自然数平方数列和立方数列求和公式

数学][转载]自然数平方和公式推导及其应用(2009-07-29 12:13:14)转载▼标分类：游戏数学签：杂谈12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6，在高中数学中是用数学归纳法证明的一个命题，没有给出其直接的推导过程。

其实，该求和公式的直接推导并不复杂，也没有超出初中数学内容。

设：S=12+22+32+…+n2另设：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是解题的关键，一般人不会这么去设想。

有了此步设题，第一：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的12+22+32+…+n2=S，(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展开为(n2+2n+12)+( n2+2×2n+22)+( n2+2×3n+32)+…+( n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+ 12+22+32+…+n2，即S1=2S+n3+2n(1+2+3+...+n).. (1)第二：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为：S1=12+32+52…+ (2n-1)2+22+42+62…+(2n)2，其中：22+42+62...+(2n)2=22(12+22+32+...+n2)=4S.. (2)12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1) 2+…+ (2n-1) 2= (22×12-2×2×1+1) +(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+ (22×n2-2×2×n+1)2 =22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n=22×(12+22+32+…+n2)-2×2 (1+2+3+…+n)+n=4S-4(1+2+3+...+n)+n.. (3)由(2)+ (3)得：S1=8S-4(1+2+3+...+n)+n.. (4)由(1)与(4)得：2S+ n3+2n(1+2+3+…+n) =8S-4(1+2+3+…+n)+n即：6S= n3+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n= n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1]= n(2n2+3n+1)= n(n+1)(2n+1)S= n(n+1)(2n+1)/ 6亦即：S=12+22+32+...+n2= n(n+1)(2n+1)/6 (5)以上可得各自然数平方和公式为n(n+1)(2n+1)/6，其中n为最后一位自然数。

公考常用的10个求和公式1.自然数列求和公式：1+2+3+...+n = n*(n+1)/2。

2.等差数列求和公式：S_n = n/2 * (2a_1 + (n-1)d)，其中a_1是首项，d是公差，n是项数。

3.等比数列求和公式：当公比q不等于1时，S_n = a_1 * (1-q^n) / (1-q)；当公比q等于1时，S_n = n * a_1。

4.平方数列求和公式：1^2 + 2^2 + ... + n^2 = n*(n+1)*(2n+1)/6。

5.立方数列求和公式：1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (n*(n+1)/2)^2。

6.交错数列求和（交错级数和）：如1 - 2 + 3 - 4 + ... + (-1)^(n-1)*n。

这种数列求和可以通过分组或者逐项相加的方式进行。

7.倒数数列求和：如1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n。

这种数列没有简单的求和公式，但可以通过数值方法（如逐项相加或使用计算机程序）进行近似计算。

8.对数数列求和：如ln(1) + ln(2) + ... + ln(n)。

由于对数函数的性质，这种数列的和可以通过求对数的乘积来得到，即ln(12...*n) = ln(n!)，其中n! 表示n 的阶乘。

9.几何级数求和（等比数列的另一种形式）：如2 + 4 + 8 + ... + 2^n。

这种数列的和可以通过等比数列求和公式得到，即S_n = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q)，其中a_1 是首项，q 是公比，n 是项数。

10.组合数列求和：这种数列是由不同的数列组合而成的，例如1 + 3 + 6 + ... +(n*(n+1)/2) 是由自然数列的每一项与其索引的乘积组成的。

对于这种数列，可能需要先将其拆分为几个简单的数列，然后分别求和，最后再将结果相加。

需要注意的是，以上列举的公式只是公考中可能遇到的一部分求和公式，而且在实际考试中，题目可能会给出更复杂的数列或者需要进行一些变形才能应用公式。

数列常见数列公式数列是数学中常见的一种数值排列模式，通常由一个初始项和一个通项公式来确定。

不同类型的数列有不同的求解方法，下面将介绍常见的数列公式及其解法。

1.等差数列（Arithmetic Progression）：等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之间的差等于一个常数d。

