11.2 排列与组合ppt课件

(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
关闭
答案
-10-
知识梳理 双基自测
12345
2.1名老师和5名同学站成一排照相,老师不站在两端的排法共有 ()
A.450种 B.460种 C.480种 D.500种
关闭
法一(元素分析法):先排老师,有A14种方法,再排学生,有A55种方法,共
有A14 ·A55=480(种)排法;
关闭
D
解析 答案
-12-
知识梳理 双基自测
12345
4.安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人
完成,则不同的安排方式共有( )
A.12种
B.18种 C.24种 D.36种
关闭
先把
4
项工作分成
3
份有C
2 4
C
1 2
C
A
2 2
1 1
种情况,再把
3
名志愿者排列有A33种
情D 况,故不同的安排方式共有C42AC2122C
=
n (n -1)(n -2)…(n -m +1) m!
=
n! m !(n -m )!
性 (1)0!= 1 ;������nn=n×(n-1)×(n-2)×…×2×1= n! .
质 (2)������nm = ������nn-m ; ������nm+1= C������������ + C������������-1 .
②A������������+1 = A������������ +mA������������-1.
(3)1!+2·2!+3·3!+…+n·n!=(n+1)!-1.

起视作一人，与其余四人全排列，共有全排列 A55种排法，但甲、 乙两人之间有 A22种排法．由分步计数原理可知：共有 A55·A22＝ 240 种不同的排法．故选 C.
答案：C
考点三 组合应用问题
【案例3】 (2009·辽宁)从5名男医生、4名女医生中
选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都
4．常见的解题策略有以下几种： (1)特殊元素优先安排； (2)合理分类和准确分步； (3)排列、组合混合问题先选后排； (4)正难则反、等价转化； (5)相邻问题捆绑处理； (6)不相邻问题插空处理； (7)定序问题除法处理； (8)分排问题直排处理； (9)“小集团”排列问题中先整体后局部； (10)构造模型．
答案：220
3．从5个不同的白球中选2个，3个不同的红球中选1 个，放入三个不同的盒子中，使得每个盒子有且只有一球 的放法种数有________．
解析：C25·C31·A33＝180.
答案：180 4．用数字0、1、2、3、4组成无重复数字的五位数， 若要求1、2相邻，则这样的五位数有________个． 解析：相邻要用捆绑法．A22·(A44－A33)＝36.
解之并检验得 x＝3. (2)由组合数的性质可得 Cxx－＋11＋Cxx＋1＋Cxx－＋22＝Cx2＋1＋Cx1＋1＋Cx4＋2＝C2x＋2＋C4x＋2， 又 Cxx＋＋13＝Cx2＋3，所以 C2x＋3＝C2x＋2＋C4x＋2. 即 C1x＋2＋Cx2＋2＝Cx2＋2＋Cx4＋2. 所以 C1x＋2＝C4x＋2. 所以 5＝x＋2，x＝3.经检验知 x＝3.
从 n 个_不__同__元__素__中取出 m(m≤n)个元素的所___有__不__同__组__合__
的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，

考纲 要求
1．理解排列与组合的概念． 2．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式 ． 3．能利用排列与组合解决一些简单的实际问题．
热点 提示
1．排列、组合问题每年必考，以选择、填空题的 形式考查，或在解答题中和概率相结合进行考查． 2．以实际问题为背景，以考查排列数、组合数为 主，同时考查分类讨论的思想及解决实际问题的能 力．
排列与排列数
组合与组合数 1.组合：从n个不同元素中取 出m(m≤n)个元素 合成一组 ， 叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合． 2.组合数：从n个不同元素中 取出m(m≤n)个元素的 所有 不同组合的个数 ，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的 组合数．
1.排列：从n个不同元素中取 按照一定的 出m(m≤n)个元素， 顺序排成一列，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的一个排 列． 定义 2.排列数：从n个不同元素中 取出m(m≤n)个元素的 所有 不同排列的个数 ，叫做从n个 不同元素中取出m个元素的排 列数.
数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有
( A．9个 C．36个 B．24个 D．54个 ＝9种方法， )
解析：选出符合题意的三个数有
每三个数可排成
＝6个三位数，
∴共有9×6＝54个符合题意的三位数． 答案：D
2．停车场每排恰有10个停车位．当有7辆不同型号的 车已停放在同一排后，恰有 3 个空车位连在一起的排法有
6 A1 种，其余 6 人全排列，有 A 3 6种．由分步乘法计数原理得符 6 合条件的排法共有 A1 A 3 6＝2160 种．
(2)位置分析法(特殊位置优先安排)．先排最左边，除去
6 甲外，有 A1 种，余下的 6 个位置全排列有 A 6 6种，但应剔除乙 5 1 6 1 5 在最右边的排法数 A1 A ，则符合条件的排法共有 A A － A 5 5 6 6 5A5

