2011-2012年郑州市高二上学期期末考试理科数学答案

一、单选题1．已知空间向量，，且，则的值为（ ）()1,,2a m m =+- ()2,1,4b =- a b ⊥m A ． B ． C ． D ．103-10-10103【答案】B【分析】根据向量垂直得，即可求出的值. 2(1)80m m -++-=m 【详解】. ,2(1)8010a b m m m ⊥∴-++-=⇒=-故选：B.2．已知在数列中，，，且，则（ ） {}n a 13a =26a =21n n n a a a ++=-2023a =A ． B ． C ． D ．33-66-【答案】A【分析】推导出数列的周期，利用数列的周期性可求得的值.{}n a 2023a 【详解】因为，则，()32111n n n n n n n a a a a a a a +++++=-=--=-()63N n n n a a a n *++=-=∈，故. 202363371=⨯+ 202313a a ==故选：A.3．已知为原点，点，以为直径的圆的方程为( ) O ()2,2A -OA A ． B ． ()()22112x y -++=()()22118x y -++=C ． D ．()()22112x y ++-=()()22118x y ++-=【答案】A【分析】求圆的圆心和半径，根据圆的标准方程即可求解﹒【详解】由题知圆心为，半径 ()11-，r ∴圆的方程为﹒ 22(1)(1)2x y -＋＋＝故选：A ﹒4．在等差数列中，已知，则数列的前9项和为（ ） {}n a 463,7a a =={}n a 9S A ． B ．13C ．45D ．11711-【答案】C【分析】根据给定的条件利用等差数列的性质计算作答【详解】在等差数列中，因，所以. {}n a 463,7a a ==194693799945222a a a a S +++=⨯=⨯=⨯=故选：C5．若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（ ） 2244x ky k +=A ．B ．CD 【答案】B【分析】根据双曲线标准方程直接判断.【详解】方程即为，2244x ky k +=2214x y k +=由方程表示双曲线，可得，2214y x k -=-所以， 2a =b =所以虚轴长为 2b =故选：B.6．在等比数列中，公比是，则“”是“”的（ ）{}n a q 1q >()*1N n n a a n +>∈A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据等比数列的单调性举出反例，如，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出11a =-答案.【详解】解：当时，则，11a =-1n n a q -=-因为，所以，所以，1q >1n n q q ->1n n q q --<-故，()*1N n n a a n +<∈所以不能推出，1q >()*1N n n a a n +>∈当时，则，11a =-1n n a q -=-由，得，()*1N n n a a n +>∈1n n q q -->-则，所以，1n n q q -<01q <<所以不能推出，()*1N n n a a n +>∈1q >所以“”是“”的既不充分也不必要条件.1q >()*1N n n a a n +>∈故选：D.7．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的中心为原点，焦点，均在轴上，的面积为，过点的直线交C 1F 2F x C 1F 于点，，且的周长为8．则的标准方程为（ ）C A B 2ABF △C A ．B ．C ．D ．2214x y +=22134x y +=22143x y +=2241163x y +=【答案】C【分析】根据已知所给的面积公式，结合椭圆的定义进行求解即可. 【详解】因为的周长为8，2ABF △所以， 221122121288()()8AB AF BF AF BF AF BF AF AF BF BF ++=⇒+++=⇒+++=由椭圆的定义可知： 12122,2AF AF a BF BF a +=+=所以，2282a a a +=⇒=由题意可得：，解得πab =b =因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为．x C 22143x y +=故选：C【点睛】本题考查了椭圆定义的应用，考查了数学阅读能力和数学运算能力.8．如图所示,在平行六面体中,,,,是的中点,点是1111ABCD A B C D -AB a = AD b = 1AA c =M 1D D N 上的点,且,用表示向量的结果是( )1AC 113AN AC = ,,a b c MNA ．B ．12a b c ++ 114555a b c ++C ．D ．1315105a b c -- 121336a b c -- 【答案】D【分析】在平行六面体中根据空间向量的加法合成法则,对向量进行线性表示,1111ABCD A B C D -MN即可求得答案. 【详解】连接1C M113AN AC = 可得:1123C N C A =()111AC AA AC AA AD AB c a b =+=++=++∴1122223333C N C A c a b ==--- 又112C M a c =--∴11MN C N C M =-22213332c a b a c ⎛⎫=------ ⎪⎝⎭ 121336a b c --=∴121336a b N c M =-- 故选: D.【点睛】本题考查了空间向量的加法运算,解题关键是掌握向量的加法运算和数形结合,属于基础题. 9．已知三棱柱的所有棱长均为2，平面，则异面直线，所成角的111ABC A B C -1AA ⊥ABC 1A B 1AC 余弦值为（ ）A ．B C D 14【答案】A【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求解．【详解】以为坐标原点，平面内过点且垂直于的直线为轴，所在直线为轴，A ABC A AC x AC y 所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，1AA z则，，，，∴，，()0,0,0A ()10,0,2A )B()10,2,2C )12A B =-()10,2,2AC =∴1cos ,A B ∴异面直线，所成角的余弦值为. 1A B 1AC 14故选：A10．一动圆过定点，且与已知圆：相切，则动圆圆心的轨迹方程P ()4,0M -N ()22416x y -+=P 是（ ） A ．B ．221412x y +=221412y x +=C ．D ．221412x y -=221412y x -=【答案】C【分析】由两圆相切分析可知，符合双曲线的定义，可得，，根据双曲4PM PN -=24a =28c =线中a ，b ，c 的关系，即可求出动圆圆心的轨迹方程.P 【详解】解：已知圆：圆心，半径为4，N ()22416x y -+=()4,0N 动圆圆心为，半径为，P r 当两圆外切时：，所以； ,4PM r PN r ==+4PM PN -=-当两圆内切时：，所以；,4PM r PN r ==-4PM PN -=即，表示动点P到两定点的距离之差为常数4，符合双曲线的定义，4PM PN -=所以P 在以M 、N 为焦点的双曲线上，且，，24a =28c =，b ∴===所以动圆圆心的轨迹方程为：，P 221412x y -=故选：C.11．若点，在抛物线上，是坐标原点，若等边三角形的面积为A B ()220y px p =>O OAB 该抛物线的方程是（ ）A ．B ． 2y =2y =C ．D ． 2y =2y x =【答案】A【分析】根据等边三角形的面积求得边长，根据角度求得点的坐标，代入抛物线方程求得的值. A p 【详解】设等边三角形的边长为， OAB a． 2=4a =根据抛物线的对称性可知，且，6AOx π∠=4OA a ==设点在轴上方，则点的坐标为，即，A x A cos ,sin 66OA OA ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭()2将代入抛物线方程得 ()2222p =⋅解得．p =22y x ==故选：A12．已知双曲线，左焦点为F ，实轴右端点为A ，虚轴上端22221(0,0)x y a b a b -=>>点为B ，则为（ ） ABF △A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形 D ．锐角三角形【答案】A【分析】根据三边的关系即可求出． ABF △【详解】因为，而， c e a ==220c ac a --=AB c =AF a c =+所以 ()2222222AB BF AF c b c a c +-=++-+，()22222220b c a ac c a ac =+--=--=即，所以为直角三角形． 222AB BF AF +=ABF △故选：A ．二、填空题13．已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点坐标是，则该抛物线的标准方程为___________． ()0,3-【答案】212x y =-【分析】根据焦点坐标即可得到抛物线的标准方程．【详解】因为抛物线的顶点为坐标原点，焦点坐标是，所以，解得，抛物线的标()0,3-32p=6p =准方程为． 212x y =-故答案为：．212x y =-14．记为等比数列的前n 项和，若，公比，则______． n S {}n a 37S =2q =3a =【答案】4【分析】根据给定条件列式求出数列的首项即可计算作答.{}n a 【详解】依题意，，解得，所以.21117a a q a q ++=11a =2314a a q ==故答案为：415．若直线与直线平行，且原点到直线的距离为，则直线的方程为____________. l y x =l 2l【答案】y x =±【分析】可设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求得，即可得解. l ()0y x b b =+≠b 【详解】可设直线的方程为，即，l ()0y x b b =+≠0x y b -+=则原点到直线，解得，l 2b =±所以直线的方程为l y x =±故答案为：y x =±16．椭圆C ：的左、右焦点分别为，，点A 在椭圆上，，直()222210x y a b a b+=>>1F 2F 120AF AF ⋅= 线交椭圆于点B ，，则椭圆的离心率为______．2AF 1AB AF =也可以）-【分析】可以利用条件三角形为等腰直角三角形，设出边长，找到边长与之间等量关1ABF a b 、系，然后把等量关系带入到勾股定理表达的等式中，即可求解离心率.【详解】由题意知三角形为等腰直角三角形，设，则，解得1ABF 1AF AB x ==4x x a +=，，在三角形中，由勾股定理得，所(4x a =-()22AF a =-12AF F ()()()222122AF AF c +=以．29e =-e =也可以）-三、解答题17．已知抛物线的焦点F 到其准线的距离为4． 22(0)y px p =>(1)求p 的值；(2)过焦点F 且斜率为1的直线与抛物线交于A ，B 两点，求． ||AB 【答案】(1)； 4p =(2) |16|AB =【分析】（1）利用抛物线方程得到焦点坐标和准线方程，即可得到答案；（2）通过题意得到焦点坐标，然后得到直线的方程，与抛物线进行联立可得，AB 21240x x -+=利用韦达定理可得，即可得到答案1212x x +=【详解】（1）由抛物线可得焦点，准线方程为，22(0)y px p =>,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭2p x =-又因为抛物线的焦点到其准线的距离为， 22(0)y px p =>4所以；4p =（2）由（1）可得抛物线的方程为，所以焦点， 28y x =(2,0)F 则直线的方程为设，AB 2,y x =-()()1122,,,A x y B x y联立，整理可得，所以，228y x y x =-⎧⎨=⎩21240x x -+=1212x x +=由抛物线的性质可得． 12||12416AB x x p =++=+=18．已知直线． ()():212430m a x a y a ++-+-=(1)求证：直线过定点；m M (2)过点作直线使直线与两负半轴围成的三角形的面积等于4，求直线的方程． M n AOB n 【答案】(1)直线过定点，证明见详解； m ()1,2M --(2) 240x y ++=【分析】（1）变形直线方程，分离参数，利用直线系方程，解方程组求出定点，即可证明. （2）设直线方程，利用过点作直线使得直线与两负半轴围成的三角形面积等于4，得到M n ABC 方程组，即可求出直线方程.【详解】（1）证明：方程化为：()():212430m a x a y a ++-+-=，()()23240a x y x y --+++=由直线系方程的性质有：，解得，230240x y x y --=⎧⎨++=⎩12x y =-⎧⎨=-⎩故直线恒过点 m ()1,2M --（2）设直线， ():10,0x yn a b a b+=<<则由题意得：，解得，()()121142a ba b --⎧+=⎪⎪⎨⎪-⋅-=⎪⎩24a b =-⎧⎨=-⎩所以直线，即， :124x y n +=--240x y ++=所以所求直线方程为：.240x y ++=19．已知数列的前n 项和为，且．