例如，1，3，5，7，9，…，其中公差d=2通项公式：an = a1 + (n - 1) * d求和公式：Sn = (n / 2) * (a1 + an)2.等比数列（Geometric Progression）：等比数列是指数列中的每一项与它的前一项之间的比例等于一个常数r。

例如，2，6，18，54，162，…，其中公比r=3通项公式：an = a1 * r^(n-1)求和公式：Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)3. 斐波那契数列（Fibonacci Sequence）：斐波那契数列是指数列中的每一项等于前两项之和。

例如，1，1，2，3，5，8，13，…。

通项公式：an = an-1 + an-2，其中a1 = 1，a2 = 14. 平方数列（Square Numbers Sequence）：平方数列是指数列中的每一项都是一些自然数的平方。

例如，1，4，9，16，25，…。

通项公式：an = n^25. 立方数列（Cube Numbers Sequence）：立方数列是指数列中的每一项都是一些自然数的立方。

例如，1，8，27，64，125，…。

通项公式：an = n^36.等差-等比数列（Arithmetic-Geometric Progression）：等差-等比数列是指数列中的前一部分是等差，后一部分是等比。

例如，1，4，9，16，32，64，…，其中前四项是等差数列，后两项是等比数列。

通项公式：an = a + (n - m) * d * r^(n - m - 1)，其中n >= m。

以上是一些常见的数列公式及其解法。

数列求和公式方法总结数列是数学中一个重要的概念，它是由一系列按照一定规律排列的数构成的序列。

在数列中，求和是一个常见的问题，而求和公式和方法则是解决这一问题的关键。

本文将对数列求和的常见公式和方法进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和掌握数列求和的技巧。

一、等差数列求和公式。

等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列，常用的求和公式有以下两种：1. 等差数列的前n项和公式，Sn = (a1 + an) n / 2，其中a1为首项，an为末项，n为项数。

2. 等差数列的通项公式，an = a1 + (n-1) d，其中an为第n项，a1为首项，d为公差。

二、等比数列求和公式。

等比数列是指数列中相邻两项的比值都相等的数列，常用的求和公式有以下两种：1. 等比数列的前n项和公式，Sn = a1 (1 q^n) / (1 q)，其中a1为首项，q为公比，n为项数。

2. 等比数列的通项公式，an = a1 q^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，q为公比。

三、其他常见数列求和公式。

除了等差数列和等比数列外，还有一些其他常见的数列求和公式，如：1. 平方和公式，1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n (n + 1) (2n + 1) / 6。

2. 立方和公式，1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (n (n + 1) / 2)^2。

3. 斐波那契数列求和公式，F(n) = F(n+2) 1，其中F(n)为斐波那契数列的前n项和。

四、数列求和的常用方法。

除了利用求和公式外，还有一些常用的方法可以帮助我们求解数列的和，如：1. 数学归纳法，通过证明首项成立，然后假设第k项成立，推导出第k+1项也成立，从而得出结论。

2. Telescoping series，利用数列中相邻项之间的关系，将求和式中的部分项相互抵消，从而简化求和过程。

3. 倒序相消法，将数列按照相反的顺序排列，然后与原数列相加，利用相邻项之间的关系进行相消，从而简化求和过程。

常用的一些求和公式
在数学中，求和是一个常见的操作。

求和公式是用来计算一系列数值的总和的表达式。

下面是一些常用的求和公式：
1.自然数求和公式：
1+2+3+...+n=n(n+1)/2
2.平方数求和公式：
1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6
3.立方数求和公式：
1³+2³+3³+...+n³=[n(n+1)/2]²
4.等差数列求和公式：
a+(a+d)+(a+2d)+...+[a+(n-1)d]=n(2a+(n-1)d)/2
5.等比数列求和公式（当r不等于1）：
a + ar + ar² + ... + ar^(n-1) = (a(1-r^n))/(1-r)
6.幂级数求和公式（当，x，<1）：
1+x+x²+...+x^n=(1-x^(n+1))/(1-x)
7.调和数求和公式：
1 + 1/
2 + 1/
3 + ... + 1/n ≈ ln(n) + γ，其中γ是欧拉常数8.组合数求和公式：
C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n)=2^n
9.幂求和公式：
1^k+2^k+3^k+...+n^k≈(n^(k+1))/(k+1)，其中k是一个正整数
10.质数求和公式（素数求和定理）：
素数的倒数的和收敛于常数2.26
这只是一小部分常见的求和公式。

