三角形的边与角的认识

三角形的角度和边长关系认识三角形的角度和边长关系三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条不平行的线段所构成。

在我们学习三角形的过程中，了解其角度和边长之间的关系至关重要。

本文将深入探讨三角形的角度与边长的关系，帮助读者更好地理解和认识三角形。

一、三角形的内角和定理在三角形ABC中，A、B、C分别代表三个角，a、b、c分别代表BC、AC、AB三条边的长度。

根据三角形的性质，我们可以得到如下的内角和定理：∠A+∠B+∠C=180°这意味着三角形的三个内角之和等于180度。

我们可以通过这个定理来计算三角形中缺失的角度。

二、三角形边长与角度之间的关系1. 正弦定理对于任意一个三角形ABC，其三个角分别为A、B、C，三条边分别为a、b、c。

正弦定理可以帮助我们计算三角形的任意一边或一个角的大小。

正弦定理的表达式如下：a/sinA = b/sinB = c/sinC其中，sinA、sinB和sinC分别代表角A、角B和角C的正弦值。

我们可以利用正弦定理来计算已知两条边和一个角的三角形的第三边和其他角度。

2. 余弦定理除了正弦定理，三角形的边长和角度之间还满足余弦定理。

对于任意一个三角形ABC，其三个角分别为A、B、C，三条边分别为a、b、c。

余弦定理的表达式如下：a² = b² + c² - 2bc*cosAb² = a² + c² - 2ac*cosBc² = a² + b² - 2ab*cosC其中，cosA、cosB和cosC分别代表角A、角B和角C的余弦值。