P(n,m)=n!/(n-m)!，其中n!表示n的阶乘，即 n×(n-1)×...×3×2×1。
3
排列的性质
P(n,m)=P(n,n-m)，P(n,m)=P(n-1,m-1)+P(n1,m)。
排列的计算方法及应用
计算方法
根据排列的公式，将具体的n和m 代入公式进行计算。
应用
排列在组合数学、概率论、统计 学等领域有广泛的应用，如排列 组合问题、概率计算等。
高中数学排列与组合 课件
汇报人： 202X-01-05
目录
• 排列与组合的基本概念 • 排列的计算方法 • 组合的计算方法 • 排列与组合的综合应用 • 练习题与答案解析
01 排列与组合的基本概念
排列的定义与性质
排列的定义：从n个不同元素中取出m个元素（m≤n ），按照一定的顺序排成一列，称为从n个元素中取
02
区别
排列考虑元素的顺序，而组合不考虑元素的顺序。
03
应用场景
在实际问题中，需要根据具体情境选择使用排列或组合 来描述和解决问题。
02 排列的计算方法
排列的公式与性质
1 2
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），按照 一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中取 出m个元素的排列。
排列的公式
进阶练习题2
题目内容涉及排列与组合与其他数学知识的结合，如概率论 、统计学等。答案解析：详细解释了如何将其他数学领域的 知识与排列与组合相结合，以解决更为复杂的实际问题。
综合练习题
综合练习题1
题目内容涉及排列与组合的多个知识点，要求考生具备较高的数学综合能力。答 案解析：详细解释了如何综合运用排列与组合的多个知识点解决实际问题，并提 供了多种解题思路。

题型二 组合问题[自主练透] 1．[2020·山东新高考预测卷]北京园艺博览会期间，安排 6 位志愿 者到 4 个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两 个展区各安排两个人，其中小李和小王不在一起，不同的安排方案共 有( ) A．168 种 B．156 种 C．172 种 D．180 种
类题通法 “至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题目必须 十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏 解．用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间 接法求解.
题型三 排列与组合的综合问题[师生共研] [例 1] (1)若由 3 人组成的微信群中有 4 个不同的红包，每个红包 只能被抢一次，且每个人至少抢到 1 个红包，则红包被抢光的方式共 有( ) A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．36 种
丙机在甲机之前和丙机在甲机之后的数目相同，则此时有12×C12A44＝24 种不同的着舰方法．则一共有 24＋24＝48 种不同的着舰方法，故选
C.
类题通法 解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进 行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问 题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他 元素(或位置).
6．[2018·全国Ⅰ卷]从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛， 且至少有 1 位女生入选，则不同的选法共有________种．(用数字填写 答案)
答案：16 解析： 解法一 按参加的女生人数分两类，共有 C12C42＋C22C41＝16(种)． 解法二 C63－C43＝20－4＝16(种)．
A．240 种 B．188 种 C．156 种 D．120 种
答案：D 解析：当 E，F 排在前三位时，共有 A22A22A33＝24 种安排方案；当 E，F 排在后三位时，共有 C31A23A22A22＝72 种安排方案；当 E、F 排在 三、四位时，共有 C12A13A22A22＝24 种安排方案，所以不同安排方案共 有 24＋72＋24＝120 种，故选 D.

