二次函数的最值问题练习

中考数学《二次函数的最值》专项练习题及答案一、单选题1．定义：如果两个函数图象上至少存在一对点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“守望函数”，这对点称为“守望点”.例如：点P(2，4)在函数y =x 2上，点 Q(−2，−4)在函数y =−2x −8上，点P 与点Q 关于原点对称，此时函数y =x 2和y =−2x −8互为“守望函数”，点P 与点Q 则为一对“守望点”.已知函数y =x 2+2x 和y =4x +n −2022互为“守望函数”，则n 的最大值为（ ） A ．2020B ．2022C ．2023D ．40842．已知二次函数y=ax 2+2ax+3a 2+3（其中x 是自变量），当x ≥2时，y 随x 的增大而增大，且-2≤x ≤1时，y 的最大值为9，则a 的值为（ ） A ．1或B ．- 或C ．D ．13．已知二次函数y =ax 2+bx −1（a ，b 是常数，a ≠0）的图象经过A(2，1)，B(4，3)，C(4，−1)三个点中的其中两个点.平移该函数的图象，使其顶点始终在直线y =x −1上，则平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的（ ） A ．最大值为-1B ．最小值为-1C ．最大值为−12D ．最小值为−124．二次函数y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数且a ≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表：x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 y125﹣3﹣4﹣35121）二次函数y=ax 2+bx+c 有最小值，最小值为﹣3；2）当 −12<x <2 时，y ＜0；3）二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点，且它们分别在y 轴两侧．则其中正确结论的个数是（ ） A ．3B ．2C ．1D ．05．已知二次函数 y =−(x −ℎ)2+4 （h 为常数），在自变量 x 的值满足 1≤x ≤4的情况下，与其对应的函数值 y 的最大值为0，则 h 的值为（ ） A ．和B ． 和C ．和D ． 和6．经过点A （m ，n ），点B （m ﹣4，n ）的抛物线y ＝x 2+2cx+c 与x 轴有两个公共点，与y 轴的交点在x 轴的上方，则当m ＞﹣12时，n 的取值范围是（ ）A ．14<n <4B ．12<n <2C ．18<n <8D ．14<n <27．二次函数y ＝x 2＋2x －5有A ．最大值－5B ．最小值－5C ．最大值－6D ．最小值－68．①4的算术平方根是±2；②√2与-√8是同类二次根式；③点P （2，3）关于原点对称的点的坐标是（-2，-3）； ④抛物线y=-12（x-3）2+1的顶点坐标是（3，1）．其中正确的是( ) A ．①②④B ．①③C ．②④D ．②③④9．童装专卖店销售一种童装，已知这种童装每天所获得的利润y （元）与童装的销售单价x （元）之间满足关系式y=－x 2+50x+500，则要想每天获得最大利润，单价需为（ ）． A ．25元B ．20元C ．30元D ．40元10．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的y 与x 的部分对应值如表：x ﹣5 ﹣4 ﹣2 0 2 y6﹣6﹣468，y 1），点（8，y 2）在二次函数图象上，则y 1＜y 2；④方程ax 2＋bx ＋c ＝﹣5有两个不相等的实数根．其中，正确结论的是（ ） A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④11．已知抛物线y=-2（x-3）2+5，则此抛物线（ ）A ．开口向下，对称轴为直线x=-3B ．顶点坐标为（-3，5）C ．最小值为5D ．当x ＞3时y 随x 的增大而减小12．如果抛物线 y =x 2−6x +c −2 的顶点到 x 轴的距离是3，那么 c 的值等于（ ）A ．8B ．14C ．8或14D ．-8或-14二、填空题13．二次函数y=2x 2﹣1，∵a= ，∴函数有最 值．14．公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s （m ）与时间t （s ）的函数关系式为s=20t-5t 2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行 m 才能停下来．15．已知二次函数y ＝ 12x ²＋2若自变量x 的取值范围是－1≤x ≤2，则函数y 的取值范围是 ．16．函数y =x 2−2x(0≤x ≤3)有最大值，也有最小值，则最小值是 . 17．若二次函数y ＝－x 2－4x ＋k 的最大值是9，则k ＝ ．18．当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的范围是．三、综合题19．某农作物的生长率p与温度t ( C∘ )有如下关系：如图，当10≤t≤25 时可近似用函数p=150t−15刻画；当25≤t≤37 时可近似用函数p=−1160(t−ℎ)2+0.4刻画．（1）求ℎ的值．（2）按照经验，该作物提前上市的天数m (天)与生长率p满足函数关系，部分数据如下：生长率p0.20.250.30.35提前上市的天数m（天）051015②请用含t的代数式表示m③天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在大棚恒温20℃时每天的成本为100元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出(一次售完)，销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到20≤t≤25时的成本为200元/天，但若加温到25＜t≤37，由于要采用特殊方法，成本增加到400元/天，问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由。

