近5年高考数学理科试卷(全国卷1)分类汇编函数(解析版)(大题版)

专题01集合历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科01】已知集合M＝{|﹣4＜＜2}，N＝{|2﹣﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{|﹣4＜＜3} B．{|﹣4＜＜﹣2} C．{|﹣2＜＜2} D．{|2＜＜3}【解答】解：∵M＝{|﹣4＜＜2}，N＝{|2﹣﹣6＜0}＝{|﹣2＜＜3}，∴M∩N＝{|﹣2＜＜2}．故选：C．2．【2018年新课标1理科02】已知集合A＝{|2﹣﹣2＞0}，则∁R A＝（）A．{|﹣1＜＜2} B．{|﹣1≤≤2} C．{|＜﹣1}∪{|＞2} D．{|≤﹣1}∪{|≥2}【解答】解：集合A＝{|2﹣﹣2＞0}，可得A＝{|＜﹣1或＞2}，则：∁R A＝{|﹣1≤≤2}．故选：B．3．【2017年新课标1理科01】已知集合A＝{|＜1}，B＝{|3＜1}，则（）A．A∩B＝{|＜0} B．A∪B＝R C．A∪B＝{|＞1} D．A∩B＝∅【解答】解：∵集合A＝{|＜1}，B＝{|3＜1}＝{|＜0}，∴A∩B＝{|＜0}，故A正确，D错误；A∪B＝{|＜1}，故B和C都错误．故选：A．4．【2016年新课标1理科01】设集合A＝{|2﹣4+3＜0}，B＝{|2﹣3＞0}，则A∩B＝（）A．（﹣3，）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）【解答】解：∵集合A＝{|2﹣4+3＜0}＝（1，3），B＝{|2﹣3＞0}＝（，+∞），∴A∩B＝（，3），故选：D．5．【2014年新课标1理科01】已知集合A＝{|2﹣2﹣3≥0}，B＝{|﹣2≤＜2}，则A∩B＝（）A．[1，2）B．[﹣1，1] C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]【解答】解：由A中不等式变形得：（﹣3）（+1）≥0，解得：≥3或≤﹣1，即A＝（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B＝[﹣2，2），∴A∩B＝[﹣2，﹣1]．故选：D．6．【2013年新课标1理科01】已知集合A＝{|2﹣2＞0}，B＝{|}，则（）A．A∩B＝∅B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B【解答】解：∵集合A＝{|2﹣2＞0}＝{|＞2或＜0}，∴A∩B＝{|2＜或＜0}，A∪B＝R，故选：B．7．【2012年新课标1理科01】已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{（，y）|∈A，y∈A，﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3 B．6 C．8 D．10【解答】解：由题意，＝5时，y＝1，2，3，4，＝4时，y＝1，2，3，＝3时，y＝1，2，＝2时，y＝1综上知，B中的元素个数为10个故选：D．8．【2010年新课标1理科01】已知集合A＝{∈R|||≤2}}，，则A∩B＝（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}【解答】解：A＝{∈R|||≤2，}＝{∈R|﹣2≤≤2}，故A∩B＝{0，1，2}．应选D．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：集合关系及其运算，历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：交并补运算，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点交并补运算为重点较佳.最新高考模拟试题1．若集合{}5|2A x x =-<<，{}|||3B x x =<，则A B =I （ ） A ．{}|32x x -<< B ．{}|52x x -<< C ．{}|33x x -<< D ．{}|53x x -<<【答案】A 【解析】解：{}{}333||B x x x x =<=-<<， 则{}|32A B x x ⋂=-<<， 故选：A ．2．已知集合2{|560}A x x x =-+≤，{|15}B x Z x =∈<<，则A B =I （ ） A ．[2,3] B ．(1,5)C ．{}2,3D ．{2,3,4}【答案】C 【解析】2560(2)(3)023x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤Q ，{}23A x x ∴=≤≤， 又{}{|15}2,3,4B x Z x =∈<<=，所以{}2,3A B ⋂=，故本题选C.3．已知集合{3,2,1,0,1,2,3}A =---，{}2|450B x x x =∈--≤R ，则A B =I （ ） A ．{3,2,1,0}--- B ．{}1,0,1,2,3- C ．{}3,2-- D ．{}3,2,1,0,1,2,3---【答案】B 【解析】因为{}2|450B x x x =∈--≤R {|15}x x =-≤≤，{3,2,1,0,1,2,3}A =---∴{}1,0,1,2,3A B ⋂=-． 故选B ．4．已知全集U =R ，集合{}|24,{|(1)(3)0}xA xB x x x =>=--<，则()U A B =I ð（ ）A ．(1,2)B ．(]1,2 C ．(1,3) D ．(,2]-∞【答案】B 【解析】由24x >可得2x >， (1)(3)0x x --<可得13x <<，所以集合(2,),(1,3)A B =+∞=,(,2]U A =-∞ð，所以()U A B =I ð(]1,2，故选B. 5．已知集合{}(,)|1,A x y y x x R ==+∈，集合{}2(,)|,B x y y x x R ==∈，则集合A B ⋂的子集个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D 【解析】由题意得，直线1y x =+与抛物线2y x =有2个交点，故A B ⋂的子集有4个. 6．已知集合{}2log (1)2M x x =+＜，{1,0,1,2,3}N =-，则()R M N ⋂ð=（ ） A ．{-1，0，1，2，3} B ．{-1，0，1，2} C ．{-1，0，1} D ．{-1，3}【答案】D 【解析】由题意，集合{}2log (1)2{|13}M x x x x =+<=-<<，则{|1R M x x =≤-ð或3}x ≥ 又由{1,0,1,2,3}N =-，所以(){1,3}R M N ⋂=-ð，故选D.7．已知集合{}lg(1)A x y x ==-，{}1,0,1,2,3B =-，则()R A B I ð=( ) A ．{}1,0- B ．{}1,0,1-C ．{}1,2,3D ．{}2,3【答案】B 【解析】因为{}{}lg(1)1A x y x x x ==-=>，所以{}1R C A x x =≤， 又{}1,0,1,2,3B =-，所以{}()1,0,1R C A B =-I . 故选B8．已知R 是实数集，集合{}1,0,1A =-，{}210B x x =-≥，则()A B =R I ð（ ）A ．{}1,0-B ．{}1C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】1|2B x x 禳镲=?睚镲铪Q1|2R C B x x 禳镲\=<睚镲铪即(){1,0}R A C B ?-故选A 。

2011(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数） M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =,P 点的轨迹为曲线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB . 解：（I ）设P(x,y),则由条件知M(2,2YX ).由于M 点在C 1上，所以 ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=∂=sin 222,cos 22y x 即 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂+=∂=sin 44cos 4y x 从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=。

射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3πρ=， 射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin3πρ=。

所以21||||AB ρρ-== 201223．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x （ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ．正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A 、B 、C 、D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3,2(π．（Ⅰ）求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；（Ⅱ）设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围． 【解析】（1）点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ点,,,A B C D的直角坐标为(11,1)-- （2）设00(,)P x y ；则002cos ()3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数2222224440t PA PB PC PD x y =+++=++25620sin [56,76]ϕ=+∈（lfxlby ）2013（23）(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为45cos ,55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)将45cos ,55sin x t y t=+⎧⎨=+⎩消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C 1的极坐标方程为 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由2222810160,20x y x y x y y ⎧+--+=⎨+-=⎩ 解得1,1x y =⎧⎨=⎩或0,2.x y =⎧⎨=⎩所以C 1与C 2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭，π2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.201423. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. （I ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.【解析】.(Ⅰ) 曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的普通方程为：260x y +-= ………5分 （Ⅱ）（2）在曲线C 上任意取一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为3sin 6d θθ=+-，则()0||6sin 30d PA θα==+-，其中α为锐角．且4tan 3α=.当()sin 1θα+=-时，||PA当()sin 1θα+=时，||PA . …………10分 2015（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系O χγ中。

全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)全国卷历年高考函数与导数真题归类分析（含答案）（2015年-2018年共11套）函数与导数小题（共23小题）一、函数奇偶性与周期性1.（2015年1卷13）若函数$f(x)=x\ln(x+a+x^2)$为偶函数，则$a=$解析】由题知$y=\ln(x+a+x^2)$是奇函数，所以$\ln(x+a+x^2)+\ln(-x+a+x^2)=\ln(a+x-x)=\ln a$，解得$a=1$。

考点：函数的奇偶性。

2.（2018年2卷11）已知$$f(x)=\begin{cases}\frac{x+1}{x},x<0\\ax^2,x\geq0\end{cases}$$ 是定义域为$(-\infty,0)\cup[0,+\infty)$的奇函数，满足$f(\frac{1}{2})=1$。

若，$f'(-1)=-2$，则$a=$解：因为$f(x)$是奇函数，所以$f(-\frac{1}{2})=-1$，$f(0)=0$。

又因为$f'(-1)=-2$，所以$f'(-x)|_{x=1}=2$，$f'(0+)=0$，$f'(0-)=0$。

由此可得$$\begin{aligned}a&=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\\&=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{ax^2}{x}\\&=\lim\limits_{x\to0^+}ax\\&=\lim\limits_{x\to 0^-}ax\\&=-\frac{1}{2}\end{aligned}$$ 故选B。

3.（2016年2卷12）已知函数$f(x)(x\in R)$满足$f(-x)=2-f(x)$，若函数$y=\sum\limits_{i=1}^m(x_i+y_i)$的图像的交点为$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_m,y_m)$，则$\sum\limits_{i=1}^m(x_i+y_i)=( )$解析】由$f(x)$的奇偶性可得$f(0)=1$，又因为$f(x)$是偶函数，所以$f'(0)=0$。

