排列与组合(自)PPT文档资料
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《排列与组合》的说课稿
《排列与组合》的说课稿引言概述：排列与组合是数学中重要的概念，它们在各个领域都有着广泛的应用。
通过排列与组合的学习，可以帮助我们解决各种实际问题，提高我们的逻辑思维能力和数学素养。
本文将从排列与组合的定义、性质、应用等方面进行详细阐述。
一、排列的概念1.1 排列的定义：排列是指从给定的元素中按照一定的顺序选取若干个元素进行排列的方式。
1.2 排列的计算公式：排列的计算公式为A(n,m)=n!/(n-m)!，其中n表示总元素个数，m表示选取的元素个数。
1.3 排列的性质：排列的个数随着元素个数和选取个数的增加而增加，排列的顺序不同则视为不同的排列。
二、组合的概念2.1 组合的定义：组合是指从给定的元素中按照一定的规则选取若干个元素进行组合的方式。
2.2 组合的计算公式：组合的计算公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)，其中n表示总元素个数，m表示选取的元素个数。
2.3 组合的性质：组合的个数不受元素的排列顺序影响，组合的个数随着选取的元素个数的增加而减少。
三、排列组合的应用3.1 排列组合在概率统计中的应用：排列组合可以帮助我们计算事件发生的可能性，从而进行概率统计的分析。
3.2 排列组合在密码学中的应用：排列组合可以帮助我们设计安全的密码算法，保护信息的安全性。
3.3 排列组合在工程设计中的应用：排列组合可以帮助我们设计出更加合理的工程结构，提高工程的效率和可靠性。
四、排列组合的解题方法4.1 利用计算公式：根据排列组合的计算公式，可以直接计算出排列组合的个数。
4.2 利用递推关系：通过递推关系可以简化排列组合的计算过程，提高解题效率。
4.3 利用实际问题进行练习：通过解决实际问题，可以更好地理解排列组合的概念和应用。
五、总结排列与组合作为数学中的重要概念，具有广泛的应用价值。
通过学习排列与组合，可以提高我们的逻辑思维能力和解决问题的能力，为我们的学习和工作带来更多的帮助。
希望大家能够认真学习排列与组合的知识，不断提升自己的数学素养。
任务五编排图文(共40张PPT)
信息技术：基础模块（上册）
图 3-89 “形状”下拉列表
3.5 任务五：编排图文
3. 任务完成5. 插入圆角矩形步骤 02 ：选中圆角矩形后右击，在弹出的快捷菜单中选择“设置形状格式”命令，打开“设置形状格式”窗格，选中“渐变填充”单选按钮，然后设置“预设渐变”为“浅色渐变，个性色 5”，如图 3-90 所示。步骤 03 ：在圆角矩形中输入文字“跃见非凡”，在“开始”选项卡的“字体”组中将文本字体设置为“黑体”，字号为“三号”，加粗显示，颜色为“蓝色，个性色 1”。
信息技术：基础模块（上册）
3.5 任务五：编排图文
4. 必备知识二、艺术字设置4. 艺术字样式设置选中艺术字，在“格式”选项卡的“形状样式”组进行设置，如图 3-97 所示。（1）其他按钮。选中艺术字，单击该按钮，在其下拉列表中重新选择艺术字的样式，文字内容不变。（2）形状填充。选中艺术字，单击“形状填充”下拉按钮，在其下拉列表中选择颜色、图片、渐变、纹理等填充艺术字。（3）形状效果。选中艺术字，单击“形状效果”下拉按钮，在其下拉列表中选择艺术字显示的形状。
信息技术：基础模块（上册）
图 3-86 “布局”界面
3.5 任务五：编排图文
3. 任务完成3. 插入图片步骤 02 ：将光标移至图片最后，再次单击“图片”按钮，按照上述步骤 01，继续插入图片“黄色 .png”，并设置图片的宽度绝对值。
信息技术：基础模块（上册）
图 3-86 “布局”界面
3.5 任务五：编排图文
信息技术：基础模块（上册）
图 3-92 “设置图片格式”窗格
3.5 任务五：编排图文
4. 必备知识一、图片设置1. 插入图片切换到“插入”选项卡，在“插图”组中单击“图片”按钮，在弹出的“插入图片”对话框中选择图片，完成插入操作。
图 3-89 “形状”下拉列表
3.5 任务五：编排图文
3. 任务完成5. 插入圆角矩形步骤 02 ：选中圆角矩形后右击，在弹出的快捷菜单中选择“设置形状格式”命令，打开“设置形状格式”窗格，选中“渐变填充”单选按钮，然后设置“预设渐变”为“浅色渐变，个性色 5”，如图 3-90 所示。步骤 03 ：在圆角矩形中输入文字“跃见非凡”，在“开始”选项卡的“字体”组中将文本字体设置为“黑体”，字号为“三号”，加粗显示，颜色为“蓝色，个性色 1”。
信息技术：基础模块（上册）
3.5 任务五：编排图文
4. 必备知识二、艺术字设置4. 艺术字样式设置选中艺术字，在“格式”选项卡的“形状样式”组进行设置，如图 3-97 所示。（1）其他按钮。选中艺术字，单击该按钮，在其下拉列表中重新选择艺术字的样式，文字内容不变。（2）形状填充。选中艺术字，单击“形状填充”下拉按钮，在其下拉列表中选择颜色、图片、渐变、纹理等填充艺术字。（3）形状效果。选中艺术字，单击“形状效果”下拉按钮，在其下拉列表中选择艺术字显示的形状。
信息技术：基础模块（上册）
图 3-86 “布局”界面
3.5 任务五：编排图文
3. 任务完成3. 插入图片步骤 02 ：将光标移至图片最后，再次单击“图片”按钮，按照上述步骤 01，继续插入图片“黄色 .png”，并设置图片的宽度绝对值。
信息技术：基础模块（上册）
图 3-86 “布局”界面
3.5 任务五：编排图文
信息技术：基础模块（上册）
图 3-92 “设置图片格式”窗格
3.5 任务五：编排图文
4. 必备知识一、图片设置1. 插入图片切换到“插入”选项卡，在“插图”组中单击“图片”按钮，在弹出的“插入图片”对话框中选择图片，完成插入操作。
排列组合中的涂色问题