二次函数最值专项练习60题1．画出抛物线y=4（x﹣3）2+2的大致图象，写出它的最值和增减性．2．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0）、B（2，3）两点，求出此二次函数的解析式；并通过配方法求出此抛物线的对称轴和二次函数的最大值．3．已知二次函数y=x2﹣x﹣2及实数a＞﹣2，求（1）函数在一2＜x≤a的最小值；（2）函数在a≤x≤a+2的最小值．4．已知函数y=x2+2ax+a2﹣1在0≤x≤3范围内有最大值24最小值3，求实数a的值．5．我们知道任何实数的平方一定是一个非负数，即：（a+b）2≥0，且﹣（a+b）2≤0．据此，我们可以得到下面的推理：∵x2+2x+3=（x2+2x+1）+2=（x+1）2+2，而（x+1）2≥0∴（x+1）2+2≥2，故x2+2x+3的最小值是2．试根据以上方法判断代数式3y2﹣6y+11是否存在最大值或最小值？若有，请求出它的最大值或最小值．6．如图所示，已知平行四边形ABCD的周长为8cm，∠B=30°，若边长AB=x（cm）．（1）写出▱ABCD的面积y（cm2）与x的函数关系式，并求自变量x的取值范围．（2）当x取什么值时，y的值最大？并求最大值．7．求函数y=2x2﹣ax+1当0≤x≤1时的最小值．8．已知m，n是关于x的方程x2﹣2ax+a+6=0的两实根，求y=（m﹣1）2+（n﹣1）2的最小值．9．当﹣1≤x≤2时，求函数y=f（x）=2x2﹣4ax+a2+2a+2的最小值，并求最小值为﹣1时，a的所有可能的值．10．已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值为1，求m的值．11．已知函数是关于x的二次函数．（1）求m的值；（2）当m取什么值时，此函数图象的顶点为最低点？（3）当m取什么值时，此函数图象的顶点为最高点？12．两个数的和为6，这两个数的积最大可以达到多少？利用图象描述乘积与因数之间的关系．13．将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形．这两个正方形面积之和有最值吗？如有，求出最值；如没有请说明理由．14．关于自变量x的二次函数y=x2﹣4ax+5a2﹣3a的最小值为m，且a满足不等式0≤a2﹣4a﹣2≤10，则m的最大值是多少？15．求函数的最小值．16．当﹣1≤x≤1时，函数y=﹣x2﹣ax+b+1（a＞0）的最小值是﹣4，最大值是0，求a、b的值．17．已知a2+b2=1，，求a+b+ab的取值范围．18．如图，在矩形ABCD中，B（16，12），E、F分别是OC、BC上的动点，EC+CF=8．当F运动到什么位置时，△AEF的面积最小，最小为多少？19．如图；AC，BD是四边形ABCD的对角线，AC⊥BD于点O；（1）求证：S四边形ABCD=AC•BD；（2）若AC+BD=10，当AC，BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？20．先画出函数图象，然后结合图象回答下列问题：（1）函数y=3x2的最小值是多少？（2）函数y=﹣3x2的最大值是多少？（3）怎样判断函数y=ax2有最大值或最小值？与同伴交流．21．将长为156cm的铁线剪成两段，每段都围成一个边长为整数（cm）的正方形，求这两个正方形面积和的最小值．22．已知函数y=（a+2）x2﹣2（a2﹣1）x+1，其中自变量x为正整数，a也是正整数，求x何值时，函数值最小．23．设实数a，b满足：3a2﹣10ab+8b2+5a﹣10b=0，求u=9a2+72b+2的最小值．24．若函数y=4x2﹣4ax+a2+1（0≤x≤2）的最小值为3，求a的值．25．说明：不论x取何值，代数式x2﹣5x+7的值总大于0．并尝试求出当x取何值时，代数式x2﹣5x+7的值最小？最小值是多少？26．求经过点A（0，2）、B（2，0）、C（﹣1，2）的抛物线的解析式，并求出其最大或最小值．27．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，两个动点P，Q同时从A点出发，点P沿AC运动，点Q沿AB，BC运动，两点同时到达点C．（1）点Q的速度是点P速度的多少倍？（2）设AP=x，△APQ的面积是y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围，（3）求出y的最大值．28．已知二次函数y=x2与一次函数y=2x+1相交于A、B两点，点C是线段AB上一动点，点D是抛物线上一动点，且CD平行于y轴，求在移动过程中CD的最大值．29．代数式x2﹣3x﹣1有最大值或最小值吗？若有，请求出：当x取何值时，最大（小）值是多少？30．已知二次函数y=2x2﹣4ax+a2+2a+2（1）通过配方，求当x取何值时，y有最大或最小值，最大或最小值是多少？（2）当﹣1≤x≤2时，函数有最小值2．求a所有可能取的值．31．设函数y=|x2﹣x|+|x+1|，求﹣2≤x≤2时，y的最大值和最小值．32．求函数y=（k﹣1）x2﹣2（k﹣1）x﹣k的最值，其中k为常数且k≠1．33．已知函数y=﹣9x2﹣6ax+2a﹣a2，当时，y的最大值为﹣3，求a．34．求函数y=x2+5x+8的最小值．35．已知二次函数y=（3﹣k）x2+2，求：（1）当k为何值时，函数有最大值？最大值是多少？（2）当k为何值时，函数有最小值？最小值是多少？36．求关于x的二次函数y=x2﹣2tx+1在﹣1≤x≤1上的最大值（t为常数）．37．已知二次函数y=﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a有最大值﹣3，求实数a的值．38．（1）求函数y=|x2﹣4|﹣3x在区间﹣2≤x≤5中的最大值和最小值．（2）已知：|y|≤1，且2x+y=1，求2x2+16x+3y2的最小值．39．已知y=x2﹣2ax﹣3，﹣2≤x≤2．（1）求y的最小值；（2）求y的最大值．40．当|x+1|≤6时，求函数y=x|x|﹣2x+1的最大值？41．用长14m的篱笆围成如图所示的鸡舍，门MN宽2m，怎样设计才能使鸡舍的面积最大？42．如图所示，在直角梯形ABCD中，AB=2，P是边AB的中点，∠PDC=90°，问梯形ABCD面积的最小值是多少？43．有两条抛物线y=x2﹣3x，y=﹣x2+9，通过点P（t，0）且平行于y轴的直线，分别交这两条抛物线于点A和B，当t在0到3的范围内变化时，求线段AB的最大值．44．如图，半径为1的半圆内接等腰梯形，其下底是半圆的直径，试求：（1）它的周长y与腰长x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．（2）当腰长为何值时，周长有最大值？这个最大值为多少？45．已知点P，Q，R分别在△ABC的边AB，BC，CA上，且BP=PQ=QR=RC=1，求△ABC的面积的最大值．46．已知：0≤x≤1，函数的最小值为m，试求m的最大值．47．阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x≤m，求二次函数y=x2﹣6x+7的最大值．他画图研究后发现，x=1和x=5时的函数值相等，于是他认为需要对m进行分类讨论．他的解答过程如下：∵二次函数y=x2﹣6x+7的对称轴为直线x=3，∴由对称性可知，x=1和x=5时的函数值相等．∴若1≤m＜5，则x=1时，y的最大值为2；若m≥5，则x=m时，y的最大值为m2﹣6m+7．请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当﹣2≤x≤4时，二次函数y=2x2+4x+1的最大值为_________；（2）若p≤x≤2，求二次函数y=2x2+4x+1的最大值；（3）若t≤x≤t+2时，二次函数y=2x2+4x+1的最大值为31，则t的值为_________．48．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q两点同时出发，分别到达B，C两点后就停止移动．（1）设运动开始后第t秒钟后，五边形APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围．（2）t为何值时，S最小？最小值是多少？49．已知二次函数y=x2与一次函数y=2x+1相交于A、B两点，点C是线段AB上一动点，点D是抛物线上一动点，且CD平行于y轴，求在移动过程中CD的最大值．50．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，两个动点P，Q同时从A点出发，点P沿AC运动，点Q沿AB，BC运动，两点同时到达点C．（1）点Q的速度是点P速度的多少倍？（2）设AP=x，△APQ的面积是y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围，（3）求出y的最大值．51．一块三角形废料如图所示，∠A=30°，∠C=90°，BC=6．用这块废料剪出一个平行四边形AGEF，其中，点G，E，F分别在AB，BC，AC上．设CE=x（1）求x=2时，平行四边形AGEF的面积．（2）当x为何值时，平行四边形AGEF的面积最大？最大面积是多少？52．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，点D在BC上运动（不运动至B，C），DE∥AC，交AB 于E，设BD=x，△ADE的面积为y．（1）求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）x为何值时，△ADE的面积最大？最大面积是多少？53．如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉放置．（1）求证：重叠部分的图形是菱形；（2）求重叠部分图形的周长的最大值和最小值．（要求画图﹑推理﹑计算）54．如图，设点P是边长为a的正三角形ABC的边BC上一点，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，延长QP交AC的延长线于点R．当点P在何处时，△BPQ与△CPR的面积之和取最大（小）值？并求出最大（小）值．55．（2012•）当k分别取﹣1，1，2时，函数y=（k﹣1）x2﹣4x+5﹣k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．56．（2003•）二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，3），若△ABC的面积为9，求此二次函数的最小值．57．（2013•南岗区一模）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，且AO=8，BO=6，P是线段AB上一个动点，PE⊥A0于E，PF⊥B0于F．设PE=x，矩形PFOE的面积为S（1）求出S与x的函数关系式；（2）当x为何值时，矩形PFOE的面积S最大？最大面积是多少？58．（2013•资阳）在关于x，y的二元一次方程组中．（1）若a=3．求方程组的解；（2）若S=a（3x+y），当a为何值时，S有最值．59．（2010•）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm．动点P、Q分别从A、C两点同时出发，其中点P以1cm/s的速度沿AC向终点C移动；点Q以cm/s的速度沿CB向终点B移动．过P作PE∥CB交AD于点E，设动点的运动时间为x秒．（1）用含x的代数式表示EP；（2）当Q在线段CD上运动几秒时，四边形PEDQ是平行四边形；（3）当Q在线段BD（不包括点B、点D）上运动时，求四边形EPDQ面积的最大值．60.