中考数学一轮总复习精品讲义

一元二次方程知识梳理1.一元二次方程方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫作一元二次方程.2.一元二次方程的特点(1)含有一个未知数.(2)未知数的最高次数是 2.(3)是整式方程.要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理.如果能整理为ax²+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程.(4)将方程化为一般形式：ax²+bx+c=0时,应满足a≠0.3.一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax²+bx+c=0(a≠0).其中ax²是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项.4.一元二次方程的解法(1)直接开平方法.(2)配方法.(3)公式法.(4)因式分解法.5.根的判别式一元二次方程根的判别式为Δ=b²−4ac.典型例题例 1若关于x 的一元二次方程(m−1)x²+5x+m²−3m+2=0的常数项为0，则 m 的值等于( ).A. 1B. 2C.1或2D.0分析首先为保证( (m−1)x²+5x+m²−3m+2=0是一元二次方程，则m−1≠0;；其次，根据题意，常数项为0，则m²−3m+2=0.解 B例2已知方程x²+bx+a=0有一个根是-a(a≠0)，则下列代数式的值恒为常数的是( ).A. abB. a/bC. a+bD. a-b分析将根代入方程，得a²−ab+a=0,提取公因式得到a(a-b+1)=0.解将-a代入原方程,得a(a-b+1)=0因为a≠0所以a-b=-1选 D.例3解下列一元二次方程.①9(x−1)²=(2x+1)²(用因式分解法)②x²−5x+2=0(用公式法)③y²−10y−10=0(用配方法)④(x+2)²−25=0(直接开平方法)解①9(x−1)²=(2x+1)²9(x−1)²−(2x+1)²=0[3(x-1)+(2x+1)][3(x-1)-(2x+1)]=0(5x-2)(x-4)=0x1=25,x2=4②x²−5x+2=0△=25-8=17x1=5+√172,x2=5−√172③y²−10y−10=0(y−5)²=35y1=√35+5,y2=−√35+5④(x+2)²−25=0(x+2)=±5x₁=3,x₂=−7例 4已知x²−x−1=0,求−x³+2x²+2014的值.分析 方法一，将 −x³+2x²+2014变形为含有 (x²−x )的形式；方法二，将 x²=x +1代入 −x³+2x²+2014逐次降幂.解 方法一 因为 −x³+2x²+2014=−x³+x²+x²+2014=x (−x 2+x )+x 2+2014⋯;又因为 x²−x −1=0,所以 −x 2+x =−1,将②代入①得原式= x ×(−1)+x 2+2014=−x +x 2+2007=−(−x 2+x )+2014⋯③;将②代入③得原式=-(-1)+2014=2015.方法二 −x 3+2x 2+2014=−x ⋅x 2+2x 2+2014又因为 x²−x −1=0,所以 x 2=x +1将②代入①得原式= −x (x +1)+2(x +1)+2014=−x²+x +2+2014=−1+2+2014=2015双基训练1. 方程 2x 2−1=√3x 的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是2.把一元二次方程(x+1)(1-x)=2x 化成二次项系数大于零的一般式是 ，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .3.关于x 的方程( (m −1)x²+(m +1)x +3m +2=0,当 m 时为一元一次方程，当m 时为一元二次方程.4.请写出一个根为x=-1，另一根满足-1<x<1的一元二次方程 .5.在方程 (x−1x+3)2−4(x−1x+3)+1=0中，如果设 y =x−1x+3,那么原方程可以化为关于y 的整式方程是 .6.已知 6x²+xy −2y²=0,则Ixy 的值为 .7.关于x 的方程(1)ax²+bx +c =0;(2)x²−4x =8+x²;(3)1+(x-1)(x+1)=0;(4)(k²+1)x²+kx +1=0)中，一元二次方程的个数为( ).A. 1B. 2C. 3D.48.如果 (m +3)x²−mx +1=0是一元二次方程，则( ).A. m≠-3B. m≠3C. m≠0D. m≠-3且m≠09.已知方程 x²−2(m²−1)x +3m =0的两个根是互为相反数，则m 的值是 ( ).A. m=±1B. m=-1C. m=1D. m=010.关于x 的一元二次方程( (a −1)x²+x +a²−1=0的一个根是0,则a 的值( ).A. 1B. -1C.1或-1D. 1211. 方程( (x −1)²−3(x −1)−4=0的较适当的解法是( ).A.开平方B.因式分解C.配方法D.公式法12.用配方法解下列方程时，配方有错误的是( ).A.x²−2x −99=0化为 (x −1)²=100B.x²+8x +9=0化为 (x +4)²=25C.2t²−7t −4=0化为 (t −74)2=8116D.3y²−4y −2=0化为 (y −23)2=109 13.下面是李刚同学在一次测验中解答的填空题，其中答对的是( ).A.若 x²=4,则x=2B. 方程x(2x-1)=2x-1的解为x=1C.若 x²+2x +k =0的一个根为1,则k=-3;D.若分式 x 2−3x+2x−1的值为零,则x=1,214.若(x+y)(x+y+2)-8=0,则x+y 的值是( ). A. -4 或2 B. -2或 4 C.