通过余弦定理，我们可以计算三角形的任意一边的长度，或者计算三角形的任意一个角的大小。

三、特殊三角形的角度和边长关系1. 等边三角形等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形。

在等边三角形中，每个角的大小都为60°，并且根据正弦定理和余弦定理，可以计算出任意一条边的长度。

三角形的初步认识三角形是初中数学中的基础概念之一。

它是由三条线段连接在一起形成的，并且围成了一个封闭的区域。

在这篇文章中，我们将探讨三角形的性质和应用。

一、三角形的定义三角形是由三个顶点和它们之间的三条线段组成的图形。

每个顶点都由两条线段相交而成，并且这些线段称为三角形的边。

三角形中的任何两个边都会在它们的端点处相交，并且它们形成的角度称为三角形的角。

每个三角形都有三个角和三个边。

二、三角形的分类按照三边的长度，三角形可分为三类。

等边三角形是指三边的长度相等。

等腰三角形是指有两条边的长度相等。

其它三边不等的三角形被称为普通三角形。

按照角度的大小，三角形也可以被分类为三类。

直角三角形是指一个角为90度，且其他两个角之和为90度。

锐角三角形是指每个角的大小都小于90度。

钝角三角形是指至少有一个角的大小大于90度。

三、三角形的性质一个三角形的内角之和总是等于180度。

这个定理被称为“三角形内角和定理”。

三边形中，任意两边之和都大于第三边。

这个定理被称为“三角形两边之和大于第三边定理”。

对于等边三角形，其内部的每个角都是60度。

对于等腰三角形，其底部的两个角是相等的。

四、三角形的应用三角形有许多应用，包括三角函数、三角测量和三角形面积的计算。

三角函数是指依据三角形中的角度来计算三角形中各个边的长度比例的函数。

在三角函数中，包括三角正弦、三角余弦和三角切线等。

三角测量是指利用三角形的性质来测量距离或高度的过程。

在实际生活中，三角测量被广泛应用于建筑、测量和地理领域等。

三角形的面积可以通过使用海龙公式来计算。

海龙公式是指通过三角形的三个边长来计算其面积的公式。

总之，在数学中，三角形是一个基础概念，并且它有着广泛的应用。

学习三角形的性质和应用是数学学习的关键，而本文所提供的信息提供了三角形的初步认识，是学生们所需掌握的知识。

认识三角形1．三角形有关的概念1 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形,组成三角形的线段叫做三角形的边,相邻两边公共的端点叫做三角形的顶点．相邻两边组成的角叫做三角形的内角简称三角形的角．2 三角形的表示三角形用符号“△”表示,顶点是A 、B 、C 的三角形,记作“△ABC ”,读作“三角形ABC ”;如图7 -4一l,三角形有三个顶点：A 、B 、C ；有三条边：AB 、BC 、AC;有三个角：A ∠、B ∠、C ∠．△ABC 的三边用c b a ,,表示时,A ∠所对的边BC 用a 表示．B ∠所对的边AC 用b 表示．C ∠所对的边AB 用c 表示．2．三角形的分类⎪⎩⎪⎨⎧是钝角）钝角三角形（有一个角是直角）直角三角形（有一个角是锐角）锐角三角形（三个角都形角三注意：根据角的大小来识别三角形的形状时,一般只要考虑三角形中的最大角；若最大角是锐角,则三角形是锐角三角形；若最大角是直角,则三角形直角三角形；若最大角是钝角,则三角形钝角三角形．3．三角形中边的关系1三角形的任意两边之和大于第三边；2三角形的任意两边之差小于第三边如图7 -4 -1中,c b a b a c a b c b c a a c b c b a <-<-<->+>+>+,,;,,;注意：在任意给定的三条线段中,当三条线段中较短的两条线段之和大于另一条线段时,才能组成三角形; 例如：有三条线段的长分别为3、4、6因为3 +4 >6,所以这三条线段能组成三角形．又如：有三条线段的长分别为3、4、8要为3+4 <8,所以这三条线段不能组成三角形．4．三角形的三种主要线段1高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线,顶点和垂足间的线段,叫做三角形的高; 如图7 -4 -2,AD 是△ABC 的高,可表示为AD ⊥ BC 或ADC ∠=90°或ADB ∠= 90°;2中线：在三角形中,连接顶点和它对边中点的线段,叫做三角形的中线;如图7 -4 -3,AE 是△ABC 的中线,表示为BE=EC 或BE = 21BC 或BC= 2EC. 3角平分线：在三角形中,一个内角的平分线和这个角的对边相交,这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线,一个角的平分线是一条射线,而三角形的角平分线是一条线段．如图7-4-4,AF 是ABC ∆的角平分线,可表示为CAF BAF ∠=∠或BAC BAF ∠=∠21或CAF BAC ∠=∠2.