专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos (α+β)=m ,tan αtan β=2，则cos (α-β)=()A.-3mB.-m3C.m 3D.3m【答案】A【分析】根据两角和的余弦可求cos αcos β,sin αsin β的关系，结合tan αtan β的值可求前者，故可求cos α-β 的值.【详解】因为cos α+β =m ，所以cos αcos β-sin αsin β=m ，而tan αtan β=2，所以=12×2b ×kb ×sin A 2+12×kb ×b ×sin A2，故cos αcos β-2cos αcos β=m 即cos αcos β=-m ，从而sin αsin β=-2m ，故cos α-β =-3m ，故选：A .2(新课标全国Ⅰ卷)当x ∈[0,2π]时，曲线y =sin x 与y =2sin 3x -π6 的交点个数为()A.3B.4C.6D.8【答案】C【分析】画出两函数在0,2π 上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数y =sin x 的的最小正周期为T =2π，函数y =2sin 3x -π6 的最小正周期为T =2π3，所以在x ∈0,2π 上函数y =2sin 3x -π6有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C3(新课标全国Ⅱ卷)设函数f (x )=a (x +1)2-1，g (x )=cos x +2ax ，当x ∈(-1,1)时，曲线y =f (x )与y =g (x )恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.22024年高考数学真题分类汇编——三角函数篇【分析】解法一：令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，分析可知曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得a =2，并代入检验即可；解法二：令h x =f (x )-g x ,x ∈-1,1 ，可知h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即可得a =2，并代入检验即可.【详解】解法一：令f (x )=g x ，即a (x +1)2-1=cos x +2ax ，可得ax 2+a -1=cos x ，令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，原题意等价于当x ∈(-1,1)时，曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得F 0 =G 0 ，即a -1=1，解得a =2，若a =2，令F x =G x ，可得2x 2+1-cos x =0因为x ∈-1,1 ，则2x 2≥0,1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，可得2x 2+1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，则方程2x 2+1-cos x =0有且仅有一个实根0，即曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，所以a =2符合题意；综上所述：a =2.解法二：令h x =f (x )-g x =ax 2+a -1-cos x ,x ∈-1,1 ，原题意等价于h x 有且仅有一个零点，因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ，则h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即h 0 =a -2=0，解得a =2，若a =2，则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ，又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，可得h x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，即h x 有且仅有一个零点0，所以a =2符合题意；故选：D .4(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1 B.23-1C.32D.1-3【答案】B【分析】先将cos αcos α-sin α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos αcos α-sin α=3，所以11-tan α=3，⇒tan α=1-33，所以tan α+π4 =tan α+11-tan α=23-1，故选：B .5(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：x 1为f x 的最小值点，x 2为f x 的最大值点，则x 1-x 2 min =T 2=π2，即T =π，且ω>0，所以ω=2πT=2.故选：B .6(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.32【答案】A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得f x =-sin2x ，再整体求出x ∈-π12,π6时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】f x =sin3ωx +π3 =sin 3ωx +π =-sin3ωx ，由T =2π3ω=π得ω=23，即f x =-sin2x ，当x ∈-π12,π6 时，2x ∈-π6,π3，画出f x =-sin2x 图象，如下图，由图可知，f x =-sin2x 在-π12,π6上递减，所以，当x =π6时，f x min =-sin π3=-32故选：A7(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【详解】对A ，sin x +cos x =2sin x +π4，周期T =2π，故A 正确；对B ，sin x cos x =12sin2x ，周期T =2π2=π，故B 错误；对于选项C ，sin 2x +cos 2x =1，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，sin 2x -cos 2x =-cos2x ，周期T =2π2=π，故D 错误，故选：A ．8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x-π4，下列说法正确的有() A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x=kπ2,k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)=sin2x-π4=0，解得x=kπ2+π8,k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为2π2=π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+π2⇔x=kπ2+π4,k∈Z，g(x)的对称轴满足2x-π4=kπ+π2⇔x=kπ2+3π8,k∈Z，显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)=.【答案】-22 3【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tanα+β=-22，再缩小α+β的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ=41-2+1=-22，因为α∈2kπ,2kπ+π2,β∈2mπ+π,2mπ+3π2，k,m∈Z，则α+β∈2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，又因为tanα+β=-22<0，则α+β∈2m+2kπ+3π2,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，则sinα+β<0，则sinα+βcosα+β=-22，联立sin2α+β+cos2α+β=1，解得sinα+β=-223.法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0,cosβ<0,cosα=cosαsin2α+cos2α=11+tan2α，cosβ=cosβsin2β+cos2β=-11+tan2β，则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)=4cosαcosβ=-41+tan2α1+tan2β=-4(tanα+tanβ)2+(tanαtanβ-1)2=-442+2=-223故答案为：-22 3.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x-3cos x在0,π上的最大值是．【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】f x =sin x -3cos x =2sin x -π3 ，当x ∈0,π 时，x -π3∈-π3,2π3，当x -π3=π2时，即x =5π6时，f x max =2.故答案为：2一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.2【答案】A【分析】由题意可知：tan θ=2，根据倍角公式结合齐次化问题分析求解.【详解】由题意可知：tan θ=2，所以7cos 2θ-2sin2θ=7cos 2θ-4sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=7-4tan θtan 2θ+1=7-4×222+1=-15.故选：A .2(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.78【答案】D【分析】根据给定条件，求出tan α，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解.【详解】由cos α+π =-2sin α，得cos α=2sin α，则tan α=12，所以sin 2α-3cos α+π2 cos αcos2α+1=sin 2α+3sin αcos α2cos 2α=12tan 2α+32tan α=18+34=78.故选：D3(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】根据函数的奇偶性判断即可.【详解】设g x =1-e x1+e x，则g-x=1-e-x1+e-x=e x-11+e x=-g x ，所以g x 为奇函数，设h x =cos2x，可知h x 为偶函数，所以f x =1-e x1+e xcos2x为奇函数，则B，C错误，易知f0 =0，所以A正确，D错误．故选：A.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f(x)=(3sin x+cos x)cos x-12，若f(x)在区间-π4,m上的值域为-3 2,1，则实数m的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π12【答案】D【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x)，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数f(x)=3sin x cos x+cos2x-12=32sin2x+12cos2x=sin2x+π6，当x∈-π4,m时，2x+π6∈-π3,2m+π6，显然sin-π3=sin4π3=-32,sinπ2=1，且正弦函数y=sin x在π2,4π3上单调递减，由f(x)在区间-π4,m上的值域为-32,1，得π2≤2m+π6≤4π3，解得π6≤m≤7π12，所以实数m的取值范围是π6,7π12.故选：D5(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cosωx x∈R在0,π内恰有两个对称中心，fπ=1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若fα +gα =35，则cos4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-1925【答案】A【分析】根据y轴右边第二个对称中心在0,π内，第三个对称中心不在0,π内可求得32≤ω<52，结合fπ=1可得ω=2，再利用平移变换求出g x ，根据三角变换化简fα +gα =35可得sin2α+π6=35，然后由二倍角公式可解.【详解】由x∈0,π得ωx∈0,ωπ，因为函数f x 在0,π内恰有两个对称中心，所以3π2≤ωπ5π2>ωπ，解得32≤ω<52，又fπ=cosωπ=1，所以ωπ=kπ,k∈Z，即ω=k,k∈Z，所以ω=2，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数y=cos2x-π3=cos2x-2π3，即g x =cos2x-2π3，因为fα +gα =cos2α+cos2α-2π3=32sin2α+12cos2α=sin2α+π6=35，所以cos4α+π3=1-2sin22α+π6=1-2×35 2=725.故选：A6(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f(x)=sin2ωx+cos2ωx(ω>1)的一个零点是π2，且f(x)在-π6,π16上单调，则ω=()A.54B.74C.94D.114【答案】B【分析】整理可得f(x)=2sin2ωx+π4，以2ωx+π4为整体，根据单调性分析可得1<ω≤2，再结合零点分析求解.【详解】因为f(x)=sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+π4，x∈-π6,π16，且ω>1时，可得2ωx+π4∈-π3ω+π4,π8ω+π4，且-π3ω+π4<0<π8ω+π4，若f(x)在-π6,π16上单调，则-π3ω+π4≥-π2π8ω+π4≤π2，解得1<ω≤2，又因为f(x)的一个零点是π2，则πω+π4=kπ,k∈Z，解得ω=k-14,k∈Z，所以k=2,ω=7 4 .故选：B.7(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin2x+φϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称【答案】D【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.【详解】由题意可得2×π6+φ=kπk∈Z，解得φ=-π3+kπk∈Z，又ϕ <π2，故φ=-π3，即f x =sin2x-π3；对A ：当x ∈-π8,π3 时，2x -π3∈-7π12,π3，由函数y =sin x 在-7π12,π3上不为单调递增，故f x 在区间-π8,π3上不为单调递增，故A 错误；对B ：当x =5π6时，2x -π3=4π3，由x =4π3不是函数y =sin x 的对称轴，故x =5π6不是f x 图象的对称轴，故B 错误；对C ：当x ∈-π6,π4 时，2x -π3∈-2π3,π6，则f x ∈-1,12，故C 错误；对D ：将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，可得y =sin 2x +2×5π12-π3 =sin 2x +π2=cos2x ，该函数关于y 轴对称，故D 正确.故选：D .8(2024·广东广州·二模)已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f (x )的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y 轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π2【答案】A【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出ω和φ，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.【详解】由f π4=1，得sin π4ω+φ =22，又点π4,1 及附近点从左到右是上升的，则π4ω+φ=π4+2k π,k ∈Z ，由f 5π8 =0，点5π8,0 及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得5π8ω+φ=π+2k π,k ∈Z ，联立解得ω=2，φ=-π4+2k π,k ∈Z ，而|φ|<π2，于是φ=-π4，f (x )=2sin 2x -π4，若将函数f (x )的图像向右平移θ(θ>0)个单位后，得到y =sin 2x -2θ-π4，则-2θ-π4=π2-k π,k ∈Z ，而θ>0，因此θ=-3π8+k π2,k ∈N ，所以当k =1时，θ取得最小值为π8.故选：A9(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sin ωx +3cos ωx (ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y =f x -2log πx 有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y =f x +φ 为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y =f x 在0,π3 上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y =f x 在0,π 上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256.A.1 B.2C.3D.4【答案】B【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由极大值的意义结合正弦函数的性质判断④.【详解】依题意，ω>0，函数f (x )=212sin ωx +32cos ωx =2sin ωx +π3，对于①：f (x )=2sin 2x +π3，令y =f x -2log πx =0，即f x =2log πx ，作出函数y =f (x )和函数y =2log πx 的图象，如图，观察图象知，两个函数在0,7π12 上只有一个零点，f 13π12 =2sin 5π2=2，当x =13π12时，y =2log π13π12=2log π1312+2log ππ=2+2log π1312>2，当x >13π12时，2log πx >2≥f (x )，因此函数y =f x 与函数y =2log πx 的图象有且只有一个交点，①正确；对于②：f (x +φ)=2sin 2x +2φ+π3 为奇函数，则2φ+π3=k π,k ∈Z ，φ=-π6+k π2,k ∈Z ，即正数φ的最小值为π3，②正确；对于③：当x ∈0,π3 时，ωx +π3∈π3,π(ω+1)3，由y =f x 在0,π3 上单调递增，得π(ω+1)3≤π2ω>0，解得0<ω≤12，正数ω有最大值12，③错误；对于④：当x ∈(0,π)时，ωx +π3∈π3,ωπ+π3，而y =f x 在(0,π)上恰有两个极值点，由正弦函数的性质得3π2<ωπ+π3≤5π2，解得76<ω≤136，因此ω的取值范围是76,136，④错误.综上，共2个正确，故选：B .10(2024·河北保定·二模)已知tan α=3cos αsin α+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-79【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出sin α，再结合二倍角公式即可求解.