含参的一元二次不等式解法

1 2a
综上：原不等式的解集为
1a
当 a＞0 时，{x|－a＜x＜2a}； 当 a＜0 时，{x|2a＜x＜－a}；
x 2ax a 0
当 a＝0 时，∅ .
x1 2a或x2 a
讨论：(1)当 2a a时，即 a＞0，则－a＜x＜2a， (2)当 2a＜ a时，即a 0, 则 2a＜x＜－a
1 m
1 m 1
x mx m 1 0
x1 m 或x2 m 1
m x m1 口诀：小于取中间
3判断根的大小，画二次 函数图像
[点评] 二次项系数不含参数的一元二次不等式的解法： (1)将二次项系数转化为正数； (2)判断相应方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省
去此步)； (3)根据根的情况写出相应的解集(若方程有相异根，为了
ax2+bx+c<0 的解集
(a>0)﹛x|x1<x<x2 ﹜
Φ
无实根 R Φ
解一元二次不等式的步骤
1、把一元二次不等式化为标准形式，即不等式 的左边是二次函数的解析式，右边是0，二次项的系 数大于0；
3、画出对应二次函数的图像，写出不等式的解 集。
什么是含参不等式？
通俗的说：不等式中除了变量x或y,还有其他代 表常数的字母，这个字母就叫参数。所对应的 不等式就叫含参不等式。
2当a 0时，1 2 ax 2x 2 0
再讨论：①当
2
2
a 2
时，即 a
x1
2 a
或x2
2
1 此时原不等式的解
a
集
Hale Waihona Puke x2 ax
2
②当 2＜2时，即 0＜a＜1，此时原不等式的解 a

高中数学一元二次含参不等式的解法探究一元二次含参不等式通常是指形如 $ax^2+bx+c\geq0$ 或$ax^2+bx+c\leq0$（$a,b,c$ 为实数，$x$ 为变量，含参的地方通常是 $a,b,c$ 中的某个或某些）的不等式。

这类不等式的解法很多，下面就介绍一些常用的解法。

一、分离变量法如果不等式中的参数只有 $a$，则可尝试使用分离变量法来解决。

以 $ax^2+bx+c\geq0$ 为例，如果 $a>0$，则将所有 $x$ 看作常量，不等式左右两边同除以 $a$，得到关于 $x$ 的二次函数 $f(x) = x^2 + \dfrac{b}{a}x +\dfrac{c}{a}$ 的非负解集，容易通过求出函数图像的顶点坐标和判别式来确定这个非负解集。

二、配方法以 $ax^2+bx+c\geq0$ 为例，令 $x + \dfrac{b}{2a} = t$，则原不等式可化为$a(t-\dfrac{b}{2a})^2+c-\dfrac{b^2}{4a}\geq0$，即 $at^2 +(c-\dfrac{b^2}{4a})\geq0$。

通过求出 $at^2 + (c-\dfrac{b^2}{4a})$ 的图像的顶点坐标和判别式，解得 $t$ 的取值范围，进而解得 $x$ 的取值范围。

三、求导法对于形如 $f(x)\geq0$ 或 $f(x)\leq0$ 的不等式，如果洛必达法则得到$\lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)}{x-a}$ 的值总是和 $x$ 无关，那么$f(x)$ 在 $a$ 的附近单调递增或单调递减。

在这种情况下，我们可以使用求导法来解决不等式。

利用求导法可以解决大部分一元二次含参不等式，但需要注意的是，当不等式中含有绝对值时，求导法不一定适用。

四、其他方法在解决复杂的一元二次含参不等式时，可能需要结合多种方法，例如：1. 参照根的公式来求解，将不等式转化为以某个参数为自变量的一元二次函数，然后利用根的公式来解决。

含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。

解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧->21|x x当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22练习1 解不等式()00652≠>+-a a ax ax二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例2 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。

解：∵162-=∆a ∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a xR x x 且； 当4>a 或4-<a 即>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >, ∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或练习2 解不等式()()R m x x m∈≥+-+014122三、按方程2=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=<；例3 解不等式)0( 01)1(2≠<++-a x aa x分析：此不等式可以分解为：()0)1(<--ax a x ，故对应的方程必有两解。

A．
B．
C．
D．
【答案】C
∵关于 的方程
存在三个不等实根，
∴方程
有两个根，且一正一负，且正根在区间
令
，
内．
则有
，解得
．
∴实数 的取值范围是
．选 C．
点睛：
解答本题时，根据所给函数的特征并利用换元的方法将问题化为方程根的问题处理，然后结合二次方程根
的分布情况再转化成不等式的 问题解决．对于本题中的
根的情况，还要根据数形结合根据两函
个，则有 1－ a2 <0，此时 a2 >1，而 0<b<1+a，故 a>1，
由不等式 a2 1 x2 2bx b2 <0 解得
2b 2ab x 2b 2ab , 即 b x b 1 要使该不等式的解集中的整数恰有 3 个，那么－
2 a2 1
2 a2 1
a 1
a 1
2020 年
数图象交点的个数来判断．
5．若“
”是“
”的充分而不必要条件，则实数 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
2020 年
B 中的不等式不能分解因式，故考虑判断式 4k 2 4(k 2 k) 4k ，
(1)当 k=0 时， 0, x R . (2)当 k＞0 时，△＜0，x R .
(3)当 k＜0 时， 0, x k k或x k k .
第三步 ，得出结论：
综上所述，k 的取值范围是： k 0或 1 k 0.
考点：1.一元二次不等式的解法；2.含参不等式的解法.
【变式演练 3】已知 a 0 ，解关于 x 的不等式 ax2 (a 2)x 2 0 ．