数。
从10个不同字母中取出 5个字母的所有排的个
数。
从8个不同数字中取出4 个数字的所有排列的个
数。
从n个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个
数。
03
CHAPTER
组合的计算方法
组合的公式
组合的公式：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
"!"表示阶乘，即n! = n * (n-1) * ... * 3 * 2 * 1。
3
排列组合在计算机科学中的应用
计算机科学中，排列组合用于算法设计和数据结 构分析。
排列与组合的未来发展
排列与组合理论的发展方向
随着数学和其他学科的发展，排列与组合理论将不断发展和完善，出现更多新 的公式和定理。
排列与组合的应用前景
随着科学技术的发展，排列与组合的应用领域将更加广泛，特别是在计算机科 学、统计学和信息论等领域的应用将更加深入。
在计算排列和组合时，使用的 公式和方法也不同。
02
CHAPTER
排列的计算方法
排列的公式
01
02
03
排列的公式
P(n, m) = n! / (n-m)!， 其中n是总的元素数量， m是需要选取的元素数量 。
排列的公式解释
表示从n个不同元素中取 出m个元素的所有排列的 个数。
排列的公式应用
适用于计算不同元素的排 列组合数，例如计算从n 个不同数字中取出m个数 字的所有排列的个数。
该公式用于计算从n 个不同元素中选取k 个元素（不放回）的 组合数。
组合的计算方法
直接使用组合公式进行计算。 当n和k较大时，需要注意计算的复杂性和准确性。
可以使用数学软件或在线工具进行计算。

则甲、乙两人不都入选的不同选法种数共有（ D）
A
.C
2 5
A33
B.2C
3 5
A33
C
.A
3 5
D.2C52A33 A53
课堂练习：
5、在如图7x4的方格纸上（每小方格均为正方形） （1）其中有多少个矩形？ （2）其中有多少个正方形？
小结
排列
组合 联系
组合是选择的 结果，排列是 选择后再排序 的结果
方 法 二 ： C 1 5 2 C 3 0 C 9 56 6 6
例5、某医院有内科医生12名，外科医生8名，现要 派5人参加支边医疗队，至少要有1名内科医生和1名 外科医生参加，有多少种选法？
例6：（1）平面内有9个点，其中4个点在一条直线 上，此外没有3个点在一条直线上，过这9个点可确 定多少条直线？可以作多少个三角形？
。
3、要从8名男医生和7名女医生中选5人组成一个医疗队，如果
其中至少有2名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数
为（ C ）
A.(C8 3C7 2)(C7 3C82)
B .(C 8 3C 7 2)(C 7 3C 8 2)
C.C83C72C73C82
D.C83C72C111
4、从7人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，
abd bad dab adb bda dba
acd cad dac
你发现a了dc cda dca 什么b?cd cbd dbc
bdc cdb dcb
不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？
A 求3可 分 两 步 考 虑 ：
求4P
3 4
可分两步考虑：
C 第 一 步 ，3（ 4 ） 个 ； 4

活页限时训练
一个区别
排列与组合，排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无
序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与
顺序无关即是组合．
两个公式
(1)排列数公式Amn ＝n－n！m！ (2)组合数公式Cmn ＝m！nn！－m！利用这两个公式可计算排列问 题中的排列数和组合问题中的组合数．
考基自主导学
元素进行插空(即插空法)．
(4)某些元素顺序一定，可在所有排列位置中取若干个位置，
先排上剩余的其它元素，这个元素也就一种排法．
考基自主导学
考向探究导析
考题专项突破
活页限时训练
【训练1】 用0,1,2,3,4,5六个数字排成没有重复数字的6位数， 分别有多少个？(1)0不在个位；(2)1与2相邻；(3)1与2不相邻； (4)0与1之间恰有两个数；(5)1不在个位；(6)偶数数字从左向右 从小到大排列． 解 (1)A25A44＝480； (2)A22A41A44＝192； (3)A15A55－A22A41A44＝408， (4)A24A21A22＋A42A33＝120； (5)A66－2A55＋A44＝504； (6)A36－A53＝60.
( )． A．36种 B．42种 C．48种 D．54种 解析 因为丙必须排在最后一位，因此只需考虑其余五人在前
五位上的排法．当甲排在第一位时，有A44＝24种排法，当甲排
在第二位时，有A
1 3
·A
3 3
＝18种排法，所以共有方案24＋18＝
42(种)，故选B.
答案 B
考基自主导学
考向探究导析
考题专项突破
选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？(2)甲、乙所选的课
程中至少有一门不相同的选法有多少种？