【详解】因为sin αcos α=3cos αsin α+11，所以4sin 2α+11sin α-3=0，解得sin α=14或sin α=-3(舍去)，所以cos2α=1-2sin 2α=78．故选：B .11(2024·河北衡水·三模)已知sin (3α-β)=m sin (α-β)，tan (2α-β)=n tan α，则m ，n 的关系为()A.m =2nB.n =m +1mC.n =m m -1D.n =m +1m -1【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解.【详解】依题意，sin (3α-β)=sin [(2α-β)+α]=sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α，sin (α-β)=sin [(2α-β)-α]=sin (2α-β)cos α-cos (2α-β)sin α，则sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α=m sin (2α-β)cos α-m cos (2α-β)sin α，即sin (2α-β)cos αcos (2α-β)sin α=m +1m -1，即tan (2α-β)tan α=m +1m -1=n .故选：D12(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin 2α2+sin α的值是()A.25B.45C.65D.85【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角之间的转化，进行求解判断选项【详解】当tan α2=2，则sin 2α2+sin α=sin 2α2+2sin α2cos α2sin 2α2+cos 2α2=tan 2α2+2tan α2tan 2α2+1=22+2×222+1=85故选：D13(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sin α+β =2cos α+β ，sin αsin β-3cos αcos β=0，则tan α-β =()A.-1 B.-32C.-12D.12【答案】C【分析】找出tan α和tan β的关系，求出tan α和tan β即可求解.【详解】∵sin αsin β-3cos αcos β=0，∴sin αsin β=3cos αcos β，∴tan αtan β=3①，∵sin α+β =2cos α+β ，∴tan α+β =2⇒tan α+tan β1-tan αtan β=2⇒tan α+tan β1-3=2，∴tan α+tan β=-4②，由①②解得tan α=-1tan β=-3或tan α=-3tan β=-1 ，∵0<α<β<π，∴tan α<tan β，∴tan α=-3tan β=-1 ，∴tan α-β =tan α-tan β1+tan αtan β=-12.故选：C .二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-308【答案】ACD【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A ；代入验证可判断B ；根据平移变化求g (x )，由奇偶性可求出φ，可判断C ；根据已知化简可得sin α-π12 =14，将目标式化为2sin α-π12 -π6 ，由和差角公式求解可判断D .【详解】对于A ，因为f (x )=31+cos2x +sin2x =2sin 2x +π3+3，所以f (x )的最小值周期T =2π2=π，所以2π是函数f (x )的一个周期，A 正确；对于B ，因为f π3 =2sin 2×π3+π3 +3=3，所以，点π3,0 不是函数f (x )的对称中心，B 错误；对于C ，由题知，g x =f (x -φ)=2sin 2(x -φ)+π3 +3=2sin 2x +π3-2φ +3，若函数g (x )为偶函数，则π3-2φ=π2+k π,k ∈Z ，得φ=-π12-k π2,k ∈Z ，因为φ>0，所以φ的最小值为5π12，C 正确；对于D ，若f 12α-5π24-3=2sin 212α-5π24 +π3 =2sin α-π12 =12，则sin α-π12 =14，因为α为锐角，-π12<α-π12<5π12，所以cos α-π12 =154，所以sin α-cos α=2sin α-π4 =2sin α-π12 -π6=232sin α-π12 -12cos α-π12=232×14-12×154=6-308，D 正确.故选：ACD 15(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增【答案】AC【分析】首先化简函数f x =12sin2x ，再根据函数的性质判断各选项.【详解】f x =sin x ⋅cos x =12sin2x ，函数的定义域为R ，对A ，f -x =-12sin2x =-f x ，所以函数f x 是奇函数，故A 正确；对B ，函数f x 的最小正周期为2π2=π，故B 错误；对C ，函数f x 的最小值为-12，故C 正确；对D ，x ∈0,π2 ，2x ∈0,π ，函数f x 不单调，f x 在0,π4 上单调递增，在π4,π2上单调递减，故D 错误.故选：AC16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增【答案】AC【分析】对于A ，直接用偶函数的定义即可验证；对于B ，直接说明f 0 ≠f π 即可否定；对于C ，先证明-3≤f x ≤2，再说明对-3≤u ≤2总有f x =u 有解即可验证；对于D ，直接说明f -5π6>f -2π3 即可否定.【详解】对于A ，由于f x 的定义域为R ，且f -x =sin -x -3cos -x =-sin x -3cos x =sin x -3cos x =f x ，故f x 是偶函数，A 正确；对于B ，由于f 0 =sin0 -3cos0=-3，f π =sinπ -3cosπ=3，故f 0 ≠f π ，这说明π不是f x 的周期，B 错误；对于C ，由于f x =sin x -3cos x ≤sin x +3cos x =sin x +3cos x 2≤sin x +3cos x 2+3sin x -cos x 2=sin 2x +3cos 2x +23sin x cos x +3sin 2x +cos 2x -23sin x cos x =4sin 2x +4cos 2x =4=2，且f x =sin x -3cos x ≥-3cos x ≥-3，故-3≤f x ≤2.而对-3≤u ≤2，有f 0 =-3≤u ，f 5π6 =2≥u ，故由零点存在定理知一定存在x ∈0,5π6使得f x =u .所以f x 的值域为-3,2 ，C 正确；对于D ，由于-π<-5π6<-2π3<-π2，f -5π6 =2>3=f -2π3 ，故f x 在-π,-π2上并不是单调递增的，D 错误.故选：AC .17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增【答案】BCD【分析】根据正弦函数的对称性求解φ判断A ，先求出h x =sin 2x -π3，然后利用正弦函数的对称性求解判断B ，根据对称函数的性质判断C ，结合正弦函数的单调性代入验证判断D .【详解】由题意得2×π12+φ=π2+k π，k ∈Z ，解得φ=π3+k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ=π3，A 错误；由φ=π3可知f x =sin 2x +π3，则h x =sin2x -sin 2x +π3 =12sin2x -32cos2x =sin 2x -π3，令2x -π3=k π，k ∈Z ，解得x =π6+k π2，k ∈Z ，令k =0，得x =π6，所以点π6,0 是曲线y =h x 的对称中心，B 正确；因为f π2-x =sin 2π2-x +π3 =sin 4π3-2x =sin 2x -π3=h x ，所以f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称，C 正确；当x ∈π6,5π12 时，2x -π3∈0,π2 ，故h x 在区间π6,5π12内单调递增，D 正确.故选：BCD 18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-12【答案】ACD【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出f x =sin 2x +π6，可得A 正确，B 错误；由诱导公式可得C 正确；整体代入由正弦函数的值域可得D 正确.【详解】由题意得f x =sin 2ω+φ ，由图象可得f 0 =12⇒sin φ=12，又0<φ<π2，所以φ=π6，由五点法可得ω×4π3+π6=3π2⇒ω=1，所以f x =sin 2x +π6 .A ：由以上解析可得φ=π6，故A 正确；B ：由以上解析可得ω=1，故B 错误；C ：f x +π6 =sin 2x +π6 +π6=cos2x ，故C 正确；D ：当x ∈0,π2 ⇒2x +π6∈π6,7π6 时，sin 2x +π6 ∈-12,1，所以最小值为-12，故D 正确；故选：ACD .19(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限【答案】ACD【分析】根据三角函数的定义，可求角α的三角函数，结合诱导公式判断A 的真假；利用二倍角公式，求出2α的三角函数值，结合三角函数的概念指出角2α的终边与单位圆的交点，由对称性确定角β终边与单位圆交点，从而判断BCD 的真假.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P -3,4 ，所以：OP =5，所以sin α=45，cos α=-35，所以cos π+α =-cos α=35，故A 对；又sin2α=2sin α⋅cos α=2×45×-35 =-2425，cos2α=cos 2α-sin 2α=-35 2-45 2=-725，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为：-725,-2425 ，因为角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，所以角β的终边与单位圆的交点为2425,725，所以tan β=724，且β的终边在第一象限，故CD 正确；又因为终边在直线y =-x 的角为：k π-π4,k ∈Z ，角2α的终边与角β的终边关于y =-x 对称，所以2α+β2=k π-π4⇒β=2k π-π2-2αk ∈Z ，故B 错误.故选：ACD20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数 D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点【答案】ABD【分析】对于A ：计算h x +2π ，化简即可；对于B ：求出h x ，然后计算h 0 h π2的正负即可；对于C ：计算h x ,h -x 是否恒相等即可；对于D ：令f x =0g x =0，求解x 即可.【详解】对于A ，∀x ∈R ，h x +2π =λf x +2π +μg x +2π =λf x +μg x =h x ，A 正确；对于B ，h x =λcos x -2sin2x +μ2cos2x -sin x ，则h 0 =λ+2μ，h π2=-3μ，因为λμ>0，即λ，μ同号，所以h 0 h π2<0，由零点存在定理知h x 在0,π2上总有零点，故B 正确；对于C ，h x =λsin x +λcos2x +μsin2x +μcos x ，h -x =-λsin x +λcos2x -μsin2x +μcos x ，由h x =h -x 得2λsin x +2μsin2x =2λsin x +2μ⋅2sin x cos x =2sin x λ+2μcos x =0对x ∈R 恒成立，则λ=μ=0与题意不符，故C 错误；对于D ，令f x =0g x =0 ，则sin x +cos2x =1-2sin 2x +sin x =-sin x -1 2sin x +1 =0sin2x +cos x =cos x 2sin x +1 =0 ⇒sin x =1或sin x =-12cos x =0或sin x =-12，即x ∈-π6+2k π,π2+2k π,7π6+2k π ，k ∈Z ，故所有定点坐标为-π6+2k π,0 ，π2+2k π,0 ，7π6+2k π,0 ，k ∈Z ，又因为x ∈0,2π ，所以函数h x 的图象过定点π2,0 ，7π6,0 ，11π6,0 ，故D 正确；故选：ABD ．21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为12【答案】ABD【分析】根据题意，求得g x =-12cos2x 的图象，结合三角函数的图象与性质，以及两角差的正弦公式，逐项判定，即可求解.【详解】将函数f x =12cos 2x -π3 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x =12cos 2x -π =-12cos2x 的图象，对于A 中，令x =π6，求得f x =12，即为函数y =f x 最大值，所以直线x =π6是函数f x 图象的一条对称轴，所以A 正确；对于B 中，令2k π≤2x -π3≤2k π+π,k ∈Z ，解得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z ，可得f x 的单调减区间为k π+π6,k π+2π3,k ∈Z ，所以B 正确.对于C 中，由于g x =-12cos2x 是偶函数，可得函数g x 的图象关于y 轴对称，所以C 错误.对于D 中，由f x +g x =12cos 2x -π3 +-12cos2x =1212cos2x +32sin2x -12cos2x =34sin2x -14cos2x =12sin 2x -π6 ≤12，即f x +g x 的最大值为12，所以D 正确.故选：ABD .22(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8【答案】BCD【分析】根据三角恒等变换化简f x =2sin 2ωx +π3，进而根据周期可判断A ，根据整体法求解函数的值域判断B ，根据函数图象的平移可判断C ，根据零点个数确定不等式满足的条件可判断D .【详解】f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3=sin2ωx cos π3+cos2ωx sin π3+sin2ωx cos π3-cos2ωx sin π3+3cos2ωx=sin2ωx +3cos2ωx =2sin 2ωx +π3，对于A ，若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则T =2×π2=π=2π2ω,故ω=1，A 错误，对于B ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3 ，当x ∈0,π2 时，2x +π3∈π3,4π3，则f x 的值域为-3,2 ，B 正确，对于C ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为f x +π6 =2sin 2x +π6 +π3 =2sin 2x +2π3 =2cos 2x +π6，C 正确，对于D ，当x ∈0,π6 时，2ωx +π3∈π3,2ωπ6+π3，若f x 在区间0,π6 上有且仅有两个零点，则2π≤2ωπ6+π3<3π，解得5≤ω<8，故D 正确，故选：BCD 三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．【答案】π[-1,1]【分析】把ω=1代入，t 明智二倍角的正弦，结合正弦函数的周期求出f (x )的最小正周期；把ω=2代入，利用二倍角的余弦公式，借助换元法，利用导数求出f (x )的值域.【详解】当ω=1时，f (x )=sin x cos x =12sin2x ，函数f (x )的最小正周期为2π2=π；当ω=2时，f (x )=sin x cos2x =sin x (1-2sin 2x )，令sin x =t ∈[-1,1]，g (t )=t (1-2t 2)=-2t 3+t ，求导得g (t )=-6t 2+1，当-1≤t <-66或66<t ≤1时，g (t )<0，当-66<t <66时，g (t )>0，函数g (t )在-1,-66 ，66,1 上单调递减，在-66,66上单调递增，g (-1)=1,g 66 =69，g (1)=-1,g -66 =-69，所以g (t )min =-1,g (t )max =1，f (x )的值域是[-1,1].故答案为：π；[-1,1]24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.【答案】-45/-0.8【分析】利用辅助角公式化简f (x )的解析式，再由题意可得函数关于x =α对称，且最小正周期T =π，即可求出ω的值，从而得到2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得．【详解】因为f (x )=sin ωx -2cos ωx =5sin ωx -φ ，其中tan φ=2，由f α+x =f α-x ，可得f x 关于x =α对称，又两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，所以f x 的最小正周期T =π，又ω>0，所以2πω=π，解得ω=2，所以f x =5sin 2x -φ ，所以2α-φ=π2+k π,k ∈Z ，则2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，所以sin4α=sin2φ+π2+k π =sin 2φ+π+2k π =-sin2φ=-2sin φcos φsin 2φ+cos 2φ=-2tan φtan 2φ+1=-2×222+1=-45.故答案为：-4525(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.【答案】191【分析】由tan α=m tan β得到sin αcos β=m cos αsin β，再结合cos α-β =35，利用sin α-β =-45，得到cos αsin β=-45m -1 ，sin αcos β=-4m5m -1 ，从而sin α+β =-4m +1 5m -1，再由满足条件的α与β存在且唯一，得到α+β唯一，从而sin α+β =-4m +15m -1=1，求得m 即可.【详解】解：由tan α=m tan β，得sin αcos α=m sin βcos β，即sin αcos β=m cos αsin β，因为0<α<β<π2，tan α=m tan β，所以-π2<α-β<0，0<m <1，又cos α-β =35，所以sin α-β <0，从而sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=m -1 cos αsin β=-45，所以cos αsin β=-45m -1，所以sin αcos β=m cos αsin β=-4m5m -1，所以sin α+β =sin αcos β+cos αsin β=-4m +15m -1，因为α,β∈0,π2，所以α+β∈0,π ，因为满足条件的α与β存在且唯一，所以α+β唯一，所以sin α+β =-4m +1 5m -1=1，所以m =19，经检验符合题意，所以tan α=19tan β，则tan α-β =-43=tan α-tan β1+tan αtan β=tan α-9tan α1+9tan 2α，解得tan α=13，所以tan αtan β=9tan 2α=1.故答案为：19，1【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出sin α+β =-4m +15m -1 =1，求出m ，由此即可顺利得解.。