{}n a n S 112,2,N n n a S a n *+==-∈(1)求数列的通项公式； {}n a (2)若，数列的前n 项和为，求的值． ()()2121log log n n n b a a +=⋅{}n b n T 1232022T T T T ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅【答案】(1)；2n n a =(2). 12023【分析】(1)根据给定的递推公式结合“当时，”探求相邻两项的关系计算作答. 2n ≥1n n n S S a --={}n a (2)由(1)的结论求出，再利用裂项相消法求出，即可作答.n b n T 【详解】（1）依题意，，，则当时，， N n *∀∈12n n S a +=-2n ≥12n n S a -=-于是得：，即，11n n n n n S S a a a -+-=-=12n n a a +=而当时，，即有，因此，，，1n =122S a =-2142a a ==N n *∀∈12n n a a +=所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，，{}n a 112n nn a a q -==所以数列的通项公式是. {}n a 2n n a =（2）由(1)知，，()()12122211111log log log 2log 2(1)1n n n n n b a a n n n n ++====-⋅⋅++从而有，12111111(1)()()1223111n n nT b b b n n n n =+++=-+-++-=-=+++ 所以. 12320221232022123420232023T T T T ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=⋅ 20．如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1) 证明：PB ∥平面AEC (2) 设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD 的体积【详解】试题分析：（Ⅰ）连接BD 交AC 于O 点，连接EO ，只要证明EO ∥PB ，即可证明PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）延长AE 至M 连结DM ，使得AM ⊥DM ，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD ，即可三棱锥E-ACD 的体积试题解析：(1)证明：连接BD 交AC 于点O ，连接EO.因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点．又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB.因为EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以PB ∥平面AEC.(2)因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直．如图，以A 为坐标原点，，AD ，AP 的方向为x 轴y 轴z 轴的正方向，||为单位长，建立空AB AP 间直角坐标系A-xyz ，则D ，E ，＝.()12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭AE12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭设B(m ，0，0)(m>0)，则C(m0)，＝(m0)．AC设n 1＝(x ，y ，z)为平面ACE 的法向量， 则即 0{0n AC n AE ⋅=⋅= 0102mx y z+=+=可取n 1＝.-又n 2＝(1，0，0)为平面DAE 的法向量，由题设易知|cos 〈n 1，n 2〉|＝，即 12＝，解得m ＝. 1232因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E-ACD 的高为.三棱锥E-ACD 的体积V＝××＝1213123212【解析】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定21．已知各项均为正数的等比数列的前n 项和为，且，．{}n a n S 1228a a +=336S a =+(1)求数列的通项公式；{}n a (2)设，求数列的前n 项和．121log n n n b a a ++={}n b n T 【答案】(1)2n n a =(2)22n n T n +=⋅【分析】（1）由等比数列的前项和公式，等比数列的基本量运算列方程组解得和公比后可得n 1a q 通项公式；（2）用错位相减法求得和．n T 【详解】（1）设数列的公比为q ，由，，{}n a 1228a a +=336S a =+得，解之得所以； ()11221128,16a qa a q q q a +=⎧⎪⎨++=+⎪⎩12,2,a q =⎧⎨=⎩2n n a =（2），()1121log 12n n n n b a a n +++==+又，得，123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅+()234122324212n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，()3452222324212n n T n +=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯两式作差，得，()()()23412224212222212412221n n n n n n T n n n ++++--=⨯+++⋅⋅⋅+-+⨯=+-+⨯=-⋅-所以． 22n n T n +=⋅22．已知椭圆的焦距为在椭圆上． ()2222:10y x E a b a b +=>>⎫⎪⎪⎭E （1）求椭圆的标准方程； E （2）设直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，求面积的取值范围．1ykx =+E M N O OMN A 【答案】（1）；（2）. 2214yx +=⎛ ⎝【分析】（1）本题可根据题意得出，然后结合，即可求出、c =221314a b+=222a b c =+2a 2b 以及椭圆的标准方程； E （2）可设、，通过联立直线方程与椭圆方程得出、()11,M x y ()22,N x y 12224k x x k +=-+，然后根据点到直线距离以及三角形面积公式得出，再然后令12234x x k =-+S =，则，，最后根据的取值范围即可得出结果. t =t ≥21S t t=+1t t +【详解】（1）因为焦距为2c =c =因为点在椭圆上，所以， ⎫⎪⎪⎭E 221314a b +=联立，解得，，椭圆的标准方程为. 222221314c ab a bc ⎧=⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩24a =21b =E 2214y x +=（2）设，，()11,M x y ()22,N x y 联立，整理得，， 22141y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()224230k x kx ++-=0∆>则，， 12224k x x k +=-+12234xx k =-+原点到直线， 1y kx =+则的面积 MON △12S ==令，，t =t ≥22211t S t t t==++令，则，函数在上单调递增，1y t t =+221t y t -'=1y t t =+)+∞故面积的取值范围为. 1t t +≥201t t <≤+OMN A ⎛ ⎝。

2011—2012学年度上学期期末考试高二数学试卷（理科）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟，注意事项：1．第Ⅰ卷的答案填在答题卷方框里，第Ⅱ卷的答案或解答过程写在答题卷指定处，写在试题卷上的无效。

2．答题前，考生务必将自己的“姓名”、“班级”、和“考号”写在答题卷上。

3．考试结束，只交答题卷。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（每小题5分，共10个小题，本题满分50分）1．命题P ：x R ∀∈，函数2()2cos 23f x x x =+≤，则（ ）A ．P是假命题：2:,()2cos 23P x R f x x x ⌝∃∈=+≤B ．P是假命题：2:,()2cos 23P x R f x x x ⌝∃∈=+>C ．P是真命题：2:,()2cos 23P x R f x x x ⌝∃∈=≤D ．P是真命题：2:,()2cos 23P x R f x x x ⌝∃∈=> 2．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为（ ） A ．9 B ．12 C ． 8 D ．133．如图的程序框图，如果输入三个实数a,b,c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ） A ．c>x B ．x>c C ． c>b D ．b>c4．矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 的概率等于（ ） A ．14 B ．13 C ．12 D ．236万元时销售额为（ ）6．一束光线自点P （1，1，1）发出，遇到平面xoy 被反射，到达点Q （3，3，6）被吸收，那么光所走的路程是（ ）A B C D7．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，B 1C 1=A 1C 1，A C 1⊥A 1B ，M 、N 分别是A 1B 1，AB 的中点，给出如下三个结论：①C 1M ⊥平面ABB 1A 1；②A 1B ⊥AM ；③平面AMC 1∥平面CNB 1；其中正确结论的个数是( ) A ．0 B ．1 C ． 2 D ．38．空间四边形ABCD 中，AB 、BC 、CD 的中点分别是P 、Q 、R ，且PQ=2，QR=，PR=3，那么异面直线AC 与BD 所成的角是（ ）A ． 900B ． 600C ． 450D ．3009．在甲、乙等6个同学参加的一次演讲比赛活动中，每个同学的节目集中安排在一起。

盛同学校2012-2013学年上学期高二期末考试数学试题一、选择题（每小题2分，共36分，每小题只有一个正确答案）1、若命题“q p ∧”为假，且p ⌝为假，则（ ）A “q p ∨”为假B q 为假C p 为假D q 为真2．命题“存在02,>∈o x o R x ”的否定是（ ）A .不存在02,>∈o x o R xB .存在02,≥∈o x o R xC .对任意的02,≤∈x R xD .对任意的02,>∈x R x3.“9>k ”是“方程19422=-+-ky k x ”表示双曲线的（ ） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件C .既不充分也不必要条件D .充要条件4 .抛物线281x y -= 的焦点坐标是 ( ) A . ()4,0- B . ()2,0- C .⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,21 D .⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,321 5. 设()x x x f ln =，若()2='o x f ，则=o x （ ）A .2eB .eC .22lnD .2ln 6.双曲线1222=-x y 的渐近线方程为（ ） A .x y 2±= B .x y 2±= C . x y 22±= D . x y 21±= 7.函数()343x x x f -=，[]1,0∈x 的最大值是（ ）A .21 B.-1 C .0 D .1 8．函数x e x f x ln )(=在点))1(,1(f 处的切线方程是（ ）A .)1(2-=x e yB .1-=ex yC .)1(-=x e yD .e x y -=9．已知两点)0,1(1-F 、)0,1(2F ，且21F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是( ）A .191622=+y xB .1121622=+y xC ．13422=+y xD ．14322=+y x 10．椭圆1244922=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点21,F F 的连线互相垂直，则21F PF ∆的面积为（ ）A .20B .22C .24D .2511.若抛物线22y px =的焦点与双曲线222=-y x 的右焦点重合，则p 的值为（ ）A ．2-B .2C .4-D .412.如图是导函数()x f y '=的图像，在标记的点（ ）处 ，函数()x f y =有极大值.A 2x B .3x C .5x D .4x二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）13. 曲线34=-y x x 在点（－1，－3）处的切线方程是________．14．