（2010•）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，∠A=45°．AB=30，BC=x，其中15＜x＜30．作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G．（1）用含有x的代数式表示BF的长．（2）设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式．（3）当x为何值时，S有最大值，并求出这个最大值．二次函数最值解答题60题参考答案：1．解：因为顶点坐标为（3，2），对称轴为x=3，与y轴交点为（0，38），因为△=144﹣4×2×19=144﹣152=﹣8＜0，所以与x轴无交点．作图得：最值2．增减性：当x≥3时，y随x的增大而增大；当x≤3时，y随x的增大而减小2．解：由函数图象可得二次函数图象过点C（0，3），将A，B，两点代入函数解析式得解得：a=﹣1，b=2，c=3，可得二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3；配方得：y=﹣（x﹣1）2+4，∴对称轴x=1，最大值为43．解：二次函数y=x2﹣x﹣2=﹣的图象如图：顶点坐标为（，），（1）当﹣2＜a＜时，函数为减函数，最小值为当x=a时，y=a2﹣a﹣2．当a≥时，y min=﹣，（2）当a＞﹣2，且a+2＜，即：﹣2＜a＜﹣时，函数为减函数，最小值为：y x=a+2=（a+2）2﹣（a+2）﹣2，当a＜≤a+2，即﹣≤a＜时，函数的最小值为y=﹣4．解：配方y=（x+a）2﹣1，函数的对称轴为直线x=﹣a，顶点坐标为（﹣a，﹣1）．①当0≤﹣a≤3即﹣3≤a≤0时，函数最小值为﹣1，不合题意；②当﹣a＜0即a＞0时，∵当x=3时，y有最大值；当x=0时，y有最小值，∴，解得a=2；③当﹣a＞3即a＜﹣3时，∵当x=3时，y有最小值；当x=0时，y有最大值，∴，解得a=﹣5．∴实数a的值为2或﹣55．解：原式=3（y﹣1）2+8，∵（y﹣1）2≥0，∴3（y﹣1）2+8≥8，∴有最小值，最小值为86．解：（1）过A作AE⊥BC于E，如图，∵∠B=30°，AB=x，∴AE=x，又∵平行四边形ABCD的周长为8cm，∴BC=4﹣x，∴y=AE•BC=x（4﹣x）=﹣x2+2x（0＜x＜4）；（2）y=﹣x2+2x=﹣（x﹣2）2+2，∵a=﹣，∴当x=2时，y有最大值，其最大值为27．解：对称轴x=﹣=﹣=，①≤0，即a≤0时，0≤x≤1范围内，y随x的增大而增大，当x=0时，y最小，最小值y=2×02﹣a×0+1=1，②0＜＜1，即0＜a＜4时，当x=时有最小值，最小值y=2×（）2﹣a×+1=1﹣，③≥1，即a≥4时，0≤x≤1范围内，y随x的增大而减小，当x=1时，y最小，最小值y=2×12﹣a×1+1=3﹣a，综上所述，a≤0时，最小值为1，0＜a＜4时，最小值为1﹣，a≥4时，最小值为3﹣a8．解：依题意△=4a2﹣4（a+6）≥0，即a2﹣a﹣6≥0，∴a≤﹣2或a≥3，（3分）由m+n=2a，mn=a+6，y=m2+n2﹣2（m+n）+2=（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2=4a2﹣6a﹣10，=4（a﹣）2﹣，∴a=3时，y的最小值为8．（12分）故y的最小值为89．解：对称轴x=﹣=﹣=a，①a≤﹣1时，﹣1≤x≤2范围内，y随x的增大而增大，当x=﹣1时，y最小，最小值y=2×（﹣1）2﹣4a×（﹣1）+a2+2a+2=a2+6a+4，②﹣1＜a＜2时，当x=a时，有最小值，最小值y=2×a2﹣4a×a+a2+2a+2=﹣a2+2a+2，③a≥2时，﹣1≤x≤2范围内，y随x的增大而减小，当x=2时，y最小，最小值y=2×22﹣4a×2+a2+2a+2=a2﹣6a+10，综上所述，a≤﹣1时，最小值为a2+6a+4，﹣1＜a＜2时，最小值为﹣a2+2a+2，a≥2时，最小值为a2﹣6a+10；∵最小值为﹣1，∴a2+6a+4=﹣1，整理得a2+6a+5=0，解得a1=﹣1，a2=﹣5，﹣a2+2a+2=﹣1，整理得，a2﹣2a﹣3=0，解得a3=﹣1，a4=3（舍去），a2﹣6a+10=﹣1，整理得，a2﹣6a+11=0，△=（﹣6）2﹣4×1×11=﹣8＜0，方程无解，综上所述，a的所有可能值为﹣1、﹣510．解：根据抛物线顶点坐标公式得：=1，解得：m=1011．解：（1）根据二次函数的定义可知：m2+2m﹣6=2，m+2≠0，解得：m=2或﹣4．（2）当m=2时，抛物线的开口向上，有最小值，此函数图象的顶点为最低点；（3）当m=﹣4时，抛物线的开口向下，有最大值，此函数图象的顶点为最高点12．解：设两数为x、y，两数的积为s，根据题意列方程组得，，整理得，s=x（6﹣x）=﹣x2+6x，配方得，s=﹣（x﹣3）2+9，可见，s的最大值为9．如图：由于函数为抛物线，其与x轴的交点坐标为：（0，0），（6，0），顶点为（3，9），对称轴为直线x=3，画出函数图象13．解：设一段铁丝的长度为x，另一段为（20﹣x），则S=x2+（20﹣x）（20﹣x）=（x﹣10）2+12.5，∴由函数当x=10cm时，S最小，为12.5cm214．解：由0≤a2﹣4a﹣2≤0，解得：﹣2≤a≤2﹣或2+≤a≤6．由y=x2﹣4ax+5a2﹣3a可得y=（x﹣2a）2+a2﹣3a，则最小值m=a2﹣3a=（a﹣）2﹣，它的图象的对称轴为a=．在上述a的取值范围内的a值中6与的距离最大．∴a=6时，原函数的最小值m有最大值m=62﹣3×6=1815．解：根据x2﹣x﹣6≥0且x2﹣x﹣6≠6时，函数才有意义，解得：x≤﹣2且x≠﹣3或x≥3且x≠4，此时函数y=x2﹣4x﹣9，图象如图：在x≤﹣2且x≠﹣3或x≥3且x≠4的范围内可知，当x=3时，这个函数的最小值为﹣1216．解：由题意：对称轴为x=﹣．其次这是一个定区间（﹣1≤x≤1）动对称轴（x=﹣）的函数，所以需要对对称轴所在位置进行分类讨论．第一种情况：0＜﹣≤1，不可能．因对称轴在区间内故函数最大值在x=﹣时取到，因对称轴在区间左半段故函数最小值在x=1时取到．联立x=﹣时y=﹣4与x=﹣1时y=0两个方程解得a=2±2，均不符合条件，故舍去．第二种情况，﹣＜﹣1，即对称轴在区间外，此时a＞2，在区间内函数单调递减，故x=﹣1时y=0，x=1时y=﹣4，解得a=2，b=﹣2，满足a＞0的条件．解得：a=2，b=﹣217．解：∵a2+b2=（a+b）2﹣2ab，a2+b2=1，∴ab=，设a+b=t，则﹣≤t≤，∴y=a+b+ab=+a+b=（t2﹣1）+t=t2+t﹣=（t+1）2﹣1，∴t=﹣1时，y有最小值为﹣1，t=时，y有最大值，此时y=（+1）2﹣1=，∴﹣1≤y≤，即a+b+ab的取值范围为﹣1≤a+b+ab≤18．解：在矩形ABCD中，B（16，12），EC+CF=8；则AB=OC=16，BC=OA=12；设CF=x，则EC=8﹣x；S△AEF=S□ABCO﹣S△AOE﹣S△ABF﹣S△ECF=OA×OC﹣×OE×OA﹣×AB×BF﹣×CE×CF=12×16﹣×[16﹣（8﹣x）]×12﹣×16×（12﹣x）﹣×x×（8﹣x）=x2﹣2x+48=（x﹣2）2+46；因此，当x=2时，S△AEF取得最小值46．故当F运动到CF为2时，△AEF的面积最小，最小为4619．（1）证明：∵AC⊥BD，∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD，=AC•OB+AC•OD，=AC（OB+OD）=AC•BD；（2）解：设AC=x，∵AC+BD=10，∴BD=10﹣x，∴四边形ABCD的面积=x（10﹣x）=﹣（x2﹣10x）=﹣（x﹣5）2+，∵﹣＜0，∴当x=5时，四边形ABCD的面积有最大值，此时AC=5，BD=520．解：（1）根据图象得：它的最小值是0；（2）根据图象得：它的最大值是0；（3）当a＞0时，y=ax2有最小值，当a＜0时，y=ax2有最大值21．解：设其中一段铁丝的长度为xcm，另一段为（156﹣x）cm，则两个正方形面积和S=x2+（156﹣x）2=（x﹣78）2+761，∴由函数当x=78cm时，S最小，为761cm2．答：这两个正方形面积之和的最小值是761cm222．解：∵y=（a+2）x2﹣2（a2﹣1）x+1，∴y=（a+2）+1﹣，其对称轴为，因为a为正整数，故因，，因此，函数的最小值只能在x取a﹣2，a﹣1，时达到，（1）当a﹣1=时，a=1，此时，x=0使函数取得最小值，由于x是正整数，故应舍去；（2）a﹣2＜＜a﹣1时，即a＞1时，由于x是正整数，而为小数，故x=不能达到最小值，当x=a﹣2时，y1=（a+2）（a﹣2）2﹣2（a2﹣1）（a﹣2）+1，当x=a﹣1时，y2=（a+2）（a﹣1）2﹣2（a2﹣1）（a﹣1）+1，又y1﹣y2=4﹣a，①当4﹣a＞0时，即1＜a＜4且a为整数时，x取a﹣1，使y2为最小值；②当4﹣a=0时，即a=4时，有y1=y2，此时x取2或3；③当4﹣a＜0时，即a＞4且为整数时，x取a﹣2，使y1为最小值；综上，（其中a为整数）23．解：由3a2﹣10ab+8b2+5a﹣10b=0可得（a﹣2b）（3a﹣4b+5）=0，（6分）所以a﹣2b=0，或3a﹣4b+5=0．（8分）①当a﹣2b=0，即a=2b时，u=9a2+72b+2=36b2+72b+2=36（b+1）2﹣34，于是b=﹣1时，u的最小值为﹣34，此时a=﹣2，b=﹣1．（13分）②当3a﹣4b+5=0时，u=9a2+72b+2=16b2+32b+27=16（b+1）2+11，于是b=﹣1时，u的最小值为11，此时a=﹣3，b=﹣1．（18分）综上可知，u的最小值为﹣3424．解：∵y=4x2﹣4ax+a2+1（0≤x≤2），∴y=4+1，（1）当0≤≤2，即0≤a≤4时，最小值为1，不符合题意，舍去；（2）当＜0即a＜0时，令f（0）=3得：a2+1=3，解得：a=±，故a=﹣；（3）当＞2即a＞4时，令f（2）=3，即a2﹣8a+14=0，解得；a=4±，故a=4+；综上有；a=﹣或4+25．解：原式=（x）2+．∵（x）2≥0．∴原式＞0恒成立；当x=时，原式有最小值为26．解：由题意设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c，把A（0，2）、B（2，0）、C（﹣1，2）分别代入二次函数解析式，得：解得所以函数解析式为：y=﹣x2﹣x+2，配方得：y=﹣（x﹣）2+，所以二次函数有最大值且最大值为：27．解：（1）∵在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，∴BC=2，AC=，而两个动点P，Q同时从A点出发，点P沿AC运动，点Q沿AB，BC运动，两点同时到达点C ∴Q的速度是P的速度的（2+1）÷=倍；（2）∵设AP=x，△APQ的面积是y，①当Q在AB上，即时，，②当Q在BC上，即时，，即：；（3）对于（）当时，对于（≤x≤）当时，，∵，∴当时，．28．解：设C（m，2m+1），D（m，m2），则CD=2m+1﹣m2=﹣m2+2m+1=﹣（m﹣1）2+2，当m=1时，CD有最大值229．解：原式=（x﹣）2﹣，∴当x=时，原式有最小值为﹣30．解：（1）y=2x2﹣4ax+a2+2a+2，y=2（x﹣a）2﹣a2+2a+2，当x=a时，y有最小值为3﹣（a﹣1）2；（2）当﹣1≤x≤2时，3﹣（a﹣1）2=2，解得a=0或a=2，当x＜﹣1时，则当x=﹣1时y=2，解得，当x＞2时，则当x=2时y=2，解得a=4，所以：a=0或a=2或或a=431．