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2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设121i zi i，则z（）A ．0B ．12C ．1D ．22．已知集合2|20Ax x x，则AR e （）A ．|12x xB ．|12x x ≤≤C ．|1|2x xx xD ．|1|2x x x x ≤≥3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号则下面结论中不正确的是（）A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．记n S 为等差数列n a 的前n 项和．若3243S S S ，12a ，则3a （）A ．12B ．10C ．10D ．12 5．设函数321f x xa xax ．若f x 为奇函数，则曲线yf x 在点00，处的切线方程为（）A ．2yxB ．yxC ．2yxD ．y x 6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB （）A ．3144AB AC B ．1344AB AC C ．3144ABACD ．1344ABAC7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（）A ．217B ．25C ．3D ．28．设抛物线24C y x ：的焦点为F ，过点20，且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN （）A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数0ln 0xe xf x x x，≤，，g xf x xa ，若g x 存在2个零点，则a 的取值范围是（）A ．10，B ．0，C ．1，D ．1，10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ，ABC △的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为1p ，2p ，3p ，则（）A ．12p p B ．13p p C ．23p p D ．123p p p 11．已知双曲线2213xC y：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N ．若OMN △为直角三角形，则MN（）A ．32B ．3C ．23D ．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（）A ．334B ．233C ．324D ．32二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x y ，满足约束条件220100xy xyy ≤≥≤，则32z x y 的最大值为________．14．记n S 为数列n a 的前n 项和．若21nnS a ，则6S ________．15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．（用数字填写答案）16．已知函数2sin sin 2f xxx ，则f x 的最小值是________．三、解答题（共70分。