已知△ABC 的三个内角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．15．设等比数列{}n a 的公比12q =，前n 项和为n S ，则44S a =________． 16．已知0,0,2a b a b >>+=，则14a b+的最小值是________．三、解答题：(本大题共4小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本题满分12分)双曲线与椭圆2212736x y+=有相同焦点，且经过点4)，求其方程．18．(本题满分12分)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：415315x ty t⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(t为参数)，若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρcos(θ+4π)，求直线l被曲线C所截的弦长．19．(本题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m的值．20．(本题满分12分)(文)已知函数f(x)=x2(x-a)．(1)若f(x)在(2，3)上单调，求实数a的取值范围；(2)若f(x)在(2，3)上不单调，求实数a的取值范围．(理)(本题满分12分)如图，四棱锥P—ABCD的底面是矩形，P A⊥面ABCD，P A=219，AB=8，BC=6，点E是PC的中点，F在AD上且AF：FD=1：2．建立适当坐标系．(1)求EF的长；(2)证明：EF⊥PC．数学答案一、选择题1-12 DBADB DCBBA CA二、填空题（共16分）题号13 14 15 16答案y=x-2 315 9 2三、解答题：(本大题共4小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本题满分12分)解：椭圆2213627y x+=的焦点为(0，±3)，c=3，………………………3分设双曲线方程为222219y xa a-=-，…………………………………6分∵过点(15， 4)，则22161519a a -=-，……………………………9分 得a 2=4或36，而a 2<9，∴a 2=4，………………………………11分双曲线方程为22145y x -=．………………………………………12分 18．(本题满分12分) 解：将方程415315x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(t 为参数)化为普通方程得，3x +4y +1=0，………3分将方程ρ=2cos(θ+4π)化为普通方程得，x 2+y 2-x +y =0， ……………6分 它表示圆心为(12，-12)，半径为22的圆， …………………………9分 则圆心到直线的距离d =110， …………………………………………10分 弦长为222117221005r d -=-=． …………………………………12分 20．(文)(本题满分12分)解：由f (x )=x 3-ax 2得f ′(x )=3x 2-2ax =3x (x -23a )．…………3分 (1)若f (x )在(2，3)上单调，则23a ≤0，或0<23a ≤2，解得：a ≤3．…………6分 ∴实数a 的取值范围是(-∞，3]．…………8分(2)若f (x )在(4，6)上不单调，则有4<23a <6，解得：6<a <9．…………11分 ∴实数a 的取值范围是(6，9)．…………12分20． (理)(本题满分12分)解：(1)以A 为原点，AB u u u r ，AD u u u r ，AP u u u r 分别为x ，y ，z 轴建立直角坐标系，…………2分由条件知：AF =2，………… 3分∴F (0，2，0)，P (0，0，219)，C (8，6，0)．…4分从而E (4，3，19)，∴EF =222(40)(32)(190)-+-+-=6．…………6分(2)证明：EF u u u r =(-4，-1，-19)，PC uuu r =(8，6，-219)，…………8分∵EF PC ⋅u u u r u u u r =-4×8+(-1)×6+(-19)×(-219)=0，…………10分∴EF ⊥PC ．…………12分。

河南省郑州市2011-2012学年⾼⼆下学期期末考试⽂科数学试题及答案解析河南省郑州市2011-2012学年下期期末考试⾼⼆数学（⽂科）P K2k0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828第I卷（选择题，共60 分）⼀、选择题（本⼤题共12个⼩题，每⼩题5分，共60分。

在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的。

在第5，9，11，12题中，只选做⼀题，两题都选做时，按4—1给分。

）_ 21.在复平⾯内，复数z 2 i对应的点在（）C.第三象限D.第四象限）B.匀速直线运动的物体时间与位移的关系2.回归直线⽅程? bx a，其中bn nX i x y i y xw nx yi 1i 1n n22-2x x X i nxi 1i 1a y bx3. K22n ad beabed a e e d，其中n abed为样本容量A.第⼀象限B.第⼆象限2.下列两个量之间的关系是相关关系的是（A.学⽣的成绩和体重演绎推理出错在（）A.⼤前提B.⼩前提4.在下⾯的图⽰中，是结构图的是（C.推理过程D.没有出错L>.D.路上疲劳驾驶的⼈数和交通事故发⽣的多少5. (4— 1)在 ABC 中，DE||BC , DE 将 ABC 分成⾯积相等的两部分，那么DE :BCb m bB.a m a4ac2B.假设b4ac 0 4ac 02D.假设b4ac中，若 ACBC , AC b , BC a ，则 ABC 的外接圆半径r0”时，下列假设正确的是( )8.在 ABC 2C ?假设b 2A.假设b将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四⾯体 3 3A.1:2 B. 1 :3(4— 5) 已知 a,b,c,d 都是正数， S a b c( )A.0 S16. 复数z1 i ，则复数z -z(A.1 2iB. 1 2i7. ⽤反证法证明命题： “若实系数- 元— ⼀次⽅程C. 1： 2D. 1:1b cd则有 d ac da b d a > ⼋」1 4b cC. 1 S2D.以上都不对 )C. 2 iD. 2 i2axbx c 0 a 0有实数根，那么b 2 4acS ABC 中，若 SA 、SB 、SC 两两互相垂直，SA a, SB b,SC c ，则四⾯体SABC 的外接球半径A. Vb 2c 2, 33C .-a b cD. 3 abc9. ( 4 — 1)等腰直⾓ EF BC ,若2 A. a5aABABC 中， BC a ，贝U 1 -a 2B. AD 是直⾓边 EF 等于( BC 上的中线, )1C. a 3 BE AD ，交 2D. a 3 贝U 下列不等式中，恒成⽴的是(AC 于 E ， A. ( )根据上表可得回归⽅程 ? bx a 中的b约等于9，据此模型预告⼴告费⽤为7万元时，销售2 ()B 为6x 215 6 O Lx | x 6 4 3 7 A. 2:1 C. 3 的解集 D. 、6 2y 2额约为（）第II 卷（⾮选择题，共90分）13.若复数2 i x 3 i 是纯虚数，则实数 x 的值为e 2.718281828459…的⼩数点后的第n 位数字，例如 C. 75.5万元 D. 76.0万元、填空题（本⼤题共 4⼩题，每⼩题5分，共20分，在第14题中选做⼀题，若都做，按 4— 1判分) 14. (4 — 1)圆内接四边形 ABCD 中，cosA cosB cosC cosD16.若函数 fn k , 其中 nN , k 是f 3 8，则 f f f f 4 (共 2012 个 f )= A. 73.5万元 B. 74.5万元 11. （4 — 1）已知PA 是圆0的切线，切点为 A , PA 径，PC 与O O 交于点B , PB 1，则O O 的半径R A. 1 (4 — 5 ）已知 f x f x D. 2A. 1 D. 4（4— 5）设实数x, y 满⾜3x 2A. 11 C. 6 AC 是O O 的直a ,若不等式，则实数a 的值为（）B. 2C. 3B. 1:1C. 1:2D.以上结论都不对 a 1 （4— 5）已知不等式 x y4对任意正实数 x,y 恒x y 成⽴，则正实数a 的最⼩值为 15.定义某种运算，S a b 的运算原理如右图，则式⼦ F= bX三、解答题(本⼤题共6⼩题，共70分，解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤)xv 517.(本⼤题满分10分)设复数z x yi x,y R，且，求z的共轭1 i 1 2i 1 3i复数z。

高二（上）期末测试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.函数：的单调递增区间是 f(x)=3+xlnx ()A. B. C. D. (0,1e ).(e,+∞)(1e ,+∞)(1e ,e)【答案】C【解析】解：由函数得：，f(x)=3+xlnx f(x)=lnx +1令即，根据得到此对数函数为增函数，f'(x)=lnx +1>0lnx >‒1=ln 1e e >1所以得到，即为函数的单调递增区间．x >1e 故选：C ．求出的导函数，令导函数大于0列出关于x 的不等式，求出不等式的解集即可得到x 的范围即为函数的单f(x)调递增区间．本题主要考查学生会利用导函数的正负得到函数的单调区间，同时考查了导数的计算，是一道基础题．2.函数的图象在点处的切线方程为 f(x)=lnx ‒2x x (1,‒2)()A. B. C. D. 2x ‒y ‒4=02x +y =0x ‒y ‒3=0x +y +1=0【答案】C【解析】解：由函数知，f(x)=lnx ‒2x x f'(x)=1‒lnxx 2把代入得到切线的斜率，x =1k =1则切线方程为：，y +2=x ‒1即．x ‒y ‒3=0故选：C ．求出曲线的导函数，把代入即可得到切线的斜率，然后根据和斜率写出切线的方程即可．x =1(1,2)本题考查学生会利用导数求曲线上过某点的切线方程，考查计算能力，注意正确求导．3.已知，，，则向量与的夹角为 A(2,‒5,1)B(2,‒2,4)C(1,‒4,1)⃗AB ⃗AC ()A. B. C. D. 30∘45∘60∘90∘【答案】C 【解析】解：因为，，，A(2,‒5,1)B(2,‒2,4)C(1,‒4,1)所以，⃗AB =(0,3,3),⃗AC = (‒1,1,0)所以，并且，，⃗AB ⋅⃗AC═0×(‒1)+3×1+3×0=3|⃗AB |=32|⃗AC |=2所以，，cos <⃗AB ⃗AC >=⃗AB ⋅⃗AC |⃗AB ||⃗AC |=332×2=12的夹角为∴⃗AB 与⃗AC 60∘故选：C ．由题意可得：，进而得到与，，再由，可得答⃗AB=(0,3,3),⃗AC = (‒1,1,0)⃗AB ⋅⃗AC |⃗AB ||⃗AC |cos <⃗AB ⃗AC >=⃗AB ⋅⃗AC |⃗AB ||⃗AC |案．解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题4.已知椭圆的左焦点为，则 x 225+y 2m 2=1(m >0)F 1(‒4,0)m =()A. 2B. 3C. 4D. 9【答案】B【解析】解：椭圆的左焦点为，∵x 225+y 2m 2=1(m >0)F 1(‒4,0)，∴25‒m 2=16，∵m >0，∴m =3故选：B ．利用椭圆的左焦点为，可得，即可求出m ．x 225+y 2m 2=1(m >0)F 1(‒4,0)25‒m 2=16本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础．5.等于 ∫10(e x +2x)dx ()A. 1B. C. e D. e ‒1e +1【答案】C 【解析】解：，∵(e x +x 2)'=e x +2x ，∴∫10(e x +2x)dx ═(e x +x 2)|10=(e +1)‒(1+0)=e故选：C ．由，可得，即可得出．(e x +x 2)'=e x +2x ∫10(e x +2x)dx =(e x +2x)|10本题考查了微积分基本定理，属于基础题．6.若函数在处有极大值，则 f(x)=x(x ‒c )2x =3c =()A. 9B. 3C. 3或9D. 以上都不对【答案】A 【解析】解：函数的导数为f(x)=x(x ‒c )2f'(x)=(x ‒c )2+2x(x ‒c)，=(x ‒c)(3x ‒c)由在处有极大值，即有，f(x)x =3f'(3)=0解得或3，c =9若时，，解得或，c =9f'(x)=0x =9x =3由在处导数左正右负，取得极大值，f(x)x =3若，，可得或1c =3f'(x)=0x =3由在处导数左负右正，取得极小值．f(x)x =3综上可得．c =9故选：A ．由题意可得，解出c 的值之后必须验证是否符合函数在某一点取得极大值的充分条件．f'(3)=0本题考查导数的运用：求极值，主要考查求极值的方法，注意检验，属于中档题和易错题．7.函数的示意图是 y =e x (2x ‒1)()A. B.C. D.【答案】C【解析】解：由函数，y =e x (2x ‒1)当时，可得，排除A ；D x =0y =‒1当时，可得，时，．