解：（1）当1≤x≤2时，y=x2﹣x+x+1=x2+1，当x=1时取最小值为2，x=2时取最大值为5；（2）当﹣2≤x≤﹣1时，y=x2﹣2x﹣1=（x﹣1）2﹣2，当x=﹣1时，y取得最小值为2，当x=﹣2时，y取得最大值为7；（3）当﹣1≤x≤0时，y=x2﹣x+x+1=x2+1，当x=﹣1时，y取最大值为2，当x=0时，y取最小值为1；（4）当0≤x≤1时，y=x﹣x2+x+1=﹣（x﹣1）2+2，当x=1时y取最大值为2，当x=0时y取最小值为1；综上所述：y的最大值为7，最小值为132．解：∵y=（k﹣1）x2﹣2（k﹣1）x﹣k，=（k﹣1）（x﹣1）2﹣2k+1，∴当k＞1时，函数有最小值为﹣2k+1，当k＜1时，函数有最大值为﹣2k+133．解：（1）若，即﹣1≤a≤1，抛物线开口向下，当时，y最大值=2a，∵二次函数最大值﹣3，即与﹣1≤a≤1矛盾，舍去．（2）若当时，y随x增大而减小，当时，y最大值=﹣a2+4a﹣1，由又a＞1，∴（3）若当时，y随x增大而增大，当时，y最大值=﹣a2﹣1，由又a＜﹣1，∴综上所述，或34．最小值===．35．解：（1）3﹣k＜0，即k＞3时，函数有最大值2；（2）3﹣k＞0，即k＜3时，函数有最大小236．解：二次函数的对称轴为直线x=﹣=t，①﹣1≤t≤1时，x=t时，函数有最大值y=t2﹣2t•t+1=﹣t2+1，②t＜﹣1时，x=1时，函数有最大值y=12﹣2t•1+1=﹣2t+2，③t＞1时，x=﹣1时，函数有最大值y=（﹣1）2﹣2t•（﹣1）+1=2t+237．解：（1）若，即﹣1≤a≤1，抛物线开口向下，当时，y最大值=2a，∵二次函数最大值﹣3，即与﹣1≤a≤1矛盾，舍去．（2）若当时，y随x增大而减小，当时，y最大值=﹣a2+4a﹣1，由又a＞1，∴（3）若当时，y随x增大而增大，当时，y最大值=﹣a2﹣1，由又a＜﹣1，∴综上所述，或38．解：（1）若x2﹣4≥0，即|x|≥2，则y=x2﹣3x﹣4∴，若x2﹣4≤0，即|x|≤2，则y=﹣x2﹣3x+4∴，∴（2≤x≤5），当x=5时，y最大值=6；当x=2时，y最小值=﹣6，对（﹣2≤x≤2），当时，；x=2时，y最小值=﹣6，综上所述，x=2时，y最小值=﹣6；当时，；（2）由2x+y=1得，y=1﹣2x，由|y|≤1得﹣1≤x≤1故0≤x≤1，∴z为开口向上，对称轴为的抛物线，虽然有最小值，但不在0≤x≤1的范围内，因此不是所求的最值．又x=0时，z=3；x=1时，z=21．∴所求的最小值为339．解：对称轴为直线x=﹣=a，①a＜﹣2时，x=﹣2时，y有最小值，最小值=（﹣2）2﹣2a×（﹣2）﹣3=4+4a﹣3=4a+1，x=2时，y有最大值，最大值=22﹣2a×2﹣3=4﹣4a﹣3=﹣4a+1；②﹣2≤a≤0时，x=a时y有最小值，最小值=a2﹣2a•a﹣3=﹣a2﹣3，x=2时，y有最大值，最大值=22﹣2a×2﹣3=4﹣4a﹣3=﹣4a+1；③0＜a≤2时，x=a时y有最小值，最小值=a2﹣2a•a﹣3=﹣a2﹣3，x=﹣2时，y有最大值，最大值=（﹣2）2﹣2a×（﹣2）﹣3=4+4a﹣3=4a+1；④a＞2时，x=2时，y有最小值，最小值=22﹣2a×2﹣3=4﹣4a﹣3=﹣4a+1，x=﹣2时，y有最大值，最大值=（﹣2）2﹣2a×（﹣2）﹣3=4+4a﹣3=4a+140．解：∵|x+1|≤6，解得：﹣7≤x≤5，∴当﹣7≤x＜0时，y=﹣x2﹣2x+1=﹣（x+1）2+2，当x=﹣1时，取得最大值为2；当0≤x≤5时，y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，故当x=5时，y取得最大值为16．综合上述，原函数式最大值为1641．解：设鸡舍的长为x，则宽为（14﹣2x+2）=8﹣x，所以，鸡舍的面积=x（8﹣x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16，所以，当x=4，即长与宽都是4时，鸡舍的面积最大，最大值是16m2．答：鸡舍的长与宽都是4m时，鸡舍的面积最大42．解：设梯形上底为x，下底为y，∵AB=2，P是边AB的中点，∠PDC=90°，∴1+y2﹣（1+x2）=4+（y﹣x）2，解得：y=+x，梯形ABCD面积=×（x+y）×2=x+y=x+x+=2x+≥4=4，当x=时，即x=1，y=3时，梯形ABCD面积取得最小值为443．解：将直线x=t，代入y=x2﹣3x，y=﹣x2+9中，得A和B的纵坐标分别为t2﹣3t，﹣t2+9，∴AB=，∴当时，线段AB取得最大值44．解：（1）作OE⊥AD，DF⊥AO，垂足分别为E、F，由垂径定理可知AE=AD=x，易证Rt△ADF∽Rt△AOE，∴=，即=，解得AF=x2，∴CD=AB﹣2AF=2﹣x2，∴y=2x+2+2﹣x2=﹣x2+2x+4，∵OA=1，AF=x2，∴x2＜1∴0＜x＜；（2）∵y=﹣x2+2x+4=﹣（x﹣1）2+5，∴x=1时，周长最大为545．解：由正弦定理得：BQ=2cosB，CQ=2cosC，由上可推出BC=2（cosB+cosC），AB=BC，AC=BC，∴S△ABC=×AB×AC×sinA，∵三边固定，当面积最大时，sinA=1，∠A=90°，又∠APR=∠ARP=∠QPR=∠QRP所以△APR相似于△QPR因为PR边公用，所以AP=AR=QP=QR=1AB=AC=2，∴S△ABC=×AB×AC×sinA=246．解：函数，∴y=+﹣，（1）当0≤≤1时，m=﹣，（2）当＜0时，m=，（3）当＞1时，m=1﹣a+，综上知：a=1时，m有最大值0.2547．解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∴当﹣2≤x≤4时，二次函数y=2x2+4x+1的最大值为：2×42+4×4+1=49；（2）∵二次函数y=2x2+4x+1的对称轴为直线x=﹣1，∴由对称性可知，当x=﹣4和x=2时函数值相等，∴若p≤﹣4，则当x=p时，y的最大值为2p2+4p+1，若﹣4＜p≤2，则当x=2时，y的最大值为17；（3）t＜﹣2时，最大值为：2t2+4t+1=31，整理得，t2+2t﹣15=0，解得t1=3（舍去），t2=﹣5，t≥﹣2时，最大值为：2（t+2）2+4（t+2）+1=31，整理得，（t+2）2+2（t+2）﹣15=0，解得t1=1，t2=﹣7（舍去），所以，t的值为1或﹣548．解：（1）第t秒钟时，AP=tcm，故PB=（6﹣t）cm，BQ=2tcm，故S△PBQ=•（6﹣t）•2t=﹣t2+6t∵S矩形ABCD=6×12=72．∴S=72﹣S△PBQ=t2﹣6t+72（0＜t＜6）；（2）∵S=t2﹣6t+72=（t﹣3）2+63，∴当t=3秒时，S有最小值63cm249．解：设C（m，2m+1），D（m，m2），则CD=2m+1﹣m2=﹣m2+2m+1=﹣（m﹣1）2+2，当m=1时，CD有最大值250．解：（1）∵在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AB=1，∴BC=2，AC=，而两个动点P，Q同时从A点出发，点P沿AC运动，点Q沿AB，BC运动，两点同时到达点C ∴Q的速度是P的速度的（2+1）÷=倍；（2）∵设AP=x，△APQ的面积是y，①当Q在AB上，即时，，②当Q在BC上，即时，，即：；（3）对于（）当时，对于（≤x≤）当时，，∵，∴当时，51．解：设平行四边形AGEF的面积是S．∵四边形AGEF是平行四边形，∴EF∥AG；∵∠A=30°，∠C=90°，CE=x，BC=6，∴∠A=∠CFE=30°，∴CF=x，AC=6，∴AF=6﹣x；∴S=AF•CE=（6﹣x）x=﹣x2+6x，即S=﹣x2+6x；（1）当x=2时，S=﹣4+12=8，即S=8．答：平行四边形AGEF的面积为（平方单位）…4分（2）由S=﹣x2+6x，得，∴，∴当x=3时，平行四边形AGEF的面积最大，最大面积是（平方单位）…9分52．解：（1）在Rt△ABC中，AC==6，∴tanB=．∵DE∥AC，∴∠BDE=∠BCA=90°．∴DE=BD•tanB=x，CD=BC﹣BD=8﹣x．设△ADE中DE边上的高为h，∵DE∥AC，∴h=CD．∴y=DE•CD=•（8﹣x），即y=+3x．自变量x的取值范围是0＜x＜8；（2）x==4时，y最大==6．即当x=4时，△ADE的面积最大为653．（1）证明：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∵两条纸条宽度相同（对边平行），∴AB∥CD，AD∥BC，AE=AF，∴四边形ABCD是平行四边形，∵S▱ABCD=BC•AE=CD•AF，又∵AE=AF，∴BC=CD，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：当两张纸条如图所示放置时，菱形周长最大，设这时菱形的边长为xcm，由勾股定理：x2=（8﹣x）2+22，得：4x=17，即菱形的最大周长为17cm．当两张纸条如图所示放置时，即是正方形时取得最小值为：2×4=8．54．解：在Rt△BPQ中，设PB=x，由∠B=60°，得：BQ=，PQ=，从而有PC=CR=a﹣x，∴△BPQ与△CPR的面积之和为：S=x2+（a﹣x）2=（x﹣a）2+a2，∵0≤x≤a，∴当x=0时，S取最大值a2，当x=a时，S取最小值a255．解：k可取值﹣1，1，2（1）当k=1时，函数为y=﹣4x+4，是一次函数（直线），无最值；（2）当k=2时，函数为y=x2﹣4x+3，为二次函数．此函数开口向上，只有最小值而无最大值；（3）当k=﹣1时，函数为y=﹣2x2﹣4x+6，为二次函数．此函数开口向下，有最大值．因为y=﹣2x2﹣4x+6=﹣2（x+1）2+8，则当x=﹣1时，函数有最大值为856．解：设A（m，0），B（n，0），则m，n是方程x2+bx+c=0的两个根，∵y=x2+bx+c过点C（0，3），∴c=3，又∵S△ABC=|AB|•|OC|=|AB|•3=9，∴|AB|=6，∴|m﹣n|=6，即（m+n）2﹣4mn=36，而，∴b2﹣12=36，b=±4，∴y=x2±4x+3=（x±2）2﹣9，∴所求的最小值为﹣957．解：（1）在矩形PFOE中，OF=PE=x，∵AO=8，BO=6，∴tanB==，即=，解得PF=（6﹣x），∴矩形PFOE的面积为S=PE•PF=x•（6﹣x）=﹣x2+8x，即S=﹣x2+8x；（2）∵S=﹣x2+8x=﹣（x2﹣6x+9）+12=﹣（x﹣3）2+12，∴当x=3时，矩形PFOE的面积S最大，最大面积是1258．解：（1）当a=3时，方程组为，②×2得，4x﹣2y=2③，①+③得，5x=5，解得x=1，把x=1代入①得，1+2y=3，解得y=1，所以，方程组的解是；（2）方程组的两个方程相加得，3x+y=a+1，所以，S=a（3x+y）=a（a+1）=（a+）2﹣，所以，当a=﹣时，S有最小值﹣59．解：（1）∵PE∥CB，∴∠AEP=∠ADC，又∵∠EAP=∠DAC，∴△AEP∽△ADC，（2分）∴=，∴=，（3分）∴．（4分）（2）由四边形PEDQ1是平行四边形，可得EP=DQ1．（5分）即x=3﹣x，所以x=1.5．（6分）∵0＜x＜2.4（7分）∴当Q在线段CD上运动1.5秒时，四边形PEDQ是平行四边形．（8分）（3）S四边形EPDQ2=（x+x﹣3）•（4﹣x）（9分）=﹣x2+x﹣6=﹣（x﹣）2+，（10分）又∵2.4＜x＜4，（12分）∴当x=时，S取得最大值，最大值为60.解 ：（1）由题意，得EF=AE=DE=BC=x ，AB=30， ∴BF=2x-30．（2）∵∠F=∠A=45°，∠CBF=∠ABC=90°， ∴∠BGF=∠F=45°．∴BG=BF=2x-30，∴S=S DEF △−S GBF △＝21DE ²−21BF ² =21 x ²−21(2x −30)² =−23 x ²+60x −450． （3）S=−23 x ²+60x −450＝−23 (x −20)²+150． ∵a ＝−23 ＜0，15＜20＜30， ∴当x=20时，S 有最大值，最大值为150。