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写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．设，则（ ） A ．0B ．C ．D ．2．已知集合，则（ ） A ．B ．C ．D ．3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：此卷只装订不密封姓名 准考证号 考场号 座位号则下面结论中不正确的是（）A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．记为等差数列的前项和．若，，则（）A．B．C．D．125．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．6．在中，为边上的中线，为的中点，则（）A．B．C．D．7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（）A．B．C．D．28．设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，则（）A．5B．6C．7D．89．已知函数，，若存在2个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，，的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则（）A．B．C．D．11．已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若为直角三角形，则（）A．B．3C．D．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若满足约束条件，则的最大值为________．14．记为数列的前项和．若，则________．15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．（用数字填写答案）16．已知函数，则的最小值是________．三、解答题（共70分。

2014年普通高等学校招生全国统一考试数学理科(新课标Ⅰ卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<2}，则A∩B等于()A. [－2，－1]B. [－1，2)C. [－1，1]D. [1，2)2.（1＋i）3（1－i）2等于()A. 1＋iB. 1－iC. －1＋iD. －1－i3.设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x) 是偶函数，则下列结论中正确的是()A. f(x)g(x)是偶函数B. |f(x)|g(x)是奇函数C. f(x)|g(x)|是奇函数D. |f(x)g(x)|是奇函数4.已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()A. 3B. 3C. 3mD. 3m5.若4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A. 18 B.38 C.58 D.786.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x 的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的大致图象为()(第6题),A) ,B),C) ,D)7.执行如图所示的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M等于()(第7题)A.203 B. 72 C. 165 D. 1588. 设α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A. 3α－β＝π2B. 3α＋β＝π2C. 2α－β＝π2D. 2α＋β＝π29. 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：(x ，y)∈D ，x ＋2y ≥－2；p 2：(x ，y)∈D ，x ＋2y ≥2； p 3：(x ，y)∈D ，x ＋2y ≤3；p 4：(x ，y)∈D ，x ＋2y ≤－1.其中的真命题是( ) A. p 2，p 3 B. p 1，p 2 C. p 1，p 4 D. p 1，p 310. 已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则QF 等于( )A. 72B. 3C. 52D. 2 11. 已知函数f(x)＝ax 3－3x 2＋1，若f(x)存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是( )A. (2，＋∞)B. (1，＋∞)C. (－∞，－2)D. (－∞，－1)12. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )(第12题)A. 6 2B. 6C. 4 2D. 4二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. (x －y)(x ＋y)8的展开式中x 2y 7的系数为________．14. 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一个城市． 由此可判断乙去过的城市为________．15. 已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC →的夹角为________．16. 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b)·(sin A － sin B)＝(c －b)sin C ，则△ABC 的面积的最大值为________．三、 解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. (本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1) 求证：a n ＋2－a n ＝λ；(2) 是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．18. (本小题满分12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图所示的频率分布直方图：(第18题)(1) 求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．(2) 由频率分布直方图可以认为这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2.①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X)．(150≈12.2.若Z ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.9544)19. (本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，AB ⊥B 1C. (1) 求证：AC ＝AB 1；(2) 若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，AB ＝BC ，求二面角A-A 1B 1-C 1的余弦值．(第19题)20. (本小题满分12分)已知点A(0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为32，F是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1) 求椭圆E 的方程；(2) 设过点A 的动直线l 与椭圆E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求直线l 的方程．21. (本小题满分12分)设函数f(x)＝ae xln x ＋be x －1x ，曲线y ＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y ＝e(x －1)＋2.(1) 求a ，b 的值；(2) 求证：f(x)>1.请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22. (本小题满分10分)选修41：几何证明选讲如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB ＝CE.(1) 求证：∠D ＝∠E ；(2) 设AD 不是圆O 的直径，AD 的中点为M ，且MB ＝MC ，求证：△ADE 为等边三角形．(第22题)23. (本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1) 写出曲线C 的参数方程与直线l 的普通方程；(2) 过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值．24. (本小题满分10分)选修45：不等式选讲若a>0，b>0，且1a ＋1b＝ab.(1) 求a 3＋b 3的最小值；(2) 是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由.2014年普通高等学校招生全国统一考试 数学理科(新课标Ⅰ卷)1. A 【解析】因为集合A ＝{x|x ≥3或x ≤－1}，B ＝{x|－2≤x<2}，所以A ∩B ＝[－2，－1]，故选A.2. D 【解析】因为（1＋i ）3（1－i ）2＝2i （1＋i ）－2i＝－1－i ，故选D.3. C 【解析】因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)；因为函数g(x)是偶函数，所以g(－x)＝g(x)．因为f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)，所以函数f(x)g(x)为奇函数，故排除A ；因为|f(－x)|·g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以函数|f(x)|·g(x)为偶函数，故排除B ；因为|f(－x)g(－x)|＝|f(x)g(x)|，所以函数|f(x)g(x)|为偶函数，故排除D ；因为f(－x)|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|，所以函数f(x)|g(x)|为奇函数，故选C.4. A 【解析】由题意知双曲线C 的焦点坐标为(±3m ＋3，0)，不妨设点F 的坐标为(3m ＋3，0)，双曲线的一条渐近线l 的方程为x ＋my ＝0，则点F 到l 的距离为3m ＋31＋m＝3，故选A.5. D 【解析】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24＝16种不同的选法，周六、周日都有同学参加公益活动有24－2＝14种不同的选法，故所求概率为1416＝78，故选D. 6. C 【解析】由题意易得f ⎝⎛⎭⎫π4＝12，排除B ；因为f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，排除A ，D ，故选C.7. D 【解析】输入a ＝1，b ＝2，k ＝3，n ＝1≤3，所以M ＝1＋12＝32，a ＝2，b ＝32，n＝2；因为n ＝2≤3成立，所以M ＝2＋23＝83，a ＝32，b ＝83，n ＝3；因为n ＝3≤3成立，所以M ＝32＋38＝158，a ＝83，b ＝158，n ＝4.因为n ＝4≤3不成立，所以输出的M ＝158，故选D.8. C 【解析】因为tan α＝1＋sin βcos β，所以sin αcos α＝1＋sin βcos β，所以sin αcos β－cosαsin β＝cos α，所以sin (α－β)＝cos α，即sin (α－β)＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α.因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以α－β＝π2－α，即2α－β＝π2，故选C.9. B 【解析】作出不等式组表示的可行域D 如图中阴影部分所示，设z ＝x ＋2y ，当直线z ＝x ＋2y 过点B 时，z ＝x ＋2y 取得最小值，由⎩⎨⎧x ＋y ＝1，x －2y ＝4，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1，所以点B的坐标为(2，－1)，所以z min ＝2＋2×(－1)＝0；z 无最大值，故存在(x ，y)∈D ，x ＋2y ≥2，所以命题p 1，p 2为真命题，故选B.(第9题)10. B 【解析】由题知抛物线C 的焦点F(2，0)，其准线l 的方程为x ＝－2，且l 与x 轴交于点B ，如图所示．过点Q 作QA ⊥l 于点A ，根据抛物线的定义知QA ＝QF.因为FP →＝4FQ →，所以QA FB ＝PQ PF ，所以QF 4＝34，所以QF ＝3，故选B.(第10题)11. C 【解析】取a ＝－2，则f(x)＝－2x 3－3x 2＋1，因为f(－1)＝－2×(－1)3－3×(－1)2＋1＝0，所以－1是函数f(x)的零点，所以a ≠－2，排除D ；取a ＝3，则f(x)＝3x 3－3x 2＋1，f(－1)＝－3－3＋1＝－5<0，f(0)＝1>0，所以函数f(x)在(－1，0)上有零点，排除A ，B ，故选C.12. B 【解析】多面体的直观图为如图所示的三棱锥ABCD(放在棱长为4的正方体中研究)，因为AB ＝AC ＝4，易求得AD ＝DC ＝42＋22＝25，BC ＝42，BD ＝（42）2＋22＝6，所以该三棱锥的最长的棱的长度为6，故选B.(第12题)13. －20 【解析】(x ＋y)8的展开式的通项为T r ＋1＝C r 8x 8－r y r ，令8－r ＝1，得r ＝7；令8－r ＝2，得r ＝6.所以(x －y)(x ＋y)8的展开式中x 2y 7的系数是C 78－C 68＝8－28＝－20.14. A 【解析】甲没去过B 城市，乙没去过C 城市，但他们去过同一个城市，所以他们都去过A 城市，所以乙去过A 城市，由于甲去过的城市比乙多，所以乙去过的城市仅为A 城市．15.π2 【解析】因为A ，B ，C 为圆O 上的三点，且AO →＝12(AB →＋AC →)，所以点O 为线段BC 的中点，即线段BC 为直径，所以∠BAC ＝π2，即AB →与AC →的夹角为π2.16. 3 【解析】因为a ＝2，(2＋b)(sin A －sin B)＝(c －b)sin C ，根据正弦定理得(a ＋b)(a －b)＝(c －b)c ，所以a 2－b 2＝c 2－bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，根据余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为A ∈(0，π)，故A ＝π3.因为b 2＋c 2－bc ＝4，所以4＝b 2＋c 2－bc ≥2bc －bc ＝bc(当且仅当b ＝c ＝2时取等号)，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12bcsin A ＝34bc ≤34×4＝3，所以△ABC 的面积的最大值为 3.17. (1) 由题设知a n a n ＋1＝λS n －1，得a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2) 由题设知a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1， 由(1)知a 3＝λ＋1.令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4. 故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1、公差为4的等差数列，所以a 2n －1＝4n －3； {a 2n }是首项为3、公差为4的等差数列，所以a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．18. (1) 抽取产品的质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2分别为x ＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2) ①由(1)知，Z ～N(200，150)，从而 P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.6826. ②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.6826，依题意知X ～B(100，0.6826)，所以E(X)＝100×0.6826＝68.26.19. (1) 连接BC 1交B 1C 于点O ，连接AO. 因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1，且O 为B 1C 和BC 1的中点．又AB ⊥B 1C ，AB ∩BC 1＝B ，AB 平面ABO ，BC 1不属于平面ABO ，所以B 1C ⊥平面ABO.由于AO 平面ABO ，故B 1C ⊥AO.又B 1O ＝CO ，故AC ＝AB 1. (2) 因为AC ⊥AB 1，且O 为B 1C 的中点，AO ⊥B 1C ， 所以AO ＝CO.又因为AB ＝BC ，所以△BOA ≌△BOC.故OA ⊥OB ，从而OA ，OB ，OB 1两两互相垂直．以O 为坐标原点，OB →的方向为x 轴正方向，|OB →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.(第19题)因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1为等边三角形．又AB ＝BC ， 则A ⎝⎛⎭⎫0，0，33，B(1，0，0)，B 1⎝⎛⎭⎫0，33，0，C ⎝⎛⎭⎫0，－33，0， 所以AB 1→＝⎝⎛⎭⎫0，33，－33，A 1B 1→＝AB →＝⎝⎛⎭⎫1，0，－33，B 1C 1→＝BC →＝⎝⎛⎭⎫－1，－33，0.设n ＝(x ，y ，z)是平面AA 1B 1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB 1→＝0，n ·A 1B 1→＝0，即⎩⎨⎧33y －33z ＝0，x －33z ＝0，令x ＝1，可取n ＝(1，3，3)．设m 是平面A 1B 1C 1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1B 1→＝0，m ·B 1C 1→＝0，同理可取m ＝(1，－3，3)． 则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝17，所以二面角A-A 1B 1-C 1的余弦值为17.20. (1) 设F(c ，0)，由条件知2c ＝233，解得c ＝ 3.又c a ＝32，所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，故椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1. (2) 当l ⊥x 轴时，不合题意，故设l ：y ＝kx －2，P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)． 将y ＝kx －2代入x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－16kx ＋12＝0.当Δ＝16(4k 2－3)>0，即k 2>34时，x 1，2＝8k±24k 2－34k 2＋1， 从而PQ ＝k 2＋1|x 1－x 2|＝4k 2＋1·4k 2－34k 2＋1.又点O 到直线PQ 的距离d ＝2k 2＋1，所以△OPQ 的面积S △OPQ ＝12d·PQ ＝44k 2－34k 2＋1.设4k 2－3＝t ，则t>0，S △OPQ ＝4t t 2＋4＝4t ＋4t.因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝±72时等号成立，且满足Δ>0，所以当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为y ＝72x －2或y ＝－72x －2. 21. (1) 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f ′(x)＝ae x ln x ＋a x e x －b x 2e x －1＋b xe x －1.由题意可得f(1)＝2，f ′(1)＝e ，故a ＝1，b ＝2. (2) 由(1)知f(x)＝e x ln x ＋2xe x －1，从而f(x)>1等价于xln x>xe －x －2e .设函数g(x)＝xln x ，则g′(x)＝1＋ln x ， 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，g ′(x)<0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，g ′(x)>0.故g(x)在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增， 故g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e . 设函数h(x)＝xe －x －2e，则h′(x)＝e －x (1－x)．所以当x ∈(0，1)时，h ′(x)>0；当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x)<0. 故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 从而h(x)在(0，＋∞)上的最大值为h(1)＝－1e .综上，当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1. 22. (1) 由题设知A ，B ，C ，D 四点共圆，(第22题)所以∠D ＝∠CBE.因为CB ＝CE ，所以∠CBE ＝∠E ，故∠D ＝∠E.(2) 取BC 的中点N ，连接MN ，由MB ＝MC ，知MN ⊥BC ，故O 在直线MN 上．又AD 不是圆O 的直径，M 为AD 的中点，故OM ⊥AD ，即MN ⊥AD ，所以AD ∥BC ，故∠A ＝∠CBE. 又∠CBE ＝∠E ，故∠A ＝∠E.由(1)知∠D ＝∠E ，所以△ADE 为等边三角形．23. (1) 曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2) 曲线C 上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到直线l 的距离为 d ＝|4cos θ＋3sin θ－6|5，则PA ＝d sin 30°＝255|5sin (θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin (θ＋α)＝－1时，PA 取得最大值2255.当sin (θ＋α)＝1时，PA 取得最小值255.24. (1) 由ab ＝1a ＋1b ≥2ab ，得ab ≥2，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立， 所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2) 由(1)知2a ＋3b ≥26·ab ≥43，由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理科(新课标Ⅰ卷)一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z|等于( )A. 1B. 2C. 3D. 22. sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( ) A. －32 B. 32 C. －12 D. 123. 设命题p ：存在n ∈N ，n 2>2n ，则非p 为( ) A. 对任意的n ∈N ，n 2>2n B. 存在n ∈N ，n 2≤2nC. 对任意的n ∈N ，n 2≤2nD. 存在n ∈N ，n 2＝2n4. 在投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A. 0.648B. 0.432C. 0.36D. 0.3125. 已知M(x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→＜0，则y 0的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫－33，33 B. ⎝⎛⎭⎫－36，36 C. ⎝⎛⎭⎫－223，223 D. ⎝⎛⎭⎫－233，233 6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有( )A. 14斛B. 22斛C. 36斛D. 66斛(第6题)7. 设D 为△ABC 所在平面内一点，且BC →＝3CD →，则( ) A. AD →＝－13AB →＋43AC → B. AD →＝13AB →－43AC →C. AD →＝43AB →＋13AC →D. AD →＝43AB →－13AC →8. 已知函数f(x)＝cos (ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则f(x)的单调减区间为( ) A. ⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B. ⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C. ⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D. ⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z(第8题)9. 执行如图所示的程序框图，若输入的t ＝0.01，则输出的n 等于( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8(第9题)10. (x 2＋x ＋y)5的展开式中，x 5y 2的系数为( )A. 10B. 20C. 30D. 6011. 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16＋20π，则r 等于( )A. 1B. 2C. 4D. 8(第11题)12. 设函数f(x)＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a<1，若存在唯一的整数x 0，使得f(x 0)<0，则实数a 的取值范围是( )A. ⎣⎡⎭⎫－32e ，1B. ⎣⎡⎭⎫－32e ，34C. ⎣⎡⎭⎫32e ，34D. ⎣⎡⎭⎫32e ，1 二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 若函数f(x)＝xln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则实数a ＝________．14. 若一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为____________．15. 若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．16. 在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．三、 解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. (本小题满分12分)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．18. (本小题满分12分)如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC.(1) 求证：平面AEC ⊥平面AFC ；(2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．(第18题)19. (本小题满分12分)某公司为了确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，…，8)的数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量的值．(第19题)(1) 根据散点图判断y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)．(2) 根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程．(3) 已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x ，根据(2)的结果回答下列问题：①当年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α^＋β^u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑ni ＝1 （u i －u ）（v i －v ）∑ni ＝1（u i －u ）2，a ^＝v －β^u. 20. (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C ：y ＝x 24与直线y ＝kx ＋a(a>0)交于M ，N 两点．(1) 当k ＝0时，分别求曲线C 在点M 和N 处的切线方程；(2) y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？请说明理由．21. (本小题满分12分)已知函数f(x)＝x 3＋ax ＋14，g(x)＝－ln x.(1) 当x 轴为曲线y ＝f(x)的切线时，求a 的值．