第八章二元一次方程组教案

人教版七年级数学下册8.1《二元一次方程组》教案一. 教材分析《二元一次方程组》是人教版七年级数学下册第八章的第一节内容，主要介绍了二元一次方程组的概念、解法和应用。

本节内容是学生继学习一元一次方程之后，进一步研究二元一次方程，培养学生解决实际问题的能力，为后续学习更复杂的方程组打下基础。

二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了一元一次方程的知识，具备了一定的数学思维能力和问题解决能力。

但七年级的学生在逻辑思维和抽象思维方面仍在发展过程中，因此，在教学过程中，需要教师引导学生逐步理解二元一次方程组的概念，并通过实际例子让学生感受方程组在解决实际问题中的作用。

三. 教学目标1.理解二元一次方程组的概念，掌握二元一次方程组的解法；2.能够运用二元一次方程组解决实际问题；3.培养学生的合作交流能力和抽象思维能力。

四. 教学重难点1.重点：二元一次方程组的概念，解法及应用；2.难点：二元一次方程组的解法，以及如何将实际问题转化为方程组问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、合作交流法、案例教学法等，引导学生主动探究，合作解决问题，提高学生的数学思维能力和实际问题解决能力。

六. 教学准备1.准备相关案例和练习题；2.准备课件和教学素材；3.准备小组讨论的安排。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何用数学方法解决问题，从而引入二元一次方程组的概念。

2.呈现（10分钟）呈现二元一次方程组的定义和性质，引导学生理解并能够描述二元一次方程组。

3.操练（10分钟）通过一些简单的例子，让学生练习解二元一次方程组，引导学生掌握解题方法。

4.巩固（10分钟）让学生分组讨论，分析并解决一些实际问题，巩固所学知识。

5.拓展（10分钟）引导学生思考如何将实际问题转化为方程组问题，提高学生的问题解决能力。

6.小结（5分钟）对本节课的主要内容进行总结，让学生明确学习目标。

7.家庭作业（5分钟）布置一些相关的练习题，巩固所学知识。

教 学 设 计课 题8.1 二元一次方程组二元一次方程组.. 课型 新授新授教学目标知识技能 1.认识二元一次方程和二元一次方程组认识二元一次方程和二元一次方程组..2.了解二元一次方程和二元一次方程组的解，会求二元一次方程的正整数解的正整数解. .数学思考 经历设两个未知数列方程的过程，体会二元方程与一元方程的区别，通过列举法探索方程组解的过程，体会二元方程有无数解以及每组解是一对值，感悟知识间的相互联系。

及每组解是一对值，感悟知识间的相互联系。

解决问题能把二元一次方程化为用一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式的形式 ，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解。

，会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解。

情感态度积极参与教学活动过程，形成自觉、认真的学习态度，积极参与教学活动过程，形成自觉、认真的学习态度，••培养敢于面对学习困难的精神。

面对学习困难的精神。

教学重点 二元一次方程（组）解的含义及检验一对数是否是某个二元一次方程（组）的解，用一个未知数表示另一个未知数。

解，用一个未知数表示另一个未知数。

教学难点 求二元一次方程的正整数解求二元一次方程的正整数解.. 教学方法 引导探究法引导探究法教学媒体 电脑多媒体电脑多媒体教 学 过 程教学环节 教学内容及教师指导 学生活动及设计意图创设情境 情境 提出问题 篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？数分别是多少？ 通过篮球比赛问题引起学生兴趣，为引出问题作好铺垫。