二次函数的最值问题举例例1、当22x -≤≤时，求函数223y x x =--的最大值和最小值．例2、当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．例3、当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．例4、当1t x t ≤≤+时，求函数21522y x x =--的最小值(其中t 为常数)． A 组1．抛物线2(4)23y x m x m =--+-，当m = _____ 时，图象的顶点在y 轴上；当m = _____ 时，图象的顶点在x 轴上；当m = _____ 时，图象过原点．2．用一长度为l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ．3．求下列二次函数的最值：(1) 2245y x x =-+； (2) (1)(2)y x x =-+．4．求二次函数2235y x x =-+在22x -≤≤上的最大值和最小值，并求对应的x 的值．5．对于函数2243y x x =+-，当0x ≤时，求y 的取值范围．6．求函数3y =7．已知关于x 的函数22(21)1y x t x t =+++-，当t 取何值时，y 的最小值为0？B 组1．已知关于x 的函数222y x ax =++在55x -≤≤上．(1) 当1a =-时，求函数的最大值和最小值； (2) 当a 为实数时，求函数的最大值．2．函数223y x x =++在0m x ≤≤上的最大值为3，最小值为2，求m 的取值范围．3．设0a >，当11x -≤≤时，函数21y x ax b =--++的最小值是4-，最大值是0，求,a b的值．4．已知函数221y x ax =++在12x -≤≤上的最大值为4，求a 的值．5．求关于x 的二次函数221y x tx =-+在11x -≤≤上的最大值(t 为常数)．。