(2) 设函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}(x>0)，讨论h(x)零点的个数．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22. (本小题满分10分)选修41：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，AC 是圆O 的切线，BC 交圆O 于点E. (1) 若D 为AC 中点，求证：DE 是圆O 的切线； (2) 若OA ＝3CE ，求∠ACB 的大小．(第22题)23. (本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1) 求C 1，C 2的极坐标方程；(2) 若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2，C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．24. (本小题满分10分)选修45：不等式选讲 已知函数f(x)＝|x ＋1|－2|x －a|，a>0.(1) 当a ＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2) 若f(x)的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求实数a 的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试 数学理科(新课标Ⅰ卷)1. A 【解析】由1＋z 1－z ＝i ，得z ＝－1＋i 1＋i ＝（－1＋i ）（1－i ）2＝2i2＝i ，所以|z|＝1.2. D 【解析】sin 20°·cos 10°－cos 160°·sin 10°＝sin 20°·cos 10°＋cos 20°·sin 10°＝sin(20°＋10°)＝12.3. C 【解析】存在性命题的否定是全称命题．4. A 【解析】投中2次或投中3次测试通过，概率P ＝0.63＋C 23×0.62×(1－0.6)＝0.216＋0.432＝0.648.5. A 【解析】由题意知F 1(－3，0)，F 2(3，0)，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3＝2＋2y 20＋y 20－3＝3y 20－1<0，解得y 0∈⎝⎛⎭⎫－33，33. 6. B 【解析】由题意可知米堆的下底面圆的半径为r ＝8π2＝163，所以米堆的体积为V＝14×13Sh ＝14×13×3×⎝⎛⎭⎫1632×5＝3209，所以估算出堆放的米有32091.62≈21.94≈22(斛)． 7. A 【解析】由题意，可画出图形如图所示，则AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝－13AB →＋43AC →.(第7题)8. D 【解析】由图可知，12T ＝54－14＝1，所以T ＝2＝2πω，从而ω＝π.由f ⎝⎛⎭⎫14＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝0及图象的单调性，可知φ＝π4.令2k π<πx ＋π4<π＋2k π，k ∈Z ，解得2k －14<x<34＋2k ，k ∈Z .9. C 【解析】第一次循环：S ＝12，m ＝14，n ＝1；第二次循环：S ＝14，m ＝18，n ＝2；第三次循环：S ＝18，m ＝116，n ＝3；第四次循环：S ＝116，m ＝132，n ＝4；第五次循环：S ＝132，m ＝164，n ＝5；第六次循环：S ＝164，m ＝1128，n ＝6；第七次循环：S ＝1128，m ＝1256，n ＝7.此时S ＝1128<0.01，循环结束．10. C 【解析】(x 2＋x ＋y)5展开式的通项为C r 5(x 2＋x)5－r y r ，令r ＝2，得C 25(x 2＋x)3y 2.再考虑(x 2＋x)3的展开式，其通项为C r 3·(x 2)3－r ·x r ＝C r 3·x 6－r ，令r ＝1，得C 13x 5＝3x 5.所以x 5y 2的系数为C 25×3＝10×3＝30.11. B 【解析】该几何体由一个半球和半个圆柱组成，圆柱的高为2r ，底面半径和球的半径均为r ，组合体的表面积为S ＝2×12πr 2＋πr ×2r ＋2r ×2r ＋12×4πr 2＝5πr 2＋4r 2＝16＋20π，所以r 2＝4，r ＝2.12. D 【解析】由题意可知f(x)<0等价于e x (2x －1)<ax －a ，考虑函数y ＝e x (2x －1)．y′＝e x (2x －1)＋2e x ＝(2x ＋1)e x ，令y′＝0，得x ＝－12.在平面直角坐标系中画出函数y ＝e x (2x－1)和y ＝ax －a 的图象．由图可知，当a>0且x ＝0时，不等式f(x)<0显然成立，所以x ＝－1时，不满足f(x)<0，所以a ≥－3e －0－1－1＝32e，所以a ∈⎣⎡⎭⎫32e ，1.(第12题)13. 1 【解析】f(－x)＝(－x)·ln(－x ＋a ＋（－x ）2) ＝(－x)ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋x 2－x 2a ＋x 2＋x＝(－x)ln []a·（a ＋x 2＋x ）－1＝(－x)[ln a －ln(a ＋x 2＋x)] ＝x·ln(a ＋x 2＋x)－xln a ＝f(x)， 所以xln a ＝0，从而a ＝1.14. ⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254 【解析】由题意，可知圆经过点(0，2)，(0，－2)和(4，0)，设圆心为(a ，0)(a>0)，半径为r ，则（a －0）2＋（0－2）2＝|4－a|＝r ，解得a ＝32，r ＝52，所以圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254. 15. 3 【解析】画出可行域如图中阴影部分所示.yx 的几何意义为点P(x ，y) 与点(0，0)之间的斜率，由图可知，当点P 处于点A(1，3)时，斜率最大，此时yx＝3.(第15题)16. (6－2，6＋2) 【解析】如图，延长BA ，CD 交于点E ，可知EC ＝BE ，且∠E ＝30°，所以cos 30°＝2BE 2－222·BE 2，可得BE ＝6＋ 2.过点C 作CF ∥AD 交BE 于点F ，则BC ＝CF ＝2，∠BCF ＝30°.BF 2＝2BC 2－2BC 2·cos 30°＝8－43，所以BF ＝6－2， 所以AB ∈(6－2，6＋2)．(第16题)17. (1) 由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3，可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )． 由于a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2. 又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)，a 1＝3，所以{a n }是首项为3、公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1.(2) 由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则 T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝n3（2n ＋3）.18. (1) 连接BD ，设BD ∩AC ＝G ，连接EG ，FG ，EF. 在菱形ABCD 中，不妨设GB ＝1.由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝ 3.由BE ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ，可知AE ＝EC. 又AE ⊥EC ，所以EG ＝3，且EG ⊥AC. 在Rt △EBG 中，可得BE ＝2，故DF ＝22. 在Rt △FDG 中，可得FG ＝62. 在直角梯形BDFE 中，由BD ＝2，BE ＝2，DF ＝22，可得EF ＝322， 从而EG 2＋FG 2＝EF 2，所以EG ⊥FG. 又AC ∩FG ＝G ，AC平面AFC ，FG 不属于平面AFC ，可得EG ⊥平面AFC.因为EG 属于平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面AFC.(2) 如图，以G 为坐标原点，分别以GB →，GC →的方向为x 轴、y 轴正方向，|GB →|为单位长，建立空间直角坐标系G-xyz.由(1)可得A(0，－3，0)，E(1，0，2)，F ⎝⎛⎭⎫－1，0，22，C(0，3，0)，所以AE →＝(1，3，2)，CF →＝⎝⎛⎭⎫－1，－3，22，(第18题)故cos 〈AE →，CF →〉＝AE →·CF →|AE →||CF →|＝－33，所以直线AE 与直线CF 所成角的余弦值为33. 19. (1) 由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2) 令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于d ^＝68， c ^＝y －d ^w ＝563－68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ＝100.6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为y ＝100.6＋68x.(3) ①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ＝100.6＋6849＝576.6， 年利润z 的预报值z ＝576.6×0.2－49＝66.32.②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值z ＝0.2(100.6＋68x)－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12， 所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z 取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．20. (1) 由题设可得M(2a ，a)，N(－2a ，a)或M(－2a ，a)，N(2a ，a)． 又y′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，曲线C 在点(2a ，a)处的切线方程为y－a ＝a(x －2a)，即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，曲线C 在点(－2a ，a)处的切线方程为y －a ＝－a(x ＋2a)，即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2) 存在符合题意的点．理由如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2.将y ＝kx ＋a 代入曲线C 的方程，得x 2－4kx －4a ＝0， 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a ， 从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－bx 2＝2kx 1x 2＋（a －b ）（x 1＋x 2）x 1x 2＝k （a ＋b ）a. 当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P(0，－a)符合题意．21. (1) 设曲线y ＝f(x)与x 轴相切于点(x 0，0)，则f(x 0)＝0，f′(x 0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 30＋ax 0＋14＝0，3x 20＋a ＝0，解得x 0＝12，a ＝－34.因此，当a ＝－34时，x 轴为曲线y ＝f(x)的切线．(2) 当x ∈(1，＋∞)时，g(x)＝－ln x<0，从而h(x)＝min{f(x)，g(x)}≤g(x)<0，故h(x)在(1，＋∞)上没有零点．当x ＝1时，若a ≥－54，则f(1)＝a ＋54≥0，h(1)＝min{f(1)，g(1)}＝g(1)＝0，故x ＝1是h(x)的零点；若a<－54，则f(1)<0，h(1)＝min{f(1)，g(1)}＝f(1)<0，故x ＝1不是h(x)的零点．当x ∈(0，1)时，g(x)＝－ln x>0，所以只需考虑f(x)在(0，1)上的零点个数．若a ≤－3或a ≥0，则f′(x)＝3x 2＋a 在(0，1)上没有零点，故f(x)在(0，1)上单调．又f(0)＝14，f(1)＝a ＋54，所以当a ≤－3 时，f(x)在(0，1)上有一个零点；当a ≥0时，f(x)在(0，1)上没有零点．若－3<a<0，则f(x)在⎝⎛⎭⎫0，－a 3上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－a 3，1上单调递增，故在(0，1)中，当x ＝－a3时，f(x) 取得最小值，最小值为f ⎝⎛⎭⎫－a 3＝2a 3－a 3＋14. ①若f ⎝⎛⎭⎫－a 3>0，即－34<a<0时，f(x)在(0，1)上没有零点； ②若f ⎝⎛⎭⎫－a 3＝0，即a ＝－34时，f(x)在(0，1)上有唯一零点； ③若f ⎝⎛⎭⎫－a 3<0，即－3<a<－34时，由于f(0)＝14，f(1)＝a ＋54，所以当－54<a<－34时，f(x)在(0，1)上有两个零点；当－3<a ≤－54时，f(x)在(0，1)上有一个零点．综上，当a>－34或a<－54时，h(x)有一个零点；当a ＝－34或a ＝－54时，h(x)有两个零点；当－54<a<－34时，h(x)有三个零点．22. (1) 如图，连接AE ，由已知得，AE ⊥BC ，AC ⊥AB. 在Rt △AEC 中，由已知得DE ＝DC ，故∠DEC ＝∠DCE. 连接OE ，则∠OBE ＝∠OEB.又∠ACB ＋∠ABC ＝90°，所以∠DEC ＋∠OEB ＝90°， 故∠OED ＝90°，所以DE 是圆O 的切线．(2) 设CE ＝1，AE ＝x ，由已知得AB ＝23，BE ＝12－x 2. 由射影定理可得，AE 2＝CE·BE ， 所以x 2＝12－x 2，即x 4＋x 2－12＝0， 可得x ＝3，所以∠ACB ＝60°.(第22题)23. (1) 因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2) 将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝2，故ρ1－ρ2＝2，即MN ＝ 2.又C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.24. (1) 当a ＝1时，f(x)>1可化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x<1时，不等式化为3x －2>0，解得23<x<1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x<2，所以f(x)>1的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫23<x<2. (2) 由题设可得，f(x)＝⎩⎨⎧x －1－2a ，x<－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x>a.所以函数f(x)的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝⎛⎭⎫2a －13，0，B(2a ＋1，0)，C(a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2>6，故a>2，所以实数a 的取值范围为(2，＋∞)．2016年普通高等学校招生全国统一考试数学理科(新课标Ⅰ卷)一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分．1. 设集合A ＝{x|x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x|2x －3>0}，则A ∩B 等于( ) A. ⎝⎛⎭⎫－3，－32 B. ⎝⎛⎭⎫－3，32 C. ⎝⎛⎭⎫1，32 D. ⎝⎛⎭⎫32，3 2. 设(1＋i)x ＝1＋yi ，其中x ，y 是实数，则|x ＋yi|等于( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 23. 已知等差数列{a n }的前9项和为27，a 10＝8，那么a 100等于( )A. 100B. 99C. 98D. 974. 某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 min 的概率是( )A. 13B. 12C. 23D. 345. 已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A. (－1，3)B. (－1，3)C. (0，3)D. (0，3)6. 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A. 17πB. 18πC. 20πD. 28π(第6题)7. 函数y ＝2x 2－e |x|在[－2，2]上的图象大致为( ),A ) ,B ),C ) ,D )8. 若a>b>1，0<c<1，则( )A. a c <b cB. ab c <ba cC. alog b c<blog a cD. log a c<log b c 9. 执行如图所示的程序框图，如果输入的x ＝0，y ＝1，n ＝1，则输出x ，y 的值满足( ) A. y ＝2x B. y ＝3x C. y ＝4x D. y ＝5x(第9题)10. 以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知AB ＝42，DE ＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A. 2B. 4C. 6D. 811. 平面α过正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( )A.32 B. 22 C. 33 D. 1312. 已知函数f(x)＝sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f(x)的零点，x ＝π4为y ＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A. 11B. 9C. 7D. 5二、 填空题：本大题共4小题，每小题5分．13. 设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b|2＝|a|2＋|b |2，则m ＝________． 14. (2x ＋x)5的展开式中，x 3的系数是________．(用数字填写答案)15. 设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________． 16. 某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．三、 解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17. (本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos C(acos B ＋bcos A)＝c.(1) 求角C ；(2) 若c ＝7，△ABC 的面积为332，求△ABC 的周长．18. (本小题满分12分)如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABEF 为正方形，AF ＝2FD ，∠AFD ＝90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 的大小都是60°.(1) 求证：平面ABEF ⊥平面EFDC ； (2) 求二面角E-BC-A 的余弦值．(第18题)19. (本小题满分12分)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到如图所示的柱状图．以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．(1) 求X 的分布列；(2) 若要求P(X ≤n)≥0.5，确定n 的最小值；(3) 以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n ＝19与n ＝20之中选其一，应选用哪个？(第19题)20. (本小题满分12分)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B(1，0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E.(1) 证明：EA ＋EB 为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2) 设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．21. (本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x －2)e x ＋a(x －1)2有两个零点． (1) 求a 的取值范围；(2) 设x 1，x 2是f(x)的两个零点，求证：x 1＋x 2<2.请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22. (本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲如图，△OAB 是等腰三角形，∠AOB ＝120°.以O 为圆心，12OA 为半径作圆．(1) 求证：直线AB 与圆O 相切；(2) 点C ，D 在圆O 上，且A ，B ，C ，D 四点共圆，求证：AB ∥CD.(第22题)23. (本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos t ，y ＝1＋asin t (t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1) 说明C 1是哪种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2) 直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a 的值．24. (本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f(x)＝|x ＋1|－|2x －3|. (1) 画出y ＝f(x)的图象； (2) 求不等式|f(x)|>1的解集．(第24题).2016年普通高等学校招生全国统一考试数学理科(新课标Ⅰ卷)1. D 【解析】A ＝{x|x 2－4x ＋3<0}＝{x|1<x<3}，B ＝{x|2x －3>0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x>32，故A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪32<x<3.故选D. 2. B 【解析】由(1＋i)x ＝1＋yi 可知x ＋xi ＝1＋yi ，故x=y=1,所以|x ＋yi|＝x 2＋y 2＝ 2.故选B.3. C 【解析】由等差数列性质可知S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9×2a 52＝9a 5＝27，故a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，所以a 100＝a 10＋90d ＝98.故选C.4. B 【解析】如图所示，画出时间轴，小明到达的时间会随机地落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10 min.根据几何概型，所求概率P ＝10＋1040＝12.故选B.(第4题)5. A 【解析】x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，则(m 2＋n)(3m 2－n)>0，所以－m 2<n<3m 2.由双曲线性质知c 2＝(m 2＋n)＋(3m 2－n)＝4m 2，其中c 是半焦距，所以焦距2c ＝2·2|m|＝4，解得|m|＝1，所以－1<n<3，故选A.6. A 【解析】原立体图如图所示，是一个球被切掉左上角的18后的三视图，设半径为R ，则78×43πR 3＝28π3，解得R ＝2.该几何体的表面积S 是78的球面面积和三个扇形面积之和，S ＝78×4π×22＋3×14π×22＝17π.故选A.(第6题)7. D 【解析】f(2)＝8－e 2>8－2.82>0，排除A ；f(2)＝8－e 2<8－2.72<1，排除B.当x>0时，f(x)＝2x 2－e x ，f ′(x)＝4x －e x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，14时，f ′(x)<0，因此f(x)在⎝⎛⎭⎫0，14上单调递减，排除C.故选D.8. C 【解析】对于A ：由于0<c<1，所以函数y ＝x c 在R 上单调递增，因此a>b>1a c >bc ，A 错误．对于B ：由于－1<c －1<0，所以函数y ＝x c －1在(1，＋∞)上单调递减，所以a>b>1a c －1<b c－1ba c <ab c ，B 错误．对于C ：要比较alog b c 和blog a c ，只需比较aln c ln b 和bln cln a，只需比较ln c bln b 和ln caln a ，只需比较bln b 和aln a ，构造函数f(x)＝xln x(x>1)，则f ′(x)＝ln x＋1>1>0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增，因此f(a)>f(b)>0aln a>bln b>01aln a <1bln b.又由0<c<1得ln c<0，所以ln c aln a >ln cbln bblog a c>alog b c ，C 正确．对于D ：要比较log a c 和log b c ，只需比较ln c ln a 和ln c ln b ，只需比较1ln a 和1ln b ，而函数y ＝ln x 在(1，＋∞)上单调递增，故a>b>1ln a>ln b>01ln a <1ln b .又由0<c<1，得ln c<0，所以ln c ln a >ln c ln blog a c>log b c ，D 错误．故选C.9. C 【解析】如下表： 循环节运 行次数 x(x ＝x ＋ n －12) y(y ＝ny)判断 x 2＋y 2≥36是否 输出 n(n ＝n ＋1)运行前 0 1 / / 1 第一次 0 1 否 否 2 第二次 12 2 否 否 3 第三次326是是输出x ＝32，y ＝6，满足y ＝4x.故选C.10. B 【解析】以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理．设抛物线为y 2＝2px(p>0)，设圆的方程为x 2＋y 2＝r 2，如图．设A(x 0，22)，D ⎝⎛⎭⎫－p2，5， 点A(x 0，22)在抛物线y 2＝2px 上，所以8＝2px 0， ① 点D ⎝⎛⎭⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，所以5＋⎝⎛⎭⎫p22＝r 2， ② 点A(x 0，22)在圆x 2＋y 2＝r 2上，所以x 20＋8＝r 2. ③联立①②③，解得p ＝4，焦点到准线的距离为p ＝4.故选B.(第10题)11. A 【解析】如图，因为α∥平面CB 1D 1，所以若设平面CB 1D 1∩平面ABCD ＝m 1，则m 1∥m.又因为平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，结合平面B 1D 1C ∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，所以B 1D 1∥m 1，故B 1D 1∥m.同理可得CD 1∥n ，故m ，n 的所成角的大小与B 1D 1，CD 1所成角的大小相等，即∠CD 1B 1的大小．而B 1C ＝B 1D 1＝CD 1(均为面对角线)，因此∠CD 1B 1＝π3，即sin ∠CD 1B 1＝32.故选A.(第11题)12. B 【解析】由题意知⎩⎨⎧－π4ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ，π4ω＋φ＝k 2π＋π2，k 2∈Z ，则ω＝2k ＋1，其中k ∈Z .因为f(x)在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2，所以ω≤12，接下来用排除法．若ω＝11，则φ＝－π4，此时f(x)＝sin(11x －π4)，f(x)在(π18，3π44)上递增，在⎝⎛⎭⎫3π44，5π36上递减，不满足f(x)在⎝⎛⎭⎫π18，5π36上单调；若ω＝9，则φ＝π4，此时f(x)＝sin(9x ＋π4)，f(x)在(π18，5π36)上单调递减，满足题意．故选B.13. －2 【解析】由已知得a ＋b ＝(m ＋1，3)，|a ＋b|2＝|a|2＋|b |2(m ＋1)2＋32＝m 2＋12＋12＋22，解得m ＝－2.14. 10 【解析】设展开式的第k ＋1项为T k ＋1，k ∈{0，1，2，3，4，5}，所以T k ＋1＝C k 5(2x)5－k (x)k ＝C k 525－k x5－k 2.当5－k 2＝3时，k ＝4，即T 5＝C 4525－4x5－42＝10x 3. 15. 64 【解析】由于{a n }是等比数列，设a n ＝a 1q n －1，其中a 1是首项，q 是公比，所以。