让学生感受数学与实际生活的联系联系 引导探究活动1 解决问题 思考：这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是x ，负的场数是y ，你能用方程把这些条件表示出来吗？由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件： 胜的场数＋负的场数＝总场数，胜场积分＋负场积分＝总积分积分＝总积分. .这两个条件可以用方程x ＋y ＝222x ＋y ＝40 表示表示..思考探究思考探究 讨论交流讨论交流 交流评价 活动2 定义认识 上面两个方程中，每个方程都含有两个未知数（x 和y ），并且未知数的指数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 把两个方程合在一起，写成把两个方程合在一起，写成x ＋y ＝22 2x ＋y ＝40 像这样，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.理解体会理解体会探究：满足方程①，且符合问题的实际意义的x 、y 的值有哪些？把它们填入表中有哪些？把它们填入表中. . X Y上表中哪对x 、y 的值还满足方程②的值还满足方程②一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.观察思考观察思考 完成填表完成填表 理解体会理解体会理解体会 尝试应用 活动3 知识运用例1 （1）方程（a ＋2）x +(b -1)y =3是二元一次方程，试求a 、b 的取值范围的取值范围..（2）方程x ∣a∣–1+(a -2)y =2是二元一次方程，试求a 的值的值. .例2 若方程x 2m –1+5y 3n–2=7是二元一次方程是二元一次方程..求m 、n 的值的值先独立想考，同伴交流然后小组讨论，汇报回答，师生共同评价答，师生共同评价变式迁移活动4 提升拓展 例3 已知下列三对值：已知下列三对值：x ＝－6 x ＝10x ＝10 y ＝－9 y ＝－6 y ＝－1 （1）哪几对数值使方程21x －y ＝6的左、右两边的值相等？相等？（2）哪几对数值是方程组）哪几对数值是方程组 的解？的解？例4 求二元一次方程3x ＋2y ＝19的正整数解整数解. . 教科书第94页练习页练习观察思考观察思考 举手回答举手回答 在教师的引导下边想考边回答考边回答小结升华 活动5 课堂小结 引导学生总结本节课主要内容．引导学生总结本节课主要内容．归纳总结归纳总结归纳总结 精选作业教科书第95页3、4、5题板书设计8.1 二元一次方程组二元一次方程组..二元一次方程：二元一次方程： 例1 例2 例3 例4 二元一次方程组：二元一次方程组： 解 解 解 解 二元一次方程的解：二元一次方程的解：二元一次方程组的解 教学反思21x －y ＝6 2x ＋31y ＝－11教 学 设 计课 题 8.2消元——二元一次方程的解法（1） 课型 新授新授教学目标 知识技能 掌握用代入消元法解二元一次方程组的基本步骤。