分析：依题意至少要用3种颜色
3.根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻 区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加 法原理求出不同涂色方法总数。
例4.用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内， 每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可 以反复使用，共有多少种不同的涂色方法
5 4 3 42 4 0
2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种 情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域， 且相邻两个区域不能同色
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：
（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有
A
4 4
（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有
A
4 4
（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有
ALeabharlann 4 4（4）③与⑤同色、②与④同色，则有 A
4 4
（5）②与④同色、③与⑥同色，则有 A
4 4
所以根据加法原理得涂色方法总数为
例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个 行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色， 现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种
排列组合中涂色问题
本文档后面有精心整理的常用PPT编辑图标，以提高工作效率
一、区域涂色问题
1.根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理 染色问题的基本方法。
例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的 各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不 同颜色，则不同的涂色方法有多少种
分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法， 接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此 ④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有
3.根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻 区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加 法原理求出不同涂色方法总数。
例4.用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内， 每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可 以反复使用，共有多少种不同的涂色方法
5 4 3 42 4 0
2、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种出各种 情形的种数，再用加法原理求出不同的涂色方法种数。
例2、（2003江苏卷）四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域， 且相邻两个区域不能同色
分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：
（1）②与⑤同色、④与⑥同色，则有
A
4 4
（2）③与⑤同色、④与⑥同色，则有
A
4 4
（3）②与⑤同色、③与⑥同色，则有
ALeabharlann 4 4（4）③与⑤同色、②与④同色，则有 A
4 4
（5）②与④同色、③与⑥同色，则有 A
4 4
所以根据加法原理得涂色方法总数为
例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个 行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色， 现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种
排列组合中涂色问题
本文档后面有精心整理的常用PPT编辑图标，以提高工作效率
一、区域涂色问题
1.根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理 染色问题的基本方法。
例1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的 各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分涂不 同颜色，则不同的涂色方法有多少种
分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法， 接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此 ④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有