在数学中，还有许多其他的求和公式可用于计算不同种类的数列的总和。

数列求和的基本方法和技巧利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n n n3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 自然数列4、 )12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n 自然数平方组成的数列[例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32（利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式）∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ②（设制错位）①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………① 14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………②（设制错位）①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS（错位相减）∴ 1224-+-=n n n S 练习：*提示：不要觉得重复和无聊，乘公比错位相减的关键就是熟练！ 通项为{a n · b n },1、an 是自然数列，bn 是首项为1，q 为2的等比数列2、an 是正偶数数列，bn 是首项为1，q 为2的等比数列3、an 是正奇数数列，bn 是首项为1，q 为2的等比数列4、an 是正偶数数列，bn 是首项为3，q 为3的等比数列5、an 是正奇数数列，bn 是首项为3，q 为3的等比数列6、an 是自然数列，bn 是首项为3，q 为3的等比数列 三、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例5] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，…解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n（分组）当a＝1时，2)13(nn n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111nn aa S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+---[例6] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1( ∴ ∑=++=nk n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k k nk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n＝k k k nk nk nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和）＝2)2()1(2++n n n四、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）111)1(1+-=+=n n n n a n ====》升级分母是n(n+2)呢？---重点掌握这个型裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：①111(1)1n n n n =-++； ②1111()()n n k k n n k=-++；③2211111()1211k k k k <=---+，211111111(1)(1)1k k k k k k k k k -=<<=-++--； ④1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++ ；⑤11(1)!!(1)!n n n n =-++；⑥=<<=[例7] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n（裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n [例8] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.解： ∵ 211211n n n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴)111(82122+-=+⋅=n n n n b n（裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n nS n （裂项求和）＝)111(8+-n ＝ 18+n n。

立方数列的求和公式
立方数列是指以立方数形式递增的数列，其通项公式为an = n^3，其中n 代表数列的位数。

求和公式是用来求解数列所有项的和的公式。

对于立方数列的求和，我们可以通过使用几何级数的公式来得到准确的结果。

我们需要计算数列的前n项和，表示为Sn。

根据数列的通项公式an = n^3，我们可以得到：
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an
代入通项公式，我们可以得到：
Sn = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3
我们需要寻找数列的求和公式。

观察数列中的项可以发现，每一项都可以表示为(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2)与n的乘积。

我们知道平方数列的求和公式为：
S' = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6
因此，我们可以将立方数列的求和公式表示为：
Sn = (1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2) * n
将平方数列的求和公式代入，我们可以得到：
Sn = n(n+1)(2n+1)/6 * n
化简后，我们得到立方数列的求和公式：
Sn = n^2 * (n+1)^2 / 4
这就是立方数列的求和公式。

立方数列的求和公式为Sn = n^2 * (n+1)^2 / 4，其中n代表数列的位数。

通过使用这个公式，我们可以方便地计算立方数列的前n项和。

数列公式汇总数列是数学中的一个重要概念，它由一系列按照规律排列的数字组成。

在数列中，每个数字被称为项，而项之间的关系被称为公式。

本文将详细介绍数列的各种公式和它们的应用。

1.等差数列：等差数列是指数列中的每两个相邻的项之间的差值都相等的数列。

它的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n个项，a1表示第1个项，d表示公差。

2.等比数列：等比数列是指数列中的每两个相邻的项之间的比值都相等的数列。

它的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n个项，a1表示第1个项，r表示公比。

3. 斐波那契数列：斐波那契数列是一种特殊的数列，它的前两个项均为1，从第三个项开始，每一项都是前两个项的和。

它的通项公式为an = an-1 + an-2，其中an表示第n个项。

4. 平方数列：平方数列是指数列中的每个项都是一个平方数的数列。

它的通项公式为an = n^2，其中an表示第n个项。

5. 立方数列：立方数列是指数列中的每个项都是一个立方数的数列。

它的通项公式为an = n^3，其中an表示第n个项。

6.等差数列求和公式：等差数列的前n项和可以使用求和公式来表示，即Sn=(2a1+(n-1)d)*n/2，其中Sn表示前n项和，a1表示第1个项，d表示公差。

7.等比数列求和公式：等比数列的前n项和可以使用求和公式来表示，即Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中Sn表示前n项和，a1表示第1个项，r表示公比。