第八章二元一次方程组8.1 二元一次方程组 (1)8.2 消元-解二元一次方程组 (4)课时1 代入消元法 (4)课时2 加减消元法 (7)8.3 实际问题与二元一次方程组 (10)8.4 三元一次方程组的解法 (14)8.1 二元一次方程组【教学目标】【知识与技能】1. 能说出二元一次方程、二元一次方程组和它的解的概念，会检验所给的一组未知数的值是否二元一次方程、二元一次方程组的解．2. 让学生学会用数学思想解决实际问题．3. 体会实际问题中常会遇到的有关多个未知量间互相依赖、影响的问题，懂得二元一次方程组是反映现实世界多个量之间相等关系的一种有效的数学模型，能感受方程的作用．【过程与方法】经历由实际问题中抽象出二元一次方程组等有关概念的过程，让学生体会到方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.【情感态度与价值观】进一步培养学生的观察、类比、归纳能力，体验数学的严密性和深刻性.【教学重点】二元一次方程、二元一次方程组、二元一次方程组的解，以及检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解.【教学难点】弄清二元一次方程组的解的概念，对于一个二元一次方程，只要给出其中任一个未知数的取值，就必定能找到适合这个方程的另一个未知数的值，进一步理解二元一次方程有无数个解，以及二元一次方程组（未知数的个数与独立等量关系个数相等）有唯一确定的解.【新课导入】一、情境导入小红到邮局寄挂号信，需要邮费3元8角．小红有票额为6角和8角的邮票若干张，问各需要多少张这两种票额的邮票？这个问题中有几个未知数，能列一元一次方程求解吗？如果设需要票额为6角的邮票x 张，需要票额为8角的邮票y 张，你能列出方程吗？【教学过程】二、合作探究探究点一：二元一次方程及其解的定义【类型一】 利用二元一次方程的定义求参数的值已知|m －1|x |m |＋y 2n －1＝3是二元一次方程，则m ＋n ＝________．解析：根据二元一次方程满足的条件，即只含2个未知数，未知数的项的次数均为1的整式方程，即可求得m 、n 的值．根据题意得|m |＝1且|m －1|≠0，2n －1＝1，解得m ＝－1，n ＝1，所以m ＋n ＝0.故填0.方法总结：二元一次方程必须符合以下三个条件：(1)方程中只含有2个未知数；(2)含未知数的项的最高次数均为一次；(3)方程是整式方程．【类型二】 二元一次方程的解已知⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1是方程2x －ay ＝3的一个解，那么a 的值是( ) A ．1 B ．3 C ．－3 D ．－1解析：将⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1代入方程2x －ay ＝3，得2＋a ＝3，所以a ＝1.故选A. 方法总结：根据方程的解的定义知，将x ，y 的值代入方程中，方程左右两边相等，即可求解．探究点二：二元一次方程组及其解的定义【类型一】 识别二元一次方程组有下列方程组：①⎩⎨⎧xy ＝1，x ＋y ＝2；②⎩⎨⎧x －y ＝3，1x ＋y ＝1；③⎩⎨⎧2x ＋z ＝0，3x －y ＝15；④⎩⎨⎧x ＝5，x 2＋y 3＝7；⑤⎩⎨⎧x ＋π＝3，x －y ＝1，其中二元一次方程组有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：①方程组中第一个方程含未知数的项xy 的次数不是1；②方程组中第二个方程不是整式方程；③方程组中共有3个未知数．只有④⑤满足，其中⑤方程组中的π是常数．故选B.方法总结：识别一个方程组是否为二元一次方程组的方法：一看方程组中的方程是否都是整式方程；二看方程组中是不是只含两个未知数；三看含未知数的项的次数是不是都为1.【类型二】 利用二元一次方程组的解求参数的值甲、乙两人共同解方程组⎩⎨⎧ax ＋5y ＝15；①4x －by ＝－2.②由于甲看错了方程①中的a ，得到方程组的解为⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－1；乙看错了方程②中的b ，得到方程组的解为⎩⎨⎧x ＝5，y ＝4.试计算a 2014＋(－110b )2015的值． 解析：由方程组解的定义知：甲看错了方程①中的a 得到方程组的解为⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－1，说明⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－1是方程②的解；同样⎩⎨⎧x ＝5，y ＝4是方程①的解． 解：把⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－1代入②，得－12＋b ＝－2，所以b ＝10.把⎩⎨⎧x ＝5，y ＝4代入①，得5a ＋20＝15，所以a ＝－1.所以a 2014＋(－110b )2015＝(－1)2014＋(－110×10)2015＝1－1＝0.方法总结：利用方程组的解确定字母参数的方法是将方程组的解代入它适合的方程中，得到关于字母参数的新方程，从而求解．探究点三：列二元一次方程组小刘同学用10元钱购买了两种不同的贺卡共8张，单价分别是1元与2元．设他购买了1元的贺卡x 张，2元的贺卡y 张，那么可列方程组( ) A.