x =‒12y =0∴x <12y <0当x 从时，越来越大，递增，可得函数的值变大，排除B ；12→+∞y =e x y =2x ‒1y =e x (2x ‒1)故选：C ．带入特殊点即可选出答案本题考查了函数图象变换，是基础题．8.若AB 过椭圆 中心的弦，为椭圆的焦点，则面积的最大值为 x 225+y 216=1F 1△F 1AB ()A. 6B. 12C. 24D. 48【答案】B【解析】解：设A 的坐标则根据对称性得：，(x,y)B(‒x,‒y)则面积．△F 1AB S =12OF ×|2y|=c|y|当最大时，面积最大，∴|y|△F 1AB 由图知，当A 点在椭圆的顶点时，其面积最大，△F 1AB 则面积的最大值为：．△F 1AB cb =25‒16×4=12故选：B ．先设A 的坐标则根据对称性得：，再表示出面(x,y)B(‒x,‒y)△F 1AB积，由图知，当A 点在椭圆的顶点时，其面积最大，最后结合椭圆的标准方程即可求出面积△F 1AB △F 1AB 的最大值．本小题主要考查函数椭圆的标准方程、椭圆的简单性质、面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题．.9.设函数的极大值为1，则函数的极小值为 f(x)=13x 3‒x +m f(x)()A. B. C. D. 1‒13‒113【答案】A【解析】解：，∵f(x)=13x 3‒x +m ，∴f'(x)=x 2‒1令，解得，f'(x)=x 2‒1=0x =±1当或时，，x >1x <‒1f'(x)>0当时，；‒1<x <1f'(x)<0故在，上是增函数，在上是减函数；f(x)(‒∞,‒1)(1,+∞)(‒1,1)故在处有极大值，解得f(x)x =‒1f(‒1)=‒13+1+m =1m =13在处有极小值，f(x)x =1f(1)=13‒1+13=‒13故选：A ．求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．本题考查函数的极值问题，属基础知识的考查熟练掌握导数法求极值的方法步骤是解答的关键．.10.设抛物线的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值y 2=4x 范围是 ()A. B. C. D. [‒12,12][‒2,2][‒1,1][‒4,4]【答案】C【解析】解：，∵y 2=4x 为准线与x 轴的交点，设过Q 点的直线l 方程为．∴Q(‒1,0)(Q )y =k(x +1)与抛物线有公共点，∵l 方程组有解，可得有解．∴{y =k(x +1)y 2=4x k 2x 2+(2k 2‒4)x +k 2=0，即．∴△=(2k 2‒4)2‒4k 4≥0k 2≤1，∴‒1≤k ≤1故选：C ．根据抛物线方程求得Q 点坐标，设过Q 点的直线l 方程与抛物线方程联立消去y ，根据判别式大于等于0求得k 的范围．本题主要考查了抛物线的应用涉及直线与抛物线的关系，常需要把直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定.理或判别式解决问题．11.已知函数 x ，若在区间内恒成立，则实数a 的取值范围是 f(x)=ax ‒ln f(x)>1(1,+∞)()A. B. C. D. (‒∞,1)(‒∞,1](1,+∞)[1,+∞)【答案】D 【解析】解： x ，在内恒成立，∵f(x)=ax ‒ln f(x)>1(1,+∞)在内恒成立．∴a >1+lnx x (1,+∞)设，g(x)=1+lnx x 时，，∴x ∈(1,+∞)g'(x)=‒lnxx 2<0即在上是减少的，，g(x)(1,+∞)∴g(x)<g(1)=1，即a 的取值范围是．∴a ≥1[1,+∞)故选：D ．化简不等式，得到在内恒成立设，求出函数的导数，利用函数的单调性化简求a >1+lnx x (1,+∞).g(x)=1+lnx x 解即可．本题考查函数的导数的综合应用，考查转化思想以及计算能力．12.设双曲线的两条渐近线与直线分别交于A ，B 两点，F 为该双曲线的右焦点若x 2a 2‒y 2b 2=1x =a 2c .，则该双曲线的离心率的取值范围是 60∘<∠AFB <90∘()A. B. C. D. (1,2)(2,2)(1,2)(2,+∞)【答案】B【解析】解：双曲线的两条渐近线方程为，时，，x 2a 2‒y 2b 2=1y =±b a x x =a 2c y =±ab c ，，∴A(a 2c ,ab c )B(a 2c ,‒ab c )，∵60∘<∠AFB <90∘，∴33<k FB <1，∴33<ab c c ‒a 2c <1，∴33<a b <1，∴13<a 2c 2‒a 2<1，∴1<e 2‒1<3．∴2<e <2故选：B ．确定双曲线的两条渐近线方程，求得A ，B 的坐标，利用，可得，由x 2a 2‒y 2b 2=160∘<∠AFB <90∘33<k FB <1此可求双曲线的离心率的取值范围．本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，正确寻找几何量之间的关系是关键．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.双曲线的顶点到其渐近线的距离等于______．x 2‒y 2=1【答案】22【解析】解：双曲线的，x 2‒y 2=1a =b =1可得顶点为，(±1,0)渐近线方程为，y =±x 即有顶点到渐近线的距离为d =11+1=22故答案为：．22求得双曲线的，求得顶点坐标，渐近线方程，运用点到直线的距离公式计算即可得到所求值．a =b =1本题考查双曲线的顶点到渐近线的距离，注意运用点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．14.已知函数的导函数为，且满足，则______．f(x)f'(x)f(x)=3x 2+2xf'(2)f'(5)=【答案】6【解析】解：f'(x)=6x +2f'(2)令得x =2f'(2)=‒12∴f'(x)=6x ‒24∴f'(5)=30‒24=6故答案为：6将看出常数利用导数的运算法则求出，令求出代入，令求出．f'(2)f'(x)x =2f'(2)f'(x)x =5f'(5)本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求出导函数值．15.已知向量5，，1，，若平面ABC ，则x 的值是______．⃗AB=(1,‒2)⃗BC =(3,2)⃗DE =(x,‒3,6).DE//【答案】‒23【解析】解：平面ABC ，∵DE//存在事实m ，n ，使得，∴⃗DE =m ⃗AB +n ⃗BC ，解得．∴{x =m +3n ‒3=5m +n 6=‒2m +2n x =‒23故答案为：．‒23由平面ABC ，可得存在事实m ，n ，使得，利用平面向量基本定理即可得出．DE//⃗DE =m ⃗AB +n ⃗BC 本题考查了平面向量基本定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.已知抛物线C ：的焦点F ，，则曲线C 上的动点P 到点F 与点A 的距离之和的最小值为y 2=‒4x A(‒1,1)______．【答案】2【解析】解：抛物线方程为，∵y 2=‒4x ，可得焦点为，准线为∴2p =4F(‒1,0)x =1设P 在抛物线准线l 上的射影点为Q 点，A(‒1,1)则由抛物线的定义，可知当P 、Q 、A 点三点共线时，点P 到点的距离与P 到该抛物线焦点的距离之和(‒1,1)最小，最小值为．∴1+1=2故答案为：2．根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由抛物线的定义知：当P 、A 和P 在准线上的射影点Q 三点共线时，这个距离之和最小，即可得出结论．本题给出抛物线上的动点，求该点到定点Q 和焦点F 距离之和的最小值，着重考查了抛物线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数．f(x)=x 3+x ‒16求曲线在点处的切线的方程；(I)y =f(x)(2,‒6)Ⅱ直线L 为曲线的切线，且经过原点，求直线L 的方程及切点坐标．()y =f(x)【答案】解：函数的导数为，(I)f(x)=x 3+x ‒16f'(x)=3x 2+1可得曲线在点处的切线的斜率为，y =f(x)(2,‒6)3×4+1=13即有曲线在点处的切线的方程为，y =f(x)(2,‒6)y ‒(‒6)=13(x ‒2)即为；13x ‒y ‒32=0Ⅱ的导数为，()f(x)f'(x)=3x 2+1设切点为，可得切线的斜率为，(m,n)3m 2+1即有，3m 2+1=n m =m 3+m ‒16m 即为，2m 3+16=0解得，m =‒2，n =‒8‒2‒16=‒26可得直线L 的方程为及切点坐标为．y =13x (‒2,‒26)【解析】求出的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求切线的方程；(I)f(x)Ⅱ的导数为，设切点为，可得切线的斜率，运用两点的斜率公式，可得m 的方程，()f(x)f'(x)=3x 2+1(m,n)解方程可得m 的值，即可得到所求切线的方程和切点坐标．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，以及运算能力，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．S‒ABCD SD⊥18.如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，且SD=AD=2AB，E是SA的中点．(1)BED⊥求证：平面平面SAB；(2)()求平面BED与平面SBC所成二面角锐角的大小．(1)∵SD⊥SD⊂【答案】证明：底面ABCD，平面SAD，∴SAD⊥ABCD (2)平面平面分∵AB⊥AD SAD∩，平面平面ABCDAD，∴AB⊥平面SAD，DE⊂又平面SAD，∴DE⊥AB (4)，分∵SD=AD∴DE⊥SA，E是SA的中点，，∵AB∩SA=A DE⊥AB DE⊥SA，，，∴DE⊥平面SAB，∵DE⊂平面BED，∴BED⊥SAB (6)平面平面分(2)D‒xyz AD=2解：由题意知SD，AD，DC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设．则0，，0，，，，0，，0，，D(0,0)A(2,0)B(2,2,0)C(0,2,0)S(0,2)E(1,1)，，，分∴⃗DB=(2,2,0)⃗DE=(1,0,1)⃗CB=(2,0,0)⃗CS=(0,‒2,2)…(8)设是平面BED 的法向量，则，即，⃗m =(x 1,y 1,z 1){⃗m ⋅⃗DB =0⃗m ⋅⃗DE=0{2x 1+2y 1=0x 1+z 1=0令，则，x 1=‒1y 1=2,z 1=1是平面BED 的一个法向量．∴⃗m=(‒1,2,1)设是平面SBC 的法向量，则，即，⃗n=(x 2,y 2,z 2){⃗n ⋅⃗CB =0⃗n ⋅⃗CS=0{2x 2=0‒2y 2+2z 2=0解得，令，则，x 2=0y 2=2z 2=1是平面SBC 的一个法向量分∴⃗n=(0,2,1) (10)，∵cos〈⃗m ,⃗n>=⃗m ⋅⃗n|⃗m|⋅|⃗n|=323=32平面BED 与平面SBC所成锐二面角的大小为分∴π6 (12)【解析】证明平面平面SAB ，利用面面垂直的判定定理，证明平面SAB 即可；(1)BED ⊥DE ⊥建立空间直角坐标系，求出平面BED 与平面SBC 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面BED 与平(2)面SBC 所成二面角锐角的大小．()本题考查面面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确利用向量法，属于中档题．19.如图所示，斜率为1的直线过抛物线的焦点F ，与抛物线交y 2=2px(p >0)于A ，B 两点且，M 为抛物线弧AB 上的动点．|AB|=8求抛物线的方程；(1)求的最大值．(2)S △ABM 【答案】解　由条件知：，(1)l AB y =x ‒p2与联立，消去y ，得，y 2=2px x 2‒3px +14p 2=0则由抛物线定义得．x 1+x 2=3p.|AB|=x 1+x 2+p =4p 又因为，即，|AB|=8p =2则抛物线的方程为；y 2=4x 由知，且：，(2)(1)|AB|=4p l AB y =x ‒p2设与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为，y =x +m 代入抛物线方程，得．x 2+2(m ‒p)x +m 2=0由，得．△=4(m ‒p )2‒4m 2=0m =p 2与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为y =x +p2两直线间的距离为，d =22p故的最大值为．S △ABM 12×4p ×22p =2p 2=42【解析】根据题意，分析易得直线AB 的方程，将其与联立，得，由根与系数的(1)y 2=2px x 2‒3px +14p 2=0关系可得，结合抛物线的定义可得，解可得p 的值，即可得抛物线的x 1+x 2=3p |AB|=x 1+x 2+p =4p =8方程；设与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程为，代入抛物线方程，得，(2)y =x +m x 2+2(m ‒p)x +m 2=0进而可得与直线AB 平行且与抛物线相切的直线方程，计算可得两直线间的距离，由三角形面积公式计算即可得答案．