−32或3 D.3或-215.关于x 的方程 2²x²+(2k −1)x +1=( 有实数根，则下列结论正确的是( ).A. 当 k =12时方程的两根互为相反数B.当k=0时方程的根是x=--1C.当k=±1时方程的两根互为倒数D. 当 k ≤14时方程有实数根16.等腰三角形的两边的长是方程 x²−20x +91=0的两个根，则此三角形的周长为( ).A.27B.33C.27 和33D.以上都不对17.用适当的方法解下列一元二次方程①25x²−36=0 ②2(x −1)²=x²−1③2x²−7x +3=0 circle4x 2+2(√2−1)x +3−2√2=018.关于x 的方程 (m −√3)x m 2−1−x +3=0是一元二次方程，则m= .19.如果关于x 的一元二次方程 x²+px +q =0的两根分别为 x₁=3,x₂=1,那么这个一元二次方程是( ). A.x²+3x +4=0 B.x²−4x +3=0C.x²+4x −3=0D.x²+3x −4=0 20.已知 x²+3xy −4y²=0(y ≠0),求 x−y x+y 的值.能力提升21.方程( (x−2)²=9的解是( ).A.x₁=5,x₂=−1B.x₁=−5,x₂=1C.x₁=11,x₂=−7D.x₁=−11,x₂=722.如果关于 x 的方程mx²−2(m+2)x+m+5=0没有实根，那么关于x 的方程(m−5)x²−2(m+2)x+ m=0的实根个数为( ).A.2个B.1个C.0个D.不确定23. 关于x的方程( (m−2)x m2−2−x+4=0是一元二次方程，则m=.24.用配方法解一元二次方程：. x²−2x−2=0.的值为零，求 x 的值.25.若分式x2−3x−4|x−3|−126. 若3x²−x−1=0,求6x³+7x²−5x+2014的值.27.试证明：不论m 为何值，方程2x²−(4m−1)x−m²−m=0总有两个不相等的实数根.，求它的另一个根和 m 的值.28.已知方程2x²−3x−m=0的一个根是1229.已知关于x的方程kx²-2(k+1)x+k-1=0有两个不相等的实数根.(1)求 k 的取值范围.(2)是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由.30.当 k 取何值时，一元二次方程x²−(2k−3)x+2k−4=0(1)有两个正根.(2)有两个异号根，且正根的绝对值较大.拓展资源31.简单高次方程的解法(换元法、因式分解法).(1)x¹−x²−20=0(2)(x²−x)²−7x²+7x+10=0(3)(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=24(4)x³−x²−x+1=0(5)5(x2+1)x+1+6(1+x)x2+1=1732.用配方法求代数式的最大值或最小值.(1)2x²+40x−88(2)12(t+10)(30−t)33.已知关于x 的方程(m−2)x²−2(m−1)x+m+1=0有实数根，求m 的非负整数值.34.若关于x的方程ax²−2ax−3=0有实数根，求a 的取值范围.35.已知关于x的方程x²−2mx−3m²+8m−4=0.(1)求证：当m>2时，原方程总有两实数根.(2)若原方程的两根一个小于5，另一个大于2，求m 的取值范围.1.2,- √3,--12. x²+2x-1=0,1,2,-13.=1,≠14.x²+x =05.y²−4y +1=06. 12或 −237. B8. A9. B 10. B11. B 12. B 13. C 14. A 15. D 16. C 17.①x=± 65;②x ₁=1,x ₂=3; ③.x ₁= 12,x ₂=3;④x=1- √218.−√3 19. B 20. 53或0. 21. A 22. A 23. -224.x 1=√3+1,x 2=−√3+1 25. x=-1 26.201727. 因为 Δ=(4m −1)²+8(m²+m )=24m²+1>0 28.1,m=-1 29.(1) △=12k+4>0,则 k >−13且 k≠0.(2)不存在.理由如下：因为 1x 1+1x 2=0x 1+x 2x 1x 2=0 k=-1与 k >−13矛盾.所以不存在.30.(1) k>2且≠ 52;(2)32<k <2 31.(1)x =±√5;(2)x 1=2,x 2=−1,x 3=1+√212,x 4=1−√212;(3)x₁=0,x₂=5;(4)x=±1;(5)x =3±√172. 32.(1) 当x=-10时,有最小值-288;(2)当t=10时,有最大值200.33. m≤3,m=0,1,2,334.a≤-3或a>0.35.(1) 提示: Δ=16m²−32m +16=16(m −1)²;(2)m<0或 m >43.。

初中数学复习精品讲义 第十七章 反比例函数知识网络结构图二．知识概念1。

反比例函数：形如y ＝x k （k 为常数，k ≠0)的函数称为反比例函数。

其他形式xy=k 1-=kx y xk y 1= 2.图像：反比例函数的图像属于双曲线。

反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形.有两条对称轴：直线y=x 和 y=-x.对称中心是:原点3.性质：当k ＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而减小; 当k ＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y 值随x 值的增大而增大。

4。

|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积. 在学习反比例函数时，教师可让学生对比之前所学习的一次函数启发学生进行对比性学习。