8.斐波那契数列求和公式：斐波那契数列的前n项和可以使用求和公式来表示，即Sn=Fn+2-1，其中Sn表示前n项和，Fn表示第n个斐波那契数。

9.平方数列求和公式：平方数列的前n项和可以使用求和公式来表示，即Sn=n*(n+1)*(2n+1)/6，其中Sn表示前n项和。

10.立方数列求和公式：立方数列的前n项和可以使用求和公式来表示，即Sn=(n*(n+1)/2)^2，其中Sn表示前n项和。

数列自然数乘方和公式数列自然数乘方和公式在数学中是一个非常有用的工具，可以用来求解很多数学问题。

这篇文章将详细介绍数列自然数乘方和公式的概念、公式推导、应用以及一些常见问题的解答等。

概念数列是指按照一定规律排列形成的一列数字，自然数是指从1开始的整数。

数列自然数乘方和公式则是指把自然数的某个次方项按照一定规律相加的公式，它可以用来求解各种与数列有关的问题。

例如，当次方项为2时，数列自然数乘方和公式可以写成：1 + 2^2 + 3^2 + … + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6。

当次方项为3时，则可以把数列自然数乘方和公式写成：1 + 2^3 + 3^3 + … + n^3 = (n(n+1)/2)^2。

公式推导推导数列自然数乘方和公式的方法有多种，这里我们就以求解平方和的公式为例来详细介绍一下。

1 + 2^2 + 3^2 + … + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6首先，我们可以利用数学归纳法来证明这个公式。

当n=1时，显然1的平方和就是1，即1=1(1+1)(2×1+1)/6成立。

假设n=k时这个公式成立，我们要证明n=k+1时这个公式也成立。

当n=k+1时，根据数列自然数平方和公式，有：1 + 2^2 + 3^2 + … + k^2 + (k+1)^2= k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2 // 利用假设假设k时该公式成立= (k+1)(k+2)(2k+3)/6可以看到，当n=k+1时，上述公式也是成立的。

因此，数列自然数平方和公式得证。

应用数列自然数乘方和公式可以应用于很多实际问题中，以下列举了一些常见的应用场景：1. 求自然数的平方和这是数列自然数乘方和公式最常用的应用场景之一。

平方和可以用来求解很多与数学有关的问题，比如证明勾股定理、求出圆的面积等等。

2. 求自然数的立方和自然数的立方和也是一个很有用的公式，它可以用来求解很多与物理、工程学有关的问题，比如求出质点转动惯量、计算钢管的截面积等等。

数列求和的数学公式
数列是数学中常见的概念，它是指按照一定规律排列的一系列数。

对于一个数列，我们可以通过求和来得到它所有数的总和，这就是数列求和的问题。

在数学中，有许多公式可以用来求解数列的和，下面列举几个常见的公式：
1. 等差数列求和公式
对于一个公差为d的等差数列a1, a2, a3, …… an，它的前n
项和Sn可以通过如下公式求得：
Sn = n * (a1 + an) / 2
其中，n表示数列中的项数，a1和an分别表示数列的首项和尾项。

2. 等比数列求和公式
对于一个公比为q的等比数列a1, a2, a3, …… an，它的前n
项和Sn可以通过如下公式求得：
Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)
其中，n表示数列中的项数，a1表示数列的首项，q表示公比。