离散数学：认识集合、排列和组合的概念和应用
排列和组合都涉及到从n个元素中取出r个元素的问题，但它们的取法、计算方法和应用场景有所 不同
离散数学在计算机科学中的应用
离散数学在数据结构中的应用：集合论用于描述数据结构的集合性质，图论用于 描述数据结构的图性质。
离散数学在算法设计中的应用：集合论中的计数原理和排列组合原理用于设计算 法，图论中的最短路径算法用于优化算法。
集合是由确定的、不同的元 素所组成的总体。
集合中的元素是有序的，即 集合中的元素有顺序性。
集合可以通过列举法或描述 法进行定义。
列举法：通过一一列举出集合中的元素来表示集合 描述法：通过描述集合中元素的共同特征来表示集合 符号法：使用大括号{}来表示集合，并在大括号内列出集合中的元素
区间法：使用数轴上的区间来表示集合，包括开区间、闭区间和半开半闭区间等
离散数学在现实生活中的应用
离散概率论：离散概率论是离散数学在统计学中的应用，它为统计学提供了理论基础。
离散概率分布：离散概率分布是描述随机事件发生的可能性，例如二项分布、泊松分布等。
离散统计推断：离散统计推断是利用样本数据对总体参数进行估计和推断的方法，例如参数估计、 假设检验等。
离散数据模型：离散数据模型是描述离散数据的数学模型，例如概率图模型、贝叶斯网络等。
排列的应用：在离散数学中，排列的概念被广泛应用于组合数学、图论、逻辑推理等领域。
排列的性质：排列具有可交换性、可结合性和有界性。
排列的定义：从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），按照一定的顺序排成一列， 称为从n个元素中取出m个元素的排列。
排列的计算方法：排列数用符号A(n,m)表示，计算公式为A(n,m)=n!/(n-m)!，其中 "!"表示阶乘。
离散概率论：离散随机事件的数学描述，如掷骰子、抽签等 概率空间：离散随机试验所有可能结果的集合，以及每个结果的概率 离散概率分布：描述离散随机变量取各个可能值的概率 条件概率和独立性：在离散概率论中，条件概率和随机事件的独立性有明确的定义和性质
离散数学在计算机科学中的应用
离散数学在数据结构中的应用：集合论用于描述数据结构的集合性质，图论用于 描述数据结构的图性质。
离散数学在算法设计中的应用：集合论中的计数原理和排列组合原理用于设计算 法，图论中的最短路径算法用于优化算法。
集合是由确定的、不同的元 素所组成的总体。
集合中的元素是有序的，即 集合中的元素有顺序性。
集合可以通过列举法或描述 法进行定义。
列举法：通过一一列举出集合中的元素来表示集合 描述法：通过描述集合中元素的共同特征来表示集合 符号法：使用大括号{}来表示集合，并在大括号内列出集合中的元素
区间法：使用数轴上的区间来表示集合，包括开区间、闭区间和半开半闭区间等
离散数学在现实生活中的应用
离散概率论：离散概率论是离散数学在统计学中的应用，它为统计学提供了理论基础。
离散概率分布：离散概率分布是描述随机事件发生的可能性，例如二项分布、泊松分布等。
离散统计推断：离散统计推断是利用样本数据对总体参数进行估计和推断的方法，例如参数估计、 假设检验等。
离散数据模型：离散数据模型是描述离散数据的数学模型，例如概率图模型、贝叶斯网络等。
排列的应用：在离散数学中，排列的概念被广泛应用于组合数学、图论、逻辑推理等领域。
排列的性质：排列具有可交换性、可结合性和有界性。
排列的定义：从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），按照一定的顺序排成一列， 称为从n个元素中取出m个元素的排列。
排列的计算方法：排列数用符号A(n,m)表示，计算公式为A(n,m)=n!/(n-m)!，其中 "!"表示阶乘。
离散概率论：离散随机事件的数学描述，如掷骰子、抽签等 概率空间：离散随机试验所有可能结果的集合，以及每个结果的概率 离散概率分布：描述离散随机变量取各个可能值的概率 条件概率和独立性：在离散概率论中，条件概率和随机事件的独立性有明确的定义和性质
组合体的组合形式公开课-文档资料
一、组合体的组成方式
为了便于分析，组合体按其形成方式，通常分为叠加型、切割型和 综合型。
•1
一、 组合体的组合形式（1）
叠加型组合体
•2
一、 组合体的组合形式（2）
切割型组合体
•3
二、组合体相邻表面的连接方式
连接方式共有三种：平齐、相切、相交
相切
相交
平齐•4Biblioteka 1．两形体平齐叠合当两个基本体叠合时具有互相连接的一个面(共平面或共 曲面)时，它们之间没有分界线，在视图上也不可画出分界线。
叠合处，没有公共的表面时，在视 图中两个基本体之间有分界线；
有线
无线 共面
不共面
共面
无线
•5
常见的情况
无线
虚线
实线
(a) 平齐
(b) 前面平齐 后面不平齐
(c) 不平齐
•6
2．两形体表面相切
•
相切是指两个基本体的表面(平面与曲面或曲面
与曲面)光滑过渡。相切处不存在轮廓线，在视图上
也就不画分界线。
有线
有线
•10
截交线
相贯线
•11
三视图的形成
•12
二、三视图的投影规律
§5-1 三视图的形成及其特性
当物体的三视图按上图所示的规定位置配置时，可不注视图的名称。
•13
无线
无线
●
•7
无线
无线
无线
无线
无线
•8
• 特殊情况
•
当两圆柱面相切时，这两个圆柱面的公切
平面垂直于投影面时，应画出相切的素线在该
投影面上的投影，也就是两个柱面的分界线。
相切处无线
相切处无线
相切处无线
为了便于分析，组合体按其形成方式，通常分为叠加型、切割型和 综合型。
•1
一、 组合体的组合形式（1）
叠加型组合体
•2
一、 组合体的组合形式（2）