本题考查直线与抛物线的位置关系，注意抛物线的焦点弦的性质，属于中档题20.函数在处取得极值．f(x)=ax +xlnx x =1Ⅰ求的单调区间；()f(x)Ⅱ若在定义域内有两个不同的零点，求实数m 的取值范围．()y =f(x)‒m ‒1【答案】解：Ⅰ，分( (1)，解得，当时，，分a =‒1a =‒1f(x)=‒x +xlnx (2)即，令0'/>，解得；分x >1 (3)令，解得；分0<x <1 (4)在处取得极小值，的增区间为，减区间为分∴f(x)x =1f(x)(1,+∞)(0,1)…(6)Ⅱ在内有两个不同的零点，()y =f(x)‒m ‒1(0,+∞)可转化为在内有两个不同的根，f(x)=m +1(0,+∞)也可转化为与图象上有两个不同的交点，分y =f(x)y =m +1...(7)由Ⅰ知，在上单调递减，在上单调递增，()f(x)(0,1)(1,+∞)，分f(x )min =f(1)=‒1 (8)由题意得，即分m +1>‒1m >‒2①…(10)当时，；0<x <1f(x)=x(‒1+lnx)<0当且时，；x >0x→0f(x)→0当时，显然或者举例：当，；x→+∞f(x)→+∞(x =e 2f(e 2)=e 2>0)由图象可知，，即分m +1<0m <‒1②...(11)由可得分①②‒2<m <‒1 (12)【解析】Ⅰ求出函数的导数，计算，求出a 的值，从而求出函数的单调区间即可；()f'(1)Ⅱ问题转化为在内有两个不同的根，结合函数的图象求出m 的范围即可．()f(x)=m +1(0,+∞)本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及数形结合思想、转化思想，是一道中档题．21.已知椭圆，已知定点，若直线与椭圆交于C 、D 两点问：是否存在x 23+y 2=1E(‒1,0)y =kx +2(k ≠0).k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点？请说明理由．【答案】解：假若存在这样的k 值，由得．{y =kx +2x 2+3y 2‒3=0(1+3k 2)x 2+12kx +9=0 ∴△=(12k )2‒36(1+3k 2)>0.①设、，则C(x 1,y 1)D(x 2,y 2){x 1+x 2=‒12k1+3k 2x 1⋅x 2=91+3k 2②而．y 1⋅y 2=(kx 1+2)(kx 2+2)=k 2x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4要使以CD 为直径的圆过点，当且仅当时，则，即E(‒1,0)CE ⊥DE y 1x 1+1⋅y 2x2+1=‒1．y 1y 2+(x 1+1)(x 2+1)=0 ∴(k 2+1)x 1x 2+2(k +1)(x 1+x 2)+5=0.③将式代入整理解得经验证，，使成立．②③k =76.k =76①综上可知，存在，使得以CD 为直径的圆过点E ．k =76【解析】把直线的方程与椭圆的方程联立，转化为关于x 的一元二次方程，得到根与系数的关系，假设以CD为直径的圆过E 点，则，将它们联立消去，即可得出k 的值．CE ⊥DE x 1x 2本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．22.设函数．f(x)=x ‒ae x ‒1求函数的单调区间；(1)f(x)若对恒成立，求实数a 的取值范围．(2)f(x)≤0x ∈R 【答案】解：(1)f'(x)=1‒ae x ‒1当时，，在R 上是增函数；a ≤0f'(x)>0f(x)当时，令得a >0f'(x)=0x =1‒lna 若，则，从而在区间上是增函数；x <1‒lna f'(x)>0f(x)(‒∞,1‒lna)若，则，从而在区间上是减函数．x >1‒lna f'(x)<0f(x)(1‒lna,+∞由可知：当时，不恒成立，(2)(1)a ≤0f(x)≤0又当时，在点处取最大值，a >0f(x)x =1‒lna 且，f(1‒lna)=1‒lna ‒ae‒lna=‒lna 令得，‒lna <0a ≥1故若对恒成立，则a 的取值范围是．f(x)≤0x ∈R [1,+∞)【解析】对函数求导，使得导函数大于0，求出自变量的取值范围，针对于a 的值小于进行讨论，得到函(1)数的单调区间．这是一个恒成立问题，根据上一问做出的结果，知道当时，不恒成立，又当时，在(2)a ≤0f(x)≤0a >0f(x)点处取最大值，求出a 的范围．x =1‒lna 本题考查求函数的单调区间和解决函数恒成立的问题，解题时注意函数的单调性是解决最值的必经途径，注意数字的运算．。

河南省郑州市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知命题p：∃x＜0，x2＞0，那么￢p是（）A．∀x≥0，x2≤0B．∃x≥0，x2≤0C．∀x＜0，x2≤0D．∃x≥0，x2≤02．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a3=0，则公差d等于（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣23．（5分）设a，b∈R，则a＞b是（a﹣b）b2＞0的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知抛物线y2=mx的焦点坐标为（2，0），则m的值为（）A．B．2 C．4 D．85．（5分）已知=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，⊥，则x+y的值是（）A．﹣3或1 B．3或﹣1 C．﹣3 D．16．（5分）如图所示，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A，B间距离的是（）A．α，a，b B．α，β，a C．a，b，γD．α，β，b7．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．238．（5分）若△ABC 的三个内角A、B、C满足6sinA=4sinB=3sinC，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形9．（5分）已知点（2，1）和（﹣1，3）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．﹣4＜a＜9 B．﹣9＜a＜4 C．a＜﹣4或a＞9 D．a＜﹣9或a＞410．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（﹣5，0）和C（5，0），顶点B在双曲线﹣=1，则的值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为，则2a7+a11的最小值为（）A．16 B．8 C．D．412．（5分）已知m、n、s、t为正数，m+n=2，=9其中m、n是常数，且s+t最小值是，满足条件的点（m，n）是椭圆=1一弦的中点，则此弦所在的直线方程为（）A．x﹣2y+1=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．2x+y﹣3=0 D．x+2y﹣3=0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣10x+9=0的两个根，则S6=．14．（5分）设x，y均为正数，且+=，则xy的最小值为．15．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c、，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC 则b=．16．（5分）若直线y=k（x+1）（k＞0）与抛物线y2=4x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线的准线上的射影分别是M，N，若|BN|=2|AM|，则k的值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立．命题q：抛物线y2=4ax 的焦点在（1，0）的左侧，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．18．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=2csinB（1）求角C的大小；（2）若c2=（a﹣b）2+6，求△ABC的面积．19．（12分）为了防止洪水泛滥，保障人民生命财产安全，今年冬天，某水利工程队计划在黄河边选择一块矩形农田，挖土以加固河堤，为了不影响农民收入，挖土后的农田改造成面积为40000m2的矩形鱼塘，其四周都留有宽3m的路面，问所选的农田的长和宽各为多少时，才能使占有农田的面积最小．20．（12分）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13 （Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．21．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动（1）证明：A1D⊥平面D1EC1；（2）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．22．（12分）已知圆C：x2+y2=3的半径等于椭圆E：+=1（a＞b＞0）的短半轴长，椭圆E的右焦点F在圆C内，且到直线l：y=x﹣的距离为﹣，点M是直线l与圆C的公共点，设直线l交椭圆E于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求证：|AF|﹣|BF|=|BM|﹣|AM|．河南省郑州市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知命题p：∃x＜0，x2＞0，那么￢p是（）A．∀x≥0，x2≤0B．∃x≥0，x2≤0C．∀x＜0，x2≤0D．∃x≥0，x2≤0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：将存在量词改写为全称量词，再否定结论，从而得到答案．解答：解：已知命题p：∃x＜0，x2＞0，那么￢p是：∀x＜0，x2≤0，故选：C．点评：本题考查了命题的否定，将命题的否定和否命题区分开，本题属于基础题．2．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a3=0，则公差d等于（）A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意结合等差数列的性质和求和公式可得a2的值，进而可得公差d．解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a3=0，∴S3=a1+a2+a3=3a2=6，∴a2=2，∴公差d=a3﹣a2=0﹣2=﹣2故选：D点评：本题考查等差数列的求和公式和通项公式，属基础题．3．（5分）设a，b∈R，则a＞b是（a﹣b）b2＞0的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：结合不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：当a＞b，b=0时，不等式（a﹣b）b2＞0不成立．若（a﹣b）b2＞0，则b≠0，且a﹣b＞0，∴a＞b成立．即a＞b是（a﹣b）b2＞0的必要不充分条件．故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的性质是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）已知抛物线y2=mx的焦点坐标为（2，0），则m的值为（）A．B．2 C．4 D．8考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由抛物线y2=2px的焦点坐标为（，0），结合条件可得=2，即可求得m的值．解答：解：由抛物线y2=2px的焦点坐标为（，0），又抛物线y2=mx的焦点坐标为（2，0），即有=2，解得m=8．故选：D．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查抛物线的焦点，属于基础题．5．（5分）已知=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，⊥，则x+y的值是（）A．﹣3或1 B．3或﹣1 C．﹣3 D．1考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；空间向量及应用．分析：运用向量的模的公式，可得x，再由向量垂直的条件：数量积为0，可得y，进而得到x+y的值．解答：解：由=（2，4，x），||=6，则=6，解得x=±4，又=（2，y，2），且⊥，则=0，即有4+4y+2x=0，即y=﹣．当x=4时，y=﹣3，有x+y=1；当x=﹣4时，y=1，有x+y=﹣3．故选A．点评：本题考查空间向量的数量积的性质，考查向量的模的公式，考查向量垂直的条件，考查运算能力，属于基础题．6．（5分）如图所示，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A，B间距离的是（）A．