在做题时，培养和养成数形结合的思想。

专题总结及应用专题1 反比例函数的概念【专题解读】函数k y x=(k ≠0)叫做反比例函数，也可以写成xy =k （k ≠0）或y =kx -1(k ≠0），它的自变量的取值范围是x ≠0的所有实数，因为反比例函数ky x =（k ≠0）只有一个常数k ，所以求反比例函数表达式也就是求k ,要注意两点：(1）（k ≠0)；若k y x=写成y =kx -1是，x 的指数是-1.例1 判断下列各式是否表示y 是x 的反比例函数，若是，指出比例系数k 的值；若不是，指出是什么函数.（1）8;y x =- (2)1;9xy = (3)43;y x =- （4）1;7y x =-（5）6.7y x=-分析 判断y 是否是x 的反比例函数，关键是根据的比例函数的定义，观察两个变量x ，y 之间能否写成ky x=（k 为常数，k ≠0）的形式。

专题2 反比例函数图象的位置与系数的关系【专题解读】 反比例函数ky x=的图象是由两个分支组成的双曲线，图象的位置与比例系数k 的关系有如下两种情况：（1)0k >⇔双曲线的两个分支在第一、三象限⇔在第一象限内，y 随x 的增大而减小. (2）0k <⇔双曲线的两个分支在第二、四象限⇔在第一象限内,y 随x 的增大而增大.例2 函数y ax a =-+与(0)ay a x-=≠在同一坐标系中的图象可能是（如图17-36所示)【解题策略】 解答本题也可以从选项出发来考虑a 的情况.例如A 项,由函数y ax a =-+的可判断a ＞0,由函数ay x-=的图象可判断a ＞0，由此可判断A 项正确,再例如B 项，由函数y ax a =-+的增减性质可判断—a ＜0,即a ＞0，但由函数的图象与y 轴的交点位置可判断a ＜0，与前面得到的a ＞0相矛盾，故B 不正确,类似地，也可判断C ，D 两个选项不正确.专题3 反反函数的图象【专题解读】 如图17-37所示，若点A (x ，y ）为反比例函数ky x=图象上的任意一点，过A 作AB ⊥x轴于B ，作AC ⊥y 轴于C ，则S △AOB =S △AOC =12S 矩形ABOC =1||2k .例3 如图17—38所示，点P 是x 轴正半轴上的一个动点，过P作x 轴的垂线交双曲线1y x=于点Q ,连续OQ ，当点P 沿x 轴正方向运动时，Rt △QOP 的面积 （ ）A ．逐渐增大B ．逐渐减小C ．保持不变D ．无法确定【解题策略】 掌握比例系数k 的几何意义，即｜k |= S 矩形AOPQ =2 S △OPQ 是这类问题的解题关键。

专题04 二次根式的核心知识点精讲1.了解二次根式的概念及其有意义的条件．2．了解最简二次根式的概念，并会把二次根式化成最简二次根式．3．掌握二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除、乘方运算法则，会用它们进行有管的简单四则运算．【题型1：二次根式有意义的条件】【典例1】（2023•济宁）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠2B．x≥0C．x≥2D．x≥0且x≠21．（2023•金华）要使有意义，则x的值可以是（）A．0B．﹣1C．﹣2D．22．（2023•通辽）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C．D．3．（2023•湘西州）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是．【题型2：二次根式的性质】【典例2】（2023•泰州）计算等于（）A．±2B．2C．4D．1．（2021•苏州）计算（）2的结果是（）A．B．3C．2D．92.（2023•青岛）下列计算正确的是（）A．B．C．D．3．（2021•娄底）2、5、m是某三角形三边的长，则+等于（）A．2m﹣10B．10﹣2m C．10D．44．（2022•遂宁）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|﹣+＝2．【题型3：二次根式的运算】【典例3】（2023•金昌）计算：÷×2﹣6．1．（2023•聊城）计算：（﹣3）÷＝．2．（2023•山西）计算：的结果为．3．（2023•兰州）计算：．4．（2023•陕西）计算：．1．（2023秋•福鼎市期中）下列各数不能与合并的是（）A．B．C．D．2．（2023秋•云岩区校级期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．3．（2022秋•泉州期末）若二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x＜3B．x≠3C．x≤3D．x≥3 4．（2023秋•龙泉驿区期中）下列运算中，正确的是（）A．B．C．D．5．（2023秋•锦江区校级期中）若a＞b＞0，则的结果是（）A．a B．2b﹣a C．a﹣2b D．﹣a6．（2023春•河东区期中）把x根号外的因数移到根号内，结果是（）A．B．C．﹣D．﹣7．（2023春•铁岭县期末）计算：的结果是（）A．2B．0C．﹣2D．﹣8．（2023春•抚顺月考）二次根式的计算结果是（）A．B．C．±D．9．（2023春•西丰县期中）已知a＝+2，b＝﹣2，则a﹣b的值是（）A．2B．4C．2+4D．2﹣410．（2023春•工业园区期末）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）A．与B．与C．与D．与11．（2023春•武昌区校级期中）若是整数，则满足条件的最小正整数n的值为．12．（2023春•固镇县月考）计算＝．13．（2023春•高安市期中）化简计算：＝．