切割型组合体
•3
二、组合体相邻表面的连接方式
连接方式共有三种：平齐、相切、相交
相切
相交
平齐•4Biblioteka 1．两形体平齐叠合当两个基本体叠合时具有互相连接的一个面(共平面或共 曲面)时，它们之间没有分界线，在视图上也不可画出分界线。
叠合处，没有公共的表面时，在视 图中两个基本体之间有分界线；
有线
无线 共面
不共面
共面
无线
•5
常见的情况
无线
虚线
实线
(a) 平齐
(b) 前面平齐 后面不平齐
(c) 不平齐
•6
2．两形体表面相切
•
相切是指两个基本体的表面(平面与曲面或曲面
与曲面)光滑过渡。相切处不存在轮廓线，在视图上
也就不画分界线。
有线
有线
•10
截交线
相贯线
•11
三视图的形成
•12
二、三视图的投影规律
§5-1 三视图的形成及其特性
当物体的三视图按上图所示的规定位置配置时，可不注视图的名称。
•13
无线
无线
●
•7
无线
无线
无线
无线
无线
•8
• 特殊情况
•
当两圆柱面相切时，这两个圆柱面的公切
平面垂直于投影面时，应画出相切的素线在该
投影面上的投影，也就是两个柱面的分界线。
相切处无线
相切处无线
相切处无线
排列组合例题总结
解2：C210.C118.C116.C114 A44 3360
解：C110.C92C21C21 1140
3.选人问题
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
练习6：8名外交工作者，其中3人只会英语， 2人只会日语，3人既会英语又会日语，现从 则8人中选3个会英语，3个会日语旳人去完毕 一项任务，有多少种不同旳选法？
练习题4 10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要 求从左至右身高逐渐增长，共有多少种排法？
C C 5 5 10 5
五.多排问题直排策略 文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。 例5.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在
前排,丁在后排,共有多少排法 解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,能够
解：(C22C31).C53 (C21C32 ).C43 C33.C33
4.涂色问题
文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
措施
分步原理
做一件事，完毕它能够有n个环 节，做第i步中有mi种不同旳措 施，那么完毕这件事共有 N=m1·m2·m3·…·mn 种不同旳 措施.
相同点 做一件事或完毕一项工作旳措施数
不同点 直接（分类）完毕
间接（分环节）完毕
排列和组合旳区别和联络： 文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。
名称 定义
C62 15
八.正难则反间接法文档仅供参考，如有不当之处，请联系改正。 例8. 四面体旳顶点和各棱中点共10个点， 从中取4个不共面旳点，不同旳取法有 多少种？
取出旳4点不共面情形复杂，故采用间接 法。取出旳4点共面有三类：
（1）过四面体旳一种面有4C64 种；
（2）过四面体旳一条棱上旳三个点和对棱
11块 个隔空班共板隙级有，中，__插，_每_入全_一C_部n_种96个_分_插_元_板法种素措数分排施为法成相。一应Cn一m排11种旳分n-法
(2024年)word高级进阶培训ppt课件
批量发送邮件
如果选择“发送电子邮件”，将打开Outlook或其他邮件客户端，并 自动填充收件人、主题和邮件内容，实现批量发送个性化邮件。
22
06
宏录制与VBA编程基 础
2024/3/26
23
宏录制功能使用方法
01
02
03
04
打开Word，点击“开发工具 ”选项卡中的“录制宏”按钮
设置宏的名称、保存位置、快 捷键等信息
进行需要录制的操作，如文本 输入、格式设置等
点击“停止录制”按钮，完成 宏录制
2024/3/26
24
VBA编程环境简介
打开Word，点击“开发工具”选项卡中的“Visual Basic”按钮，进入VBA编程环 境
VBA编程环境包括菜单栏、工具栏、代码窗口、属性窗口等部分
2024/3/26
在VBA编程环境中，可以编写、调试和运行VBA程序，实现Word文档的自动化操作
对齐方式等。
2024/3/26
8
样式和模板应用
样式应用
通过应用内置或自定义 样式，快速统一文档的
格式。
2024/3/26
模板应用
使用Word提供的模板或 自定义模板，快速创建 具有专业外观的文档。
样式修改
根据需要修改样式，包 括字体、段落、编号等 ，以满足特定格式要求
。
9
模板创建
根据实际需求创建自定 义模板，提高工作效率
图文混排与表格处理
2024/3/26
11
插入图片和图形对象
插入图片
从文件、在线来源或剪贴板中插入图 片，调整图片大小和位置。
插入形状
使用Word内置的形状库，绘制各种 形状如线条、箭头、矩形、椭圆等。
如果选择“发送电子邮件”，将打开Outlook或其他邮件客户端，并 自动填充收件人、主题和邮件内容，实现批量发送个性化邮件。
22
06
宏录制与VBA编程基 础
2024/3/26
23
宏录制功能使用方法
01
02
03
04
打开Word，点击“开发工具 ”选项卡中的“录制宏”按钮
设置宏的名称、保存位置、快 捷键等信息
进行需要录制的操作，如文本 输入、格式设置等
点击“停止录制”按钮，完成 宏录制
2024/3/26
24
VBA编程环境简介
打开Word，点击“开发工具”选项卡中的“Visual Basic”按钮，进入VBA编程环 境