二次函数的最值问题举例(附练习、答案)二次函数y = ax2bx c (a = 0)是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础. 在初x取任意实数时的最值情况(当a ■ 0时，函数在本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x在某个范围内取值时，函数的最值问题.同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用.2【例1】当-2弐x玄2时，求函数y=x -2x-3的最大值和最小值.分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值.解：作出函数的图象.当x=1时，y mi n =-4，当x=-2时，y max=5.【例2】当1^x^2时，求函数y =-X2「x T的最大值和最小值.X = 1 时，y min = T ,当X = 2 时，y max = 一5 .由上述两例可以看到，二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段.那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值.根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异.下面给出一些常见情况：【例3】当x - 0时，求函数y = -x(2 - x)的取值范围.中阶段大家已经知道：二次函数在自变量b2a处取得最小值4ac - b24a，无最大值；当 a c 0时，函数在x = -亠-处取得最大值2a4ac -b24a无最小值.解：作出函数的图象.当解：作出函数y =-x(2 - x) n x? — 2x在x_0内的图象.可以看出：当x = 1时，ymin - -1，无最大值.所以，当X _ 0时，函数的取值范围是y _ -1 .1 25【例4】当t <x <t 1时，求函数y x「x 的最小值(其中t为常数).2 2分析：由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置.1 25解：函数y x2-X 的对称轴为x=1 .画出其草图.2 21 25(1)当对称轴在所给范围左侧•即t 1时：当X = t时，『min t -t-2 2⑵当对称轴在所给范围之间•即t乞1乞t • 1 = 0乞t乞1时：1 25当X=1 时，『min -1—? = 一3 ；⑶当对称轴在所给范围右侧.即t • 1 ：：： 1= t ：：： 0时：1 2 5 1 2当X=t 1 时，y min —(t 1) -(t 1)—?=?t -3 .1 2—t —3,t < 02综上所述：y二-3,0乞t乞1-1 -5,t A1.2 2在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量与每件的销售价x(元)满足一次函数m =162 -3x,30 _ x _ 54 .(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式；(2)若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？解：(1)由已知得每件商品的销售利润为(x-30)元，m (件)那么m件的销售利润为y = m(x - 30)，又m = 162 - 3x .2y = (x - 30)(162 - 3x)二-3x 252x - 4860,30 - x - 54(2)由⑴知对称轴为x=42，位于x的范围内，另抛物线开口向下.当x=42 时，y max - -3 421 2252 42 -4860 =432•当每件商品的售价定为42元时每天有最大销售利润，最大销售利润为432元.A 组21.抛物线y =x —(m —4)x +2m -3，当m = _________ 时，图象的顶点在y轴上；当m = _______ 时, 图象的顶点在x轴上；当m = _____ 时，图象过原点.2•用一长度为I米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 _______ .3.求下列二次函数的最值：2(1) y = 2x -4x 5 ；(2) y = (1 - x)(x 2).24.求二次函数y = 2x -3x - 5在-2 _ x _ 2上的最大值和最小值，并求对应的x的值.25•对于函数y =2x • 4x -3，当x _0时，求y的取值范围.6.求函数y = 3 —€5x —3x —2的最大值和最小值.7 .已知关于x的函数y = x2• (2t T)x • t2-1，当t取何值时，y的最小值为0 ?B 组21 当a - -1时，求函数的最大值和最小值；2 当a为实数时，求函数的最大值.2.函数y =x2• 2x 3在m^x乞0上的最大值为3，最小值为2,求m的取值范围.23 .设a • 0,当-1乞x乞1时，函数y x - ax b 1的最小值是-4，最大值是0,求a,b的值.4.已知函数y = x2 2ax 1在-1空x乞2上的最大值为4,求a的值.25.求关于x的二次函数y=x -2tx 1在-1辽x^1上的最大值(t为常数).1 .已知关于x的函数y =x2• 2ax • 2在-5辽x乞5上.第五讲二次函数的最值问题答案ymin- 0 •(1)当 X =1 时，Y min =1 ；当 X 「-5 时, ⑵当 a - 0 时，Y max =2710a ；当 a 0 时，Y max =27 —10a •一2空m 乞一1 • a =2,b 一2 •1a 或 a - -1.4123 4567123 44 14或 2,I 2 2 —m 16(1)有最小值 3, 无最大值；(2)有最大值9-，无最小值•4 --5时,Y min3 ；当x 「2时, 8Y max =19 •ymin2i 或 1 时，Ymaxymax- 37 •5.当t <0时，y max =2 —2t，此时X = 1 ；当t 0 时，y max =2 • 2t，此时X = -1 .。