α，a，b B．α，β，a C．a，b，γD．α，β，b考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：给定α，a，b，由正弦定理，β不唯一确定，故不能确定A，B间距离．解答：解：给定α，a，b，由正弦定理，β不唯一确定，故不能确定A，B间距离．故选：A．点评：本题考查解三角形的实际应用，考查学生的计算能力，比较基础．7．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为（）A．6 B．7 C．8 D．23考点：简单线性规划的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件．画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最小值．解答：解：画出不等式．表示的可行域，如图，让目标函数表示直线在可行域上平移，知在点B自目标函数取到最小值，解方程组得（2，1），所以z min=4+3=7，故选B．点评：用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．8．（5分）若△ABC 的三个内角A、B、C满足6sinA=4sinB=3sinC，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形考点：三角形的形状判断．专题：计算题；解三角形．分析：根据题意，结合正弦定理可得a：b：c=4：6：8，再由余弦定理算出最大角C的余弦等于﹣，从而得到△ABC是钝角三角形，得到本题答案．解答：解：∵角A、B、C满足6sinA=4sinB=3sinC，∴根据正弦定理，得6a=4b=3c，整理得a：b：c=4：6：8设a=4x，b=6x，c=8x，由余弦定理得：cosC===﹣∵C是三角形内角，得C∈（0，π），∴由cosC=﹣＜0，得C为钝角因此，△ABC是钝角三角形故选：C点评：本题给出三角形个角正弦的比值，判断三角形的形状，着重考查了利用正、余弦定理解三角形的知识，属于基础题．9．（5分）已知点（2，1）和（﹣1，3）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．﹣4＜a＜9 B．﹣9＜a＜4 C．a＜﹣4或a＞9 D．a＜﹣9或a＞4考点：直线的斜率．专题：直线与圆．分析：由点（2，1）和（﹣1，3）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，把两点的坐标代入3x﹣2y+a 所得的值异号，由此列不等式求得a的范围．解答：解：∵点（2，1）和（﹣1，3）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，∴（3×2﹣2×1+a）（﹣1×3﹣2×3+a）＜0，即（a+4）（a﹣9）＜0．解得﹣4＜a＜9．故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了二元一次不等式所表示的平面区域，是基础题．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（﹣5，0）和C（5，0），顶点B在双曲线﹣=1，则的值为（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据双曲线的定义，以及正弦定理，即可得到结论．解答：解：∵在双曲线﹣=1，∴a=4，b=3，c=5，即A，C是双曲线的两个焦点，∵顶点B在双曲线﹣=1，∴|BA﹣BC|=2a=8，AC=10，则由正弦定理得=，故选：C．点评：本题主要考查双曲线的定义的应用，利用正弦定理将条件转化是解决本题的关键．11．（5分）已知各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为，则2a7+a11的最小值为（）A．16 B．8 C．D．4考点：等比数列的通项公式．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为，知a4•a14=（2）2=8，故a7•a11=8，利用均值不等式能够求出2a7+a11的最小值．解答：解：∵各项为正的等比数列{a n}中，a4与a14的等比中项为，∴a4•a14=（2）2=8，∴a7•a11=8，∵a7＞0，a11＞0，∴2a 7+a11≥2=2=8．故选B．点评：本题考查等比数列的通项公式的应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答．12．（5分）已知m、n、s、t为正数，m+n=2，=9其中m、n是常数，且s+t最小值是，满足条件的点（m，n）是椭圆=1一弦的中点，则此弦所在的直线方程为（）A．x﹣2y+1=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．2x+y﹣3=0 D．x+2y﹣3=0考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：由题设知（）（s+t）=n+m+≥=，满足时取最小值，由此得到m=n=1．设以（1，1）为中点的弦交椭圆=1于A（x1，y1），B（x2，y2），由中点从坐标公式知x1+x2=2，y1+y2=2，把A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入x2+2y2=4，得，①﹣②，得2（x1﹣x2）+4（y1﹣y2）=0，k=，由此能求出此弦所在的直线方程．解答：解：∵sm、n、s、t为正数，m+n=2，=9，s+t最小值是，∴（）（s+t）的最小值为4∴（）（s+t）=n+m+≥=，满足时取最小值，此时最小值为=2+2=4，得：mn=1，又：m+n=2，所以，m=n=1．设以（1，1）为中点的弦交椭圆=1于A（x1，y1），B（x2，y2），由中点从坐标公式知x1+x2=2，y1+y2=2，把A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入x2+2y2=4，得，①﹣②，得2（x1﹣x2）+4（y1﹣y2）=0，∴k=，∴此弦所在的直线方程为，即x+2y﹣3=0．故选D．点评：本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，注意均值不等式和点差法的合理运用．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知等比数列{a n}是递增数列，S n是{a n}的前n项和．若a1，a3是方程x2﹣10x+9=0的两个根，则S6=364．考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：通过解方程求出等比数列{a n}的首项和第三项，然后求出公比，直接利用等比数列前n项和公式求前6项和．解答：解：解方程x2﹣10x+9=0，得x1=1，x2=9．∵数列{a n}是递增数列，且a1，a3是方程x2﹣10x+9=0的两个根，∴a1=1，a3=9．设等比数列{a n}的公比为q，则q2=9，所以q=3．∴S6==364．故答案为：364．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，属于基础题．14．（5分）设x，y均为正数，且+=，则xy的最小值为9．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由已知式子变形可得xy=x+y+3，由基本不等式可得xy≥2+3，解关于的一元二次不等式可得．解答：解：∵x，y均为正数，且+=，∴=，整理可得xy=x+y+3，由基本不等式可得xy≥2+3，整理可得（）2﹣2﹣3≥0，解得≥3，或≤﹣1（舍去）∴xy≥9，当且仅当x=y时取等号，故答案为：9点评：本题考查基本不等式和不等式的解法，属基础题．15．（5分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c、，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC 则b=4．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：利用余弦定理、正弦定理化简sinAcosC=3cosAsinC，结合a2﹣c2=2b，即可求b的值．解答：解：∵sinAcosC=3cosAsinC，∴∴2c2=2a2﹣b2∵a2﹣c2=2b，∴b2=4b∵b≠0∴b=4故答案为：4点评：本题考查余弦定理、正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．16．（5分）若直线y=k（x+1）（k＞0）与抛物线y2=4x相交于A，B两点，且A，B两点在抛物线的准线上的射影分别是M，N，若|BN|=2|AM|，则k的值是．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：直线y=k（x+1）（k＞0）恒过定点P（﹣1，0），由此推导出|OA|=|BF|，由此能求出点A的坐标，从而能求出k的值．解答：解：设抛物线C：y2=4x的准线为l：x=﹣1直线y=k（x+1）（k＞0）恒过定点P（﹣1，0），过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|BN|=2|AM|，则|BF|=2|AF|，∴点A为BP的中点．连接OA，则|OA|=|BF|，∴|OA|=|AF|，∴点A的横坐标为，∴点A的坐标为（，），把（，）代入直线l：y=k（x+1）（k＞0），解得k=．故答案为：．点评：本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意等价转化思想的合理运用．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立．命题q：抛物线y2=4ax 的焦点在（1，0）的左侧，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：分别求出关于p，q的a的范围，通过讨论p真q假，p假q真，从而得到a的范围．解答：解：设g（x）=x2+2ax+4，由于关于x的不等式x2+2ax+4＞0，对一切x∈R恒成立，∴△=4a2﹣16＜0，∴﹣2＜a＜2，又抛物线y2=4ax的焦点在（1，0）的左侧，∴a＜1，a≠0，又∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴p和q一真一假，若p真q假，则1≤a＜2，或a=0，若p假q真，则a≤﹣2，综上，a的范围是：1≤a＜2或a≤﹣2或a=0．点评：本题考查了复合命题的真假，考查了不等式以及抛物线的性质，是一道基础题．18．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=2csinB（1）求角C的大小；（2）若c2=（a﹣b）2+6，求△ABC的面积．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0求出sinC的值，由C为锐角求出C的度数即可；（2）利用余弦定理列出关系式，把cosC的值代入并利用完全平方公式变形，结合已知等式求出ab的值，再由sinC的值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．解答：解：（1）由正弦定理==，及b=2csinB，得：sinB=2sinCsinB，∵sinB≠0，∴sinC=，∵C为锐角，∴C=60°；（2）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a﹣b）2+ab，∵c2=（a﹣b）2+6，∴ab=6，则S△ABC=absinC=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．19．（12分）为了防止洪水泛滥，保障人民生命财产安全，今年冬天，某水利工程队计划在黄河边选择一块矩形农田，挖土以加固河堤，为了不影响农民收入，挖土后的农田改造成面积为40000m2的矩形鱼塘，其四周都留有宽3m的路面，问所选的农田的长和宽各为多少时，才能使占有农田的面积最小．考点：不等式的实际应用．专题：应用题；不等式的解法及应用．分析：设矩形鱼塘长为am，宽为bm，面积ab=40000m2，由所选农田的长为（a+6）m，宽为（b+6）m，农田面积（a+6）•（b+6）=40036+6（a+b）（m2），由此利用均值不等式能求出农田的长为206米，宽为206米时，才能使占有农田的面积最小．解答：解：设矩形鱼塘长为am，宽为bm，面积ab=40000m2，由所选农田的长为（a+6）m，宽为（b+6）m，农田面积（a+6）•（b+6）=40036+6（a+b）（m2），由不等式a+b≥2，知当且仅当a=b时，a+b最小，即农田面积最小，∵ab=40000 所以a=b=200m．所以农田的长为206米，宽为206米时，才能使占有农田的面积最小．点评：本题考查函数在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．20．（12分）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13 （Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．