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ACM竞赛中的数学方法初步(二)1. 引言ACM竞赛中的数学方法是竞赛中必不可少的一部分。
在竞赛中，数学方法可以帮助选手快速解决问题，提高竞赛成绩。
本文将介绍一些ACM竞赛中常用的数学方法。
2. 组合数学组合数学是ACM竞赛中最常用的数学方法之一。
组合数学包括排列组合、二项式定理、卡特兰数等。
在竞赛中，选手可以通过组合数学来求解排列组合问题，计算概率等。
例如，求解一个n个元素的集合中，取出m个元素的所有组合数，可以使用组合数公式C(n,m)=n!/m!(n-m)!来计算。
3. 数论数论是ACM竞赛中另一个重要的数学方法。
数论包括质数、最大公约数、最小公倍数、欧拉函数等。
在竞赛中，选手可以使用数论来解决一些特殊的问题，例如求解最大公约数、最小公倍数等。
例如，求解两个数a和b的最大公约数，可以使用辗转相除法来计算。
4. 矩阵矩阵是ACM竞赛中常用的数学工具。
在竞赛中，选手可以使用矩阵来解决一些复杂的问题，例如线性方程组、矩阵乘法等。
例如，求解一个n阶线性方程组Ax=b，可以使用矩阵的逆来计算。
5. 微积分微积分是ACM竞赛中较为高级的数学方法。
在竞赛中，选手可以使用微积分来解决一些复杂的问题，例如极值、最优化等。
例如，求解一个函数的最大值或最小值，可以使用微积分的极值定理来计算。
6. 几何几何是ACM竞赛中常用的数学方法之一。
在竞赛中，选手可以使用几何来解决一些几何问题，例如计算面积、周长等。
例如，求解一个三角形的面积，可以使用海伦公式来计算。
7. 结论ACM竞赛中的数学方法是竞赛中必不可少的一部分。
在竞赛中，选手可以使用组合数学、数论、矩阵、微积分、几何等数学方法来解决问题。
选手需要熟练掌握这些数学方法，才能在竞赛中取得好成绩。
目录1.河内之塔 .............................................................................................................. 错误!未定义书签。
Gossip: 费式数列 ................................................................................................. 错误!未定义书签。
3.巴斯卡三角形 .................................................. 错误!未定义书签。
Gossip: 三色棋.................................................. 错误!未定义书签。
Gossip: 老鼠走迷官（一）........................................ 错误!未定义书签。
Gossip: 老鼠走迷官（二）........................................ 错误!未定义书签。
Gossip: 骑士走棋盘.............................................. 错误!未定义书签。
Gossip: 八皇后.................................................. 错误!未定义书签。
Gossip: 八枚银币................................................ 错误!未定义书签。
Gossip: 生命游戏................................................ 错误!未定义书签。
Gossip: 字串核对................................................ 错误!未定义书签。
ACM竞赛中的数学方法初步(一)ACM竞赛是一个从数字、数据结构到计算机原理的广泛内容的竞赛，也是一个需要创造性思维、快速计算和应用数学知识的竞赛。
数学概念和算法在ACM竞赛中起着重要的作用。
以下是一些ACM竞赛中基本的数学方法。
1.组合：组合即是从给定的数或对象中选择出若干个数或者对象并成一组的所有方案的总数，组合数常表示为C(n,m)。
在ACM竞赛中，组合数有很多应用，如背包问题、统计问题等。
2.排列：排列是指从n个不同的元素当中选取m个不同的元素进行排列，则有n!/(n-m)!种排列；如果选取的元素不相同，则每一个排列都是不同的，称为有序排列；反之，如果选取的元素相同，则每一个排列的不同之处只在于元素的排列顺序不同，称为无序排列。
3.数学运算：在ACM中，基本的数学运算有加减乘除，还包括取余操作（%），取模操作（mod）等。
如果这些操作未能掌握，通常需要进行一些练习，理解其计算过程。
4.递推公式：递推公式也称为递归公式。
在ACM竞赛中，很多算法都运用了递推公式，如斐波那契数列、卡特兰数等。
因此，了解这些递推公式的通项表达式和递推表达式有助于学习和掌握这些算法。
5.数论：数论是研究整数和整数间相互关系的一门数学学科。
在ACM竞赛中，数论经常出现在解决一些经典问题，如质数判定、最大公约数、最小公倍数等。
掌握数论知识可以帮助选手快速解决这些问题。
综上所述，ACM竞赛中的数学方法多种多样，从组合到数论，但所有的方法都是为了解决计算机科学中的问题。
因此，在考试之前，希望选手们能够了解这些基本的数学方法，不断提升自己的解题能力并勇攀高峰。
ACM基础算法入门教程ACM（ACM International Collegiate Programming Contest）是国际大学生程序设计竞赛的缩写，被认为是计算机领域最有权威和最具挑战性的竞赛之一、ACM竞赛要求参赛者在规定的时间内，根据给出的问题，编写出能在规定时间内运行并给出正确答案的程序。
参加ACM竞赛不仅可以锻炼算法思维，提高编程实力，还可以拓宽知识领域和增加竞争力。
在这个ACM基础算法入门教程中，我们将介绍一些常用的基础算法和数据结构，帮助初学者更好地理解和掌握ACM竞赛所需的算法知识。
一、排序算法排序算法是ACM竞赛中最常用的算法之一，能够帮助我们按照一定的规则将数据进行排序，从而解决一些需要有序数据的问题。
1.冒泡排序：通过多次比较和交换来实现，每次迭代将最大的值沉到最底部。
2.快速排序：选择一个基准元素将数组分为两部分，一部分都小于基准元素，一部分都大于基准元素，递归排序子数组。