一个三角形中三条中线交于一点,三条角平分线交于一点,三条高所在直线交于一点;5．三角形的高、角平分线、中线的画法1三角形高的画法,如图7-4 -5．注意：①锐角三角形、直角三角形、钝角三角形都有三条高．②锐角三角形的三条高交于三角形内部一点．如图7 -4 -5甲,③钝角三角形的三条高交于三角形外部一点．如图7 -4 -5乙,④直角三角形的三条高交于直角顶点．如图7 -4 -5丙．2 三角形的中线的画法：将三角形一边的中点与这边所对角的顶点连接起来,就得到三角形一边上的中线． 3三角形的角平分线的画法：三角形的角平分线的画法与角平分线的画法相同,可以用量角器;防错档案：画钝角三角形的高容易出错,要抓住从三角形一顶点向对边作垂线段．6．面积法解题例如：如图7 -4 -6,在△ABC中,AB =AC,AC 边上的高BD= 10,求AB 边上的高CE 的长．解析：由三角形面积公式有：AC BD AB CE S ABC ⋅=⋅=∆2121 因为AB =AC,BD =10,所以CE= BD= 10.名题诠释例题1如图7 -4 -7,点D是△ABC的边BC上的一点,点E在AD上．1图中共有____个三角形；2以.AC为边的三角形是____；3以∠BDE为内角的三角形是____.解析1AD的左右两侧各有3个三角形,分别是△ABE、△ABD、△EBD、△ACE、△.ACD、△ECD,左右两侧组合又形成2个以BC为边的三角形,它们是△ABC、△EBC.故共有8个三角形．2 以AC为边的三角形有3个,它们是△.ACE、△ACD、△ACB. 3以∠BDE为内角的三角形有2个,它们是△EBD、△ABD．答案18 2△ACE、△ACD、△ACB 3△EBD、△ABD点评数三角形要注意选择恰当的顺序,做到不重不漏,注意最容易漏掉的是最大的三角形．例题2 下列三角形分别是什么三角形1已知一个三角形的两个内角分别是50°和60°；2 已知一个三角形的两个内角分别是35°和55°；3 已知一个三角形的两个内角分别是30°和45°；4 已知一个三角形的周长为16cm,有两边的长分别是6cm和4cm.解析确定三角形的形状,应紧扣定义．答案1 锐角三角形,因为三角形内角和为180°,而两个内角分别是50°和60°,所以第三个内角是70°,即这个三角形是锐角三角形．2 直角三角形,同理．3 钝角三角形,同理．4 等腰三角形．因为第三条边的长为16 -6 -4 =6cm．点评应全面考虑三角形的边和角的条件,再根据定义判别．例题3 下列长度的三条线段能组成三角形的是．A. lcm、2cm、3.5cmB.4cm、5cm、9cmC. 5cm、8cm、15cmD.8cm、8cm、9cm解析因为1+2<3.5,所以lcm、2cm、3.5cm的三条线段不能构成三角形因为4+5 =9,所以4cm、5cm、9cm的三条线段不能构成三角形；因为5+8<15,所以5cm、8cm、15cm的三条线段不能构成三角形；因为8+8 >9,所以8cm、8cm、9cm的三条线段能构成三角形．答案D点评三条线段能否构成三角形的条件是三角形三边的关系,即是否满足任意两边之和大于第三边．简便方法是检验较小的两边之和是否大于最大边．例题4 甲地离学校4km,乙地离学校lkm．记甲、乙两地之间的距离为dkm,则d的取值为．A.3B.5C.3或5 D．3≤d≤5解析本题应分两种情况讨论：1甲、乙两地与学校在一条直线上；2甲、乙两地与学校不在同一条直线上,则构成三角形,可利用三角形三边关系解题．答案D∠,G为AD的中点,延长BG交AC于E．F为例题5 如图7-4 -8,在△ABC中,1∠=2AB上一点,CF⊥AD于H,下面判断正确的有．①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD边AD上的中线；③CH为△ACD边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高线．A.l个B．2个 C.3个D．4个∠知AD平分∠BAE．但AD不是△ABE内的线段,故①错,AD应是△ABC的角平分线；同理,BE经解析由1∠=2过△ABD 的边AD 的中点G,但BE 不是△ABD 中的线段,故②不正确,正确的说法应是BG 是△ABD 边AD 上的中线；由于CH ⊥AD 于H,故CH 是△ACD 边AD 上的高,故③正确；AH 平分∠FAC 并且在△ACF 内,故AH 是△ACF 的角平分线,同理AH 也是△ACF 的高,故④正确．答案B点评 三角形的角平分线和角的平分线之间的区别：前者是线段,在三角形的内部,后者是射线,可以无限延伸．例题6在△ABC 中,AB =AC,AC 边上的中线BD 把三角形的周长分为12cm 和15cm 两部分,求三角形各边的长,解析 中线BD 把三角形的周长分为12cm 和15cm 两部分,要分类讨论：1当腰长小于底边时,AB +AD =12,如图7-4 -9①；2当腰长大于底边时,AB +AD =15,如图7-4 -9②．