14．（2023秋•高新区校级期中）计算：（1）×；（2）．15．（2023秋•秦都区校级期中）计算：﹣×．1．（2022秋•鼓楼区校级期末）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（）A．7B．﹣7C．2a﹣15D．无法确定2．（2023春•新郑市校级期末）若＝在实数范围内成立，则x的取值范围是（）A．x≥1B．x≥4C．1≤x≤4D．x＞43．（2023秋•西安校级月考）若x，y都是实数，且，则xy的值是（）A．0B．4C．2D．不能确定4．（2023•商水县一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式．若p＝5，c＝2，则此三角形面积的最大值为（）A．B．C．D．55．（2023秋•闵行区期中）计算：＝．6．（2023春•科左中旗校级期末）观察下列等式：第1个等式：a1＝＝﹣1，第2个等式：a2＝＝，第3个等式：a3＝＝2﹣，第4个等式：a4＝＝﹣2，…按上述规律，计算a1+a2+a3+…+a n＝．7．（2023春•中江县月考）已知的值是．8．（2023春•禹州市期中）如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为，宽为，则这个大长方形的周长为．9．（2023春•宿豫区期末）计算的结果为．10．（2023秋•双流区校级期中）已知a＝3+，b＝3﹣，分别求下列代数式的值：（1）a2﹣b2；（2）a2﹣3ab+b2．11．（2023春•双柏县期中）阅读下面问题：＝＝﹣1；＝＝﹣；＝＝﹣2．（1）求的值；（2）计算：+++…++．12．（2023秋•二七区校级月考）阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．问题提出：该如何化简？建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m，•＝．那么便有：（a＞b），问题解决：化简：，解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，．∴，模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：（1）；（2）．模型应用2：（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣，AC＝，那么BC边的长为多少？（直接写出结果，结果化成最简）．1．（2022•桂林）化简的结果是（）A．2B．3C．2D．22．（2022•内蒙古）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则+1+|a﹣1|的化简结果是（）A．1B．2C．2a D．1﹣2a3．（2022•河北）下列正确的是（）A．＝2+3B．＝2×3C．＝32D．＝0.7 4．（2022•湖北）下列各式计算正确的是（）A．B．C．D．5．（2022•青岛）计算（﹣）×的结果是（）A．B．1C．D．36．（2022•安顺）估计（+）×的值应在（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间7．（2023•绵阳）若式子在实数范围内有意义，则x的最小值为．8．（2023•丹东）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．9.（2022•武汉）计算的结果是．10．（2023•内蒙古）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：＝．11．（2022•荆州）若3﹣的整数部分为a，小数部分为b，则代数式（2+a）•b的值是．12．（2022•泰安）计算：•﹣3＝．13．（2022•济宁）已知a＝2+，b＝2﹣，求代数式a2b+ab2的值．。

学科教师辅导讲义学员编号：年级：中考课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第01讲-实数授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①了解实数的分类；②掌握实数的性质及应用；③掌握二次根式的概念、性质及运算。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识梳理1、实数的概念及分类有理数和无理数统称为实数，实数有两种分类方法。

（1）按定义分类：⎧⎧⎫⎪⎨⎬⎨⎭⎩⎪⎩整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数：无限不循环小数体系搭建(0,a b a≥(0,≥>a b=a b ab）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式互为有a，a+考点一：实数的概念及性质例1、把下列各数填入它所在的数集内：﹣，﹣，﹣0.1010010001…，0，﹣（﹣2.28），﹣|﹣4|，﹣32正数集合：{ …} 负分数集合：{ …}非正整数集合：{ …}；无理数集合：{ …}．例2、1﹣的相反数是，绝对值是．的算术平方根是，的立方根的相反数是．考点二：实数与数轴例1、实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．a＞﹣2 B．a＜﹣3C．a＞﹣b D．a＜﹣b例2、如图，四个实数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q=0，则m，n，p，q四个实数中，绝对值最大的一个是（）A．P B．QC．m D．n例3、已知实数a在数轴上的位置如图所示，化简的结果是．