考点：等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d和q，进而可得{a n}、{b n}的通项公式．（Ⅱ）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n项和S n．解答：解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0且解得d=2，q=2．所以a n=1+（n﹣1）d=2n﹣1，b n=q n﹣1=2n﹣1．（Ⅱ），，①S n=，②①﹣②得S n=1+2（++…+）﹣，则===．点评：本题主要考查等差数列的通项公式和用错位相减法求和．21．（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动（1）证明：A1D⊥平面D1EC1；（2）AE等于何值时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．考点：直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间向量及应用．分析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0）．（1）利用数量积只要判断A1D⊥D1E，A1D⊥D1C1，（2）设平面D1EC的法向量=（a，b，c），利用法向量的特点求出x．解答：证明（1）：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0）．=（﹣1，0，﹣1），=（1，x，﹣1），=（0，2，0），所以=0，=0，所以A1D⊥D1E，A1D⊥D1C1，所以A1D⊥平面D1EC1；解：（2）设平面D1EC的法向量=（a，b，c），∴=（1，x﹣2，0），=（0，2，﹣1），=（0，0，1）．由．所以令b=1，∴c=2，a=2﹣x．∴=（2﹣x，1，2）．依题意，cos==⇒．解得x1=2+（舍去），x1=2﹣所以AE=2﹣时，二面角D1﹣EC﹣D的大小为．点评：本题考查了利用空间直角坐标系，判断线面垂直以及求解二面角，注意法向量的求法是解题的关键，考查计算能力．22．（12分）已知圆C：x2+y2=3的半径等于椭圆E：+=1（a＞b＞0）的短半轴长，椭圆E的右焦点F在圆C内，且到直线l：y=x﹣的距离为﹣，点M是直线l与圆C的公共点，设直线l交椭圆E于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求证：|AF|﹣|BF|=|BM|﹣|AM|．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）设点F（c，0）（c＞0），由已知条件得，圆C的半径等于椭圆E的短半轴长，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）由圆心O到直线l的距离为，得，由已知条件推导出|AF|+|AM|=2，|BF|+|BM|=2，由此能证明|AF|﹣|BF|=|BM|﹣|AM|．解答：（Ⅰ）解：设点F（c，0）（c＞0），则F到直线l的距离为，即，…（2分）因为F在圆C内，所以，故c=1；…（4分）因为圆C的半径等于椭圆E的短半轴长，所以b2=3，椭圆方程为．…（6分）（Ⅱ）证明：因为圆心O到直线l的距离为，所以直线l与圆C相切，M是切点，故△AOM为直角三角形，所以，又，得，…（7分），又，得，…（9分）所以|AF|+|AM|=2，同理可得|BF|+|BM|=2，…（11分）所以|AF|+|AM|=|BF|+|BM|，即|AF|﹣|BF|=|BM|﹣|AM|．…（12分）点评：本题考查椭圆方程的求法，考查两组线段差相等的证明，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用。

河南省郑州市2011-2012学年下期期末试题高二数学（理科）第I 卷（选择题，共60分）一．选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．用反证法证明“若△ABC 的三边c b a ,,的倒数成等差数列，则2π<B ”时，“假设”应为A ．2π<BB ．2π>BC ．2π≤BD ．2π≥B2．已知随机变量)2,(~μξN ，且21)1(=≥ξP ，则实数μ的值为A ．1B ．21 C ．0D ．23．已知i 是虚数单位，则复数ii-+11的共轭复数的虚部是A ．1B ．1-C ．iD ．i -4．在回归模型中，预报变量的值与下列哪些因素有关A ．受解释变量的影响与随机误差无关B ．受随机误差的影响与解释变量无关C ．与总偏差平方和有关与残差无关D ．与解释变量和随机误差的总效应有关 5．已知离散型随机变量X 的分布列如右表，则 常数=qA ．221+B ．221-C ．221±D ．22 6．“因为对数函数x y a log =在),0(+∞上是增函数（大前提），而x y 21log =是对数函数（小前提），所以x y 21log =在),0(+∞上是增函数（结论）”，上面推理错误是A ．大前提错误导致结论错B ．小前提错误导致结论错C ．推理形式错误导致结论错D ．大前提和小前提错误都导致结论错7．已知y x ,的取值如下表，从所得的散点图分析，y 与x 线性相关，且a x y +=∧95.0，则=aA ．2.5B ．2.6C ．2.7D ．2.88．利用数学归纳法证明不等式*),2()(12141312111N n n n f n ∈≥<++++++- 的过程中，由k n =变到1+=k n 时，左边增加了A ．1项B ．k 项C ．12-k 项D ．k 2项9．2010年11月1日开始，我国开始了第6次全国人口普查，据统计，育龄妇女生男生女是等可能的，如果某个家庭共有两个孩子，有一个是女孩，则这时另一个孩子是男孩的概率是A ．31B ．21 C ．32 D ．43 10．2011年11月11日这一天被称为“百年一遇的光棍节”，因为这一天中有6个“1”，如果把“20111111”中的8个数字顺序任意排列，可以组成的八位数共有A ．49个B ．36个C ．28个D ．24个11．已知数列 ,41,32,23,14,31,22,13,21,12,11，依它的前10项的规律，这个数列的第2012项2012a 满足A ．10102012<<a B ．11012012<≤a C ．1012012≤≤a D ．102012>a12．已知函数)1(-x f 是偶函数，且1-<x 时，0)('>x f 恒成立，又0)2(=f ，则0)2()1(<++x f x 的解集为A ．),4()2,(+∞--∞B ．)4,0()1,6( --C ．),0()1,6(+∞--D ．),4()6,(+∞--∞第II 卷（非选择题，共90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．已知i 是虚数单位，则=++++201232i i i i ．14．定积分⎰-=-1121dx x ．15．已知函数2)()(c x x x f -=在2=x 处有极大值，则=c ．16．下述数阵称为“森德拉姆筛”，其特点是每行每列都是等差数列，则表中数字2012共出现 次．三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本小题满分10分）某教授为了研究数学成绩与物理成绩是否有关，对郑州市某中学高二（1）班66名学生的期末考试数学成绩与物理成绩的统计如右表，根据以上数据，该教授能否得出：有85%的把握认为数学成绩与物理成绩有关？参考数据：参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=．18．（本小题满分12分）已知数列}{n a 的第1项11=a ，且),3,2,1(11 =+=+n a a a nnn ． （I ）求432,,a a a 的值，猜想数列}{n a 的通项公式； （II ）请证明你的猜想．19．（本小题满分12分）已知⎰=2cos πxdx a ，二项式n xax )2(2+的展开式的各项系数和为243．（I ）求该二项展开式的二项式系数和； （II ）求该二项展开式中4x 项的系数．20．（本小题满分12分）第30届奥运会将于2012年7月27日在伦敦举行，射击运动员们正在积极备战，若某运动员在1次射击中成绩为10环的概率为31，该运动员在4次射击中成绩为10环的次数为ξ．（I ）求在4次射击中恰有2次射击成绩为10环的概率； （II ）求在4次射击中至少有3次射击成绩为10环的概率； （III ）求随机变量ξ的数学期望ξE （结果用分数表示）．分数21．（本小题满分12分）某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取60名 学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组[75，80)，第2组[80，85)， 第3组[85，90)，第4组[90，95)，第5组[95，100]，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上（含85分）的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格． （I ）求出第4组的频率，并补全频率分布直方图；（II ）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好”的学生中选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？（III ）若该校决定在第4，5组中随机抽取2名学生接受考官A 的面试，第5组中有ξ名学生被考官A 面试，求ξ的分布列．22．（本小题满分12分）已知函数x b x f ln )(=，),()(2R b a x ax x g ∈-=． （I ）若曲线)(x f 与)(x g 在公共点)0,1(A 处有相同的切线，求实数a 、b 的值； （II ）当1=b 时，若曲线)(x f 与)(x g 在公共点P 处有相同的切线，求证：点P 唯一； （III ）若0>a ，1=b ，且曲线)(x f 与)(x g 总存在公切线，求正实数a 的最小值．2011—2012学年度下期期末考试 高中二年级 理科数学 参考答案一、选择题13.0； 14.2π； 15.6； 16.2. 三、解答题17. 解：根据列联表中的数据，得到()()()()()()221326012654 2.316 2.072.666611418n ad bc k a b c d a c b d -⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯ ……8分因此，可以认为有85℅的把握认为数学成绩与物理成绩有关. ……10分 18. 解：（Ⅰ）由11,a =且1(1,2,3,)1nn na a n a +==⋅⋅⋅+，得 234111,,.234a a a ===猜想1(1,2,3,).n a n n==⋅⋅⋅ ……6分（Ⅱ）因为11,a =且1(1,2,3,)1n n naa n a +==⋅⋅⋅+，所以11111n n n n a a a a ++==+，即1111n na a +-=， 因此1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项，1为公差的等差数列，故()111,n n n a =+-=即1(1,2,3,).n a n n==⋅⋅⋅ ……12分 19. 解：（Ⅰ）因为220cos sin sinsin 01,2a xdx xπππ===-=⎰ ……2分所以二项式22na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即212nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的各项系数和为243，532433,n == 5.n = ……4分该二项展开式的二项式系数和5232.= ……6分（Ⅱ）5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项是()()5251031551220,1,2,3,4,5.rrr r r rr T C xC xr x ---+⎛⎫=== ⎪⎝⎭……8分 根据题意，得1034, 2.r r -== ……10分 因此，该二项展开式中4x 项的系数是2525280.C -= ……12分20．解：由题意知，随机变量ξ服从二项分布，即1(4,).3B ξ ……2分（Ⅰ）在4次射击中恰有2次射击成绩为10环的概率为()222411148216.339927P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……4分（Ⅱ）记“在4次射击中至少有3次射击成绩为10环”为事件A ,则()()()()34344411113341.3339P A =P P P C C ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥==+==⨯⨯-+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…8分（Ⅲ）因为1(4,),3B ξ 所以144.33E ξ=⨯= ……12分21. 