答案设AB=x ,则有：AD= DC=x 21． 1若AB +AD =12,即x + x 21=12,x =8． AB =AC =8,DC =4,故BC= 15 -4= 11.此时AB +AC> BC,所以三角形三边长分别为8cm,8cm,llcm.2若AB+ .4D= 15,即x +x 21=15,x =10． 即AB =AC =10,DC =5,故BC=12 -5 =7．显然,此时三角形存在,所以三角形三边长分别为l0cm,l0cm,7cm ．综上所述,此三角形的三边长分别为8cm,8cm ．llcm 或l0cm,l0cm,7cm ．例题7 如图7-4 -10,是甲、乙、丙、丁四位同学画的钝角△ABC 的高BE,其中画法错误的是____________解析 甲图错在把三自形的高线与AC 边的垂线定义相混淆,把“线段”画成“直线”；乙图错在未抓住“垂线”这一特征,画出的BE 与AC 不垂直；丙图错在没有过点B 画AC 的垂线,故不是高；丁图错在没有向点B 的对边画垂线． 答案 甲、乙、丙、丁例题8 如图7—4-11,在△ABC 中,AB =AC,AC 边上高BD=10,P 为边BC 上任意一点,PM ⊥AB,PN ⊥AC,垂足分别为M,N ．求PM+PN 的值．解析 连接AP 后,PM 、PN 就转化为△APB 和△APC 的高,从而由面积法可求得PM+ PN 的值．答案 连接AP,由图7-4 -11可知：ABC ACP ABP S S S ∆∆∆=+, 即BD AC PN AC PM AB ⋅=⋅+⋅212121 因为AB =AC,BD =10,所以PM+PN= BD =10.速效基础演练1如图7 -4 -12,图中三角形的个数共有 ．A 1个B ．2个 C.3个 D ．4个2 三角形两边的长分别为lcm 和4cru,第三边的长是一个偶数,则第三边的长是________,这个三角形是___________三角形3如图7 -4 -13．1 AD ⊥BC,垂足为D,则AD 是___________的高,_______=_______= 90°；2 若AE 平分BAC ∠,交BC 于E 点,AE 叫___________的角平分线,BAE ∠ =_______=21________; 3 若AF= FC,则△ABC 的中线是_________;4 若BC= GH= HF ．则AG 是________的中线,AH 是_________的中线;4 如图7 -4 -14,在△ABC 中,C ∠ = 90°,D 、E 为AC 上的两点,且AE= DE,CBD ∠ =EBC ∠21,则下列说法中不正确的是 ．A ．BC 是△ABE 的高B ．BE 是△ABD 的中线C ．BD 足△EBC 的角平分线D ．DBC EBD ABE ==∠5如图7 -4 -15,哪一个图表示AD 为△ABC 的高6 如果三角形的两边分别为3和5,那么这个三角形的周长可能是．A．15 B．16 C．8 D．77 下列长度的三条线段,能组成三角形的是．A. lcm,2cm,3cmB. 2cm,3cm,6cmC. 4cm,6cm,8cmD. 5cm,6cm,12cm8 如图7 -4 -16,为估计池塘岸边A、B两点的距离,小方在池塘的一侧选取一点O,测得OA =15米,OB =10米,A、B间的距离不可能是．A．5米B．10米C．15米D．20米∠的平分线CD；2画出AC边上的中线BM；9 如图7 -4 -17,在△ABC中,1画出C3画出△ABM的边BM上的高AH.10如图7 -4 -18．△ABC是周长为18cm的等边三角形,D是BC上一点,△ABD的周长比△ADC的周长多2cm,求BD、DC的长;11 等腰三角形的周长为30,一腰上的中线把其周长分成差为3的两部分,试求腰长．∠,交AC于点E,DE∥BC,EF∥AB,分别交AB、BC于点D、F,则BE 12已知如图7 -4 -19,在△ABC中,BE平分ABC∠的平分线吗请说明理由．是DEF13在△ABC 中,C ∠= 90°,BC =6,AC =8,AB =10,求边AB 上的高．知能提升突破1 如图7 -4 -20,在△ABC 中,已知点D 、E 、F 分别为BC 、AD 、CE 上的中点,且ABC S ∆=42cm , 求阴影部分的面积阴S ;2 如图7 -4 - 21,在△ABC 中,AB= AC,BD 是AC 边上的高,P 为BC 延长线上的一点,AB PM ⊥,AC PN ⊥,垂足分别为M 、N ．试问PM 、PN 与BD 之间有何关系3某木材市场上木棒规格和价格如下表： 规格1m 2m 3m 4m 5m 6m价格元/根 10 15 20 25 30 35 小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用,现有两根长度为3m 和5m 的木棒,还需要到 某木材市场上购买一根．问：1 有几种规格的木棒可供小明的爷爷选择2 选择哪一种规格的木棒最省钱。