考点三：实数的运算例1、计算下列各式（1）+（2﹣）0﹣（﹣）﹣2+|﹣1|；（2）|﹣3|﹣+（）0．例2、计算下列各题（1）+﹣4；（2）|﹣2|﹣（）0+（3）（+）（﹣）﹣；（4）（﹣2）2．例3、计算：（1）|﹣2|×（3﹣π）0+（﹣1）2015×（2）．考点四：二次根式的概念例1、使二次根式有意义的x的取值范围是（）A．x≠1 B．x＞1C．x≤1 D．x≥1例2、若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a=．例3、把下列各式化成最简二次根式：（1）；（2）．考点五：二次根式的化简求值及混合运算例1、已知a2﹣b2=，a﹣b=，则a+b=．例2、若x=﹣2，则代数式x2+1的值为．例3、先化简，再求值：，其中a=+1．例4、（1）已知x=+2，求代数式（9﹣4）x2+（2﹣）x+的值．（2）先化简，再求值：（a2b+ab）÷，其中a=+2，b=﹣2．例5、（1）计算﹣（）2+（）0﹣+||（2）已知a=，求﹣的值．P(Practice-Oriented)——实战演练实战演练➢课堂狙击1. 下列各组数中，互为相反数的是（）A．﹣2与B．|﹣|与C．与D．与2．已知x2=3，那么在数轴上与实数x对应的点可能是（）A．P1 B．P4C．P2或P3 D．P1或P43．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为﹣1和，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为（）A．B．B．C．D．4．若二次根式有意义，则a的取值范围是（）A．a≥2 B．a≤2C．a＞2 D．a≠25．要使式子有意义，则a的取值范围是（）A．a≠0 B．a＞﹣2且a≠0C．a＞﹣2或a≠0 D．a≥﹣2且a≠06．把下列各数填入相应的大括号内．0.302，，，，，﹣，0，﹣160（1）无理数集合：{ }（2）正有理数集合：{}（2）负实数集合：{ }．7．计算：（1）+﹣；（2）+﹣+；（3）（2+3）（2﹣3）．8．计算下列各题（1）++3﹣；（2）+﹣4（3）﹣；（4）（2﹣1）2．9．已知x=﹣，y=+，则x﹣y的值为．10．若m2=100，||=1，则m+=．11．若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为．12．化简求值：（）÷，其中x=．13．若a、b都是实数，且b=，试求的值．14．先化简，再求值：2a﹣，其中a=．➢课后反击1．实数a，b互为相反数，则下列结论正确的是（）A．a+b=0 B．ab=1C．a÷b=﹣l D．a＞0，b＜02．已知实数a、b在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（）A．a•b＞0 B．a+b＜0C．|a|＜|b| D．a﹣b＞03．如图，实数﹣3，x，3，y在数轴上的对应点分别为M、N、P、Q，这四个数中绝对值最大的数对应的点是（）A．点M B点NC．点P D．点Q4．要使代数式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠2 B．x≥2C．x＞2 D．x≤25．指出下列数中的有理数和无理数：，，﹣3π，，3.1415926，，，0.121121112…．有理数有：；无理数有：．6．如图，数轴上表示1、的对应点分别为点A、点B，若点A是BC的中点，则点C表示的数为．7．计算：（1）++；（2）（3）（﹣2）3×﹣×（﹣）2﹣．8．计算（1）++3﹣；（2）﹣1 （3）（5+2）2；（4）﹣5+（5）（2+3）（2﹣3）9．若x﹣y=﹣1，xy=，则代数式（x﹣1）（y+1）的值为．10．已知x+=，那么x﹣=．11．已知a2+b2﹣4a﹣2b+5=0，求的值．12．化简求值：，其中x=4，y=．13．已知x=（+），y=（﹣），求x2﹣2xy+y2和+的值．直击中考1．【2016•宁夏】化简求值：（），其中a=2+．【解析】原式=[+]•+=•+==，当a=2+时，原式=+1．2．【2016•永州】计算：﹣（3﹣π）0﹣|﹣3+2|【解析】﹣（3﹣π）0﹣|﹣3+2|=2﹣1﹣1=0．3．【2016•澄城】已知，且x为偶数，求的值．【解析】由题意得，解得：6＜x≤9，∵x为偶数，∴x=8．原式=（1+x）=（x+1）=．∴当x=8时，原式=．S (Summary-Embedded)——归纳总结1、实数的概念及分类有理数和无理数统称为实数，实数有两种分类方法。

中考数学一轮复习精品讲义圆人教新课标版本章小结小结1 本章概述本章的主要内容有圆的概念及性质，垂直于弦的直径的性质，弧、弦、圆心角之间的关系及性质，圆周角的概念及性质，点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，正多边形和圆的关系，弧长和扇形的面积，圆锥的侧面积和全面积．我们在学习直线型图形的有关性质和证明的基础上来探索一种特殊的曲线型图形——圆，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，而且有无数条对称轴，绕圆心旋转任意角度都和它本身重合，学习本章的基础是以前所学过的结论，同时，本章作为几何知识的总结，运用的知识具有综合性．在中考中所涉及的命题大都和圆的基本性质、与圆有关的位置关系、圆中的计算有关．在本章中，主要概念有圆、圆心角、圆周角、弧、弦、相交、相切、相离，正多边形的半径、中心、边心距等，主要公式有弧长公式、扇形面积公式，圆锥侧面积公式等，主要定理有垂径定理，切线的性质定理和判定定理，切线长定理等．