专题01集合历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2019年新课标1理科01】已知集合M＝{|﹣4＜＜2}，N＝{|2﹣﹣6＜0}，则M∩N＝（）A．{|﹣4＜＜3} B．{|﹣4＜＜﹣2} C．{|﹣2＜＜2} D．{|2＜＜3}【解答】解：∵M＝{|﹣4＜＜2}，N＝{|2﹣﹣6＜0}＝{|﹣2＜＜3}，∴M∩N＝{|﹣2＜＜2}．故选：C．2．【2018年新课标1理科02】已知集合A＝{|2﹣﹣2＞0}，则∁R A＝（）A．{|﹣1＜＜2} B．{|﹣1≤≤2} C．{|＜﹣1}∪{|＞2} D．{|≤﹣1}∪{|≥2}【解答】解：集合A＝{|2﹣﹣2＞0}，可得A＝{|＜﹣1或＞2}，则：∁R A＝{|﹣1≤≤2}．故选：B．3．【2017年新课标1理科01】已知集合A＝{|＜1}，B＝{|3＜1}，则（）A．A∩B＝{|＜0} B．A∪B＝R C．A∪B＝{|＞1} D．A∩B＝∅【解答】解：∵集合A＝{|＜1}，B＝{|3＜1}＝{|＜0}，∴A∩B＝{|＜0}，故A正确，D错误；A∪B＝{|＜1}，故B和C都错误．故选：A．4．【2016年新课标1理科01】设集合A＝{|2﹣4+3＜0}，B＝{|2﹣3＞0}，则A∩B＝（）A．（﹣3，）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）【解答】解：∵集合A＝{|2﹣4+3＜0}＝（1，3），B＝{|2﹣3＞0}＝（，+∞），∴A∩B＝（，3），故选：D．5．【2014年新课标1理科01】已知集合A＝{|2﹣2﹣3≥0}，B＝{|﹣2≤＜2}，则A∩B＝（）A．[1，2）B．[﹣1，1] C．[﹣1，2）D．[﹣2，﹣1]【解答】解：由A中不等式变形得：（﹣3）（+1）≥0，解得：≥3或≤﹣1，即A＝（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），∵B＝[﹣2，2），∴A∩B＝[﹣2，﹣1]．故选：D．6．【2013年新课标1理科01】已知集合A＝{|2﹣2＞0}，B＝{|}，则（）A．A∩B＝∅B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B【解答】解：∵集合A＝{|2﹣2＞0}＝{|＞2或＜0}，∴A∩B＝{|2＜或＜0}，A∪B＝R，故选：B．7．【2012年新课标1理科01】已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{（，y）|∈A，y∈A，﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3 B．6 C．8 D．10【解答】解：由题意，＝5时，y＝1，2，3，4，＝4时，y＝1，2，3，＝3时，y＝1，2，＝2时，y＝1综上知，B中的元素个数为10个故选：D．8．【2010年新课标1理科01】已知集合A＝{∈R|||≤2}}，，则A∩B＝（）A．（0，2）B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}【解答】解：A＝{∈R|||≤2，}＝{∈R|﹣2≤≤2}，故A∩B＝{0，1，2}．应选D．考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：集合关系及其运算，历年考题主要以选择填空题型出现，重点考查的知识点为：交并补运算，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点交并补运算为重点较佳.最新高考模拟试题1．若集合{}5|2A x x =-<<，{}|||3B x x =<，则A B =I （ ） A ．{}|32x x -<< B ．{}|52x x -<< C ．{}|33x x -<< D ．{}|53x x -<<【答案】A 【解析】解：{}{}333||B x x x x =<=-<<， 则{}|32A B x x ⋂=-<<， 故选：A ．2．已知集合2{|560}A x x x =-+≤，{|15}B x Z x =∈<<，则A B =I （ ） A ．[2,3] B ．(1,5)C ．{}2,3D ．{2,3,4}【答案】C 【解析】2560(2)(3)023x x x x x -+≤⇒--≤⇒≤≤Q ，{}23A x x ∴=≤≤， 又{}{|15}2,3,4B x Z x =∈<<=，所以{}2,3A B ⋂=，故本题选C.3．已知集合{3,2,1,0,1,2,3}A =---，{}2|450B x x x =∈--≤R ，则A B =I （ ） A ．{3,2,1,0}--- B ．{}1,0,1,2,3- C ．{}3,2-- D ．{}3,2,1,0,1,2,3---【答案】B 【解析】因为{}2|450B x x x =∈--≤R {|15}x x =-≤≤，{3,2,1,0,1,2,3}A =---∴{}1,0,1,2,3A B ⋂=-． 故选B ．4．已知全集U =R ，集合{}|24,{|(1)(3)0}xA xB x x x =>=--<，则()U A B =I ð（ ）A ．(1,2)B ．(]1,2 C ．(1,3) D ．(,2]-∞【答案】B 【解析】由24x >可得2x >， (1)(3)0x x --<可得13x <<，所以集合(2,),(1,3)A B =+∞=,(,2]U A =-∞ð，所以()U A B =I ð(]1,2，故选B. 5．已知集合{}(,)|1,A x y y x x R ==+∈，集合{}2(,)|,B x y y x x R ==∈，则集合A B ⋂的子集个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D 【解析】由题意得，直线1y x =+与抛物线2y x =有2个交点，故A B ⋂的子集有4个. 6．已知集合{}2log (1)2M x x =+＜，{1,0,1,2,3}N =-，则()R M N ⋂ð=（ ） A ．{-1，0，1，2，3} B ．{-1，0，1，2} C ．{-1，0，1} D ．{-1，3}【答案】D 【解析】由题意，集合{}2log (1)2{|13}M x x x x =+<=-<<，则{|1R M x x =≤-ð或3}x ≥ 又由{1,0,1,2,3}N =-，所以(){1,3}R M N ⋂=-ð，故选D.7．已知集合{}lg(1)A x y x ==-，{}1,0,1,2,3B =-，则()R A B I ð=( ) A ．{}1,0- B ．{}1,0,1-C ．{}1,2,3D ．{}2,3【答案】B 【解析】因为{}{}lg(1)1A x y x x x ==-=>，所以{}1R C A x x =≤， 又{}1,0,1,2,3B =-，所以{}()1,0,1R C A B =-I . 故选B8．已知R 是实数集，集合{}1,0,1A =-，{}210B x x =-≥，则()A B =R I ð（ ）A ．{}1,0-B ．{}1C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】1|2B x x 禳镲=?睚镲铪Q1|2R C B x x 禳镲\=<睚镲铪即(){1,0}R A C B ?-故选A 。