角与三角形的认识在数学中，角是一个重要的概念，它与三角形的形成有着密切的关系。

本文将通过介绍角的基本概念、角的分类以及三角形的性质和种类，来帮助我们更好地理解角与三角形的认识。

一、角的基本概念角是由两条射线共享一个公共端点而形成的两个部分。

这个公共端点称为角的顶点，而两条射线称为角的边。

角用希腊字母表示，通常用大写字母表示角的顶点，小写字母表示两条射线。

例如，用∠ABC 表示由射线AB和射线BC形成的角。

根据角的大小，可以将角分为三类：锐角、直角和钝角。

锐角是指小于90度的角，直角是指等于90度的角，而钝角则是指大于90度但小于180度的角。

根据这些分类，我们可以更加准确地描述和研究不同类型的角。

二、角的分类除了上述的按角的大小分类外，角还可以根据其位置和关系进行分类。

以下是几种常见的角的分类方式：1.顶角和辅助角：在一个凸多边形中，由两条相邻边形成的角称为顶角。

而与顶角互补的角称为辅助角。

2.对顶角：在两条交叉直线上，两个相对的角称为对顶角。

3.同位角：在两条平行线被一条横切线切割时，与切割线同位的对应角称为同位角。

4.内角和外角：在一个凸多边形中，由两条相邻边形成的角称为内角。

而与内角互补的角称为外角。

通过这些分类，我们可以更好地理解不同类型的角在几何形状中的作用和关系。

三、三角形的性质和种类三角形是由三条线段组成的多边形，其中每条线段都是三角形的一条边。

三角形有许多独特的性质和特点，以下是几个重要的例子：1.三角形的内角和为180度：无论三角形的形状如何，其三个内角的度数之和始终等于180度。

2.直角三角形：当一个三角形有一个角为90度时，它被称为直角三角形。

直角三角形的两边相互垂直。

3.等腰三角形：当一个三角形的两个边的长度相等时，它被称为等腰三角形。

等腰三角形的两个角度也相等。

4.等边三角形：当一个三角形的所有边的长度都相等时，它被称为等边三角形。

等边三角形的三个角度也相等。

除了上述的性质之外，三角形还可以根据边的长短和角的大小进行分类。

三角形的初步认识【概念】不在同一条直线．．．．．．．上的三条线段首尾．．．．．．顺次．．相接．．所组成的图形。

用符号“△”表示。

三边：AB 、AC 、BC 。

有时也用a 、b 、c 表示，顶点A 所对应的边BC 用a 表示，顶点B 所对应的边AC 用b 表示，顶点C 所对应的边AB 用c 表示。

三个内角：∠A 、∠B 、∠C 。

【分类】三角形{三边都不相等等腰三角形{底边和腰不相等等边三角形 三角形{直角三角形斜三角形{锐角三角形钝角三角形【基本性质】1、三角形内角和为180°。

2、三边关系 文字语言数学语言理论依据应用两边之和大于第三边在△ABC 中，a+b>c ；b+c>a ；a+c>b 。

两点之间，线段最短。

1、判断是否能组成三角形。

2、已知两边，求第三边取值范围。

两边之差小于第三边在△ABC 中，|a −b |<c ；|b −c |<a ；|a −c |<b 。

3、三角形的稳定性：当三条边长确定时，三角形的形状、大小完全被确定。

4、三角形外角：由三角形一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角。

三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和。

【重要的线段】定义角平分线 一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段。

中线 连接三角形的一个顶点及其对边中点的线段。

高线从一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段。

ABabcC“三线”交点中垂线：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称“中垂线”。

性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。

角平分线：性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。

判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上。

【全等三角形】1、定义：能够重合的两个三角形叫做全等三角形。

符号：≌（全等于）2、性质：对应边相等，对应角相等。

3、判定：（1）边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等。

认识三角形及其特征三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条线段组成，每条线段称为三角形的边。

了解三角形及其特征对于我们理解几何学以及其他相关领域的知识非常重要。

本文将介绍三角形的基本知识和一些与三角形相关的特征。

一、三角形的定义三角形是由三条线段构成的图形，具有以下特点：1. 三角形的边：三角形共有三条边，分别记为边AB、边AC和边BC。

2. 三角形的角：三角形共有三个角，分别记为∠A、∠B和∠C。

3. 三角形的顶点：三角形的顶点是边AB、边AC和边BC的交点，分别记为点A、点B和点C。

二、三角形的分类根据三角形的边长或角度的不同，三角形可以分为以下几类：1. 根据边长分类：(1) 等边三角形：三条边的长度相等，记为ABC（△ABC）。

(2) 等腰三角形：两条边的长度相等，记为AB=AC（△ABC）。

2. 根据角度分类：(1) 钝角三角形：三个角中有一个大于90度，记为∠C>90°（△ABC）。

(2) 直角三角形：一个角度等于90度，记为∠C=90°（△ABC）。

(3) 锐角三角形：三个角中的每个角都小于90度，记为∠A<90°、∠B<90°、∠C<90°（△ABC）。

三、三角形的特征除了分类外，三角形还有一些重要的特征值得我们关注：1. 三角形的周长：三角形的周长是三条边的长度之和，记作AB+AC+BC。

2. 三角形的面积：三角形的面积可以通过以下公式计算：面积 = 底边长度 ×高 ÷ 2，其中高为从一个角的顶点到对边的距离。

3. 直角三角形的特征：直角三角形中，边上与直角相对的一边称为斜边，记作c，而直角两边分别称为直角边，记作a和b。

直角三角形还有一个重要的特征，即勾股定理：c² = a² + b²。

四、三角形的应用三角形的特性不仅仅局限于几何学中，它还在其他领域中得到广泛应用：1. 建筑与设计：在建筑与设计中，扩展对三角形特性的理解可以帮助我们计算物体的稳定性、角度和形状等。