VBA编程环境包括菜单栏、工具栏、代码窗口、属性窗口等部分
2024/3/26
在VBA编程环境中，可以编写、调试和运行VBA程序，实现Word文档的自动化操作
对齐方式等。
2024/3/26
8
样式和模板应用
样式应用
通过应用内置或自定义 样式，快速统一文档的
格式。
2024/3/26
模板应用
使用Word提供的模板或 自定义模板，快速创建 具有专业外观的文档。
样式修改
根据需要修改样式，包 括字体、段落、编号等 ，以满足特定格式要求
。
9
模板创建
根据实际需求创建自定 义模板，提高工作效率
图文混排与表格处理
2024/3/26
11
插入图片和图形对象
插入图片
从文件、在线来源或剪贴板中插入图 片，调整图片大小和位置。
插入形状
使用Word内置的形状库，绘制各种 形状如线条、箭头、矩形、椭圆等。
组合和排列问题大班数学教案
组合和排列问题大班数学教案1. 教学目标：- 理解组合和排列的概念及区别；- 能够应用组合和排列的方法解决实际问题；- 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
2. 教学准备：- 教案PPT；- 黑板、粉笔；- 学生练习册；- 纸牌、骰子等教具。
3. 教学过程：引入：老师可以通过提出以下问题来引入组合和排列的概念和应用：如果有3个红球、2个蓝球和1个黄球，我们可以有多少种不同的排列？如果只能选择其中5个球进行排列，我们可以有多少种不同的排列方式？知识讲解：首先，讲解组合和排列的概念。
组合表示从一组对象中选择若干个对象进行排列，但不考虑其顺序。
排列则表示从一组对象中选择若干个对象进行排列，并考虑其顺序。
然后，通过实例演示如何计算组合和排列的数量。
例如，给定5个数字（1、2、3、4、5），我们可以计算不同长度的组合和排列数量，并通过列举实例进行解释。
练习：让学生进行练习，计算不同排列和组合的数量。
可以使用纸牌、骰子等教具，增加趣味性和实践性。
应用：让学生将组合和排列的概念应用到实际问题中。
例如，给定5个人（A、B、C、D、E），从中选出3个人组成一支篮球队，问有多少种不同的组合方式？扩展：对于学有余力的学生，可以引导他们深入探讨更复杂的组合和排列问题。
例如，给定8个不同的字母，从中选出5个字母组成单词，问有多少种不同的排列方式？总结：通过讨论和总结，让学生对组合和排列的概念有一个清晰的认识，并能够灵活应用于解决实际问题。
4. 课堂小结：本节课我们学习了组合和排列的概念，通过实例计算了不同排列和组合的数量，并应用到了实际问题中。
希望大家都能掌握组合和排列的方法，提高问题解决能力。
5. 作业布置：布置相关习题，要求学生进一步巩固和应用所学的组合和排列知识。
6. 教学反思：本节课通过引入问题、讲解知识、练习和应用等环节，培养了学生的逻辑思维和问题解决能力。
通过实例演示和实际应用，让学生更好地理解了组合和排列的概念，并掌握了计算数量的方法。
《排列与组合》的说课稿
《排列与组合》的说课稿排列与组合是高中数学中非常重要的概念，它们在数学和现实生活中都有着广泛的应用。
本文将介绍排列与组合的基本概念、性质和应用，帮助大家更好地理解和应用这两个概念。
一、排列的概念1.1 排列的定义：排列是指从一组元素中按照一定顺序选择若干个元素的方式。
1.2 排列的计算方法：排列的计算方法包括全排列和部分排列两种。
1.3 排列的性质：排列的数量受到元素个数和选择个数的影响，可以用数学公式进行计算。
二、组合的概念2.1 组合的定义：组合是指从一组元素中按照一定规则选择若干个元素的方式。
2.2 组合的计算方法：组合的计算方法包括普通组合和重复组合两种。
2.3 组合的性质：组合的数量受到元素个数和选择个数的影响，可以用数学公式进行计算。
三、排列与组合的区别3.1 排列与组合的区别：排列是有序的选择，组合是无序的选择。
3.2 排列与组合的应用：排列常用于考虑顺序的情况，组合常用于不考虑顺序的情况。
3.3 排列与组合的联系：排列和组合是相互联系的概念，可以相互转化和应用。
四、排列与组合的应用4.1 排列与组合在数学中的应用：排列与组合在概率论、统计学和组合数学等领域有着广泛的应用。
4.2 排列与组合在现实生活中的应用：排列与组合在密码学、排队理论和组织管理等方面有着实际的应用价值。
4.3 排列与组合的未来发展：随着科技的发展，排列与组合的应用领域将不断扩大，为人类生活带来更多便利和创新。
五、总结5.1 排列与组合是高中数学中的重要概念，掌握排列与组合的基本原理和计算方法对于提高数学能力和解决实际问题具有重要意义。
5.2 排列与组合的应用不仅局限于数学领域，也可以在现实生活中发挥重要作用。
5.3 希望通过本文的介绍，读者能够更好地理解和应用排列与组合的知识，为自己的学习和工作带来更多的启发和帮助。
122组合(一)
3
C43 34 3
P3 4
P3 3
如何计算:
m n
概念讲解 组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系．
一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排
列数，可以分为以下2步：
第1步，先求出从这n 个不同元素中取出m 个元素
的组合数Cnm ．
第2步，求每一个组合中m 个元素的全排列数Anm ． 根据分步计数原理，得到： Anm Cnm Amm
有组合个数是: C32 3
如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出两个
元素的所有组合个数是：C42 6
练一练
1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。
c
bd
ac
d abc ， abd ， acd ， bcd .
