% ”的规定？解：(1)如图所示:(2)质量指标值的样本平均数为x = 80X 0.06+ 90X 0.26+ 100X 0.38+ 110X 0.22+ 120 X 0.08= 100.质量指标值的样本方差为s2= (-20)2X 0.06 + (- 10)2X 0.26+ 0X 0.38+ 102X 0.22+ 202X 0.08 = 104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100,方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0. 38+ 0.22+ 0.08= 0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合"质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80% ”的规定.七、课堂小结1、频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系(1)最高的小长方形底边中点的横坐标为众数；(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和2、在使用茎叶图时，一定要观察所有的样本数据，弄清楚这个图中数字的特点，不要漏掉了数据，也不要混淆茎叶图中茎与叶的含义3、利用样本的数字特征解决优化决策问题的依据(1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小. 标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定；(2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征。