二次函数最值问题一．选择题（共8小题）1．如果多项式P=a2+4a+2014，则P的最小值是（）A．2010 B．2011 C．2012 D．20132．已知二次函数y=x2﹣6x+m的最小值是﹣3，那么m的值等于（）A．10 B．4 C．5 D．63．若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下、顶点坐标为（2，﹣3），则此函数有（）A．最小值2 B．最小值﹣3 C．最大值2 D．最大值﹣34．设x≥0，y≥0，2x+y=6，则u=4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y的最大值是（）A．B．18 C．20 D．不存在5．二次函数的图象如图所示，当﹣1≤x≤0时，该函数的最大值是（）A．3.125 B．4 C．2 D．06．已知二次函数y=（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或37．二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（）A．B．2 C．D．8．如图，抛物线经过A（1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三点，点D是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，连结DC，DB，则△BCD的面积的最大值是（）A．7 B．7.5 C．8 D．9二．填空题（共2小题）9．已知二次函数y=2（x+1）2+1，﹣2≤x≤1，则函数y的最小值是，最大值是．10．如图，在直角坐标系中，点A（0，a2﹣a）和点B（0，﹣3a﹣5）在y轴上，=6．当线段OM最长时，点M的坐标为．点M在x轴负半轴上，S△ABM三．解答题（共3小题）11．在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．（Ⅰ）若点M的坐标为（1，﹣1），①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标；②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m．12．已知关于x的函数y=kx2+（2k﹣1）x﹣2（k为常数）．（1）试说明：不论k取什么值，此函数图象一定经过（﹣2，0）；（2）在x＞0时，若要使y随x的增大而减小，求k的取值范围；（3）试问该函数是否存在最小值﹣3？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．13．函数y=（m+2）是关于x的二次函数，求：（1）满足条件的m值；（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x为何值时，y 随x的增大而增大？（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当x为何值时，y随x 的增大而减小．二次函数最值问题（含答案）一．选择题（共8小题）1．A；2．D；3．D；4．B；5．C；6．B；7．D；8．C；9．1；9；10．（﹣3，0）；三．解答题（共3小题）11．【解答】解：（Ⅰ）①∵点O（0，0），F（1，1），∴直线OF的解析式为y=x．设直线EA的解析式为：y=kx+b（k≠0）、∵点E和点F关于点M（1，﹣1）对称，∴E（1，﹣3）．又∵A（2，0），点E在直线EA上，∴，解得，∴直线EA的解析式为：y=3x﹣6．∵点P是直线OF与直线EA的交点，则，解得，∴点P的坐标是（3，3）．②由已知可设点F的坐标是（1，t）．∴直线OF的解析式为y=tx．设直线EA的解析式为y=cx+d（c、d是常数，且c≠0）．由点E和点F关于点M（1，﹣1）对称，得点E（1，﹣2﹣t）．又点A、E在直线EA上，∴，解得，∴直线EA的解析式为：y=（2+t）x﹣2（2+t）．∵点P为直线OF与直线EA的交点，∴tx=（2+t）x﹣2（2+t），即t=x﹣2．则有y=tx=（x﹣2）x=x2﹣2x；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，直线OF的解析式为y=tx．直线EA的解析式为y=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m）．∵点P为直线OF与直线EA的交点，∴tx=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m），化简，得x=2﹣．有y=tx=2t﹣．∴点P的坐标为（2﹣，2t﹣）．∵PQ⊥l于点Q，得点Q（1，2t﹣），∴OQ2=1+t2（2﹣）2，PQ2=（1﹣）2，∵OQ=PQ，∴1+t2（2﹣）2=（1﹣）2，化简，得t（t﹣2m）（t2﹣2mt﹣1）=0．又∵t≠0，∴t﹣2m=0或t2﹣2mt﹣1=0，解得m=或m=．则m=或m=即为所求．12.解：（1）将x=﹣2代入，得y=k（﹣2）2+（2k﹣1）•（﹣2）﹣2=0，故不论k取何值，此函数图象一定经过点（﹣2，0）．（2）①若k=0，此函数为一次函数y=﹣x﹣2，当x＞0时，y随x的增大而减小，∴k=0符合题意．②若k≠0，此函数为二次函数，而图象一定经过（﹣2，0）、（0，﹣2）∴要使当x＞0时，y随x的增大而减小，开口向下，须满足k＜0即可．综上，k的取值范围是k≤0．（3）若k=0，此函数为一次函数y=﹣x﹣2，∵x的取值为全体实数，∴y无最小值，若k≠0，此函数为二次函数，若存在最小值为﹣3，则=﹣3，且k＞0，解得：k=符合题意，∴当k=时，函数存在最小值﹣3．13．解：（1）根据题意得m+2≠0且m2+m﹣4=2，解得m1=2，m2=﹣3，所以满足条件的m值为2或﹣3；（2）当m+2＞0时，抛物线有最低点，所以m=2，抛物线解析式为y=4x2，所以抛物线的最低点为（0，0），当x≥0时，y随x的增大而增大；（3）当m=﹣3时，抛物线开口向下，函数有最大值；抛物线解析式为y=﹣x2，所以二次函数的最大值是0，这时，当x≥0时，y随x的增大而减小．。