b
cdபைடு நூலகம்
组合
排列
abc
abc bac cab
acb bca cba
有
顺
序
排列
问题2
从已知的 3个不同 元素中每 次取出2 个元素 , 合成一组
无
顺
组合
序
概念讲解
组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m （m≤n）个元素合成一组，叫做从n个 不同元素中取出m个元素的一个组合．
排列与组合的 概念有什么共 同点与不同点？
概念讲解
排列定义: 一般地，从n个不同元素中取出m (m≤n) 个 元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素 中取出 m 个元素的一个排列.
所有组合.
a
b
c
b cd
cd
ab , ac , ad , bc , bd , cd
组合与组合数公式
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如:已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个
元素的所有组合.
a
b
c
bcd
cd
d
ab , ac , ad , bc , bd , cd 6个
练习: 中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排邀
请赛，通过单循环决出冠亚军．
（1）列出所有各场比赛的双方；
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
包权
人书友圈7.三端同步
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组， 共有多少种分法? 组合问题
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排列与组合
风子编辑
.
1
从慈溪到宁波要新建一条铁路，在铁路沿线会设4个站，你认为铁路公司应该设计多少种车票呢？又有 多少种票价？
我们用枚举法来试试。四个站分别为：慈溪、龙山、镇海、宁波，采用握手法来做枚举。
慈溪 龙山
慈溪 龙山
同样名称不需要连线，不同名称的车站间需要连线，每条线表示一种车票。
所以，左边的慈溪与右边一列有3条连线，即慈溪出发的车票为慈溪—龙山、 慈溪—镇海、慈溪—宁波；
使5个数的和最大，则最高权位的数码尽量大，所以选 9、8、7、6、5；
剩下的5个数码为个位，而个位数码的和影响5个数的和 的奇偶性。而0+1+2+3+4=10，不符合和为奇数的要求。
因此，用十位上最小的奇数与个位上最大的偶数进行交 换，可以符合要求。即4放到十位上，5放到个位上。
所以，这五个数的和为： （4+6+7+8+9）×10+（0+1+2+3+5）=351
. 4、十位上的3还多一个37，所以，d=3，e=7
【分析】对于这类为问题，我们引入“碟子法”。题目是要用10个数 字，组成不同的六位数，也就是在六个碟子中放入相应的数字。
4、用2、0、1、9这四个数字可以组成多少个没有重复数字的 四位数？
【分析】用“碟子法”，我们需要四个碟子来表示四位数。
1
23
4
5
6
1号碟子中不能放0，只能放1~9的任何一个数字，所以 有9种可能；
1、用0、1、2、3、4、……、9这10个数字组成5个两 位数，每个数字只用一次，要求它们的和是奇数， 并且尽可能的大，那么这5个两位数的和是多少？
2、用1、2、3、4这四个数字构成一个四位数abcd，要 求：1）a、b、c、d互不相同；2）b比a、d都大，c比a、 d都大，这样的四位数有几个？
【分析】本题有三个条件：1、10个数字组成5个两位数，数字不能重 复；2、5个数字的和最大；3、和为奇数。
镇海 宁波
镇海 宁波
同理，左边的龙山、镇海、宁波分别和右边一列车站也有三条连线，即各有三 种车票；
所以，车票种类为12种。
而两站名称相同，车票的票价也是相同的，即票价是没有方向性的。
排列
指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。
组合
指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。
.
2
数字排列问题
同理，3号、4号碟子分别有2和1种可能。
那么，满足题目要求的四位数有：3×3×2×1=18个
如果数字不允许重复的话，会怎样呢？
.