������ -1
������-������+1 ������ -1 C������ ; ������
(5)①kC������ ������ =nC������ -1 ;
������ +1 ������ ������ ������ ������ ②C������ + C������ + C + … + C = C ������ +1 ������ +2 ������ +1 .
11.2
排列与组合
知识梳理 知识梳理 双基自测
-2-
1 2 3 4
1.排列与组合的概念
名 称 排 列 组 合 定 义 排成一
按照 一定的顺序 从 n 个不同元素中 列 取出 m(m≤n)个元 素 合成一组
知识梳理 知识梳理 双基自测
-3-
1 2 3 4
2.排列数与组合数的概念
名称 排列 数 组合 数
4 位置共有A4 种排法 , 所以其中奇数的个数为 3 A 4 4 =72,故选 D.
关闭
D
解析
答案
知识梳理 知识梳理 双基自测
-9-
1 2 3 4 5
3.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为 ( ) A.144 B.120 C.72 D.24
关闭
先排三个空位,形成 4 个间隔,然后插入 3 个同学,故有A3 4 =24 种.
知识梳理 知识梳理 双基自测
-6-
1 2 3 4
������ (4)①C������ = ������ ②C������ = ������ ③C������ =
������ ������ C������ ; ������-������ -1 ������ ������ -1 C . ������ ������ -1

--
考点3
对点训练3(1)(2019河北邢台模拟,6)某科研单位准备把7名大学生分配到编号为1,2,3的三个实验室实习,若要求每个实验室分配到的大学生人数不小于该实验室的编号,则不同的分配方案的种数为( )A.280 B.455 C.355 D.350(2)(2019湖北郧阳中学、恩施高中、随州二中三校联考,8)学校将5位同学分别推荐到北京大学、上海交通大学、浙江大学三所大学参加自主招生考试,则每所大学至少推荐一人的不同推荐的方法种数为( )A.240 B.180 C.150 D.540
D
--
考点3
--
考点3
--
考点3
1.对于有附加条件的排列、组合应用题,通常从三个途径考虑:(1)以元素为主,即先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素;(2)以位置为主,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置;(3)先不考虑附加条件,计算出排列数或组合数,再减不符合要求的排列数或组合数.2.排列、组合问题的求解方法与技巧.(1)特殊元素优先安排;(2)合理分类与准确分步;(3)排列、组合混合问题要先选后排;(4)相邻问题捆绑处理;(5)不相邻问题插空处理;(6)定序问题除法处理;(7)分排问题直排处理;(8)“小集团”排列问题先整体后局部;(9)构造模型;(10)正难则反,等价转化.3.不同元素的分配问题,往往是先分组再分配.在分组时,通常有三种类型:不均匀分组;均匀分组;部分均匀分组.注意各种分组类型中,不同分组方法的求法.
--
考点3
--
考点3
--
考点3
思考求解分组、分配问题的一般思路是什么?解题心得分组、分配问题的一般解题思路是先分组再分配.(1)分组问题属于“组合”问题.①对于整体均分,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以组数的阶乘;②对于部分均分,即若有m组元素个数相同,则分组时应除以m!;③对于不等分组,只需先分组,后排列.(2)分配问题属于“排列”问题.①相同元素的“分配”问题,常用的方法是采用“挡板法”;②不同元素的“分配”问题,利用分步乘法计数原理,分两步完成,第一步是分组,第二步是发放;③限制条件的分配问题常采用分类法求解.