解：（Ⅰ）其它组的频率为 （0.01+0.07+0.06+0.02）×5=0.8， 所以第四组的频率为0.2， 频率分布图如图：……3分（Ⅱ）依题意优秀与良好的人数比为3:2，所以采用分层抽样的方法抽取的5人中有优秀3人，良好2人，记从这5人中选2人至少有1人是优秀为事件A222519()1()11.1010C P A P A C ∴=-=-=-= …………6分（Ⅲ）由频率分布直方图可知，第四组的人数为12人，第五组的人数为6人ξ的所有可能取值为0,1,2.21221822(0)51C P C ξ===，1112621824(1)51C C P C ξ===，262185(2).51C P C ξ=== ………10分 ξ∴的分布列为:.………………12分22. 解：（Ⅰ）()xbx f ='，()12-='ax x g ． ∵曲线()x f 与()x g 在公共点()0,1A 处有相同的切线，∴ ()()1ln10,110,2 1.f bg a b a ==⎧⎪=-=⎨⎪=-⎩， 解得，1,1.a b =⎧⎨=⎩ …………………3分（Ⅱ）设()00,P x y ，则由题设有020ln x ax x -=， … ① 又在点P 有共同的切线，∴()()000020011''212x f x g x ax a x x +=⇒=-⇒=代入①得 .2121ln 00x x -=. …5分 设()x x x h 2121ln +-=，则()()1102h x x x '=+>，∴()x h 在()+∞,0上单调递增，所以 ()h x ＝0最多只有1个实根， 从而，结合（Ⅰ）可知，满足题设的点P 只能是()1,0P . …………………7分（Ⅲ）当0>a ，1=b 时，()x x f ln =，()xx f 1='， 曲线()x f 在点()t t ln ，处的切线方程为()t x t t y -=-1ln ，即1ln 1-+=t x ty ． 由21ln 1,,y x t ty ax x ⎧=+-⎪⎨⎪=-⎩得 01ln 112=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-t x t ax ． ∵ 曲线()x f 与()x g 总存在公切线，∴ 关于t ()0>t 的方程()01ln 4112=-+⎪⎭⎫⎝⎛+=∆t a t ，即()t a t ln 14112-=⎪⎭⎫⎝⎛+ ()*总有解． ………………9分 若e t >，则0ln 1<-t ，而0112>⎪⎭⎫⎝⎛+t ，显然()*不成立，所以 e t <<0．………………10分从而，方程()*可化为 ()()t t t a ln 11422-+=．令()()()t t t t h ln 1122-+=()e t <<0， 则()()()()23ln 11ln 21t t t t t t h --++='．∴ 当10<<t 时，()0<'t h ；当e t <<1时，()0>'t h ，即 ()t h 在()1,0上单调递减，在()e ,1上单调递增．∴()t h 在()e ,0的最小值为()41=h ， 所以，要使方程()*有解，只须44≥a ，即1≥a ．所以正实数a 的最小值为1. …………………12分。

麻城博达学校2011-2012学年度上学期高二同步测试(17)数学试题(理科)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1、(辽宁卷理科6)执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的P 是 A 8 B. 5 C. 3 D. 22、(广东卷理科7)已知随机变量X 服从正态分布N(3.1)，且(24)P X ≤≤=0.6826， 则p(X>4)=( )A 0.1588 B. 0.1587 C. 0.1586 D.0.15853、(湖北理数4)投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A,“骰子向上的点数是3”为事件B,则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是 A512 B. 12 C. 712 D. 344、(福建卷理科4)如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的 中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于A ．14B ．13C ．12D ．235、(辽宁卷理科5)从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到的2个数均为偶数”，则P (B ︱A )= A ．18 B ．14 C ．25 D ．126、(广东卷理6)甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A 12 B.35 C.23 D.347、(湖北卷理科7)如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连成一个系统.当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为A 0.960B.0.864C.0.720D.0.5768、(新课标8)512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A -40 B. -20 C. 20 D.409、某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为 A 7 B. 15 C. 25 D.3510、(山东理数)(8)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 A 36种B. 42种C. 48种D.54种11、连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量()m n ，a =与向量(11)=-，b 的夹角为θ，则0θπ⎛⎤∈ ⎥2⎝⎦，的概率是( )A512B12C712D5612、(江西理数11)一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。

2011—2012学年度上学期期末考试高中二年级 理科数学 参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案B C D D A A B C C B D A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 3； 14.33<<-a ； 15.2±； 16.53. 三、解答题17.（本题10分）解：（1）由等差数列通项公式d n a a n )1(1-+=及54=a ，59-=a ，得1135,85,a d a d +=ìí+=-î ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 解得111,2.a d =ìí=-î ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 数列{n a }的通项公式为n a n 213-=. ．．．．．．．．．．．．．．6分(2)由(1) 知21122)1(n n d n n na S n -=-+=．．．．．．．．．．．．．．．8分 因为36)6(2+--=n S n ，所以6=n 时，n S 取得最大值36. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 18.（本题12分） 解 (1) 3b ＝2a sin B ，由正弦定理知，3sin B ＝2sin A sin B . ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ∵B 是三角形的内角，∴sin B >0，从而有sin A ＝32， ．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ∴A ＝60°或120°，∵A 是锐角，∴A ＝60°． .．．．．．6分(2) ∵3＝12bc sin π3， ∴bc ＝40， ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分又72＝b 2＋c 2－2bc cos π3， ．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ∴b 2＋c 2＝89. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19. （本题12分）解: 命题p 为真时:,0215>>-m m 即: 50<<m ；．．．．．．．2分 命题q 为真时，.231649,22330m m m +<<Þ<<>ìïíïî ．．．．．．．．．．．．．．．5分 由p q Ú为真，p q Ù为假可知: p,q 一真一假.．．．．．．．．．6分①p 真q 假时，05,02;1623m m m m <<Þ<£³£ìïíïî或．．．．．．．．．．．．．8分② p 假q 真时，50,165.16323mm m m ³£ìïÞ£<í<<ïî或．．．．．．．．10分综上所述: 20£<m 或3165<£m . ．．．．．．．．．．．12分20. （本题12分）解：（1）当2=k 时，不等式即023)(2>++=x x x f ，解得1x >- 或-2x <．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 则不等式的解集为{}12->-<x x x 或．．．．．．．．．．．．．．5分（2）0,0>>x k Q ，2()1(1)11(1)1f x x k x k k x k k x x x ++++++\==+++³++121+++=k k ． ．．．．．．．．．．．．．．．．8分 因为不等式81)(>+x x f 恒成立．8121>+++\k k 即可．．．．．10分 由0)21)(41(>-+++k k ， 得)41(,21舍去-<+>+k k ．3>\k ． ．．．．．．12分21. （本题12分）解（1）以A 为原点，直线AB 、AD 、AA 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，且x DF =，则)0,1,0(),0,0,1(),000()1,0,0(1D B A A ，，，，11(1,0,1),(0,1,1),B D1(1,,0),(,1,0)2E F x ．111(1,,1),(1,0,1),(,1,0),2D E AB AF x \=--==uuuu r uuur uuu r ．．．．．．．．．．．．．．2分由D AB D F AB E D ^^Û^11111且面， 则00111=×=×AF E D AB E D 与， 解得21=x . ．．．．．．．．．．．．．．5分 所以当点F 是CD 的中点时，F AB E D 11平面^． ．．．．．．．．．．．．6分（2）当F AB E D 11平面^时，F 是CD 的中点，)0,1,21(F ， 平面AEF 的一个法向量为)1,0,0(=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分而在平面C 1EF 中，)0,21,21(),1,21,0(1-==EF EC ， 所以平面C 1EF 的一个法向量为(2,2,1).n =-r ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 1cos ,.3m n m n m n×\<>==-u r r u r r u r r ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22. （本题12分）解：（1）由椭圆C 的离心率,2e =得22=a c ，其中22b a c -=，椭圆C 的左、右焦点分别为)0,(),0,(21c F c F -，又点F 2在线段PF 1的中垂线上， 222221)2()3()2(|,|||c c PF F F -+=\=\， 解得,1,2,122===b a c ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 .1222=+\y x 椭圆的方程为 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）由题意直线和椭圆联立得，221,2,x y y kx m ì+=ïíï=+î消去.0224)12(,222=-+++m kmx x k y 得 设),,(),,(2211y x N y x M则)12(2)22)(12(4)4(422222,1+-+-±-=k m k km km x ，．．．．．．．．．．6分 ,1222,1242221221+-=+-=+k m x x k km x x 且1,1221122-+=-+=x m kx k x m kx k N F M F ． ．．．．．．．．．．．．．．．．． 8分 由已知p b a =+， 得.011,0221122=-++-+=+x m kx x m kx k k N F M F 即 化简，得m x x k m x kx 2))((22121-+-+＝0，0212)(412222222=-+--+-×\m k k m km k m k ，整理得.2k m -= ．．．．．．．．．．．．10分 \ 直线MN 的方程为)2(-=x k y ，因此直线MN 过定点，该定点的坐标为（2，0）．．．．．．．．．．12分。