思考：用这四个数字，能组成多少个三位数
4
数字排列问题
5、从1~20这20个自然数中，每次取出两个不同的数，使它们 的和是4的倍数，共有多少不同的取法？
6、由数字0、1、2、9这四个数字，组成的所有非零自然数， 按照从小到大排列，2019排在第几个？
【分析】先从题目中抽取出限制条件：1）从1~20中取出两个数字；2） 取出的两个数字的和是4的倍数。
怎样的两个数字之和会是4的倍数呢？只要两个数除以4的余数的 和能被4整除，则这两个数的和就是4的倍数。
【分析】首先需要注意，题目没有要求是几位数，所以先要按位数进 行分类考虑。然后，考虑2019是“2”在千位上的四位数中排在第几 位。
先对1~20这20个自然数根据除以4后的余数进行分类： 1）被4整除的数有：4、8、12、16、20； 2）被4整除余1的数有：1、5、9、13、17； 3）被4整除余2的数有：2、6、10、14、18； 4）被4整除余3的数有：3、7、11、15、19。
可以组成的非零一位数有：3个 可以组成的二位数有：3×3=9个 可以组成的三位数有：3×3×2=18个
因为数字可以重复，2~6号碟子中可以放0~9的任何一 个数字，所以有10种可能；
因此，这样的六位数可以有： 9×10×10×10×10×10=900000
1
2
3
4
1号碟子中不能放0，则可以有3种可能
1号碟子已经放了一个数字，因为不能重复，所以只能 在剩下的三个数字中选择一个，放在2号碟子中。这样， 2号碟子会有3种可能。
7
方法二：比对法（先找出10个字母组合）
1、符合条件的字母组合有：ab、ac、ad、ae、bc、bd、 be、cd、ce、de
2、对10个数字根据十位上的数码个数从多到少排序： 33、37、37、37、38、73、77、78、83、87
3、比对1和2，十位上a最多，有4个；b次之，有3个；c 位两个。所以，a=3，b=7，c=8
以“1”为千位的四位数有：1 ×3×2×1=6个 以“2”为千位的四位数中，2019是第一个。
所以，2019在第3+9+18+6+1=37个上。
所以，合计有10+25+10=45种
.
5
数字排列问题
6、一个五位数 abcde 从五个数码中任意取出两个数码，构成
一个两位数（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ持数码在原先五位数中的前后顺序），这样 的两位数有10个：37、38、33、37、78、73、77、83、87、37。 则abcde =
三个条件中，我们可以从和最大着手，再进行调整。数相加，我
们可以对不同权位上的数码进行处理，所以可以不考虑是哪5个两位 数，而只需要考虑不同权位上的数字。
【分析】本题提供了两个条件作限制，所以可以指导b、c应该为3、4， a、d为1、2。则b c和a d各有两种可能。所以这样的四位数有2×2=4 种。
.
3、用数字2、2、3可以组成多少个不同的三位数？
【分析】这个题目不同之处是有重复的数字，需要进行讨论。当百位 位3时，只有1种可能了。而百位为2时，剩下3、2在个位、十位，就 有2种可能。合计为3个不同的三位数。
思考：如果1、2、3、3四个数，能组成几个不同的 三位数
3
数字排列问题
3、某城市的电话号码是六位数，但首位不能是0，其余各位 可以是0~9中任何一个数字，而且不同数字位上的数字可以重 复，那么这个城市最多可以容纳多少部电话？
1、10个两位数中，最多的是3和7，且十位3比7多一个，说明 最前面的是3
2、33、77的存在，说明这个五位数有两个3和7。
3、78和87、38和83的存在，说明8在五位数的中间
4、有三个37，说明个位上的应该是7
5、所以这个五位数为37837
方法一：数轴法（在一条线上比较数字的现后位置）
3 78
3
风子编辑
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从慈溪到宁波要新建一条铁路，在铁路沿线会设4个站，你认为铁路公司应该设计多少种车票呢？又有 多少种票价？
我们用枚举法来试试。四个站分别为：慈溪、龙山、镇海、宁波，采用握手法来做枚举。
慈溪 龙山
慈溪 龙山
同样名称不需要连线，不同名称的车站间需要连线，每条线表示一种车票。
所以，左边的慈溪与右边一列有3条连线，即慈溪出发的车票为慈溪—龙山、 慈溪—镇海、慈溪—宁波；
使5个数的和最大，则最高权位的数码尽量大，所以选 9、8、7、6、5；
剩下的5个数码为个位，而个位数码的和影响5个数的和 的奇偶性。而0+1+2+3+4=10，不符合和为奇数的要求。
因此，用十位上最小的奇数与个位上最大的偶数进行交 换，可以符合要求。即4放到十位上，5放到个位上。
所以，这五个数的和为： （4+6+7+8+9）×10+（0+1+2+3+5）=351
. 4、十位上的3还多一个37，所以，d=3，e=7
【分析】对于这类为问题，我们引入“碟子法”。题目是要用10个数 字，组成不同的六位数，也就是在六个碟子中放入相应的数字。
4、用2、0、1、9这四个数字可以组成多少个没有重复数字的 四位数？
【分析】用“碟子法”，我们需要四个碟子来表示四位数。
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4
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1号碟子中不能放0，只能放1~9的任何一个数字，所以 有9种可能；
1、用0、1、2、3、4、……、9这10个数字组成5个两 位数，每个数字只用一次，要求它们的和是奇数， 并且尽可能的大，那么这5个两位数的和是多少？
2、用1、2、3、4这四个数字构成一个四位数abcd，要 求：1）a、b、c、d互不相同；2）b比a、d都大，c比a、 d都大，这样的四位数有几个？
【分析】本题有三个条件：1、10个数字组成5个两位数，数字不能重 复；2、5个数字的和最大；3、和为奇数。
镇海 宁波
镇海 宁波
同理，左边的龙山、镇海、宁波分别和右边一列车站也有三条连线，即各有三 种车票；
所以，车票种类为12种。
而两站名称相同，车票的票价也是相同的，即票价是没有方向性的。
排列
指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序。
组合
指从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序。
.