高考数学历年（2018-2022）真题按知识点分类（函数及其性质）练习一、单选题1．（2022ꞏ天津ꞏ统考高考真题）函数()21x f x x-=的图像为（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）函数()33cos x x y x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．14．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（ ）A ．3231x xy x -+=+ B ．321x xy x -=+C ．22cos 1x xy x =+ D ．22sin 1xy x =+ 5．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（ ）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-6．（2021ꞏ天津ꞏ统考高考真题）函数2ln ||2x y x =+的图像大致为（ ） A ． B ．C ．D ．7．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（ ）A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．()10f -=C ．()20f =D ．()40f =8．（2021ꞏ北京ꞏ统考高考真题）已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．（2021ꞏ浙江ꞏ统考高考真题）已知函数21(),()sin 4f x x g x x =+=，则图象为如图的函数可能是（ ）A ．1()()4y f x g x =+-B ．1()()4y f x g x =--C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =10．（2021ꞏ全国ꞏ高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）A ．()f x x =-B ．()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()2f x x = D ．()f x =11．（2021ꞏ全国ꞏ高考真题）设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．53-B ．13-C ．13D ．5312．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．94-B ．32- C ．74 D ．52 13．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．()11f x --B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++14．（2020ꞏ山东ꞏ统考高考真题）已知函数()f x 的定义域是R ，若对于任意两个不相等的实数1x ，2x ，总有()()21210f x f x x x ->-成立，则函数()f x 一定是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．减函数15．（2020ꞏ山东ꞏ统考高考真题）函数()1lg f x x=的定义域是（ ） A ．()0,∞+B ．()()0,11,+∞C ．[)()0,11,+∞UD ．()1,+∞16．（2020ꞏ山东ꞏ统考高考真题）已知函数()y f x =是偶函数，当(0,)x ∈+∞时，()01x y a a =<<，则该函数在(,0)-∞上的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．17．（2020ꞏ天津ꞏ统考高考真题）函数241xy x =+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．18．（2020ꞏ北京ꞏ统考高考真题）已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ）．A ．(1,1)-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(0,1)D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞19．（2020ꞏ海南ꞏ高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃20．（2020ꞏ浙江ꞏ统考高考真题）函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．21．（2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知函数f (x )=sin x +1sin x，则（） A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的图象关于直线x π=对称D ．f (x )的图象关于直线2x π=对称22．（2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题）设函数331()f x x x=-,则()f x （ ） A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减23．（2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减24．（2019ꞏ北京ꞏ高考真题）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是 A ．12y x =B ．y =2x -C ．12log y x =D ．1y x=25．（2019ꞏ北京ꞏ高考真题）设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件26．（2019ꞏ全国ꞏ统考高考真题）设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭27．（2019ꞏ全国ꞏ统考高考真题）函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．28．（2019ꞏ浙江ꞏ高考真题）在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是A ．B ．C ．D ．29．（2019ꞏ全国ꞏ高考真题）设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )=e 1x -，则当x <0时，f (x )= A ．e 1x -- B ．e 1x -+ C ．e 1x ---D ．e 1x --+30．（2019ꞏ全国ꞏ高考真题）设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦31．（2019ꞏ天津ꞏ高考真题）已知函数01,()1,1.x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩剟若关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为A ．59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．59,44⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．59,{1}44⎛⎤⎥⎝⎦D ．59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦32．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）下列函数中，其图像与函数ln y x =的图像关于直线1x =对称的是 A ．ln(1)y x =-B ．ln(2)y x =-C ．ln(1)y x =+D ．ln(2)y x =+33．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）函数422y x x =-++的图像大致为A ．B ．C ．D ．34．（2018ꞏ浙江ꞏ高考真题）函数y =||2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．35．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）设函数()2010x x f x x -⎧≤=⎨>⎩，，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，36．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）已知()f x 是定义域为(,)∞∞-+的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=A ．50-B ．0C ．2D ．50二、多选题37．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（ ）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=三、填空题38．（2022ꞏ北京ꞏ统考高考真题）函数1()f x x=+的定义域是_________． 39．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x _______．①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()f x '是奇函数．40．（2021ꞏ浙江ꞏ统考高考真题）已知R a ∈，函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦，则=a ___________.41．（2021ꞏ全国ꞏ统考高考真题）已知函数()()322x xx a f x -=⋅-是偶函数，则=a ______.42．（2020ꞏ北京ꞏ统考高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．43．（2020ꞏ全国ꞏ统考高考真题）关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图象关于y 轴对称． ②f （x ）的图象关于原点对称． ③f （x ）的图象关于直线x =2π对称．④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．44．（2019ꞏ江苏ꞏ高考真题）函数y =_____.45．（2019ꞏ江苏ꞏ高考真题）设(),()f x g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数.当2(]0,x ∈时，()f x =，(2),01()1,122k x x g x x +<≤⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，其中0k >.若在区间(0]9，上，关于x 的方程()()f x g x =有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_____.46．（2019ꞏ浙江ꞏ高考真题）已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 47．（2019ꞏ全国ꞏ高考真题）已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则=a __________.48．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则=a ________．49．（2018ꞏ江苏ꞏ高考真题）函数()f x 满足(4)()()f x f x x R +=∈，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1,20,2xx f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩则((15))f f 的值为____．50．（2018ꞏ江苏ꞏ高考真题）函数()f x =________． 51．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题）已知函数())ln 1f x x =-+，()4f a =，则()f a -=________．52．（2018ꞏ天津ꞏ高考真题）已知a R ∈，函数()22220220x x a x f x x x a x ⎧++-≤=⎨-+->⎩，，，．若对任意x ∈［–3，+∞），f (x )≤x 恒成立，则a 的取值范围是__________．四、解答题53．（2021ꞏ全国ꞏ高考真题）已知函数()2,()2321f x x g x x x =-=+--．（1）画出()y f x =和()y g x =的图像； （2）若()()f x a g x +≥，求a 的取值范围．54．（2020ꞏ山东ꞏ统考高考真题）已知函数()225,02,0x x f x x x x -≥⎧=⎨+<⎩. （1）求()1f f ⎡⎤⎣⎦的值；（2）求()13f a -<，求实数a 的取值范围.55．（2018ꞏ全国ꞏ高考真题） 设函数()211f x x x =++-． （1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b ≤+，求a b +的最小值．五、双空题56．（2022ꞏ浙江ꞏ统考高考真题）已知函数()22,1,11,1,x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________；若当[,]x a b ∈时，1()3f x ≤≤，则b a -的最大值是_________． 57．（2022ꞏ全国ꞏ统考高考真题）若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则=a _____，b =______．58．（2022ꞏ北京ꞏ统考高考真题）设函数()()21,,2,.ax x a f x x x a -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩若()f x 存在最小值，则a 的一个取值为________；a 的最大值为___________．59．（2019ꞏ北京ꞏ高考真题）设函数f （x ）=e x +a e −x （a 为常数）．若f （x ）为奇函数，则a =________；若f （x ）是R 上的增函数，则a 的取值范围是___________．参考答案1．D【要点分析】要点分析函数()f x 的定义域、奇偶性、单调性及其在(),0∞-上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【答案详解】函数()21x f x x-=的定义域为{}0x x ≠，且()()()2211x x f x f x xx----==-=--，函数()f x 为奇函数，A 选项错误；又当0x <时，()210x f x x-=≤，C 选项错误；当1x >时，()22111x x f x x xx x--===-函数单调递增，故B 选项错误；故选：D. 2．A【要点分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【答案详解】令()()33cos ,,22x xf x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，则()()()()()33cos 33cos x x x xf x x x f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，排除BD ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，330,cos 0x x x -->>，所以()0f x >，排除C.故选：A. 3．A【要点分析】法一：根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值，即可解出． 【答案详解】[方法一]：赋值加性质因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++= ．由于22除以6余4， 所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由()()()()f x y f x y f x f y ++-=，联想到余弦函数和差化积公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++-=，可设()cos f x a x ω=，则由方法一中()()02,11f f ==知2,cos 1a a ω==，解得1cos 2ω=，取3πω=， 所以()2cos3f x x π=，则()()()()2cos 2cos 4cos cos 333333f x y f x y x y x y x y f x f y ππππππ⎛⎫⎛⎫++-=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2cos3f x x π=符合条件，因此()f x 的周期263T ππ==，()()02,11f f ==，且()()()()()21,32,41,51,62f f f f f =-=-=-==，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=，由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法； 法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.4．A【要点分析】由函数图像的特征结合函数的性质逐项排除即可得解.【答案详解】设()321x x f xx -=+，则()10f =，故排除B;设()22cos 1x x h x x =+，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0cos 1x <<，所以()222cos 2111x x xh x x x =<≤++，故排除C; 设()22sin 1xg x x =+，则()2sin 33010g =>，故排除D. 故选：A.5．D【要点分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x +-=-，从而得到()()()352110f f f +++=- ，()()()462210f f f +++=- ，然后根据条件得到(2)f 的值，再由题意得到()36g =从而得到()1f 的值即可求解. 【答案详解】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称， 所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-， 因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=， 代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-， 所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ， ()()()()46222510f f f +++=-⨯=- .因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-. 因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=， 联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ， 所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-. 所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ . 故选：D【名师点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.6．B【要点分析】由函数为偶函数可排除AC ，再由当()0,1∈x 时，()0f x <，排除D ，即可得解.【答案详解】设()2ln ||2x y f x x ==+，则函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称， 又()()()2ln ||2x f x f x x --==-+，所以函数()f x 为偶函数，排除AC ；当()0,1∈x 时，2ln 0,20x x + ，所以()0f x <，排除D.故选：B.7．B【要点分析】推导出函数()f x 是以4为周期的周期函数，由已知条件得出()10f =，结合已知条件可得出结论.【答案详解】因为函数()2f x +为偶函数，则()()22f x f x +=-，可得()()31f x f x +=-， 因为函数()21f x +为奇函数，则()()1221f x f x -=-+，所以，()()11f x f x -=-+， 所以，()()()311f x f x f x +=-+=-，即()()4f x f x =+， 故函数()f x 是以4为周期的周期函数，因为函数()()21F x f x =+为奇函数，则()()010F f ==， 故()()110f f -=-=，其它三个选项未知. 故选：B.8．A【要点分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【答案详解】若函数()f x 在[]0,1上单调递增，则()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ， 若()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ，比如()213f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，但()213f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数，在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，故()f x 在[]0,1上的最大值为()1f 推不出()f x 在[]0,1上单调递增，故“函数()f x 在[]0,1上单调递增”是“()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ”的充分不必要条件， 故选：A.9．D【要点分析】由函数的奇偶性可排除A 、B ，结合导数判断函数的单调性可判断C ，即可得解.【答案详解】对于A ，()()21sin 4y f x g x x x =+-=+，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A ；对于B ，()()21sin 4y f x g x x x =--=-，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B ； 对于C ，()()21sin 4y f x g x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，则212sin cos 4y x x x x ⎛⎫'=++ ⎪⎝⎭，当4x π=时，210221642y ππ⎛⎫'=⨯++⨯> ⎪⎝⎭，与图象不符，排除C. 故选：D.10．D【要点分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【答案详解】对于A ，()f x x =-为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，()2f x x =在(),0∞-为减函数，不合题意，舍.对于D ，()f x =R 上的增函数，符合题意，故选：D.11．C【要点分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得53f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【答案详解】由题意可得：522213333f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而21111133333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故5133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C.【名师点睛】关键点名师点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.12．D【要点分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数解析式()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．【答案详解】[方法一]：因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①； 因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+， 因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以935222f f⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． [方法二]：因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①； 因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+， 因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =．所以91352222f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：D ．【名师点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．13．B【要点分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可. 【答案详解】由题意可得12()111x f x x x-==-+++， 对于A ，()2112f x x --=-不是奇函数； 对于B ，()211f x x-=+是奇函数；对于C ，()21122f x x +-=-+，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D ，()2112f x x ++=+，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B【名师点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.14．C【要点分析】利用函数单调性定义即可得到答案. 【答案详解】对于任意两个不相等的实数1x ，2x ，总有()()21210f x f x x x ->-成立，等价于对于任意两个不相等的实数12x x <，总有()()12f x f x <.所以函数()f x 一定是增函数. 故选：C15．B【要点分析】根据题意得到0lg 0x x >⎧⎨≠⎩，再解不等式组即可.【答案详解】由题知：0lg 0x x >⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠.所以函数定义域为()()0,11,+∞ . 故选：B16．B【要点分析】根据偶函数，指数函数的知识确定正确选项.【答案详解】当(0,)x ∈+∞时，()01xy a a =<<，所以()f x 在()0,∞+上递减，()f x 是偶函数，所以()f x 在(),0∞-上递增. 注意到01a =， 所以B 选项符合. 故选：B17．A【要点分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【答案详解】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误； 当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误. 故选：A.【名师点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．18．D【要点分析】作出函数2x y =和1y x =+的图象，观察图象可得结果.【答案详解】因为()21xf x x =--，所以()0f x >等价于21x x >+，在同一直角坐标系中作出2x y =和1y x =+的图象如图：两函数图象的交点坐标为(0,1),(1,2)， 不等式21x x >+的解为0x <或1x >.所以不等式()0f x >的解集为：()(),01,-∞⋃+∞. 故选：D.【名师点睛】本题考查了图象法解不等式，属于基础题. 19．D【要点分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果. 【答案详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <， 所以由(10)xf x -≥可得：0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃， 故选：D.【名师点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 20．A【要点分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在x π=处的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【答案详解】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-， 即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称， 据此可知选项CD 错误；且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误. 故选：A.【名师点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 21．D【要点分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D. 【答案详解】sin x 可以为负，所以A 错； 1sin 0()()sin ()sin x x k k Z f x x f x xπ≠∴≠∈-=--=-∴Q Q ()f x 关于原点对称； 11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x xππ-=--≠-=+=Q 故B 错； ()f x ∴关于直线2x π=对称，故C 错，D 对故选：D【名师点睛】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本要点分析判断能力，属中档题. 22．A【要点分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为{}0x x ≠，利用定义可得出函数()f x 为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．【答案详解】因为函数()331f x x x=-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-， 所以函数()f x 为奇函数． 又因为函数3y x =在()0,+?上单调递增，在(),0-?上单调递增，而331y x x-==在()0,+?上单调递减，在(),0-?上单调递减， 所以函数()331f x x x=-在()0,+?上单调递增，在(),0-?上单调递增．故选：A ．【名师点睛】本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题． 23．D【要点分析】根据奇偶性的定义可判断出()f x 为奇函数，排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，利用函数单调性的性质可判断出()f x 单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，利用复合函数单调性可判断出()f x 单调递减，从而得到结果.【答案详解】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-， ()f x \为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x \在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D.【名师点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据()f x -与()f x 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.【要点分析】由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可.【答案详解】函数122,log xy y x -==，1y x=在区间(0,)+∞ 上单调递减， 函数12y x = 在区间(0,)+∞上单调递增，故选A .【名师点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题. 25．C【要点分析】根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -进行判断. 【答案详解】0b = 时，()cos sin cos f x x b x x =+=, ()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=- ，得0bsinx =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【名师点睛】本题较易，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 26．C【解析】由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小．【答案详解】()f x 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>> ，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．【要点分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果．【答案详解】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ． 【名师点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 28．D【解析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【答案详解】当01a <<时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1xy a =过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1x y a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D. 【名师点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性. 29．D【要点分析】先把x <0，转化为-x>0,代入可得()f x -，结合奇偶性可得()f x . 【答案详解】()f x 是奇函数， 0x ≥时，()1x f x e =-．当0x <时，0x ->，()()1x f x f x e -=--=-+，得()e 1x f x -=-+．故选D ．【名师点睛】本题考查分段函数的奇偶性和解析式，渗透了数学抽象和数学运算素养．采取代换法，利用转化与化归的思想解题． 30．B【要点分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，要点分析出临界点位置，精准运算得到解决．【答案详解】(0,1]x ∈ 时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【名师点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力． 31．D【要点分析】画出()f x 图象及直线14y x a =-+，借助图象要点分析．【答案详解】如图，当直线14y x a =-+位于B 点及其上方且位于A 点及其下方， 或者直线14y x a =-+与曲线1y x =相切在第一象限时符合要求． 即1124a ≤-+≤，即5944a ≤≤，或者2114x -=-，得2x =，12y =，即11224a =-⨯+，得1a =， 所以a 的取值范围是{}59,144⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选D ．【名师点睛】根据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交点个数，特别是其中一条为直线时常用此法． 32．B【答案详解】要点分析：确定函数y lnx =过定点（1，0）关于x=1对称点，代入选项验证即可．答案详解：函数y lnx =过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有()y ln 2x =-过此点． 故选项B 正确名师点睛：本题主要考查函数的对称性和函数的图像，属于中档题． 33．D【答案详解】要点分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果.答案详解：函数过定点()0,2，排除,A B ，求得函数的导数()()32'42221f x x x x x =-+=--，由()'0f x >得()22210x x -<，得2x <-或02x <<，此时函数单调递增，排除C ，故选D. 名师点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.34．D【答案详解】要点分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.答案详解：令||()2sin 2x f x x =，因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B;因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.名师点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 35．D【要点分析】要点分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有()()12f x f x +<成立，一定会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，从而求得结果.答案详解：将函数()f x 的图像画出来，观察图像可知会有2021x x x <⎧⎨<+⎩，解得0x <，所以满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是()0-∞，，故选D .名师点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果. 【答案详解】 36．C【答案详解】要点分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.答案详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++ ， 因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴= ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++== ，选C.名师点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． 37．BC【要点分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【答案详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于()f x ，因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x fx ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①，所以()()3f x f x -=，所以()f x 关于32x =对称，则(1)(4)f f -=，故C 正确；对于()g x ，因为(2)g x +为偶函数，(2)(2)g x g x +=-，(4)()g x g x -=，所以()g x 关于2x =对称，由①求导，和()()g x f x '=，得333333222222f x f x f x f x g x g x ''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''-=+⇔--=+⇔--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以()()30g x g x -+=，所以()g x 关于3(,0)2对称，因为其定义域为R ，所以302g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合()g x 关于2x =对称，从而周期34222T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误. 故选：BC.[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知()g x 周期为2，关于2x =对称，故可设()()cos πg x x =，则()()1sin ππf x x c =+，显然A ，D 错误，选BC.故选：BC. [方法三]：因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=-，所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称，又()()g x f x '=，且函数()f x 可导，所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误；若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误. 故选：BC.【整体点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．38．()(],00,1-∞⋃【要点分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【答案详解】解：因为()1f x x =100x x -≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≤且0x ≠，故函数的定义域为()(],00,1-∞⋃； 故答案为：()(],00,1-∞⋃39．()4f x x =（答案不唯一，()()2*n x N f n x =∈均满足）【要点分析】根据幂函数的性质可得所求的()f x .。