3.归并排序：将数组不断二分，将相邻两个子数组排序后再合并成一个有序数组。
4.插入排序：从第二个元素开始，依次将元素插入已排序的子数组中。
二、查找算法查找算法可以帮助我们在一组数据中找到目标元素，从而解决一些需要查找特定数据的问题。
1.顺序查找：逐个扫描数据，直到找到目标元素或扫描结束为止。
2.二分查找：对已排序的数组进行查找，不断将数组二分直到找到目标元素的位置。
3.哈希查找：通过计算数据的哈希值找到对应的存储位置，实现快速查找。
三、字符串匹配算法字符串匹配算法可以帮助我们在一组字符串中寻找特定模式的子字符串，从而解决一些需要在字符串中查找其中一种规律的问题。
1.暴力匹配算法：对目标字符串的每个位置，逐个将模式串进行匹配，直到找到或匹配结束为止。
2.KMP算法：通过已匹配的部分信息，尽量减少字符比较的次数。
3. Boyer-Moore算法：通过预先计算模式串中每个字符最后出现位置的表格，以及坏字符规则和好后缀规则，来实现快速匹配。
数论初步：一，整除与因式分解：1,算术基本定理：n =al A rl*a2A r2*a3A r3 ........2,求素数:(试除法，筛选法)：素数测试费马小定理:若p为素数，则对于任意小于P 的正整数a,有a(p-l)=l(mod p)证明:用欧拉定理直接得出二次探测定理:若p为素数,a2=l(mod p)小于p的正整数解只有1和p・l满足费马小定理和二次探测定理的数可以确定是素数Miller-Rabin 算法算法步骤：判定n是否为素数令n-l=m*2j,m为奇数随机在2到(n-1)之间取一个整数b令v=bm,之后每次对v平方，当v=l时，若上一次的v既不是1也不是(n-1),由二次探测定理,n不是素数,退出；不断循环直到计算出b(n-l)v=l,满足费马小定理，通过测试;否则n 一定不是素数选取儿个不同的b多次测试Miller-Rabin只能算一种测试，因为通过测试的数不一定是素数，非素数通过测试的概率是1/4虽然一次测试的结果不一定令人满意,但五六次随机测试基木可以保证正确率超过99.9%For (int i = 2; i < n ;i++){For (int j = 2,flay = 1; j < sqrt (n); j++)If (I %j == 0){PrintfCi不是素数”)；flay = 0;)PrintfCI 是素数”);}3,int m = sqrt (n+0.5);int c = 0;memset (vis,0,sizeof (vis));for (int i = 2; i < = m; i++) if (!vis[i])prime[c++] = i;for (int j = i*i; j <= n; j+= i) vis[j] = 1;)4,int isprime[N];int ent;int isok (int x){fbr(int i = 0; i < ent && isprime[ij * isprime[ij <= x; i++)if (x % isprime[ij == 0) return 0;return 1;}void getpri me (){isprime[0] = 2;isprime[l] = 3;ent = 2;fbr (int i = 5; i < maxn; i++)if (isok ⑴)isprime[cnt++] = i;}5,因式分解：int Factor (int num){int m = 0;for (int i = 0; i < ent && isprime[i]*isprime[i] <= num; i++) ( if (num%isprime[i] == 0){arr[++m] = isprime[i];r[m] = 0;while (num % isprime[i] == 0 && num){r[m]++;nuin/= isprime[i];if (num > 1)arr[++m] = num;r[m] = 1;return m;)6,求约数：void dfs (int now.int q,int mjnt a,int b){if (flay) return ;if (q > a) return ;if (now == m+1){q就是约数return ;}for (int i = 0,t = l;i <= r[now] ;i++,t*=arr[now]){dfs (now+l,q*t,m,a,b);})例题分析：Fzu 上的题:(www.acm.fzu・edu・cn)求一个数的真因子个数(不包括本身)。
ACM常用算法1）递推求解：首先，确认：能否容易的得到简单情况的解；然后，假设：规模为N-1的情况已经得到解决；最后，重点分析：当规模扩大到N时，如何枚举出所有的情况，并且要确保对于每一种子情况都能用已经得到的数据解决。
例题1在一个平面上有一个圆和n条直线，这些直线中每一条在圆内同其他直线相交，假设没有3条直线相交于一点，试问这些直线将圆分成多少区域。
分析F(1)=2;F(n) = F(n-1)+n;化简后为F(n) = n(n+1)/2 +1;例题2 平面上有n条折线，问这些折线最多能将平面分割成多少块?分析把折线当作两天直线相交然后再减去交集延伸部分。
F= 2n ( 2n + 1 ) / 2 + 1 - 2n;2）贪心算法：在对问题求解时，总是作出在当前看来是最好的选择。
也就是说，不从整体上加以考虑，它所作出的仅仅是在某种意义上的局部最优解（是否是全局最优，需要证明）。
贪心算法的基本步骤包括1、从问题的某个初始解出发。
2、采用循环语句，当可以向求解目标前进一步时，就根据局部最优策略，得到一个部分解，缩小问题的范围或规模。
3、将所有部分解综合起来，得到问题的最终解。
例题1已知N个事件的发生时刻和结束时刻（见下表，表中事件已按结束时刻升序排序）。
一些在时间上没有重叠的事件，可以构成一个事件序列，如事件{2，8，10}。
事件序列包含的事件数目，称为该事件序列的长度。
请编程找出一个最长的事件序列。
分析不妨用Begin[i]和End[i]表示事件i的开始时刻和结束时刻。
则原题的要求就是找一个最长的序列a1<a2<…<an，满足：Begin[a1]<End[a1]<=…<=Begin[an]<End[an]；可以证明，如果在可能的事件a1<a2<…<an中选取在时间上不重叠的最长序列，那么一定存在一个包含a1（结束最早）的最长序列。