2
数字排列问题
同理，3号、4号碟子分别有2和1种可能。
那么，满足题目要求的四位数有：3×3×2×1=18个
如果数字不允许重复的话，会怎样呢？
.
思考：用这四个数字，能组成多少个三位数
4
数字排列问题
5、从1~20这20个自然数中，每次取出两个不同的数，使它们 的和是4的倍数，共有多少不同的取法？
6、由数字0、1、2、9这四个数字，组成的所有非零自然数， 按照从小到大排列，2019排在第几个？
【分析】先从题目中抽取出限制条件：1）从1~20中取出两个数字；2） 取出的两个数字的和是4的倍数。
怎样的两个数字之和会是4的倍数呢？只要两个数除以4的余数的 和能被4整除，则这两个数的和就是4的倍数。
【分析】首先需要注意，题目没有要求是几位数，所以先要按位数进 行分类考虑。然后，考虑2019是“2”在千位上的四位数中排在第几 位。
先对1~20这20个自然数根据除以4后的余数进行分类： 1）被4整除的数有：4、8、12、16、20； 2）被4整除余1的数有：1、5、9、13、17； 3）被4整除余2的数有：2、6、10、14、18； 4）被4整除余3的数有：3、7、11、15、19。
可以组成的非零一位数有：3个 可以组成的二位数有：3×3=9个 可以组成的三位数有：3×3×2=18个
因为数字可以重复，2~6号碟子中可以放0~9的任何一 个数字，所以有10种可能；
因此，这样的六位数可以有： 9×10×10×10×10×10=900000
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1号碟子中不能放0，则可以有3种可能
1号碟子已经放了一个数字，因为不能重复，所以只能 在剩下的三个数字中选择一个，放在2号碟子中。这样， 2号碟子会有3种可能。
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方法二：比对法（先找出10个字母组合）
1、符合条件的字母组合有：ab、ac、ad、ae、bc、bd、 be、cd、ce、de
2、对10个数字根据十位上的数码个数从多到少排序： 33、37、37、37、38、73、77、78、83、87
3、比对1和2，十位上a最多，有4个；b次之，有3个；c 位两个。所以，a=3，b=7，c=8
以“1”为千位的四位数有：1 ×3×2×1=6个 以“2”为千位的四位数中，2019是第一个。
所以，2019在第3+9+18+6+1=37个上。
所以，合计有10+25+10=45种
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数字排列问题
6、一个五位数 abcde 从五个数码中任意取出两个数码，构成
一个两位数（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ持数码在原先五位数中的前后顺序），这样 的两位数有10个：37、38、33、37、78、73、77、83、87、37。 则abcde =
三个条件中，我们可以从和最大着手，再进行调整。数相加，我
们可以对不同权位上的数码进行处理，所以可以不考虑是哪5个两位 数，而只需要考虑不同权位上的数字。
【分析】本题提供了两个条件作限制，所以可以指导b、c应该为3、4， a、d为1、2。则b c和a d各有两种可能。所以这样的四位数有2×2=4 种。
.
3、用数字2、2、3可以组成多少个不同的三位数？
【分析】这个题目不同之处是有重复的数字，需要进行讨论。当百位 位3时，只有1种可能了。而百位为2时，剩下3、2在个位、十位，就 有2种可能。合计为3个不同的三位数。
思考：如果1、2、3、3四个数，能组成几个不同的 三位数
3
数字排列问题
3、某城市的电话号码是六位数，但首位不能是0，其余各位 可以是0~9中任何一个数字，而且不同数字位上的数字可以重 复，那么这个城市最多可以容纳多少部电话？
1、10个两位数中，最多的是3和7，且十位3比7多一个，说明 最前面的是3
2、33、77的存在，说明这个五位数有两个3和7。
3、78和87、38和83的存在，说明8在五位数的中间
4、有三个37，说明个位上的应该是7
5、所以这个五位数为37837
方法一：数轴法（在一条线上比较数字的现后位置）
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