⎩⎨⎧x ＋y 2＝10，x ＋y ＝8 B.⎩⎨⎧x 2＋y 10＝8，x ＋2y ＝10C.⎩⎨⎧x ＋y ＝10，x ＋2y ＝8D.⎩⎨⎧x ＋y ＝8，x ＋2y ＝10解析：根据题意可得到两个相等关系：(1)1元贺卡张数＋2元贺卡张数＝8(张)；(2)1元贺卡钱数＋2元贺卡钱数＝10(元)．设他购买了1元的贺卡x 张，2元的贺卡y 张，可列方程组为⎩⎨⎧x ＋y ＝8，x ＋2y ＝10.故选D. 方法总结：要判断哪个方程组符合题意，可从题目中找出两个相等关系，然后代入未知数，即可得到方程组，进而得到正确答案．【课堂小结】1.知识回顾.2.谈谈这节课你有哪些收获？【教学说明】教师应与学生一起进行交流，共同回顾本节知识，理清解题思路与方法，对普遍存在的疑虑，可共同探讨解决，对少数同学还面临的问题，可让学生与同伴交流获得结果，也可课后个别辅导，帮助他分析，找出问题原因，及时查漏补缺.【课后反思】通过自主探究和合作交流，建立二元一次方程的数学模型，学会逐步掌握基本的数学知识和方法，形成良好的数学思维习惯和应用意识，提高解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，增进学好数学的信心，增加对数学较全面的体验和理解8.2 消元-解二元一次方程组课时1 代入消元法【教学目标】【知识与技能】1、使学生学会用代人消元法解二元一次方程组；2、理解代人消元法的基本思想体现的化未知为已知的化归思想方法；3、逐步渗透矛盾转化的唯物主义思想．【过程与方法】经历由实际问题中抽象出二元一次方程组等有关概念的过程，让学生体会到方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型.【情感态度与价值观】进一步培养学生的观察、类比、归纳能力，体验数学的严密性和深刻性.【教学重点】代入消元法的基本思想.【教学难点】代入消元法的基本思想.【新课导入】一、情境导入《一千零一夜》中有这样一段文字：有一群鸽子，其中一部分在树上，另一部分在地上．树上的一只鸽子对地上的鸽子说：“若从你们中飞上来一只，则地上的鸽子为整个鸽群的三分之一；若从树上飞下去一只，则树上、地上的鸽子一样多．”你知道树上、地上各有多少只鸽子吗？我们可以设树上有x 只鸽子，地上有y 只鸽子，得到方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝3（y －1），x －1＝y ＋1.可是这个方程组怎么解呢？有几种解法？ 【教学过程】二、合作探究探究点：用代入法解二元一次方程组【类型一】 用代入法解二元一次方程组用代入法解下列方程组：(1)⎩⎨⎧2x ＋3y ＝－19，①x ＋5y ＝1；② (2)⎩⎨⎧2x －3y ＝1，①y ＋14＝x ＋23.②解析：对于方程组(1)，比较两个方程系数的特点可知应将方程②变形为x＝1－5y ，然后代入①求解；对于方程组(2)，应将方程组变形为⎩⎨⎧2x －3y ＝1，③4x －3y ＝－5，④观察③和④中未知数的系数，绝对值最小的是2，一般应选取方程③变形，得x ＝3y ＋12. 解：(1)由②，得x ＝1－5y .③把③代入①，得2(1－5y )＋3y ＝－19，2－10y ＋3y ＝－19，－7y ＝－21，y ＝3.把y ＝3代入③，得x ＝－14.所以原方程组的解是⎩⎨⎧x ＝－14，y ＝3；(2)将原方程组整理，得⎩⎨⎧2x －3y ＝1，③4x －3y ＝－5.④由③，得x ＝3y ＋12.⑤ 把⑤代入④，得2(3y ＋1)－3y ＝－5，3y ＝－7，y ＝－73. 把y ＝－73代入⑤，得x ＝－3. 所以原方程组的解是⎩⎨⎧x ＝－3，y ＝－73. 方法总结：用代入法解二元一次方程组，关键是观察方程组中未知数的系数的特点，尽可能选择变形后比较简单的或代入后容易消元的方程进行变形．【类型二】 整体代入法解二元一次方程组解方程组：⎩⎨⎧x ＋13＝2y ，①2（x ＋1）－y ＝11.②解析：把(x ＋1)看作一个整体代入求解．解：由①，得x ＋1＝6y .把x ＋1＝6y 代入②，得2×6y －y ＝11.解得y ＝1.把y ＝1代入①，得x ＋13＝2×1，x ＝5.所以原方程组的解为⎩⎨⎧x ＝5，y ＝1. 方法总结：当所给的方程组比较复杂时，应先化简，但若两方程中含有未知数的部分相等时，可把这一部分看作一个整体求解．【类型三】 已知方程组的解，用代入法求待定系数的值已知⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1是二元一次方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝7，ax －by ＝1的解，则a －b 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．3解析：把解代入原方程组得⎩⎨⎧2a ＋b ＝7，2a －b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，所以a －b ＝－1.故选B.方法总结：解这类题就是根据方程组解的定义求，将解代入方程组，得到关于字母系数的方程组，解方程组即可．【教学反思】回顾一元一次方程的解法，借此探索二元一次方程组的解法，使得学生的探究有很好的认知基础，探究显得十分自然流畅．引导学生充分思考和体验转化与化归思想，增强学生的观察归纳能力，提高学生的学习能力。