小结2 本章学习重难点【本章重点】掌握垂直于弦的直径的性质；掌握圆的切线的判定定理与性质定理的应用，能利用垂直关系进行有关的证明和计算；掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，并会利用图形加以区别；会利用弧长、扇形面积、圆锥侧面积公式进行有关的计算；掌握圆心角、弧、弦之间的关系及圆周角定理，并能运用它们进行有关的计算．【本章难点】垂径定理，弧、弦、圆心角的关系定理，圆周角定理；直线和圆相切的性质定理、判定定理的证明及应用，切线长定理的应用；圆与圆的五种位置关系的判断；圆锥的侧面积与母线长和底面半径之间的关系等都是本章的难点．间接证明题目的方法——反证法也是本章的难点．在圆中添加“辅助线”既是本章的重点，也是本章的难点．小结3 学法指导1．在本章的学习中，注意通过观察、探索、合作、实践、交流、归纳等数学活动，进行主动的、富有个性的学习，尤其是对于一些结论的得出，更应去探索、总结，通过合情的推理，主动地获取新知，注意“由特殊到一般”“数形结合”“化归”等数学思想方法的运用．2．学习本章应注意以下几点：(1)在实际问题中认识圆的有关概念：圆心、半径、直径、弦、弧(优弧、劣弧)、圆心角、圆周角．(2)通过对实际生活的观察和亲自体验，掌握圆的对称性，并能利用圆的对称性探索圆的一些基本性质，在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系，同弧所对的圆周角与圆心角之间的关系，垂直于弦的直径平分弦及弦所对的弧等．(3)通过对点、直线和圆与圆的相对运动的探索、实验、推理、计算等归纳出点与圆、直线与圆、圆与圆之间的位置关系，掌握通过点与圆心的距离、直线与圆心的距离、圆心与圆心之间的距离同圆的半径的大小比较，来判定它们之间的位置关系的方法.(4)在对直线与圆相对运动的探索过程中掌握切线的概念，并能利用实验探索切线与过切点的半径之间的关系，同时能判断一条直线是否为圆的切线．(5)在动手操作与观察实验的同时，探索出正多边形与圆的关系、扇形面积及弧长的计算公式，并掌握圆柱及圆锥的侧面积与全面积公式．(6)在学习本章的过程中，要及时准确地画出示意图形，以帮助解题，化抽象为直观．知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 圆的认识及圆的对称性【专题解读】 对于圆的基本元素、圆的对称性及根据对称性探索出的弧、弦、圆心角之间的关系、垂直于弦的直径等知识，单独考查时多以填空题、选择题形式出现，在综合题及应用题中常作为被考查的一个方面出现．例1 “圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用数学语言可表示为：则如图24—191所示，CD 为O 的直径，弦AB CD ⊥于E ，1CE =寸，10AB =寸，直径CD 的长为( )A ．12.5寸B ．13寸C ．25寸D ．26寸分析 因为直径CD 垂直于弦AB ，所以可通过连接OA (或OB )求出半径．根据“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”，可知152AE BE AB ===寸，在 Rt AOE 中，222,OA OE AE =+即222(1)5OA OA =-+，解得OA ＝13，进而求得CD ＝26寸．故选D ．【解题策略】 在解答有关圆的问题时，常需运用图中条件寻求线段之间、角之间、弧之间的关系，从中探索出诸如等腰三角形、直角三角形等信息，从而达到解决问题目的目的.专题2 有关圆周角计算【专题解读】 在有关圆周角的题目中，单独考查时多以选择题、填空题形式出现，在解答时，应从圆周角与其所对的弧、圆心角、弦等方面考虑．例 2 如图24—192所示，△ABC 内接于O ，点D 是CA 延长线上一点，若120BOC ∠=︒，则BAD ∠等于 ( )A ．30︒B ． 60︒C ．75︒D ．90︒分析 本题可求出BAC ∠的度数，BAC ∠所对的弧是优弧BmC ，则该弧所对的圆心角度数为360120240︒-︒=︒，所以BAC ∠＝12402⨯︒＝120︒，因此BAD ∠＝180︒一120︒＝60︒．故选且B. 例3 如图24—193所示，O 的内接四边形ABCD 中，AB CD =，则图中和1∠相等的角有 .分析 由弦AB CD =，可知AB CD =，因为同弧或等弧所对的圆周角相等，所以1625∠=∠=∠=∠．故填6,2,5∠∠∠．专题3与圆有关的位置关系【专题解读】 在各地中考试题中，单独考查点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的题目一般以选择题、填空题形式出现，在解答题、探究题中作为主要查目标也常出现，这部分分内容不仅考查基础知识的形式出现，而且还以考查综合运用能力的形式出现.例4 已知圆的直径为13 cm ，圆心到直线l 的距离为6 cm ，那么直线l 和这个圆的公共点有个.分析 直线与圆的位置关系包括：相离、相切、相交．判定方法有两种：一是看它们的公共点的个数；二是比较圆心到直线l 的距离与圆的半径．实际上这两种方法是等价的，由题意可知圆的半径为6.5 cm ，而圆心到直线l 的距离为6 cm ，6 cm<6.5 cm ，所以直线l 与圆相交，有2个公共点．故填2．例5 两个圆内切，其中一个圆的半径为5，两圆的圆心距为2，则另一个圆的半径是 ． 分析 两圆的位置关系有：相交、相切(外切、内切)和相离(外离、内含)．两圆内切时，圆心距d =|12r r -|，题中一个圆的半径为5，而d =2，所以有|5r -|=2，解得r =7或r ＝3，即另一个圆的半径为7或3．故填3或7．例6 在平面直角坐标系中，两个圆的圆心坐标分别是(3，0)和(0，-4)，半径分别是32和72，则这两个圆的公切线 有 ( )A ．1条 且2条 C ．3条 D ．