3. 平方和公式
对于一般的数列a1, a2, a3, …… an，它的平方和S可以通过如下公式求得：
S = a1^2 + a2^2 + a3^2 + …… + an^2
4. 立方和公式
对于一般的数列a1, a2, a3, …… an，它的立方和S可以通过如下公式求得：
S = a1^3 + a2^3 + a3^3 + …… + an^3
通过以上公式，我们可以方便地求解各种数列的和，从而更好地理解和掌握数列的性质与规律。

数列的求和公式和递推公式一、数列的求和公式1.等差数列求和公式：设等差数列的首项为a1，末项为an，公差为d，项数为n，则等差数列的求和公式为：S = n/2 * (a1 + an) = n/2 * (2a1 + (n -1)d)。

2.等比数列求和公式：设等比数列的首项为a1，公比为q（q≠1），项数为n，则等比数列的求和公式为：S = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)，当q=1时，S = n * a1。

3.斐波那契数列求和公式：设斐波那契数列的前n项和为S，则有S =F(n+2) - 1，其中F(n)为斐波那契数列的第n项。

4.平方数列求和公式：设平方数列的前n项和为S，则有S = n(n +1)(2n + 1) / 6。

5.立方数列求和公式：设立方数列的前n项和为S，则有S = n^2(n + 1)/ 2。

二、数列的递推公式1.等差数列递推公式：设等差数列的第n项为an，首项为a1，公差为d，则等差数列的递推公式为：an = a1 + (n - 1)d。

2.等比数列递推公式：设等比数列的第n项为an，首项为a1，公比为q（q≠1），则等比数列的递推公式为：an = a1 * q^(n-1)。

3.斐波那契数列递推公式：设斐波那契数列的第n项为F(n)，则有F(n)= F(n-1) + F(n-2)，其中F(1)=1，F(2)=1。

4.线性递推公式：设数列的第n项为an，首项为a1，公差为d，则线性递推公式为：an = an-1 + d。

5.多项式递推公式：设数列的第n项为an，首项为a1，多项式系数为c1, c2, …, cm，则多项式递推公式为：an = c1 * an-1 + c2 * an-2 + … + c m * an-m。

通过以上知识点的学习，学生可以掌握数列的求和公式和递推公式的基本概念和方法，为高中数学学习打下基础。

习题及方法：1.等差数列求和习题：已知等差数列的首项为3，末项为20，公差为2，求该数列的前10项和。

常用数列求和公式大全一、等差数列求和公式。

1. 公式。

- 对于首项为a_1，末项为a_n，项数为n的等差数列，其求和公式为S_n=(n(a_1 + a_n))/(2)。

- 若已知等差数列的首项a_1，公差为d，则其通项公式a_n=a_1+(n - 1)d，此时求和公式还可以写成S_n=na_1+(n(n - 1)d)/(2)。

2. 推导（以S_n=(n(a_1 + a_n))/(2)为例）- 设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，即S_n=a_1+a_2+·s+a_n。

- 把上式倒过来写S_n=a_n+a_n - 1+·s+a_1。

- 将这两个式子相加得2S_n=(a_1 + a_n)+(a_2+a_n - 1)+·s+(a_n + a_1)。

- 因为在等差数列中有a_k+a_n-(k - 1)=a_1+(k - 1)d+a_1+(n - k)d = 2a_1+(n - 1)d=a_1 + a_n（k = 1,2,·s,n）。

- 所以2S_n=n(a_1 + a_n)，即S_n=(n(a_1 + a_n))/(2)。

二、等比数列求和公式。

1. 公式。

- 对于首项为a_1，公比为q（q≠1），项数为n的等比数列，其求和公式为S_n=(a_1(1 - q^n))/(1 - q)。

- 当q = 1时，等比数列是常数列，S_n=na_1。

2. 推导（以q≠1为例）- 设等比数列{a_n}的前n项和为S_n=a_1+a_1q+a_1q^2+·s+a_1q^n - 1。

- 则qS_n=a_1q+a_1q^2+·s+a_1q^n - 1+a_1q^n。

- 用S_n减去qS_n得：- S_n-qS_n=a_1 - a_1q^n，即S_n(1 - q)=a_1(1 - q^n)。

- 因为q≠1，所以S_n=(a_1(1 - q^n))/(1 - q)。