求二次函数的最值练习题求二次函数的最值练习题二次函数是数学中的重要概念之一，它的图像呈现出一条开口向上或向下的抛物线。

而求解二次函数的最值，是我们在解决实际问题中经常遇到的一种情况。

本文将通过一些练习题，帮助读者更好地理解和掌握求解二次函数的最值的方法。

练习题一：已知二次函数 f(x) = 2x^2 - 4x + 1，求该函数的最小值。

解答：要求二次函数的最小值，我们可以通过找到抛物线的顶点来实现。

二次函数的顶点坐标可以通过公式 x = -b/2a 和 y = f(-b/2a) 来求得。

对于给定的函数 f(x) = 2x^2 - 4x + 1，我们可以通过计算得到 a = 2，b = -4，c = 1。

将这些值代入公式中，我们可以得到 x = -(-4)/(2*2) = 1，y = f(1) =2*1^2 - 4*1 + 1 = -1。

因此，该函数的最小值为 -1。

练习题二：已知二次函数 g(x) = -3x^2 + 6x - 2，求该函数的最大值。

解答：求解二次函数的最大值的方法与求解最小值的方法类似。

我们同样可以通过找到抛物线的顶点来实现。

对于给定的函数 g(x) = -3x^2 + 6x - 2，我们可以通过计算得到 a = -3，b = 6，c = -2。

将这些值代入公式中，我们可以得到 x = -6/(2*(-3)) = 1，y = g(1) = -3*1^2 + 6*1 - 2 = 1。

因此，该函数的最大值为 1。

练习题三：已知二次函数 h(x) = x^2 + 4x - 3，求该函数的最值所对应的 x 值和 y 值。

解答：对于给定的函数 h(x) = x^2 + 4x - 3，我们同样可以通过计算得到 a = 1，b = 4，c = -3。

将这些值代入公式中，我们可以得到 x = -4/(2*1) = -2，y = h(-2) = (-2)^2 + 4*(-2) - 3 = -7。

2023年中考高频数学专题练习--二次函数的最值问题1．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对5天的试销情况进行统计,得到如下数据：（1）通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量 y （件）与单价 x （元/件）之间存在一次函数关系，求 y 关于 x 的函数关系式（不需要写出函数自变量的取值范围）；（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在（1）中的关系，且该产品的成本是20元/件.为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少?2．如图，已知抛物线 23y ax bx =++ 经过 ()3,0A - ， ()1,0B 两点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H.（1）求该抛物线的解析式； （2）求DBC 的周长；（3）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求PBC 周长的最小值.3．若二次函数 214y ax x b =++ 与 224y bx x a =++ 均有最最小值，记 1y ， 2y 的最小值分别为m ，n.（1）若 4a = ， 1b = ，求m ，n 的值.（2）若 0m n += ，求证：对任意的实数 x ，都有 120y y +≥ .（3）若m ，n 均大于0，且 2mn = ，记M 为m ，n 中的较大者，求M 的最小值.4．某书店经营某出版社的同步辅导书，购进时的单价是30元，根据市场调查：销售单价是40元时，销售量是600本，而销售单价每涨1元，就会少售出10本书.（1）设辅导书的销售单价为x 元（x ＞40），写出销售利润y 与销售单价x 之间的函数关系式；（2）若书店获得了10000元销售利润，求该辅导书的销售单价x应定为多少元？（3）若书店想获得最大利润，应将销售价格定为多少？5．某商场试销一种成本为每件50元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于40%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次函数y=kx+b，且x=60时，y=50；x=70时，y=40．（1）求一次函数y=kx+b的表达式；（2）若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？6．为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形小花园ABCD，小花园一边靠墙，另三边用总长40m的栅栏围住，如下图所示．若设矩形小花园AB边的长为xm，面积为ym2．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？7．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图所示)回答下列问题：（1）设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．则平行于墙的一边长为；（用含x 的代数式表示）（2）若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；8．某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如下表：注：周销售利润=周销售量×(售价-进价)（1）①求y关于x的函数解析式；②当售价为多少元/件时，周销售利润最大，最大利润是多少（2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件(m>0)，物价部门规定该商品售价不得超过65元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系。

二次函数最值问题练习题1.抛物线 $y=x-(m-4)x+2m-3$，当 $m=4$ 时，图象的对称轴是 $y$ 轴；当 $m=2$ 时，图象的顶点在 $x$ 轴上；当$m=3$ 时，图象过原点。

2.用一长度为 $l$ 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 $\frac{l^2}{4}$。

3.求下列二次函数的最值：(1) $y=2x^2-4x+5$；(4)$y=ax^2-2x$；(5) $y=2x^2-3x+5$。

4.求二次函数 $y=2x^2-3x+5$ 在 $-2\leq x\leq 2$ 上的最大值和最小值，并求对应的 $x$ 的值。

5.函数 $y=x^2+x+1$ 在区间 $-1\leq x\leq 1$ 上的最小值和最大值分别是 $\frac{3}{4}$ 和 $\frac{5}{4}$。

6.求函数 $y=\frac{1-x}{8}$ 在区间 $[-3,3]$ 上的最大值和最小值分别为 $\frac{7}{8}$ 和 $-\frac{1}{8}$。

7.函数 $y=2x^2-4x+5$ 的最值为最大值为 $8$，最小值为$1$。

8.已知二次函数 $y=x^2-6x+m$ 的最小值为 $1$，那么$m$ 的值为 $10$。

9.对于函数 $y=2x+4x-3$，当 $x\leq -1$ 时，$y$ 的取值范围为 $(-\infty,-2)$。

10.求函数 $y=3-5x-3x^2-2$ 的最小值为 $-5$。

11.已知关于 $x$ 的函数 $y=x+\frac{2a}{x+2}$ 在 $-5\leq x\leq 5$ 上。

1) 当 $a=-1$ 时，函数的最大值为 $5$，最小值为 $-3$。

2) 当 $a$ 为常数时，函数的最大值为 $6$，当 $x=-1$ 时取得。

12.已知关于 $x$ 的函数 $y=x+(2t+1)x+t-1$，当 $t=-\frac{1}{2}$ 时，$y$ 的最小值为 $-\frac{1}{2}$。

初中数学二次函数最值练习题一、单选题1.二次函数245y x x -=+的最小值是( ) A.1-B.1C.3D.52.在平面直角坐标系中,对于二次函数2(2)1y x =-+,下列说法中错误的是( ) A.y 的最小值为1B.图象顶点坐标为(2,1),对称轴为直线2x =C.当2x <时,y 的值随x 值的增大而增大,当2x ≥时,y 的值随x 值的增大而减小D.它的图象可以由2y x =的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到3.将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价每降价1元，其日销量就增加1个，为了获取每日最大利润，则应降价( ) A.5元 B. 10元 C. 15元 D.20元4.当1a x a ≤≤+时，函数221y x x =-+的最小值为1，则a 的值为（ ） A.-1 B.2 C.0或2 D.-1或2 5.当21x -≤≤时，二次函数22()1y x m m =--++有最大值4，则实数m 的值为（ ）A.74-或74- 6.已知二次函数2()1y x h =-+(h 为常数),在自变量x 的值满足13x 的情况下,与其对应的函数值y 的最小值为5,则h 的值为( )A.1或-5B.-1或5C.1或-3D.1或37.某二次函数,当自变量x 满足04x 时,对应的函数值y 满足02y ,则这个函数不可能是( ) A.21(2)2y x =- B.242y x x =-+ C.21(2)22y x =--+ D.2114y x x =-++ 8.在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用28 m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD (篱笆只围,AB BC 两边),设m AB x =.若在点P 处有一棵树与墙,CD AD的距离分别是15 m 和6 m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),则花园面积S 的最大值为( )A.2193mB.2194mC.2195mD.2196m9.已知二次函数22233y ax ax a =+++（其中x 是自变量），当2x ≥时，y 随x 的增大而增大，且21x -≤≤时，y 的最大值为9，则a 的值为（ ）A.1或-2B. D.110.已知二次函数2()y x h =--（h 为常数），当自变量x 的值满足25x ≤≤时，与其对应的函数值y 的最大值为1-，则h 的值为( ) A.3或6 B.1或6C.1或3D.4或6二、解答题11.2a b+≤(0,0)a b >>，当且仅当a b =时，等号成立，其中我们把2a b+叫作正数a b 、,a b 的几何平均数，其意义是两个正数的算术平均数不小于其几何平均数。

给定范围的二次函数的最值问题姓名：班次：1. 抛物线2( 4) 2 3y xm x m，当 m = 时，图象的对称轴是 y 轴；当 m =时，图象的顶点在 x 轴上；当 m =时，图象过原点．2．用一长度为 l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ． 3．求下列二次函数的最值： (1)2y 2x 4x 5； (2) y(1 x)( x 2) ．（4）22 y axx (5)y8 2x4x 64．求二次函数2y 2x 3x 5 在 2 x 2上的最大值和最小值，并求对应的 x 的值．2x 5．函数 y1x在区间1 x 1上的最小值和最大值分别是（）(A) 1, 3(B)3 4 , 3 （C ） 1 2 , 3 （D ） 14 ,32x 6．函数 y42 在区间 1 x 4上的最小值是（）x(A 7 (B) 4 (C) 2 ( D )2)7．函数8y的最值为 （ ）2xx 45( A) 最大值为 8，最小值为 0( B)不存在最小值，最大值为8（C ）最小值为 0, 不存在最大值(D )不存在最小值，也不存在最大值28. 已知二次函数 y x6x m的最小值为 1，那么 m 的值为.9．对于函数 2y 2x 4x 3 ，当 x 0时，求 y 的取值范围．10．求函数2y 3 5x 3x 2的最小值．11. 已知关于x 的函数y x2 2ax 2 在 5 x 5上．(1) 当a1时，求函数的最大值和最小值；2) 当a 为常数时，求函数的最大值．.12．已知关于x 的函数 2 (2 1) 2 1y x t x t ，当t取何值时，y 的最小值为0？13．求关于x 的二次函数 2 2 1y x tx 在 1 x 1上的最大值( t为常数)．14.如图，抛物线 2 2y x x p与直线y x 交于点A（-1，m）、B（4，n），点M 是抛物线上的一个动点，连接OM（1）求m，n，p。