4条分析 本题借助图形来解答比较直观，如图24—194所示，要判断两圆公切线的条数，必须先确定两圆的位置关系，因此必须求出两圆的圆心距，根据题中条件，在Rt AOB 中，4,3OA OB ==，所以5AB =，而两圆半径分别为32和72，且37522+=，即两圆的圆心距等于两圆半径之和，所以两圆外切，共有3条公切线．故选C.例7 如图24—195所示，在边长为3 cm 的正方形ABCD 中，1O 与2O 相外切，且1O 分别与,DA DC 边相切，2O 分别与,BA BC 边相切，则圆心距12O O = cm ．分析 本题是一个综合性较强的题目，既有两圆相切，又有直线和圆相切．求12O O 的长就要以12O O 为一边构造直角三角形．过1O 作CD 的平行线，过2O 作BC 的平行线，两线相交于12,M O O 是1O 和2O 的半径之和，设为d ，则123,O M O M d ==-在12Rt O MO 中222(3)(3),d d d -+-=解得63 2.d =±由题意知632±不合题意，舍去．故填632-.规律·方法 解两圆相切的问题，往往是连圆心，得到直角三角形，利用勾股定理解题．专题4 切线的识别与特征及切线长【专题解读】 涉及圆的切线的问题在各地中考中以各种题型出现，主要考查切线的识别、切线的特征及切线的应用，所以应认真理解有关切线的内容，并能应用到实际问题中去．例8如图24-196所示，DB 切O 于点A ，66,AOM ∠=︒则DAM ∠度. 分析因为DB 与O 相切，所以OA DB ⊥，由66,AOM ∠=︒OA OM =，得1(18066)572OAM ∠=︒-︒=︒，所以9057147.DAM ∠=︒+︒=︒故填147.例9 如图24-197所示，,EB EC 是O 的两条切线，,B C 是切点，,A D 是O 上两点，如果46,32,E DCF ∠=︒∠=︒那么A ∠的度数是 .分析 由EB EC =，46E ∠=︒知67,ECB ∠=︒从而180673281,BCD ∠=︒--︒=︒在O 中，BCD ∠与A ∠互补，所以1808199.A ∠=︒-︒=︒故填99︒.专题5 有关圆的计算【专题解读】 圆中的计算问题有圆的面积与周长、弧长、扇形面积、圆柱及圆锥的侧面积与全面积，考查时选择题、填空题、解答题都有，考查的重点是对有关公式的灵活运用.例10 沈阳某中学举办校园文化艺术节，小颖设计了同学们喜欢的图案《我的宝贝》，图案的一部分是以斜边长为12cm 的等腰直角三角形的各边为直径作半圆，如图24-198所示，则图中阴影部分的面积为 （ ）A.36πcm 2B.72πcm 2C.36cm 2D.72cm 2分析 经认真观察可知阴影部分的面积由两个小半圆面积与三角形面积的和减去大半圆面积便可求得， 由已知得直角边长为212622⨯=（cm ），小半圆半径 为32，因此阴影部分面积为2211(32)12663622ππ⨯+⨯⨯-⨯=（cm 2）.故选C. 例7 如图24-199所示，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图中所示的一个圆锥模型，设圆的半径为r ，扇形半径为R ，则圆的半径与扇形半径之间的关系为（ ）A.2R r =B. 94R r =C. 3R r =D. 4R r = 分析 由扇形与圆恰好围成圆锥的条件是圆的周长与扇形的弧长相等，所以902,180R r ππ=化简可得4R r =.故选D. 专题6 综合与其他知识解决问题【专题解读】 有关圆与其他知识综合题多以解答题和探究题的形式出现.例12 如图24-200所示，AB 是O 的直径，过圆上一点D 作O 的切线DE ，与过点A 的直线AF 垂直相交于E ，弦BD 的延长线与直线AF 交于点C .（1）试说明点D 为BC 的中点；（2）设直线EA 与O 的另一交点为F ，试说明224;CA AF CE AE -= （3）若1,2AD DB O =的半径为r ，求线段,DE AE 和AD 所围成阴影部分的面积.解：（1）连接,OD ED 是O 的切线，,OD DE ∴⊥ ,//,DE AC OD AC O ⊥∴为AB 的中点，D ∴是BC 的中点.（2）连接.BF AB 为O 的直径，90,//,CFB CED ED BF ∴∠=∠=︒∴D 为BC 的中点，E ∴为CF 的中点，22()()CA AF CA AF CA AF ∴-=+-()()CE AE EF AE CE AE EF AE =++-+-+ 224,CE AE CE AE ==即224.CA AF CE AE -=（3）1,60,2AD DB AOD =∴∠=︒ 连接DA ，则OAD 为等边三角形，OD AD r ∴==， 在Rt DEA 中，1330,,,2EDA EA r ED ∠=︒∴== AEDO OAD S S S ∴=-阴影梯形扇形 222131331-.266r r r r r ππ+-1＝（）＝2 例13 如图24-201所示，已知AB 为O 的直径，AC 为弦，//,4OD BC BC =cm. （1）说明;AC OD ⊥（2）求OD 的长.解：（1）AB 是O 的直径，90,C ∴∠=︒//,90,.OD CB ADO C AC OD ∴∠=∠=︒∴⊥ （2）//,OD BC O 是AB 的中点，D ∴是AC 的中点，1142(cm).22OD BC ∴==⨯= 例14 如图24-202所示的是某学校田径体育场一部分的示意图，第一跑道每圈为400米，跑道分直道和弯道，直道为相等的平行线段，弯道为同心的半圆形，弯道与直道相连接，已知直道BD 的长为86.96米，跑道的宽为1米.（π取3.14，精确到0.01米）（1）求第一跑道的弯道部分AB 的半径；（2）求一圈中第二跑道与第一跑道相差多少米；（3）若进行200米比赛，求第六跑道起点F 与圆心O 的连线FO 与OA 的夹角FOA ∠的度数.