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高一数学春季班（学生版）1、角的正切线：2、正切函数的图像： 可选择⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ的区间作出它的图像，通过单位圆和正切线，类比正、余弦函数图像的画法作出正切函数的图像根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数tan ,y x x R =∈， 且()2x k k Z ππ≠+∈的图像，称“正切曲线”.由正弦函数图像可知： （1）定义域：{|()}2x x k k Z ππ≠+∈，（2）值域：R 观察：当x 从小于()z k k ∈+2ππ，2π+π−→−k x 时，tan x →+∞当x 从大于()z k k ∈+ππ2，ππk x +−→−2时，tan x →-∞.x y2π-2πy2π-π23π23-2πx 正切函数的图像与性质知识梳理（3）周期性：T π=（4）奇偶性：tan()tan x x -=-，所以是奇函数 （5）单调性：在开区间(,),22k k k Z ππππ-++∈内，函数单调递增.（6）中心对称点：,0,2k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭3、 余切函数的图象：⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2tan 2tan cot ππx x x y即将x y tan =的图象，向左平移2π个单位，再以x 轴为对称轴上下翻折，即得x y cot =的图象由余弦函数图像可知：（1）定义域：{|()}x x k k Z π≠∈， （2）值域：R（3）周期性：T π=（4）奇偶性：tan()tan x x -=-，所以是奇函数（5）单调性：在开区间(,),k k k Z πππ+∈内，函数单调递增.（6）中心对称点：,0,2k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭一、正切函数的图像【例1】作函数||y tan x =的图像.【例2】求函数()tan tan f x x x =+的定义域、周期、单调增区间，并画草图．【例3】根据正切函数图象，写出满足下列条件的x 的范围. （1）tan 0x > （2）tan 0x = （3）tan 0x < （4）tan 3x >【例4】根据正切函数图像，写出使下列不等式成立的x 值的集合： （1）0tan 1≥+x （2）3tan -x 0≥【例5】比较下列两数的大小 （1）2tan 7π与10tan 7π （2）6tan 5π与13tan()5π- （3）81cot o 与191cot o【例6】函数sin y x =与tan y x =的图像在[2,2]ππ-上的交点有 （ ）.A 3个 .B 5个 .C 7个 .D .D 9个例题解析【巩固训练】1．作出函数|tan |y x =的图象.2．利用图像，不等式tan 21x <≤的解集为____________.3．比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-413tan π与⎪⎭⎫⎝⎛-517tan π的大小4．若()tan()4f x x π=+，试比较(1),(0),(1)f f f -，并按从小到大的顺序排列：_________.二、正切函数的定义域及值域1、正切函数的定义域【例7】求下列函数的定义域（1）tan 2y x = （2）y =（3）cos tan y x x =⋅ （4）11tan y x=+【例8】求函数y =lg(tan x -+3cos 2+x 的定义域．【巩固训练】1．函数tan 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域为__________2．与函数)42tan(π+=x y 的图象不相交的一条直线是 （ ）.A 2π=x .B 2π-=x .C 4π=x .D 8π=x3．求下列函数的定义域(1)1tan y x = ；(2)sin tan()log (2cos 1)4x y x x π=+⋅- ．2、正切函数的值域与最值【例9】函数2tan ,0,124y x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值域为【例10】若⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈4,3ππx ，求函数1tan 2cos 12++=x x y 的最值及相应的x 值；.【例11】已知2tan tan y x a x =-，当1[0,],[0,]34x a π∈∈时，函数max y =，求实数a 的值.【例12】求函数252tan 4tan 3y x x =-+的值域.【巩固训练】1．求函数sin tan ,[,]44y x x x ππ=+∈-的值域2．求函数2)1(tan 12-+=x y 的最大值，并求当函数取得最大值时，自变量x 的集合.3．已知2tan 2tan 3y x x =-+，求它的最小值4．函数2tan 4tan 1y x x =+-的值域为____________三、正切函数的性质1、正余弦函数的周期性 【例13】求下列函数的周期: （1）tan(3)3y x π=-+（2）22tan 1tan xy x=+ （3）cot tan y x x =- （4）22tan21tan2xy x =- （5）sin 1tan tan 2x y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【巩固训练】1．函数3tan(2)4y x π=+的周期为_____________.2．函数tan()(0)6y ax a π=+≠的最小正周期为_____________,3．函数y ＝xx22tan 1tan 1+-的周期为2、正切函数的奇偶性与对称性【例14】判断下列函数的奇偶性()(1)2cos tan f x x x =++ ()22(2)tan cot f x x x x =- ()1sin cos (3)1sin cos x xf x x x+-=++()()44tan 2f x x x x =+ ()()2tan tan 51tan x xf x x-=-【例15】求函数1()tan cot f x x x=-的最小正周期，并判断函数的奇偶性.【例16】求函数3tan(2)3y x π=+的对称中心的坐标．【例17】若)2tan(θ+=x y 图象的一个对称中心为)0,3(π，若22πθπ<<-，求θ的值.【巩固训练】1．判断下列函数的奇偶性（1）xx x f tan 1tan )(-=；（2）x x x f tan cos 2)(++=；.2．判断下列函数的奇偶性 （1）tan(3)3y x π=-（2）|tan()|4y x π=+3．函数tan 2y x =的图像关于点 成中心对称.4．下列坐标所表式的点中，不是函数)62tan(π-=xy 的图象的对称中心的是 （ ）.A )0,3(π .B )0,35(π- .C )0,34(π .D )0,32(π3、正切函数的单调性【例18】求下列函数的单调区间： （1）13tan()24y x π=+ （2）3tan()24x y π=-+【例19】求下列函数的单调区间： （1）cot(2)4y x π=- （2）|tan |y x =【例20】已知函数wx y tan =在⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ内是减函数，则 （ ） .A 10≤<w .B 01<≤-w .C 1≥w .D 1-≤w【例21】已知函数3tan(),[0,]33x y b x a ππ=-+∈是增函数，值域为[-，求,a b 的值。