解：（1）1(40086.962)113.042⨯-⨯=（米）， ∴第一跑道弯道部分的半径为113.04÷π113.04 3.1436.00≈÷＝（米）. （2）第二跑道与第一跑道的直跑道长相等.第二跑道与第一跑道的弯道部分的半径的差为1米.第一跑道与第二跑道的弯道长的差即为两圆周长之差，即212=2 6.28r r πππ+≈（）-（米）.（3）半圆的半径增加1米时，半圆的弧长增加1= 3.14r r πππ+≈（）-（米）， 第六跑道半圆弧长比第一跑道半圆弧长长5 3.145=15.7π≈⨯（米），第六跑道半圆的半径为41米，15.718021.65 3.1441FOA ⨯∴∠≈︒≈︒⨯（）. 二、规律方法专题专题7 在解决圆的证明题或计算题的过程中辅助线的引入方法与规律【专题解读】 对圆的有关计算内容在计算或证明时，经常需要添加辅助线，常见的有：有切点连半径；有关弦的计算，常作表示弦心距的线段，利用垂径定理；有直径，作直径所对的圆周角等；两圆相切时连圆心；圆中有45︒的圆周角时，转化为同一弧所对的90︒的圆心角等.例11 如图24-103所示，C 是直径为AB 的半圆O 上一点，D 为BC 的中点，过D 作AC 的垂线，垂足为E ，求证DE 是半径圆的切线.分析 证明圆的切线，给了直线和圆的交点，连接过交点的半径，证垂直，给了弧BC 的中点，可连接BC ，也可连接AD ，下面用两种证法来证明.证法1：如图24-203所示，连接,,OD BCAB 是直径，90,ACB ∴∠=︒ 又,,//,CD DB OD BC OD AE =∴⊥∴ ,,AE DE OD DE DE ⊥∴⊥∴与O 相切.证法2：如图24-204所示，连接,,OD AD,12,CD DB =∴∠=∠ ,23,13,OA OD =∴∠=∠∴∠=∠//,DE AE ∴,,AE DE OD DE ⊥∴⊥DE ∴是O 的切线.规律·方法 若给直径，构造直径所对的圆周角，若给弧的中点，连接过中点的半径，想到垂径定理三、思想方法专题专题8 分类讨论思想【专题解读】 分类讨论思想主要是针对数学对象的共同性和差异性，将其区分为不同种类，从而克服思维的片面性，防止漏解，要做到成功分类必须注意两点：一是要有分类意识，善于从问题的情境中抓住分类的对象；二是找出科学合理的分类标准，应当满足互斥、无漏、最简单的原则，本章对于圆的有关概念、圆周角的有关求值及圆与圆位置关系的讨论等问题均应用了这一思想.例16 P 为不在圆上的任意一点，若P 到O 的最小距离为3，最大距离为9，则O 的直径长为 （ ）A.6B.12C.6或12D.3或6分析 点与圆有三种位置关系，即点在圆上、点在圆内、点在圆外，故P 点有两点种情况.当点P 在圆外时，直径长为9-3＝6；当点P 在圆内时，直径长为9+3＝12.故选C.【解题策略】 注意题中求的是直径，不是半径.例17 BC 为O 的弦，130,BOC ABC ∠=︒为O 的内接三角形，求A ∠的度数.分析 依题意知O 为ABC 的外心，由外心O 的位置可知应分两种情况进行解答. 解：应分两种情况，当O 在ABC 内部时，1113065;22A BOC ∠=∠=⨯︒=︒ 当O 在ABC 外部时，由BOC ∠＝130︒，得劣弧BC 的度数为130︒，则BAC 的度数为360︒－130︒＝230︒,故115A ∠=︒.综合，65A ∠=︒或115.A ∠=︒ 【专题解读】 转化思想就是化未知为已知，化繁为简，化难为易，从而将无法求解的问题转化成可以求解的问题，使问题得以解决.例18 如图24-205所示，在ABC 中，90,25,ACB B ∠=︒∠=︒以C 为圆心，CA 长为半径的圆交AB 于D ，求弧AD 的度数.分析 AD 的度数等于它所对的圆心角的度数，故只需求出DCA ∠的度数.解：连接90,25,,CD ACB B CD CA ∠=︒∠=︒=65,CDA CAD ∴∠=∠=︒1801806550,DCA CDA CAD ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒=︒AD ∴的度数为50︒.【解题策略】 把求弧的度数转化为求它所对的圆心角的度数，使问题迎刃而解，可见数学中“转化”的重要. 专题10 数学建模思想【专题解读】 圆在实际生活中有很多的应用，解决问题的方法是将实际问题转化为与圆有关的数学问题，建立数学模型，从而达到解题的目的．例19 工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图24—206(1)所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90︒，尺寸如图24—206(1)所示(单位：cm)．将形状规则的铁球放人槽内时，若同时具有图(1)所示的,,A B E 三个接触点，该球的大小就符合要求．如图24—206(2)所示的是过球心及,,A B E 三点的截面示意图．已知O 的直径就是铁球的直径，AB 是O 的弦，CD 切O 于点E ，,,AC CD BD CD ⊥⊥请你结合图中的数据，计算这种铁球的直径．分析 这是一道实际应用题，其检测依据是三点确定一个圆，利用垂径定理可以求出铁球的直径．解：如图24—206(2)所示，AB CD =＝16 cm ，设CD 和O 相切于点E ，连接OE ，交AB 于N ，.OE CD ∴⊥又11//,,1622AB CD OE AB AN AB ∴⊥∴==⨯=8(cm)． 连接OA ，在Rt OAN 中，OA x =cm ，AN =8 cm ，(4)ON x =-cm ．2228(4),x x ∴=+-解得x ＝10．答：这种铁球的直径是20cm ．2011中考真题精选1. （2011•南通）如图，⊙O 的弦AB=8，M 是AB 的中点，且OM=3，则⊙O 的半径等于（ ）A 、8B 、4C 、10D 、5考点：垂径定理；勾股定理。